En un paralelogramo, los ángulos de la base son iguales. Paralelogramo y sus propiedades.

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares. Además, un paralelogramo tiene las siguientes propiedades: los lados opuestos son iguales, los ángulos opuestos son iguales y la suma de todos los ángulos es 360 grados.

Necesitará

• Conocimientos de geometría.

Instrucciones

1. Imaginemos que uno de los ángulos del paralelogramo está dado y es igual a A. Hallemos los valores de los 3 restantes. Según la propiedad de un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales. Esto significa que el ángulo opuesto al dado es igual al dado y su valor es igual a A.

2. Encontremos las dos esquinas restantes. Como la suma de todos los ángulos en un paralelogramo es igual a 360 grados, y los ángulos opuestos son iguales entre sí, resulta que el ángulo que pertenece al mismo lado que el dado es igual a (360 - 2A)/2. Bueno, o después de la reforma obtenemos 180 - A. Así, en un paralelogramo, dos ángulos son iguales a A y los otros dos ángulos son iguales a 180 - A.

¡Nota!
El valor de un ángulo no puede exceder los 180 grados. Los valores de los ángulos obtenidos se pueden verificar fácilmente. Para ello hay que sumarlos y, si la suma es 360, todo se calcula correctamente.

Consejo útil
Un rectángulo y un rombo son casos especiales de paralelogramo, por lo que se les aplican todas las propiedades y métodos para calcular ángulos;

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos en pares. Esta definición ya es suficiente, ya que las demás propiedades del paralelogramo se derivan de ella y se demuestran en forma de teoremas.

Las principales propiedades de un paralelogramo son:

• un paralelogramo es un cuadrilátero convexo;
• Un paralelogramo tiene lados opuestos iguales en pares;
• En un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales en pares;
• Las diagonales de un paralelogramo se dividen por la mitad por el punto de intersección.

Paralelogramo - cuadrilátero convexo

Primero demostremos el teorema de que un paralelogramo es un cuadrilátero convexo. Un polígono es convexo si cualquiera de sus lados se extiende hasta una línea recta, todos los demás lados del polígono estarán en el mismo lado de esta línea recta.

Sea un paralelogramo ABCD, en el que AB es el lado opuesto de CD y BC es el lado opuesto de AD. Entonces de la definición de paralelogramo se deduce que AB || CD, antes de Cristo || ANUNCIO.

Los segmentos paralelos no tienen puntos comunes y no se cruzan. Esto significa que CD se encuentra a un lado de AB. Dado que el segmento BC conecta el punto B del segmento AB con el punto C del segmento CD, y el segmento AD conecta otros puntos AB y CD, los segmentos BC y AD también se encuentran en el mismo lado de la línea AB donde se encuentra CD. Por tanto, los tres lados (CD, BC, AD) se encuentran en el mismo lado de AB.

De manera similar, se demuestra que en relación con los otros lados del paralelogramo, los otros tres lados están en el mismo lado.

Los lados opuestos y los ángulos son iguales.

Una de las propiedades de un paralelogramo es que En un paralelogramo, los lados opuestos y los ángulos opuestos son iguales en pares. Por ejemplo, si se da un paralelogramo ABCD, entonces tiene AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Este teorema se demuestra de la siguiente manera.

Un paralelogramo es un cuadrilátero. Esto significa que tiene dos diagonales. Como un paralelogramo es un cuadrilátero convexo, cualquiera de ellos lo divide en dos triángulos. En el paralelogramo ABCD, considere los triángulos ABC y ADC obtenidos al trazar la diagonal AC.

Estos triángulos tienen un lado en común: AC. Ángulo BCA igual al ángulo CAD como vertical con paralelos BC y AD. Los ángulos BAC y ACD también son iguales a los ángulos verticales cuando AB y CD son paralelos. Por lo tanto, ∆ABC = ∆ADC en dos ángulos y el lado entre ellos.

En estos triángulos, el lado AB corresponde al lado CD y el lado BC corresponde al AD. Por lo tanto, AB = CD y BC = AD.

El ángulo B corresponde al ángulo D, es decir, ∠B = ∠D. El ángulo A de un paralelogramo es la suma de dos ángulos: ∠BAC y ∠CAD. El ángulo C es igual a ∠BCA y ∠ACD. Como los pares de ángulos son iguales entre sí, entonces ∠A = ∠C.

Así, se demuestra que en un paralelogramo los lados y ángulos opuestos son iguales.

Las diagonales se dividen por la mitad.

Como un paralelogramo es un cuadrilátero convexo, tiene dos diagonales y se cruzan. Sea el paralelogramo ABCD, sus diagonales AC y BD se cruzan en el punto E. Considere los triángulos ABE y CDE formados por ellas.

Estos triángulos tienen lados AB y CD iguales a los lados opuestos de un paralelogramo. El ángulo ABE es igual al ángulo CDE transversalmente a las líneas paralelas AB y CD. Por la misma razón, ∠BAE = ∠DCE. Esto significa ∆ABE = ∆CDE en dos ángulos y el lado entre ellos.

También puedes notar que los ángulos AEB y CED son verticales y por lo tanto también iguales entre sí.

Como los triángulos ABE y CDE son iguales entre sí, entonces todos sus elementos correspondientes son iguales. El lado AE del primer triángulo corresponde al lado CE del segundo, lo que significa AE = CE. De manera similar BE = DE. Cada par de segmentos iguales constituye una diagonal de un paralelogramo. Así queda demostrado que Las diagonales de un paralelogramo son bisecadas por su punto de intersección..

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Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos, es decir, se encuentran sobre rectas paralelas (Fig. 1).

Teorema 1. Sobre las propiedades de los lados y ángulos de un paralelogramo. En un paralelogramo, los lados opuestos son iguales, los ángulos opuestos son iguales y la suma de los ángulos adyacentes a un lado del paralelogramo es 180°.

Prueba. En este paralelogramo ABCD, dibuja la diagonal AC y obtén dos triangulo abc y CAD (Figura 2).

Estos triángulos son iguales, ya que ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (ángulos transversales para rectas paralelas) y el lado AC es común. De la igualdad Δ ABC = Δ ADC se deduce que AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. La suma de los ángulos adyacentes a un lado, por ejemplo los ángulos A y D, es igual a 180° como unilateral para rectas paralelas. El teorema ha sido demostrado.

Comentario. La igualdad de los lados opuestos de un paralelogramo significa que los segmentos de paralelos cortados por otros paralelos son iguales.

Corolario 1. Si dos rectas son paralelas, entonces todos los puntos de una recta están a la misma distancia de la otra recta.

Prueba. De hecho, dejemos que || b (Figura 3).

Dibujemos las perpendiculares BA y CD a la recta a desde algunos dos puntos B y C de la recta b. Desde AB || CD, entonces la figura ABCD es un paralelogramo y, por lo tanto, AB = CD.

La distancia entre dos rectas paralelas es la distancia desde un punto arbitrario en una de las rectas hasta la otra recta.

Según lo demostrado, es igual a la longitud de la perpendicular trazada desde algún punto de una de las rectas paralelas a la otra recta.

Ejemplo 1. El perímetro del paralelogramo es 122 cm. Uno de sus lados es 25 cm más grande que el otro.

Solución. Según el teorema 1, los lados opuestos de un paralelogramo son iguales. Denotemos un lado del paralelogramo por x y el otro por y. Entonces, por condición $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Resolviendo este sistema, obtenemos x = 43, y = 18 . Así Así, los lados del paralelogramo miden 18, 43, 18 y 43 cm.

Ejemplo 2.

Solución. Deje que la Figura 4 cumpla las condiciones del problema.

Denotemos AB por x y BC por y. Según la condición, el perímetro del paralelogramo es de 10 cm, es decir, 2(x + y) = 10, o x + y = 5. El perímetro del triángulo ABD es de 8 cm y como AB + AD = x + y =. 5 entonces BD = 8 - 5 = 3. Entonces BD = 3 cm.

Ejemplo 3. Encuentra los ángulos del paralelogramo, sabiendo que uno de ellos es 50° mayor que el otro.

Solución. Deje que la Figura 5 cumpla las condiciones del problema.

Denotemos la medida en grados del ángulo A por x. Entonces la medida en grados del ángulo D es x + 50°.

Los ángulos BAD y ADC son ángulos interiores unilaterales con rectas paralelas AB y DC y secante AD. Entonces la suma de estos ángulos nombrados será 180°, es decir
x + x + 50° = 180°, o x = 65°. Así, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Ejemplo 4. Los lados del paralelogramo miden 4,5 dm y 1,2 dm. Una bisectriz se traza desde el vértice de un ángulo agudo. ¿En qué partes divide el lado mayor del paralelogramo?

Solución. Deje que la Figura 6 cumpla las condiciones del problema.

AE es la bisectriz de un ángulo agudo de un paralelogramo. Por lo tanto, ∠ 1 = ∠ 2.

Problema 1. Uno de los ángulos del paralelogramo mide 65°. Encuentra los ángulos restantes del paralelogramo.

∠C =∠A = 65° como ángulos opuestos de un paralelogramo.

∠A +∠B = 180° como ángulos adyacentes a un lado de un paralelogramo.

∠B = 180° - ∠A = 180° - 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° como los ángulos opuestos de un paralelogramo.

Respuesta: ∠A =∠C = 65°; ∠B =∠D = 115°.

Tarea 2. La suma de dos ángulos de un paralelogramo es 220°. Encuentra los ángulos del paralelogramo.

Como un paralelogramo tiene 2 ángulos agudos iguales y 2 ángulos obtusos iguales, se nos da la suma de dos ángulos obtusos, es decir ∠B +∠D = 220°. Entonces ∠B =∠D = 220° : 2 = 110°.

∠A + ∠B = 180° como ángulos adyacentes a un lado de un paralelogramo, entonces ∠A = 180° - ∠B = 180° - 110° = 70°. Entonces ∠C =∠A = 70°.

Respuesta: ∠A =∠C = 70°; ∠B =∠D = 110°.

Tarea 3. Uno de los ángulos de un paralelogramo es 3 veces mayor que el otro. Encuentra los ángulos del paralelogramo.

Sea ∠A =x. Entonces ∠B = 3x. Sabiendo que la suma de los ángulos de un paralelogramo adyacente a uno de sus lados es igual a 180°, crearemos una ecuación.

x = 180 : 4;

Obtenemos: ∠A = x = 45°, y ∠B = 3x = 3 ∙ 45° = 135°.

Los ángulos opuestos de un paralelogramo son iguales, por lo tanto,

∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Respuesta: ∠A =∠C = 45°; ∠B =∠D = 135°.

Tarea 4. Demuestre que si un cuadrilátero tiene dos lados paralelos e iguales, entonces este cuadrilátero es un paralelogramo.

Prueba.

Dibujemos la diagonal BD y consideremos Δ ADB y Δ CBD.

AD = BC por condición. El lado BD es común. ∠1 = ∠2 como interno transversal con líneas paralelas (por condición) AD y BC y secante BD. Por tanto, Δ ADB = Δ CBD en dos lados y el ángulo entre ellos (1er signo de igualdad de los triángulos). EN triangulos iguales los ángulos correspondientes son iguales, lo que significa ∠3 =∠4. Y estos ángulos son ángulos internos que se encuentran transversalmente a las rectas AB y CD y a la secante BD. Esto implica que las rectas AB y CD son paralelas. Así, en este cuadrilátero ABCD, los lados opuestos son paralelos en pares, por lo tanto, por definición, ABCD es un paralelogramo, que es lo que había que demostrar.

Tarea 5. Los dos lados de un paralelogramo están en razón 2 : 5, y el perímetro es de 3,5 m Encuentra los lados del paralelogramo.

∙ (AB + AD).

Denotemos una parte por x. entonces AB = 2x, AD = 5x metros. Sabiendo que el perímetro del paralelogramo es de 3,5 m, creamos la ecuación:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

Una parte mide 0,25 m. Entonces AB = 2. ∙ 0,25 = 0,5 m; anuncio = 5 ∙ 0,25 = 1,25 metros.

Examen.

Perímetro del paralelogramo P ABCD = 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (m).

Como los lados opuestos del paralelogramo son iguales, entonces CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.

Respuesta: CD = AB = 0,25 m; BC = AD = 1,25 m.