Grafovi funkcija što su k i b. Linearna funkcija

LINEARNE JEDNADŽBE I NEJEDNAČBE I

§ 3 Linearne funkcije i njihovi grafovi

Razmotrite jednakost

na = 2x + 1. (1)

Vrijednost svakog slova x ova jednakost stavlja u korespondenciju vrlo specifično značenje slova na . Ako npr. x = 0, tada na = 2 0 + 1 = 1; Ako x = 10, dakle na = 2 10 + 1 = 21; na x = - 1 / 2 imamo y = 2 (- 1 / 2) + 1 = 0, itd. Okrenimo se drugoj jednakosti:

na = x 2 (2)

Svaka vrijednost x ova jednakost, poput jednakosti (1), pridružuje dobro definiranu vrijednost na . Ako npr. x = 2, tada na = 4; na x = - 3 dobivamo na = 9 itd. Jednakosti (1) i (2) povezuju dvije veličine x I na tako da svaka vrijednost jednog od njih ( x ) stavlja se u korespondenciju s dobro definiranom vrijednošću druge veličine ( na ).

Ako svaka vrijednost količine x odgovara vrlo specifičnoj vrijednosti na, onda ova vrijednost na naziva se funkcija od x. Veličina x to se zove argument funkcije na.

Dakle, formule (1) i (2) definiraju dvije različite funkcije argumenta x .

Funkcija argumenta x , koji ima oblik

y = sjekira + b , (3)

Gdje A I b - pozivaju se neki zadani brojevi linearni. Primjer linearne funkcije može biti bilo koja od funkcija:

y = x + 2 (A = 1, b = 2);
na = - 10 (A = 0, b = - 10);
na = - 3x (A = - 3, b = 0);
na = 0 (a = b = 0).

Kao što je poznato iz tečaja VIII razreda, graf funkcije y = sjekira + b je ravna linija. Zato se ova funkcija naziva linearnom.

Prisjetimo se kako se konstruira graf linearne funkcije y = sjekira + b .

1. Graf funkcije y = b . Na a = 0 linearna funkcija y = sjekira + b izgleda kao y = b . Njegov graf je ravna linija paralelna s osi x i presječne osi na na ordinatnoj točki b . Na slici 1 vidite graf funkcije y = 2 ( b > 0), a na slici 2 je graf funkcije na = - 1 (b < 0).

Ako ne samo A , ali također b jednaka nuli, tada funkcija y= ax+ b izgleda kao na = 0. U ovom slučaju njegov se graf poklapa s osi x (Sl. 3.)

2. Graf funkcije y = ah . Na b = 0 linearna funkcija y = sjekira + b izgleda kao y = ah .

Ako A =/= 0, tada je njegov graf ravna linija koja prolazi kroz ishodište i nagnuta je prema osi x pod kutom φ , čiji je tangens jednak A (slika 4). Za konstruiranje ravne linije y = ah dovoljno je pronaći bilo koju njegovu točku različitu od ishodišta koordinata. Uz pretpostavku, na primjer, u jednakosti y = ah x = 1, dobivamo na = A . Dakle, točka M s koordinatama (1; A ) leži na našoj ravnoj crti (slika 4). Sada crtajući ravnu liniju kroz ishodište i točku M, dobivamo željenu ravnu liniju y = sjekira .

Na slici 5 kao primjer nacrtana je ravna linija na = 2x (A > 0), a na slici 6 - ravna y = - x (A < 0).

3. Graf funkcije y = sjekira + b .

Neka b > 0. Zatim pravac y = sjekira + b y = ah na b jedinice gore. Kao primjer, slika 7 prikazuje konstrukciju pravca na = x / 2 + 3.

Ako b < 0, то прямая y = sjekira + b dobiven paralelnim pomakom pravca y = ah na - b jedinice dolje. Kao primjer, slika 8 prikazuje konstrukciju pravca na = x / 2 - 3

Direktno y = sjekira + b može se graditi na drugi način.

Bilo koja ravna linija u potpunosti je određena sa svoje dvije točke. Stoga, za iscrtavanje grafa funkcije y = sjekira + b Dovoljno je pronaći bilo koje dvije njegove točke i zatim kroz njih povući ravnu liniju. Objasnimo to na primjeru funkcije na = - 2x + 3.

Na x = 0 na = 3, i na x = 1 na = 1. Dakle, dvije točke: M s koordinatama (0; 3) i N s koordinatama (1; 1) - leže na našem pravcu. Označavanjem ovih točaka na koordinatnoj ravnini i njihovim spajanjem ravnom crtom (sl. 9) dobivamo graf funkcije na = - 2x + 3.

Umjesto točaka M i N, mogu se, naravno, uzeti druge dvije točke. Na primjer, kao vrijednosti x mogli bismo izabrati ne 0 i 1, kao gore, već - 1 i 2,5. Zatim za na dobili bismo vrijednosti 5, odnosno - 2. Umjesto točaka M i N, imali bismo točke P s koordinatama (- 1; 5) i Q s koordinatama (2,5; - 2). Te dvije točke, kao i točke M i N, u potpunosti određuju traženi pravac na = - 2x + 3.

Vježbe

15. Konstruirajte grafove funkcija na istoj slici:

A) na = - 4; b) na = -2; V) na = 0; G) na = 2; d) na = 4.

Sjeku li ti grafovi koordinatne osi? Ako se sijeku, označite koordinate točaka sjecišta.

16. Konstruirajte grafove funkcija na istoj slici:

A) na = x / 4 ; b) na = x / 2 ; V) na =x ; G) na = 2x ; d) na = 4x .

17. Konstruirajte grafove funkcija na istoj slici:

A) na = - x / 4 ; b) na = - x / 2 ; V) na = - X ; G) na = - 2x ; d) na = - 4x .

Konstruirajte grafove ovih funkcija (br. 18-21) i odredite koordinate točaka presjeka tih grafova s ​​koordinatnim osima.

18. na = 3+ x . 20. na = - 4 - x .

19. na = 2x - 2. 21. na = 0,5(1 - 3x ).

22. Grafički nacrtajte funkciju

na = 2x - 4;

pomoću ovog grafikona saznajte: a) pri kojim vrijednostima x y = 0;

b) pri kojim vrijednostima x vrijednosti na negativno i pod kojim uvjetima - pozitivno;

c) pri kojim vrijednostima x količinama x I na imaju iste znakove;

d) pri kojim vrijednostima x količinama x I na imaju različite znakove.

23. Napišite jednadžbe pravaca sa slika 10 i 11.

24. Koji su od poznatih fizikalnih zakona opisani pomoću linearnih funkcija?

25. Kako prikazati graf funkcije na = - (sjekira + b ), ako je dan graf funkcije y = sjekira + b ?

Naučiti izvoditi funkcije. Derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenoj točki koja leži na grafu ove funkcije. U ovom slučaju, grafikon može biti ravna ili zakrivljena linija. To jest, derivacija karakterizira brzinu promjene funkcije u određenom trenutku u vremenu. Zapamtite opća pravila po kojima se izvode, a tek onda prijeđite na sljedeći korak.

• Pročitaj članak.
• Opisano je kako uzeti najjednostavnije izvode, npr. izvod eksponencijalne jednadžbe. Izračuni predstavljeni u sljedećim koracima temeljit će se na tamo opisanim metodama.

Naučiti razlikovati zadatke u kojima koeficijent nagiba treba izračunati preko derivacije funkcije. Problemi ne traže uvijek da pronađete nagib ili derivaciju funkcije. Na primjer, od vas se može tražiti da pronađete brzinu promjene funkcije u točki A(x,y). Od vas se također može tražiti da pronađete nagib tangente u točki A(x,y). U oba slučaja potrebno je uzeti izvod funkcije.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

>>Matematika: Linearna funkcija i njezin graf

Linearna funkcija i njezin graf

Algoritam za konstrukciju grafa jednadžbe ax + by + c = 0, koji smo formulirali u § 28, uza svu njegovu jasnoću i sigurnost, matematičarima se baš i ne sviđa. Obično iznose tvrdnje o prva dva koraka algoritma. Zašto, kažu, dvaput rješavati jednadžbu za varijablu y: prvo ax1 + by + c = O, zatim ax1 + by + c = O? Nije li bolje odmah izraziti y iz jednadžbe ax + by + c = 0, tada će biti lakše izvršiti izračune (i, što je najvažnije, brže)? Provjerimo. Razmotrimo prvo jednadžba 3x - 2y + 6 = 0 (vidi primjer 2 iz § 28).

Davanjem x specifičnih vrijednosti, lako je izračunati odgovarajuće y vrijednosti. Na primjer, kada je x = 0 dobivamo y = 3; pri x = -2 imamo y = 0; za x = 2 imamo y = 6; za x = 4 dobivamo: y = 9.

Vidite kako su lako i brzo pronađene točke (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) i (4; 9), koje su istaknute u primjeru 2 iz § 28.

Na isti način bi se jednadžba bx - 2y = 0 (vidi primjer 4 iz § 28) mogla transformirati u oblik 2y = 16 -3x. dalje y = 2,5x; nije teško pronaći točke (0; 0) i (2; 5) koje zadovoljavaju ovu jednadžbu.

Konačno, jednadžba 3x + 2y - 16 = 0 iz istog primjera može se transformirati u oblik 2y = 16 -3x i tada nije teško pronaći točke (0; 0) i (2; 5) koje je zadovoljavaju.

Razmotrimo sada te transformacije u općem obliku.

Dakle, linearna jednadžba (1) s dvije varijable x i y uvijek se može transformirati u oblik
y = kx + m,(2) gdje su k,m brojevi (koeficijenti), i .

Ovu posebnu vrstu linearne jednadžbe nazvat ćemo linearna funkcija.

Koristeći jednakost (2), lako je specificirati određenu vrijednost x i izračunati odgovarajuću vrijednost y. Neka npr.

y = 2x + 3. Zatim:
ako je x = 0, tada je y = 3;
ako je x = 1, tada je y = 5;
ako je x = -1, tada je y = 1;
ako je x = 3, tada je y = 9 itd.

Ti su rezultati obično prikazani u obliku stolovi:

Vrijednosti y iz drugog retka tablice nazivaju se vrijednostima linearne funkcije y = 2x + 3, odnosno u točkama x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

U jednadžbi (1) varijable hnu su jednake, ali u jednadžbi (2) nisu: jednoj od njih – varijabli x pripisujemo specifične vrijednosti, dok vrijednost varijable y ovisi o odabranoj vrijednosti varijable x. Stoga obično kažemo da je x nezavisna varijabla (ili argument), a y zavisna varijabla.

Imajte na umu da je linearna funkcija posebna vrsta linearne jednadžbe s dvije varijable. Grafikon jednadžbe y - kx + m, kao i svaka linearna jednadžba s dvije varijable, je ravna linija - naziva se i graf linearne funkcije y = kx + m. Dakle, vrijedi sljedeći teorem.

Primjer 1. Konstruirajte graf linearne funkcije y = 2x + 3.

Riješenje. Napravimo tablicu:

U drugoj situaciji nezavisna varijabla x, koja kao i u prvoj situaciji označava broj dana, može poprimiti samo vrijednosti 1, 2, 3, ..., 16. Doista, ako je x = 16, tada koristeći formulu y = 500 - 30x nalazimo : y = 500 - 30 16 = 20. To znači da već 17. dan neće biti moguće izvaditi 30 tona ugljena iz skladišta, jer do danas samo 20 tona će ostati u skladištu i morat će se zaustaviti proces odvoza ugljena. Stoga rafinirani matematički model druge situacije izgleda ovako:

y = 500 - ZOD:, gdje je x = 1, 2, 3, .... 16.

U trećoj situaciji neovisno varijabla x teoretski može poprimiti bilo koju nenegativnu vrijednost (na primjer, x vrijednost = 0, x vrijednost = 2, x vrijednost = 3,5 itd.), ali praktički turist ne može hodati konstantnom brzinom bez sna i odmora za bilo koji iznos od vremena . Dakle, morali smo napraviti razumna ograničenja na x, recimo 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Podsjetimo se da je geometrijski model nestroge dvostruke nejednakosti 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Dogovorimo se da umjesto fraze “x pripada skupu X” napišemo (čitaj: “element x pripada skupu X”, e je znak pripadnosti). Kao što vidite, naše upoznavanje matematičkog jezika je u stalnom tijeku.

Ako linearnu funkciju y = kx + m treba uzeti u obzir ne za sve vrijednosti x, već samo za vrijednosti x iz određenog numeričkog intervala X, tada pišu:

Primjer 2. Grafički nacrtajte linearnu funkciju:

Rješenje, a) Napravimo tablicu za linearnu funkciju y = 2x + 1

Konstruirajmo točke (-3; 7) i (2; -3) na xOy koordinatnoj ravnini i kroz njih povucimo ravnu liniju. Ovo je graf jednadžbe y = -2x: + 1. Zatim odaberite segment koji povezuje konstruirane točke (Sl. 38). Ovaj segment je graf linearne funkcije y = -2x+1, gdje je xe [-3, 2].

Obično kažu ovako: nacrtali smo linearnu funkciju y = - 2x + 1 na segmentu [- 3, 2].

b) Po čemu se ovaj primjer razlikuje od prethodnog? Linearna funkcija je ista (y = -2x + 1), što znači da ista ravna linija služi kao njen graf. Ali budi pažljiv! - ovaj put x e (-3, 2), tj. vrijednosti x = -3 i x = 2 se ne uzimaju u obzir, ne pripadaju intervalu (- 3, 2). Kako smo označili krajeve intervala na koordinatnoj liniji? Svjetlosni krugovi (sl. 39), o tome smo govorili u § 26. Slično, točke (- 3; 7) i B; - 3) moraju biti označeni na crtežu svijetlim kružićima. To će nas podsjetiti da su uzete samo one točke pravca y = - 2x + 1 koje leže između točaka označenih kružićima (slika 40). Međutim, ponekad u takvim slučajevima koriste strelice umjesto svijetlih krugova (slika 41). Ovo nije temeljno, glavna stvar je razumjeti što se govori.

Primjer 3. Pronađite najveću i najmanju vrijednost linearne funkcije na segmentu.
Riješenje. Napravimo tablicu za linearnu funkciju

Konstruirajmo točke (0; 4) i (6; 7) na xOy koordinatnoj ravnini i kroz njih povucimo ravnu crtu - graf linearne x funkcije (sl. 42).

Ovu linearnu funkciju ne trebamo promatrati kao cjelinu, već na segmentu, tj. za x e.

Odgovarajući segment grafa označen je na crtežu. Napominjemo da je najveća ordinata točaka koje pripadaju odabranom dijelu jednaka 7 - to je najveća vrijednost linearne funkcije na segmentu. Obično se koristi sljedeći zapis: y max =7.

Napominjemo da je najmanja ordinata točaka koje pripadaju dijelu pravca označenom na slici 42 jednaka 4 - to je najmanja vrijednost linearne funkcije na segmentu.
Obično se koristi sljedeća oznaka: y ime. = 4.

Primjer 4. Pronađite y naib i y naim. za linearnu funkciju y = -1,5x + 3,5

a) na segmentu; b) na intervalu (1.5);
c) na poluintervalu.

Riješenje. Napravimo tablicu za linearnu funkciju y = -l.5x + 3.5:

Konstruirajmo točke (1; 2) i (5; - 4) na koordinatnoj ravnini xOy i kroz njih povucimo ravnu crtu (sl. 43-47). Odaberimo na konstruiranoj ravnoj liniji dio koji odgovara vrijednostima x iz segmenta (Slika 43), iz intervala A, 5) (Slika 44), iz poluintervala (Slika 47).

a) Pomoću slike 43 lako je zaključiti da je y max = 2 (linearna funkcija tu vrijednost postiže pri x = 1), a y min. = - 4 (linearna funkcija postiže ovu vrijednost pri x = 5).

b) Pomoću slike 44 zaključujemo: ova linearna funkcija nema ni najveću ni najmanju vrijednost na zadanom intervalu. Zašto? Činjenica je da su, za razliku od prethodnog slučaja, oba kraja segmenta, u kojima su postignute najveća i najmanja vrijednost, isključena iz razmatranja.

c) Pomoću slike 45 zaključujemo da je y max. = 2 (kao u prvom slučaju), a linearna funkcija nema minimalnu vrijednost (kao u drugom slučaju).

d) Pomoću slike 46. zaključujemo: y max = 3,5 (linearna funkcija tu vrijednost postiže pri x = 0), a y max. ne postoji.

e) Pomoću slike 47 zaključujemo: y max = -1 (linearna funkcija postiže ovu vrijednost pri x = 3), a y max ne postoji.

Primjer 5. Nacrtajte graf linearne funkcije

y = 2x - 6. Pomoću grafikona odgovorite na sljedeća pitanja:

a) pri kojoj će vrijednosti x biti y = 0?
b) za koje će vrijednosti x biti y > 0?
c) pri kojim će vrijednostima x biti y< 0?

Rješenje Napravimo tablicu za linearnu funkciju y = 2x-6:

Kroz točke (0; - 6) i (3; 0) povučemo ravnu liniju - graf funkcije y = 2x - 6 (slika 48).

a) y = 0 u x = 3. Graf siječe os x u točki x = 3, to je točka s ordinatom y = 0.
b) y > 0 za x > 3. Naime, ako je x > 3, tada se pravac nalazi iznad x osi, što znači da su ordinate odgovarajućih točaka pravca pozitivne.

c) na< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Imajte na umu da smo u ovom primjeru koristili grafikon za rješavanje:

a) jednadžba 2x - 6 = 0 (dobili smo x = 3);
b) nejednakost 2x - 6 > 0 (dobili smo x > 3);
c) nejednakost 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Komentar. Na ruskom se isti objekt često naziva različito, na primjer: "kuća", "zgrada", "građevina", "koliba", "kuća", "baraka", "koliba", "koliba". Matematičkim jezikom situacija je otprilike ista. Recimo, jednadžba s dvije varijable y = kx + m, gdje su k, m određeni brojevi, može se nazvati linearnom funkcijom, može se nazvati linearnom jednadžbom s dvije varijable x i y (ili s dvije nepoznanice x i y), može se nazvati formulom, može se nazvati odnosom koji povezuje x i y, može se na kraju nazvati ovisnošću između x i y. Ovo nije važno, glavna stvar je razumjeti da u svim slučajevima govorimo o matematičkom modelu y = kx + m

.

Razmotrite graf linearne funkcije prikazan na slici 49, a. Ako se krećemo po ovom grafu s lijeva na desno, onda se ordinate točaka na grafu stalno povećavaju, kao da se “penjemo uz brdo”. U takvim slučajevima matematičari koriste izraz povećanje i kažu ovo: ako je k>0, tada linearna funkcija y = kx + m raste.

Razmotrite graf linearne funkcije prikazan na slici 49, b. Ako se krećemo po ovom grafu s lijeva na desno, tada se ordinate točaka na grafu cijelo vrijeme smanjuju, kao da se “spuštamo niz brdo”. U takvim slučajevima matematičari koriste izraz smanjenje i kažu ovo: ako k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Linearna funkcija u životu

Sada rezimiramo ovu temu. Već smo se upoznali s takvim konceptom kao što je linearna funkcija, znamo njena svojstva i naučili kako graditi grafikone. Također, razmatrali ste posebne slučajeve linearnih funkcija i naučili o čemu ovisi međusobni položaj grafova linearnih funkcija. Ali ispada da se u našem svakodnevnom životu također stalno susrećemo s ovim matematičkim modelom.

Razmislimo o tome koje su situacije u stvarnom životu povezane s konceptom kao što su linearne funkcije? I također, između kojih je količina ili životnih situacija moguće uspostaviti linearni odnos?

Mnogi od vas vjerojatno ne razumiju baš zašto trebaju proučavati linearne funkcije, jer je malo vjerojatno da će to biti korisno u kasnijem životu. Ali tu ste duboko u zabludi, jer funkcije susrećemo stalno i posvuda. Jer i redovita mjesečna najamnina također je funkcija koja ovisi o mnogim varijablama. A te varijable uključuju kvadraturu, broj stanovnika, tarife, potrošnju električne energije itd.

Naravno, najčešći primjeri funkcija linearne ovisnosti s kojima smo se susreli su na nastavi matematike.

Ti i ja rješavali smo zadatke u kojima smo nalazili udaljenosti koje prijeđu automobili, vlakovi ili pješaci pri određenoj brzini. To su linearne funkcije vremena kretanja. No ovi primjeri nisu primjenjivi samo u matematici, prisutni su iu našem svakodnevnom životu.

Kalorijski sadržaj mliječnih proizvoda ovisi o udjelu masti, a takva je ovisnost najčešće linearna. Na primjer, s povećanjem postotka masti u kiselom vrhnju povećava se i kalorijski sadržaj proizvoda.

Sada napravimo izračune i pronađimo vrijednosti k i b rješavanjem sustava jednadžbi:

Izvedimo sada formulu ovisnosti:

Kao rezultat, dobili smo linearni odnos.

Brzinu širenja zvuka ovisno o temperaturi moguće je saznati pomoću formule: v = 331 +0,6t, gdje je v brzina (u m/s), t temperatura. Nacrtamo li graf tog odnosa vidjet ćemo da će on biti linearan, odnosno da će predstavljati ravnu liniju.

A takve praktične upotrebe znanja u primjeni linearne funkcionalne ovisnosti mogu se nabrajati još dugo. Počevši od telefonskih troškova, duljine i rasta kose, pa čak i poslovica u književnosti. I ovaj popis ide u nedogled.

Kalendarsko-tematsko planiranje iz matematike, video iz matematike online, Matematika u školi download

A. V. Pogorelov, Geometrija za razrede 7-11, Udžbenik za obrazovne ustanove

1) Domena funkcije i područje funkcije.

Domena funkcije je skup svih valjanih valjanih vrijednosti argumenata x(varijabilno x), za koju je funkcija y = f(x) odlučan. Raspon funkcije je skup svih realnih vrijednosti g, što funkcija prihvaća.

U elementarnoj matematici funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Funkcijske nule.

Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnog predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Rastuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija kod koje većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala odgovara veća vrijednost funkcije.

Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija kod koje manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala.

5) Parna (neparna) funkcija.

Parna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična s obzirom na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Neparna funkcija je funkcija čija je definicijska domena simetrična s obzirom na ishodište i za bilo koji x iz domene definicije jednakost je istinita f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T različit od nule da za bilo koji x iz domene definicije funkcije vrijedi: f(x+T) = f(x). Taj najmanji broj naziva se periodom funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).

19. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u ekonomiji.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafikoni

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b realni brojevi.

Broj A koji se naziva nagib pravca, jednak je tangensu kuta nagiba ovog pravca na pozitivan smjer x-osi. Graf linearne funkcije je pravac. Definiraju ga dvije točke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domena definicije - skup svih realnih brojeva: D(y)=R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija poprima nultu vrijednost kada ili.

4. Funkcija raste (opada) na cijeloj domeni definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana na cijelom području definicije, diferencijabilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika gdje je x varijabla, a koeficijenti a, b, c realni brojevi naziva se kvadratni