วิธีบวกเลขยกกำลังเท่ากัน กฎการคูณกำลังด้วยฐานที่ต่างกัน
หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเฉพาะให้เป็นเลขยกกำลัง คุณสามารถใช้ . ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า คุณสมบัติขององศา.
เลขชี้กำลังเปิดความเป็นไปได้ที่ยิ่งใหญ่ พวกมันช่วยให้เราแปลงการคูณเป็นการบวกได้ และการบวกนั้นง่ายกว่าการคูณมาก
ตัวอย่างเช่น เราต้องคูณ 16 ด้วย 64 ผลคูณของการคูณตัวเลขสองตัวนี้คือ 1024 แต่ 16 คือ 4x4 และ 64 คือ 4x4x4 นั่นคือ 16 x 64 = 4x4x4x4x4 ซึ่งเท่ากับ 1,024 เช่นกัน
เลข 16 ยังสามารถแสดงเป็น 2x2x2x2 และ 64 แสดงเป็น 2x2x2x2x2x2 และถ้าเราคูณ เราจะได้ 1024 อีกครั้ง
ทีนี้ลองใช้กฎกัน 16=4 2 หรือ 2 4, 64=4 3 หรือ 2 6 ในเวลาเดียวกัน 1024=6 4 =4 5 หรือ 2 10
ดังนั้น ปัญหาของเราจึงสามารถเขียนแตกต่างออกไปได้: 4 2 x4 3 =4 5 หรือ 2 4 x2 6 =2 10 และทุกครั้งที่เราได้ 1,024
เราสามารถแก้ตัวอย่างที่คล้ายกันได้จำนวนหนึ่งและพบว่าการคูณตัวเลขด้วยกำลังลดลง การเพิ่มเลขชี้กำลังหรือเลขชี้กำลัง แน่นอน โดยมีเงื่อนไขว่าฐานของตัวประกอบจะเท่ากัน
ดังนั้น หากไม่คูณ เราก็บอกได้ทันทีว่า 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20
กฎนี้ยังเป็นจริงเมื่อหารตัวเลขด้วยกำลัง แต่ในกรณีนี้ เลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล- ดังนั้น 2 5:2 3 =2 2 ซึ่งในจำนวนสามัญจะเท่ากับ 32:8 = 4 นั่นคือ 2 2 สรุป:
a m x a n = a m+n, a m: a n = a m-n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม
เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าเป็นเช่นนี้ การคูณและหารตัวเลขด้วยกำลังไม่สะดวกนัก เพราะก่อนอื่นคุณต้องแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง การแสดงตัวเลข 8 และ 16 นั่นคือ 2 3 และ 2 4 ในรูปแบบนี้ไม่ใช่เรื่องยาก แต่จะทำอย่างไรกับตัวเลข 7 และ 17? หรือจะทำอย่างไรในกรณีที่สามารถแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังได้ แต่ฐานของนิพจน์เลขชี้กำลังแตกต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น 8x9 คือ 2 3 x 3 2 ซึ่งในกรณีนี้เราไม่สามารถหาผลรวมเลขยกกำลังได้ ทั้ง 2 5 และ 3 5 ไม่ใช่คำตอบ และคำตอบก็ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาระหว่างตัวเลขสองตัวนี้
ถ้าอย่างนั้นมันคุ้มค่าที่จะกังวลกับวิธีนี้เลยเหรอ? คุ้มค่าแน่นอน ให้ประโยชน์มหาศาล โดยเฉพาะการคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลานาน
บทความวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์
คุณสมบัติของกำลังที่มีฐานเดียวกัน
องศามีคุณสมบัติสามประการที่มีฐานและเลขชี้กำลังธรรมชาติเท่ากัน นี้
ระวัง! กฎเกณฑ์เกี่ยวกับ การบวกและการลบองศาที่มีฐานเดียวกัน ไม่ได้อยู่.
ให้เราเขียนกฎคุณสมบัติเหล่านี้ในรูปแบบของสูตร:
ตอนนี้เรามาดูพวกเขาโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะเจาะจงแล้วลองพิสูจน์ดู
5 2 × 5 3 = 5 5 - ที่นี่เราใช้กฎ ทีนี้ลองจินตนาการว่าเราจะแก้ตัวอย่างนี้อย่างไรถ้าเราไม่รู้กฎ:
5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - ห้ากำลังสองคือห้าคูณห้า และกำลังสามเป็นผลคูณของสามห้า ผลลัพธ์คือผลคูณของห้าห้า แต่นี่คืออย่างอื่นที่ไม่ใช่ห้ายกกำลังห้า: 5 5
3 9 ۞ 3 5 = 3 9–5 = 3 4 ลองเขียนการหารเป็นเศษส่วน:
สามารถย่อให้สั้นลงได้:
เป็นผลให้เราได้รับ:
ดังนั้นเราจึงพิสูจน์ว่าเมื่อหารสองกำลังด้วยฐานเดียวกัน เลขชี้กำลังของพวกมันจะต้องถูกลบออก
อย่างไรก็ตาม เมื่อหาร ตัวหารไม่สามารถเท่ากับศูนย์ได้ (เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้) นอกจากนี้ เนื่องจากเราพิจารณาองศาที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติเท่านั้น เราจึงไม่สามารถรับตัวเลขที่น้อยกว่า 1 เป็นผลจากการลบเลขยกกำลังได้ ดังนั้นจึงมีข้อจำกัดในสูตร a m ۞ a n = a m–n: a ≠ 0 และ m > n.
มาดูคุณสมบัติที่สามกันดีกว่า:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8
มาเขียนในรูปแบบขยาย:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
คุณสามารถสรุปได้ด้วยการให้เหตุผลอย่างมีเหตุผล คุณต้องคูณสองกำลังสองสี่ครั้ง แต่ในแต่ละช่องจะมีสองช่อง ซึ่งหมายความว่าจะมีทั้งหมดแปดช่อง
scienceland.info
คุณสมบัติของปริญญา
เราเตือนคุณว่าในบทเรียนนี้เราจะเข้าใจ คุณสมบัติขององศาโดยมีตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติและเป็นศูนย์ เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะและคุณสมบัติของพวกมันจะพูดคุยกันในบทเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8
กำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณได้ง่ายขึ้นในตัวอย่างที่มีกำลัง
คุณสมบัติหมายเลข 1
ผลิตผลแห่งอำนาจ
เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกบวกเข้าไป
a m · a n = a m + n โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ
คุณสมบัติของพลังนี้ยังใช้กับผลคูณของพลังตั้งแต่สามตัวขึ้นไปด้วย
ข 2 ข 3 ข 4 ข 5 = ข 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ข 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15
โปรดทราบว่าในคุณสมบัติที่ระบุเรากำลังพูดถึงเฉพาะการคูณกำลังด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น- มันใช้ไม่ได้กับการเพิ่มของพวกเขา
คุณไม่สามารถแทนที่ผลรวม (3 3 + 3 2) ด้วย 3 5 ได้ นี่เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ถ้า
นับ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 และ 3 5 = 243
คุณสมบัติหมายเลข 2
องศาบางส่วน
เมื่อหารเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
ตัวอย่าง. แก้สมการ เราใช้คุณสมบัติของกำลังหาร
3 8: เสื้อ = 3 4
คำตอบ: เสื้อ = 3 4 = 81
การใช้คุณสมบัติหมายเลข 1 และหมายเลข 2 จะทำให้นิพจน์และคำนวณง่ายขึ้นได้อย่างง่ายดาย
- ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
4 5ม. + 6 4 ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 5ม. + 6 + ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 6ม. + 8 − 4ม. − 3 = 4 2ม. + 5
ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง
2 11 − 5 = 2 6 = 64
โปรดทราบว่าในคุณสมบัติ 2 เราพูดถึงเพียงการแบ่งอำนาจด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น
คุณไม่สามารถแทนที่ผลต่าง (4 3 −4 2) ด้วย 4 1 ได้ เรื่องนี้เข้าใจได้ถ้าคุณคำนวณ (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 และ 4 1 = 4
คุณสมบัติหมายเลข 3
การยกระดับไปสู่อำนาจ
เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง ฐานของดีกรีจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ
(a n) m = a n · m โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ
![](https://i1.wp.com/math-prosto.ru/images/stepeni/example_number_in_degree.png)
โปรดทราบว่าคุณสมบัติหมายเลข 4 เช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นขององศาก็ถูกนำไปใช้ในลำดับย้อนกลับเช่นกัน
(ก n ข n)= (ก ) n
นั่นคือ ในการคูณเลขยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังเดียวกัน คุณสามารถคูณฐานได้ แต่ปล่อยให้เลขชี้กำลังไม่เปลี่ยนแปลง
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1
ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น อาจมีกรณีที่ต้องทำการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานและเลขชี้กำลังต่างกัน ในกรณีนี้ เราแนะนำให้คุณทำดังต่อไปนี้
เช่น 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
ตัวอย่างการเพิ่มทศนิยมให้เป็นกำลัง
4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
คุณสมบัติ 5
กำลังของผลหาร (เศษส่วน)
หากต้องการเพิ่มผลหารยกกำลัง คุณสามารถเพิ่มเงินปันผลและตัวหารแยกกันเป็นกำลังนี้ และหารผลลัพธ์แรกด้วยวินาที
(a: b) n = a n: bn โดยที่ “a”, “b” คือจำนวนตรรกยะใดๆ b ≠ 0, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
เราขอเตือนคุณว่าผลหารสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้นเราจะมาพูดถึงหัวข้อการเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลังโดยละเอียดในหน้าถัดไป
การคูณและหารตัวเลขด้วยยกกำลัง
หากคุณต้องการเพิ่มจำนวนเฉพาะให้เป็นกำลัง คุณสามารถใช้ตารางยกกำลังของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 2 ถึง 25 ในพีชคณิตได้ ตอนนี้เรามาดูกันดีกว่า คุณสมบัติขององศา.
เลขชี้กำลังเปิดความเป็นไปได้ที่ยิ่งใหญ่ พวกมันช่วยให้เราแปลงการคูณเป็นการบวกได้ และการบวกนั้นง่ายกว่าการคูณมาก
ตัวอย่างเช่น เราต้องคูณ 16 ด้วย 64 ผลคูณของการคูณตัวเลขสองตัวนี้คือ 1024 แต่ 16 คือ 4x4 และ 64 คือ 4x4x4 นั่นคือ 16 x 64 = 4x4x4x4x4 ซึ่งเท่ากับ 1,024 เช่นกัน
เลข 16 ยังสามารถแสดงเป็น 2x2x2x2 และ 64 แสดงเป็น 2x2x2x2x2x2 และถ้าเราคูณ เราจะได้ 1024 อีกครั้ง
ตอนนี้เราใช้กฎในการยกจำนวนให้เป็นกำลัง 16=4 2 หรือ 2 4, 64=4 3 หรือ 2 6 ในเวลาเดียวกัน 1024=6 4 =4 5 หรือ 2 10
ดังนั้น ปัญหาของเราจึงสามารถเขียนแตกต่างออกไปได้: 4 2 x4 3 =4 5 หรือ 2 4 x2 6 =2 10 และทุกครั้งที่เราได้ 1,024
เราสามารถแก้ตัวอย่างที่คล้ายกันได้จำนวนหนึ่งและพบว่าการคูณตัวเลขด้วยกำลังลดลง การเพิ่มเลขชี้กำลังหรือเลขชี้กำลัง แน่นอน โดยมีเงื่อนไขว่าฐานของตัวประกอบจะเท่ากัน
ดังนั้น หากไม่คูณ เราก็บอกได้ทันทีว่า 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20
กฎนี้ยังเป็นจริงเมื่อหารตัวเลขด้วยกำลัง แต่ในกรณีนี้ เลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล- ดังนั้น 2 5:2 3 =2 2 ซึ่งในจำนวนสามัญจะเท่ากับ 32:8 = 4 นั่นคือ 2 2 สรุป:
a m x a n = a m+n, a m: a n = a m-n โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็ม
เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าเป็นเช่นนี้ การคูณและหารตัวเลขด้วยกำลังไม่สะดวกนัก เพราะก่อนอื่นคุณต้องแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลัง การแสดงตัวเลข 8 และ 16 นั่นคือ 2 3 และ 2 4 ในรูปแบบนี้ไม่ใช่เรื่องยาก แต่จะทำอย่างไรกับตัวเลข 7 และ 17? หรือจะทำอย่างไรในกรณีที่สามารถแสดงตัวเลขในรูปแบบเลขชี้กำลังได้ แต่ฐานของนิพจน์เลขชี้กำลังแตกต่างกันมาก ตัวอย่างเช่น 8x9 คือ 2 3 x 3 2 ซึ่งในกรณีนี้เราไม่สามารถหาผลรวมเลขยกกำลังได้ ทั้ง 2 5 และ 3 5 ไม่ใช่คำตอบ และคำตอบก็ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาระหว่างตัวเลขสองตัวนี้
ถ้าอย่างนั้นมันคุ้มค่าที่จะกังวลกับวิธีนี้เลยเหรอ? คุ้มค่าแน่นอน ให้ประโยชน์มหาศาล โดยเฉพาะการคำนวณที่ซับซ้อนและใช้เวลานาน
จนถึงตอนนี้เราเชื่อว่าเลขชี้กำลังคือจำนวนตัวประกอบที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ ค่าต่ำสุดของเลขชี้กำลังคือ 2 อย่างไรก็ตาม ถ้าเราดำเนินการหารตัวเลขหรือลบเลขยกกำลัง เราก็จะได้ตัวเลขที่น้อยกว่า 2 ได้เช่นกัน ซึ่งหมายความว่าคำจำกัดความแบบเก่าไม่เหมาะกับเราอีกต่อไป อ่านเพิ่มเติมในบทความถัดไป
การบวก ลบ คูณ หารยกกำลัง
การบวกและการลบกำลัง
เห็นได้ชัดว่าสามารถบวกเลขยกกำลังได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเพิ่มเครื่องหมายทีละรายการ.
ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ 3 + b 2
ผลรวมของ 3 - bn และ h 5 -d 4 คือ 3 - bn + h 5 - d 4
ราคาต่อรอง กำลังเท่ากันของตัวแปรที่เท่ากันสามารถเพิ่มหรือลบได้
ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 เท่ากับ 5a 2
เห็นได้ชัดว่าถ้าคุณเอาสองกำลังสอง a หรือสามกำลังสอง a หรือห้ากำลังสอง a
แต่องศา. ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องแต่งโดยเพิ่มเครื่องหมายไว้ด้วย
ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + 3
เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และกำลังสามของ a ไม่เท่ากับสองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของกำลังสองของ a
ผลรวมของ 3 bn และ 3a 5 b 6 คือ 3 bn + 3a 5 b 6
การลบอำนาจกระทำในลักษณะเดียวกับการบวก เว้นแต่จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนย่อยตามนั้น
หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ก - ชม.) 6 - 2(ก - ชม.) 6 = 3(ก - ชม.) 6
ทวีคูณพลัง
ตัวเลขที่มีกำลังสามารถคูณได้เช่นเดียวกับปริมาณอื่นๆ โดยการเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณคั่นระหว่างตัวเลขเหล่านั้น
ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 ด้วย b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb
หรือ:
x -3 ⋅ น ม. = ม. x -3
3a 6 ปี 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรที่เหมือนกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3
โดยการเปรียบเทียบตัวเลข (ตัวแปร) หลายตัวกับกำลัง เราจะเห็นว่าถ้าสองตัวใดตัวหนึ่งคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีกำลังเท่ากับ จำนวนองศาของเงื่อนไข
ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5
โดยที่ 5 คือกำลังของผลการคูณซึ่งเท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของกำลังของพจน์
ดังนั้น a n .a m = a m+n
สำหรับ n นั้น a จะถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n;
และ m จะถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลาย ๆ ครั้งเมื่อระดับ m เท่ากับ
นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณได้ด้วยการบวกเลขชี้กำลังของเลขยกกำลัง
ดังนั้น 2 .a 6 = 2+6 = 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
ข 2 ปี 3 ⋅ ข 4 ปี = ข 6 ปี 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)
กฎนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังด้วย เชิงลบ.
1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 . เขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa
2. y -n .y -m = y -n-m
3. a -n .a m = a m-n .
ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น 2 - b 2 นั่นคือ
ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง
หากผลรวมและผลต่างของตัวเลขสองตัวยกขึ้นไป สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขเหล่านี้ ที่สี่องศา
ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8
การแบ่งองศา
ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหารได้เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากเงินปันผล หรือโดยการวางไว้ในรูปเศษส่วน
ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 จึงเท่ากับ 3
การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือน $\frac - แต่นี่เท่ากับ a 2 ในชุดตัวเลข
ก +4 , ก +3 , ก +2 , ก +1 , 0 , ก -1 , ก -2 , ก -3 , ก -4 .
จำนวนใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ตัวเลขที่หารลงตัว
เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก.
ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 นั่นคือ $\frac = y$
และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac = a^n$
หรือ:
y 2m: y m = y m
8 ก.+ม.: 4 ก.ม. = 2 ก.น
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
กฎนี้ใช้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าองศา
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 จะได้ -2
นอกจากนี้ $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $
ชั่วโมง 2:h -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการหารยกกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต
ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง
1. ลดเลขยกกำลังลงด้วย $\frac $ คำตอบ: $\frac $
2. ลดเลขชี้กำลังลง $\frac$ คำตอบ: $\frac$ หรือ 2x
3. ลดเลขยกกำลัง 2 /a 3 และ a -3 /a -4 แล้วหารด้วยตัวส่วนร่วม
a 2 .a -4 คือ -2 เป็นตัวเศษตัวแรก
a 3 .a -3 คือ 0 = 1 ซึ่งเป็นตัวเศษที่สอง
a 3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1 .
4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 แล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 /5a 7 และ 5a 5 /5a 7 หรือ 2a 3 /5a 2 และ 5/5a 2
5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3
6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)
7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ n /y -3
8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2. คำตอบ: มี/มี.
ปริญญาและคุณสมบัติของมัน ระดับเฉลี่ย.
คุณต้องการทดสอบความแข็งแกร่งของคุณและดูว่าคุณพร้อมแค่ไหนสำหรับการสอบ Unified State หรือ Unified State?
ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:
ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน
องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์
คุณสมบัติขององศา
คุณสมบัติขององศา
กำลังของตัวเลขคืออะไร?
การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร
ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้
เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม
ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน แต่ละคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด
ตอนนี้การคูณ
ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า
ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ- แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…
นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.
และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:
นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเคล็ดลับการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.
การยกจำนวนให้เป็นกำลัง
หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองยกกำลังห้าคือ... และพวกเขาแก้ไขปัญหาดังกล่าวในหัว - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด
สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางเลขยกกำลัง- เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก
เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์- มันหมายความว่าอะไร? คำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์
ตัวอย่างชีวิตจริง #1
เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน
ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ
คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()
คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยลงด้วย . สำหรับการสอบ Unified State นี่เป็นสิ่งสำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข
ตัวอย่างชีวิตจริง #2
นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนช่องสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?
ตัวอย่างชีวิตจริง #3
ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลววัดเป็นลูกบาศก์เมตร ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระ: ด้านล่างมีขนาด 1 เมตร ลึก 1 เมตร แล้วลองคำนวณดูว่าลูกบาศก์จะวัดได้ 1 เมตรต่อเมตรกี่ลูกบาศก์เมตร พอดีกับสระน้ำของคุณ
เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?
ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้สิ่งนี้ง่ายขึ้น เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .
สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา- เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้
ในที่สุด เพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญาถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต
ตัวอย่างชีวิตจริง #4
คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและใครนับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?
ตัวอย่างชีวิตจริง #5
คุณมีเงินเป็นล้าน ทุกต้นปี คุณจะได้รับเพิ่มอีกสองต่อหนึ่งล้าน เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ
ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก มาดูเพิ่มเติมว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญา และสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น
ข้อกำหนดและแนวคิด
ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร- ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...
ในเวลาเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว- ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน
นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี
โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ดีกรีที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” อ่านว่า “ถึงดีกรี” และเขียนดังนี้:
“กำลังของจำนวนที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ”
คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ- ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?
ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ
เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?
นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุป มันคือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ
องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ
ให้เรานิยามแนวคิดของดีกรี ซึ่งเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)
- จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
- การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
- การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:
คำนิยาม.การยกจำนวนขึ้นเป็นกำลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
บทเรียนในหัวข้อ: "กฎการคูณและการหารยกกำลังที่มีเลขยกกำลังเท่ากันและต่างกัน ตัวอย่าง"
วัสดุเพิ่มเติม
เรียนผู้ใช้ อย่าลืมแสดงความคิดเห็น บทวิจารณ์ และความปรารถนาของคุณ วัสดุทั้งหมดได้รับการตรวจสอบโดยโปรแกรมป้องกันไวรัส
เครื่องช่วยสอนและเครื่องจำลองในร้านค้าออนไลน์ Integral สำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 7
คู่มือตำราเรียน Yu.N. คู่มือ Makarycheva สำหรับตำราเรียนโดย A.G. มอร์ดโควิช
วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เรียนรู้การดำเนินการด้วยพลังของตัวเลข
ก่อนอื่น เรามาจำแนวคิดของ "พลังของตัวเลข" กันก่อน นิพจน์ในรูปแบบ $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ สามารถแสดงเป็น $a^n$
การสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$
ความเท่าเทียมกันนี้เรียกว่า "การบันทึกระดับเป็นผลิตภัณฑ์" มันจะช่วยให้เรากำหนดวิธีคูณและแบ่งอำนาจ
จดจำ:
ก– พื้นฐานของปริญญา
n– เลขชี้กำลัง
ถ้า n=1ซึ่งหมายถึงตัวเลข กใช้เวลาหนึ่งครั้งและตามลำดับ: $a^n= 1$
ถ้า n= 0จากนั้น $a^0= 1$
เราจะรู้ได้ว่าเหตุใดสิ่งนี้จึงเกิดขึ้นเมื่อเราทำความคุ้นเคยกับกฎของการคูณและการหารยกกำลัง
กฎการคูณ
ก) ถ้าอำนาจที่มีฐานเดียวกันถูกคูณในการรับ $a^n * a^m$ เราเขียนองศาเป็นผลคูณ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(ม.)$.
ในรูปแสดงว่าเป็นจำนวนนั้น กได้ดำเนินการแล้ว n+มคูณด้วย $a^n * a^m = a^(n + m)$
ตัวอย่าง.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.
คุณสมบัตินี้สะดวกในการใช้เพื่อทำให้งานง่ายขึ้นเมื่อเพิ่มตัวเลขให้มีกำลังสูงขึ้น
ตัวอย่าง.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.
b) ถ้าองศาที่มีฐานต่างกันแต่มีเลขยกกำลังเท่ากัน
ในการรับ $a^n * b^n$ เราเขียนองศาเป็นผลคูณ: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(ม.)$.
หากเราสลับตัวประกอบและนับคู่ผลลัพธ์ เราจะได้: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.
ดังนั้น $a^n * b^n= (a * b)^n$
ตัวอย่าง.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.
กฎการแบ่ง
ก) พื้นฐานของการศึกษาระดับปริญญาจะเหมือนกัน แต่ตัวบ่งชี้จะแตกต่างกันลองพิจารณาการหารกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่มากกว่าโดยการหารกำลังด้วยเลขชี้กำลังที่น้อยกว่า
ดังนั้นเราจึงต้องการ $\frac(a^n)(a^m)$, ที่ไหน น>ม.
ลองเขียนองศาเป็นเศษส่วน:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.
เพื่อความสะดวก เราจะเขียนการหารเป็นเศษส่วนอย่างง่ายทีนี้มาลดเศษส่วนกัน.
ปรากฎว่า: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$
วิธี, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.
คุณสมบัตินี้จะช่วยอธิบายสถานการณ์โดยการเพิ่มตัวเลขเป็นศูนย์ สมมุติว่า n=มจากนั้น $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$
ตัวอย่าง.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.
$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.
b) ฐานของระดับนั้นแตกต่างกันตัวบ่งชี้จะเหมือนกัน
สมมติว่า $\frac(a^n)( b^n)$ เป็นสิ่งจำเป็น เขียนยกกำลังของตัวเลขเป็นเศษส่วน:
$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.
เพื่อความสะดวกลองจินตนาการดู![](https://i0.wp.com/mathematics-tests.com/matematika/7-klass/7-klass-umnozhenie-delenie-stepeney_11.jpg)
ด้วยการใช้คุณสมบัติของเศษส่วน เราจึงหารเศษส่วนขนาดใหญ่เป็นผลคูณของเศษส่วนเล็ก เราได้
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
ตามนั้น: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$
ตัวอย่าง.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$
เห็นได้ชัดว่าสามารถบวกเลขยกกำลังได้เหมือนกับจำนวนอื่นๆ โดยเพิ่มเครื่องหมายทีละรายการ.
ดังนั้น ผลรวมของ a 3 และ b 2 คือ 3 + b 2
ผลรวมของ 3 - bn และ h 5 -d 4 คือ 3 - bn + h 5 - d 4
ราคาต่อรอง กำลังเท่ากันของตัวแปรที่เท่ากันสามารถเพิ่มหรือลบได้
ดังนั้น ผลรวมของ 2a 2 และ 3a 2 เท่ากับ 5a 2
เห็นได้ชัดว่าถ้าคุณเอาสองกำลังสอง a หรือสามกำลังสอง a หรือห้ากำลังสอง a
แต่องศา. ตัวแปรต่างๆและ องศาต่างๆ ตัวแปรที่เหมือนกันจะต้องแต่งโดยเพิ่มเครื่องหมายไว้ด้วย
ดังนั้น ผลรวมของ 2 และ 3 คือผลรวมของ 2 + 3
เห็นได้ชัดว่ากำลังสองของ a และกำลังสามของ a ไม่เท่ากับสองเท่าของกำลังสองของ a แต่เป็นสองเท่าของกำลังสองของ a
ผลรวมของ 3 bn และ 3a 5 b 6 คือ 3 bn + 3a 5 b 6
การลบอำนาจกระทำในลักษณะเดียวกับการบวก เว้นแต่จะต้องเปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนย่อยตามนั้น
หรือ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(ก - ชม.) 6 - 2(ก - ชม.) 6 = 3(ก - ชม.) 6
ทวีคูณพลัง
ตัวเลขที่มีกำลังสามารถคูณได้เช่นเดียวกับปริมาณอื่นๆ โดยการเขียนทีละตัว โดยมีหรือไม่มีเครื่องหมายคูณคั่นระหว่างตัวเลขเหล่านั้น
ดังนั้น ผลลัพธ์ของการคูณ a 3 ด้วย b 2 จึงเป็น 3 b 2 หรือ aaabb
หรือ:
x -3 ⋅ น ม. = ม. x -3
3a 6 ปี 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
ผลลัพธ์ในตัวอย่างสุดท้ายสามารถเรียงลำดับได้โดยการเพิ่มตัวแปรที่เหมือนกัน
นิพจน์จะอยู่ในรูปแบบ: a 5 b 5 y 3
โดยการเปรียบเทียบตัวเลข (ตัวแปร) หลายตัวกับกำลัง เราจะเห็นว่าถ้าสองตัวใดตัวหนึ่งคูณกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวเลข (ตัวแปร) ที่มีกำลังเท่ากับ จำนวนองศาของเงื่อนไข
ดังนั้น a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5
โดยที่ 5 คือพลังของผลลัพธ์ของการคูณ เท่ากับ 2 + 3 ซึ่งเป็นผลรวมของพลังของเทอม
ดังนั้น a n .a m = a m+n
สำหรับ n นั้น a จะถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลายเท่าของกำลังของ n;
และ m จะถูกนำมาเป็นตัวประกอบหลาย ๆ ครั้งเมื่อระดับ m เท่ากับ
นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไม เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากันสามารถคูณได้ด้วยการบวกเลขชี้กำลังของเลขยกกำลัง
ดังนั้น 2 .a 6 = 2+6 = 8 และ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
หรือ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
ข 2 ปี 3 ⋅ ข 4 ปี = ข 6 ปี 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
คูณ (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)
คำตอบ: x 4 - y 4
คูณ (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)
กฎนี้ยังใช้ได้กับตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังด้วย เชิงลบ.
1. ดังนั้น a -2 .a -3 = a -5 . เขียนได้เป็น (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa
2. y -n .y -m = y -n-m
3. a -n .a m = a m-n .
ถ้า a + b คูณด้วย a - b ผลลัพธ์จะเป็น 2 - b 2 นั่นคือ
ผลลัพธ์ของการคูณผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของกำลังสอง
หากผลรวมและผลต่างของตัวเลขสองตัวยกขึ้นไป สี่เหลี่ยมผลลัพธ์จะเท่ากับผลรวมหรือผลต่างของตัวเลขเหล่านี้ ที่สี่องศา
ดังนั้น (a - y).(a + y) = a 2 - y 2
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8
การแบ่งองศา
ตัวเลขที่ยกกำลังสามารถหารได้เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ โดยการลบออกจากเงินปันผล หรือโดยการวางไว้ในรูปเศษส่วน
ดังนั้น a 3 b 2 หารด้วย b 2 จึงเท่ากับ 3
หรือ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
การเขียน 5 หารด้วย 3 ดูเหมือน $\frac(a^5)(a^3)$ แต่นี่เท่ากับ a 2 ในชุดตัวเลข
ก +4 , ก +3 , ก +2 , ก +1 , 0 , ก -1 , ก -2 , ก -3 , ก -4 .
จำนวนใดๆ ก็สามารถหารด้วยอีกจำนวนหนึ่งได้ และเลขชี้กำลังจะเท่ากับ ความแตกต่างตัวบ่งชี้ตัวเลขที่หารลงตัว
เมื่อหารองศาด้วยฐานเดียวกัน เลขยกกำลังจะถูกลบออก.
ดังนั้น y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 นั่นคือ $\frac(yyy)(yy) = y$
และ n+1:a = a n+1-1 = a n นั่นคือ $\frac(aa^n)(a) = a^n$
หรือ:
y 2m: y m = y m
8 ก.+ม.: 4 ก.ม. = 2 ก.น
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
กฎนี้ใช้กับตัวเลขด้วย เชิงลบค่าองศา
ผลลัพธ์ของการหาร -5 ด้วย -3 จะได้ -2
นอกจากนี้ $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(เอเอ)$.
ชั่วโมง 2:h -1 = ชั่วโมง 2+1 = ชั่วโมง 3 หรือ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
จำเป็นต้องเชี่ยวชาญการคูณและการหารยกกำลังเป็นอย่างดี เนื่องจากการดำเนินการดังกล่าวมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในพีชคณิต
ตัวอย่างการแก้ตัวอย่างเศษส่วนที่มีตัวเลขยกกำลัง
1. ลดเลขชี้กำลังลงด้วย $\frac(5a^4)(3a^2)$ คำตอบ: $\frac(5a^2)(3)$
2. ลดเลขชี้กำลังลงด้วย $\frac(6x^6)(3x^5)$ คำตอบ: $\frac(2x)(1)$ หรือ 2x
3. ลดเลขยกกำลัง 2 /a 3 และ a -3 /a -4 แล้วหารด้วยตัวส่วนร่วม
a 2 .a -4 คือ -2 เป็นตัวเศษตัวแรก
a 3 .a -3 คือ 0 = 1 ซึ่งเป็นตัวเศษที่สอง
a 3 .a -4 คือ -1 ซึ่งเป็นตัวเศษร่วม
หลังจากการทำให้เข้าใจง่าย: a -2 /a -1 และ 1/a -1 .
4. ลดเลขชี้กำลัง 2a 4 /5a 3 และ 2 /a 4 แล้วนำมาหารด้วยตัวส่วนร่วม
คำตอบ: 2a 3 /5a 7 และ 5a 5 /5a 7 หรือ 2a 3 /5a 2 และ 5/5a 2
5. คูณ (a 3 + b)/b 4 ด้วย (a - b)/3
6. คูณ (a 5 + 1)/x 2 ด้วย (b 2 - 1)/(x + a)
7. คูณ b 4 /a -2 ด้วย h -3 /x และ n /y -3
8. หาร 4 /y 3 ด้วย 3 /y 2. คำตอบ: มี/มี.
9. หาร (h 3 - 1)/d 4 ด้วย (d n + 1)/h.
ระดับแรก
ปริญญาและคุณสมบัติของมัน คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019)
เหตุใดจึงต้องมีวุฒิการศึกษา? คุณต้องการมันที่ไหน? เหตุใดคุณจึงควรสละเวลาศึกษาสิ่งเหล่านี้?
หากต้องการเรียนรู้ทุกอย่างเกี่ยวกับปริญญา สิ่งที่จำเป็นสำหรับปริญญา และวิธีใช้ความรู้ในชีวิตประจำวัน โปรดอ่านบทความนี้
และแน่นอนว่าความรู้ด้านปริญญาจะทำให้คุณเข้าใกล้ความสำเร็จในการผ่านการสอบ Unified State หรือ Unified State และการเข้ามหาวิทยาลัยในฝันของคุณ
ไปกันเถอะ... (ไปกันเถอะ!)
โน๊ตสำคัญ! หากคุณเห็น gobbledygook แทนที่จะเป็นสูตร ให้ล้างแคชของคุณ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้กด CTRL+F5 (บน Windows) หรือ Cmd+R (บน Mac)
ระดับแรก
การยกกำลังเป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการบวก ลบ คูณ หาร
ตอนนี้ฉันจะอธิบายทุกอย่างเป็นภาษามนุษย์โดยใช้ตัวอย่างง่ายๆ ระวัง. ตัวอย่างเป็นเพียงเรื่องเบื้องต้นแต่อธิบายเรื่องสำคัญได้
เริ่มต้นด้วยการเพิ่ม
ไม่มีอะไรจะอธิบายที่นี่ คุณรู้ทุกอย่างแล้ว: มีพวกเราแปดคน แต่ละคนมีโคล่าสองขวด โคล่ามีเท่าไหร่? ถูกต้อง - 16 ขวด
ตอนนี้การคูณ
ตัวอย่างเดียวกันกับ cola สามารถเขียนได้แตกต่างกัน: . นักคณิตศาสตร์เป็นคนฉลาดและขี้เกียจ ก่อนอื่นพวกเขาจะสังเกตเห็นรูปแบบบางอย่าง จากนั้นจึงหาวิธี "นับ" พวกมันให้เร็วขึ้น ในกรณีของเรา พวกเขาสังเกตเห็นว่าคนทั้งแปดคนมีจำนวนขวดโคล่าเท่ากัน จึงเกิดเทคนิคที่เรียกว่าการคูณ เห็นด้วยถือว่าง่ายและเร็วกว่า
ดังนั้นหากต้องการนับเร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด คุณเพียงแค่ต้องจำไว้ ตารางสูตรคูณ- แน่นอนว่าคุณสามารถทำทุกอย่างให้ช้าลง ยากขึ้น และมีข้อผิดพลาดได้! แต่…
นี่คือตารางสูตรคูณ ทำซ้ำ.
และอีกอย่างที่สวยงามกว่า:
นักคณิตศาสตร์ขี้เกียจมีเคล็ดลับการนับอันชาญฉลาดอะไรอีกบ้าง? ขวา - การยกจำนวนให้เป็นกำลัง.
การยกจำนวนให้เป็นกำลัง
หากคุณต้องการคูณตัวเลขด้วยตัวมันเองห้าครั้ง นักคณิตศาสตร์บอกว่าคุณต้องเพิ่มจำนวนนั้นให้เป็นกำลังห้า ตัวอย่างเช่น, . นักคณิตศาสตร์จำได้ว่ากำลังสองยกกำลังห้าคือ... และพวกเขาก็แก้ไขปัญหาในหัวได้ - เร็วขึ้น ง่ายขึ้น และไม่มีข้อผิดพลาด
สิ่งที่คุณต้องทำคือ จำสิ่งที่เน้นด้วยสีในตารางเลขยกกำลัง- เชื่อฉันสิสิ่งนี้จะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก
เหตุใดจึงเรียกว่าระดับที่สอง? สี่เหลี่ยมตัวเลขและอันที่สาม - ลูกบาศก์- มันหมายความว่าอะไร? คำถามที่ดีมาก ตอนนี้คุณจะมีทั้งสี่เหลี่ยมและลูกบาศก์
ตัวอย่างชีวิตจริง #1
เริ่มจากกำลังสองหรือกำลังสองของตัวเลขกันก่อน
ลองนึกภาพสระน้ำสี่เหลี่ยมขนาดหนึ่งเมตรคูณหนึ่งเมตร สระว่ายน้ำอยู่ที่เดชาของคุณ ร้อนแล้วอยากเล่นน้ำจังเลย แต่... สระไม่มีก้น! คุณต้องปูกระเบื้องด้านล่างของสระ คุณต้องการกระเบื้องกี่แผ่น? เพื่อระบุสิ่งนี้คุณจำเป็นต้องทราบพื้นที่ด้านล่างของสระ
คุณสามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยการชี้นิ้วว่าก้นสระประกอบด้วยลูกบาศก์เมตรต่อลูกบาศก์เมตร หากคุณมีกระเบื้องขนาด 1 เมตร x 1 เมตร คุณจะต้องใช้กระเบื้องเป็นชิ้นๆ ง่ายนิดเดียว...แต่เคยเห็นกระเบื้องแบบนี้ที่ไหน? กระเบื้องน่าจะเป็นซม. ต่อซม. แล้วคุณจะถูกทรมานด้วยการ "นับนิ้ว" จากนั้นคุณต้องคูณ ดังนั้นด้านหนึ่งของก้นสระเราจะใส่กระเบื้อง (ชิ้น) และอีกด้านหนึ่งก็ใส่กระเบื้องด้วย คูณด้วยแล้วคุณจะได้ไทล์ ()
คุณสังเกตไหมว่าในการกำหนดพื้นที่ก้นสระเราคูณจำนวนเดียวกันด้วยตัวมันเอง? มันหมายความว่าอะไร? เนื่องจากเรากำลังคูณจำนวนเดียวกัน เราจึงใช้เทคนิค "การยกกำลัง" ได้ (แน่นอนว่าเมื่อคุณมีตัวเลขเพียงสองตัวคุณยังต้องคูณหรือยกกำลัง แต่ถ้าคุณมีจำนวนมาก การยกกำลังจะง่ายกว่ามากและยังมีข้อผิดพลาดในการคำนวณน้อยลงด้วย . สำหรับการสอบ Unified State นี่เป็นสิ่งสำคัญมาก)
ดังนั้น ยกกำลังสามสิบสองจะเป็น () หรือเราบอกได้ว่า 30 กำลังสองจะเป็น. กล่าวอีกนัยหนึ่ง กำลังสองของตัวเลขสามารถแสดงเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสได้เสมอ และในทางกลับกัน หากคุณเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มันจะเป็นกำลังสองของจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือภาพกำลังสองของตัวเลข
ตัวอย่างชีวิตจริง #2
นี่คืองานสำหรับคุณ: นับจำนวนสี่เหลี่ยมบนกระดานหมากรุกโดยใช้กำลังสองของตัวเลข... ที่ด้านหนึ่งของเซลล์และอีกด้านหนึ่งด้วย ในการคำนวณจำนวนนั้น คุณต้องคูณแปดด้วยแปด หรือ... หากคุณสังเกตเห็นว่ากระดานหมากรุกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน คุณก็ยกกำลังสองได้แปด คุณจะได้รับเซลล์ () ดังนั้น?
ตัวอย่างชีวิตจริง #3
ทีนี้ลูกบาศก์หรือกำลังสามของตัวเลข สระเดียวกัน. แต่ตอนนี้คุณต้องค้นหาว่าจะต้องเทน้ำลงในสระนี้มากแค่ไหน คุณต้องคำนวณปริมาตร (ปริมาตรและของเหลววัดเป็นลูกบาศก์เมตร ไม่คาดคิดใช่ไหม?) วาดสระ: ด้านล่างมีขนาด 1 เมตร ลึก 1 เมตร แล้วลองคำนวณดูว่าลูกบาศก์จะวัดได้ 1 เมตรต่อเมตรกี่ลูกบาศก์เมตร พอดีกับสระน้ำของคุณ
เพียงชี้นิ้วของคุณแล้วนับ! หนึ่ง สอง สาม สี่...ยี่สิบสอง ยี่สิบสาม...คุณได้มากี่อัน? ไม่หาย? นิ้วนับยากไหม? ดังนั้น! นำตัวอย่างจากนักคณิตศาสตร์ พวกเขาขี้เกียจ ดังนั้นพวกเขาจึงสังเกตว่าในการคำนวณปริมาตรของสระ คุณต้องคูณความยาว ความกว้าง และความสูงเข้าด้วยกัน ในกรณีของเรา ปริมาตรสระจะเท่ากับลูกบาศก์... ง่ายกว่าใช่ไหม?
ลองจินตนาการดูว่านักคณิตศาสตร์ที่ขี้เกียจและมีไหวพริบจะเป็นอย่างไรหากพวกเขาทำให้สิ่งนี้ง่ายขึ้น เราลดทุกอย่างลงเป็นการกระทำเดียว พวกเขาสังเกตเห็นว่าความยาว ความกว้าง และความสูงเท่ากัน และจำนวนเท่ากันก็คูณด้วยตัวมันเอง... หมายความว่าอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถใช้ประโยชน์จากปริญญาได้ ดังนั้น สิ่งที่คุณเคยนับด้วยนิ้วของคุณ มันทำในการกระทำเดียว: สามลูกบาศก์มีค่าเท่ากัน มันเขียนไว้แบบนี้: .
สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ จำตารางองศา- เว้นแต่คุณจะขี้เกียจและมีไหวพริบเหมือนนักคณิตศาสตร์ หากคุณชอบทำงานหนักและทำผิดพลาด คุณสามารถนับนิ้วต่อไปได้
ในที่สุด เพื่อโน้มน้าวคุณว่าปริญญาถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยผู้เลิกบุหรี่และคนที่มีไหวพริบเพื่อแก้ไขปัญหาชีวิตของพวกเขา และไม่สร้างปัญหาให้กับคุณ นี่คือตัวอย่างเพิ่มเติมจากชีวิต
ตัวอย่างชีวิตจริง #4
คุณมีเงินหนึ่งล้านรูเบิล ในช่วงต้นปี ทุก ๆ ล้านที่คุณทำได้ คุณก็ทำได้อีกล้าน นั่นคือทุก ๆ ล้านที่คุณมีสองเท่าในช่วงต้นปี คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในปี? หากคุณกำลังนั่ง "นับนิ้ว" อยู่ตอนนี้ แสดงว่าคุณเป็นคนที่ทำงานหนักมากและ... โง่เขลา แต่ส่วนใหญ่แล้วคุณจะให้คำตอบภายในไม่กี่วินาทีเพราะคุณฉลาด! ดังนั้น ในปีแรก - สองคูณสอง... ในปีที่สอง - เกิดอะไรขึ้น อีกสองในปีที่สาม... หยุด! คุณสังเกตเห็นว่าจำนวนนั้นคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นสองยกกำลังห้าจึงเป็นล้าน! ทีนี้ลองจินตนาการว่าคุณมีการแข่งขันและใครนับได้เร็วที่สุดก็จะได้รับเงินล้านเหล่านี้... มันคุ้มค่าที่จะจดจำพลังของตัวเลขใช่ไหม?
ตัวอย่างชีวิตจริง #5
คุณมีเงินเป็นล้าน ทุกต้นปี คุณจะได้รับเพิ่มอีกสองต่อหนึ่งล้าน เยี่ยมมากใช่ไหม? ทุกล้านเป็นสามเท่า คุณจะมีเงินเท่าไหร่ในหนึ่งปี? มานับกัน ปีแรก - คูณด้วยแล้วผลลัพธ์ด้วยอีกปี... มันน่าเบื่ออยู่แล้วเพราะคุณเข้าใจทุกอย่างแล้ว: สามคูณด้วยตัวมันเองคูณด้วยตัวมันเอง ดังนั้นยกกำลังสี่จึงเท่ากับหนึ่งล้าน. คุณแค่ต้องจำไว้ว่าสามยกกำลังสี่คือหรือ
ตอนนี้คุณรู้แล้วว่าการเพิ่มตัวเลขให้มีพลังจะทำให้ชีวิตของคุณง่ายขึ้นมาก มาดูเพิ่มเติมว่าคุณสามารถทำอะไรได้บ้างกับปริญญา และสิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับปริญญาเหล่านั้น
เงื่อนไขและแนวคิด...เพื่อไม่ให้สับสน
ก่อนอื่น เรามากำหนดแนวคิดกันก่อน คุณคิดอย่างไร, เลขชี้กำลังคืออะไร- ง่ายมาก - มันคือตัวเลขที่ "อยู่ด้านบน" ของเลขยกกำลัง ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ แต่ชัดเจนและจำง่าย...
ในเวลาเดียวกันอะไร พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญาดังกล่าว- ง่ายกว่านั้นคือตัวเลขที่อยู่ด้านล่างที่ฐาน
นี่คือภาพวาดเพื่อการวัดที่ดี
โดยทั่วไปแล้ว เพื่อที่จะสรุปและจดจำได้ดีขึ้น... ดีกรีที่มีฐาน “ ” และเลขชี้กำลัง “ ” อ่านว่า “ถึงดีกรี” และเขียนดังนี้:
กำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลังธรรมชาติ
คุณคงเดาได้แล้ว: เพราะเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ ใช่ แต่มันคืออะไร จำนวนธรรมชาติ- ประถมศึกษา! ตัวเลขธรรมชาติคือตัวเลขที่ใช้ในการนับเมื่อแสดงรายการวัตถุ: หนึ่ง สอง สาม... เมื่อเรานับวัตถุ เราจะไม่พูดว่า: "ลบห้า" "ลบหก" "ลบเจ็ด" เราไม่พูดว่า: "หนึ่งในสาม" หรือ "ศูนย์จุดห้า" พวกนี้ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ คุณคิดว่านี่คือตัวเลขอะไร?
ตัวเลขเช่น "ลบห้า", "ลบหก", "ลบเจ็ด" หมายถึง จำนวนทั้งหมด.โดยทั่วไป จำนวนเต็มประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด จำนวนที่อยู่ตรงข้ามกับจำนวนธรรมชาติ (นั่นคือ ใช้เครื่องหมายลบ) และจำนวน Zero เป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจ - คือเมื่อไม่มีอะไรเลย ตัวเลขติดลบ (“ลบ”) หมายถึงอะไร? แต่พวกเขาถูกประดิษฐ์ขึ้นเพื่อระบุหนี้เป็นหลัก: หากคุณมียอดคงเหลือในโทรศัพท์เป็นรูเบิลแสดงว่าคุณเป็นหนี้รูเบิลของผู้ให้บริการ
เศษส่วนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ คุณคิดว่าพวกเขาเกิดขึ้นได้อย่างไร? ง่ายมาก. เมื่อหลายพันปีก่อน บรรพบุรุษของเราค้นพบว่าพวกเขาขาดตัวเลขธรรมชาติในการวัดความยาว น้ำหนัก พื้นที่ ฯลฯ และพวกเขาก็คิดขึ้นมาด้วย สรุปตัวเลข... น่าสนใจใช่ไหมล่ะ?
นอกจากนี้ยังมีจำนวนอตรรกยะ ตัวเลขเหล่านี้คืออะไร? กล่าวโดยสรุป มันคือเศษส่วนทศนิยมอนันต์ ตัวอย่างเช่น หากคุณหารเส้นรอบวงของวงกลมด้วยเส้นผ่านศูนย์กลาง คุณจะได้จำนวนอตรรกยะ
สรุป:
ให้เรานิยามแนวคิดของระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)
- จำนวนใดๆ ที่กำลังยกกำลังแรกจะเท่ากับตัวมันเอง:
- การยกกำลังสองหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเอง:
- การยกกำลังสามหมายถึงการคูณด้วยตัวมันเองสามครั้ง:
คำนิยาม.การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติหมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
.
คุณสมบัติขององศา
คุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? ฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้
มาดูกันว่ามันคืออะไร และ ?
A-ไพรเออรี่:
มีตัวคูณทั้งหมดกี่ตัว?
ง่ายมาก: เราบวกตัวคูณเข้ากับปัจจัย และผลลัพธ์ก็คือตัวคูณ
แต่ตามคำจำกัดความแล้ว นี่คือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง ซึ่งก็คือ: ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์
ตัวอย่าง: ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย:
ตัวอย่าง:ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย:สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นมันคงจะมีเหตุผลเดียวกันสิ!
ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:
เพื่อผลผลิตแห่งพลังเท่านั้น!
คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด
2. แค่นั้นแหละ กำลังของตัวเลข
เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:
ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:
โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ทั้งหมด:
จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง?
แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย
กำลังที่มีฐานลบ
ถึงจุดนี้ เราได้พูดคุยกันเพียงว่าเลขชี้กำลังควรเป็นเช่นไร
แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน?
อยู่ในอำนาจของ ตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติพื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้- อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่
ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?
เช่น จำนวนเป็นบวกหรือลบ? เอ? - อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก
แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย มันก็ได้ผล.
พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:
1) | 2) | 3) |
4) | 5) | 6) |
คุณจัดการหรือไม่?
นี่คือคำตอบ: ในสี่ตัวอย่างแรก ฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ
ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)
ตัวอย่างที่ 6) ไม่ง่ายอีกต่อไป!
6 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน
การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา 6 ตัวอย่าง
ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง! เราได้รับ:
ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับรายการกฎก็สามารถนำไปใช้ได้
แต่จะทำอย่างไร? ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้
เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย
แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนแปลงไปพร้อมๆ กัน!
กลับไปที่ตัวอย่าง:
และอีกครั้งด้วยสูตร:
ทั้งหมดเราเรียกจำนวนธรรมชาติ จำนวนตรงข้าม (นั่นคือ ใช้เครื่องหมาย " ") และจำนวน
จำนวนเต็มบวกและไม่ต่างจากธรรมชาติเลยทุกอย่างก็ดูเหมือนในส่วนที่แล้วทุกประการ
ตอนนี้เรามาดูกรณีใหม่กัน เริ่มจากตัวบ่งชี้ที่เท่ากับ
จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:
เช่นเคยให้เราถามตัวเองว่า: ทำไมจึงเป็นเช่นนี้?
พิจารณาระดับหนึ่งด้วยฐาน ยกตัวอย่างและคูณด้วย:
ดังนั้นเราจึงคูณตัวเลขด้วย และเราได้เหมือนเดิม - . คุณควรคูณเลขอะไรเพื่อไม่ให้มีการเปลี่ยนแปลง? ถูกต้องแล้ว วิธี.
เราสามารถทำเช่นเดียวกันกับหมายเลขใดก็ได้:
ทำซ้ำกฎ:
จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง
แต่มีข้อยกเว้นสำหรับกฎหลายข้อ และนี่ก็อยู่ตรงนั้นด้วย - นี่คือตัวเลข (เป็นฐาน)
ในด้านหนึ่ง มันจะต้องเท่ากับระดับใดๆ ก็ตาม ไม่ว่าคุณจะคูณศูนย์ด้วยตัวมันเองมากแค่ไหน คุณก็ยังจะได้ศูนย์ นี่ก็ชัดเจน แต่ในทางกลับกัน เช่นเดียวกับเลขยกกำลังศูนย์ ก็ต้องเท่ากัน แล้วเรื่องนี้จริงมากแค่ไหน? นักคณิตศาสตร์ตัดสินใจว่าจะไม่เข้าไปยุ่งและปฏิเสธที่จะเพิ่มศูนย์เป็นศูนย์ นั่นคือตอนนี้เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์เท่านั้น แต่ยังเพิ่มเป็นศูนย์ด้วย
เดินหน้าต่อไป นอกจากจำนวนธรรมชาติและตัวเลขแล้ว จำนวนเต็มยังรวมถึงจำนวนลบด้วย เพื่อให้เข้าใจว่ากำลังลบคืออะไร เรามาทำเหมือนครั้งก่อน: คูณจำนวนปกติด้วยจำนวนเดียวกันให้เป็นกำลังลบ:
จากที่นี่ การแสดงสิ่งที่คุณกำลังมองหาเป็นเรื่องง่าย:
ทีนี้ลองขยายกฎผลลัพธ์ไปสู่ระดับที่ต้องการ:
เรามาตั้งกฎกัน:
จำนวนที่มีกำลังเป็นลบคือส่วนกลับของจำนวนเดียวกันที่มีกำลังเป็นบวก แต่ในขณะเดียวกัน ฐานต้องไม่เป็นค่าว่าง:(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)
สรุป:
I. สำนวนไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.
ครั้งที่สอง จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากับหนึ่ง:
สาม. จำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ยกกำลังลบ คือค่าผกผันของจำนวนเดียวกันยกกำลังบวก:
งานสำหรับโซลูชันอิสระ:
ตามปกติแล้ว ตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ:
การวิเคราะห์ปัญหาเพื่อการแก้ปัญหาอย่างอิสระ:
ฉันรู้ ฉันรู้ว่าตัวเลขนั้นน่ากลัว แต่ในการสอบ Unified State คุณต้องเตรียมตัวให้พร้อมสำหรับทุกสิ่ง! แก้ไขตัวอย่างเหล่านี้หรือวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหาหากคุณแก้ไม่ได้ แล้วคุณจะได้เรียนรู้ที่จะรับมือกับตัวอย่างเหล่านี้ได้อย่างง่ายดายในการสอบ!
มาขยายขอบเขตของตัวเลขที่ “เหมาะสม” เป็นเลขชี้กำลังต่อไป
ทีนี้ลองมาพิจารณากัน สรุปตัวเลข.ตัวเลขใดที่เรียกว่าตรรกยะ?
คำตอบ: ทุกอย่างที่สามารถแสดงเป็นเศษส่วน โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม และ
เพื่อทำความเข้าใจว่ามันคืออะไร "ระดับเศษส่วน"ให้พิจารณาเศษส่วน:
ลองยกสมการทั้งสองข้างให้เป็นกำลัง:
ตอนนี้เรามาจำกฎเกี่ยวกับ "ระดับต่อระดับ":
ต้องยกเลขอะไรถึงยกกำลังถึงจะได้?
สูตรนี้เป็นคำจำกัดความของรากของระดับที่
ฉันขอเตือนคุณว่า รากของเลขยกกำลัง th () คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังแล้วจะเท่ากับ
นั่นคือรากของกำลัง th คือการดำเนินการผกผันของการยกกำลัง:
ปรากฎว่า แน่นอนว่ากรณีพิเศษนี้สามารถขยายความได้: .
ตอนนี้เราเพิ่มตัวเศษ: มันคืออะไร? คำตอบนั้นหาได้ง่ายโดยใช้กฎกำลังต่อกำลัง:
แต่ฐานสามารถเป็นตัวเลขใดๆ ได้หรือไม่? ท้ายที่สุดแล้ว ไม่สามารถแยกรูทออกจากตัวเลขทั้งหมดได้
ไม่มี!
ขอให้เราจำกฎนี้ไว้: จำนวนใดๆ ที่ถูกยกกำลังเป็นคู่จะเป็นจำนวนบวก นั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากออกจากจำนวนลบ!
ซึ่งหมายความว่าตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถยกกำลังเศษส่วนโดยมีตัวส่วนเป็นคู่ได้ กล่าวคือ นิพจน์นี้ไม่สมเหตุสมผล
แล้วการแสดงออกล่ะ?
แต่ที่นี่มีปัญหาเกิดขึ้น
ตัวเลขสามารถแสดงในรูปของเศษส่วนอื่นๆ ที่ลดได้ เช่น หรือ
และปรากฎว่ามันมีอยู่ แต่ไม่มีอยู่จริง แต่นี่เป็นเพียงสองบันทึกที่แตกต่างกันที่มีจำนวนเท่ากัน
หรืออีกตัวอย่างหนึ่ง: ครั้งหนึ่ง คุณก็สามารถจดมันลงไปได้ แต่ถ้าเราเขียนตัวบ่งชี้ต่างออกไป เราก็จะประสบปัญหาอีกครั้ง: (นั่นคือ เราได้ผลลัพธ์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง!)
เพื่อหลีกเลี่ยงความขัดแย้งดังกล่าว เราจึงพิจารณา เลขชี้กำลังฐานบวกเท่านั้นที่มีเลขชี้กำลังเศษส่วน.
ดังนั้นหาก:
- - จำนวนธรรมชาติ
- - จำนวนเต็ม;
ตัวอย่าง:
เลขชี้กำลังแบบตรรกยะมีประโยชน์มากในการแปลงนิพจน์ด้วยราก ตัวอย่างเช่น
5 ตัวอย่างที่ต้องฝึกฝน
วิเคราะห์ 5 ตัวอย่างเพื่อการฝึกอบรม
ตอนนี้มาถึงส่วนที่ยากที่สุดแล้ว ตอนนี้เราจะคิดออก องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว.
กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะทุกประการ ยกเว้น
ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)
เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น
ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง
...ตัวเลขยกกำลังศูนย์- นี่คือจำนวนที่คูณด้วยตัวมันเองครั้งหนึ่งนั่นคือยังไม่ได้เริ่มคูณซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ - ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียง "ตัวเลขว่าง" บางตัวเท่านั้น คือตัวเลข
...ระดับจำนวนเต็มลบ- ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร
อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ
แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน
เรามั่นใจว่าคุณจะไปที่ไหน! (ถ้าคุณเรียนรู้ที่จะแก้ตัวอย่างดังกล่าว :))
ตัวอย่างเช่น:
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
การวิเคราะห์วิธีแก้ปัญหา:
1. เริ่มจากกฎปกติในการเพิ่มพลังเป็นพลัง:
ตอนนี้ดูที่ตัวบ่งชี้ เขาไม่เตือนคุณถึงอะไรเลยเหรอ? ให้เรานึกถึงสูตรการคูณผลต่างกำลังสองแบบย่อ:
ในกรณีนี้,
ปรากฎว่า:
คำตอบ: .
2. เราลดเศษส่วนในเลขชี้กำลังให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง:
คำตอบ: 16
3. ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:
ระดับสูง
การกำหนดระดับ
ปริญญาคือการแสดงออกของรูปแบบ: โดยที่:
- — พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญา;
- - เลขชี้กำลัง
องศาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาติ (n = 1, 2, 3,...)
การเพิ่มจำนวนให้เป็นพลังธรรมชาติ n หมายถึงการคูณจำนวนด้วยตัวมันเองด้วย:
องศาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม (0, ±1, ±2,...)
หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มบวกตัวเลข:
การก่อสร้าง ถึงระดับศูนย์:
สำนวนนี้ไม่มีกำหนด เพราะในด้านหนึ่ง ระดับใดๆ ก็เป็นเช่นนี้ และอีกด้านหนึ่ง จำนวนใดๆ ที่อยู่ในระดับ th ก็เป็นเช่นนี้
หากเป็นเลขชี้กำลัง จำนวนเต็มลบตัวเลข:
(เพราะคุณไม่สามารถหารด้วย)
อีกครั้งเกี่ยวกับศูนย์: นิพจน์ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้น.
ตัวอย่าง:
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
- - จำนวนธรรมชาติ
- - จำนวนเต็ม;
ตัวอย่าง:
คุณสมบัติขององศา
เพื่อให้ง่ายต่อการแก้ปัญหา เรามาลองทำความเข้าใจกันดีกว่าว่าคุณสมบัติเหล่านี้มาจากไหน? มาพิสูจน์กันเถอะ
มาดูกันว่าคืออะไรและ?
A-ไพรเออรี่:
ทางด้านขวาของนิพจน์นี้ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:
แต่ตามคำจำกัดความแล้ว มันคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง นั่นคือ:
Q.E.D.
ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย : .
ตัวอย่าง : ลดความซับซ้อนของนิพจน์
สารละลาย : สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่าในกฎของเรา อย่างจำเป็นจะต้องมีเหตุผลเดียวกัน ดังนั้นเราจึงรวมพลังเข้ากับฐาน แต่ยังคงเป็นปัจจัยที่แยกจากกัน:
หมายเหตุสำคัญอีกประการหนึ่ง: กฎนี้ - เพื่อผลิตผลแห่งอำนาจเท่านั้น!
คุณไม่สามารถเขียนสิ่งนั้นได้ไม่ว่าในกรณีใด
เช่นเดียวกับคุณสมบัติก่อนหน้านี้ ให้เรามาดูคำจำกัดความของระดับ:
มาจัดกลุ่มงานนี้ใหม่ดังนี้:
ปรากฎว่านิพจน์นั้นคูณด้วยตัวมันเองด้วยตัวมันเอง นั่นคือตามคำจำกัดความ นี่คือกำลังที่ th ของตัวเลข:
โดยพื้นฐานแล้ว สิ่งนี้สามารถเรียกได้ว่าเป็น "การเอาตัวบ่งชี้ออกจากวงเล็บ" แต่คุณไม่สามารถทำเช่นนี้ได้ทั้งหมด: !
จำสูตรคูณแบบย่อ: เราต้องการเขียนกี่ครั้ง? แต่นี่ไม่เป็นความจริงเลย
กำลังที่มีฐานเป็นลบ
ถึงจุดนี้เราได้พูดคุยกันเพียงว่าควรเป็นอย่างไร ดัชนีองศา แต่อะไรควรเป็นพื้นฐาน? อยู่ในอำนาจของ เป็นธรรมชาติ ตัวบ่งชี้ พื้นฐานอาจเป็นได้ หมายเลขใดก็ได้ .
อันที่จริง เราสามารถคูณตัวเลขใดๆ เข้าด้วยกันได้ ไม่ว่าจะเป็นค่าบวก ลบ หรือเลขคู่ ลองคิดดูว่าเครื่องหมายใด ("" หรือ "") จะมีระดับของจำนวนบวกและลบ?
เช่น จำนวนเป็นบวกหรือลบ? เอ? -
อย่างแรกทุกอย่างชัดเจน: ไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกจำนวนเท่าใดผลลัพธ์ก็จะเป็นบวก
แต่สิ่งที่เป็นลบนั้นน่าสนใจกว่าเล็กน้อย เราจำกฎง่ายๆ จากชั้นประถมศึกษาปีที่ 6 ได้: “ลบสำหรับลบให้บวก” นั่นก็คือหรือ. แต่ถ้าเราคูณด้วย () เราจะได้ -
และไม่มีที่สิ้นสุด: ด้วยการคูณแต่ละครั้งเครื่องหมายจะเปลี่ยนไป สามารถกำหนดกฎง่าย ๆ ต่อไปนี้ได้:
- สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
- จำนวนลบยกเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
- จำนวนบวกทุกระดับคือจำนวนบวก
- ศูนย์กำลังใดๆ มีค่าเท่ากับศูนย์
พิจารณาด้วยตัวคุณเองว่าสำนวนต่อไปนี้จะมีเครื่องหมายอะไร:
1. | 2. | 3. |
4. | 5. | 6. |
คุณจัดการหรือไม่? นี่คือคำตอบ:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
ในสี่ตัวอย่างแรกฉันหวังว่าทุกอย่างชัดเจน? เราเพียงแค่ดูที่ฐานและเลขชี้กำลังแล้วใช้กฎที่เหมาะสม
ในตัวอย่างที่ 5) ทุกอย่างก็ไม่น่ากลัวเท่าที่ควร: ท้ายที่สุดแล้วไม่สำคัญว่าฐานจะเท่ากับอะไร - ระดับเป็นเลขคู่ซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกเสมอ ยกเว้นเมื่อฐานเป็นศูนย์ ฐานไม่เท่ากันใช่ไหม? ไม่แน่นอน เนื่องจาก (เพราะ)
ตัวอย่างที่ 6) ไม่ใช่เรื่องง่ายอีกต่อไป ที่นี่คุณต้องค้นหาว่าอันไหนน้อยกว่า: หรือ? ถ้าเราจำได้ ก็จะชัดเจนว่า ซึ่งหมายความว่าฐานมีค่าน้อยกว่าศูนย์ นั่นคือเราใช้กฎข้อที่ 2: ผลลัพธ์จะเป็นลบ
และอีกครั้งที่เราใช้คำจำกัดความของระดับ:
ทุกอย่างเป็นไปตามปกติ - เราเขียนคำจำกัดความขององศาแล้วหารซึ่งกันและกันแบ่งเป็นคู่แล้วรับ:
ก่อนที่เราจะดูกฎข้อสุดท้าย เรามาแก้ตัวอย่างกันก่อน
คำนวณนิพจน์:
โซลูชั่น :
ถ้าเราละเลยยกกำลังที่แปด เราเห็นอะไรตรงนี้? เรามาจำโปรแกรมชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 กันเถอะ แล้วคุณจำได้ไหม? นี่คือสูตรการคูณแบบย่อ นั่นคือผลต่างของกำลังสอง!
เราได้รับ:
ลองดูตัวส่วนอย่างละเอียด มันดูเหมือนตัวเศษตัวหนึ่งมาก แต่เกิดอะไรขึ้น? ลำดับของเงื่อนไขไม่ถูกต้อง หากกลับกัน สามารถใช้กฎข้อ 3 ได้ แต่จะทำอย่างไร ปรากฎว่ามันง่ายมาก: ระดับเลขคู่ของตัวส่วนช่วยเราได้
ถ้าคูณมันไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงใช่ไหม? แต่ตอนนี้ปรากฎดังนี้:
เงื่อนไขเปลี่ยนสถานที่อย่างน่าอัศจรรย์ “ปรากฏการณ์” นี้ใช้กับการแสดงออกใดๆ ในระดับที่เท่ากัน: เราสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายในวงเล็บได้อย่างง่ายดาย แต่สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่า: สัญญาณทั้งหมดเปลี่ยนไปพร้อมๆ กัน!คุณไม่สามารถแทนที่ด้วยการเปลี่ยนข้อเสียเดียวที่เราไม่ชอบได้!
กลับไปที่ตัวอย่าง:
และอีกครั้งด้วยสูตร:
ตอนนี้กฎข้อสุดท้าย:
เราจะพิสูจน์ได้อย่างไร? แน่นอน เหมือนเช่นเคย มาขยายแนวคิดเรื่องปริญญาและทำให้ง่ายขึ้น:
ทีนี้มาเปิดวงเล็บกันดีกว่า มีตัวอักษรทั้งหมดกี่ตัว? คูณด้วยคูณ - สิ่งนี้ทำให้คุณนึกถึงอะไร? นี่ไม่ใช่อะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของการดำเนินการ การคูณ: ที่นั่นมีแต่ตัวคูณเท่านั้น ตามคำจำกัดความแล้ว นั่นคือกำลังของตัวเลขที่มีเลขชี้กำลัง:
ตัวอย่าง:
องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
นอกจากข้อมูลเกี่ยวกับองศาสำหรับระดับเฉลี่ยแล้ว เราจะวิเคราะห์ระดับด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว กฎและคุณสมบัติทั้งหมดขององศาในที่นี้เหมือนกันทุกประการกับดีกรีที่มีเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ ยกเว้นว่า ตามคำจำกัดความแล้ว จำนวนอตรรกยะคือตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ โดยที่ และ เป็นจำนวนเต็ม (นั่นคือ จำนวนอตรรกยะคือจำนวนจริงทั้งหมด ยกเว้นจำนวนตรรกยะ)
เมื่อศึกษาระดับปริญญาด้วยเลขชี้กำลังธรรมชาติ จำนวนเต็ม และตรรกยะ ทุกครั้งที่เราสร้าง "ภาพ" "การเปรียบเทียบ" หรือคำอธิบายบางอย่างในรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้น ตัวอย่างเช่น ระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติคือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหลายครั้ง ตัวเลขยกกำลัง 0 ก็คือตัวเลขคูณด้วยตัวมันเองหนึ่งครั้ง นั่นคือ ยังไม่ได้เริ่มคูณ ซึ่งหมายความว่าจำนวนนั้นยังไม่ปรากฏด้วยซ้ำ ดังนั้นผลลัพธ์จึงเป็นเพียงค่าที่แน่นอนเท่านั้น “หมายเลขว่าง” คือตัวเลข ระดับที่มีเลขชี้กำลังลบจำนวนเต็ม - ราวกับว่ามี "กระบวนการย้อนกลับ" เกิดขึ้นนั่นคือจำนวนนั้นไม่ได้คูณด้วยตัวมันเอง แต่ถูกหาร
เป็นเรื่องยากมากที่จะจินตนาการถึงระดับหนึ่งด้วยเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว (เช่นเดียวกับที่เป็นการยากที่จะจินตนาการถึงปริภูมิ 4 มิติ) มันค่อนข้างเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ ที่นักคณิตศาสตร์สร้างขึ้นเพื่อขยายแนวคิดเรื่องระดับให้ครอบคลุมพื้นที่ทั้งหมดของตัวเลข
อย่างไรก็ตามในทางวิทยาศาสตร์มักใช้ระดับที่มีเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั่นคือเลขชี้กำลังไม่ใช่จำนวนจริงด้วยซ้ำ แต่ที่โรงเรียนเราไม่คิดถึงความยากลำบากดังกล่าว คุณจะมีโอกาสเข้าใจแนวคิดใหม่เหล่านี้ที่สถาบัน
แล้วเราจะทำอย่างไรถ้าเราเห็นเลขชี้กำลังที่ไม่ลงตัว? เราพยายามอย่างดีที่สุดเพื่อกำจัดมัน! :)
ตัวอย่างเช่น:
ตัดสินใจด้วยตัวเอง:
1) | 2) | 3) |
คำตอบ:
- มาจำความแตกต่างของสูตรกำลังสองกันดีกว่า คำตอบ: .
- เราลดเศษส่วนให้อยู่ในรูปแบบเดียวกัน: ทั้งทศนิยมหรือทั้งสองสามัญ เราได้รับตัวอย่าง: .
- ไม่มีอะไรพิเศษ เราใช้คุณสมบัติปกติขององศา:
สรุปส่วนและสูตรพื้นฐาน
ระดับเรียกว่าการแสดงออกของแบบฟอร์ม: โดยที่:
ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม
ระดับที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนธรรมชาติ (เช่น จำนวนเต็มและบวก)
กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ
องศา ซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบและเศษส่วน
องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว
ระดับที่เลขชี้กำลังเป็นเศษส่วนหรือรากทศนิยมอนันต์
คุณสมบัติขององศา
คุณสมบัติขององศา
- จำนวนลบยกเป็น สม่ำเสมอองศา - หมายเลข เชิงบวก.
- จำนวนลบยกเป็น แปลกองศา - หมายเลข เชิงลบ.
- จำนวนบวกทุกระดับคือจำนวนบวก
- ศูนย์เท่ากับกำลังใดๆ
- จำนวนใดๆ ที่กำลังเป็นศูนย์จะเท่ากัน
ตอนนี้คุณมีคำว่า...
คุณชอบบทความนี้อย่างไร? เขียนความคิดเห็นด้านล่างไม่ว่าคุณจะชอบหรือไม่
บอกเราเกี่ยวกับประสบการณ์ของคุณในการใช้คุณสมบัติระดับ
บางทีคุณอาจมีคำถาม หรือข้อเสนอแนะ
เขียนในความคิดเห็น
และขอให้โชคดีในการสอบ!
- ภาษาอังกฤษตั้งแต่เริ่มต้น - หากคุณยังไม่ได้เรียนหลักสูตรภาษาอังกฤษสำหรับผู้เริ่มต้นมาก่อน
- เกี่ยวกับผู้นำสภาที่ได้รับการเลือกตั้ง
- ขั้นตอนและกำหนดเวลาการชำระภาษีมูลค่าเพิ่ม ชำระภาษีมูลค่าเพิ่ม ไตรมาสที่ 4
- อาหารเชเชน อาหารเชเชน ขนมปังเชเชนกับฟักทอง
- พิซซ่าด่วนในกระทะพร้อมไส้กรอกและชีส
- ส่วนผสมเค้กแบล็คเบอร์รี่ที่จำเป็นในการเตรียมแป้ง:
- สัญลักษณ์โหราศาสตร์ในดวงชะตา
- Ahnenerbe: สถาบันลับแห่งวิทยาศาสตร์ไสยศาสตร์ ทหารชั้นยอด และซอมบี้แห่งจักรวรรดิไรช์ที่ 3
- โรค Pica และวิธีที่จะไม่สับสนกับอาการของโรค Pica ของโรคอัลไซเมอร์
- ผู้หญิงที่อ่อนโยนของ Taras ชีวิตส่วนตัวของ Taras Shevchenko
- ปรัชญาสามารถเปลี่ยนอิทธิพลของสมัยโบราณต่อปรัชญายุคกลางได้หรือไม่
- การตีความรั้วในฝันป้องกันความเสี่ยงในหนังสือความฝันของมิลเลอร์
- เรื่องราวสุดอลังการจากเทพนิยาย “สิบสองเดือน”
- การเรียนรู้ที่จะพูดหมายเหตุสำหรับชั้นเรียนส่วนหน้าในกลุ่มบำบัดคำพูด
- การบินเหนือหมู่เกาะฟอล์กแลนด์ ลักษณะการปฏิบัติงานของเรือบรรทุกเครื่องบิน Hermes
- ลาซานญ่ากับเนื้อสับและซอสเบชาเมลที่บ้าน
- ผู้พยากรณ์ดาเนียลมีอยู่จริงไหม?
- วิธีเตรียมซุปดองกับข้าวบาร์เลย์สำหรับฤดูหนาว: คำแนะนำและคำแนะนำทีละขั้นตอน สูตรที่ดีที่สุดสำหรับซุปดองกับข้าวบาร์เลย์สำหรับฤดูหนาว
- การแปรสัณฐานของแผ่นเปลือกโลกไม่ใช่สิ่งที่จำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของสิ่งมีชีวิต อธิบายแหล่งที่อยู่อาศัยของสิ่งมีชีวิตเซลล์เดียว
- ทำไมต้องเห็นกระเป๋าเงินในฝัน?