¿Puede la cotangente ser mayor que 1? Identidades trigonométricas básicas, sus formulaciones y derivación.

Conferencia: Seno, coseno, tangente, cotangente de un ángulo arbitrario.

Seno, coseno de un ángulo arbitrario.

Para entender qué son las funciones trigonométricas, miremos un círculo con radio unitario. Este círculo tiene un centro en el origen en el plano coordenado. Para determinar las funciones dadas usaremos el vector de radio. O, que comienza en el centro del círculo, y el punto R es un punto en el círculo. Este vector de radio forma un ángulo alfa con el eje OH. Como el círculo tiene un radio igual a uno, entonces O = R = 1.

Si desde el punto R bajar la perpendicular al eje OH, entonces obtenemos un triángulo rectángulo con una hipotenusa igual a uno.

Si el vector radio se mueve en el sentido de las agujas del reloj, entonces esta dirección se llama negativo, si se mueve en sentido antihorario - positivo.

Seno del ángulo O, es la ordenada del punto R vector en un círculo.

Es decir, para obtener el valor del seno de un ángulo alfa dado, es necesario determinar la coordenada Ud. en la superficie.

¿Cómo se obtuvo este valor? Como sabemos que el seno de un ángulo arbitrario en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, obtenemos que

Y desde R=1, Eso pecado(α) = y 0 .

En un círculo unitario, el valor de ordenadas no puede ser menor que -1 ni mayor que 1, lo que significa

El seno toma un valor positivo en el primer y segundo cuarto del círculo unitario, y negativo en el tercero y cuarto.

coseno del ángulo círculo dado formado por el vector radio O, es la abscisa del punto R vector en un círculo.

Es decir, para obtener el valor del coseno de un ángulo alfa dado, es necesario determinar la coordenada X en la superficie.

El coseno de un ángulo arbitrario en un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa, obtenemos que

Y desde R=1, Eso porque(α) = x 0 .

En el círculo unitario, el valor de la abscisa no puede ser menor que -1 ni mayor que 1, lo que significa

El coseno toma un valor positivo en el primer y cuarto cuarto del círculo unitario, y negativo en el segundo y tercero.

Tangenteángulo arbitrario Se calcula la relación entre el seno y el coseno.

Si consideramos un triángulo rectángulo, entonces esta es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente. Si hablamos del círculo unitario, entonces esta es la relación entre la ordenada y la abscisa.

A juzgar por estas relaciones, se puede entender que la tangente no puede existir si el valor de la abscisa es cero, es decir, en un ángulo de 90 grados. La tangente puede tomar todos los demás valores.

La tangente es positiva en el primer y tercer cuarto del círculo unitario y negativa en el segundo y cuarto.

|BD| - longitud del arco de una circunferencia con centro en el punto A.
α es el ángulo expresado en radianes.

tangente ( bronceado α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto opuesto |BC| a la longitud del cateto adyacente |AB| .
Cotangente ( ctg α) es una función trigonométrica que depende del ángulo α entre la hipotenusa y el cateto de un triángulo rectángulo, igual a la razón de la longitud del cateto adyacente |AB| a la longitud del cateto opuesto |BC| .

Tangente

Dónde norte- entero.

En la literatura occidental, la tangente se denota de la siguiente manera:
.
;
;
.

Gráfica de la función tangente, y = tan x

Cotangente

Dónde norte- entero.

En la literatura occidental, la cotangente se denota de la siguiente manera:
.
También se aceptan las siguientes notaciones:
;
;
.

Gráfica de la función cotangente, y = ctg x

Propiedades de tangente y cotangente.

Periodicidad

Funciones y = tgx y y = ctg x son periódicos con período π.

Paridad

Las funciones tangente y cotangente son impares.

Áreas de definición y valores, crecientes, decrecientes.

Las funciones tangente y cotangente son continuas en su dominio de definición (ver prueba de continuidad). Las principales propiedades de la tangente y la cotangente se presentan en la tabla ( norte- entero).

Fórmulas

Expresiones usando seno y coseno

; ;
; ;
;

Fórmulas para tangente y cotangente a partir de suma y diferencia

Las fórmulas restantes son fáciles de obtener, por ejemplo

Producto de tangentes

Fórmula para la suma y diferencia de tangentes.

Esta tabla presenta los valores de tangentes y cotangentes para ciertos valores del argumento.

Expresiones usando números complejos

Expresiones mediante funciones hiperbólicas.

;
;

Derivados

; .

.
Derivada de enésimo orden con respecto a la variable x de la función:
.
Deducir fórmulas para tangente > > > ; para cotangente > > >

Integrales

Expansiones de serie

Para obtener el desarrollo de la tangente en potencias de x, es necesario tomar varios términos del desarrollo en una serie de potencias para las funciones pecado x Y porque x y dividir estos polinomios entre sí, . Esto produce las siguientes fórmulas.

En .

en .
Dónde mil millones- Números de Bernoulli. Se determinan a partir de la relación de recurrencia:
;
;
Dónde .
O según la fórmula de Laplace:

Funciones inversas

Las funciones inversas de tangente y cotangente son arcotangente y arcocotangente, respectivamente.

Arctangente, arctg

, Dónde norte- entero.

Arccotangente, arcctg

, Dónde norte- entero.

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes universitarios, “Lan”, 2009.
G. Korn, Manual de matemáticas para científicos e ingenieros, 2012.

Este artículo contiene tablas de senos, cosenos, tangentes y cotangentes. Primero, proporcionaremos una tabla de los valores básicos de funciones trigonométricas, es decir, una tabla de senos, cosenos, tangentes y cotangentes de ángulos de 0, 30, 45, 60, 90,..., 360 grados ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2,…, 2π radián). Después de esto, daremos una tabla de senos y cosenos, así como una tabla de tangentes y cotangentes de V. M. Bradis, y mostraremos cómo usar estas tablas para encontrar los valores de funciones trigonométricas.

Navegación de páginas.

Tabla de senos, cosenos, tangentes y cotangentes para ángulos de 0, 30, 45, 60, 90,... grados

Bibliografía.

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• Bashmakov M.I.Álgebra y los inicios del análisis: Libro de texto. para 10-11 grados. promedio escuela - 3ª edición. - M.: Educación, 1993. - 351 p.: enfermo. - ISBN 5-09-004617-4.
• Álgebra y el inicio del análisis: Proc. para 10-11 grados. educación general instituciones / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn y otros; Ed. A. N. Kolmogorov - 14ª ed. - M.: Educación, 2004. - 384 págs.: Ill.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemáticas (un manual para quienes ingresan a las escuelas técnicas): Proc. asignación.- M.; Más alto escuela, 1984.-351 p., enfermo.
• Bradis V. M. Tablas de matemáticas de cuatro dígitos: Para educación general. libro de texto establecimientos. - 2ª ed. - M.: Avutarda, 1999.- 96 p.: enfermo. ISBN 5-7107-2667-2

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