Poznámka 1

Boolovská funkcia môže byť napísaná pomocou boolovského výrazu a potom môže byť presunutá do logického obvodu. Je potrebné zjednodušiť logické výrazy, aby sme získali čo najjednoduchší (a teda lacnejší) logický obvod. V skutočnosti logická funkcia, logický výraz a logický obvod sú tri rôzne jazyky, ktoré hovoria o jednej entite.

Na zjednodušenie logických výrazov použite zákony logiky algebry.

Niektoré transformácie sú podobné transformáciám vzorcov v klasickej algebre (vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek, použitie komutatívnych a kombinačných zákonov atď.), zatiaľ čo iné transformácie sú založené na vlastnostiach, ktoré operácie klasickej algebry nemajú (použitím distributívneho zákon konjunkcie, zákony absorpcie, lepenia, de Morganove pravidlá atď.).

Zákony logickej algebry sú formulované pre základné logické operácie – „NIE“ – inverzia (negácia), „AND“ – konjunkcia (logické násobenie) a „ALEBO“ – disjunkcia (logické sčítanie).

Zákon dvojitej negácie znamená, že operácia „NIE“ je reverzibilná: ak ju použijete dvakrát, logická hodnota sa nakoniec nezmení.

Zákon vylúčeného stredu uvádza, že každý logický výraz je buď pravdivý, alebo nepravdivý („neexistuje žiadna tretia“). Ak teda $A=1$, potom $\bar(A)=0$ (a naopak), čo znamená, že konjunkcia týchto veličín je vždy rovná nule a disjunkcia je vždy rovná jednej.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Zjednodušme tento vzorec:

Obrázok 3.

Z toho vyplýva, že $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

odpoveď:Študenti $B$, $C$ a $D$ hrajú šach, ale študent $A$ nehrá.

Pri zjednodušovaní logických výrazov môžete vykonať nasledujúcu postupnosť akcií:

1. Nahraďte všetky „nezákladné“ operácie (ekvivalencia, implikácia, výhradné OR atď.) ich vyjadreniami prostredníctvom základných operácií inverzie, konjunkcie a disjunkcie.
2. Rozšírte inverzie komplexných výrazov podľa De Morganových pravidiel tak, aby negačné operácie zostali len pre jednotlivé premenné.
3. Potom zjednodušte výraz pomocou otváracích zátvoriek, umiestnením spoločných faktorov mimo zátvorky a iných zákonov logickej algebry.

Príklad 2

Tu sa postupne používa De Morganovo pravidlo, distributívny zákon, zákon vylúčeného stredu, komutatívny zákon, zákon opakovania, opäť komutatívny zákon a zákon absorpcie.

Každý termín a pridajte výsledné produkty. Toto pravidlo vyjadruje distributívnu vlastnosť násobenia vzhľadom na sčítanie. Pomocou písmen sa píše takto:

(a + b) c = ac + bc

Výrazy (9 - 5) 3 a 9 3 - 5 3 majú rovnaký význam, pretože (9 - 5) 3 = 4 3 = 12 a 9 3 - 5 3 = 27 - 15 = 12.

Aby ste rozdiel vynásobili číslom, môžete týmto číslom vynásobiť minuend a subtrahend a odpočítať druhý od prvého súčinu.

Toto pravidlo sa nazýva distributívna vlastnosť násobenie ohľadom odčítania.
Pomocou písmen sa píše takto:

(a - b)c = ac - be.

Distributívna vlastnosť násobenia nám umožňuje zjednodušiť výrazy v tvare 3 + la alebo 26x - 12x.

Máme: Pre + 7a = (3 + 7)a = 10a.

Zvyčajne okamžite napíšu:

Pre + 7a = 10a (tri a a sedem a sa rovná desiatim a).

26x - 12x = (26- 12)x= 14x.

Zvyčajne okamžite napíšu:

26x - 12x = 14x (26 x mínus 12 x sa rovná 14 x).

a) 23a + 37a; c) 48x + x; e) 27r - 17r; g) 32 1 - 1;
b) 4 roky + 26 rokov; d) vo veku 4-56 rokov; e) 84b - 80b; h) 1000 tis.

564. Cena 1 kg múky nech je a r., a cena 1 kg cukru b r. Čo znamená výraz:

a) 9a + 9b; b) 9(a + b); c) 10b - 10a?

565. Vzdialenosť medzi obcami je 18 km. V protismere z nich vyšli dvaja cyklisti. Jeden prejde t km za hodinu a druhý p km. Aká bude vzdialenosť medzi nimi po 4 hodinách?

566. Nájdite význam výrazu:

a) 38a + 62a pri a = 238; 489;

b) 375b - 175b pri b = 48; 517.

567. Nájdite význam výrazu:

a) 32x + 32y, ak x = 4, y = 26;
b) 11 m - 11 n, ak m = 308, n = 208.

568. Vyriešte rovnicu:

a) 4x + 4x = 424; c) 9z-z = 500; e) 4l + 5l + l = 1200
b) 15y - 8y = 714; d) 10k - k = 702; e) 6t + 3t + t = 6400

569. Zistite, akú hodnotu má písmeno:

a) výraz 7x je väčší ako 4x x 51;
b) výraz 6p je menší ako 23p? pri 102;
c) súčet 8a a 3a je 4466;
d) rozdiel medzi 25c a 5c je 6060.

570. Napíšte vetu ako rovnosť a zistite, pre aké písmenové hodnoty platí táto rovnosť:

a) súčet Zx a bx sa rovná 96;
b) rozdiel medzi 11r a 2r je 99;
c) Zz je väčšie ako z o 48;

d) 27 m je o 12 menej ako 201;
e) 8n je o polovicu menej ako 208;
e) 380 je 19-krát viac ako 10 rubľov.

571. Zostavte rovnicu podľa obrázku 54 a vyriešte ju.

572. Aké sú strany na obrázku 55, ak je jeho obvod 240 cm?

573. Zjednodušte výraz:

a) Pre + 17 + Pre + 14;
b) k + 35 4- 4k + 26.

574. Vyriešte rovnicu:

a) 3x 4- 7x + 18 = 178;
b) 6r - 2r + 25 = 65;
c) 7z + 62 - 13 = 130; "bx cm
d) 21 t - 4 t - 17 = 17.

575. Zjednodušte výraz:

a) 6 3 k; b) 8 p 21; c) r 14 17

576. Vyriešte rovnicu:

a) 425 x = 800;
b) pre 5 20 = 500;

c) 218 ​​p = 168;
d) m333 = 990.

577. Mám na mysli číslo. Ak ho zvýšite o 15 a výsledok vynásobíte 8, dostanete 160. Aké číslo som mal na mysli?

578. Kniha obsahuje príbeh a príbeh, ktoré spolu zaberajú 70 strán. Príbeh zaberá 4x viac strán ako poviedka. Koľko strán má príbeh a koľko strán má príbeh?

Riešenie. Nech príbeh zaberie x strán, potom príbeh zaberie 4x strán. Podľa podmienok úlohy, príbeh a príbeh spolu zaberajú 70 strán. Dostaneme rovnicu: 4x + x = 70. Preto bx = 70, x = 70: 5, x = 14. To znamená, že príbeh má 14 strán a príbeh 56 strán (14 4 = 56).

Kontrola koreňa rovnice: 14 + 56 = 70.

579. Pri zbere zemiakov sme denne nazbierali 1650 kg. Po obede sme nazbierali 2x menej ako pred obedom. Koľko zemiakov ste zozbierali po obede?

580. Do školy bolo zakúpených 220 stolov a stoličiek a stoličiek bolo 9-krát viac ako stolov. Koľko stolov a koľko stoličiek ste si kúpili?

581. Plocha kuchyne je 3-krát menšia ako plocha miestnosti, takže na opravu podlahy v kuchyni bolo potrebných 24 m2 linolea menej ako na izbu. Čo je to kuchynský priestor?

582. Bod M rozdeľuje segment AB na dva segmenty: AM a MB. Úsečka AM je 5-krát dlhší ako segment MB a segment MB je o 24 mm kratší ako segment AM. Nájdite dĺžku segmentu AM, dĺžku segmentu MB a dĺžku segmentu AB.

583. Na prípravu nápoja vezmite 2 diely čerešňového sirupu a 5 dielov vody. Koľko sirupu musíte prijať, aby ste získali 700 g nápoja?

Riešenie. Hmotnosť jednej časti nápoja je x g Potom hmotnosť sirupu je 2x g a hmotnosť nápoja je (2x + bx) g podľa podmienok úlohy je 700 g Získame rovnicu: 2x + bx = 700.

Preto 7x = 700, x = 700: 7 a x = 100, to znamená, že hmotnosť jednej časti je 100 g, preto musíte vziať 200 g sirupu (100 2 = 200) a 500 g vody (100). 5 = 500).

Kontrola: 200 + 500 = 700.

584. Pri mletí raže dostanete 6 dielov múky a 2 diely otrúb. Koľko múky získate, ak zomeliete 1 tonu raže?

585. Na prípravu kompozície na leštenie medených výrobkov vezmite 10 dielov vody, 5 dielov amoniaku a 2 diely kriedy (podľa hmotnosti). Koľko gramov každej látky treba odobrať na prípravu 340 g kompozície?

586. Na prípravu fľašového skla vezmite 25 dielov piesku, 9 dielov sódy a 5 dielov vápna (podľa hmotnosti). Koľko sódy bude potrebné na výrobu 390 kg skla?

587. Zmrzlina obsahuje 7 dielov vody, 2 diely mliečneho tuku a 2 diely cukru (hmotnostné). Koľko cukru je potrebných na výrobu 4400 kg zmrzliny?

588. Na jednej strane ulice je dvakrát toľko domov ako na druhej. Keď sa na ulici postavilo ďalších 12 domov, celkovo bolo 99 domov. Koľko domov bolo na každej strane ulice?

589. Pomocou číselnej rovnosti 3-12 + 4- 12+ 15- 12 = 264 vytvorte rovnicu, ktorá má odmocninu 12 a obsahuje trikrát písmeno x. Vytvorte problém pomocou tejto rovnice.

590. Vypočítajte slovne:

591. Nájdite význam výrazu najpohodlnejším spôsobom:

a) 125 23 8; b) 11 16 125; c) 19 + 78 + 845 + 81 + 155.

592. Nájdite koreň rovnice:

a) 45 = 45 + y c) y - 45 = 45;
b) 45 - y = 45; d) 0 = 45 - x.

593. Uhádnite korene rovnice:

a) x-197 = 2945 - 197;
b) y: 89 = 1068:89;
c) 365a = 53 365.

594. Vymyslite problém pomocou rovnice:

a) pre + 2a = 75;
b) s + s + s = 46 + s;
c) m + 5 m = 90.

595. Aké čísla môžu po sčítaní vyústiť do 0? Zamyslite sa nad prípadmi, v ktorých dostanete číslo 0 pri odčítaní, pri násobení, pri delení.

596. Súčet piatich prirodzené čísla sa rovná súčinu týchto čísel. Aké sú tieto čísla?

597. Saša rád rieši ťažké problémy. Povedal, že za 4 dni dokázal vyriešiť 23 problémov. Každý ďalší deň vyriešil viac problémov ako predchádzajúci deň a štvrtý deň ich vyriešil štyrikrát toľko ako prvý. Koľko problémov vyriešil Sasha v každom z týchto štyroch dní?

598. Kód na otvorenie trezoru pozostáva zo štyroch číslic. Koľko rôznych možností kódu existuje pre tento trezor?

599. Vykonajte rozdelenie so zvyškom:

978: 13; 780: 24; 4295: 126.

600. Nájdite dividendu, ak neúplný podiel je 25, deliteľ je 8, zvyšok je 5.

601. Vyriešte rovnicu:

a) x: 16 = 324 + 284;
b) 1344: y = 543 - 487;
c) z49 = 927 + 935;
d) (3724 + p): 54 = 69;
e) 992: (130-k) = 8;
e) (148-m) 31 = 1581.

602. Pomocou obrázku 56 vytvorte rovnicu a nájdite hmotnosť každého bochníka. (Hmotnosť závaží je uvedená v kilogramoch.)

603. Pomocou obrázku 57 nájdite dĺžku segmentu BC, ak AD = 40 cm.

604. Obvod trojuholníka ABC je 64 cm, strana AB je o 7 cm menšia ako strana AC, ale väčšia ako strana BC o 12 cm Nájdite dĺžku každej strany trojuholníka ABC.

605. Streleckých pretekov sa zúčastnilo 12 ľudí. Koľko kaziet dostal každý účastník, ak bolo potrebných 8 škatúľ po 30 kaziet?

606. Traja zberači nazbierali 240 kg liečivých bylín. Prvý nazbieral 87 kg a prvý a druhý spolu - 174 kg. Koľko kilogramov liečivých bylín nazbieral druhý zberač a koľko tretí?

607. Vyriešte problém:

1) Cyklista jazdil 2 hodiny určitou rýchlosťou. Keď prejde ďalšie 4 km, jeho vzdialenosť bude 30 km. Ako rýchlo išiel cyklista?

2) Motocyklista jazdil 3 hodiny určitou rýchlosťou. Ak prejde ďalších 12 km, jeho vzdialenosť bude 132 km. Akou rýchlosťou išiel motorkár?

3) Vo vrecku je 20 kg obilnín. Po naplnení niekoľkých 3 kg vriec obilninami zostalo vo vrecku 5 kg. Koľko vriec bolo naplnených obilninami?

4) V plechovke je 39 litrov mlieka. Po naplnení niekoľkých dvojlitrových plechoviek mliekom zostalo v plechovke 7 litrov. Koľko pohárov ste naplnili?

608. Nájdite význam výrazu:

1) 47 040: 14:7: 32; 3) 46 9520: 68: 7;
2) 101 376: 48: 24: 8; 4) 319 488: 96: 64 23.

609. Použite distributívnu vlastnosť násobenia:

a) 11 (60 + a); c) (x - 9) 24;
b) 21 (38 - b); d) (y + 4) 38.

610. Nájdite hodnotu výrazu použitím distribučnej vlastnosti násobenia:

a) (250 + 25) 4; c) 8 11 + 8 29;
b) 6 (150 + 16); d) 36 184 + 36 816.

611. Nájdite význam výrazu:

a) (30 - 2) 5; c) 85 137 - 75 137;
b) 7 (60 - 2); d) 78,214 - 78,204.

612. Zjednodušte výraz:

a) 4a + 90a; b) 86b - 77b; c) 209 m + m; d) 302n - n.

613. Nájdite význam výrazu:

a) 24a + 47a + 53a + 76a, ak a = 47;
b) 128r - 72r - 28r, ak p = 11.

614. Vyriešte rovnicu:

a) 14x + 27x = 656; c) 49z - z = 384;
b) 81u - 38u = 645; d) 102k - 4k = 1960.

615. Pri akej hodnote z sa súčet 5z a 15z rovná 840?

616. Hmotnosť jedného metra koľajnice je 32 kg. Koľko železničných vozňov s nosnosťou 60 ton bude potrebných na prepravu všetkých koľajníc potrebných na vybudovanie jednokoľajnej železnice v dĺžke 180 km?

617. V plechovke je 36 litrov mlieka. Keď sa z neho 4 litre preliali do ďalšej plechovky, mlieko v oboch plechovkách sa vyrovnalo. Koľko litrov mlieka bolo v druhej plechovke?

618. V dvoch vreckách bolo 28 orechov a v ľavom vrecku ich bolo 3-krát viac ako v pravom. Koľko orechov bolo v každom vrecku?

619. Plocha telocvične je 6-krát väčšia ako plocha učebne. Nájdite plochu haly, ak je o 250 m2 väčšia ako plocha učebne.

620. Na sklade je len 88 litrov šťavy; Trojlitrových plechoviek pomarančového džúsu je toľko ako päťlitrových plechoviek jablkového džúsu. Koľko litrov pomarančového džúsu máme na sklade?

621. Na výrobu kazeínového lepidla vezmite 11 dielov vody, 5 dielov amoniaku a 4 diely kazeínu (podľa hmotnosti). Koľko kazeínového lepidla sa vyrobí, ak sa použije o 60 g menej amoniaku ako vody?

622. Na prípravu čerešňového lekváru vezmite 2 diely čerešní a 3 diely cukru (podľa hmotnosti). Koľko čerešní a koľko cukru išlo do lekváru, ak sa použilo o 7 kg 600 g cukru viac ako čerešní?

623. Z dvoch jabloní sa vyzbieralo 67 kg jabĺk a z jednej jablone sa vyzbieralo o 19 kg viac ako z druhej. Koľko kilogramov jabĺk sa nazbieralo z každej jablone?

624. Z 523 kurčiat chovaných v inkubátore bolo o 25 kohútov menej ako sliepok. Koľko sliepok a koľko kohútov sa vyliahlo v inkubátore?

Prvá úroveň

Konverzia výrazov. Podrobná teória (2019)

Konverzia výrazov

Často počujeme túto nepríjemnú frázu: „zjednodušte výraz“. Zvyčajne vidíme nejaké monštrum, ako je toto:

"Je to oveľa jednoduchšie," hovoríme, ale takáto odpoveď zvyčajne nefunguje.

Teraz vás naučím nebáť sa žiadnych takýchto úloh. Navyše, na konci hodiny si tento príklad sám zjednodušíte na (len!) obyčajné číslo (áno, do čerta s týmito písmenami).

Ale predtým, ako začnete túto lekciu, musíte byť schopní zvládnuť zlomky a faktorové polynómy. Preto najprv, ak ste to ešte neurobili, nezabudnite zvládnuť témy „“ a „“.

cital si to? Ak áno, teraz ste pripravení.

Základné zjednodušujúce operácie

Teraz sa pozrime na základné techniky, ktoré sa používajú na zjednodušenie výrazov.

Najjednoduchší je

1. Prinášanie podobného

Čo sú podobné? To ste si zobrali v 7. ročníku, keď sa v matematike prvýkrát objavili písmená namiesto číslic. Podobné sú termíny (monomiály) s rovnakou písmenovou časťou. Napríklad v súčte sú podobné výrazy a.

Pamätáš si?

Priniesť podobné znamená pridať niekoľko podobných výrazov k sebe a získať jeden výraz.

Ako môžeme poskladať písmená? - pýtaš sa.

To je veľmi ľahké pochopiť, ak si predstavíte, že písmená sú nejaké predmety. Napríklad list je stolička. Čomu sa potom výraz rovná? Dve stoličky plus tri stoličky, koľko to bude? Presne tak, stoličky: .

Teraz skúste tento výraz: .

Aby ste sa vyhli zmätku, nechajte rôzne písmená reprezentovať rôzne predmety. Napríklad - je (ako obvykle) stolička a - je stôl. potom:

stoličky stoly stoličky stoly stoličky stoličky stoly

Čísla, ktorými sa písmená v takýchto pojmoch násobia, sa nazývajú koeficienty. Napríklad v monomiáli je koeficient rovnaký. A v tom je rovný.

Takže pravidlo pre prinášanie podobných je:

Príklady:

Dajte podobné:

Odpovede:

2. (a podobne, keďže teda tieto výrazy majú rovnakú časť písmena).

2. Faktorizácia

Toto je zvyčajne najdôležitejšia časť pri zjednodušovaní výrazov. Po zadaní podobných je potrebné výsledný výraz najčastejšie faktorizovať, teda prezentovať ako súčin. Toto je obzvlášť dôležité pri zlomkoch: aby bolo možné zlomok zmenšiť, čitateľ a menovateľ musia byť vyjadrené ako súčin.

Podrobne ste si prešli metódami faktoringu výrazov v téme „“, takže si tu stačí zapamätať, čo ste sa naučili. Ak to chcete urobiť, rozhodnite sa pre niekoľko príklady(treba faktorizovať):

Riešenia:

3. Zníženie zlomku.

Nuž, čo môže byť príjemnejšie, ako prečiarknuť časť čitateľa a menovateľa a vyhodiť ich zo života?

V tom je krása zmenšovania.

Je to jednoduché:

Ak čitateľ a menovateľ obsahujú rovnaké faktory, môžu sa znížiť, to znamená odstrániť zo zlomku.

Toto pravidlo vyplýva zo základnej vlastnosti zlomku:

To znamená, že podstatou operácie redukcie je to Čitateľ a menovateľ zlomku delíme rovnakým číslom (alebo rovnakým výrazom).

Na zníženie zlomku potrebujete:

1) čitateľ a menovateľ faktorizovať

2) ak čitateľ a menovateľ obsahuje spoločné faktory, možno ich prečiarknuť.

Myslím, že princíp je jasný?

Upozorňujem na jednu typickú chybu pri skracovaní. Hoci je táto téma jednoduchá, veľa ľudí robí všetko zle, pričom tomu nerozumejú znížiť- to znamená rozdeliťčitateľ a menovateľ sú rovnaké číslo.

Žiadne skratky, ak je čitateľ alebo menovateľ súčet.

Napríklad: musíme zjednodušiť.

Niektorí ľudia to robia: čo je absolútne nesprávne.

Ďalší príklad: znížiť.

„Najmúdrejší“ urobí toto: .

Povedz mi, čo sa tu deje? Zdalo by sa: - toto je multiplikátor, čo znamená, že ho možno znížiť.

Ale nie: - toto je faktor iba jedného člena v čitateli, ale samotný čitateľ ako celok nie je faktorizovaný.

Tu je ďalší príklad: .

Tento výraz je faktorizovaný, čo znamená, že ho môžete zmenšiť, to znamená rozdeliť čitateľa a menovateľa a potom:

Okamžite ho môžete rozdeliť na:

Aby ste sa vyhli takýmto chybám, zapamätajte si jednoduchý spôsob, ako určiť, či je výraz faktorizovaný:

Aritmetická operácia, ktorá sa vykonáva ako posledná pri výpočte hodnoty výrazu, je „hlavná“ operácia. To znamená, že ak namiesto písmen dosadíte nejaké (akékoľvek) čísla a pokúsite sa vypočítať hodnotu výrazu, potom ak je poslednou akciou násobenie, máme súčin (výraz sa rozkladá na faktor). Ak je poslednou akciou sčítanie alebo odčítanie, znamená to, že výraz nie je rozkladaný na faktor (a preto ho nemožno zmenšiť).

Ak chcete konsolidovať, vyriešte niekoľko sami príklady:

Odpovede:

1. Dúfam, že ste sa hneď neponáhľali strihať a? Stále nestačilo „znížiť“ jednotky takto:

Prvým krokom by mala byť faktorizácia:

4. Sčítanie a odčítanie zlomkov. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa.

Sčítanie a odčítanie obyčajných zlomkov je známa operácia: hľadáme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a sčítame/odčítame čitateľa. Pripomeňme si:

Odpovede:

1. Menovatelia a sú relatívne prvočísla, to znamená, že nemajú spoločné faktory. Preto sa LCM týchto čísel rovná ich súčinu. Toto bude spoločný menovateľ:

2. Tu je spoločný menovateľ:

3. Tu najskôr prevedieme zmiešané zlomky na nesprávne a potom podľa obvyklej schémy:

Je to úplne iná vec, ak zlomky obsahujú písmená, napríklad:

Začnime niečím jednoduchým:

a) Menovatele neobsahujú písmená

Tu je všetko rovnaké ako pri bežných číselných zlomkoch: nájdeme spoločného menovateľa, vynásobíme každý zlomok chýbajúcim faktorom a pripočítame/odčítame čitateľa:

Teraz v čitateli môžete uviesť podobné, ak existujú, a rozpočítať ich:

Vyskúšajte sami:

b) Menovateľ obsahuje písmená

Pripomeňme si princíp hľadania spoločného menovateľa bez písmen:

· v prvom rade určíme spoločné faktory;

· potom vypíšeme všetky spoločné faktory jeden po druhom;

· a vynásobte ich všetkými ostatnými nie spoločnými faktormi.

Aby sme určili spoločné faktory menovateľov, najprv ich rozpočítame do hlavných faktorov:

Zdôraznime spoločné faktory:

Teraz napíšme spoločné faktory jeden po druhom a pridajte k nim všetky nebežné (nepodčiarknuté) faktory:

Toto je spoločný menovateľ.

Vráťme sa k písmenám. Menovatelia sa uvádzajú presne rovnakým spôsobom:

· faktor menovateľov;

· určiť spoločné (identické) faktory;

· vypísať všetky spoločné faktory raz;

· vynásobte ich všetkými ostatnými nie spoločnými faktormi.

Takže v poradí:

1) zohľadnite menovateľov:

2) určiť spoločné (identické) faktory:

3) napíšte všetky spoločné faktory raz a vynásobte ich všetkými ostatnými (nepodčiarknutými) faktormi:

Takže je tu spoločný menovateľ. Prvý zlomok sa musí vynásobiť, druhý -:

Mimochodom, existuje jeden trik:

Napríklad: .

V menovateľoch vidíme rovnaké faktory, len všetky s inými ukazovateľmi. Spoločným menovateľom bude:

do istej miery

do istej miery

do istej miery

do istej miery.

Skomplikujme si úlohu:

Ako dosiahnuť, aby zlomky mali rovnakého menovateľa?

Pripomeňme si základnú vlastnosť zlomku:

Nikde sa nepíše, že rovnaké číslo možno odčítať (alebo pripočítať) od čitateľa a menovateľa zlomku. Pretože to nie je pravda!

Presvedčte sa sami: vezmite si napríklad ľubovoľný zlomok a do čitateľa a menovateľa pridajte nejaké číslo, napríklad . Čo si sa naučil?

Takže ďalšie neotrasiteľné pravidlo:

Keď zlomky zredukujete na spoločného menovateľa, použite iba operáciu násobenia!

Čím sa však musíte vynásobiť, aby ste získali?

Takže vynásobte. A vynásobte:

Výrazy, ktoré nemožno faktorizovať, budeme nazývať „elementárne faktory“. Napríklad - toto je základný faktor. - To isté. Ale nie: dá sa to faktorizovať.

A čo výraz? Je to elementárne?

Nie, pretože to môže byť faktorizované:

(o faktorizácii ste už čítali v téme „“).

Takže základné faktory, na ktoré rozložíte výraz s písmenami, sú analógiou jednoduchých faktorov, na ktoré rozložíte čísla. A my sa s nimi vyrovnáme rovnakým spôsobom.

Vidíme, že oba menovatele majú násobiteľa. Pôjde do spoločného menovateľa do určitej miery (pamätáte prečo?).

Faktor je elementárny a nemajú spoločný faktor, čo znamená, že prvý zlomok sa ním bude musieť jednoducho vynásobiť:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Predtým, ako v panike vynásobíte tieto menovateľy, musíte premýšľať o tom, ako ich faktorizovať? Obaja predstavujú:

Skvelé! potom:

Ďalší príklad:

Riešenie:

Ako obvykle, rozložme menovateľov na faktor. V prvom menovateli ho jednoducho vyradíme zo zátvoriek; v druhom - rozdiel štvorcov:

Zdá sa, že neexistujú žiadne spoločné faktory. Ale keď sa pozriete pozorne, sú podobné... A je to pravda:

Tak si napíšme:

To znamená, že to dopadlo takto: vo vnútri zátvorky sme si vymenili pojmy a zároveň sa znamienko pred zlomkom zmenilo na opak. Berte na vedomie, že to budete musieť robiť často.

Teraz to priveďme k spoločnému menovateľovi:

Mám to? Teraz to skontrolujeme.

Úlohy na samostatné riešenie:

Odpovede:

Tu si musíme zapamätať ešte jednu vec – rozdiel kociek:

Upozorňujeme, že menovateľ druhého zlomku neobsahuje vzorec „druhá mocnina súčtu“! Druhá mocnina súčtu by vyzerala takto: .

A je takzvaný neúplný štvorec súčtu: druhý člen v ňom je súčinom prvého a posledného, ​​a nie ich dvojitým súčinom. Čiastočná druhá mocnina súčtu je jedným z faktorov pri rozširovaní rozdielu kociek:

Čo robiť, ak už existujú tri zlomky?

Áno, to isté! Najprv sa uistite, že maximálny počet faktorov v menovateľoch je rovnaký:

Upozornenie: ak zmeníte znamienka v jednej zátvorke, znamienko pred zlomkom sa zmení na opačné. Keď zmeníme znamienka v druhej zátvorke, znamienko pred zlomkom sa opäť zmení na opačné. V dôsledku toho sa (znak pred zlomkom) nezmenil.

Celý prvý menovateľ vypíšeme do spoločného menovateľa a potom k nemu pridáme všetky ešte nezapísané činitele z druhého a potom z tretieho (a tak ďalej, ak je zlomkov viac). To znamená, že to dopadne takto:

Hmm... Je jasné, čo robiť so zlomkami. Ale čo tí dvaja?

Je to jednoduché: viete, ako sčítať zlomky, však? Takže musíme urobiť z dvoch zlomok! Pripomeňme si: zlomok je operácia delenia (čitateľ sa delí menovateľom, ak ste zabudli). A nie je nič jednoduchšie ako vydeliť číslo. V tomto prípade sa samotné číslo nezmení, ale zmení sa na zlomok:

Presne to, čo je potrebné!

5. Násobenie a delenie zlomkov.

No to najťažšie je už za nami. A pred nami je to najjednoduchšie, ale zároveň najdôležitejšie:

Postup

Aký je postup pri výpočte číselného výrazu? Zapamätajte si pri výpočte významu tohto výrazu:

Počítal si?

Malo by to fungovať.

Dovoľte mi teda pripomenúť.

Prvým krokom je výpočet stupňa.

Druhým je násobenie a delenie. Ak existuje niekoľko násobení a delení súčasne, možno ich vykonať v ľubovoľnom poradí.

A nakoniec vykonáme sčítanie a odčítanie. Opäť v akomkoľvek poradí.

Ale: výraz v zátvorke sa vyhodnocuje mimo poradia!

Ak sa vynásobí alebo vydelí niekoľko zátvoriek, najprv vypočítame výraz v každej zo zátvoriek a potom ich vynásobíme alebo rozdelíme.

Čo ak je vo vnútri zátvoriek viac zátvoriek? No, zamyslime sa: nejaký výraz je napísaný v zátvorkách. Čo by ste mali urobiť ako prvé pri výpočte výrazu? Správne, vypočítajte zátvorky. No, prišli sme na to: najprv vypočítame vnútorné zátvorky, potom všetko ostatné.

Postup pre vyššie uvedený výraz je teda nasledujúci (aktuálna akcia je zvýraznená červenou farbou, teda akcia, ktorú práve vykonávam):

Dobre, všetko je jednoduché.

Ale nie je to to isté ako výraz s písmenami?

Nie, je to to isté! Iba namiesto aritmetických operácií musíte robiť algebraické operácie, to znamená akcie opísané v predchádzajúcej časti: prinášajúce podobné, pridávanie zlomkov, zmenšovanie zlomkov atď. Jediným rozdielom bude pôsobenie faktoringových polynómov (toto často používame pri práci so zlomkami). Najčastejšie na faktorizáciu potrebujete použiť I alebo jednoducho dať spoločný faktor zo zátvoriek.

Zvyčajne je naším cieľom reprezentovať výraz ako produkt alebo kvocient.

Napríklad:

Zjednodušme výraz.

1) Najprv zjednodušíme výraz v zátvorkách. Tam máme rozdiel zlomkov a naším cieľom je prezentovať ho ako súčin alebo kvocient. Zlomky teda privedieme k spoločnému menovateľovi a pridáme:

Nie je možné tento výraz ďalej zjednodušiť, všetky faktory sú tu elementárne (pamätáte si ešte, čo to znamená?).

2) Dostávame:

Násobenie zlomkov: čo môže byť jednoduchšie.

3) Teraz môžete skrátiť:

Dobre, teraz je po všetkom. Nič zložité, však?

Ďalší príklad:

Zjednodušte výraz.

Najprv to skúste vyriešiť sami a až potom sa pozrite na riešenie.

Najprv si určme poradie akcií. Najprv sčítajme zlomky v zátvorkách, takže namiesto dvoch zlomkov dostaneme jeden. Potom urobíme delenie zlomkov. No pripočítajme výsledok s posledným zlomkom. Schematicky očíslujem kroky:

Teraz vám ukážem postup a aktuálnu akciu zafarbím červenou farbou:

Na záver vám dám dva užitočné tipy:

1. Ak sú tam podobné, treba ich ihneď priniesť. Kedykoľvek sa u nás podobné objavia, je vhodné ich okamžite vyvolať.

2. To isté platí pre redukciu zlomkov: hneď ako sa objaví príležitosť na redukciu, treba ju využiť. Výnimkou sú zlomky, ktoré sčítate alebo odčítate: ak majú teraz rovnakých menovateľov, zníženie by sa malo ponechať na neskôr.

Tu je niekoľko úloh, ktoré musíte vyriešiť sami:

A čo bolo sľúbené na začiatku:

Riešenia (stručne):

Ak ste zvládli aspoň prvé tri príklady, považujte sa za zvládnutú tému.

Teraz k učeniu!

PREVÁDZANIE VÝRAZOV. SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE

Základné zjednodušujúce operácie:

• Prinášať podobné: na pridanie (redukciu) podobných výrazov je potrebné pridať ich koeficienty a priradiť písmenovú časť.
• Faktorizácia: vyňatie spoločného činiteľa zo zátvoriek, jeho použitie atď.
• Zníženie zlomku: Čitateľ a menovateľ zlomku možno násobiť alebo deliť rovnakým nenulovým číslom, čím sa hodnota zlomku nemení.
  1) čitateľ a menovateľ faktorizovať
  2) ak majú čitateľ a menovateľ spoločné faktory, možno ich prečiarknuť.

  DÔLEŽITÉ: Znížiť možno iba násobiteľov!

• Sčítanie a odčítanie zlomkov:
  ;
• Násobenie a delenie zlomkov:
  ;

Algebraický výraz, v ktorom sa popri operáciách sčítania, odčítania a násobenia používa aj delenie na písmenové výrazy, sa nazýva zlomkový algebraický výraz. Sú to napríklad výrazy

Algebraickým zlomkom nazývame algebraický výraz, ktorý má tvar podielu delenia dvoch celočíselných algebraických výrazov (napríklad monočlenov alebo mnohočlenov). Sú to napríklad výrazy

Tretí z výrazov).

Identické transformácie zlomkových algebraických výrazov sú väčšinou zamerané na ich reprezentáciu vo forme algebraického zlomku. Na nájdenie spoločného menovateľa sa používa faktorizácia menovateľov zlomkov - termínov s cieľom nájsť ich najmenší spoločný násobok. Pri znižovaní algebraických zlomkov môže dôjsť k porušeniu prísnej identity výrazov: je potrebné vylúčiť hodnoty veličín, pri ktorých je faktor, ktorým sa redukcia vykonáva, nulový.

Uveďme príklady identických transformácií zlomkových algebraických výrazov.

Príklad 1: Zjednodušte výraz

Všetky výrazy je možné zredukovať na spoločného menovateľa (vhodné je zmeniť znamienko v menovateli posledného výrazu a znamienko pred ním):

Náš výraz sa rovná jednej pre všetky hodnoty okrem týchto hodnôt, nie je definovaný a zmenšenie zlomku je nezákonné).

Príklad 2. Reprezentujte výraz ako algebraický zlomok

Riešenie. Výraz možno brať ako spoločného menovateľa. Postupne nájdeme:

Cvičenia

1. Nájdite hodnoty algebraických výrazov pre zadané hodnoty parametrov:

2. Faktorizujte.

Medzi rôznymi výrazmi, ktoré sa berú do úvahy v algebre, zaujímajú dôležité miesto súčty monomilov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5r - 2\)

Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Monómy sú tiež klasifikované ako polynómy, pričom monomály považujú za polynóm pozostávajúci z jedného člena.

Napríklad polynóm
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
možno zjednodušiť.

Predstavme si všetky termíny vo forme monomílov štandardného tvaru:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Uveďme podobné výrazy vo výslednom polynóme:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi neexistujú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.

vzadu stupeň polynómuštandardnej formy preberajú najvyššie právomoci svojich členov. Dvojčlenka \(12a^2b - 7b\) má teda tretí stupeň a trojčlenka \(2b^2 -7b + 6\) druhý stupeň.

Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa exponentov. Napríklad:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Súčet viacerých polynómov možno transformovať (zjednodušiť) na polynóm štandardného tvaru.

Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže uzatváranie zátvoriek je inverznou transformáciou otváracích zátvoriek, je ľahké ho formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:

Ak je znamienko „+“ umiestnené pred zátvorkami, výrazy v zátvorkách sú napísané rovnakými znamienkami.

Ak je pred zátvorkami umiestnený znak „-“, potom sú výrazy v zátvorkách napísané opačnými znakmi.

Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu

Pomocou distributívnej vlastnosti násobenia môžete transformovať (zjednodušiť) súčin jednočlenu a mnohočlenu na mnohočlen. Napríklad:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.

Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.

Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.

Toto pravidlo sme už niekoľkokrát použili na násobenie súčtom.

Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov

Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.

Zvyčajne sa používa nasledujúce pravidlo.

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.

Skrátené vzorce násobenia. Súčet druhých mocnín, rozdiely a rozdiel druhých mocnín

S niektorými výrazmi v algebraických transformáciách sa musíte zaoberať častejšie ako s inými. Snáď najbežnejšie výrazy sú \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) a \(a^2 - b^2 \), t.j. druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdiel a rozdiel štvorcov. Všimli ste si, že názvy týchto výrazov sa zdajú byť neúplné, napríklad \((a + b)^2 \) samozrejme nie je len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b . Druhá mocnina súčtu a a b sa však spravidla nevyskytuje, namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.

Výrazy \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) sa dajú jednoducho previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa s touto úlohou už stretli pri násobení polynómov:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Je užitočné zapamätať si výsledné identity a použiť ich bez medzivýpočtov. Pomáhajú tomu stručné slovné formulácie.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - druhá mocnina súčtu sa rovná súčtu druhých mocnín a dvojitého súčinu.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - druhá mocnina rozdielu sa rovná súčtu druhých mocnín bez zdvojnásobeného súčinu.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.

Tieto tri identity umožňujú nahradiť jeho ľavé časti pravostrannými v transformáciách a naopak - pravé časti ľavostrannými. Najťažšie je vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, ako sa v nich nahrádzajú premenné a a b. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.