Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik 3 broja. Nalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, metode, primjeri nalaženja LCM

Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik ključni su aritmetički koncepti koji olakšavaju rad s razlomcima. LCM i najčešće se koriste za pronalaženje zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka.

Osnovni koncepti

Djelitelj cijelog broja X je drugi cijeli broj Y kojim se X dijeli bez ostatka. Na primjer, djelitelj broja 4 je 2, a 36 je 4, 6, 9. Višekratnik cijelog broja X je broj Y koji je djeljiv s X bez ostatka. Na primjer, 3 je višekratnik broja 15, a 6 je višekratnik broja 12.

Za svaki par brojeva možemo pronaći njihove zajedničke djelitelje i višekratnike. Na primjer, za 6 i 9, zajednički višekratnik je 18, a zajednički djelitelj je 3. Očito, parovi mogu imati nekoliko djelitelja i višekratnika, tako da izračuni koriste najveći djelitelj GCD i najmanji višekratnik LCM.

Najmanji djelitelj je besmislen, jer je za svaki broj uvijek jedan. Najveći višekratnik je također besmislen, jer niz višekratnika ide u beskonačnost.

Pronalaženje gcd-a

Postoje mnoge metode za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja, od kojih su najpoznatije:

• sekvencijalno traženje djelitelja, odabir zajedničkih za par i traženje najvećeg od njih;
• rastavljanje brojeva na nedjeljive faktore;
• Euklidov algoritam;
• binarni algoritam.

Danas u obrazovnim ustanovama najpopularnije metode su dekompozicija na proste faktore i Euklidov algoritam. Potonji se pak koristi pri rješavanju Diofantovih jednadžbi: traženje GCD-a potrebno je za provjeru mogućnosti razlučivanja u jednadžbi u cijelim brojevima.

Pronalaženje NOO-a

Najmanji zajednički višekratnik također se određuje sekvencijalnim nabrajanjem ili faktoriziranjem na nedjeljive faktore. Osim toga, lako je pronaći LCM ako je najveći djelitelj već određen. Za brojeve X i Y, LCM i GCD povezani su sljedećim odnosom:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Na primjer, ako je GCM(15,18) = 3, tada je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najočitiji primjer korištenja LCM je pronaći zajednički nazivnik, koji je najmanji zajednički višekratnik zadani razlomci.

Koprosti brojevi

Ako par brojeva nema zajedničkih djelitelja, onda se takav par naziva međusobno prostim. Gcd za takve parove uvijek je jednaka jedinici, a na temelju veze između djelitelja i višekratnika, gcd za međusobno proste parove jednaka je njihovom umnošku. Na primjer, brojevi 25 i 28 su relativno prosti, jer nemaju zajedničkih djelitelja, a LCM(25, 28) = 700, što odgovara njihovom umnošku. Bilo koja dva nedjeljiva broja uvijek će biti relativno prosti.

Zajednički djelitelj i višestruki kalkulator

Pomoću našeg kalkulatora možete izračunati GCD i LCM za proizvoljan broj brojeva koje možete izabrati. Zadaci o izračunu zajedničkih djelitelja i višekratnika nalaze se u aritmetici 5. i 6. razreda, ali GCD i LCM ključni su pojmovi u matematici i koriste se u teoriji brojeva, planimetriji i komunikativnoj algebri.

Primjeri iz stvarnog života

Zajednički nazivnik razlomaka

Najmanji zajednički višekratnik koristi se pri pronalaženju zajedničkog nazivnika nekoliko razlomaka. Recimo da u aritmetičkom problemu trebate zbrojiti 5 razlomaka:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Za zbrajanje razlomaka, izraz se mora svesti na zajednički nazivnik, što se svodi na problem pronalaženja LCM-a. Da biste to učinili, odaberite 5 brojeva u kalkulatoru i unesite vrijednosti nazivnika u odgovarajuće ćelije. Program će izračunati LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sada trebate izračunati dodatne faktore za svaki razlomak, koji su definirani kao omjer LCM-a i nazivnika. Tako bi dodatni množitelji izgledali ovako:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Nakon toga pomnožimo sve razlomke s odgovarajućim dodatnim faktorom i dobijemo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Lako možemo zbrojiti takve razlomke i dobiti rezultat kao 159/360. Smanjujemo razlomak za 3 i vidimo konačni odgovor - 53/120.

Rješavanje linearnih Diofantovih jednadžbi

Linearne Diofantove jednadžbe su izrazi oblika ax + by = d. Ako je omjer d / gcd(a, b) cijeli broj, onda je jednadžba rješiva ​​u cijelim brojevima. Provjerimo nekoliko jednadžbi da vidimo imaju li cjelobrojno rješenje. Prvo provjerimo jednadžbu 150x + 8y = 37. Pomoću kalkulatora nalazimo GCD (150,8) = 2. Podijelimo 37/2 = 18,5. Broj nije cijeli broj, stoga jednadžba nema cjelobrojne korijene.

Provjerimo jednadžbu 1320x + 1760y = 10120. Upotrijebite kalkulator da pronađete GCD(1320, 1760) = 440. Podijelite 10120/440 = 23. Kao rezultat, dobivamo cijeli broj, stoga je Diofantova jednadžba rješiva ​​u cjelobrojnim koeficijentima .

Zaključak

GCD i LCM igraju veliku ulogu u teoriji brojeva, a sami koncepti naširoko se koriste u raznim područjima matematike. Koristite naš kalkulator za izračun najvećih djelitelja i najmanjih višekratnika bilo kojeg broja brojeva.

Višekratnik je broj koji je danim brojem djeljiv bez ostatka. Najmanji zajednički višekratnik (LCM) grupe brojeva je najmanji broj koji je djeljiv sa svakim brojem u grupi bez ostavljanja ostatka. Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik, trebate pronaći proste faktore zadanih brojeva. LCM se također može izračunati korištenjem brojnih drugih metoda koje se primjenjuju na grupe od dva ili više brojeva.

Koraci

Serije višekratnika

Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su dana dva broja od kojih je svaki manji od 10. Ako su navedeni veći brojevi, upotrijebite drugu metodu.

• Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8. To su mali brojevi, pa možete koristiti ovu metodu.

1. Višekratnik je broj koji je danim brojem djeljiv bez ostatka. Višekratnike možete pronaći u tablici množenja.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 5 su: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapiši niz brojeva koji su višekratnici prvog broja. Učinite to pod višekratnicima prvog broja kako biste usporedili dva skupa brojeva.

   • Na primjer, brojevi koji su višekratnici broja 8 su: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Pronađite najmanji broj koji je prisutan u oba skupa višekratnika. Možda ćete morati napisati dug niz višekratnika da biste pronašli ukupni broj. Najmanji broj koji je prisutan u oba skupa višekratnika je najmanji zajednički višekratnik.

   • Na primjer, najmanji broj koji se pojavljuje u nizu višekratnika brojeva 5 i 8 je broj 40. Stoga je 40 najmanji zajednički višekratnik brojeva 5 i 8.

   Rastavljanje na proste faktore

   1. Pogledajte ove brojke. Ovdje opisanu metodu najbolje je koristiti kada su dana dva broja od kojih je svaki veći od 10. Ako su dati manji brojevi, upotrijebite drugu metodu.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84. Svaki od brojeva je veći od 10, tako da možete koristiti ovu metodu.

   2. Rastavi prvi broj na proste faktore. To jest, morate pronaći takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, rezultirati danim brojem. Nakon što pronađete proste faktore, zapišite ih kao jednakosti.

      • Na primjer, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta 10=20) I 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\puta (\mathbf (5) )=10). Dakle, prosti faktori broja 20 su brojevi 2, 2 i 5. Napiši ih kao izraz: .

   3. Rastavite drugi broj na proste faktore. Učinite to na isti način kao što ste faktorizirali prvi broj, odnosno pronađite takve proste brojeve koji će, kada se pomnože, dati zadani broj.

      • Na primjer, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\puta 6=42) I 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\puta (\mathbf (2) )=6). Dakle, prosti faktori broja 84 su brojevi 2, 7, 3 i 2. Zapiši ih kao izraz: .

   4. Zapiši faktore zajedničke obama brojevima. Napiši takve faktore kao operaciju množenja. Dok pišete svaki faktor, prekrižite ga u oba izraza (izrazi koji opisuju rastavljanje brojeva na proste faktore).

      • Na primjer, oba broja imaju zajednički faktor 2, pa napišite 2 × (\displaystyle 2\times ) i prekrižite 2 u oba izraza.
      • Ono što je zajedničko obama brojevima je još jedan faktor od 2, pa zapišite 2 × 2 (\displaystyle 2\puta 2) a drugo 2 precrtajte u oba izraza.

   5. Dodajte preostale faktore operaciji množenja. To su faktori koji nisu prekriženi u oba izraza, odnosno faktori koji nisu zajednički za oba broja.

      • Na primjer, u izrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\puta 2\puta 5) Oba dvojca (2) su prekrižena jer su zajednički faktori. Faktor 5 nije prekrižen, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\puta 2\puta 5)
      • U izrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\puta 7\puta 3\puta 2) obje dvije (2) također su prekrižene. Faktori 7 i 3 nisu prekriženi, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Izračunaj najmanji zajednički višekratnik. Da biste to učinili, pomnožite brojeve u napisanoj operaciji množenja.

      • Na primjer, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 84 je 420.

   Pronalaženje zajedničkih faktora

   1. Nacrtajte mrežu kao za igru ​​tic-tac-toe. Takva se mreža sastoji od dvije paralelne crte koje se sijeku (pod pravim kutom) s druge dvije paralelne crte. To će vam dati tri retka i tri stupca (mreža izgleda dosta poput ikone #). Napišite prvi broj u prvi redak i drugi stupac. Napišite drugi broj u prvi red i treći stupac.

      • Na primjer, pronađite najmanji zajednički višekratnik brojeva 18 i 30. Napišite broj 18 u prvi red i drugi stupac, a broj 30 napišite u prvi red i treći stupac.

   2. Pronađite zajednički djelitelj oba broja. Zapišite to u prvi red i prvi stupac. Bolje je tražiti primarne faktore, ali to nije uvjet.

      • Na primjer, 18 i 30 su parni brojevi, pa im je zajednički faktor 2. Dakle, napišite 2 u prvi red i prvi stupac.

   3. Svaki broj podijelite prvim djeliteljem. Svaki kvocijent zapiši pod odgovarajućim brojem. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja.

      • Na primjer, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), pa ispod 18 napiši 9.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), pa zapišite 15 ispod 30.

   4. Pronađite zajednički djelitelj obama količnicima. Ako ne postoji takav djelitelj, preskočite sljedeća dva koraka. U suprotnom, upišite djelitelj u drugi red i prvi stupac.

      • Na primjer, 9 i 15 su djeljivi s 3, pa upišite 3 u drugi red i prvi stupac.

   5. Podijelite svaki kvocijent s drugim djeliteljem. Svaki rezultat dijeljenja upiši ispod odgovarajućeg kvocijenta.

      • Na primjer, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), pa ispod 9 napiši 3.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), pa ispod 15 napiši 5.

   6. Ako je potrebno, dodajte dodatne ćelije u mrežu. Ponavljajte opisane korake dok količnici ne dobiju zajednički djelitelj.

   7. Zaokružite brojeve u prvom stupcu i zadnjem retku mreže. Zatim zapišite odabrane brojeve kao operaciju množenja.

      • Na primjer, brojevi 2 i 3 su u prvom stupcu, a brojevi 3 i 5 su u zadnjem redu, pa operaciju množenja zapišite ovako: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5).

   8. Pronađite rezultat množenja brojeva. Ovo će izračunati najmanji zajednički višekratnik dva zadana broja.

      • Na primjer, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\puta 3\puta 3\puta 5=90). Dakle, najmanji zajednički višekratnik brojeva 18 i 30 je 90.

   Euklidov algoritam

   1. Zapamtite terminologiju povezanu s operacijom dijeljenja. Dividenda je broj koji se dijeli. Djelitelj je broj s kojim se dijeli. Kvocijent je rezultat dijeljenja dva broja. Ostatak je broj koji preostane kada se dva broja podijele.

      • Na primjer, u izrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 je dividenda
        6 je djelitelj
        2 je kvocijent
        3 je ostatak.

Drugi broj: b=

Razdjelnik tisućica Bez razdjelnika razmaka "´

Proizlaziti:

Najveći zajednički djelitelj gcd( a,b)=6

Najmanji zajednički višekratnik LCM( a,b)=468

Najveći prirodni broj koji se bez ostatka može podijeliti brojevima a i b naziva se najveći zajednički djelitelj(GCD) ovih brojeva. Označava se s gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ili hcf(a,b).

Najmanji zajednički višekratnik LCM dva cijela broja a i b je najmanji prirodni broj koji je djeljiv s a i b bez ostatka. Označava se kao LCM(a,b) ili lcm(a,b).

Pozivaju se cijeli brojevi a i b međusobno prosti, ako nemaju zajedničkih djelitelja osim +1 i −1.

Najveći zajednički djelitelj

Neka su dana dva pozitivna broja a 1 i a 2 1). Potrebno je pronaći zajednički djelitelj ovih brojeva, tj. naći takav broj λ , koji dijeli brojeve a 1 i a 2 u isto vrijeme. Opišimo algoritam.

1) U ovom članku riječ broj podrazumijevat će se kao cijeli broj.

Neka a 1 ≥ a 2 i neka

Gdje m 1 , a 3 su neki cijeli brojevi, a 3 <a 2 (ostatak dijeljenja a 1 osoba a 2 bi trebalo biti manje a 2).

Hajdemo to pretvarati λ dijeli a 1 i a 2 zatim λ dijeli m 1 a 2 i λ dijeli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Tvrdnja 2. članka “Djeljivost brojeva. Test djeljivosti”). Slijedi da svaki zajednički djelitelj a 1 i a 2 je zajednički djelitelj a 2 i a 3. Obrnuto vrijedi i ako λ zajednički djelitelj a 2 i a 3 zatim m 1 a 2 i a 1 =m 1 a 2 +a 3 je također djeljiv sa λ . Stoga zajednički djelitelj a 2 i a 3 je također zajednički djelitelj a 1 i a 2. Jer a 3 <a 2 ≤a 1, onda možemo reći da je rješenje problema nalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 sveo na jednostavniji problem pronalaženja zajedničkog djelitelja brojeva a 2 i a 3 .

Ako a 3 ≠0, onda možemo podijeliti a 2 uključeno a 3. Zatim

,

Gdje m 1 i a 4 su neki cijeli brojevi, ( a 4 ostatak od dijeljenja a 2 uključeno a 3 (a 4 <a 3)). Sličnim razmišljanjem dolazimo do zaključka da zajednički djelitelji brojeva a 3 i a 4 se poklapa sa zajedničkim djeliteljima brojeva a 2 i a 3, a također i sa zajedničkim djeliteljima a 1 i a 2. Jer a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... su brojevi koji se stalno smanjuju, a budući da postoji konačan broj cijelih brojeva između a 2 i 0, zatim na nekom koraku n, ostatak dijeljenja a n na a n+1 će biti jednako nuli ( a n+2 =0).

.

Svaki zajednički djelitelj λ brojevima a 1 i a 2 je također djelitelj brojeva a 2 i a 3 , a 3 i a 4 , .... a n i a n+1 . Vrijedi i obrnuto, zajednički djelitelji brojeva a n i a n+1 su također djelitelji brojeva a n−1 i a n, ...., a 2 i a 3 , a 1 i a 2. Ali zajednički djelitelj brojeva a n i a n+1 je broj a n+1, jer a n i a n+1 su djeljivi sa a n+1 (zapamtite to a n+2 =0). Stoga a n+1 je također djelitelj brojeva a 1 i a 2 .

Imajte na umu da broj a n+1 je najveći djelitelj brojeva a n i a n+1 , budući da je najveći djelitelj a n+1 je sam a n+1 . Ako a n+1 može se predstaviti kao umnožak cijelih brojeva, tada su ti brojevi također uobičajeni djelitelji brojeva a 1 i a 2. Broj a n+1 se zove najveći zajednički djelitelj brojevima a 1 i a 2 .

Brojke a 1 i a 2 mogu biti pozitivni ili negativni brojevi. Ako je jedan od brojeva jednak nuli, tada će najveći zajednički djelitelj tih brojeva biti jednak apsolutnoj vrijednosti drugog broja. Najveći zajednički djelitelj brojeva nula je nedefiniran.

Gornji algoritam se zove Euklidski algoritam pronaći najveći zajednički djelitelj dvaju cijelih brojeva.

Primjer nalaženja najvećeg zajedničkog djelitelja dvaju brojeva

Odredi najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva 630 i 434.

• Korak 1. Podijelite broj 630 sa 434. Ostatak je 196.
• Korak 2. Podijelite broj 434 sa 196. Ostatak je 42.
• Korak 3. Podijelite broj 196 sa 42. Ostatak je 28.
• Korak 4. Podijelite broj 42 sa 28. Ostatak je 14.
• Korak 5. Podijelite broj 28 sa 14. Ostatak je 0.

U koraku 5, ostatak dijeljenja je 0. Stoga je najveći zajednički djelitelj brojeva 630 i 434 14. Primijetite da su brojevi 2 i 7 također djelitelji brojeva 630 i 434.

Koprosti brojevi

Definicija 1. Neka je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 je jednako jedan. Zatim se pozivaju ti brojevi međusobno prosti brojevi, bez zajedničkog djelitelja.

Teorema 1. Ako a 1 i a 2 međusobno prosta broja, i λ neki broj, zatim bilo koji zajednički djelitelj brojeva λa 1 i a 2 je također zajednički djelitelj brojeva λ I a 2 .

Dokaz. Razmotrimo Euklidov algoritam za pronalaženje najvećeg zajedničkog djelitelja brojeva a 1 i a 2 (vidi gore).

.

Iz uvjeta teorema proizlazi da je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2 i stoga a n i a n+1 je 1. To jest a n+1 =1.

Pomnožimo sve te jednakosti s λ , Zatim

.

Neka zajednički djelitelj a 1 λ I a 2 da δ . Zatim δ uključen je kao množitelj u a 1 λ , m 1 a 2 λ i u a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (vidi "Djeljivost brojeva", izjava 2). Unaprijediti δ uključen je kao množitelj u a 2 λ I m 2 a 3 λ , i stoga je faktor u a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Ovako razmišljajući, uvjereni smo da δ uključen je kao množitelj u a n−1 λ I m n−1 a n λ , a samim tim i u a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Jer a n+1 =1, tada δ uključen je kao množitelj u λ . Stoga broj δ je zajednički djelitelj brojeva λ I a 2 .

Razmotrimo posebne slučajeve teorema 1.

Posljedica 1. Neka a I c Prosti brojevi su relativni b. Zatim njihov proizvod ak je prost broj u odnosu na b.

Stvarno. Iz teorema 1 ak I b imaju iste zajedničke djelitelje kao c I b. Ali brojke c I b relativno jednostavno, tj. imaju jedan jedini zajednički djelitelj 1. Zatim ak I b također imaju jedan zajednički djelitelj 1. Prema tome ak I b međusobno jednostavni.

Posljedica 2. Neka a I b međusobno prosti brojevi i neka b dijeli ak. Zatim b dijeli i k.

Stvarno. Iz uvjeta odobrenja ak I b imaju zajednički djelitelj b. Na temelju teorema 1, b mora biti zajednički djelitelj b I k. Stoga b dijeli k.

Korolar 1 može se generalizirati.

Posljedica 3. 1. Neka brojevi a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m su prosti u odnosu na broj b. Zatim a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, umnožak ovih brojeva je prost u odnosu na broj b.

2. Neka imamo dva reda brojeva

tako da je svaki broj u prvom nizu prost u odnosu na svaki broj u drugom nizu. Zatim proizvod

Trebate pronaći brojeve koji su djeljivi sa svakim od ovih brojeva.

Ako je broj djeljiv sa a 1, tada ima oblik sa 1 gdje s neki broj. Ako q je najveći zajednički djelitelj brojeva a 1 i a 2, dakle

Gdje s 1 je neki cijeli broj. Zatim

je najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2 .

a 1 i a 2 su relativno prosti, onda najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 i a 2:

Moramo pronaći najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva.

Iz navedenog slijedi da svaki višekratnik brojeva a 1 , a 2 , a 3 mora biti višekratnik brojeva ε I a 3 i natrag. Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε I a 3 da ε 1 . Zatim, višekratnici brojeva a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti višekratnik brojeva ε 1 i a 4 . Neka je najmanji zajednički višekratnik brojeva ε 1 i a 4 da ε 2. Tako smo saznali da su svi višekratnici brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m podudaraju se s višekratnicima određenog broja ε n, koji se naziva najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva.

U posebnom slučaju kada brojevi a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m su relativno prosti, onda najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 , a 2, kao što je gore prikazano, ima oblik (3). Dalje, budući da a 3 prosti broj u odnosu na brojeve a 1 , a 2 zatim a 3 prosti broj a 1 · a 2 (Korolar 1). Označava najmanji zajednički višekratnik brojeva a 1 ,a 2 ,a 3 je broj a 1 · a 2 · a 3. Rezonirajući na sličan način, dolazimo do sljedećih tvrdnji.

Izjava 1. Najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je jednako njihovom umnošku a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Izjava 2. Svaki broj koji je djeljiv sa svakim od međusobno prostih brojeva a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je također djeljiv njihovim umnoškom a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Da biste razumjeli kako izračunati LCM, prvo morate odrediti značenje pojma "više".

Višekratnik broja A je prirodan broj koji je djeljiv s A bez ostatka, dakle, brojevi koji su višekratnici broja 5 mogu se smatrati brojevima 15, 20, 25 i tako dalje.

Može postojati ograničen broj djelitelja određenog broja, ali postoji beskonačan broj višekratnika.

Zajednički višekratnik prirodnih brojeva je broj koji je s njima djeljiv bez ostatka.

Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva

Najmanji zajednički višekratnik (NZM) brojeva (dva, tri ili više) je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svim tim brojevima.

Da biste pronašli LOC, možete koristiti nekoliko metoda.

Za male brojeve zgodno je zapisati sve višekratnike tih brojeva na crtu dok ne pronađete nešto zajedničko među njima. Višekratnici se označavaju velikim slovom K.

Na primjer, višekratnici broja 4 mogu se napisati ovako:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Dakle, možete vidjeti da je najmanji zajednički višekratnik brojeva 4 i 6 broj 24. Ovaj zapis se radi na sljedeći način:

LCM(4, 6) = 24

Ako su brojevi veliki, pronađite zajednički višekratnik tri ili više brojeva, tada je bolje koristiti drugu metodu izračuna LCM.

Da biste dovršili zadatak, potrebno je dane brojeve rastavite na proste faktore.

Najprije na crtu treba zapisati razlaganje najvećeg broja, a ispod njega - ostatak.

Rastavljanje svakog broja može sadržavati različit broj faktora.

Na primjer, rastavimo brojeve 50 i 20 na proste faktore.

U proširenju manjeg broja treba istaknuti faktore koji nedostaju u proširenju prvog najvećeg broja, a zatim mu ih dodati. U prikazanom primjeru nedostaje dvojka.

Sada možete izračunati najmanji zajednički višekratnik brojeva 20 i 50.

LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Dakle, umnožak prostih faktora većeg broja i faktora drugog broja koji nisu bili uključeni u proširenje većeg broja bit će najmanji zajednički višekratnik.

Da biste pronašli LCM tri ili više brojeva, trebate ih sve rastaviti na proste faktore, kao u prethodnom slučaju.

Kao primjer, možete pronaći najmanji zajednički višekratnik brojeva 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Dakle, samo dvije dvojke iz proširenja šesnaest nisu ušle u faktoriziranje većeg broja (jedan je u proširenju dvadeset četiri).

Dakle, potrebno ih je dodati proširenju većeg broja.

LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Postoje posebni slučajevi određivanja najmanjeg zajedničkog višekratnika. Dakle, ako se jedan od brojeva može podijeliti bez ostatka s drugim, tada će veći od tih brojeva biti najmanji zajednički višekratnik.

Na primjer, LCM od dvanaest i dvadeset četiri je dvadeset četiri.

Ako je potrebno pronaći najmanji zajednički višekratnik međusobno prostih brojeva koji nemaju identične djelitelje, tada će njihov LCM biti jednak njihovom umnošku.

Na primjer, LCM (10, 11) = 110.