Cómo resolver una ecuación racional completa. Resolver ecuaciones racionales

Resolver ecuaciones racionales fraccionarias

Guia de referencia

Las ecuaciones racionales son ecuaciones en las que tanto el lado izquierdo como el derecho son expresiones racionales.

(Recuerde: las expresiones racionales son expresiones enteras y fraccionarias sin radicales, incluidas las operaciones de suma, resta, multiplicación o división; por ejemplo: 6x; (m – n)2; x/3y, etc.)

Las ecuaciones racionales fraccionarias generalmente se reducen a la forma:

Dónde PAG(X) Y q(X) son polinomios.

Para resolver este tipo de ecuaciones, multiplique ambos lados de la ecuación por Q(x), lo que puede provocar la aparición de raíces extrañas. Por lo tanto, al resolver ecuaciones racionales fraccionarias, es necesario verificar las raíces encontradas.

Una ecuación racional se llama entera o algebraica si no se divide por una expresión que contenga una variable.

Ejemplos de una ecuación racional completa:

5x – 10 = 3(10 – x)

3x
- = 2x – 10
4

Si en una ecuación racional hay una división por una expresión que contiene una variable (x), entonces la ecuación se llama racional fraccionaria.

Ejemplo de ecuación racional fraccionaria:

15
x + - = 5x – 17
X

Las ecuaciones racionales fraccionarias suelen resolverse de la siguiente manera:

1) encuentra el denominador común de las fracciones y multiplica ambos lados de la ecuación por él;

2) resolver la ecuación completa resultante;

3) excluir de sus raíces aquellas que reducen a cero el denominador común de las fracciones.

Ejemplos de resolución de ecuaciones racionales enteras y fraccionarias.

Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación completa.

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Solución:

Encontrar el mínimo común denominador. Esto es 6. Divide 6 por el denominador y multiplica el resultado resultante por el numerador de cada fracción. Obtenemos una ecuación equivalente a esta:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Como los lados izquierdo y derecho tienen el mismo denominador, se puede omitir. Entonces obtenemos una ecuación más simple:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Lo solucionamos abriendo los paréntesis y combinando términos similares:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

El ejemplo está solucionado.

Ejemplo 2. Resolver una ecuación racional fraccionaria

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x(x – 5)

Encontrar un denominador común. Esto es x(x – 5). Entonces:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Ahora volvemos a deshacernos del denominador, ya que es el mismo para todas las expresiones. Reducimos términos similares, igualamos la ecuación a cero y obtenemos una ecuación cuadrática:

x2 – 3x + x – 5 = x + 5

x2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x2 – 3x – 10 = 0.

Resolviendo la ecuación cuadrática, encontramos sus raíces: –2 y 5.

Comprobemos si estos números son las raíces de la ecuación original.

En x = –2, el denominador común x(x – 5) no desaparece. Esto significa que –2 es la raíz de la ecuación original.

En x = 5, el denominador común tiende a cero y dos de las tres expresiones pierden su significado. Esto significa que el número 5 no es la raíz de la ecuación original.

Respuesta: x = –2

Más ejemplos

Ejemplo 1.

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Respuesta: -2,2;6.

Ejemplo 2.

Resolver ecuaciones racionales fraccionarias

Si eres un estudiante de octavo grado y de repente te perdiste una lección o ignoraste lo que decía el maestro, ¡este artículo es para ti!

Primero, averigüemos qué es: ¿ecuaciones racionales fraccionarias? Cualquier libro de texto tiene la siguiente definición: Una ecuación fraccionaria-racional es una ecuación de la forma\(fxg(x)=0\) .

Y por supuesto, esta definición no te dice nada. Luego doy ejemplos y tú intentas identificar un patrón, encontrar algo en común.

\(((-2x-4)\sobre (x^2-4))=((x+5)\sobre (x-2))\)\(((3x^2-6)\sobre 2(x+1)) =x-1\)\((x\sobre x-2 ) + (8\sobre(4-x^2)) - (1\sobre x+2)=0\)

Y estas ecuaciones no son racionales fraccionarias:

\(3x^2+x-25=0 \) \(((2-x)\sobre (2))+((3x\sobre 5))=4\)\(((2x-1)\sobre 2)+(5x\sobre6)-(1-x\sobre 3)=3x-2\)

Las dos últimas ecuaciones definitivamente no son racionales fraccionarias, a pesar de que consisten en fracciones. Pero lo más importante es que no hay ninguna variable (letra) en el denominador. Pero en una ecuación racional fraccionaria siempre hay una variable en el denominador.

Entonces, una vez que hayas determinado correctamente qué ecuación tienes delante, comencemos a resolverla. Lo primero que debemos hacer está indicado con tres letras mayúsculas,O.D.Z.¿Qué significan estas letras?ACERCA DEárea D omitido zlogros. No explicaré ahora qué significa esto en la ciencia de las matemáticas; nuestro objetivo es aprender a resolver ecuaciones y no repetir el tema "fracciones algebraicas". Pero para nuestro propósito, esto significa lo siguiente: tomamos el denominador o denominadores de nuestras fracciones, los escribimos por separado y notamos que no son iguales a cero.

Si usamos nuestras ecuaciones como ejemplo\(((-2x-4)\sobre x^2-4)=(x+5\sobre x-2)\), hacer esto:

ODZ: \(x^2-4≠0\)

\(x-2≠0\)

\((3x^2-6\sobre 2(x+1)) =x-1 \)

ODZ: \(x+1≠0\)

¿Por qué no especificaron un multiplicador de 2? Está tan claro que 2≠0

\((x\sobre x-2)+(8\sobre 4-x^2)-(1\sobre x+2)=0\)

ODZ: \(x-2≠0\)

\(4-x^2≠0\)

\(x+2≠0\)

Todo parece sencillo hasta ahora. ¿Que sigue? El siguiente paso dependerá de qué tan avanzado estés en matemáticas. Si puedes, entonces resuelve estas ecuaciones con signo., y si no puedes déjalo como está por ahora. Y seguimos adelante.

A continuación, todas las fracciones incluidas en las ecuaciones deben representarse como una sola fracción. Para hacer esto, necesitas encontrar el denominador común de la fracción. Y al final, escribe lo sucedido en el numerador y equipara esta expresión a cero. Y luego resuelve la ecuación.

Volvamos a nuestros ejemplos:\((-2x-4\sobre x^2-4)=(x+5 \sobre x-2)\) ODZ: \(x^2-4≠0\)

\((-2x-4\sobre x^2-4)-(x+5 \sobre x-2)=0 \)\(x-2≠0\)

Movimos la fracción hacia la izquierda y al mismo tiempo cambiamos el signo. Observamos que el denominador\(x^2-4\) se puede factorizar usando la fórmula de multiplicación abreviada\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) , y en el numerador puedes quitar el factor común “-2” de paréntesis.

\((-2(x+2)\sobre (x+2)(x-2)) -(x+5\sobre x-2)=0\)

Miremos nuevamente el ODZ, ¿lo tenemos? ¡Comer! Entonces puedes reducir la primera fracción por x+2 . ¡Si no hay ODZ, no puedes reducirlo! Obtenemos:

\((-2\sobre x-2)-(x+5 \sobre x-2)=0\)

Las fracciones tienen un denominador común, lo que significa que se pueden restar:

\((-2-x-5\sobre x-2)=0\)

Tenga en cuenta que, dado que estamos restando fracciones, ¡cambiamos el signo "+" en la segunda fracción a menos! Presentamos términos similares en el numerador:

\((-x-7 \sobre x-2)=0\)

Recuerda que una fracción es igual a cero cuando el numerador es igual a cero y el denominador no es igual a cero. Indicamos en la ODZ que el denominador no es cero. Es hora de indicar que el numerador es cero:

\(-x-7=0\)

Esta es una ecuación lineal, mueve “-7” hacia la derecha, cambia el signo:

\(-x=7\)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

Recordemos sobre ODZ:\(x^2-4≠0\) \(x-2≠0\). Si pudiste resolverlo, entonces lo resolviste así:\(x^2≠4\) \(x≠2\)

\(x_1≠2\) \(x_2≠-2\)

Y si no pudimos resolverlo, sustituimos en ODZ en lugar de "x" lo que obtuvimos. Tenemos\(x=-7\)

Entonces: \((-7)^2-4≠0\) ? ¿Realizado? ¡Realizado!

Entonces la respuesta a nuestra ecuación es:\(x=-7\)

Considere la siguiente ecuación: \((3x^2-6\sobre 2(x+1))=(x-1)\)

Lo solucionamos de la misma forma. Primero indicamos la ODZ:\(x+1≠0\)

Luego nos movemos x-1 a la izquierda asignamos inmediatamente el denominador 1 a esta expresión, esto se puede hacer, ya que el denominador 1 no afecta nada.

Obtenemos: \((3x^2-6\sobre 2(x+1)) -(x-1\sobre1)=0\)

Buscamos un denominador común, este\(2(x+1)\) . Multiplicamos la segunda fracción por esta expresión.

Consiguió: \((3x^2-6\sobre2(x+1)) -((x-1)⋅2(x+1)\sobre2(x+1)) =0\)

\(( 3x^2-6-2x^2+2\sobre2(x+1)) =0 \)

Si es difícil, déjame explicarte:\(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \) Y como la segunda fracción está precedida por un signo "-", al combinar estas fracciones en una, cambiamos los signos al contrario.

Observamos que \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) y reescribirlo así:\(((x-2)(x+2)\sobre2(x+1)) =0\)

A continuación usamos la definición de fracción igual a cero. Una fracción es igual a cero cuando el numerador es cero y el denominador no es cero. Indicamos en la ODZ que el denominador no es igual a cero indicaremos que el numerador es igual a cero;\((x-2)(x+2)=0\) . Y resolvamos esta ecuación. Consta de dos factores x-2 y x+2 . Recuerda que el producto de dos factores es igual a cero cuando uno de los factores es igual a cero.

Entonces: x+2 =0 o x-2 =0

De la primera ecuación obtenemos x=-2 , del segundo x=2 . Transferimos el número y cambiamos el signo.

En la última etapa, verificamos la ODZ: x+1≠0

En lugar de x, sustituye los números 2 y -2.

Obtenemos 2+1≠0 . ¿Realizado? ¡Sí! Entonces x=2 es nuestra raíz. Comprobemos lo siguiente:-2+1≠0 . Realizado. Sí. Esto significa que x=-2 también es nuestra raíz. Entonces la respuesta es: 2 y -2.

Resolvamos la última ecuación sin explicación. El algoritmo es el mismo:

sigamos hablando de resolviendo ecuaciones. En este artículo entraremos en detalles sobre ecuaciones racionales y principios para resolver ecuaciones racionales con una variable. Primero, averigüemos qué tipo de ecuaciones se llaman racionales, demos una definición de ecuaciones racionales enteras y fraccionarias y demos ejemplos. A continuación, obtendremos algoritmos para resolver ecuaciones racionales y, por supuesto, consideraremos soluciones a ejemplos típicos con todas las explicaciones necesarias.

Navegación de páginas.

Basándonos en las definiciones dadas, damos varios ejemplos de ecuaciones racionales. Por ejemplo, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , son todas ecuaciones racionales.

De los ejemplos mostrados se desprende claramente que las ecuaciones racionales, así como ecuaciones de otro tipo, pueden ser con una variable, o con dos, tres, etc. variables. En los siguientes párrafos hablaremos sobre cómo resolver ecuaciones racionales con una variable. Resolver ecuaciones en dos variables. y su gran número merecen especial atención.

Además de dividir las ecuaciones racionales por el número de variables desconocidas, también se dividen en enteras y fraccionarias. Demos las definiciones correspondientes.

Definición.

La ecuación racional se llama entero, si tanto su lado izquierdo como el derecho son expresiones racionales enteras.

Definición.

Si al menos una de las partes de una ecuación racional es una expresión fraccionaria, entonces dicha ecuación se llama fraccionariamente racional(o racional fraccionario).

Está claro que las ecuaciones enteras no contienen división por una variable; por el contrario, las ecuaciones racionales fraccionarias necesariamente contienen división por una variable (o una variable en el denominador). Entonces 3 x+2=0 y (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0.5– estas son ecuaciones racionales completas, ambas partes son expresiones completas. A y x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 son ejemplos de ecuaciones racionales fraccionarias.

Para concluir este punto, llamemos la atención sobre el hecho de que las ecuaciones lineales y las ecuaciones cuadráticas conocidas hasta este momento son ecuaciones racionales completas.

Resolver ecuaciones completas

Uno de los principales enfoques para resolver ecuaciones completas es reducirlas a equivalentes. ecuaciones algebraicas. Esto siempre se puede hacer realizando las siguientes transformaciones equivalentes de la ecuación:

• primero, la expresión del lado derecho de la ecuación entera original se transfiere al lado izquierdo con el signo opuesto para obtener cero en el lado derecho;
• después de esto, en el lado izquierdo de la ecuación la forma estándar resultante.

El resultado es una ecuación algebraica que es equivalente a la ecuación entera original. Así, en los casos más simples, resolver ecuaciones enteras se reduce a resolver ecuaciones lineales o cuadráticas, y en el caso general, a resolver una ecuación algebraica de grado n. Para mayor claridad, veamos la solución del ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de toda la ecuación. 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Solución.

Reduzcamos la solución de toda esta ecuación a la solución de una ecuación algebraica equivalente. Para hacer esto, primero transferimos la expresión del lado derecho al izquierdo, como resultado llegamos a la ecuación 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Y, en segundo lugar, transformamos la expresión formada en el lado izquierdo en un polinomio de la forma estándar realizando lo necesario: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Por lo tanto, resolver la ecuación entera original se reduce a resolver la ecuación cuadrática x 2 −5·x−6=0.

Calculamos su discriminante. D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, es positivo, lo que significa que la ecuación tiene dos raíces reales, las cuales encontramos usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática:

Para estar completamente seguros, hagámoslo. comprobando las raíces encontradas de la ecuación. Primero verificamos la raíz de 6, la sustituimos en lugar de la variable x en la ecuación entera original: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, que es lo mismo, 63=63. Esta es una ecuación numérica válida, por lo tanto, x=6 es de hecho la raíz de la ecuación. Ahora comprobamos la raíz −1, tenemos 3·(-1+1)·(-1-3)=(-1)·(2·(-1)-1)-3, de donde, 0=0 . Cuando x=−1, la ecuación original también se convierte en una igualdad numérica correcta, por lo tanto, x=−1 también es una raíz de la ecuación.

Respuesta:

6 , −1 .

Aquí también cabe señalar que el término "grado de toda la ecuación" está asociado con la representación de una ecuación completa en forma de ecuación algebraica. Damos la definición correspondiente:

Definición.

El poder de toda la ecuación. se llama grado de una ecuación algebraica equivalente.

Según esta definición, toda la ecuación del ejemplo anterior tiene segundo grado.

Este podría haber sido el final de la resolución de ecuaciones racionales enteras, si no fuera por una cosa…. Como saben, resolver ecuaciones algebraicas de grado superior al segundo está asociado con dificultades significativas, y para las ecuaciones de grado superior al cuarto no existe ninguna fórmula raíz general. Por tanto, para resolver ecuaciones enteras de tercer, cuarto y grados superiores, muchas veces es necesario recurrir a otros métodos de solución.

En tales casos, un enfoque para resolver ecuaciones racionales completas basado en método de factorización. En este caso, se sigue el siguiente algoritmo:

• primero, se aseguran de que haya un cero en el lado derecho de la ecuación, para ello, trasladan la expresión del lado derecho de toda la ecuación al izquierdo;
• luego, la expresión resultante del lado izquierdo se presenta como producto de varios factores, lo que nos permite pasar a un conjunto de varias ecuaciones más simples.

El algoritmo dado para resolver una ecuación completa mediante factorización requiere una explicación detallada mediante un ejemplo.

Ejemplo.

Resuelve toda la ecuación (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Solución.

Primero, como de costumbre, trasladamos la expresión del lado derecho al lado izquierdo de la ecuación, sin olvidar cambiar el signo, obtenemos (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Aquí es bastante obvio que no es aconsejable transformar el lado izquierdo de la ecuación resultante en un polinomio de la forma estándar, ya que esto dará una ecuación algebraica de cuarto grado de la forma x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x −13 = 0, cuya solución es difícil.

Por otro lado, es obvio que en el lado izquierdo de la ecuación resultante podemos x 2 −10 x+13 , presentándolo así como un producto. Tenemos (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. La ecuación resultante es equivalente a la ecuación completa original y, a su vez, puede reemplazarse por un conjunto de dos ecuaciones cuadráticas x 2 −10·x+13=0 y x 2 −2·x−1=0. Encontrar sus raíces utilizando fórmulas de raíces conocidas mediante un discriminante no es difícil; Son las raíces deseadas de la ecuación original.

Respuesta:

También útil para resolver ecuaciones racionales completas. método para introducir una nueva variable. En algunos casos, le permite pasar a ecuaciones cuyo grado es menor que el grado de la ecuación completa original.

Ejemplo.

Encuentra las raíces reales de una ecuación racional. (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Solución.

Reducir toda esta ecuación racional a una ecuación algebraica no es, por decirlo suavemente, una muy buena idea, ya que en este caso llegaremos a la necesidad de resolver una ecuación de cuarto grado que no tiene raíces racionales. Por tanto, habrá que buscar otra solución.

Aquí es fácil ver que puedes introducir una nueva variable y y reemplazar la expresión x 2 +3·x con ella. Este reemplazo nos lleva a la ecuación completa (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , que, luego de mover la expresión −2·(y−4) al lado izquierdo y posterior transformación de la expresión formado allí, se reduce a una ecuación cuadrática y 2 +4·y+3=0. Las raíces de esta ecuación y=−1 e y=−3 son fáciles de encontrar; por ejemplo, se pueden seleccionar basándose en el teorema inverso al teorema de Vieta.

Ahora pasamos a la segunda parte del método de introducir una nueva variable, es decir, realizar un reemplazo inverso. Después de realizar la sustitución inversa, obtenemos dos ecuaciones x 2 +3 x=−1 y x 2 +3 x=−3, que se pueden reescribir como x 2 +3 x+1=0 y x 2 +3 x+3 =0. Usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, encontramos las raíces de la primera ecuación. Y la segunda ecuación cuadrática no tiene raíces reales, ya que su discriminante es negativo (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Respuesta:

En general, cuando tratamos con ecuaciones completas de alto grado, siempre debemos estar preparados para buscar un método no estándar o una técnica artificial para resolverlas.

Resolver ecuaciones racionales fraccionarias

Primero, será útil entender cómo resolver ecuaciones racionales fraccionarias de la forma , donde p(x) y q(x) son expresiones racionales enteras. Y luego mostraremos cómo reducir la solución de otras ecuaciones fraccionariamente racionales a la solución de ecuaciones del tipo indicado.

Una forma de resolver la ecuación se basa en la siguiente afirmación: la fracción numérica u/v, donde v es un número distinto de cero (de lo contrario encontraremos , que no está definido), es igual a cero si y sólo si su numerador es igual a cero, entonces es, si y sólo si u=0 . En virtud de esta afirmación, la resolución de la ecuación se reduce a cumplir dos condiciones p(x)=0 y q(x)≠0.

Esta conclusión corresponde a la siguiente algoritmo para resolver una ecuación racional fraccionaria. Para resolver una ecuación racional fraccionaria de la forma , necesitas

• resolver toda la ecuación racional p(x)=0;
• y comprobar si la condición q(x)≠0 se cumple para cada raíz encontrada, mientras que
• si es cierto, entonces esta raíz es la raíz de la ecuación original;
• si no se satisface, entonces esta raíz es extraña, es decir, no es la raíz de la ecuación original.

Veamos un ejemplo del uso del algoritmo anunciado al resolver una ecuación racional fraccionaria.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Esta es una ecuación racional fraccionaria, y de la forma , donde p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Según el algoritmo para resolver ecuaciones racionales fraccionarias de este tipo, primero debemos resolver la ecuación 3 x−2=0. Esta es una ecuación lineal cuya raíz es x=2/3.

Queda por comprobar esta raíz, es decir, comprobar si satisface la condición 5 x 2 −2≠0. Sustituimos el número 2/3 en la expresión 5 x 2 −2 en lugar de x, y obtenemos. Se cumple la condición, por lo que x=2/3 es la raíz de la ecuación original.

Respuesta:

2/3 .

Puedes abordar la resolución de una ecuación racional fraccionaria desde una posición ligeramente diferente. Esta ecuación es equivalente a la ecuación entera p(x)=0 en la variable x de la ecuación original. Es decir, puedes ceñirte a esto. algoritmo para resolver una ecuación racional fraccionaria :

• resuelve la ecuación p(x)=0;
• encuentre la ODZ de la variable x;
• echar raíces que pertenecen a la región de valores aceptables: son las raíces deseadas de la ecuación racional fraccionaria original.

Por ejemplo, resolvamos una ecuación racional fraccionaria usando este algoritmo.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

Primero, resolvemos la ecuación cuadrática x 2 −2·x−11=0. Sus raíces se pueden calcular usando la fórmula de la raíz para el segundo coeficiente par, tenemos D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Y .

En segundo lugar, encontramos la ODZ de la variable x para la ecuación original. Se compone de todos los números para los cuales x 2 +3·x≠0, que es lo mismo que x·(x+3)≠0, de donde x≠0, x≠−3.

Queda por comprobar si las raíces encontradas en el primer paso están incluidas en la ODZ. Obviamente, sí. Por tanto, la ecuación racional fraccionaria original tiene dos raíces.

Respuesta:

Tenga en cuenta que este enfoque es más rentable que el primero si la ODZ es fácil de encontrar, y es especialmente beneficioso si las raíces de la ecuación p(x) = 0 son irracionales, por ejemplo, o racionales, pero con un numerador bastante grande y /o denominador, por ejemplo, 127/1101 y −31/59. Esto se debe al hecho de que en tales casos, verificar la condición q(x)≠0 requerirá un esfuerzo computacional significativo, y es más fácil excluir raíces extrañas usando ODZ.

En otros casos, al resolver la ecuación, especialmente cuando las raíces de la ecuación p(x) = 0 son números enteros, es más rentable utilizar el primero de los algoritmos dados. Es decir, es aconsejable encontrar inmediatamente las raíces de toda la ecuación p(x)=0, y luego verificar si la condición q(x)≠0 se cumple para ellas, en lugar de encontrar la ODZ y luego resolver la ecuación. p(x)=0 en esta ODZ. Esto se debe al hecho de que en tales casos suele ser más fácil comprobar que encontrar la DZ.

Consideremos la solución de dos ejemplos para ilustrar los matices especificados.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Primero, encontremos las raíces de toda la ecuación. (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compuesto utilizando el numerador de la fracción. El lado izquierdo de esta ecuación es un producto y el lado derecho es cero, por lo tanto, según el método de resolución de ecuaciones mediante factorización, esta ecuación equivale a un conjunto de cuatro ecuaciones 2 x−1=0, x−6= 0, x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Tres de estas ecuaciones son lineales y una es cuadrática; De la primera ecuación encontramos x=1/2, de la segunda - x=6, de la tercera - x=7, x=−2, de la cuarta - x=−1.

Con las raíces encontradas es bastante fácil comprobar si el denominador de la fracción del lado izquierdo de la ecuación original desaparece, pero determinar la ODZ, por el contrario, no es tan fácil, ya que para ello tendrás que resolver una ecuación algebraica de quinto grado. Por tanto, abandonaremos la búsqueda de ODZ en favor de comprobar las raíces. Para ello, los sustituimos uno a uno en lugar de la variable x en la expresión x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obtenidos tras sustitución, y compararlos con cero: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Por tanto, 1/2, 6 y −2 son las raíces deseadas de la ecuación racional fraccionaria original, y 7 y −1 son raíces extrañas.

Respuesta:

1/2 , 6 , −2 .

Ejemplo.

Encuentra las raíces de una ecuación racional fraccionaria.

Solución.

Primero, encontremos las raíces de la ecuación. (5 x 2 −7 x −1) (x−2)=0. Esta ecuación es equivalente a un conjunto de dos ecuaciones: cuadrada 5·x 2 −7·x−1=0 y lineal x−2=0. Usando la fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática, encontramos dos raíces y de la segunda ecuación tenemos x=2.

Comprobar si el denominador llega a cero en los valores encontrados de x es bastante desagradable. Y determinar el rango de valores permisibles de la variable x en la ecuación original es bastante simple. Por tanto, actuaremos a través de ODZ.

En nuestro caso, la ODZ de la variable x de la ecuación racional fraccionaria original consta de todos los números excepto aquellos para los que se cumple la condición x 2 +5·x−14=0. Las raíces de esta ecuación cuadrática son x=−7 y x=2, de lo cual sacamos una conclusión sobre la ODZ: consta de todo x tal que .

Queda por comprobar si las raíces encontradas y x=2 pertenecen al rango de valores aceptables. Las raíces pertenecen, por tanto, son raíces de la ecuación original, y x=2 no pertenece, por tanto, es una raíz extraña.

Respuesta:

También será útil detenerse por separado en los casos en los que en una ecuación racional fraccionaria de la forma hay un número en el numerador, es decir, cuando p(x) está representado por algún número. Donde

• si este número es distinto de cero, entonces la ecuación no tiene raíces, ya que una fracción es igual a cero si y sólo si su numerador es igual a cero;
• si este número es cero, entonces la raíz de la ecuación es cualquier número de la ODZ.

Ejemplo.

Solución.

Dado que el numerador de la fracción en el lado izquierdo de la ecuación contiene un número distinto de cero, entonces, para cualquier x, el valor de esta fracción no puede ser igual a cero. Por tanto, esta ecuación no tiene raíces.

Respuesta:

sin raíces.

Ejemplo.

Resuelve la ecuación.

Solución.

El numerador de la fracción en el lado izquierdo de esta ecuación racional fraccionaria contiene cero, por lo que el valor de esta fracción es cero para cualquier x para la que tenga sentido. En otras palabras, la solución a esta ecuación es cualquier valor de x de la ODZ de esta variable.

Queda por determinar este rango de valores aceptables. Incluye todos los valores de x para los cuales x 4 +5 x 3 ≠0. Las soluciones de la ecuación x 4 +5 x 3 =0 son 0 y −5, ya que esta ecuación es equivalente a la ecuación x 3 (x+5)=0, y a su vez es equivalente a la combinación de dos ecuaciones x 3 =0 y x +5=0, desde donde son visibles estas raíces. Por lo tanto, el rango deseado de valores aceptables es cualquier x excepto x=0 y x=−5.

Por tanto, una ecuación racional fraccionaria tiene infinitas soluciones, que son cualquier número excepto cero y menos cinco.

Respuesta:

Finalmente, es hora de hablar sobre la resolución de ecuaciones racionales fraccionarias de forma arbitraria. Se pueden escribir como r(x)=s(x), donde r(x) y s(x) son expresiones racionales y al menos una de ellas es fraccionaria. De cara al futuro, digamos que su solución se reduce a resolver ecuaciones de la forma que ya nos resulta familiar.

Se sabe que trasladar un término de una parte de la ecuación a otra con signo opuesto conduce a una ecuación equivalente, por lo tanto la ecuación r(x)=s(x) es equivalente a la ecuación r(x)−s(x )=0.

También sabemos que cualquier expresión idénticamente igual a esta expresión es posible. Por lo tanto, siempre podemos transformar la expresión racional en el lado izquierdo de la ecuación r(x)−s(x)=0 en una fracción racional idénticamente igual de la forma.

Entonces pasamos de la ecuación racional fraccionaria original r(x)=s(x) a la ecuación, y su solución, como descubrimos anteriormente, se reduce a resolver la ecuación p(x)=0.

Pero aquí es necesario tener en cuenta el hecho de que al reemplazar r(x)−s(x)=0 con , y luego con p(x)=0, el rango de valores permitidos de la variable x puede expandirse .

En consecuencia, la ecuación original r(x)=s(x) y la ecuación p(x)=0 a la que llegamos pueden resultar desiguales, y resolviendo la ecuación p(x)=0, podemos obtener raíces esas serán raíces extrañas de la ecuación original r(x)=s(x) . Puede identificar y no incluir raíces extrañas en la respuesta realizando una verificación o verificando que pertenecen a la ODZ de la ecuación original.

Resumamos esta información en algoritmo para resolver la ecuación racional fraccionaria r(x)=s(x). Para resolver la ecuación racional fraccionaria r(x)=s(x), necesitas

• Obtenga cero a la derecha moviendo la expresión desde el lado derecho con el signo opuesto.
• Realiza operaciones con fracciones y polinomios en el lado izquierdo de la ecuación, transformándola así en una fracción racional de la forma.
• Resuelve la ecuación p(x)=0.
• Identificar y eliminar raíces extrañas, lo que se hace sustituyéndolas en la ecuación original o verificando su pertenencia a la ODZ de la ecuación original.

Para mayor claridad, mostraremos toda la cadena de resolución de ecuaciones racionales fraccionarias:
.

Veamos las soluciones de varios ejemplos con una explicación detallada del proceso de solución para aclarar el bloque de información dado.

Ejemplo.

Resolver una ecuación racional fraccionaria.

Solución.

Actuaremos de acuerdo con el algoritmo de solución que acabamos de obtener. Y primero, movemos los términos del lado derecho de la ecuación hacia la izquierda, como resultado pasamos a la ecuación.

En el segundo paso, necesitamos convertir la expresión racional fraccionaria en el lado izquierdo de la ecuación resultante a la forma de una fracción. Para ello, reducimos fracciones racionales a un denominador común y simplificamos la expresión resultante: . Entonces llegamos a la ecuación.

En el siguiente paso, necesitamos resolver la ecuación −2·x−1=0. Encontramos x=−1/2.

Queda por comprobar si el número encontrado −1/2 no es una raíz extraña de la ecuación original. Para ello, puedes comprobar o encontrar el VA de la variable x de la ecuación original. Demostremos ambos enfoques.

Empecemos por comprobar. Sustituimos el número −1/2 en la ecuación original en lugar de la variable x, y obtenemos lo mismo, −1=−1. La sustitución da la igualdad numérica correcta, por lo que x=−1/2 es la raíz de la ecuación original.

Ahora mostraremos cómo se realiza el último punto del algoritmo a través de ODZ. El rango de valores aceptables de la ecuación original es el conjunto de todos los números excepto −1 y 0 (en x=−1 y x=0 los denominadores de las fracciones desaparecen). La raíz x=−1/2 encontrada en el paso anterior pertenece a la ODZ, por lo tanto, x=−1/2 es la raíz de la ecuación original.

Respuesta:

−1/2 .

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo.

Encuentra las raíces de la ecuación.

Solución.

Necesitamos resolver una ecuación racional fraccionaria, repasemos todos los pasos del algoritmo.

Primero, movemos el término de derecha a izquierda y obtenemos.

En segundo lugar, transformamos la expresión formada en el lado izquierdo: . Como resultado llegamos a la ecuación x=0.

Su raíz es obvia: es cero.

En el cuarto paso, queda por descubrir si la raíz encontrada es ajena a la ecuación racional fraccionaria original. Cuando se sustituye en la ecuación original, se obtiene la expresión. Obviamente, no tiene sentido porque contiene división por cero. De donde concluimos que 0 es una raíz extraña. Por tanto, la ecuación original no tiene raíces.

7, lo que conduce a la ecuación. De esto podemos concluir que la expresión en el denominador del lado izquierdo debe ser igual a la del lado derecho, es decir, . Ahora restamos de ambos lados del triple: . Por analogía, desde dónde y más allá.

La verificación muestra que ambas raíces encontradas son raíces de la ecuación racional fraccionaria original.

Respuesta:

Bibliografía.

• Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G.Álgebra. Octavo grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Álgebra: 9º grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Ya hemos aprendido a resolver ecuaciones cuadráticas. Ahora extendamos los métodos estudiados a ecuaciones racionales.

¿Qué es una expresión racional? Ya nos hemos encontrado con este concepto. Expresiones racionales son expresiones compuestas por números, variables, sus potencias y símbolos de operaciones matemáticas.

En consecuencia, las ecuaciones racionales son ecuaciones de la forma: , donde - expresiones racionales.

Anteriormente, consideramos solo aquellas ecuaciones racionales que se pueden reducir a lineales. Ahora veamos esas ecuaciones racionales que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 1

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Una fracción es igual a 0 si y sólo si su numerador es igual a 0 y su denominador no es igual a 0.

Obtenemos el siguiente sistema:

La primera ecuación del sistema es una ecuación cuadrática. Antes de resolverlo dividimos todos sus coeficientes entre 3. Obtenemos:

Obtenemos dos raíces: ; .

Como 2 nunca es igual a 0, se deben cumplir dos condiciones: . Dado que ninguna de las raíces de la ecuación obtenida anteriormente coincide con los valores no válidos de la variable que se obtuvieron al resolver la segunda desigualdad, ambas son soluciones de esta ecuación.

Respuesta:.

Entonces, formulemos un algoritmo para resolver ecuaciones racionales:

1. Mueva todos los términos al lado izquierdo para que el lado derecho termine en 0.

2. Transforma y simplifica el lado izquierdo, lleva todas las fracciones a un denominador común.

3. Iguale la fracción resultante a 0 usando el siguiente algoritmo: .

4. Escribe las raíces que se obtuvieron en la primera ecuación y satisface la segunda desigualdad en la respuesta.

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo 2

Resuelve la ecuación: .

Solución

Al principio, movemos todos los términos hacia la izquierda para que 0 permanezca a la derecha. Obtenemos:

Ahora llevemos el lado izquierdo de la ecuación a un denominador común:

Esta ecuación es equivalente al sistema:

La primera ecuación del sistema es una ecuación cuadrática.

Coeficientes de esta ecuación: . Calculamos el discriminante:

Obtenemos dos raíces: ; .

Ahora resolvamos la segunda desigualdad: el producto de factores no es igual a 0 si y solo si ninguno de los factores es igual a 0.

Deben cumplirse dos condiciones: . Encontramos que de las dos raíces de la primera ecuación, solo una es adecuada: 3.

Respuesta:.

En esta lección, recordamos qué es una expresión racional y también aprendimos cómo resolver ecuaciones racionales, que se reducen a ecuaciones cuadráticas.

En la próxima lección veremos ecuaciones racionales como modelos de situaciones reales y también veremos problemas de movimiento.

Bibliografía

1. Bashmakov M.I. Álgebra, octavo grado. - M.: Educación, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. y otros. - M.: Educación, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Álgebra, octavo grado. Libro de texto para instituciones de educación general. - M.: Educación, 2006.

1. Festival de ideas pedagógicas "Lección Abierta" ().
2. escuela.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Tarea

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