Objavia sa aj problémy, ktoré budete musieť vyriešiť sami, na ktoré môžete vidieť odpovede.

Ak sú v úlohe dĺžky vektorov a uhol medzi nimi prezentované „na striebornom tanieri“, potom stav problému a jeho riešenie vyzerá takto:

Príklad 1 Sú uvedené vektory. Nájdite skalárny súčin vektorov, ak ich dĺžky a uhol medzi nimi predstavujú nasledujúce hodnoty:

Platná je aj iná definícia, ktorá je úplne ekvivalentná definícii 1.

Definícia 2. Skalárny súčin vektorov je číslo (skalár), ktoré sa rovná súčinu dĺžky jedného z týchto vektorov a priemetu iného vektora na os určenú prvým z týchto vektorov. Vzorec podľa definície 2:

Úlohu vyriešime pomocou tohto vzorca po ďalšom dôležitom teoretickom bode.

Definícia skalárneho súčinu vektorov z hľadiska súradníc

Rovnaké číslo možno získať, ak vektory, ktoré sa násobia, dostanú ich súradnice.

Definícia 3. Bodový súčin vektorov je číslo rovné súčtu párových súčinov ich zodpovedajúcich súradníc.

Na povrchu

Ak sú dva vektory a na rovine definované svojimi dvoma Kartézske pravouhlé súradnice

potom sa skalárny súčin týchto vektorov rovná súčtu párových súčinov ich zodpovedajúcich súradníc:

.

Príklad 2 Nájdite číselnú hodnotu priemetu vektora na os rovnobežnú s vektorom.

Riešenie. Skalárny súčin vektorov nájdeme sčítaním párových súčinov ich súradníc:

Teraz musíme výsledný skalárny súčin prirovnať k súčinu dĺžky vektora a priemetu vektora na os rovnobežnú s vektorom (v súlade so vzorcom).

Dĺžku vektora nájdeme ako druhú odmocninu súčtu druhých mocnín jeho súradníc:

.

Vytvoríme rovnicu a vyriešime ju:

Odpoveď. Požadovaná číselná hodnota je mínus 8.

Vo vesmíre

Ak sú dva vektory a v priestore definované ich tromi pravouhlými súradnicami

,

potom sa skalárny súčin týchto vektorov rovná súčtu párových súčinov ich zodpovedajúcich súradníc, len sú už tri súradnice:

.

Úlohou nájsť skalárny súčin pomocou uvažovanej metódy je analýza vlastností skalárneho súčinu. Pretože v úlohe budete musieť určiť, aký uhol tvoria vynásobené vektory.

Vlastnosti skalárneho súčinu vektorov

Algebraické vlastnosti

1. (komutatívna vlastnosť: obrátenie miest vynásobených vektorov nemení hodnotu ich skalárneho súčinu).

2. (asociatívna vlastnosť vzhľadom na číselný faktor: skalárny súčin vektora vynásobený určitým faktorom a iného vektora sa rovná skalárnemu súčinu týchto vektorov vynásobenému rovnakým faktorom).

3. (distributívna vlastnosť vo vzťahu k súčtu vektorov: skalárny súčin súčtu dvoch vektorov tretím vektorom sa rovná súčtu skalárnych súčinov prvého vektora tretím vektorom a druhého vektora tretím vektorom).

4. (skalárny štvorec vektora väčší ako nula), if je nenulový vektor a , if je nulový vektor.

Geometrické vlastnosti

V definíciách skúmanej operácie sme sa už dotkli pojmu uhol medzi dvoma vektormi. Je čas objasniť tento pojem.

Na obrázku vyššie môžete vidieť dva vektory, ktoré sú privedené do spoločného pôvodu. A prvá vec, ktorú musíte venovať pozornosť, je, že medzi týmito vektormi sú dva uhly - φ 1 A φ 2 . Ktorý z týchto uhlov sa objavuje v definíciách a vlastnostiach skalárneho súčinu vektorov? Súčet uvažovaných uhlov je 2 π a preto sú kosínusy týchto uhlov rovnaké. Definícia bodového súčinu zahŕňa iba kosínus uhla a nie hodnotu jeho vyjadrenia. Ale vlastnosti berú do úvahy iba jeden uhol. A to je jeden z dvoch uhlov, ktorý nepresahuje π , teda 180 stupňov. Na obrázku je tento uhol označený ako φ 1 .

1. Volajú sa dva vektory ortogonálne A uhol medzi týmito vektormi je rovný (90 stupňov resp π /2 ), ak skalárny súčin týchto vektorov je nula :

.

Ortogonalita vo vektorovej algebre je kolmosť dvoch vektorov.

2. Dva nenulové vektory tvoria ostrý roh (od 0 do 90 stupňov, alebo, čo je rovnaké - menej π bodový produkt je pozitívny .

3. Dva nenulové vektory tvoria Tupý uhol (od 90 do 180 stupňov, alebo, čo je rovnaké - viac π /2) vtedy a len vtedy, ak oni bodový súčin je negatívny .

Príklad 3 Súradnice sú dané vektormi:

.

Vypočítajte skalárne súčiny všetkých párov daných vektorov. Aký uhol (akútny, pravý, tupý) zvierajú tieto dvojice vektorov?

Riešenie. Vypočítame pridaním produktov zodpovedajúcich súradníc.

Dostali sme záporné číslo, takže vektory zvierajú tupý uhol.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

Dostali sme nulu, takže vektory tvoria pravý uhol.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

.

Dostali sme kladné číslo, takže vektory zvierajú ostrý uhol.

Na autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínus uhla medzi nimi .

Príklad 4. Vzhľadom na dĺžky dvoch vektorov a uhol medzi nimi:

.

Určte, pri akej hodnote čísla sú vektory a ortogonálne (kolmé).

Riešenie. Vynásobme vektory pomocou pravidla pre násobenie polynómov:

Teraz vypočítajme každý výraz:

.

Vytvorme rovnicu (súčin sa rovná nule), pridáme podobné pojmy a vyriešme rovnicu:

Odpoveď: dostali sme hodnotu λ = 1,8, pri ktorej sú vektory ortogonálne.

Príklad 5. Dokážte, že vektor ortogonálne (kolmé) k vektoru

Riešenie. Aby sme skontrolovali ortogonalitu, vynásobíme vektory a ako polynómy, pričom namiesto toho nahradíme výraz uvedený v probléme:

.

Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť každý člen (člen) prvého polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty:

.

Vo výslednom výsledku sa zlomok zníži o. Získa sa nasledujúci výsledok:

Záver: ako výsledok násobenia sme dostali nulu, teda ortogonalita (kolmosť) vektorov je dokázaná.

Vyriešte problém sami a potom uvidíte riešenie

Príklad 6. Dĺžky vektorov a sú dané a uhol medzi týmito vektormi je π /4 . Určte v akej hodnote μ vektory a sú navzájom kolmé.

Na autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínus uhla medzi nimi .

Maticová reprezentácia bodového súčinu vektorov a súčinu n-rozmerných vektorov

Niekedy je pre prehľadnosť výhodné znázorniť dva vynásobené vektory vo forme matíc. Potom je prvý vektor reprezentovaný ako riadková matica a druhý - ako stĺpcová matica:

Potom bude skalárny súčin vektorov súčin týchto matríc :

Výsledok je rovnaký ako výsledok získaný metódou, ktorú sme už uvažovali. Dostali sme jedno jediné číslo a súčin riadkovej matice stĺpcovou maticou je tiež jedno číslo.

Je vhodné reprezentovať súčin abstraktných n-rozmerných vektorov v maticovej forme. Súčin dvoch štvorrozmerných vektorov bude teda súčinom riadkovej matice so štyrmi prvkami stĺpcovou maticou tiež so štyrmi prvkami, súčinom dvoch päťrozmerných vektorov bude súčin riadkovej matice s piatimi prvkami podľa stĺpcová matica tiež s piatimi prvkami atď.

Príklad 7. Nájdite skalárne produkty párov vektorov

,

pomocou maticovej reprezentácie.

Riešenie. Prvý pár vektorov. Prvý vektor reprezentujeme ako riadkovú maticu a druhý ako stĺpcovú maticu. Skalárny súčin týchto vektorov nájdeme ako súčin riadkovej matice a stĺpcovej matice:

Podobne reprezentujeme druhý pár a nájdeme:

Ako vidíte, výsledky boli rovnaké ako pre rovnaké páry z príkladu 2.

Uhol medzi dvoma vektormi

Odvodenie vzorca pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi je veľmi krásne a výstižné.

Na vyjadrenie bodového súčinu vektorov

(1)

v súradnicovom tvare najskôr nájdeme skalárny súčin jednotkových vektorov. Skalárny súčin vektora so sebou samým podľa definície:

To, čo je napísané vo vzorci vyššie, znamená: skalárny súčin vektora so sebou samým sa rovná druhej mocnine jeho dĺžky. Kosínus nuly sa rovná jednej, takže druhá mocnina každej jednotky sa bude rovnať jednej:

Od vektorov

sú párové kolmé, potom párové súčiny jednotkových vektorov sa budú rovnať nule:

Teraz urobme násobenie vektorových polynómov:

Hodnoty zodpovedajúcich skalárnych súčinov jednotkových vektorov dosadíme na pravú stranu rovnosti:

Získame vzorec pre kosínus uhla medzi dvoma vektormi:

Príklad 8. Udeľujú sa tri body A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Nájdite uhol.

Riešenie. Nájdenie súradníc vektorov:

,

.

Pomocou vzorca kosínusového uhla dostaneme:

Preto, .

Na autotest môžete použiť online kalkulačka Bodový súčin vektorov a kosínus uhla medzi nimi .

Príklad 9. Sú uvedené dva vektory

Nájdite súčet, rozdiel, dĺžku, bodový súčin a uhol medzi nimi.

2.Rozdiel

I. Skalárny súčin zmizne vtedy a len vtedy, ak je aspoň jeden z vektorov nula alebo ak sú vektory kolmé. V skutočnosti, ak alebo , alebo potom .

Naopak, ak vynásobené vektory nie sú nulové, tak preto, že z podmienky

keď nasleduje:

Keďže smer nulového vektora je neistý, nulový vektor možno považovať za kolmý na akýkoľvek vektor. Preto možno naznačenú vlastnosť skalárneho súčinu formulovať stručnejšie: skalárny súčin zaniká práve vtedy, ak sú vektory kolmé.

II. Skalárny súčin má komutatívnu vlastnosť:

Táto vlastnosť vyplýva priamo z definície:

pretože rôzne označenia pre rovnaký uhol.

III. Distribučný zákon je mimoriadne dôležitý. Jeho uplatnenie je rovnako veľké ako v bežnej aritmetike či algebre, kde je formulované nasledovne: na vynásobenie súčtu je potrebné vynásobiť každý člen a výsledné súčinky sčítať, t.j.

Je zrejmé, že násobenie viachodnotových čísel v aritmetike alebo polynómoch v algebre je založené na tejto vlastnosti násobenia.

Tento zákon má rovnaký základný význam vo vektorovej algebre, keďže na jeho základe môžeme aplikovať zaužívané pravidlo pre násobenie polynómov na vektory.

Dokážme, že pre ľubovoľné tri vektory A, B, C platí nasledujúca rovnosť:

Podľa druhej definície skalárneho súčinu, vyjadrenej vzorcom, dostaneme:

Teraz aplikovaním vlastnosti 2 projekcií z § 5 zistíme:

Q.E.D.

IV. Skalárny súčin má vlastnosť kombinovateľnosti s ohľadom na číselný faktor; táto vlastnosť je vyjadrená nasledujúcim vzorcom:

to znamená, že na vynásobenie skalárneho súčinu vektorov číslom stačí vynásobiť jeden z faktorov týmto číslom.

Bodový súčin vektorov

Naďalej sa zaoberáme vektormi. Na prvej lekcii Vektory pre figuríny Pozreli sme sa na pojem vektor, akcie s vektormi, vektorové súradnice a najjednoduchšie problémy s vektormi. Ak ste na túto stránku prišli prvýkrát z vyhľadávača, dôrazne vám odporúčam prečítať si vyššie uvedený úvodný článok, pretože na zvládnutie látky je potrebné poznať pojmy a zápisy, ktoré používam, mať základné znalosti o vektoroch a vedieť riešiť základné problémy. Táto lekcia je logickým pokračovaním témy a podrobne v nej rozoberiem typické úlohy, ktoré využívajú skalárny súčin vektorov. Toto je VEĽMI DÔLEŽITÁ aktivita.. Snažte sa nepreskakovať príklady, prichádzajú s užitočným bonusom – prax vám pomôže upevniť si preberaný materiál a zlepšiť sa v riešení bežných problémov v analytickej geometrii.

Sčítanie vektorov, násobenie vektora číslom.... Bolo by naivné si myslieť, že matematici neprišli na niečo iné. Okrem už diskutovaných akcií existuje množstvo ďalších operácií s vektormi, a to: bodový súčin vektorov, vektorový súčin vektorov A zmiešaný súčin vektorov. Skalárny súčin vektorov je nám známy zo školy, ďalšie dva súčine tradične patria do kurzu vyššej matematiky. Témy sú jednoduché, algoritmus na riešenie mnohých problémov je jednoduchý a zrozumiteľný. Jediná vec. Informácií je slušné množstvo, preto je nežiaduce snažiť sa zvládnuť a vyriešiť VŠETKO RAZ. To platí najmä pre figuríny, verte, že autor sa absolútne nechce cítiť ako Chikatilo z matematiky. No, z matematiky, samozrejme, tiež nie =) Pripravenejší študenti môžu používať materiály selektívne, v istom zmysle „získať“ chýbajúce vedomosti pre vás budem neškodný gróf Drakula =)

Otvorme konečne dvere a s nadšením sledujme, čo sa stane, keď sa stretnú dva vektory...

Definícia skalárneho súčinu vektorov.
Vlastnosti skalárneho súčinu. Typické úlohy

Koncept bodkového produktu

Najprv o uhol medzi vektormi. Myslím, že každý intuitívne chápe, aký je uhol medzi vektormi, ale pre každý prípad trochu podrobnejšie. Uvažujme voľné nenulové vektory a . Ak tieto vektory vykreslíte z ľubovoľného bodu, získate obrázok, ktorý si už mnohí v duchu predstavili:

Priznám sa, tu som opísal situáciu len v rovine pochopenia. Ak potrebujete presne definovať uhol medzi vektormi, pozrite si praktické problémy v učebnici, v zásade je to pre nás zbytočné. Aj TU A TU budem miestami ignorovať nulové vektory pre ich nízky praktický význam. Urobil som rezerváciu špeciálne pre pokročilých návštevníkov stránky, ktorí mi môžu vyčítať teoretickú neúplnosť niektorých následných vyhlásení.

môže nadobúdať hodnoty od 0 do 180 stupňov (0 až radiány), vrátane. Analyticky je táto skutočnosť zapísaná vo forme dvojitej nerovnosti: alebo (v radiánoch).

V literatúre sa symbol uhla často vynecháva a jednoducho sa píše.

Definícia: Skalárny súčin dvoch vektorov je ČÍSLO rovné súčinu dĺžok týchto vektorov a kosínusu uhla medzi nimi:

Teraz je to dosť prísna definícia.

Zameriavame sa na základné informácie:

Označenie: skalárny súčin je označený alebo jednoducho.

Výsledkom operácie je ČÍSLO: Vektor sa vynásobí vektorom a výsledkom je číslo. Ak sú dĺžky vektorov čísla, kosínus uhla je číslo, potom ich súčin bude tiež číslo.

Len pár príkladov zahrievania:

Príklad 1

Riešenie: Používame vzorec . V tomto prípade:

odpoveď:

Kosínové hodnoty nájdete v trigonometrická tabuľka. Odporúčam si ho vytlačiť - bude potrebný takmer vo všetkých častiach veže a bude potrebný mnohokrát.

Z čisto matematického hľadiska je skalárny súčin bezrozmerný, to znamená, že výsledkom je v tomto prípade iba číslo a to je všetko. Z hľadiska fyzikálnych problémov má skalárny súčin vždy určitý fyzikálny význam, to znamená, že po výsledku musí byť označená jedna alebo druhá fyzikálna jednotka. Kanonický príklad výpočtu práce sily možno nájsť v ktorejkoľvek učebnici (vzorec je presne skalárny súčin). Práca sily sa meria v jouloch, preto bude odpoveď napísaná celkom konkrétne, napríklad .

Príklad 2

Nájdite ak a uhol medzi vektormi je rovný .

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami, odpoveď je na konci lekcie.

Uhol medzi vektormi a hodnotou bodového súčinu

V príklade 1 sa skalárny produkt ukázal ako pozitívny a v príklade 2 sa ukázal ako negatívny. Poďme zistiť, od čoho závisí znamenie skalárneho produktu. Pozrime sa na náš vzorec: . Dĺžky nenulových vektorov sú vždy kladné: , takže znamienko môže závisieť iba od hodnoty kosínusu.

Poznámka: Pre lepšie pochopenie nižšie uvedených informácií je lepšie preštudovať si kosínusový graf v príručke Funkčné grafy a vlastnosti. Pozrite sa, ako sa kosínus správa na segmente.

Ako už bolo uvedené, uhol medzi vektormi sa môže meniť a sú možné tieto prípady:

1) Ak rohu medzi vektormi pikantné: (od 0 do 90 stupňov), potom , A bodový súčin bude pozitívny spolurežírovaný, potom sa uhol medzi nimi považuje za nulový a skalárny súčin bude tiež kladný. Keďže vzorec zjednodušuje: .

2) Ak rohu medzi vektormi tupý: (od 90 do 180 stupňov), potom a zodpovedajúcim spôsobom bodový súčin je negatívny: . Špeciálny prípad: ak vektory opačných smeroch, potom sa berie do úvahy uhol medzi nimi rozšírené: (180 stupňov). Skalárny súčin je tiež negatívny, keďže

Aj opačné tvrdenia sú pravdivé:

1) Ak , potom je uhol medzi týmito vektormi ostrý. Alternatívne sú vektory ko-smerné.

2) Ak , potom je uhol medzi týmito vektormi tupý. Alternatívne sú vektory v opačných smeroch.

Tretí prípad je však obzvlášť zaujímavý:

3) Ak rohu medzi vektormi rovno: (90 stupňov), teda skalárny súčin je nula: . Platí to aj naopak: ak , tak . Vyhlásenie možno kompaktne formulovať takto: Skalárny súčin dvoch vektorov je nula práve vtedy, ak sú vektory ortogonálne. Krátky matematický zápis:

! Poznámka : Zopakujme si základy matematickej logiky: Ikona obojstranného logického dôsledku sa zvyčajne číta „ak a len vtedy“, „ak a len vtedy“. Ako vidíte, šípky sú nasmerované oboma smermi - "z tohto vyplýva toto a naopak - z toho vyplýva toto." Mimochodom, aký je rozdiel od ikony jednosmerného sledovania? Ikona uvádza len to, že, že „z toho vyplýva toto“ a nie je pravdou, že opak je pravdou. Napríklad: , ale nie každé zviera je panter, takže v tomto prípade nemôžete použiť ikonu. Zároveň namiesto ikony Môcť použite jednostrannú ikonu. Napríklad pri riešení úlohy sme zistili, že sme dospeli k záveru, že vektory sú ortogonálne: - takýto záznam bude správny a ešte vhodnejší ako .

Tretí prípad má veľký praktický význam, pretože vám umožňuje skontrolovať, či sú vektory ortogonálne alebo nie. Tento problém vyriešime v druhej časti lekcie.

Vlastnosti bodového produktu

Vráťme sa k situácii, keď dva vektory spolurežírovaný. V tomto prípade je uhol medzi nimi nula, a vzorec skalárneho súčinu má tvar: .

Čo sa stane, ak sa vektor vynásobí sám od seba? Je jasné, že vektor je zarovnaný sám so sebou, preto použijeme vyššie uvedený zjednodušený vzorec:

Číslo sa volá skalárny štvorec vektor a sú označené ako .

teda skalárny štvorec vektora sa rovná štvorcu dĺžky daného vektora:

Z tejto rovnosti môžeme získať vzorec na výpočet dĺžky vektora:

Zatiaľ sa to zdá nejasné, ale ciele lekcie dajú všetko na svoje miesto. Na vyriešenie problémov, ktoré potrebujeme vlastnosti bodového produktu.

Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:

1) – komutatívne resp komutatívny skalárny produktový zákon.

2) – distribúcia resp distributívny skalárny produktový zákon. Jednoducho, môžete otvoriť zátvorky.

3) – priraďovacie resp asociatívne skalárny produktový zákon. Konštantu možno odvodiť zo skalárneho súčinu.

Často sú všelijaké vlastnosti (ktoré treba aj dokazovať!) študentmi vnímané ako zbytočné svinstvo, ktoré sa stačí naučiť naspamäť a hneď po skúške bezpečne zabudnúť. Zdalo by sa, že čo je tu dôležité, každý už od prvej triedy vie, že preskupením faktorov sa produkt nemení: . Musím vás upozorniť, že vo vyššej matematike je ľahké pokaziť veci takýmto prístupom. Takže napríklad komutatívna vlastnosť nie je pravdivá pre algebraické matice. Tiež to nie je pravda pre vektorový súčin vektorov. Preto je prinajmenšom lepšie ponoriť sa do akýchkoľvek vlastností, s ktorými sa stretnete vo vyššom kurze matematiky, aby ste pochopili, čo môžete a čo nie.

Príklad 3

.

Riešenie: Najprv si objasnime situáciu s vektorom. Čo to vôbec je? Súčet vektorov je dobre definovaný vektor, ktorý je označený . Geometrický výklad akcií s vektormi nájdete v článku Vektory pre figuríny. Rovnaký petržlen s vektorom je súčtom vektorov a .

Takže podľa stavu je potrebné nájsť skalárny súčin. Teoreticky musíte použiť pracovný vzorec , ale problém je, že nepoznáme dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Ale podmienka dáva podobné parametre pre vektory, takže pôjdeme inou cestou:

(1) Nahraďte výrazy vektorov.

(2) Zátvorky otvárame podľa pravidla pre násobenie mnohočlenov v článku nájdete vulgárny jazykolam Komplexné čísla alebo Integrácia zlomkovo-racionálnej funkcie. Nebudem sa opakovať =) Mimochodom, distribučná vlastnosť skalárneho produktu nám umožňuje otvárať zátvorky. Máme právo.

(3) V prvom a poslednom člene kompaktne napíšeme skalárne štvorce vektorov: . V druhom člene používame komutabilitu skalárneho súčinu: .

(4) Uvádzame podobné výrazy: .

(5) V prvom člene používame vzorec skalárneho štvorca, ktorý bol spomenutý nedávno. V poslednom termíne teda funguje to isté: . Druhý člen rozširujeme podľa štandardného vzorca .

(6) Nahradiť tieto podmienky a OPATRNE vykonajte konečné výpočty.

odpoveď:

Záporná hodnota skalárneho súčinu vyjadruje skutočnosť, že uhol medzi vektormi je tupý.

Problém je typický, tu je príklad, ako ho vyriešiť sami:

Príklad 4

Nájdite skalárny súčin vektorov a ak je známy .

Teraz ďalšia bežná úloha, len pre nový vzorec pre dĺžku vektora. Tento zápis sa bude trochu prekrývať, takže pre prehľadnosť ho prepíšem iným písmenom:

Príklad 5

Nájdite dĺžku vektora if .

Riešenie bude nasledovný:

(1) Dodávame výraz pre vektor .

(2) Používame dĺžkový vzorec: , pričom celý výraz ve funguje ako vektor „ve“.

(3) Na druhú mocninu súčtu použijeme školský vzorec. Všimnite si, ako to tu kuriózne funguje: – je to vlastne druhá mocnina rozdielu a v skutočnosti to tak je. Tí, ktorí si želajú, môžu preusporiadať vektory: - stane sa to isté, až po preskupenie pojmov.

(4) To, čo nasleduje, je už známe z dvoch predchádzajúcich problémov.

odpoveď:

Keďže hovoríme o dĺžke, nezabudnite uviesť rozmer - „jednotky“.

Príklad 6

Nájdite dĺžku vektora if .

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Pokračujeme vo vytláčaní užitočných vecí z bodkového produktu. Pozrime sa znova na náš vzorec . Pomocou pravidla proporcie resetujeme dĺžky vektorov na menovateľ ľavej strany:

Vymeňme časti:

Aký je význam tohto vzorca? Ak sú známe dĺžky dvoch vektorov a ich skalárny súčin, môžeme vypočítať kosínus uhla medzi týmito vektormi a následne aj samotný uhol.

Je bodový súčin číslo? číslo. Sú dĺžky vektorov čísla? čísla. To znamená, že zlomok je tiež číslo. A ak je známy kosínus uhla: , potom pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol: .

Príklad 7

Nájdite uhol medzi vektormi a ak je známe, že .

Riešenie: Používame vzorec:

V záverečnej fáze výpočtov bola použitá technická technika - eliminácia iracionality v menovateli. Aby som odstránil iracionalitu, vynásobil som čitateľa a menovateľa číslom .

Ak teda , To:

Hodnoty inverzných goniometrických funkcií možno nájsť pomocou trigonometrická tabuľka. Aj keď sa to stáva zriedka. V úlohách analytickej geometrie sa oveľa častejšie nejaký nemotorný znáša ako , a hodnotu uhla treba nájsť približne pomocou kalkulačky. V skutočnosti takýto obrázok uvidíme viackrát.

odpoveď:

Opäť nezabudnite uviesť rozmery – radiány a stupne. Osobne, aby som zjavne „vyriešil všetky otázky“, uprednostňujem uvedenie oboch (pokiaľ, samozrejme, podmienka nevyžaduje uvedenie odpovede iba v radiánoch alebo iba v stupňoch).

Teraz sa môžete samostatne vyrovnať so zložitejšou úlohou:

Príklad 7*

Dané sú dĺžky vektorov a uhol medzi nimi. Nájdite uhol medzi vektormi , .

Úloha nie je ani tak náročná, ako viacstupňová.
Pozrime sa na algoritmus riešenia:

1) Podľa podmienky musíte nájsť uhol medzi vektormi a , takže musíte použiť vzorec .

2) Nájdite skalárny súčin (pozri príklady č. 3, 4).

3) Nájdite dĺžku vektora a dĺžku vektora (pozri Príklady č. 5, 6).

4) Koniec riešenia sa zhoduje s príkladom č. 7 - poznáme číslo , čo znamená, že je ľahké nájsť samotný uhol:

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Druhá časť lekcie je venovaná rovnakému skalárnemu súčinu. Súradnice. Bude to ešte jednoduchšie ako v prvej časti.

Bodový súčin vektorov,
daný súradnicami na ortonormálnom základe

odpoveď:

Netreba dodávať, že narábanie so súradnicami je oveľa príjemnejšie.

Príklad 14

Nájdite skalárny súčin vektorov a ak

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Tu môžete využiť asociatívnosť operácie, teda nepočítať , ale hneď vziať trojku mimo skalárneho súčinu a vynásobiť ju ako poslednú. Riešenie a odpoveď sú na konci lekcie.

Na konci časti provokatívny príklad výpočtu dĺžky vektora:

Príklad 15

Nájdite dĺžky vektorov , Ak

Riešenie: Metóda z predchádzajúcej časti sa opäť navrhuje: existuje však aj iný spôsob:

Poďme nájsť vektor:

A jeho dĺžka podľa triviálneho vzorca :

Bodkový produkt tu vôbec nie je relevantný!

Tiež to nie je užitočné pri výpočte dĺžky vektora:
Stop. Nemali by sme využiť zjavnú vlastnosť dĺžky vektora? Čo môžete povedať o dĺžke vektora? Tento vektor je 5-krát dlhší ako vektor. Smer je opačný, ale to nevadí, pretože hovoríme o dĺžke. Je zrejmé, že dĺžka vektora sa rovná súčinu modul počet na dĺžku vektora:
– znamienko modulu „žerie“ možné mínus čísla.

Takto:

odpoveď:

Vzorec pre kosínus uhla medzi vektormi, ktoré sú určené súradnicami

Teraz máme úplné informácie na vyjadrenie predtým odvodeného vzorca pre kosínus uhla medzi vektormi prostredníctvom súradníc vektorov:

Kosínus uhla medzi rovinnými vektormi a , špecifikované na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:
.

Kosínus uhla medzi priestorovými vektormi, špecifikované na ortonormálnom základe, vyjadrené vzorcom:

Príklad 16

Dané tri vrcholy trojuholníka. Nájdite (vrcholový uhol).

Riešenie: Podľa podmienok sa kresba nevyžaduje, ale stále:

Požadovaný uhol je označený zeleným oblúkom. Hneď si spomeňme na školské označenie uhla: – osobitnú pozornosť priemer písmeno - to je vrchol uhla, ktorý potrebujeme. Pre stručnosť môžete napísať aj jednoducho .

Z výkresu je celkom zrejmé, že uhol trojuholníka sa zhoduje s uhlom medzi vektormi a inými slovami: .

Je vhodné naučiť sa vykonávať rozbor mentálne.

Poďme nájsť vektory:

Vypočítajme skalárny súčin:

A dĺžky vektorov:

Kosínus uhla:

Presne toto je poradie plnenia úlohy, ktoré odporúčam pre figuríny. Pokročilejší čitatelia môžu písať výpočty „do jedného riadku“:

Tu je príklad „zlej“ hodnoty kosínusu. Výsledná hodnota nie je konečná, preto nemá zmysel zbavovať sa iracionality v menovateli.

Poďme nájsť samotný uhol:

Ak sa pozriete na kresbu, výsledok je celkom vierohodný. Pre kontrolu je možné uhol merať aj uhlomerom. Nepoškoďte kryt monitora =)

odpoveď:

V odpovedi na to nezabúdame spýtal sa na uhol trojuholníka(a nie o uhle medzi vektormi), nezabudnite uviesť presnú odpoveď: a približnú hodnotu uhla: , nájdené pomocou kalkulačky.

Tí, ktorým sa tento proces páčil, môžu vypočítať uhly a overiť platnosť kanonickej rovnosti

Príklad 17

Trojuholník je definovaný v priestore súradnicami jeho vrcholov. Nájdite uhol medzi stranami a

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny

Krátka záverečná časť bude venovaná projekciám, ktoré zahŕňajú aj skalárny súčin:

Projekcia vektora na vektor. Premietanie vektora na súradnicové osi.
Smerové kosínusy vektora

Zvážte vektory a:

Premietnime vektor na vektor, aby sme to urobili, od začiatku a konca vektora vynecháme kolmice na vektor (zelené bodkované čiary). Predstavte si, že lúče svetla dopadajú kolmo na vektor. Potom bude segment (červená čiara) „tieňom“ vektora. V tomto prípade je projekcia vektora na vektor DĹŽKA segmentu. Teda PROJEKCIA JE ČÍSLO.

Toto ČÍSLO je označené nasledovne: , „veľký vektor“ označuje vektor KTORÝ projekt, „vektor malého dolného indexu“ označuje vektor ON ktorý sa premieta.

Samotný záznam znie takto: „projekcia vektora „a“ na vektor „be“.

Čo sa stane, ak je vektor „byť“ „príliš krátky“? Nakreslíme priamku obsahujúcu vektor „be“. A vektor „a“ sa už premietne do smeru vektora "byť", jednoducho - na priamku obsahujúcu vektor „be“. To isté sa stane, ak sa vektor „a“ odloží v tridsiatom kráľovstve – stále sa bude ľahko premietať na priamku obsahujúcu vektor „be“.

Ak uhol medzi vektormi pikantné(ako na obrázku), teda

Ak vektory ortogonálne, potom (projekcia je bod, ktorého rozmery sa považujú za nulové).

Ak uhol medzi vektormi tupý(na obrázku mentálne preusporiadajte vektorovú šípku), potom (rovnaká dĺžka, ale so znamienkom mínus).

Nakreslite tieto vektory z jedného bodu:

Je zrejmé, že keď sa vektor pohybuje, jeho projekcia sa nemení