ผลรวมของซีรีส์

เว็บไซต์ช่วยให้คุณค้นหา ผลรวมซีรีส์ออนไลน์ลำดับหมายเลข นอกจากการค้นหาผลรวมของชุดของลำดับหมายเลขออนไลน์แล้ว เซิร์ฟเวอร์ยังอยู่ในนั้นด้วย ออนไลน์จะหา ผลรวมบางส่วนของซีรีส์- สิ่งนี้มีประโยชน์สำหรับการคำนวณเชิงวิเคราะห์เมื่อใด ผลรวมซีรีส์ออนไลน์จะต้องแสดงและพบว่าเป็นคำตอบจนถึงขีดจำกัดของลำดับ ผลรวมบางส่วนของอนุกรม- เมื่อเทียบกับเว็บไซต์อื่นๆ เว็บไซต์มีข้อได้เปรียบที่ไม่อาจปฏิเสธได้เนื่องจากช่วยให้คุณค้นหาได้ ผลรวมซีรีส์ออนไลน์ไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึง ช่วงการทำงานซึ่งจะช่วยให้เรากำหนดพื้นที่การบรรจบกันของต้นฉบับได้ แถวโดยใช้วิธีการที่เป็นที่รู้จักมากที่สุด ตามทฤษฎี แถวเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าของลำดับตัวเลขคือขีดจำกัดของคำศัพท์ทั่วไปเท่ากับศูนย์ ชุดตัวเลขเนื่องจากตัวแปรมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด อย่างไรก็ตามเงื่อนไขนี้ไม่เพียงพอที่จะระบุการบรรจบกันของชุดตัวเลขออนไลน์.. เพื่อกำหนด การบรรจบกันของซีรีส์ออนไลน์พบสัญญาณของการบรรจบกันหรือความแตกต่างที่เพียงพอหลายประการ แถว- สิ่งที่มีชื่อเสียงและใช้บ่อยที่สุดคือสัญลักษณ์ของ D'Alembert, Cauchy, Raabe, การเปรียบเทียบ ชุดตัวเลขเช่นเดียวกับสัญลักษณ์สำคัญของการบรรจบกัน ชุดตัวเลข- สถานที่พิเศษในหมู่ ชุดตัวเลขครอบครองสิ่งที่สัญญาณของเงื่อนไขสลับกันอย่างเคร่งครัดและค่าสัมบูรณ์ ชุดตัวเลขลดลงอย่างน่าเบื่อ ปรากฎว่าเป็นเช่นนั้น ชุดตัวเลขสัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของซีรีส์ออนไลน์นั้นเพียงพอในเวลาเดียวกันนั่นคือความเท่าเทียมกันของขีด จำกัด ของคำศัพท์ทั่วไปเป็นศูนย์ ชุดตัวเลขเนื่องจากตัวแปรมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด มีเว็บไซต์ต่าง ๆ มากมายที่ให้บริการ เซิร์ฟเวอร์การคำนวณ ผลรวมซีรีส์ออนไลน์ตลอดจนการขยายฟังก์ชันใน แถวออนไลน์ ณ จุดใดจุดหนึ่งจากขอบเขตคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้ ถ้าเราขยายฟังก์ชันเข้าไป ซีรีส์ออนไลน์ไม่ยากเป็นพิเศษบนเซิร์ฟเวอร์เหล่านี้ จากนั้นจึงคำนวณ ผลรวมของซีรีย์ฟังก์ชันออนไลน์สมาชิกแต่ละคนซึ่งตรงกันข้ามกับตัวเลข แถวไม่ใช่ตัวเลข แต่เป็นฟังก์ชัน ดูเหมือนแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยเนื่องจากขาดทรัพยากรทางเทคนิคที่จำเป็น สำหรับ www.เว็บไซต์ไม่มีปัญหาดังกล่าว

คำตอบ: ซีรีส์แตกต่าง

ตัวอย่างหมายเลข 3

หาผลรวมของอนุกรม $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$

เนื่องจากขีดจำกัดล่างของผลรวมคือ 1 คำทั่วไปของอนุกรมจึงเขียนไว้ใต้เครื่องหมายผลรวม: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ มาสร้างผลรวมส่วนที่ n ของอนุกรมกันดีกว่า เช่น ลองรวมพจน์ $n$ แรกของชุดตัวเลขที่กำหนด:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)) -

เหตุใดฉันจึงเขียน $\frac(2)(3\cdot 5)$ ไม่ใช่ $\frac(2)(15)$ อย่างชัดเจนจากการบรรยายครั้งต่อไป อย่างไรก็ตาม การเขียนจำนวนบางส่วนไม่ได้ทำให้เราเข้าใกล้เป้าหมายของเราเลยแม้แต่น้อย เราจำเป็นต้องค้นหา $\lim_(n\to\infty)S_n$ แต่ถ้าเราเขียน:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

ดังนั้นบันทึกนี้ซึ่งมีรูปแบบที่ถูกต้องโดยสมบูรณ์จะไม่ให้สาระสำคัญแก่เราเลย หากต้องการค้นหาขีดจำกัด คุณต้องทำให้นิพจน์สำหรับผลรวมบางส่วนถูกทำให้ง่ายขึ้นก่อน

มีการเปลี่ยนแปลงมาตรฐานสำหรับสิ่งนี้ ซึ่งประกอบด้วยการแยกเศษส่วน $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ซึ่งแทนพจน์ทั่วไปของอนุกรมให้เป็นเศษส่วนเบื้องต้น หัวข้อแยกต่างหากมีไว้สำหรับประเด็นการแยกย่อยเศษส่วนเชิงตรรกยะเป็นเศษส่วนเบื้องต้น (ดูตัวอย่างตัวอย่างที่ 3 ในหน้านี้) เมื่อขยายเศษส่วน $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ ไปเป็นเศษส่วนเบื้องต้น เราจะได้:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n +3)+B\cดอท(2n+1))((2n+1)(2n+3)) -

เราถือเอาตัวเศษของเศษส่วนทางด้านซ้ายและด้านขวาของผลลัพธ์ที่เท่ากัน:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1) -

มีสองวิธีในการค้นหาค่าของ $A$ และ $B$ คุณสามารถเปิดวงเล็บและจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ หรือคุณสามารถแทนที่ค่าที่เหมาะสมบางค่าแทน $n$ เพื่อความหลากหลาย ในตัวอย่างนี้เราจะไปวิธีแรก และวิธีถัดไปเราจะแทนที่ค่าส่วนตัว $n$ เมื่อเปิดวงเล็บและจัดเรียงเงื่อนไขใหม่ เราจะได้:

$$ 2=2อัน+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B -

ทางด้านซ้ายของค่าเท่ากัน $n$ นำหน้าด้วยศูนย์ หากคุณต้องการความชัดเจน ทางด้านซ้ายของความเสมอภาคสามารถแสดงเป็น $0\cdot n+ 2$ เนื่องจากทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน $n$ นำหน้าด้วยศูนย์ และทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน $n$ นำหน้าด้วย $2A+2B$ เราจึงมีสมการแรก: $2A+2B=0$ ลองหารทั้งสองข้างของสมการนี้ด้วย 2 ทันที หลังจากนั้นเราจะได้ $A+B=0$

เนื่องจากทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน เทอมอิสระจะเท่ากับ 2 และทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน เทอมอิสระจะเท่ากับ $3A+B$ จากนั้น $3A+B=2$ ดังนั้นเราจึงมีระบบ:

$$ \left\(\begin(ชิด) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(ชิด)\right. $$

เราจะดำเนินการพิสูจน์โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์ ในขั้นตอนแรก คุณต้องตรวจสอบว่าความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์แล้วเป็นจริงหรือไม่ $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ สำหรับ $n=1$ เรารู้ว่า $S_1=u_1=\frac(2)(15)$ แต่นิพจน์ $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ จะให้ค่า $\frac( 2 )(15)$ ถ้าเราแทนที่ $n=1$ ลงไป? มาตรวจสอบกัน:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15) -

ดังนั้น สำหรับ $n=1$ ความเท่าเทียมกัน $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ จึงเป็นที่น่าพอใจ นี่เป็นการเสร็จสิ้นขั้นตอนแรกของวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

ให้เราสมมติว่าสำหรับ $n=k$ ความเท่าเทียมกันจะเป็นที่พอใจ กล่าวคือ $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. ให้เราพิสูจน์ว่า $n=k+1$ จะได้ความเท่าเทียมกันเท่ากัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้พิจารณา $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1) -

เนื่องจาก $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$ จากนั้น $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$ ตามสมมติฐานที่ตั้งไว้ข้างต้น $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$ ดังนั้นสูตร $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ จะอยู่ในรูปแบบ:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3) -

สรุป: สูตร $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ นั้นถูกต้องสำหรับ $n=k+1$ ดังนั้น ตามวิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ สูตร $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ เป็นจริงสำหรับ $n\in N$ ใดๆ ความเท่าเทียมกันได้รับการพิสูจน์แล้ว

ในหลักสูตรมาตรฐานของคณิตศาสตร์ชั้นสูง พวกเขามักจะพอใจกับการขีดฆ่าเงื่อนไขที่ยกเลิก โดยไม่ต้องมีการพิสูจน์ใดๆ ดังนั้นเราจึงได้นิพจน์สำหรับผลรวมย่อยส่วนที่ n: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ มาหาค่าของ $\lim_(n\to\infty)S_n$:

สรุป: อนุกรมที่กำหนดมาบรรจบกันและผลรวมของมันคือ $S=\frac(1)(3)$

วิธีที่สองเพื่อลดความซับซ้อนของสูตรสำหรับผลรวมบางส่วน

จริงๆ แล้วฉันชอบวิธีนี้มากกว่า :) มาเขียนจำนวนบางส่วนในรูปแบบย่อ:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) -

ก่อนหน้านี้เราได้รับว่า $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$ ดังนั้น:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right) -

ผลรวม $S_n$ มีจำนวนคำศัพท์จำกัด ดังนั้นเราจึงสามารถจัดเรียงใหม่ได้ตามต้องการ ฉันต้องการเพิ่มเงื่อนไขทั้งหมดของแบบฟอร์ม $\frac(1)(2k+1)$ ก่อน จากนั้นจึงไปยังเงื่อนไขของแบบฟอร์ม $\frac(1)(2k+3)$ ซึ่งหมายความว่าเราจะนำเสนอจำนวนเงินบางส่วนดังนี้:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right) -

แน่นอนว่าสัญกรณ์แบบขยายนั้นไม่สะดวกอย่างยิ่ง ดังนั้นจึงสามารถเขียนความเท่าเทียมกันข้างต้นให้กระชับยิ่งขึ้นได้:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) -

ทีนี้ มาแปลงนิพจน์ $\frac(1)(2k+1)$ และ $\frac(1)(2k+3)$ ให้เป็นรูปแบบเดียวกัน ฉันคิดว่ามันสะดวกที่จะลดให้เป็นเศษส่วนที่มากขึ้น (แม้ว่าจะเป็นไปได้ที่จะใช้อันที่เล็กกว่า แต่ก็เป็นเรื่องของรสนิยม) เนื่องจาก $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (ยิ่งตัวส่วนมาก เศษส่วนก็จะยิ่งน้อยลง) เราจะให้เศษส่วน $\frac(1)(2k+ 3) $ ให้อยู่ในรูปแบบ $\frac(1)(2k+1)$

ผมจะนำเสนอนิพจน์ในตัวส่วนของเศษส่วน $\frac(1)(2k+3)$ ดังนี้:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1) -

และผลรวม $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ สามารถเขียนได้ดังนี้:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\ผลรวม\ลิมิต_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) -

ถ้าความเท่าเทียมกัน $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ ไม่ได้ตั้งคำถามใด ๆ จากนั้นมาเริ่มกันเลย หากคุณมีคำถามใดๆ โปรดขยายหมายเหตุ

เราได้รับจำนวนเงินที่แปลงแล้วอย่างไร? แสดงซ่อน

เรามีอนุกรม $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. เรามาแนะนำตัวแปรใหม่แทน $k+1$ เช่น $t$ ดังนั้น $t=k+1$

ตัวแปรเก่า $k$ เปลี่ยนไปอย่างไร? และมันเปลี่ยนจาก 1 เป็น $n$ มาดูกันว่าตัวแปรใหม่ $t$ จะเปลี่ยนแปลงไปอย่างไร ถ้า $k=1$ แล้ว $t=1+1=2$ ถ้า $k=n$ แล้ว $t=n+1$ ดังนั้น นิพจน์ $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ จะกลายเป็น: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). -

เราได้ผลรวม $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ คำถาม: ไม่สำคัญว่าจะใช้ตัวอักษรตัวไหนในจำนวนนี้? :) เพียงแค่เขียนตัวอักษร $k$ แทน $t$ เราก็จะได้สิ่งต่อไปนี้:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1) -

นี่คือวิธีที่เราได้รับความเท่าเทียมกัน $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$

ดังนั้นผลรวมบางส่วนสามารถแสดงได้ดังนี้:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1 ). -

โปรดทราบว่าผลรวม $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ และ $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ ต่างกันแค่ขีดจำกัดการรวมเท่านั้น มาทำให้ขีดจำกัดเหล่านี้เหมือนกัน “การเอาออกไป” องค์ประกอบแรกจากผลรวม $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ เราจะได้:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) -

“การแยก” องค์ประกอบสุดท้ายจากผลรวม $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ เราจะได้:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

จากนั้นนิพจน์สำหรับผลรวมบางส่วนจะอยู่ในรูปแบบ:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3) -

หากคุณข้ามคำอธิบายทั้งหมด กระบวนการค้นหาสูตรที่สั้นลงสำหรับผลรวมบางส่วนที่ n จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3) -

ฉันขอเตือนคุณว่าเราลดเศษส่วน $\frac(1)(2k+3)$ ให้อยู่ในรูป $\frac(1)(2k+1)$ แน่นอน คุณสามารถทำสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ เช่น แทนเศษส่วน $\frac(1)(2k+1)$ เป็น $\frac(1)(2k+3)$ นิพจน์สุดท้ายของผลรวมบางส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลง ในกรณีนี้ ผมจะซ่อนกระบวนการค้นหาจำนวนเงินบางส่วนไว้ใต้หมายเหตุ

จะค้นหา $S_n$ ได้อย่างไรหากแปลงเป็นเศษส่วนอื่น แสดงซ่อน

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). -

ดังนั้น $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ค้นหาขีดจำกัด $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3) -

อนุกรมที่กำหนดมาบรรจบกันและผลรวมของอนุกรม $S=\frac(1)(3)$

คำตอบ: $S=\frac(1)(3)$.

ความต่อเนื่องของหัวข้อการค้นหาผลรวมของอนุกรมจะมีการหารือในส่วนที่สองและสาม

หน่วยงานรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา

สถาบันการศึกษาของรัฐ

การศึกษาวิชาชีพชั้นสูง

"MATI" - มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีแห่งรัฐรัสเซียตั้งชื่อตาม เค.อี. ซิโอลคอฟสกี้

ภาควิชา “การสร้างแบบจำลองระบบและเทคโนโลยีสารสนเทศ”

ชุดตัวเลข

แนวทางการฝึกปฏิบัติ

ในสาขาวิชา “คณิตศาสตร์ชั้นสูง”

รวบรวมโดย: Egorova Yu.B.

มาโมโนฟ ไอ.เอ็ม.

คอร์เนียนโก แอล.ไอ.

บทนำของมอสโก ค.ศ. 2005

แนวปฏิบัตินี้มีไว้สำหรับนักศึกษาเต็มเวลาและภาคค่ำของคณะหมายเลข 14 พิเศษ 071000, 130200, 220200

1. แนวคิดพื้นฐาน

อนุญาต ยู 1 , ยู 2 , ยู 3 , …, ยู n, … เป็นลำดับจำนวนอนันต์ การแสดงออก
เรียกว่า อนุกรมจำนวนอนันต์, ตัวเลข ยู 1 , ยู 2 , ยู 3 , …, ยู n- สมาชิกของซีรีส์;
เรียกว่าเป็นคำทั่วไปของอนุกรม ซีรีส์นี้มักเขียนในรูปแบบย่อ (ยุบ):

ผลรวมของครั้งแรก nสมาชิกของชุดตัวเลขจะแสดงด้วย และโทร n ผลรวมบางส่วนของอนุกรม:

ซีรีส์นี้มีชื่อว่า มาบรรจบกันถ้ามัน n-i จำนวนบางส่วน โดยเพิ่มขึ้นไม่จำกัด nมีแนวโน้มที่จะถึงขีด จำกัด สุดท้ายนั่นคือ ถ้า
ตัวเลข เรียกว่า ผลรวมของซีรีส์.

ถ้า n- ผลรวมบางส่วนของซีรีส์ที่
ไม่ได้มีขอบเขตจำกัดจึงเรียกว่าอนุกรม แตกต่าง.

ตัวอย่างที่ 1หาผลรวมของอนุกรม
.

สารละลาย.เรามี
- เพราะ:

,

เพราะฉะนั้น,

เพราะ
จากนั้นอนุกรมมาบรรจบกันและผลรวมเท่ากับ
.

2. ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับอนุกรมจำนวน

ทฤษฎีบท 1หากซีรีส์มาบรรจบกัน
จากนั้นซีรีส์ก็มาบรรจบกัน ได้รับจากชุดที่กำหนดโดยทิ้งชุดแรก
สมาชิก (แถวสุดท้ายนี้เรียกว่า
-ส่วนที่เหลือของซีรีส์ต้นฉบับ) และในทางกลับกันจากการบรรจบกัน
ส่วนที่เหลือลำดับที่ 3 ของซีรีส์นี้แสดงถึงการมาบรรจบกันของซีรีส์นี้

ทฤษฎีบท 2หากซีรีส์มาบรรจบกัน
และผลรวมของมันคือตัวเลข แล้วซีรีส์ก็มาบรรจบกัน
และผลรวมของแถวสุดท้ายเท่ากับ
.

ทฤษฎีบท 3หากซีรีส์มาบรรจบกัน

เมื่อมีผลบวกของอนุกรม S และ Q ตามลำดับ แล้วอนุกรมมาบรรจบกัน และผลรวมของอนุกรมสุดท้ายจะเท่ากับ
.

ทฤษฎีบท 4 (สัญญาณที่จำเป็นของการบรรจบกันของอนุกรม)- ถ้าเป็นแถว
มาบรรจบกันแล้ว
, เช่น. ที่
ขีดจำกัดของเทอมทั่วไปของอนุกรมลู่เข้าคือศูนย์

ข้อพิสูจน์ 1.ถ้า
แล้วซีรีส์ก็แยกออกไป

ข้อพิสูจน์ 2.ถ้า
ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะระบุการลู่เข้าหรือลู่ออกของอนุกรมโดยใช้เกณฑ์การลู่เข้าที่จำเป็น อนุกรมสามารถเป็นแบบลู่เข้าหรือลู่ออกก็ได้

ตัวอย่างที่ 2ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์:

สารละลาย.การค้นหาคำศัพท์ทั่วไปของซีรีส์
- เพราะ:

เหล่านั้น.
จากนั้นอนุกรมจะแยกออก (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการลู่เข้าไม่เป็นที่พอใจ)

3. สัญญาณของการบรรจบกันของอนุกรมที่มีเงื่อนไขเชิงบวก

3.1. สัญญาณของการเปรียบเทียบ

เกณฑ์การเปรียบเทียบจะขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบการบรรจบกันของอนุกรมที่กำหนดกับอนุกรมที่ทราบการลู่เข้าหรือความแตกต่าง ซีรีส์ที่แสดงด้านล่างนี้ใช้สำหรับการเปรียบเทียบ

แถว
ประกอบด้วยเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงใดๆ ที่มาบรรจบกันและมีผลรวม

แถว
ประกอบด้วยเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เพิ่มขึ้น มีความแตกต่าง

แถว
มีความแตกต่าง

แถว
เรียกว่าซีรีส์ดีริชเลต์ สำหรับ >1 อนุกรมดิริชเลต์มาบรรจบกัน สำหรับ <1- расходится.

เมื่อ =1 แถว
เรียกว่าฮาร์มอนิก อนุกรมฮาร์มอนิกจะแตกต่างออกไป

ทฤษฎีบท. สัญญาณแรกของการเปรียบเทียบให้อนุกรมสองชุดที่มีเงื่อนไขเชิงบวกได้รับ:

(2)

นอกจากนี้ สมาชิกแต่ละคนของซีรีส์ (1) ต้องไม่เกินสมาชิกที่สอดคล้องกันของซีรีส์ (2) เช่น
(n= 1, 2, 3, …) ถ้าอนุกรม (2) มาบรรจบกัน อนุกรม (1) ก็มาบรรจบกันด้วย ถ้าอนุกรม (1) แตกต่างออกไป อนุกรม (2) ก็จะต่างกันไปด้วย

ความคิดเห็นเกณฑ์นี้ยังคงใช้ได้หากเกิดความไม่เท่าเทียมกัน
ไม่ได้ผลสำหรับทุกคน แต่เริ่มจากจำนวนหนึ่งเท่านั้น n= เอ็น, เช่น. สำหรับทุกอย่าง n เอ็น.

ตัวอย่างที่ 3ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย.สมาชิกของซีรีส์ที่กำหนดมีจำนวนน้อยกว่าสมาชิกของซีรีส์ที่เกี่ยวข้อง
ประกอบด้วยเงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เนื่องจากซีรีส์นี้มาบรรจบกัน ซีรีส์ที่กำหนดก็มาบรรจบกันด้วย

ทฤษฎีบท. เครื่องหมายที่สองของการเปรียบเทียบ (รูปแบบที่จำกัดของเครื่องหมายของการเปรียบเทียบ)หากมีขอบเขตจำกัดและไม่เป็นศูนย์
จากนั้นทั้งสองแถว และ มาบรรจบกันหรือแยกออกในเวลาเดียวกัน

ตัวอย่างที่ 4ตรวจสอบการบรรจบกันของซีรีส์

สารละลาย.ลองเปรียบเทียบซีรีย์กับซีรีย์ฮาร์มอนิกกัน
ให้เราค้นหาขีดจำกัดของอัตราส่วนของคำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้:

เนื่องจากอนุกรมฮาร์มอนิกแตกต่าง อนุกรมที่กำหนดจึงแตกต่างด้วย

ฯลฯ – ความรู้น้อยที่สุดเกี่ยวกับ ชุดตัวเลข- จำเป็นต้องเข้าใจว่าซีรีส์คืออะไร สามารถอธิบายได้อย่างละเอียด และไม่ลืมตาหลังจากวลี "ซีรีส์มาบรรจบกัน" "ซีรีส์แตกต่าง" "ผลรวมของซีรีส์" ดังนั้น หากอารมณ์ของคุณอยู่ที่ศูนย์โดยสิ้นเชิง โปรดใช้เวลา 5-10 นาทีกับบทความนี้ แถวสำหรับหุ่น(ตามตัวอักษร 2-3 หน้าแรก) จากนั้นกลับมาที่นี่และเริ่มแก้ตัวอย่างได้เลย!

ควรสังเกตว่าในกรณีส่วนใหญ่การหาผลรวมของอนุกรมนั้นไม่ใช่เรื่องง่าย และปัญหานี้มักจะแก้ไขได้ ซีรี่ส์การทำงาน (เราจะอยู่ เราจะมีชีวิตอยู่ :))- ยกตัวอย่างจำนวนศิลปินดัง ส่งออกผ่าน อนุกรมฟูริเยร์- ในทางปฏิบัติจำเป็นต้องติดตั้งเกือบทุกครั้ง ความจริงของการบรรจบกันแต่หาเลขเฉพาะไม่เจอ (ผมว่าหลายๆ คนคงสังเกตเห็นแล้ว) อย่างไรก็ตาม ในบรรดาชุดตัวเลขที่หลากหลาย มีตัวแทนเพียงไม่กี่คนที่อนุญาตให้แม้แต่กาน้ำชาที่เต็มสามารถสัมผัสความศักดิ์สิทธิ์แห่งความศักดิ์สิทธิ์ได้โดยไม่มีปัญหาใดๆ และในบทเรียนเบื้องต้น ฉันยกตัวอย่างความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด จำนวนที่คำนวณได้ง่าย ๆ โดยใช้สูตรโรงเรียนชื่อดัง

ในบทความนี้ เราจะพิจารณาตัวอย่างที่คล้ายกันต่อไป นอกจากนี้ เราจะเรียนรู้คำจำกัดความที่เข้มงวดของผลรวม และเราจะทำความคุ้นเคยกับคุณสมบัติบางอย่างของอนุกรมไปพร้อมๆ กัน มาอุ่นเครื่องกัน... และมาอุ่นเครื่องกับความก้าวหน้ากันดีกว่า:

ตัวอย่างที่ 1

หาผลรวมของอนุกรม

สารละลาย: ลองจินตนาการว่าซีรีส์ของเราเป็นผลรวมของสองซีรีส์:

ทำไม ในเรื่องนี้เป็นไปได้ไหมที่จะทำเช่นนี้? การดำเนินการที่ดำเนินการจะขึ้นอยู่กับข้อความง่ายๆ สองข้อความ:

1) ถ้าซีรีส์มาบรรจบกัน จากนั้นอนุกรมที่ประกอบด้วยผลรวมหรือผลต่างของคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องก็จะมาบรรจบกัน: ในกรณีนี้ ข้อเท็จจริงที่สำคัญก็คือว่าเรากำลังพูดถึง มาบรรจบกันแถว ในตัวอย่างของเราเรา เรารู้ล่วงหน้าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตทั้งสองจะมาบรรจบกัน ซึ่งหมายความว่าเราจะแยกชุดข้อมูลดั้งเดิมออกเป็นสองแถวอย่างไม่ต้องสงสัย

2) คุณสมบัติที่สองนั้นชัดเจนยิ่งขึ้น ค่าคงที่สามารถย้ายออกนอกซีรีส์ได้: และสิ่งนี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อการลู่เข้าหรือความแตกต่างและผลรวมสุดท้าย ทำไมต้องดึงค่าคงที่ออกมา? ใช่เพียงเพื่อที่เธอ "จะไม่ขวางทาง" แต่บางครั้งก็เป็นประโยชน์ที่จะไม่ทำเช่นนี้

ตัวอย่างที่ชัดเจนมีลักษณะดังนี้:

เราใช้สูตรสองครั้งเพื่อหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด โดยที่ คือเทอมแรกของความก้าวหน้า และเป็นฐานของความก้าวหน้า

คำตอบ: ผลรวมของซีรีย์

จุดเริ่มต้นของโซลูชันสามารถออกแบบได้ในรูปแบบที่แตกต่างกันเล็กน้อย - เขียนชุดข้อมูลโดยตรงและจัดเรียงสมาชิกใหม่:

ต่อไปตามเส้นทางที่ถูกตี

ตัวอย่างที่ 2

หาผลรวมของอนุกรม

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ที่นี่ไม่มีความยินดีเป็นพิเศษ แต่วันหนึ่งฉันเจอซีรีส์ที่ไม่ธรรมดาซึ่งสามารถทำให้คนที่ไม่มีประสบการณ์ประหลาดใจได้ นี่... ยังเป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด! แน่นอนและจำนวนเงินจะถูกคำนวณในเวลาเพียงไม่กี่นาที: .

และตอนนี้การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่มีชีวิตชีวาซึ่งจำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาเพิ่มเติม:

ผลรวมของซีรีย์คืออะไร?

คำจำกัดความที่เข้มงวดของการลู่เข้า/การลู่เข้าและผลรวมของอนุกรมทางทฤษฎีให้ไว้ผ่านสิ่งที่เรียกว่า จำนวนบางส่วนแถว. บางส่วน หมายถึง ไม่สมบูรณ์ ลองเขียนผลรวมบางส่วนของชุดตัวเลขกัน :

และผลรวมบางส่วนของสมาชิก "en" ของซีรีส์มีบทบาทพิเศษ:

ถ้าขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนของชุดตัวเลขเท่ากับ สุดท้าย number: จากนั้นจึงเรียกซีรี่ส์ดังกล่าว มาบรรจบกันและจำนวนนั้นก็คือ ผลรวมของซีรีส์- ถ้าขีดจำกัดไม่มีที่สิ้นสุดหรือไม่มีอยู่ อนุกรมนั้นจะถูกเรียก แตกต่าง.

กลับไปที่แถวสาธิตกัน และเขียนผลรวมบางส่วน:

ขีดจำกัดของผลรวมบางส่วนคือความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ซึ่งผลรวมจะเท่ากับ: เราดูขีดจำกัดที่คล้ายกันในบทเรียน เกี่ยวกับลำดับตัวเลข- จริงๆ แล้ว สูตรนี้เป็นผลโดยตรงจากการคำนวณทางทฤษฎีข้างต้น (ดู Matan เล่มที่ 2)

จึงถูกวาดขึ้น อัลกอริธึมทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาของเรา: จำเป็นต้องเขียนผลรวมส่วนที่ n ของอนุกรมแล้วค้นหาขีดจำกัด เรามาดูวิธีการปฏิบัตินี้กัน:

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณผลรวมของอนุกรม

สารละลาย: ในขั้นตอนแรกคุณต้องย่อยสลาย คำทั่วไปของซีรีส์ถึงผลรวมของเศษส่วน เราใช้ วิธีสัมประสิทธิ์ไม่แน่นอน:

ผลที่ตามมา:

ในครั้งเดียวการทำสิ่งที่ตรงกันข้ามจะเป็นประโยชน์ ดังนั้นควรตรวจสอบ:

คำศัพท์ทั่วไปของอนุกรมนี้ได้มาในรูปแบบดั้งเดิม ดังนั้น การสลายตัวเป็นผลรวมของเศษส่วนจึงดำเนินการได้สำเร็จ

ทีนี้มาสร้างผลรวมบางส่วนของอนุกรมกัน โดยทั่วไปจะทำด้วยวาจา แต่เมื่อฉันจะอธิบายรายละเอียดให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ว่ามาจากอะไร:

จะเขียนยังไงให้ชัดเจน แต่คำก่อนหน้าเท่ากับอะไร? ในแง่ทั่วไปของซีรีส์ แทนเราแทนที่ "en":

เงื่อนไขเกือบทั้งหมดของผลรวมบางส่วนสามารถยกเลิกซึ่งกันและกันได้สำเร็จ:


เราทำบันทึกด้วยดินสอในสมุดบันทึก โคตรสะดวกเลย

ยังคงต้องคำนวณขีด จำกัด เบื้องต้นและค้นหาผลรวมของอนุกรม:

คำตอบ:

ซีรี่ส์ที่คล้ายกันสำหรับโซลูชันอิสระ:

ตัวอย่างที่ 4

คำนวณผลรวมของอนุกรม

ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาขั้นสุดท้ายโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

แน่นอนว่า การค้นหาผลรวมของอนุกรมหนึ่งๆ ถือเป็นข้อพิสูจน์ถึงการบรรจบกันของมันในตัวมันเอง (นอกเหนือจาก สัญญาณเปรียบเทียบ, ดาล็องแบร์, คอชี่ฯลฯ) ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งมีนัยถึงถ้อยคำของงานต่อไปนี้:

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาผลรวมของอนุกรมหรือสร้างความแตกต่าง

เมื่อการปรากฏตัวของสมาชิกทั่วไปคุณสามารถบอกได้ทันทีว่าสหายคนนี้มีพฤติกรรมอย่างไร ไม่มีคอมเพล็กซ์ โดยใช้ เกณฑ์จำกัดสำหรับการเปรียบเทียบเป็นเรื่องง่ายที่จะทราบ (แม้จะพูดด้วยวาจา) ว่าซีรีส์นี้จะมาบรรจบกับซีรีส์นี้ แต่เรามีกรณีที่เกิดขึ้นไม่บ่อยนักเมื่อมีการคำนวณจำนวนเงินโดยไม่ต้องยุ่งยากมากนัก

สารละลาย: ลองขยายตัวส่วนของเศษส่วนให้เป็นผลคูณกัน. ในการทำเช่นนี้คุณต้องตัดสินใจ สมการกำลังสอง:

ดังนั้น:

ควรจัดเรียงปัจจัยตามลำดับจากน้อยไปหามาก: .

เรามาทำการตรวจสอบระดับกลางกัน:

ตกลง

ดังนั้น ศัพท์ทั่วไปของซีรีย์นี้คือ:

ดังนั้น:

อย่าขี้เกียจ:

ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องตรวจสอบ

มาเขียนผลรวมบางส่วน "en" ของสมาชิกของซีรีส์โดยให้ความสนใจกับความจริงที่ว่า "ตัวนับ" ของซีรีส์ "เริ่มทำงาน" จากตัวเลข . ดังตัวอย่างก่อนหน้านี้ การยืดงูเห่าให้ยาวพอสมควรจะปลอดภัยกว่า:

อย่างไรก็ตาม ถ้าเราเขียนเป็นหนึ่งหรือสองบรรทัด ก็จะยังค่อนข้างยากที่จะเข้าใจคำศัพท์ต่างๆ (ในแต่ละเทอมมี 3 คำ) และที่นี่... เรขาคณิตจะมาช่วยเรา มาทำให้งูเต้นตามทำนองของเรา:

ใช่ เหมือนที่เราเขียนเทอมหนึ่งไว้ใต้อีกเทอมหนึ่งลงในสมุดบันทึก แล้วขีดฆ่าแบบนั้น. โดยวิธีการประดิษฐ์ของฉันเอง อย่างที่คุณเข้าใจไม่ใช่งานที่ง่ายที่สุดในชีวิตนี้ =)

จากการปอกเราได้รับ:

และสุดท้ายผลรวมของซีรีส์นี้:

คำตอบ:

ตัวอย่างที่ 8

คำนวณผลรวมของอนุกรม

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง

แน่นอนว่าปัญหาที่อยู่ระหว่างการพิจารณาไม่ได้ทำให้เราพอใจกับความหลากหลายของมัน - ในทางปฏิบัติแล้ว เราต้องเผชิญกับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด หรืออนุกรมที่มีคำร่วมที่เป็นตรรกศาสตร์เศษส่วนและพหุนามที่ย่อยสลายได้ในตัวส่วน (อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกปัญหาดังกล่าว พหุนามทำให้สามารถหาผลรวมของอนุกรมได้) แต่อย่างไรก็ตาม บางครั้งก็มีตัวอย่างที่ผิดปกติเกิดขึ้น และตามประเพณีที่ดีที่กำหนดไว้ ฉันจบบทเรียนด้วยปัญหาที่น่าสนใจ

ชุดตัวเลขคือลำดับที่พิจารณาร่วมกับลำดับอื่น (เรียกอีกอย่างว่าลำดับของผลรวมบางส่วน) แนวคิดที่คล้ายกันนี้ใช้ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และเชิงซ้อน

ผลรวมของชุดตัวเลขสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายใน Excel โดยใช้ฟังก์ชัน SERIES.SUM มาดูตัวอย่างวิธีการทำงานของฟังก์ชันนี้ จากนั้นสร้างกราฟของฟังก์ชันต่างๆ มาเรียนรู้วิธีใช้ชุดตัวเลขในทางปฏิบัติเมื่อคำนวณการเติบโตของเงินทุน แต่ก่อนอื่นมีทฤษฎีเล็กน้อย

ผลรวมชุดตัวเลข

อนุกรมตัวเลขถือได้ว่าเป็นระบบของการประมาณตัวเลข หากต้องการระบุให้ใช้สูตร:

ต่อไปนี้เป็นลำดับเริ่มต้นของตัวเลขในชุดข้อมูลและกฎการบวก:

• ∑ - เครื่องหมายทางคณิตศาสตร์ของผลรวม
• ผม - อาร์กิวเมนต์ทั่วไป;
• i เป็นตัวแปร ซึ่งเป็นกฎสำหรับการเปลี่ยนแปลงอาร์กิวเมนต์ที่ตามมา
• ∞ คือเครื่องหมายอนันต์ ซึ่งเป็น "ขีดจำกัด" ที่ใช้บวก

สัญกรณ์หมายถึง: รวมจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง "บวกอนันต์" เนื่องจาก i = 1 การคำนวณผลรวมจึงเริ่มต้นจากหนึ่ง หากมีตัวเลขอื่นอยู่ตรงนี้ (เช่น 2, 3) เราก็จะเริ่มบวกจากตัวเลขนั้น (จาก 2, 3)

ตามตัวแปร i อนุกรมสามารถเขียนขยายได้:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (จนถึง "บวกอนันต์")

คำจำกัดความของผลรวมของอนุกรมจำนวนให้ไว้ผ่าน "ผลรวมบางส่วน" ในทางคณิตศาสตร์จะแทนด้วย Sn ลองเขียนชุดตัวเลขของเราในรูปแบบของผลรวมบางส่วน:

ส 2 = ก 1 + ก 2

ส 3 = ก 1 + ก 2 + ก 3

S 4 = ก 1 + ก 2 + ก 3 + ก 4

ผลรวมของชุดตัวเลขคือขีดจำกัดของผลรวมบางส่วน S n หากขีดจำกัดมีจำกัด เราจะพูดถึงซีรีส์ "มาบรรจบกัน" ไม่มีที่สิ้นสุด - เกี่ยวกับ "ความแตกต่าง"

ก่อนอื่น มาหาผลรวมของอนุกรมตัวเลขกันก่อน:

ตอนนี้เรามาสร้างตารางค่าของสมาชิกซีรีส์ใน Excel:

เราใช้อาร์กิวเมนต์แรกทั่วไปจากสูตร: i=3

เราพบค่าต่อไปนี้ทั้งหมดของ i โดยใช้สูตร: =B4+$B$1 วางเคอร์เซอร์ที่มุมขวาล่างของเซลล์ B5 แล้วคูณสูตร

มาหาค่าต่างๆ กัน ทำให้เซลล์ C4 ทำงานแล้วป้อนสูตร: =SUM(2*B4+1) คัดลอกเซลล์ C4 ไปยังช่วงที่ระบุ

ค่าของผลรวมของอาร์กิวเมนต์จะได้รับโดยใช้ฟังก์ชัน: =SUM(C4:C11) ปุ่มลัดผสม ALT+“+” (บวกบนแป้นพิมพ์)

ฟังก์ชัน ROW.SUM ใน Excel

หากต้องการค้นหาผลรวมของชุดตัวเลขใน Excel ให้ใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ SERIES.SUM โปรแกรมใช้สูตรต่อไปนี้:

อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน:

• x – ค่าตัวแปร;
• n – องศาสำหรับอาร์กิวเมนต์แรก
• m คือขั้นตอนที่ระดับจะเพิ่มขึ้นในแต่ละเทอมต่อมา
• a คือสัมประสิทธิ์สำหรับกำลังที่สอดคล้องกันของ x

เงื่อนไขสำคัญสำหรับฟังก์ชันการทำงาน:

• จำเป็นต้องมีข้อโต้แย้งทั้งหมด (นั่นคือต้องกรอกทั้งหมด)
• อาร์กิวเมนต์ทั้งหมดเป็นค่าตัวเลข
• เวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์มีความยาวคงที่ (ขีดจำกัดของ "อนันต์" จะไม่ทำงาน)
• จำนวน “สัมประสิทธิ์” = จำนวนข้อโต้แย้ง

การคำนวณผลรวมของชุดข้อมูลใน Excel

ฟังก์ชัน SERIES.SUM เดียวกันนี้ใช้ได้กับอนุกรมกำลัง (หนึ่งในตัวแปรของอนุกรมฟังก์ชัน) อาร์กิวเมนต์ของมันคือฟังก์ชันต่างจากตัวเลข

ซีรีส์เชิงฟังก์ชันมักใช้ในด้านการเงินและเศรษฐกิจ คุณสามารถพูดได้ว่านี่คือพื้นที่การใช้งานของพวกเขา

ตัวอย่างเช่น พวกเขาฝากเงินจำนวนหนึ่ง (a) ในธนาคารในช่วงระยะเวลาหนึ่ง (n) เรามีการชำระเงิน x เปอร์เซ็นต์ต่อปี ในการคำนวณจำนวนเงินคงค้างเมื่อสิ้นสุดงวดแรก จะใช้สูตร:

ส 1 = ก (1 + x)

เมื่อสิ้นสุดช่วงที่สองและช่วงถัดๆ ไป รูปแบบของสำนวนจะเป็นดังนี้

ส 2 = ก (1 + x) 2 ; S 3 = ก (1 + x) 2 เป็นต้น

วิธีค้นหาผลรวม:

S n = ก (1 + x) + ก (1 + x) 2 + ก (1 + x) 3 + … + ก (1 + x) n

ผลรวมบางส่วนใน Excel สามารถพบได้โดยใช้ฟังก์ชัน BS()

พารามิเตอร์เริ่มต้นสำหรับงานการฝึกอบรม:

เมื่อใช้ฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน เราจะค้นหาจำนวนสะสมเมื่อสิ้นสุดภาคเรียน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในเซลล์ D2 เราใช้สูตร: =B2*DEGREE(1+B3;4)

ตอนนี้ในเซลล์ D3 เราจะแก้ไขปัญหาเดียวกันโดยใช้ฟังก์ชัน Excel ในตัว: =BS(B3;B1;;-B2)

ผลลัพธ์ก็เหมือนเดิมอย่างที่ควรจะเป็น

วิธีกรอกอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน BS():

1. “อัตรา” คืออัตราดอกเบี้ยที่ใช้ฝากเงิน เนื่องจากรูปแบบเปอร์เซ็นต์ถูกตั้งค่าไว้ในเซลล์ B3 เราจึงระบุลิงก์ไปยังเซลล์นี้ในช่องอาร์กิวเมนต์ หากระบุตัวเลขก็จะเขียนเป็นจำนวนหนึ่งในร้อย (20/100)
2. “Nper” คือจำนวนงวดการจ่ายดอกเบี้ย ในตัวอย่างของเรา – 4 ปี
3. "Plt" - การชำระเงินเป็นงวด ในกรณีของเราไม่มีเลย ดังนั้นเราจึงไม่กรอกข้อมูลในช่องอาร์กิวเมนต์
4. “Ps” - “มูลค่าปัจจุบัน” จำนวนเงินฝาก เนื่องจากเราแยกทางกับเงินนี้มาระยะหนึ่งแล้ว เราจึงระบุพารามิเตอร์ด้วยเครื่องหมาย "-"

ดังนั้น ฟังก์ชัน BS จึงช่วยให้เราหาผลรวมของอนุกรมฟังก์ชันได้

Excel มีฟังก์ชันอื่นๆ ในตัวสำหรับค้นหาพารามิเตอร์ต่างๆ โดยทั่วไปจะเป็นฟังก์ชันสำหรับการทำงานกับโครงการลงทุน การชำระค่าหลักทรัพย์ และการชำระค่าเสื่อมราคา

ฟังก์ชันการพล็อตผลรวมของชุดตัวเลข

มาสร้างกราฟฟังก์ชันที่สะท้อนการเติบโตของเงินทุนกันดีกว่า เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราจำเป็นต้องสร้างกราฟของฟังก์ชันที่เป็นผลรวมของอนุกรมที่สร้างขึ้น ตามตัวอย่าง ลองใช้ข้อมูลเดียวกันกับเงินฝาก:

บรรทัดแรกแสดงจำนวนเงินสะสมหลังจากหนึ่งปี ในครั้งที่สอง - ในสอง และอื่นๆ

มาสร้างอีกคอลัมน์หนึ่งที่เราจะสะท้อนผลกำไร:

อย่างที่เราคิด - ในแถบสูตร

จากข้อมูลที่ได้รับ เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน

ลองเลือก 2 ช่วง: A5:A9 และ C5:C9 ไปที่แท็บ "แทรก" - เครื่องมือ "ไดอะแกรม" เลือกแผนภูมิแรก:

มาทำให้ปัญหา "ถูกนำไปใช้" มากยิ่งขึ้น ในตัวอย่างนี้เราใช้ดอกเบี้ยทบต้น จะมีการสะสมตามจำนวนเงินที่เกิดขึ้นในช่วงก่อนหน้า

ลองสนใจอย่างง่าย ๆ เพื่อเปรียบเทียบกัน สูตรดอกเบี้ยอย่างง่ายใน Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

มาเพิ่มค่าที่ได้รับลงในแผนภูมิ "การเติบโตของเงินทุน"

เห็นได้ชัดว่านักลงทุนจะได้ข้อสรุปอะไร

สูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับผลรวมบางส่วนของอนุกรมฟังก์ชัน (ที่มีดอกเบี้ยอย่างง่าย): S n = a (1 + x*n) โดยที่ a คือจำนวนเงินฝากเริ่มต้น x คือดอกเบี้ย n คือระยะเวลา