Linearna funkcija, njezina svojstva i graf. Linearna funkcija

Pojam numeričke funkcije. Metode za specificiranje funkcije. Svojstva funkcija.

Numerička funkcija je funkcija koja djeluje iz jednog numeričkog prostora (skupa) u drugi numerički prostor (skup).

Tri glavna načina definiranja funkcije: analitički, tablični i grafički.

1. Analitički.

Metoda određivanja funkcije pomoću formule naziva se analitička. Ova metoda je glavna u mat. analize, ali u praksi to nije zgodno.

2. Tablični način zadavanja funkcije.

Funkcija se može odrediti pomoću tablice koja sadrži vrijednosti argumenata i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije.

3. Grafička metoda zadavanja funkcije.

Kaže se da je funkcija y=f(x) dana grafički ako je konstruiran njezin graf. Ova metoda određivanja funkcije omogućuje određivanje vrijednosti funkcije samo približno, budući da je izrada grafikona i pronalaženje vrijednosti funkcije na njemu povezana s pogreškama.

Svojstva funkcije koja se moraju uzeti u obzir prilikom konstruiranja njenog grafa:

1) Područje definiranja funkcije.

Domena funkcije, odnosno one vrijednosti koje može poprimiti argument x funkcije F =y (x).

2) Intervali rastućih i padajućih funkcija.

Funkcija se naziva rastuća na promatranom intervalu, ako većoj vrijednosti argumenta odgovara veća vrijednost funkcije y(x). To znači da ako su dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzeta iz intervala koji se razmatra, i x 1 > x 2, tada je y(x 1) > y(x 2).

Funkcija se naziva opadajuća na promatranom intervalu, ako manja vrijednost funkcije y(x) odgovara većoj vrijednosti argumenta. To znači da ako se dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzmu iz intervala koji se razmatra, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkcijske nule.

Točke u kojima funkcija F = y (x) siječe apscisnu os (dobive se rješavanjem jednadžbe y(x) = 0) nazivaju se nulte točke funkcije.

4) Parne i neparne funkcije.

Funkcija se naziva parna, ako za sve vrijednosti argumenata iz opsega

y(-x) = y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Funkcija se naziva neparna, ako je za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(-x) = -y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

5) Periodičnost funkcije.

Funkcija se naziva periodična, ako postoji broj P takav da za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(x + P) = y(x).

Linearna funkcija, njezina svojstva i graf.

Linearna funkcija je funkcija forme y = kx + b, definiran na skupu svih realnih brojeva.

k– nagib (realni broj)

b– lažni izraz (pravi broj)

x- neovisna varijabla.

· U posebnom slučaju, ako je k = 0, dobivamo konstantnu funkciju y = b, čiji je graf ravna linija paralelna s osi Ox koja prolazi točkom s koordinatama (0; b).

· Ako je b = 0, tada dobivamo funkciju y = kx, što je izravna proporcionalnost.

o Geometrijsko značenje koeficijenta b je duljina odsječka koji pravac odsijeca duž osi Oy, računajući od ishodišta.

o Geometrijsko značenje koeficijenta k je kut nagiba pravca prema pozitivnom smjeru osi Ox, računat u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Područje definiranja linearne funkcije je cijela realna os;

2) Ako je k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna os.

Ako je k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije ovise o vrijednostima koeficijenata k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b – parno;

b) b = 0, k ≠ 0, stoga je y = kx – neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, stoga je y = kx + b funkcija općeg oblika;

d) b = 0, k = 0, stoga je y = 0 i parna i neparna funkcija.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Točke sjecišta s koordinatnim osima:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, stoga je (-b/k; 0) točka presjeka s x-osi.

Oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b) je točka presjeka s ordinatom.

Komentar. Ako je b = 0 i k = 0, tada funkcija y = 0 nestaje za bilo koju vrijednost varijable x. Ako je b ≠ 0 i k = 0, tada funkcija y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable x.

6) Intervali konstantnog predznaka ovise o koeficijentu k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitivno na x od (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativno za x iz (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitivno na x od (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativno za x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitivan u cijeloj domeni definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije ovise o koeficijentu k.

k > 0, stoga y = kx + b raste kroz cijelu domenu definicije,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcija y = ax 2 + bx + c, njena svojstva i graf.

Funkcija y = ax 2 + bx + c (a, b, c su konstante, a ≠ 0) naziva se kvadratni U najjednostavnijem slučaju, y = ax 2 (b = c = 0) graf je zakrivljena linija koja prolazi kroz ishodište. Krivulja koja služi kao graf funkcije y = ax 2 je parabola. Svaka parabola ima os simetrije tzv osi parabole. Točka O sjecišta parabole s njezinom osi naziva se vrh parabole.

Graf se može konstruirati prema sljedećoj shemi: 1) Nađite koordinate vrha parabole x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Konstruiramo još nekoliko točaka koje pripadaju paraboli, a pri konstruiranju možemo koristiti simetrije parabole u odnosu na pravac x = -b/2a. 3) Spojite naznačene točke glatkom linijom. Primjer. Grafički nacrtajte funkciju b = x 2 + 2x - 3. Rješenja. Graf funkcije je parabola čije su grane usmjerene prema gore. Apscisa vrha parabole x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, njene ordinate y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Dakle, vrh parabole je točka (-1; -4). Sastavimo tablicu vrijednosti za nekoliko točaka koje se nalaze desno od osi simetrije parabole - ravna linija x = -1. Svojstva funkcija.

Definicija linearne funkcije

Uvedimo definiciju linearne funkcije

Definicija

Funkcija oblika $y=kx+b$, gdje $k$ nije nula, naziva se linearna funkcija.

Graf linearne funkcije je pravac. Broj $k$ naziva se nagib pravca.

Kada je $b=0$ linearna funkcija se naziva funkcija izravne proporcionalnosti $y=kx$.

Razmotrite sliku 1.

Riža. 1. Geometrijsko značenje nagiba pravca

Promotrimo trokut ABC. Vidimo da je $VS=kx_0+b$. Nađimo točku presjeka pravca $y=kx+b$ s osi $Ox$:

\ \

Dakle $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nađimo omjer ovih stranica:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

S druge strane, $\frac(BC)(AC)=tg\kut A$.

Stoga možemo izvući sljedeći zaključak:

Zaključak

Geometrijsko značenje koeficijenta $k$. Kutni koeficijent pravca $k$ jednak je tangensu kuta nagiba tog pravca na os $Ox$.

Proučavanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ i njezinog grafa

Prvo razmotrimo funkciju $f\lijevo(x\desno)=kx+b$, gdje je $k > 0$.

1. $f"\lijevo(x\desno)=(\lijevo(kx+b\desno))"=k>0$. Posljedično, ova funkcija raste u cijeloj domeni definicije. Nema ekstremnih točaka.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (slika 2).

Riža. 2. Grafovi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Sada razmotrite funkciju $f\lijevo(x\desno)=kx$, gdje je $k

1. Domena definicije su svi brojevi.
2. Raspon vrijednosti su svi brojevi.
3. $f\lijevo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Za $x=0,f\lijevo(0\desno)=b$. Kada je $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Sječne točke s koordinatnim osima: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\lijevo(x\desno)=(\lijevo(kx\desno))"=k
2. $f^("")\lijevo(x\desno)=k"=0$. Stoga funkcija nema točaka infleksije.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (slika 3).

upute

Ako je graf pravac koji prolazi kroz ishodište koordinata i s osi OX tvori kut α (kut nagiba pravca prema pozitivnoj poluosi OX). Funkcija koja opisuje ovu liniju imat će oblik y = kx. Koeficijent proporcionalnosti k jednak je tan α. Ako pravac prolazi kroz 2. i 4. koordinatnu četvrtinu, tada je k< 0, и является убывающей, если через 1-ю и 3-ю, то k >0 i funkcija raste Neka predstavlja ravnu liniju koja se nalazi na različite načine u odnosu na koordinatne osi. Ovo je linearna funkcija i ima oblik y = kx + b, gdje su varijable x i y na prvoj potenciji, a k i b mogu biti pozitivni ili negativni ili jednaki nuli. Pravac je paralelan s pravcem y = kx i odsijeca se na osi |b| jedinice. Ako je pravac paralelan s osi apscisa, tada je k = 0, ako je s osi ordinata, onda jednadžba ima oblik x = const.

Krivulja koja se sastoji od dvije grane smještene u različitim četvrtima i simetrične u odnosu na ishodište koordinata je hiperbola. Ovaj graf je inverzna ovisnost varijable y o x i opisan je jednadžbom y = k/x. Ovdje je k ≠ 0 koeficijent proporcionalnosti. Štoviše, ako je k > 0, funkcija opada; ako k< 0 - функция возрастает. Таким образом, областью определения функции является вся числовая прямая, кроме x = 0. Ветви приближаются к осям координат как к своим асимптотам. С уменьшением |k| ветки гиперболы все больше «вдавливаются» в координатные углы.

Kvadratna funkcija ima oblik y = ax2 + bx + c, gdje su a, b i c konstantne veličine, a a  0. Ako je ispunjen uvjet b = c = 0, jednadžba funkcije izgleda ovako: y = ax2 ( najjednostavniji slučaj), a njegov graf je parabola koja prolazi kroz ishodište. Graf funkcije y = ax2 + bx + c ima isti oblik kao najjednostavniji slučaj funkcije, ali njegov vrh (točka presjeka s osi OY) ne leži u ishodištu.

Parabola je također graf funkcije potencije izražene jednadžbom y = xⁿ, ako je n bilo koji paran broj. Ako je n bilo koji neparan broj, graf takve funkcije snage izgledat će kao kubična parabola.
Ako je n bilo koji, jednadžba funkcije ima oblik. Graf funkcije za neparan n bit će hiperbola, a za parni n njihove će grane biti simetrične u odnosu na op os.

Još u školskim godinama funkcije se detaljno proučavaju i konstruiraju se njihovi grafikoni. Ali, nažalost, praktički ne podučavaju kako čitati graf funkcije i pronaći njen tip iz prikazanog crteža. Zapravo je vrlo jednostavno ako se sjećate osnovnih tipova funkcija.

upute

Ako je prikazani graf , koji je kroz ishodište koordinata i s osi OX kut α (koji je kut nagiba pravca prema pozitivnoj poluosi), tada će funkcija koja opisuje takav pravac biti predstavljen kao y = kx. U tom slučaju koeficijent proporcionalnosti k jednak je tangensu kuta α.

Ako dani pravac prolazi kroz drugu i četvrtu koordinatnu četvrtinu, tada je k jednak 0 i funkcija raste. Neka prikazani grafikon bude ravna linija koja se na bilo koji način nalazi u odnosu na koordinatne osi. Zatim funkcija takvog grafička umjetnost bit će linearna, što je predstavljeno oblikom y = kx + b, gdje su varijable y i x na prvom mjestu, a b i k mogu poprimiti i negativne i pozitivne vrijednosti ili.

Ako je pravac paralelan s pravcem s grafom y = kx i odsijeca b jedinica na ordinatnoj osi, tada jednadžba ima oblik x = const, ako je graf paralelan s apscisnom osi, tada je k = 0.

Zakrivljena linija koja se sastoji od dvije grane, simetrične oko ishodišta i smještene u različitim četvrtima, je hiperbola. Takav graf prikazuje obrnutu ovisnost varijable y o varijabli x i opisuje se jednadžbom oblika y = k/x, pri čemu k ne bi smio biti jednak nuli, jer se radi o koeficijentu obrnute proporcionalnosti. Štoviše, ako je vrijednost k veća od nule, funkcija opada; ako je k manji od nule, povećava se.

Ako je predloženi graf parabola koja prolazi kroz ishodište, njena će funkcija, pod uvjetom da je b = c = 0, imati oblik y = ax2. Ovo je najjednostavniji slučaj kvadratne funkcije. Graf funkcije oblika y = ax2 + bx + c imat će isti oblik kao i najjednostavniji slučaj, ali vrh (točka u kojoj graf siječe ordinatnu os) neće biti u ishodištu. U kvadratnoj funkciji, predstavljenoj oblikom y = ax2 + bx + c, vrijednosti a, b i c su konstantne, dok a nije jednak nuli.

Parabola također može biti graf funkcije potencije izražene jednadžbom oblika y = xⁿ samo ako je n bilo koji paran broj. Ako je vrijednost n neparan broj, takav graf funkcije snage bit će prikazan kubičnom parabolom. Ako je varijabla n bilo koji negativan broj, jednadžba funkcije ima oblik .

Video na temu

Koordinata apsolutno bilo koje točke na ravnini određena je dvjema veličinama: duž apscisne osi i ordinatne osi. Skup mnogih takvih točaka predstavlja graf funkcije. Iz njega možete vidjeti kako se vrijednost Y mijenja ovisno o promjeni vrijednosti X. Također možete odrediti u kojem dijelu (intervalu) funkcija raste, au kojem opada.

upute

Što možete reći o funkciji ako je njen graf ravna linija? Pogledajte prolazi li ova linija kroz početnu točku koordinata (to jest, onu gdje su vrijednosti X i Y jednake 0). Ako prolazi, tada je takva funkcija opisana jednadžbom y = kx. Lako je razumjeti da što je veća vrijednost k, to će ravna linija biti bliže osi ordinata. A sama Y os zapravo odgovara beskonačno velikoj vrijednosti k.

Naučiti izvoditi funkcije. Derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj točki koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, grafikon može biti ravna ili zakrivljena linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku u vremenu. Zapamtite opća pravila po kojima se izvode, a tek onda prijeđite na sljedeći korak.

• Pročitaj članak.
• Opisano je kako uzeti najjednostavnije izvode, npr. izvod eksponencijalne jednadžbe. Izračuni predstavljeni u sljedećim koracima temeljit će se na tamo opisanim metodama.

Naučiti razlikovati zadatke u kojima koeficijent nagiba treba izračunati preko derivacije funkcije. Problemi ne traže uvijek da pronađete nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas se može tražiti da pronađete brzinu promjene funkcije u točki A(x,y). Od vas se također može tražiti da pronađete nagib tangente u točki A(x,y). U oba slučaja potrebno je uzeti izvod funkcije.

Kao što praksa pokazuje, zadaci o svojstvima i grafovima kvadratne funkcije uzrokuju ozbiljne poteškoće. To je prilično čudno, jer oni uče kvadratnu funkciju u 8. razredu, a zatim kroz prvo tromjesečje 9. razreda "muče" svojstva parabole i grade njezine grafove za razne parametre.

To je zbog činjenice da kada učenici prisiljavaju konstruirati parabole, oni praktički ne posvećuju vrijeme "čitanju" grafikona, odnosno ne vježbaju razumijevanje informacija dobivenih sa slike. Navodno se pretpostavlja da će pametan učenik nakon konstruiranja desetak-dva grafova sam otkriti i formulirati odnos između koeficijenata u formuli i izgleda grafa. U praksi to ne funkcionira. Za takvu generalizaciju potrebno je ozbiljno iskustvo u matematičkim mini-istraživanjima, što većina učenika devetog razreda, naravno, ne posjeduje. U međuvremenu, Državni inspektorat predlaže određivanje znakova koeficijenata pomoću rasporeda.

Od školaraca nećemo zahtijevati nemoguće i jednostavno ćemo ponuditi jedan od algoritama za rješavanje takvih problema.

Dakle, funkcija forme y = ax 2 + bx + c zove se kvadratna, a njen graf je parabola. Kao što naziv govori, glavni pojam je sjekira 2. To je A ne smije biti jednak nuli, preostali koeficijenti ( b I S) može biti jednaka nuli.

Pogledajmo kako predznaci njezinih koeficijenata utječu na izgled parabole.

Najjednostavnija ovisnost za koeficijent A. Većina školaraca samouvjereno odgovara: „ako A> 0, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako A < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой A > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

U ovom slučaju A = 0,5

A sada za A < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

U ovom slučaju A = - 0,5

Utjecaj koeficijenta S Također je prilično lako pratiti. Zamislimo da želimo pronaći vrijednost funkcije u točki x= 0. Zamijenite nulu u formulu:

g = a 0 2 + b 0 + c = c. Ispostavilo se da y = c. To je S je ordinata točke presjeka parabole s osi y. Obično je ovu točku lako pronaći na grafikonu. I odredite nalazi li se iznad nule ili ispod. To je S> 0 ili S < 0.

S > 0:

y = x 2 + 4x + 3

S < 0

y = x 2 + 4x - 3

Prema tome, ako S= 0, tada će parabola nužno prolaziti kroz ishodište:

y = x 2 + 4x

Teže s parametrom b. Točka u kojoj ćemo ga pronaći ovisi ne samo o b ali i iz A. Ovo je vrh parabole. Njegova apscisa (koordinata osi x) nalazi se formulom x u = - b/(2a). Tako, b = - 2ax in. Odnosno, postupamo na sljedeći način: nalazimo vrh parabole na grafu, određujemo znak njegove apscise, odnosno gledamo desno od nule ( x in> 0) ili ulijevo ( x in < 0) она лежит.

Međutim, to nije sve. Također moramo obratiti pozornost na predznak koeficijenta A. Odnosno, pogledajte kamo su usmjerene grane parabole. I tek nakon toga, prema formuli b = - 2ax in odrediti znak b.

Pogledajmo primjer:

Grane su usmjerene prema gore, što znači A> 0, parabola siječe os na ispod nule, tj S < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. Dakle b = - 2ax in = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: A > 0, b < 0, S < 0.