Creciente, decreciente y extremos de una función.

Encontrar los intervalos de aumento, disminución y extremos de una función es a la vez una tarea independiente y una parte esencial de otras tareas, en particular, estudio de función completa. La información inicial sobre el aumento, la disminución y los extremos de la función se proporciona en capítulo teórico sobre derivadas, que recomiendo encarecidamente para un estudio preliminar (o repetición)– también por la razón de que el siguiente material se basa en el mismo esencialmente derivado, siendo una continuación armoniosa de este artículo. Aunque, si hay poco tiempo, también es posible una práctica puramente formal con ejemplos de la lección de hoy.

Y hoy hay un espíritu de rara unanimidad en el aire, y puedo sentir directamente que todos los presentes arden de deseo. aprender a explorar una función usando su derivada. Por lo tanto, inmediatamente aparece en las pantallas de sus monitores una terminología razonable, buena y eterna.

¿Para qué? Una de las razones es la más práctica: para que quede claro lo que generalmente se requiere de usted en una tarea particular!

Monotonicidad de la función. Puntos extremos y extremos de una función.

Consideremos alguna función. En pocas palabras, suponemos que ella continuo en toda la recta numérica:

Por si acaso, deshagámonos inmediatamente de posibles ilusiones, especialmente para aquellos lectores que se han familiarizado recientemente con intervalos de signo constante de la función. Ahora nosotros NO INTERESADO, cómo se ubica la gráfica de la función con respecto al eje (arriba, abajo, donde se cruza el eje). Para ser convincente, borre mentalmente los ejes y deje un gráfico. Porque ahí es donde reside el interés.

Función aumenta en un intervalo si para dos puntos cualesquiera de este intervalo conectados por la relación , la desigualdad es verdadera. Es decir, un valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función, y su gráfica va “de abajo hacia arriba”. La función de demostración crece a lo largo del intervalo.

Asimismo, la función disminuye en un intervalo si para dos puntos cualesquiera de un intervalo dado tales que , la desigualdad es verdadera. Es decir, un valor mayor del argumento corresponde a un valor menor de la función, y su gráfica va “de arriba a abajo”. Nuestra función disminuye en intervalos. .

Si una función aumenta o disminuye en un intervalo, entonces se llama estrictamente monótono en este intervalo. ¿Qué es la monotonía? Tómelo literalmente: monotonía.

También puedes definir no decreciente función (condición relajada en la primera definición) y no creciente función (condición suavizada en la segunda definición). Una función que no es decreciente ni creciente en un intervalo se llama función monótona en un intervalo dado. (la monotonicidad estricta es un caso especial de monotonicidad “simple”).

La teoría también considera otros enfoques para determinar el aumento/disminución de una función, incluso en semiintervalos, segmentos, pero para no derramar aceite en la cabeza, aceptaremos operar con intervalos abiertos con definiciones categóricas. - Esto es más claro y suficiente para resolver muchos problemas prácticos.

De este modo, en mis artículos la expresión "monotonicidad de una función" casi siempre estará oculta intervalos estricta monotonía(función estrictamente creciente o estrictamente decreciente).

Barrio de un punto. Palabras tras las cuales los estudiantes huyen donde pueden y se esconden horrorizados en los rincones. ...Aunque después del post Límites de Cauchy Probablemente ya no se esconden, solo se estremecen levemente =) No te preocupes, ahora no habrá pruebas de los teoremas del análisis matemático: necesitaba el entorno para formular las definiciones de manera más estricta. puntos extremos. Recordemos:

Barrio de un punto Se llama a un intervalo que contiene un punto dado y, por conveniencia, a menudo se supone que el intervalo es simétrico. Por ejemplo, un punto y su vecindad estándar:

En realidad, las definiciones:

El punto se llama punto máximo estricto, Si existe su barrio, para todos valores de los cuales, salvo el punto en sí, la desigualdad. En nuestro ejemplo específico, este es un punto.

El punto se llama punto mínimo estricto, Si existe su barrio, para todos valores de los cuales, salvo el punto en sí, la desigualdad. En el dibujo hay el punto “a”.

Nota : el requisito de simetría de vecindad no es en absoluto necesario. Además, es importante el hecho mismo de la existencia vecindario (ya sea pequeño o microscópico) que satisface las condiciones especificadas

Los puntos se llaman puntos estrictamente extremos o simplemente puntos extremos funciones. Es decir, es un término generalizado para puntos máximos y puntos mínimos.

¿Cómo entendemos la palabra “extremo”? Sí, tan directamente como la monotonía. Puntos extremos de las montañas rusas.

Como en el caso de la monotonicidad, existen postulados vagos y son aún más comunes en teoría. (¡que, por supuesto, se incluyen en los casos estrictos considerados!):

El punto se llama punto máximo, Si existe su entorno es tal que para todos
El punto se llama punto mínimo, Si existe su entorno es tal que para todos valores de esta vecindad, la desigualdad se mantiene.

Tenga en cuenta que, según las dos últimas definiciones, cualquier punto de una función constante (o una “sección plana” de una función) se considera tanto un punto máximo como un punto mínimo. La función, por cierto, no es creciente ni decreciente, es decir, monótona. Sin embargo, dejaremos estas consideraciones a los teóricos, ya que en la práctica casi siempre contemplamos los tradicionales “cerros” y “huecos” (ver dibujo) con un único “rey del cerro” o “princesa del pantano”. Como variedad, ocurre consejo, dirigido hacia arriba o hacia abajo, por ejemplo, el mínimo de la función en el punto.

Ah, y hablando de realeza:
– el significado se llama máximo funciones;
– el significado se llama mínimo funciones.

Nombre común - extremos funciones.

¡Ten cuidado con tus palabras!

Puntos extremos– estos son valores “X”.
Extremos– significados de “juego”.

! Nota : a veces los términos enumerados se refieren a los puntos “X-Y” que se encuentran directamente en la GRÁFICA DE la función MISMA.

¿Cuántos extremos puede tener una función?

Ninguno, 1, 2, 3, ... etc. hasta el infinito. Por ejemplo, el seno tiene infinitos mínimos y máximos.

¡IMPORTANTE! El término "máximo de función" no es identico el término “valor máximo de una función”. Es fácil notar que el valor es máximo solo en un vecindario local, y hay "camaradas más geniales" en la parte superior izquierda. Asimismo, no es lo mismo “mínimo de una función” que “valor mínimo de una función”, y en el dibujo vemos que el valor es mínimo solo en una zona determinada. En este sentido, los puntos extremos también se denominan puntos extremos locales, y los extremos – extremos locales. Ellos caminan y deambulan cerca y global hermanos de religion. Entonces toda parábola tiene en su vértice mínimo global o máximo global. Además, no distinguiré entre tipos de extremos, y la explicación se expresa más bien con fines educativos generales: los adjetivos adicionales “local”/“global” no deberían tomarlo por sorpresa.

Resumamos nuestra breve incursión en la teoría con una prueba: ¿qué significa la tarea "encontrar los intervalos de monotonicidad y los puntos extremos de la función"?

La redacción le anima a encontrar:

– intervalos de función creciente/decreciente (la no decreciente, la no creciente aparece con mucha menos frecuencia);

– puntos máximos y/o mínimos (si existen). Bueno, para evitar fallos, es mejor encontrar los mínimos/máximos ellos mismos ;-)

¿Cómo determinar todo esto?¡Usando la función derivada!

Cómo encontrar intervalos de crecimiento, decrecimiento,
¿Puntos extremos y extremos de la función?

De hecho, muchas reglas ya se conocen y se entienden desde lección sobre el significado de una derivada.

Derivada tangente trae noticias alegres de que la función está aumentando en todo dominio de definición.

Con cotangente y su derivada. la situación es exactamente la contraria.

El arcoseno aumenta a lo largo del intervalo; la derivada aquí es positiva: .
Cuando la función está definida, pero no diferenciable. Sin embargo, en el punto crítico hay una derivada hacia la derecha y una tangente hacia la derecha, y en el otro borde están sus contrapartes hacia la izquierda.

Creo que no te resultará demasiado difícil realizar un razonamiento similar para el arcocoseno y su derivada.

Todos los casos anteriores, muchos de los cuales son derivadas tabulares, te recuerdo, sigue directamente desde definiciones derivadas.

¿Por qué explorar una función usando su derivada?

Para comprender mejor cómo se ve la gráfica de esta función: donde va “de abajo hacia arriba”, donde “de arriba hacia abajo”, donde alcanza mínimos y máximos (si es que llega a alcanzarlos). No todas las funciones son tan simples; en la mayoría de los casos no tenemos idea alguna sobre la gráfica de una función en particular.

Es hora de pasar a ejemplos más significativos y considerar algoritmo para encontrar intervalos de monotonicidad y extremos de una función:

Ejemplo 1

Encuentra intervalos de aumento/disminución y extremos de la función.

Solución:

1) El primer paso es encontrar dominio de una función y también tome nota de los puntos de interrupción (si existen). En este caso, la función es continua en toda la recta numérica y esta acción es hasta cierto punto formal. Pero en algunos casos aquí estallan pasiones serias, así que tratemos el párrafo sin desdén.

2) El segundo punto del algoritmo se debe a

una condición necesaria para un extremo:

Si hay un extremo en un punto, entonces el valor no existe.

¿Confundido por el final? Extremo de la función “módulo x” .

La condición es necesaria, pero no es suficiente, y lo contrario no siempre es cierto. Entonces, de la igualdad todavía no se sigue que la función alcance un máximo o un mínimo en el punto . Ya se ha destacado un ejemplo clásico: la parábola cúbica y su punto crítico.

Pero sea como fuere, la condición necesaria para que se produzca un extremo dicta la necesidad de encontrar puntos sospechosos. Para hacer esto, encuentra la derivada y resuelve la ecuación:

Al comienzo del primer artículo. sobre gráficas de funciones Te dije cómo construir rápidamente una parábola usando un ejemplo. : “...tomamos la derivada primera y la igualamos a cero: ...Entonces, la solución de nuestra ecuación: - es en este punto donde se ubica el vértice de la parábola...”. Ahora creo que todos entienden por qué el vértice de la parábola se encuentra exactamente en este punto =) En general, deberíamos comenzar con un ejemplo similar aquí, pero es demasiado simple (incluso para una tetera). Además, al final de la lección hay un análogo sobre derivada de una función. Por tanto, aumentemos el grado:

Ejemplo 2

Encuentra intervalos de monotonicidad y extremos de la función.

Este es un ejemplo para que lo resuelvas por tu cuenta. Una solución completa y una muestra final aproximada del problema al final de la lección.

El largo plazo ha llegado este momento encuentros con funciones racionales fraccionarias:

Ejemplo 3

Explora una función usando la primera derivada.

Preste atención a cuán variadamente se puede reformular una misma tarea.

Solución:

1) La función sufre infinitas discontinuidades en los puntos.

2) Detectamos puntos críticos. Encontremos la primera derivada y la equiparemos a cero:

Resolvamos la ecuación. Una fracción es cero cuando su numerador es cero:

Así, obtenemos tres puntos críticos:

3) Trazamos TODOS los puntos detectados en la recta numérica y método de intervalo definimos los signos de la DERIVADA:

Te recuerdo que necesitas tomar algún punto del intervalo y calcular el valor de la derivada en él. y determinar su signo. Es más rentable ni siquiera contar, sino "estimar" verbalmente. Tomemos, por ejemplo, un punto perteneciente al intervalo y realicemos la sustitución: .

Dos “más” y un “menos” dan un “menos”, por lo tanto, lo que significa que la derivada es negativa durante todo el intervalo.

La acción, como comprenderá, debe realizarse en cada uno de los seis intervalos. Por cierto, tenga en cuenta que el factor del numerador y el denominador son estrictamente positivos para cualquier punto en cualquier intervalo, lo que simplifica enormemente la tarea.

Entonces, la derivada nos dijo que la FUNCIÓN MISMA aumenta en y disminuye en . Es conveniente unir intervalos del mismo tipo con el icono de unir.

En el momento en que la función alcanza su máximo:
En el punto en que la función alcanza un mínimo:

Piensa por qué no es necesario volver a calcular el segundo valor ;-)

Al pasar por un punto, la derivada no cambia de signo, por lo que la función NO TIENE EXTREMO allí: disminuyó y permaneció decreciente.

! Repitamos un punto importante.: los puntos no se consideran críticos: contienen una función no determinado. En consecuencia, aquí En principio no puede haber extremos(incluso si la derivada cambia de signo).

Respuesta: la función aumenta en y disminuye en En el punto en que se alcanza el máximo de la función: , y en el punto – el mínimo: .

Conocimiento de los intervalos de monotonicidad y extremos, junto con conocimientos establecidos. asíntotas ya da una muy buena idea de la apariencia del gráfico de funciones. Una persona de formación media es capaz de determinar verbalmente que la gráfica de una función tiene dos asíntotas verticales y una asíntota oblicua. Aquí está nuestro héroe:

Intente una vez más correlacionar los resultados del estudio con la gráfica de esta función.
No hay un extremo en el punto crítico, pero sí punto de inflexión(lo que suele ocurrir en casos similares).

Ejemplo 4

Encuentra los extremos de la función.

Ejemplo 5

Encuentra intervalos de monotonicidad, máximos y mínimos de la función.

…Hoy es casi como una especie de festividad “X en un cubo”...
Entonces, ¿quién en la galería se ofreció a beber por esto? =)

Cada tarea tiene sus propios matices sustanciales y sutilezas técnicas, que se comentan al final de la lección.

"Funciones crecientes y decrecientes"

Objetivos de la lección:

1. Aprenda a encontrar períodos de monotonía.

2. Desarrollo de habilidades de pensamiento que aseguren el análisis de la situación y el desarrollo de métodos de acción adecuados (análisis, síntesis, comparación).

3. Formar interés en el tema.

durante las clases

Hoy continuamos estudiando la aplicación de la derivada y considerando la cuestión de su aplicación al estudio de funciones. trabajo frontal

Ahora demos algunas definiciones de las propiedades de la función "Lluvia de ideas".

1. ¿Cómo se llama una función?

2. ¿Cómo se llama la variable X?

3. ¿Cómo se llama la variable Y?

4. ¿Cuál es el dominio de una función?

5. ¿Cuál es el conjunto de valores de una función?

6. ¿Qué función se llama par?

7. ¿Qué función se llama impar?

8. ¿Qué puedes decir sobre la gráfica de una función par?

9. ¿Qué puedes decir sobre la gráfica de una función impar?

10. ¿Qué función se llama creciente?

11. ¿Qué función se llama decreciente?

12. ¿Qué función se llama periódica?

Las matemáticas son el estudio de modelos matemáticos. Uno de los modelos matemáticos más importantes es una función. Hay diferentes formas de describir funciones. ¿Cuál es el más obvio?

– Gráfico.

– ¿Cómo construir un gráfico?

- Punto por punto.

Este método es adecuado si sabes de antemano cómo se verá aproximadamente el gráfico. Por ejemplo, ¿cuál es la gráfica de una función cuadrática, una función lineal, una proporcionalidad inversa o y = senx? (Se demuestran las fórmulas correspondientes, los estudiantes nombran las curvas que son gráficas).

Pero, ¿qué pasa si necesitas trazar la gráfica de una función o incluso de una más compleja? Puedes encontrar varios puntos, pero ¿cómo se comporta la función entre estos puntos?

Coloque dos puntos en la pizarra y pida a los estudiantes que muestren cómo se vería la gráfica “entre ellos”:

Su derivada te ayuda a descubrir cómo se comporta una función.

Abran sus cuadernos, anoten el número, buen trabajo.

El propósito de la lección: aprende cómo se relaciona la gráfica de una función con la gráfica de su derivada y aprende a resolver dos tipos de problemas:

1. Usando la gráfica derivada, encuentre los intervalos de aumento y disminución de la función misma, así como los puntos extremos de la función;

2. Utilizando el esquema de signos derivados en intervalos, encuentre los intervalos de aumento y disminución de la función misma, así como los puntos extremos de la función.

Tareas similares no se encuentran en nuestros libros de texto, pero se encuentran en las pruebas del examen estatal unificado (partes A y B).

Hoy en la lección veremos un pequeño elemento del trabajo de la segunda etapa del estudio del proceso, el estudio de una de las propiedades de la función: determinar los intervalos de monotonicidad.

Para resolver este problema, debemos recordar algunas cuestiones discutidas anteriormente.

Entonces, anotemos el tema de la lección de hoy: Signos de funciones crecientes y decrecientes.

Signos de función creciente y decreciente:

Si la derivada de una función dada es positiva para todos los valores de x en el intervalo (a; b), es decir, f"(x) > 0, entonces la función aumenta en este intervalo.
Si la derivada de una función dada es negativa para todos los valores de x en el intervalo (a; b), es decir f"(x)< 0, то функция в этом интервале убывает

El orden de encontrar intervalos de monotonicidad:

Encuentra el dominio de definición de la función.

1. Encuentra la primera derivada de la función.

2. decide por ti mismo en el tablero

Encuentre puntos críticos, investigue el signo de la primera derivada en los intervalos en los que los puntos críticos encontrados dividen el dominio de definición de la función. Encuentra intervalos de monotonicidad de funciones:

a) dominio de definición,

b) encontrar la primera derivada:

c) encontrar los puntos críticos: ; , Y

3. Examinemos el signo de la derivada en los intervalos resultantes y presentemos la solución en forma de tabla.

apuntar a puntos extremos

Veamos varios ejemplos de estudio de funciones crecientes y decrecientes.

Una condición suficiente para que exista un máximo es cambiar el signo de la derivada al pasar por el punto crítico de “+” a “-”, y del mínimo de “-” a “+”. Si al pasar por el punto crítico el signo de la derivada no cambia, entonces no hay extremo en este punto

1. Encuentre D(f).

2. Encuentre f"(x).

3. Encuentre puntos estacionarios, es decir. puntos donde f"(x) = 0 o f"(x) no existe.
(La derivada es 0 en los ceros del numerador, la derivada no existe en los ceros del denominador)

4. Coloque D(f) y estos puntos en la línea de coordenadas.

5. Determinar los signos de la derivada en cada uno de los intervalos.

6. Aplicar señales.

7. Escribe la respuesta.

Consolidación de nuevo material.

Los estudiantes trabajan en parejas y anotan la solución en sus cuadernos.

a) y = x³ - 6 x² + 9 x - 9;

b) y = 3x² - 5x + 4.

Dos personas están trabajando en el tablero.

a) y = 2 x³ – 3 x² – 36 x + 40

b) y = x4-2 x³

3. Resumen de la lección

Tarea: prueba (diferenciada)

Con base en signos suficientes, se encuentran intervalos de función creciente y decreciente.

Aquí están las redacciones de los carteles:

• si la derivada de la función y = f(x) positivo para cualquiera X desde el intervalo X, entonces la función aumenta en X;
• si la derivada de la función y = f(x) negativo para cualquiera X desde el intervalo X, entonces la función disminuye en X.

Así, para determinar los intervalos de aumento y disminución de una función, es necesario:

• encontrar el dominio de una función;

• encontrar la derivada de una función;

• a los intervalos resultantes agregue puntos límite en los que la función está definida y es continua.

Veamos un ejemplo para explicar el algoritmo.

Ejemplo.

Encuentra los intervalos de funciones crecientes y decrecientes.

Solución.

El primer paso es encontrar la definición de la función. En nuestro ejemplo, la expresión en el denominador no debe llegar a cero, por lo tanto, .

Pasemos a la función derivada:

Para determinar los intervalos de aumento y disminución de una función con base en un criterio suficiente, resolvemos las desigualdades Y en el ámbito de la definición. Usemos una generalización del método de intervalo. La única raíz real del numerador es x = 2, y el denominador llega a cero en x = 0. Estos puntos dividen el dominio de definición en intervalos en los que la derivada de la función conserva su signo. Marquemos estos puntos en la recta numérica. Convencionalmente denotamos con más y menos los intervalos en los que la derivada es positiva o negativa. Las flechas a continuación muestran esquemáticamente el aumento o disminución de la función en el intervalo correspondiente.

De este modo, Y .

En el punto x = 2 la función es definida y continua, por lo que debe agregarse tanto a los intervalos crecientes como a los decrecientes. En el punto x = 0 la función no está definida, por lo que no incluimos este punto en los intervalos requeridos.

Presentamos una gráfica de la función para comparar los resultados obtenidos con ella.

Respuesta: la función aumenta con , disminuye en el intervalo (0; 2] .

- Puntos extremos de una función de una variable. Condiciones suficientes para un extremo

Que la función f(x), definida y continua en el intervalo, no sea monótona en él. Hay partes [ , ] del intervalo en las que la función alcanza los valores más grande y más pequeño en el punto interno, es decir, en medio y.

Se dice que una función f(x) tiene un máximo (o mínimo) en un punto si este punto puede estar rodeado por una vecindad (x 0 - ,x 0 +) contenida en el intervalo donde se da la función que la desigualdad vale para todos sus puntos.

f(x)< f(x 0)(или f(x)>f(x0))

En otras palabras, el punto x 0 le da a la función f(x) un máximo (mínimo) si el valor f(x 0) resulta ser el mayor (menor) de los valores aceptados por la función en algún (al menos pequeño) barrio de este punto. Tenga en cuenta que la definición misma de máximo (mínimo) supone que la función se especifica en ambos lados del punto x 0.

Si hay una vecindad dentro de la cual (en x=x 0) la desigualdad estricta

f(x) f(x0)

luego dicen que la función tiene su máximo (mínimo) en el punto x 0, en caso contrario tiene uno inadecuado.

Si una función tiene máximos en los puntos x 0 y x 1, entonces, aplicando el segundo teorema de Weierstrass al intervalo, vemos que la función alcanza su valor más pequeño en este intervalo en algún punto x 2 entre x 0 y x 1 y tiene un mínimo allí. Asimismo, entre dos mínimos seguramente habrá un máximo. En el caso más simple (y en la práctica el más importante), cuando una función generalmente tiene sólo un número finito de máximos y mínimos, simplemente se alternan.

Tenga en cuenta que para denotar un máximo o un mínimo, también existe un término que los une: extremo.

Los conceptos de máximo (max f(x)) y mínimo (min f(x)) son propiedades locales de la función y tienen lugar en un cierto punto x 0. Los conceptos de valores más grandes (sup f(x)) y más pequeños (inf f(x)) se refieren a un segmento finito y son propiedades globales de una función en un segmento.

En la Figura 1 se puede ver que en los puntos x 1 y x 3 hay máximos locales, y en los puntos x 2 y x 4 hay mínimos locales. Sin embargo, la función alcanza su valor mínimo en el punto x=a y su valor máximo en el punto x=b.

Planteemos el problema de encontrar todos los valores del argumento que le dan a la función un extremo. A la hora de resolverlo, la derivada jugará el papel principal.

Supongamos primero que la función f(x) tiene una derivada finita en el intervalo (a,b). Si en el punto x 0 la función tiene un extremo, entonces, aplicando el teorema de Fermat al intervalo (x 0 - , x 0 +), discutido anteriormente, concluimos que f (x) = 0 esta es la condición necesaria para el extremo . El extremo debe buscarse sólo en aquellos puntos donde la derivada sea igual a cero.

Sin embargo, no se debe pensar que cada punto en el que la derivada es igual a cero da a la función un extremo: la condición necesaria que acabamos de indicar no es suficiente.

Funciones crecientes y decrecientes.

función y = F(X) se llama creciente en el intervalo [ a, b], si para cualquier par de puntos X Y X", a ≤ x la desigualdad se cumple F(X) ≤ F (X"), y estrictamente creciente - si se satisface la desigualdad F (X) f(X"). Las funciones decrecientes y estrictamente decrecientes se definen de manera similar. Por ejemplo, la función en = X 2 (arroz. , a) aumenta estrictamente en el segmento , y

(arroz. , b) disminuye estrictamente en este segmento. Se designan funciones crecientes F (X), y disminuyendo F (X)↓. Para que una función diferenciable F (X) estaba aumentando en el segmento [ A, b], es necesario y suficiente que su derivada F"(X) no fue negativo el [ A, b].

Junto con el aumento y la disminución de una función en un segmento, consideramos el aumento y la disminución de una función en un punto. Función en = F (X) se llama creciente en el punto X 0 si hay un intervalo (α, β) que contiene el punto X 0, que para cualquier punto X de (α, β), x> X 0 , la desigualdad se cumple F (X 0) ≤ F (X), y para cualquier punto X de (α, β), x 0 , la desigualdad se cumple F (X) ≤f (X 0). El incremento estricto de una función en el punto se define de manera similar X 0. Si F"(X 0) > 0, entonces la función F(X) aumenta estrictamente en el punto X 0. Si F (X) aumenta en cada punto del intervalo ( a, b), luego aumenta durante este intervalo.

S. B. Stechkin.

Gran enciclopedia soviética. - M.: Enciclopedia soviética. 1969-1978 .

Vea qué son “Funciones crecientes y decrecientes” en otros diccionarios:

Conceptos de análisis matemático. La función f(x) se denomina relación entre el número de diferentes grupos de edad de la población que aumenta en el segmento ESTRUCTURA DE EDAD DE LA POBLACIÓN. Depende de las tasas de natalidad y mortalidad, la esperanza de vida de las personas... Gran diccionario enciclopédico

Conceptos de análisis matemático. Se dice que una función f(x) es creciente en el segmento si para cualquier par de puntos x1 y x2, a≤x1... diccionario enciclopédico

Conceptos de matemáticas. análisis. Se llama a la función f(x). aumentando en el segmento [a, b], si para cualquier par de puntos x1 y x2, y<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Ciencias Naturales. diccionario enciclopédico

Rama de las matemáticas que estudia derivadas y diferenciales de funciones y sus aplicaciones al estudio de funciones. Diseño de D. y. a una disciplina matemática independiente está asociado con los nombres de I. Newton y G. Leibniz (segunda mitad de 17 ... Gran enciclopedia soviética

Rama de las matemáticas en la que se estudian los conceptos de derivada y diferencial y cómo se aplican al estudio de funciones. Desarrollo de D. y. estrechamente relacionado con el desarrollo del cálculo integral. Su contenido también es inseparable. Juntos forman la base... ... Enciclopedia Matemática

Este término tiene otros significados, ver función. La solicitud "Mostrar" se redirige aquí; ver también otros significados... Wikipedia

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1. Encuentra el dominio de la función.

2. Encuentra la derivada de la función.

3. Iguala la derivada a cero y encuentra los puntos críticos de la función.

4. Marque los puntos críticos en el área de definición.

5. Calcula el signo de la derivada en cada uno de los intervalos resultantes.

6. Descubre el comportamiento de la función en cada intervalo.

Ejemplo: encontrar los intervalos de funciones crecientes y decrecientes.F(X) = y el número de ceros de esta función en el intervalo.

Solución:

1.D( F) = R

2. F"(X) =

D( F") = D( F) = R

3. Encuentra los puntos críticos de la función resolviendo la ecuación. F"(X) = 0.

X(X – 10) = 0

puntos críticos de una función X= 0 y X = 10.

4. Determinemos el signo de la derivada.

F"(X) + – +

F(X) 0 10X

en los intervalos (-∞; 0) y (10; +∞) la derivada de la función es positiva y en los puntos X= 0 y x = 10 función F(X) es continua, por lo tanto, esta función aumenta en los intervalos: (-∞; 0]; .

Determinemos el signo de los valores de la función en los extremos del segmento.

F(0) = 3, F(0) > 0

F(10) = , F(10) < 0.

Dado que la función disminuye en el segmento y el signo de los valores de la función cambia, entonces hay un cero de la función en este segmento.

Respuesta: la función f(x) aumenta en los intervalos: (-∞; 0]; ;

en el intervalo la función tiene una función cero.

2. Puntos extremos de la función: puntos máximos y puntos mínimos. Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de un extremo de una función. Regla para estudiar una función para el extremo. .

Definición 1:Los puntos en los que la derivada es igual a cero se denominan críticos o estacionarios.

Definición 2. Un punto se llama punto mínimo (máximo) de una función si el valor de la función en este punto es menor (mayor que) los valores más cercanos de la función.

Hay que tener en cuenta que el máximo y el mínimo en este caso son locales.

En la Fig. 1. Se muestran máximos y mínimos locales.

El máximo y el mínimo de una función están unidos por un nombre común: extremo de la función.

Teorema 1.(un signo necesario de la existencia de un extremo de una función). Si una función derivable en un punto tiene un máximo o un mínimo en ese punto, entonces su derivada en desaparece.

Teorema 2.(un signo suficiente de la existencia de un extremo de la función). Si una función continua tiene una derivada en todos los puntos de algún intervalo que contiene un punto crítico (con la posible excepción de este punto mismo), y si la derivada, cuando el argumento pasa de izquierda a derecha por el punto crítico, cambia de signo de más a menos, entonces la función en este punto tiene un máximo, y cuando el signo cambia de menos a más, tiene un mínimo.