Para construir un modelo matemático necesitas:

1. analizar cuidadosamente un objeto o proceso real;
2. resaltar sus características y propiedades más significativas;
3. definir variables, es decir parámetros cuyos valores afectan las principales características y propiedades del objeto;
4. describir la dependencia de las propiedades básicas de un objeto, proceso o sistema de los valores de las variables utilizando relaciones lógico-matemáticas (ecuaciones, igualdades, desigualdades, construcciones lógico-matemáticas);
5. resaltar las conexiones internas de un objeto, proceso o sistema utilizando restricciones, ecuaciones, igualdades, desigualdades, construcciones lógicas y matemáticas;
6. identificar conexiones externas y describirlas utilizando restricciones, ecuaciones, igualdades, desigualdades, construcciones lógicas y matemáticas.

El modelado matemático, además de estudiar un objeto, proceso o sistema y elaborar su descripción matemática, también incluye:

1. construir un algoritmo que modele el comportamiento de un objeto, proceso o sistema;
2. comprobar la idoneidad del modelo y del objeto, proceso o sistema basándose en experimentos computacionales y a gran escala;
3. ajuste del modelo;
4. usando el modelo.

La descripción matemática de los procesos y sistemas en estudio depende de:

1. la naturaleza de un proceso o sistema real y se compila sobre la base de las leyes de la física, química, mecánica, termodinámica, hidrodinámica, ingeniería eléctrica, teoría de la plasticidad, teoría de la elasticidad, etc.
2. la fiabilidad y precisión requeridas en el estudio e investigación de procesos y sistemas reales.

La construcción de un modelo matemático generalmente comienza con la construcción y análisis del modelo matemático más simple y crudo del objeto, proceso o sistema bajo consideración. En el futuro, si es necesario, se perfecciona el modelo y se completa su correspondencia con el objeto.

Tomemos un ejemplo sencillo. Es necesario determinar la superficie del escritorio. Normalmente, esto se hace midiendo su largo y ancho y luego multiplicando los números resultantes. Este procedimiento elemental en realidad significa lo siguiente: un objeto real (la superficie de la mesa) se reemplaza por un modelo matemático abstracto: un rectángulo. Las dimensiones obtenidas midiendo el largo y el ancho de la superficie de la mesa se asignan al rectángulo, y el área de dicho rectángulo se toma aproximadamente como el área requerida de la mesa. Sin embargo, el modelo rectangular de escritorio es el modelo más simple y tosco. Si aborda el problema más seriamente, antes de utilizar un modelo rectangular para determinar el área de la mesa, es necesario verificar este modelo. Las comprobaciones se pueden realizar de la siguiente manera: mida las longitudes de los lados opuestos de la mesa, así como las longitudes de sus diagonales y compárelas entre sí. Si, con el grado de precisión requerido, las longitudes de los lados opuestos y las longitudes de las diagonales son iguales en pares, entonces la superficie de la mesa realmente puede considerarse como un rectángulo. De lo contrario, el modelo rectangular tendrá que ser rechazado y reemplazado por un modelo cuadrilátero general. Si se requiere mayor precisión, puede ser necesario perfeccionar aún más el modelo, por ejemplo, para tener en cuenta el redondeo de las esquinas de la mesa.

Usando este simple ejemplo, se demostró que el modelo matemático no está determinado únicamente por el objeto, proceso o sistema.

O (se aclarará mañana)

Formas de resolver matemáticas. Modelos:

1, Construcción de un modelo basado en las leyes de la naturaleza (método analítico)

2. La forma formal utilizando métodos estadísticos. Resultados de procesamiento y medición (enfoque estadístico)

3. Construcción de un modelo a partir de un modelo de elementos (sistemas complejos)

1, Analítico: utilizar con suficiente estudio. El patrón general es conocido. Modelos.

2. experimentar. A falta de información.

3. Imitación m. - explora las propiedades del objeto. Generalmente.

Un ejemplo de construcción de un modelo matemático.

Modelo matemático Es una representación matemática de la realidad.

Modelado matemático Es el proceso de construcción y estudio de modelos matemáticos.

Todas las ciencias naturales y sociales que utilizan las matemáticas se dedican esencialmente a la modelización matemática: reemplazan un objeto por su modelo matemático y luego estudian este último. La conexión entre un modelo matemático y la realidad se realiza mediante una cadena de hipótesis, idealizaciones y simplificaciones. Utilizando métodos matemáticos, por regla general, se describe un objeto ideal construido en la etapa de modelado significativo.

¿Por qué se necesitan modelos?

Muy a menudo, surgen dificultades al estudiar cualquier objeto. A veces el original en sí no está disponible, o no es aconsejable su uso, o atraer el original es costoso. Todos estos problemas se pueden resolver mediante simulación. En cierto sentido, un modelo puede sustituir al objeto en estudio.

Los ejemplos más simples de modelos.

§ Una fotografía puede denominarse modelo de una persona. Para reconocer a una persona basta con ver su fotografía.

§ El arquitecto creó un modelo de una nueva zona residencial. Puede mover un edificio de gran altura de una parte a otra con un movimiento de su mano. En realidad esto no sería posible.

Tipos de modelo

Los modelos se pueden dividir en material" Y perfecto. Los ejemplos anteriores son modelos materiales. Los modelos ideales suelen tener formas icónicas. Los conceptos reales son sustituidos por algunos signos, que pueden registrarse fácilmente en el papel, en la memoria del ordenador, etc.

Modelado matemático

El modelado matemático pertenece a la clase de modelado simbólico. Además, se pueden crear modelos a partir de cualquier objeto matemático: números, funciones, ecuaciones, etc.

Construyendo un modelo matemático

§ Se pueden observar varias etapas en la construcción de un modelo matemático:

1. Comprender el problema, identificando las cualidades, propiedades, cantidades y parámetros más importantes para nosotros.

2. Introducción de la notación.

3. Elaborar un sistema de restricciones que deben cumplir los valores ingresados.

4. Formulación y registro de las condiciones que debe satisfacer la solución óptima deseada.

El proceso de modelado no termina con la creación de un modelo, sino que sólo comienza con él. Después de compilar un modelo, eligen un método para encontrar la respuesta y resolver el problema. una vez encontrada la respuesta, se compara con la realidad. Y es posible que la respuesta no sea satisfactoria, en cuyo caso se modifica el modelo o incluso se elige un modelo completamente diferente.

Ejemplo de un modelo matemático

Tarea

La asociación de producción, que incluye dos fábricas de muebles, necesita actualizar su parque de máquinas. Además, la primera fábrica de muebles necesita sustituir tres máquinas y la segunda, siete. Los pedidos se pueden realizar en dos fábricas de máquinas herramienta. La primera planta no puede producir más de 6 máquinas y la segunda planta aceptará un pedido si hay al menos tres. Debe determinar cómo realizar los pedidos.

El concepto de modelo y simulación.

Modelo en sentido amplio- es cualquier imagen, analogía mental o imagen establecida, descripción, diagrama, dibujo, mapa, etc. de cualquier volumen, proceso o fenómeno, utilizada como su sustituto o representante. El objeto, proceso o fenómeno en sí se denomina original de este modelo.

Modelado - este es el estudio de cualquier objeto o sistema de objetos mediante la construcción y estudio de sus modelos. Se trata del uso de modelos para determinar o aclarar las características y racionalizar los métodos de construcción de objetos recién construidos.

Cualquier método de investigación científica se basa en la idea de modelar, mientras que los métodos teóricos utilizan varios tipos de modelos simbólicos y abstractos y los métodos experimentales utilizan modelos temáticos.

Durante la investigación, un fenómeno real complejo es reemplazado por alguna copia o diagrama simplificado, a veces dicha copia sólo sirve para recordar y reconocer el fenómeno deseado en la próxima reunión. A veces, el diagrama construido refleja algunas características esenciales, permite comprender el mecanismo de un fenómeno y permite predecir su cambio. Diferentes modelos pueden corresponder al mismo fenómeno.

La tarea del investigador es predecir la naturaleza del fenómeno y el curso del proceso.

A veces sucede que un objeto está disponible, pero los experimentos con él son costosos o tienen graves consecuencias medioambientales. El conocimiento sobre dichos procesos se obtiene mediante modelos.

Un punto importante es que la naturaleza misma de la ciencia implica el estudio no de un fenómeno específico, sino de una amplia clase de fenómenos relacionados. Asume la necesidad de formular algunos enunciados categóricos generales, que se denominan leyes. Naturalmente, con tal formulación se descuidan muchos detalles. Para identificar más claramente un patrón, optan conscientemente por la tosquedad, la idealización y la esbozo, es decir, no estudian el fenómeno en sí, sino una copia o modelo más o menos exacto del mismo. Todas las leyes son leyes sobre modelos y, por lo tanto, no es sorprendente que con el tiempo algunas teorías científicas sean reconocidas como inadecuadas. Esto no conduce al colapso de la ciencia, ya que un modelo ha sido reemplazado por otro. más moderno.

Los modelos matemáticos, los materiales de construcción y las herramientas de estos modelos desempeñan un papel especial en la ciencia: los conceptos matemáticos. Se acumularon y mejoraron durante miles de años. Las matemáticas modernas proporcionan medios de investigación extremadamente poderosos y universales. Casi todos los conceptos matemáticos, cada objeto matemático, comenzando por el concepto de número, es un modelo matemático. Al construir un modelo matemático del objeto o fenómeno en estudio se identifican aquellas de sus características, características y detalles que, por un lado, contienen información más o menos completa sobre el objeto, y por otro, permiten la formalización matemática. La formalización matemática significa que las características y detalles de un objeto pueden asociarse con conceptos matemáticos adecuados: números, funciones, matrices, etc. Luego, las conexiones y relaciones descubiertas y asumidas en el objeto en estudio entre sus partes y componentes individuales se pueden escribir utilizando relaciones matemáticas: igualdades, desigualdades, ecuaciones. El resultado es una descripción matemática del proceso o fenómeno que se está estudiando, es decir, su modelo matemático.

El estudio de un modelo matemático siempre va asociado a determinadas reglas de actuación sobre los objetos estudiados. Estas reglas reflejan las relaciones entre causas y efectos.

La construcción de un modelo matemático es la etapa central de la investigación o diseño de cualquier sistema. Todo análisis posterior del objeto depende de la calidad del modelo. Construir un modelo no es un procedimiento formal. Depende en gran medida del investigador, de su experiencia y gusto, y siempre se basa en determinado material experimental. El modelo debe ser suficientemente preciso, adecuado y cómodo de utilizar.

Modelado matemático.

Clasificación de modelos matemáticos.

Los modelos matemáticos pueden serdeterminista Y estocástico .

Determinado modelo y son modelos en los que se establece una correspondencia uno a uno entre variables que describen un objeto o fenómeno.

Este enfoque se basa en el conocimiento del mecanismo de funcionamiento de los objetos. A menudo, el objeto que se está modelando es complejo y descifrar su mecanismo puede requerir mucho trabajo y mucho tiempo. En este caso, proceden de la siguiente manera: realizan experimentos sobre el original, procesan los resultados obtenidos y, sin profundizar en el mecanismo y teoría del objeto modelado utilizando los métodos de la estadística matemática y la teoría de la probabilidad, establecen conexiones entre las variables que describen. el objeto. En este caso obtienesestocástico modelo . EN estocástico En el modelo, la relación entre variables es aleatoria, a veces es fundamental. La influencia de una gran cantidad de factores, su combinación conduce a un conjunto aleatorio de variables que describen un objeto o fenómeno. Según la naturaleza de los modos, el modelo esestadístico Y dinámica.

EstadísticomodeloIncluye una descripción de las relaciones entre las principales variables del objeto modelado en estado estacionario sin tener en cuenta cambios en los parámetros a lo largo del tiempo.

EN dinámicamodelosSe describen las relaciones entre las principales variables del objeto modelado durante la transición de un modo a otro.

hay modelos discreto Y continuo, y mezclado tipo. EN continuo las variables toman valores de un cierto intervalo, endiscretolas variables toman valores aislados.

Modelos lineales- todas las funciones y relaciones que describen el modelo dependen linealmente de las variables yno linealde lo contrario.

Modelado matemático.

Requisitos ,p presentado a los modelos.

1. Versatilidad- caracteriza la integridad de la representación del modelo de las propiedades estudiadas de un objeto real.

1. La adecuación es la capacidad de reflejar las propiedades deseadas de un objeto con un error no superior al determinado.
2. La precisión se evalúa por el grado de concordancia entre los valores de las características de un objeto real y los valores de estas características obtenidos mediante modelos.
3. Económico - determinado por el gasto de recursos de memoria de la computadora y el tiempo para su implementación y operación.

Modelado matemático.

Principales etapas del modelado.

1. Planteamiento del problema.

Determinar el propósito del análisis y la forma de lograrlo y desarrollar un planteamiento general del problema en estudio. En esta etapa se requiere una comprensión profunda de la esencia de la tarea. A veces, plantear correctamente un problema no es menos difícil que solucionarlo. La puesta en escena no es un proceso formal; no existen reglas generales.

2. Estudiar los fundamentos teóricos y recopilar información sobre el objeto original.

En esta etapa, se selecciona o desarrolla una teoría adecuada. Si no está ahí, se establecen relaciones de causa y efecto entre las variables que describen el objeto. Se determinan los datos de entrada y salida y se hacen supuestos simplificadores.

3. Formalización.

Consiste en elegir un sistema de símbolos y utilizarlos para escribir las relaciones entre los componentes de un objeto en forma de expresiones matemáticas. Se establece la clase de problemas a los que se puede clasificar el modelo matemático resultante del objeto. Es posible que los valores de algunos parámetros aún no se hayan especificado en esta etapa.

4. Elegir un método de solución.

En esta etapa se establecen los parámetros finales de los modelos teniendo en cuenta las condiciones de funcionamiento del objeto. Para el problema matemático resultante, se selecciona un método de solución o se desarrolla un método especial. Al elegir un método, se tienen en cuenta los conocimientos del usuario, sus preferencias y las preferencias del desarrollador.

5. Implementación del modelo.

Una vez desarrollado un algoritmo, se escribe un programa, que se depura, se prueba y se obtiene una solución al problema deseado.

6. Análisis de la información recibida.

Se comparan las soluciones obtenidas y esperadas y se monitorea el error de modelado.

7. Comprobación de la adecuación del objeto real.

Se comparan los resultados obtenidos del modelo.ya sea con la información disponible sobre el objeto, o se realiza un experimento y se comparan sus resultados con los calculados.

El proceso de modelado es iterativo. En caso de resultados insatisfactorios de las etapas. 6. o 7. hay un retorno a una de las etapas anteriores, lo que podría llevar al desarrollo de un modelo fallido. Esta etapa y todas las posteriores se refinan, y dicho refinamiento del modelo ocurre hasta que se obtienen resultados aceptables.

Un modelo matemático es una descripción aproximada de cualquier clase de fenómenos u objetos del mundo real en el lenguaje de las matemáticas. El objetivo principal del modelado es explorar estos objetos y predecir los resultados de futuras observaciones. Sin embargo, el modelado es también un método para comprender el mundo que nos rodea, permitiendo controlarlo.

El modelado matemático y el experimento informático asociado son indispensables en los casos en que un experimento a gran escala es imposible o difícil por una razón u otra. Por ejemplo, es imposible realizar un experimento natural en la historia para comprobar "qué habría pasado si...". Es imposible comprobar la exactitud de una u otra teoría cosmológica. Es posible, aunque poco inteligente, experimentar con la propagación de una enfermedad, como la peste, o llevar a cabo una explosión nuclear para estudiar sus consecuencias. Sin embargo, todo esto se puede hacer en una computadora, construyendo primero modelos matemáticos de los fenómenos en estudio.

1.1.2 2. Principales etapas del modelado matemático.

1) Construcción de modelos. En esta etapa, se especifica un determinado objeto "no matemático": un fenómeno natural, un diseño, un plan económico, un proceso de producción, etc. En este caso, por regla general, es difícil describir claramente la situación. En primer lugar, se identifican las principales características del fenómeno y las conexiones entre ellas a nivel cualitativo. Luego, las dependencias cualitativas encontradas se formulan en el lenguaje matemático, es decir, se construye un modelo matemático. Esta es la etapa más difícil del modelado.

2) Resolver el problema matemático al que conduce el modelo.. En esta etapa, se presta mucha atención al desarrollo de algoritmos y métodos numéricos para resolver el problema en una computadora, con la ayuda de los cuales se puede encontrar el resultado con la precisión requerida y en un tiempo aceptable.

3) Interpretación de las consecuencias obtenidas del modelo matemático.Las consecuencias derivadas del modelo en el lenguaje de las matemáticas se interpretan en el lenguaje aceptado en el campo.

4) Comprobar la adecuación del modelo.En esta etapa, se determina si los resultados experimentales concuerdan con las consecuencias teóricas del modelo dentro de una cierta precisión.

5) Modificación del modelo.En esta etapa, o se complica el modelo para que se ajuste más a la realidad, o se simplifica para lograr una solución prácticamente aceptable.

1.1.3 3. Clasificación de modelos

Los modelos se pueden clasificar según diferentes criterios. Por ejemplo, según la naturaleza de los problemas a resolver, los modelos se pueden dividir en funcionales y estructurales. En el primer caso, todas las cantidades que caracterizan un fenómeno u objeto se expresan cuantitativamente. En este caso, algunas de ellas se consideran variables independientes, mientras que otras se consideran funciones de dichas cantidades. Un modelo matemático suele ser un sistema de ecuaciones de varios tipos (diferencial, algebraica, etc.) que establecen relaciones cuantitativas entre las cantidades consideradas. En el segundo caso, el modelo caracteriza la estructura de un objeto complejo que consta de partes individuales, entre las cuales existen ciertas conexiones. Normalmente, estas conexiones no son cuantificables. Para construir tales modelos, es conveniente utilizar la teoría de grafos. Una gráfica es un objeto matemático que representa un conjunto de puntos (vértices) en un plano o en el espacio, algunos de los cuales están conectados por líneas (aristas).

Según la naturaleza de los datos y resultados iniciales, los modelos de predicción se pueden dividir en deterministas y probabilístico-estadísticos. Los modelos del primer tipo hacen predicciones seguras e inequívocas. Los modelos del segundo tipo se basan en información estadística y las predicciones obtenidas con su ayuda son de naturaleza probabilística.

MODELADO MATEMÁTICO Y MODELOS DE INFORMÁTICA O SIMULACIÓN GENERAL

Ahora que en el país se está produciendo una informatización casi universal, escuchamos declaraciones de especialistas de diversas profesiones: "Si introducimos una computadora, todos los problemas se resolverán de inmediato". Este punto de vista es completamente incorrecto: los propios ordenadores, sin modelos matemáticos de determinados procesos, no podrán hacer nada y sólo se puede soñar con una informatización universal.

En apoyo de lo anterior, intentaremos justificar la necesidad del modelado, incluido el modelado matemático, revelaremos sus ventajas en el conocimiento y la transformación del mundo exterior por parte del hombre, identificaremos las deficiencias existentes y pasaremos... al modelado de simulación, es decir. modelado usando una computadora. Pero todo está en orden.

En primer lugar, respondamos la pregunta: ¿qué es un modelo?

Un modelo es un objeto representado material o mentalmente, que en el proceso de cognición (estudio) reemplaza al original, conservando algunas propiedades típicas que son importantes para este estudio.

Un modelo bien construido es más accesible para la investigación que un objeto real. Por ejemplo, los experimentos con la economía del país con fines educativos son inaceptables; un modelo es indispensable.

Resumiendo lo dicho, podemos responder a la pregunta: ¿para qué sirven los modelos? Con el fin de

• comprender cómo funciona un objeto (su estructura, propiedades, leyes de desarrollo, interacción con el mundo exterior).
• aprender a gestionar un objeto (proceso) y determinar las mejores estrategias
• predecir las consecuencias del impacto sobre el objeto.

¿Qué tiene de positivo cualquier modelo? Le permite adquirir nuevos conocimientos sobre el objeto, pero, desafortunadamente, está incompleto en un grado u otro.

Modeloformulado en el lenguaje de las matemáticas utilizando métodos matemáticos se denomina modelo matemático.

El punto de partida para su construcción suele ser algún problema, por ejemplo económico. Tanto los matemáticos descriptivos como los de optimización están muy extendidos y caracterizan diversas procesos económicos y fenómenos, por ejemplo:

• Asignación de recursos
• corte racional
• transporte
• consolidación de empresas
• planificación de la red.

¿Cómo se construye un modelo matemático?

• En primer lugar, se formula el propósito y el tema del estudio.
• En segundo lugar, se destacan las características más importantes correspondientes a este objetivo.
• En tercer lugar, se describen verbalmente las relaciones entre los elementos del modelo.
• A continuación, se formaliza la relación.
• Y se hace un cálculo mediante un modelo matemático y se analiza la solución resultante.

Con este algoritmo, puede resolver cualquier problema de optimización, incluidos los multicriterio, es decir. uno en el que se persiguen no uno, sino varios objetivos, incluidos los contradictorios.

Pongamos un ejemplo. Teoría de las colas: el problema de las colas. Es necesario equilibrar dos factores: el costo de mantener los dispositivos de servicio y el costo de mantenerse en línea. Una vez construida una descripción formal del modelo, los cálculos se realizan utilizando métodos analíticos y computacionales. Si el modelo es bueno, entonces las respuestas encontradas con su ayuda son adecuadas para el sistema de modelado; si es malo, entonces debe mejorarse y reemplazarse. El criterio de adecuación es la práctica.

Los modelos de optimización, incluidos los multicriterio, tienen una propiedad común: se conoce un objetivo (o varios objetivos), para lograrlo a menudo hay que lidiar con sistemas complejos, donde no se trata tanto de resolver problemas de optimización, sino de estudiar y predecir. estados dependiendo de las estrategias de gestión seleccionadas. Y aquí nos enfrentamos a las dificultades de implementar el plan anterior. Son los siguientes:

• Un sistema complejo contiene muchas conexiones entre elementos.
• un sistema real está influenciado por factores aleatorios, tomarlos en cuenta analíticamente es imposible
• la posibilidad de comparar el original con el modelo existe sólo al principio y después de utilizar el aparato matemático, porque Los resultados intermedios pueden no tener análogos en el sistema real.

En relación con las dificultades enumeradas que surgen al estudiar sistemas complejos, la práctica requirió un método más flexible y apareció: el "modelado por simulación".

Normalmente, se entiende por modelo de simulación un conjunto de programas informáticos que describen el funcionamiento de bloques individuales del sistema y las reglas de interacción entre ellos. El uso de variables aleatorias hace necesario la realización de experimentos repetidos con un sistema de simulación (en ordenador) y el posterior análisis estadístico de los resultados obtenidos. Un ejemplo muy común de uso de modelos de simulación es la resolución del problema de colas mediante el método MONTE CARLO.

Por tanto, trabajar con un sistema de simulación es un experimento que se realiza en un ordenador. ¿Cuáles son las ventajas?

– Mayor proximidad al sistema real que los modelos matemáticos;

–El principio de bloque permite verificar cada bloque antes de su inclusión en el sistema global;

–El uso de dependencias de naturaleza más compleja que no pueden describirse mediante relaciones matemáticas simples.

Las ventajas enumeradas determinan las desventajas.

–construir un modelo de simulación lleva más tiempo, es más difícil y más caro;

– para trabajar con el sistema de simulación es necesario disponer de un ordenador adecuado a la clase;

– la interacción entre el usuario y el modelo de simulación (interfaz) no debe ser demasiado compleja, cómoda y bien conocida;

-Construir un modelo de simulación requiere un estudio más profundo del proceso real que el modelado matemático.

Surge la pregunta: ¿puede el modelado de simulación reemplazar los métodos de optimización? No, pero los complementa convenientemente. Un modelo de simulación es un programa que implementa un determinado algoritmo, para optimizar cuyo control se resuelve primero un problema de optimización.

Por tanto, ni una computadora, ni un modelo matemático, ni un algoritmo para su estudio pueden por sí solos resolver un problema suficientemente complejo. Pero juntos representan la fuerza que nos permite comprender el mundo que nos rodea y gestionarlo en interés del hombre.

1.2 Clasificación de modelos

1.2.1 Clasificación teniendo en cuenta el factor tiempo y el área de uso (Makarova N.A.) modelo estático - esto es como una instantánea única de información sobre un objeto (el resultado de una encuesta) Dinámica modelo-permite ver cambios en un objeto a lo largo del tiempo (Tarjeta en la clínica) Los modelos también se pueden clasificar según ¿A qué área del conocimiento pertenecen?(biológico, histórico, ambiental, etc.) Volver a la cima

1.2.2 Clasificación por área de uso (Makarova N.A.) Educativo- visual manuales, simuladores oh, aulladores programas Experimentado modelos reducidos copias (coche en un túnel de viento) Científico y técnico sincrofasotrón, soporte para probar equipos electrónicos Juego de azar- económico, deportes, juegos de negocios Imitación- No Simplemente reflejan la realidad, pero la imitan (los medicamentos se prueban en ratones, se realizan experimentos en las escuelas, etc. Este método de modelado se llama prueba y error Volver a la cima

1.2.3 Clasificación según el método de presentación Makarov N.A.) Material modelos- de lo contrario puede llamarse sujeto. Perciben las propiedades geométricas y físicas del original y siempre tienen una encarnación real. Información no se permiten modelos tocar o ver. Se basan únicamente en información. .E informativo modelo es un conjunto de información que caracteriza las propiedades y estados de un objeto, proceso, fenómeno, así como la relación con el mundo exterior. modelo verbal - modelo de información en forma mental o hablada. Icónico información del modelo modelo expresado por signos ,es decir.. mediante cualquier lenguaje formal. modelo de computadora - metro Un modelo implementado mediante un entorno de software.

1.2.4 Clasificación de modelos dada en el libro "Earth Informatics" (Gein A.G.)) "...he aquí una tarea aparentemente sencilla: ¿cuánto tiempo llevará cruzar el desierto de Karakum? La respuesta es por supuesto Depende del método de transporte. Si viajar en camellos, entonces te llevará un trimestre, otro si vas en coche, un tercero si vuelas en avión. Y lo más importante, para planificar un viaje se necesitan diferentes modelos. Para el primer caso, el modelo necesario se puede encontrar en las memorias de famosos exploradores del desierto: al fin y al cabo, no se puede prescindir de información sobre oasis y rutas de camellos. En el segundo caso, la información contenida en el atlas de carreteras es insustituible. En el tercero, puedes utilizar el horario de vuelo. Estos tres modelos se diferencian (memorias, atlas y agenda) y la naturaleza de la presentación de la información. En el primer caso, el modelo está representado por una descripción verbal de información. (modelo descriptivo), en el segundo, como si fuera una fotografía de la vida. (modelo a escala real), en el tercero, una tabla que contiene símbolos: horarios de salida y llegada, día de la semana, precio del billete (el llamado modelo de signos) Sin embargo, esta división es muy arbitraria: en las memorias se pueden encontrar mapas y diagramas (elementos de un modelo a escala real), en los mapas hay símbolos (elementos de un modelo simbólico), en el cronograma hay una decodificación de símbolos (elementos de un modelo descriptivo). Así que esta clasificación de modelos... en nuestra opinión, es improductiva". En mi opinión, este fragmento demuestra el estilo de enseñanza descriptivo (lenguaje y estilo de presentación maravillosos) y, por así decirlo, socrático común a todos los libros de Hein (todos piensan que es así). Estoy completamente de acuerdo contigo, pero si te fijas bien...). En tales libros es bastante difícil encontrar un sistema claro de definiciones (no es la intención del autor). En el libro de texto editado por N.A. Makarova demuestra un enfoque diferente: las definiciones de conceptos están claramente resaltadas y son algo estáticas.

1.2.5 Clasificación de modelos dada en el manual de A.I. Existe una cantidad inusualmente grande de métodos de clasificación. .P traer sólo algunos de los motivos más conocidos y signos: discreción Y continuidad, matriz y modelos escalares, modelos estáticos y dinámicos, modelos analíticos y de información, modelos sujeto y de signos figurativos, a gran escala y sin escala... Cada señal da un cierto conocimiento sobre las propiedades tanto del modelo como de la realidad simulada. El letrero puede servir como una pista sobre el método del modelado finalizado o futuro. Discreción y continuidad Discreción - un rasgo característico de los modelos de computadora .Después de todo una computadora puede estar en un número finito, aunque muy grande, de estados. Por tanto, aunque el objeto sea continuo (tiempo), en el modelo cambiará a saltos. Podría considerarse continuidad un signo de modelos que no son de tipo informático. Oportunidad y determinismo . Incertidumbre, accidente Inicialmente se enfrenta al mundo de la informática: el algoritmo ejecutado nuevamente debe repetirse y dar los mismos resultados. Pero para simular procesos aleatorios se utilizan sensores de números pseudoaleatorios. La introducción de la aleatoriedad en problemas deterministas conduce a modelos potentes e interesantes (cálculo del área mediante el método de lanzamiento aleatorio). Matrixidad - escalaridad. Disponibilidad de parámetros matriz modelo indica su mayor complejidad y, posiblemente, precisión en comparación con escalar. Por ejemplo, si no identificamos todos los grupos de edad de la población del país, considerando su evolución en su conjunto, obtendremos un modelo escalar (por ejemplo, el modelo de Malthus, si lo aislamos obtendremos una matriz (sexo); -edad) modelo. Fue el modelo matricial el que permitió explicar las fluctuaciones de la fertilidad después de la guerra. Dinámica estática. Estas propiedades del modelo suelen estar predeterminadas por las propiedades del objeto real. Aquí no hay libertad de elección. Justo estático el modelo podría ser un paso hacia dinámica, o algunas de las variables del modelo pueden considerarse sin cambios por ahora. Por ejemplo, un satélite se mueve alrededor de la Tierra y su movimiento está influenciado por la Luna. Si consideramos la Luna estacionaria durante la revolución del satélite, obtenemos un modelo más sencillo. Modelos analíticos. Descripción de procesos analíticamente, fórmulas y ecuaciones. Pero al intentar construir un gráfico, es más conveniente tener tablas de valores y argumentos de funciones. Modelos de simulación. Imitación Los modelos aparecieron hace mucho tiempo en forma de copias a escala de barcos, puentes, etc. aparecieron hace mucho tiempo, pero recientemente se están considerando en relación con las computadoras. Sabiendo que tan conectados elementos del modelo de forma analítica y lógica, es más fácil no resolver un sistema de determinadas relaciones y ecuaciones, sino mostrar el sistema real en la memoria de la computadora, teniendo en cuenta las conexiones entre los elementos de la memoria. Modelos de información. Información Los modelos suelen contrastarse con los matemáticos, o más bien algorítmicos. Aquí es importante la relación entre el volumen de datos y los algoritmos. Si hay más datos o son más importantes, tenemos un modelo de información, de lo contrario... matemático. Modelos de sujetos. Se trata principalmente de un modelo para niños: un juguete. Modelos icónicos. Este es principalmente un modelo en la mente humana: figurativo, si predominan las imágenes gráficas, y icónico, si hay más palabras y/o números. Los modelos de signos figurativos se construyen en una computadora. Modelos a escala. A Gran escala Los modelos son los de modelos temáticos o figurativos que repiten la forma de un objeto (mapa).

Según el libro de texto de Sovetov y Yakovlev: "un modelo (en latín módulo - medida) es un objeto sustituto del objeto original, que garantiza el estudio de algunas propiedades del original". (p. 6) “Reemplazar un objeto por otro para obtener información sobre las propiedades más importantes del objeto original utilizando un objeto modelo se llama modelado”. (p. 6) “Por modelización matemática entendemos el proceso de establecer una correspondencia de un determinado objeto real con un determinado objeto matemático, llamado modelo matemático, y el estudio de este modelo, que nos permite obtener las características del objeto real. objeto bajo consideración. El tipo de modelo matemático depende tanto de la naturaleza del objeto real como de las tareas de estudiar el objeto y de la confiabilidad y precisión requeridas para resolver este problema”.

Finalmente, la definición más concisa de un modelo matemático: "Una ecuación que expresa una idea.».

Clasificación de modelos

Clasificación formal de modelos.

La clasificación formal de modelos se basa en la clasificación de las herramientas matemáticas utilizadas. A menudo se construye en forma de dicotomías. Por ejemplo, uno de los conjuntos populares de dicotomías:

etcétera. Cada modelo construido es lineal o no lineal, determinista o estocástico, ... Naturalmente, también son posibles los tipos mixtos: concentrados en un aspecto (en términos de parámetros), distribuidos en otro, etc.

Clasificación según la forma en que se representa el objeto.

Además de la clasificación formal, los modelos se diferencian en la forma en que representan un objeto:

• Modelos estructurales o funcionales

Modelos estructurales Representar un objeto como un sistema con su propia estructura y mecanismo de funcionamiento. Modelos funcionales no utilice tales representaciones y refleje solo el comportamiento (funcionamiento) percibido externamente del objeto. En su expresión extrema, también se les llama modelos de “caja negra”. También son posibles tipos combinados de modelos, que a veces se denominan " caja gris».

Contenidos y modelos formales.

Casi todos los autores que describen el proceso de modelado matemático indican que primero se construye una estructura ideal especial, modelo de contenido. No existe aquí una terminología establecida, y otros autores llaman a este objeto ideal modelo conceptual , modelo especulativo o premodelo. En este caso, la construcción matemática final se llama modelo formal o simplemente un modelo matemático obtenido como resultado de la formalización de un modelo significativo dado (premodelo). La construcción de un modelo significativo se puede realizar utilizando un conjunto de idealizaciones ya hechas, como en mecánica, donde resortes ideales, cuerpos rígidos, péndulos ideales, medios elásticos, etc. proporcionan elementos estructurales ya hechos para un modelado significativo. Sin embargo, en áreas del conocimiento donde no existen teorías formalizadas completamente completas (la vanguardia de la física, la biología, la economía, la sociología, la psicología y la mayoría de las otras áreas), la creación de modelos significativos se vuelve dramáticamente más difícil.

Clasificación de contenido de modelos.

Ninguna hipótesis científica puede probarse de una vez por todas. Richard Feynman lo formuló muy claramente:

“Siempre tenemos la oportunidad de refutar una teoría, pero tenga en cuenta que nunca podremos demostrar que sea correcta. Supongamos que ha planteado una hipótesis exitosa, ha calculado adónde conduce y ha descubierto que todas sus consecuencias se confirman experimentalmente. ¿Significa esto que tu teoría es correcta? No, simplemente significa que no pudiste refutarlo”.

Si se construye un modelo del primer tipo, esto significa que se acepta temporalmente como verdad y uno puede concentrarse en otros problemas. Sin embargo, esto no puede ser un punto en la investigación, sino sólo una pausa temporal: el estatus de un modelo del primer tipo sólo puede ser temporal.

Tipo 2: Modelo fenomenológico (nos comportamos como si…)

Un modelo fenomenológico contiene un mecanismo para describir un fenómeno. Sin embargo, este mecanismo no es lo suficientemente convincente, no puede ser confirmado suficientemente por los datos disponibles o no encaja bien con las teorías existentes y el conocimiento acumulado sobre el objeto. Por tanto, los modelos fenomenológicos tienen el estatus de soluciones temporales. Se cree que aún se desconoce la respuesta y se debe continuar la búsqueda de los “verdaderos mecanismos”. Peierls incluye, por ejemplo, el modelo calórico y el modelo de quarks de partículas elementales como segundo tipo.

El papel del modelo en la investigación puede cambiar con el tiempo, y puede suceder que nuevos datos y teorías confirmen los modelos fenomenológicos y sean promovidos al estado de hipótesis. Asimismo, los nuevos conocimientos pueden entrar gradualmente en conflicto con los modelos-hipótesis del primer tipo y traducirse al segundo. Así, el modelo de quarks está pasando gradualmente a la categoría de hipótesis; El atomismo en física surgió como una solución temporal, pero con el transcurso de la historia se convirtió en el primer tipo. Pero los modelos del éter han pasado del tipo 1 al tipo 2 y ahora están fuera de la ciencia.

La idea de simplificación es muy popular a la hora de construir modelos. Pero la simplificación se presenta de diferentes formas. Peierls identifica tres tipos de simplificaciones en el modelado.

Tipo 3: Aproximación (consideramos algo muy grande o muy pequeño)

Si es posible construir ecuaciones que describan el sistema en estudio, esto no significa que puedan resolverse incluso con la ayuda de una computadora. Una técnica común en este caso es el uso de aproximaciones (modelos tipo 3). Entre ellos modelos de respuesta lineal. Las ecuaciones se reemplazan por lineales. Un ejemplo estándar es la ley de Ohm.

Aquí viene el Tipo 8, que está muy extendido en los modelos matemáticos de sistemas biológicos.

Tipo 8: Demostración de funciones (Lo principal es mostrar la coherencia interna de la posibilidad.)

Estos también son experimentos mentales. con entidades imaginarias que demuestran que supuesto fenómeno consistente con principios básicos y consistente internamente. Ésta es la principal diferencia con los modelos del tipo 7, que revelan contradicciones ocultas.

Uno de los experimentos más famosos es la geometría de Lobachevsky (Lobachevsky la llamó “geometría imaginaria”). Otro ejemplo es la producción en masa de modelos formalmente cinéticos de vibraciones químicas y biológicas, ondas automáticas, etc. La paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen fue concebida como un modelo de tipo 7 para demostrar la inconsistencia de la mecánica cuántica. De forma completamente imprevista, finalmente se convirtió en un modelo tipo 8, una demostración de la posibilidad de teletransportación cuántica de información.

Ejemplo

Considere un sistema mecánico que consta de un resorte, fijo en un extremo, y una masa de masa, unida al extremo libre del resorte. Supondremos que la carga solo puede moverse en la dirección del eje del resorte (por ejemplo, el movimiento se produce a lo largo de la varilla). Construyamos un modelo matemático de este sistema. Describiremos el estado del sistema por la distancia desde el centro de la carga hasta su posición de equilibrio. Describamos la interacción del resorte y la carga usando ley de Hooke() y luego usa la segunda ley de Newton para expresarla en forma de ecuación diferencial:

donde significa la segunda derivada de con respecto al tiempo: .

La ecuación resultante describe el modelo matemático del sistema físico considerado. Este modelo se llama "oscilador armónico".

Según la clasificación formal, este modelo es lineal, determinista, dinámico, concentrado, continuo. En el proceso de su construcción, hicimos muchas suposiciones (sobre la ausencia de fuerzas externas, la ausencia de fricción, la pequeñez de las desviaciones, etc.), que en realidad pueden no cumplirse.

En relación con la realidad, este suele ser un modelo de tipo 4. simplificación(“omitiremos algunos detalles para mayor claridad”), ya que se omiten algunas características universales esenciales (por ejemplo, la disipación). Hasta cierto punto (por ejemplo, si bien la desviación de la carga respecto del equilibrio es pequeña, con baja fricción, durante no demasiado tiempo y sujeta a otras condiciones determinadas), dicho modelo describe bastante bien un sistema mecánico real, ya que los factores descartados tienen un efecto insignificante sobre su comportamiento. Sin embargo, el modelo puede perfeccionarse teniendo en cuenta algunos de estos factores. Esto conducirá a un nuevo modelo, con un ámbito de aplicabilidad más amplio (aunque también limitado).

Sin embargo, al perfeccionar el modelo, la complejidad de su investigación matemática puede aumentar significativamente y hacer que el modelo sea prácticamente inútil. A menudo, un modelo más simple permite una exploración mejor y más profunda de un sistema real que uno más complejo (y, formalmente, “más correcto”).

Si aplicamos el modelo del oscilador armónico a objetos alejados de la física, su estatus sustantivo puede ser diferente. Por ejemplo, al aplicar este modelo a poblaciones biológicas, lo más probable es que deba clasificarse como tipo 6. analogía(“tengamos en cuenta sólo algunas características”).

Modelos duros y blandos.

El oscilador armónico es un ejemplo del llamado modelo "duro". Se obtiene como resultado de una fuerte idealización de un sistema físico real. Para resolver la cuestión de su aplicabilidad, es necesario comprender cuán importantes son los factores que hemos descuidado. En otras palabras, es necesario estudiar el modelo “blando”, que se obtiene mediante una pequeña perturbación del modelo “duro”. Puede venir dado, por ejemplo, por la siguiente ecuación:

Aquí hay alguna función que puede tener en cuenta la fuerza de fricción o la dependencia del coeficiente de rigidez del resorte del grado de estiramiento, un pequeño parámetro. No estamos interesados ​​en la forma explícita de la función por el momento. Si demostramos que el comportamiento del modelo blando no es fundamentalmente diferente del comportamiento del modelo duro (independientemente del tipo explícito de factores perturbadores, si son lo suficientemente pequeños), el problema se reducirá al estudio del modelo duro. De lo contrario, la aplicación de los resultados obtenidos del estudio del modelo rígido requerirá investigaciones adicionales. Por ejemplo, la solución a la ecuación de un oscilador armónico son funciones de la forma , es decir, oscilaciones con amplitud constante. ¿Se sigue de esto que un oscilador real oscilará indefinidamente con una amplitud constante? No, porque considerando un sistema con una fricción arbitrariamente pequeña (siempre presente en un sistema real), obtenemos oscilaciones amortiguadas. El comportamiento del sistema ha cambiado cualitativamente.

Si un sistema mantiene su comportamiento cualitativo ante pequeñas perturbaciones, se dice que es estructuralmente estable. Un oscilador armónico es un ejemplo de un sistema estructuralmente inestable (no rugoso). Sin embargo, este modelo se puede utilizar para estudiar procesos durante períodos de tiempo limitados.

Versatilidad de modelos.

Los modelos matemáticos más importantes suelen tener la importante propiedad versatilidad: Mediante el mismo modelo matemático se pueden describir fenómenos reales fundamentalmente diferentes. Por ejemplo, un oscilador armónico describe no sólo el comportamiento de una carga sobre un resorte, sino también otros procesos oscilatorios, a menudo de naturaleza completamente diferente: pequeñas oscilaciones de un péndulo, fluctuaciones en el nivel de un líquido en un recipiente en forma de A. , o un cambio en la intensidad de la corriente en un circuito oscilatorio. Así, al estudiar un modelo matemático, estudiamos inmediatamente toda una clase de fenómenos descritos por él. Es este isomorfismo de leyes expresadas por modelos matemáticos en diversos segmentos del conocimiento científico lo que inspiró a Ludwig von Bertalanffy a crear la "Teoría general de sistemas".

Problemas directos e inversos de modelización matemática.

Hay muchos problemas asociados con el modelado matemático. Primero, es necesario elaborar un diagrama básico del objeto modelado y reproducirlo en el marco de las idealizaciones de esta ciencia. Así, un vagón de tren se convierte en un sistema de placas y cuerpos más complejos hechos de diferentes materiales, cada material se especifica según su idealización mecánica estándar (densidad, módulos elásticos, características de resistencia estándar), después de lo cual se elaboran ecuaciones, y en el camino algunos detalles se descartan por no ser importantes, se hacen cálculos, se comparan con medidas, se refina el modelo, etc. Sin embargo, para desarrollar tecnologías de modelado matemático, resulta útil desmontar este proceso en sus componentes principales.

Tradicionalmente, existen dos clases principales de problemas asociados con los modelos matemáticos: directos e inversos.

tarea directa: la estructura del modelo y todos sus parámetros se consideran conocidos, la tarea principal es realizar un estudio del modelo para extraer conocimientos útiles sobre el objeto. ¿Qué carga estática soportará el puente? Cómo reaccionará ante una carga dinámica (por ejemplo, ante la marcha de una compañía de soldados o ante el paso de un tren a diferentes velocidades), cómo superará el avión la barrera del sonido, si se desmoronará por el aleteo. Estos son ejemplos típicos de un problema directo. Plantear el problema directo correcto (formular la pregunta correcta) requiere una habilidad especial. Si no se formulan las preguntas adecuadas, un puente puede colapsar, incluso si se ha construido un buen modelo de su comportamiento. Entonces, en 1879, en Gran Bretaña, se derrumbó un puente metálico sobre el río Tay, cuyos diseñadores construyeron un modelo del puente, calcularon que tenía un factor de seguridad 20 veces mayor para la acción de la carga útil, pero se olvidaron de los vientos. soplando constantemente en esos lugares. Y después de un año y medio se derrumbó.

En el caso más simple (una ecuación de oscilador, por ejemplo), el problema directo es muy simple y se reduce a una solución explícita de esta ecuación.

problema inverso: Se conocen muchos modelos posibles; es necesario seleccionar un modelo específico en función de datos adicionales sobre el objeto. La mayoría de las veces, se conoce la estructura del modelo y es necesario determinar algunos parámetros desconocidos. La información adicional puede consistir en datos empíricos adicionales o requisitos para el objeto ( problema de diseño). Pueden llegar datos adicionales independientemente del proceso de resolución del problema inverso ( observación pasiva) o ser el resultado de un experimento especialmente planificado durante la solución ( vigilancia activa).

Uno de los primeros ejemplos de una solución magistral a un problema inverso con el máximo uso de los datos disponibles fue el método construido por I. Newton para reconstruir las fuerzas de fricción a partir de las oscilaciones amortiguadas observadas.

Otro ejemplo es la estadística matemática. La tarea de esta ciencia es desarrollar métodos para registrar, describir y analizar datos observacionales y experimentales con el fin de construir modelos probabilísticos de fenómenos aleatorios masivos. Aquellos. el conjunto de modelos posibles se limita a modelos probabilísticos. En tareas específicas, el conjunto de modelos es más limitado.

Sistemas de simulación por ordenador.

Para respaldar el modelado matemático, se han desarrollado sistemas matemáticos informáticos, por ejemplo, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, etc. Le permiten crear modelos formales y de bloques de procesos y dispositivos tanto simples como complejos y cambiar fácilmente los parámetros del modelo durante modelado. Modelos de bloques están representados por bloques (la mayoría de las veces gráficos), cuyo conjunto y conexión se especifican en el diagrama del modelo.

Ejemplos adicionales

El modelo de Malthus

La tasa de crecimiento es proporcional al tamaño de la población actual. Está descrito por la ecuación diferencial.

donde es un determinado parámetro determinado por la diferencia entre la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad. La solución de esta ecuación es una función exponencial. Si la tasa de natalidad excede la tasa de mortalidad (), el tamaño de la población aumenta indefinidamente y muy rápidamente. Está claro que en realidad esto no puede suceder debido a la limitación de recursos. Cuando se alcanza un cierto tamaño poblacional crítico, el modelo deja de ser adecuado, ya que no toma en cuenta los recursos limitados. Un refinamiento del modelo de Malthus puede ser un modelo logístico, que se describe mediante la ecuación diferencial de Verhulst.

¿Dónde está el tamaño de la población en “equilibrio” en el que la tasa de natalidad es exactamente compensada por la tasa de mortalidad? El tamaño de la población en dicho modelo tiende a un valor de equilibrio y este comportamiento es estructuralmente estable.

Sistema depredador-presa

Digamos que en una zona determinada viven dos tipos de animales: conejos (que comen plantas) y zorros (que comen conejos). Sea la cantidad de conejos, la cantidad de zorros. Utilizando el modelo de Malthus con las modificaciones necesarias para tener en cuenta la alimentación de conejos por parte de los zorros, llegamos al siguiente sistema, denominado modelos Bandejas - Volterra:

Este sistema tiene un estado de equilibrio cuando el número de conejos y zorros es constante. La desviación de este estado produce fluctuaciones en el número de conejos y zorros, similares a las fluctuaciones de un oscilador armónico. Al igual que ocurre con el oscilador armónico, este comportamiento no es estructuralmente estable: un pequeño cambio en el modelo (por ejemplo, tener en cuenta los recursos limitados que necesitan los conejos) puede conducir a un cambio cualitativo en el comportamiento. Por ejemplo, el estado de equilibrio puede estabilizarse y las fluctuaciones numéricas desaparecerán. La situación opuesta también es posible, cuando cualquier pequeña desviación de la posición de equilibrio tendrá consecuencias catastróficas, hasta la extinción completa de una de las especies. El modelo de Volterra-Lotka no responde a la pregunta de cuál de estos escenarios se está realizando: se requiere investigación adicional al respecto.

Notas

1. “Una representación matemática de la realidad” (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Sobre cuestiones filosóficas del modelado cibernético. M., Conocimiento, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelado de sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. y adicional - M.: Más alto. escuela, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Modelado matemático. Ideas. Métodos. Ejemplos. - 2ª ed., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Elementos de la teoría de modelos matemáticos. - 3ª ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modelado de procesos tecnológicos: libro de texto / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Industria ligera y alimentaria, 1984. - 344 p.
7. Wikcionario: modelo matemático
8. CliffsNotes.com. Glosario de Ciencias de la Tierra. 20 de septiembre de 2010
9. Reducción de modelos y enfoques generales para fenómenos multiescala, Springer, serie Complexity, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 2006. XII+562 págs. ISBN 3-540-35885-4
10. “Una teoría se considera lineal o no lineal dependiendo de qué tipo de aparato matemático (lineal o no lineal) y qué tipo de modelos matemáticos utiliza (lineales o no lineales). ...sin negar esto último. Un físico moderno, si tuviera que recrear la definición de una entidad tan importante como la no linealidad, probablemente actuaría de manera diferente y, dando preferencia a la no linealidad como el más importante y extendido de los dos opuestos, definiría la linealidad como "no linealidad". no linealidad”. Danilov Yu., Conferencias sobre dinámica no lineal. Introducción elemental. Serie “Sinergética: del pasado al futuro”. Edición 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
11. “Los sistemas dinámicos modelados mediante un número finito de ecuaciones diferenciales ordinarias se denominan sistemas concentrados o puntuales. Se describen utilizando un espacio de fase de dimensión finita y se caracterizan por un número finito de grados de libertad. El mismo sistema en diferentes condiciones puede considerarse concentrado o distribuido. Los modelos matemáticos de sistemas distribuidos son ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones integrales o ecuaciones de retardo ordinarias. El número de grados de libertad de un sistema distribuido es infinito y se requiere una cantidad infinita de datos para determinar su estado”. Anishchenko V. S., Sistemas dinámicos, revista educativa Soros, 1997, núm. 11, p. 77-84.
12. “Dependiendo de la naturaleza de los procesos que se estudian en el sistema S, todos los tipos de modelado se pueden dividir en deterministas y estocásticos, estáticos y dinámicos, discretos, continuos y discretos-continuos. El modelado determinista refleja procesos deterministas, es decir, procesos en los que se supone la ausencia de influencias aleatorias; El modelado estocástico representa procesos y eventos probabilísticos. ... El modelado estático sirve para describir el comportamiento de un objeto en cualquier momento, y el modelado dinámico refleja el comportamiento de un objeto a lo largo del tiempo. El modelado discreto se utiliza para describir procesos que se supone que son discretos, respectivamente, el modelado continuo nos permite reflejar procesos continuos en sistemas, y el modelado discreto-continuo se utiliza para los casos en los que se quiere resaltar la presencia de procesos tanto discretos como continuos. " Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Normalmente, un modelo matemático refleja la estructura (dispositivo) del objeto modelado, las propiedades y relaciones de los componentes de este objeto que son esenciales para los fines de la investigación; Tal modelo se llama estructural. Si el modelo refleja sólo cómo funciona el objeto, por ejemplo, cómo reacciona a las influencias externas, entonces se le llama funcional o, en sentido figurado, caja negra. También son posibles modelos combinados. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. “La etapa inicial obvia, pero más importante, en la construcción o selección de un modelo matemático es obtener una imagen lo más clara posible sobre el objeto que se está modelando y refinar su modelo significativo, basándose en discusiones informales. No debes perder tiempo y esfuerzo en esta etapa; de ello depende en gran medida el éxito de todo el estudio. Ha ocurrido más de una vez que un importante trabajo dedicado a resolver un problema matemático resultó ineficaz o incluso desperdiciado por no prestarse suficiente atención a este aspecto del asunto”. Myshkis A.D., Elementos de la teoría de modelos matemáticos. - 3ª ed., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 con ISBN 978-5-484-00953-4, pág. 35.
15. « Descripción del modelo conceptual del sistema. En esta subetapa de construcción de un modelo de sistema: a) el modelo conceptual M se describe en términos y conceptos abstractos; b) se proporciona una descripción del modelo utilizando esquemas matemáticos estándar; c) finalmente se aceptan hipótesis y supuestos; d) se justifica la elección del procedimiento para aproximar procesos reales al construir un modelo.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modelado de sistemas: Proc. para universidades - 3ª ed., revisada. y adicional - M.: Más alto. escuela, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, pág. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D., Panovko N. G., Matemáticas aplicadas: materia, lógica, características de los enfoques. Con ejemplos de mecánica: Libro de texto. - 3ª ed., rev. y adicional - M.: URSS, 2006. - 376 p. ISBN 5-484-00163-3, Capítulo 2.

Tipos de modelos matemáticos

Dependiendo de qué medios, bajo qué condiciones y en relación con qué objetos de conocimiento se realiza la capacidad de los modelos para reflejar la realidad, surge su gran diversidad y con ella las clasificaciones. Al generalizar las clasificaciones existentes, identificaremos modelos básicos basados ​​​​en el aparato matemático utilizado, a partir de los cuales se desarrollan modelos especiales (Figura 8.1).

Figura 8.1 - Clasificación formal de modelos

Los modelos matemáticos muestran los objetos en estudio (procesos, sistemas) en forma de relaciones funcionales explícitas: igualdades y desigualdades algebraicas, integrales y diferenciales, diferencias finitas y otras expresiones matemáticas (ley de distribución de una variable aleatoria, modelos de regresión, etc. ), así como relaciones lógica matemática.

Dependiendo de las dos características fundamentales de la construcción de un modelo matemático, el tipo de descripción de las relaciones de causa y efecto y sus cambios en el tiempo, se distinguen los modelos deterministas y estocásticos, estáticos y dinámicos (Figura 8.2).

El propósito del diagrama presentado en la figura es mostrar las siguientes características:

1) los modelos matemáticos pueden ser tanto deterministas como estocásticos;

2) los modelos deterministas y estocásticos pueden ser tanto estáticos como dinámicos.

El modelo matemático se llama determinista (determinista), si todos sus parámetros y variables son cantidades determinadas de forma única, y también se cumple la condición de total certeza de la información. De lo contrario, en condiciones de incertidumbre de la información, cuando los parámetros y variables del modelo son variables aleatorias, el modelo se llama estocástico (probabilístico).

Figura 8.2 – Clases de modelos matemáticos

El modelo se llama dinámica, si al menos una variable cambia a lo largo de los períodos de tiempo, y estático, si se acepta la hipótesis de que las variables no cambian a lo largo de los períodos de tiempo.

En el caso más simple modelos de equilibrio actuar en forma de ecuación de balance, donde en el lado izquierdo está el monto de los ingresos y en el derecho está la parte de gastos, también en forma de suma. Por ejemplo, así se presenta el presupuesto anual de una organización.

A partir de datos estadísticos se pueden construir no sólo modelos de balance, sino también modelos de correlación y regresión.

Si la función Y depende no sólo de las variables x 1, x 2, ... x n, sino también de otros factores, la conexión entre Y y x 1, x 2, ... x n es inexacta o correlacional, a diferencia de la conexión exacta o funcional. La correlación, por ejemplo, en la mayoría de los casos son las conexiones observadas entre los parámetros de salida de la OPS y los factores de su entorno interno y externo (ver Tema 5).

Modelos de correlación-regresión se obtienen estudiando la influencia de todo un complejo de factores sobre el valor de una característica particular mediante el uso de aparatos estadísticos. En este caso, la tarea no es sólo establecer una relación de correlación, sino también expresar esta relación analíticamente, es decir, seleccionar ecuaciones que describan esta dependencia de correlación (ecuación de regresión).

Para encontrar los valores numéricos de los parámetros de la ecuación de regresión se utiliza el método de mínimos cuadrados. La esencia de este método es seleccionar una línea tal que la suma de las desviaciones al cuadrado de las ordenadas Y de los puntos individuales sea la más pequeña.

Los modelos de correlación-regresión se utilizan a menudo en el estudio de fenómenos cuando es necesario establecer una relación entre características relevantes de dos o más series. En este caso, se utiliza principalmente la regresión lineal pareada y múltiple de la forma

y = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b.

Como resultado de aplicar el método de mínimos cuadrados, se establecen los valores de los parámetros a o a 1 , a 2 , ..., a n y b, y luego la precisión de la aproximación y la importancia de la ecuación de regresión resultante. son evaluados.

Se asigna un grupo especial. modelos gráfico-analíticos . Utilizan varias imágenes gráficas y, por tanto, tienen buena claridad.

La teoría de grafos es una de las teorías de las matemáticas discretas que estudia las gráficas, las cuales se entienden como un conjunto de puntos y rectas que las conectan. Un gráfico es un objeto matemático independiente (introducido por primera vez por D. Koenig). Los modelos de árbol y de red se construyen con mayor frecuencia sobre la base de la teoría de grafos.

Un modelo de árbol (árbol) es un gráfico conectado no dirigido que no contiene bucles ni ciclos. Un ejemplo de tal modelo es un árbol de objetivos.

Los modelos de red han encontrado una amplia aplicación en la gestión del trabajo. Los modelos de red (gráficos) reflejan la secuencia de trabajo y la duración de cada trabajo (Figura 8.3).

Figura 8.3 - Modelo de red de producción de trabajo

Cada línea del diagrama de red es un trabajo. El número al lado indica la duración de su ejecución.

Los modelos de red permiten encontrar el llamado camino crítico y optimizar el cronograma de trabajo en el tiempo con restricciones de otros recursos.

Los modelos de red pueden ser deterministas o estocásticos. En este último caso, la duración del trabajo viene especificada por las leyes de distribución de variables aleatorias.

Modelos de optimización sirven para determinar la trayectoria óptima para que el sistema logre su objetivo al tiempo que imponen ciertas restricciones en el control de su comportamiento y movimiento. En este caso, los modelos de optimización describen varios tipos de problemas para encontrar el extremo de una determinada función objetivo (criterio de optimización).

Para identificar la forma óptima de lograr los objetivos de gestión en condiciones de recursos limitados (técnicos, materiales, laborales y financieros) se utilizan métodos de investigación operativa. Estos incluyen métodos de programación matemática (programación lineal y no lineal, entera, dinámica y estocástica), métodos analíticos y probabilístico-estadísticos, métodos de redes, métodos de teoría de colas, teoría de juegos (teoría de situaciones de conflicto), etc.

Los modelos de optimización se utilizan para la planificación de volúmenes y programación, gestión de inventarios, distribución de recursos y trabajo, reemplazo, parametrización y estandarización de equipos, distribución de flujos de suministros de productos básicos en la red de transporte y otras tareas de gestión.

Uno de los principales logros de la teoría de la investigación operativa es la tipificación de modelos y métodos de gestión para la resolución de problemas. Por ejemplo, para resolver un problema de transporte, dependiendo de su dimensión, se han desarrollado métodos estándar: el método de Vogel, el método potencial, el método simplex. Asimismo, a la hora de resolver el problema de la gestión de inventarios, dependiendo de su formulación, se pueden utilizar métodos analíticos y probabilístico-estadísticos, métodos de programación dinámica y estocástica.

En la gestión se concede especial importancia a los métodos de planificación de la red. Estos métodos permitieron encontrar un lenguaje nuevo y muy conveniente para describir, modelar y analizar obras y proyectos complejos de varias etapas. En la investigación de operaciones, se otorga un lugar importante a la mejora del control de sistemas complejos utilizando métodos de teoría de colas (ver Sección 8.3) y el aparato de procesos de Markov.

Modelos de procesos aleatorios de Markov.- un sistema de ecuaciones diferenciales que describe el funcionamiento de un sistema o sus procesos en forma de un conjunto de estados ordenados a lo largo de una determinada trayectoria del comportamiento del sistema. Esta clase de modelos se utiliza ampliamente en la modelización matemática del funcionamiento de sistemas complejos.

Modelos de teoría de juegos sirven para seleccionar la estrategia óptima en condiciones de información aleatoria limitada o total incertidumbre.

Un juego es un modelo matemático de una situación de conflicto real, cuya resolución se lleva a cabo de acuerdo con ciertas reglas y algoritmos que describen una determinada estrategia de comportamiento de quien toma decisiones en condiciones de incertidumbre.

Hay “juegos con la naturaleza” y “juegos con el enemigo”. En función de la situación, se determinan los métodos y criterios para evaluar la toma de decisiones. Así, cuando se "juega con la naturaleza", se utilizan los siguientes criterios: Laplace, maximin (criterio de Wald) y minimax, Hurwitz y Savage, y una serie de otras reglas algorítmicas. En los "juegos con un oponente", para tomar decisiones se utilizan matrices de pago, criterios maximin y minimax, así como transformaciones matemáticas especiales, debido al hecho de que quien toma las decisiones se enfrenta a un oponente hostil.

Los tipos de modelos matemáticos considerados no cubren toda su diversidad posible, sino que sólo caracterizan tipos individuales según el aspecto aceptado de la clasificación. V.A. Kardash intentó crear un sistema para clasificar modelos según cuatro aspectos de detalle (Figura 8.4).

A - modelos sin diferenciación espacial de parámetros;

B - modelos con diferenciación espacial de parámetros.

Figura 8.4 - Clasificación de modelos según cuatro aspectos de detalle

Con el desarrollo de las herramientas informáticas, uno de los métodos más comunes para tomar decisiones es el juego de negocios, que es un experimento numérico con la participación activa de una persona. Hay cientos de juegos de negocios. Se utilizan para estudiar una variedad de problemas en administración, economía, teoría de organizaciones, psicología, finanzas y comercio.

La computadora ha entrado firmemente en nuestras vidas y prácticamente no hay ámbito de la actividad humana donde no se utilice una computadora. Las computadoras ahora se utilizan ampliamente en el proceso de creación e investigación de nuevas máquinas, nuevos procesos tecnológicos y la búsqueda de sus opciones óptimas; al resolver problemas económicos, al resolver problemas de planificación y gestión de la producción en varios niveles. La creación de grandes objetos en la tecnología de cohetes, la fabricación de aviones, la construcción naval, así como el diseño de presas, puentes, etc., es generalmente imposible sin el uso de ordenadores.

Para utilizar una computadora para resolver problemas aplicados, en primer lugar, el problema aplicado debe "traducirse" a un lenguaje matemático formal, es decir, para un objeto, proceso o sistema real, se debe construir su modelo matemático.

La palabra "modelo" proviene del latín modus (copia, imagen, esquema). El modelado es el reemplazo de algún objeto A por otro objeto B. El objeto reemplazado A se llama objeto original o de modelado, y el reemplazo B se llama modelo. En otras palabras, un modelo es un objeto sustituto del objeto original, que permite el estudio de algunas propiedades del original.

El propósito del modelado es obtener, procesar, presentar y utilizar información sobre objetos que interactúan entre sí y con el entorno externo; y el modelo aquí actúa como un medio para comprender las propiedades y patrones de comportamiento de un objeto.

El modelado matemático es un medio para estudiar un objeto, proceso o sistema real reemplazándolo con un modelo matemático que sea más conveniente para la investigación experimental utilizando una computadora.

El modelado matemático es el proceso de construir y estudiar modelos matemáticos de procesos y fenómenos reales. Todas las ciencias naturales y sociales que utilizan aparatos matemáticos se dedican esencialmente a la modelización matemática: reemplazan un objeto real con su modelo y luego estudian este último. Como ocurre con cualquier modelo, un modelo matemático no describe completamente el fenómeno que se está estudiando y las preguntas sobre la aplicabilidad de los resultados obtenidos de esta manera son muy significativas. Un modelo matemático es una descripción simplificada de la realidad utilizando conceptos matemáticos.

Un modelo matemático expresa las características esenciales de un objeto o proceso en el lenguaje de ecuaciones y otras herramientas matemáticas. De hecho, las matemáticas mismas deben su existencia a lo que intentan reflejar, es decir. Modele, en su propio lenguaje específico, los patrones del mundo circundante.

En modelo matematico el estudio de un objeto se realiza a través de un modelo formulado en el lenguaje de las matemáticas utilizando ciertos métodos matemáticos.

El camino del modelado matemático en nuestro tiempo es mucho más completo que el modelado a gran escala. La llegada de las computadoras dio un gran impulso al desarrollo de los modelos matemáticos, aunque el método en sí se originó simultáneamente con las matemáticas hace miles de años.

El modelado matemático como tal no siempre requiere soporte informático. Todo especialista involucrado profesionalmente en el modelado matemático hace todo lo posible para estudiar analíticamente el modelo. Las soluciones analíticas (es decir, presentadas mediante fórmulas que expresan los resultados del estudio a través de los datos originales) suelen ser más convenientes e informativas que las numéricas. Sin embargo, las capacidades de los métodos analíticos para resolver problemas matemáticos complejos son muy limitadas y, por regla general, estos métodos son mucho más complejos que los numéricos.

Un modelo matemático es una representación aproximada de objetos, procesos o sistemas reales, expresada en términos matemáticos y preservando las características esenciales del original. Los modelos matemáticos en forma cuantitativa, utilizando construcciones lógicas y matemáticas, describen las propiedades básicas de un objeto, proceso o sistema, sus parámetros, conexiones internas y externas.

Todos los modelos se pueden dividir en dos clases:

1. real,
2. perfecto.

A su vez, los modelos reales se pueden dividir en:

1. Escala completa,
2. físico,
3. matemático.

Los modelos ideales se pueden dividir en:

1. visual,
2. icónico,
3. matemático.

Los modelos reales a escala real son objetos, procesos y sistemas reales en los que se llevan a cabo experimentos científicos, técnicos e industriales.

Los modelos físicos reales son modelos, maniquíes que reproducen las propiedades físicas de los originales (modelos cinemáticos, dinámicos, hidráulicos, térmicos, eléctricos, luminosos).

Los verdaderos modelos matemáticos son los modelos analógicos, estructurales, geométricos, gráficos, digitales y cibernéticos.

Los modelos visuales ideales son diagramas, mapas, dibujos, gráficos, gráficos, análogos, modelos estructurales y geométricos.

Los modelos de signos ideales son símbolos, alfabeto, lenguajes de programación, notación ordenada, notación topológica y representación de red.

Los modelos matemáticos ideales son los modelos analíticos, funcionales, de simulación y combinados.

En la clasificación anterior, algunos modelos tienen una doble interpretación (por ejemplo, analógico). Todos los modelos, excepto los de escala real, se pueden combinar en una clase de modelos mentales, porque son un producto del pensamiento abstracto humano.

Elementos de la teoría de juegos

En el caso general, resolver un juego es un problema bastante difícil, y la complejidad del problema y la cantidad de cálculos necesarios para resolverlo aumenta considerablemente al aumentar . Sin embargo, estas dificultades no son de carácter fundamental y están asociadas únicamente con un volumen muy grande de cálculos, que en algunos casos pueden resultar prácticamente imposibles. El aspecto principal del método para encontrar una solución sigue siendo para cualquier el mismo.

Ilustremos esto con el ejemplo de un juego. Démosle una interpretación geométrica, ya espacial. Nuestras tres estrategias estarán representadas por tres puntos en el plano. ; el primero se encuentra en el origen (Fig. 1). el segundo y tercero - en los ejes Oh Y UNED a distancias 1 desde el principio.

Los ejes I-I, II-II y III-III se trazan a través de los puntos, perpendiculares al plano. . En el eje I-I están los beneficios de la estrategia; en los ejes II-II y III-III están los beneficios de las estrategias. Cada estrategia enemiga estará representado por un plano que corta en los ejes I-I, II-II y III-III, segmentos iguales a las ganancias

con estrategia y estrategia adecuadas . Habiendo construido así todas las estrategias del enemigo, obtenemos una familia de aviones sobre el triángulo (Fig. 2).

Para esta familia, también puedes construir un límite inferior para el pago, como hicimos en el caso, y encontrar en este límite el punto N con la altura máxima en el plano. . Esta altura será el precio del juego.

Las frecuencias de estrategias en la estrategia óptima estarán determinadas por las coordenadas. (x,y) puntos N, a saber:

Sin embargo, una construcción tan geométrica, incluso en el caso concreto, no es fácil de implementar y requiere mucho tiempo y esfuerzo de imaginación. En el caso general del juego, se traslada al espacio -dimensional y pierde toda claridad, aunque el uso de terminología geométrica en algunos casos puede resultar útil. Al resolver juegos en la práctica, es más conveniente utilizar no analogías geométricas, sino métodos analíticos calculados, especialmente porque estos métodos son los únicos adecuados para resolver el problema en computadoras.

Básicamente, todos estos métodos se reducen a resolver un problema mediante pruebas sucesivas, pero ordenar la secuencia de pruebas le permite construir un algoritmo que conduzca a una solución de la manera más económica.

Aquí nos centraremos brevemente en un método de cálculo para resolver juegos. - utilizando el llamado método de programación lineal.

Para ello, primero damos una formulación general del problema de encontrar una solución al juego. Que se dé un juego con t estrategias del jugador A Y norte estrategias del jugador EN y se da la matriz de pago

Se requiere encontrar una solución al juego, es decir, dos estrategias mixtas óptimas de los jugadores A y B.

donde (algunos de los números y pueden ser iguales a cero).

Nuestra estrategia óptima S*A debería proporcionarnos una ganancia no menor que , para cualquier comportamiento del enemigo, y una ganancia igual a , para su comportamiento óptimo (estrategia S*B).Estrategia similar S*B debe proporcionar al enemigo una pérdida no mayor que , para cualquiera de nuestros comportamientos e igual para nuestro comportamiento óptimo (estrategia S*A).

El valor del juego en este caso lo desconocemos; asumiremos que es igual a algún número positivo. Al creer de esta manera, no violamos la generalidad del razonamiento; Para que sea > 0, obviamente basta con que todos los elementos de la matriz sean no negativos. Esto siempre se puede lograr agregando un valor positivo L suficientemente grande a los elementos; en este caso, el precio del juego aumentará en L, pero la solución no cambiará.

Elijamos nuestra estrategia óptima. S*A. Entonces nuestro pago promedio con la estrategia del oponente será igual a:

Nuestra estrategia óptima S*A tiene la propiedad de que, por cualquier comportamiento del enemigo, proporciona una ganancia no menor que; por lo tanto, ninguno de los números no puede ser menor que . Obtenemos una serie de condiciones:

(1)

Dividamos las desigualdades (1) por un valor positivo y denotemos:

Entonces la condición (1) se escribirá como

(2)

donde están los números no negativos. Porque las cantidades satisfacen la condición

Queremos que nuestras ganancias garantizadas sean lo más altas posible; Evidentemente, en este caso, el lado derecho de la igualdad (3) toma un valor mínimo.

Así, el problema de encontrar una solución al juego se reduce al siguiente problema matemático: determinar cantidades no negativas , satisfaciendo las condiciones (2), de modo que su suma

fue mínimo.

Por lo general, al resolver problemas relacionados con la búsqueda de valores extremos (máximos y mínimos), la función se diferencia y las derivadas se igualan a cero. Pero tal técnica es inútil en este caso, ya que la función Ф, que Necesitar minimizar, es lineal y sus derivadas con respecto a todos los argumentos son iguales a uno, es decir, no desaparecen en ninguna parte. En consecuencia, el máximo de la función se alcanza en algún lugar del límite del rango de cambios en los argumentos, que está determinado por el requisito de no negatividad de los argumentos y las condiciones (2). La técnica de encontrar valores extremos mediante diferenciación tampoco es adecuada en los casos en que se determina el máximo del límite inferior (o mínimo del superior) de ganancias para resolver el juego, como lo hicimos nosotros. por ejemplo, lo hicieron al resolver juegos. De hecho, el límite inferior está formado por secciones de líneas rectas y el máximo no se alcanza en el punto donde la derivada es igual a cero (no existe tal punto). sino en el límite del intervalo o en el punto de intersección de tramos rectos.

Para resolver estos problemas, que se encuentran con bastante frecuencia en la práctica, se ha desarrollado un aparato especial en matemáticas. programación lineal.

El problema de programación lineal se formula de la siguiente manera.

Dado un sistema de ecuaciones lineales:

(4)

Se requiere encontrar valores no negativos de cantidades que satisfagan las condiciones (4) y al mismo tiempo minimicen la función lineal homogénea dada de cantidades (forma lineal):

Es fácil ver que el problema de teoría de juegos planteado anteriormente es un caso especial de un problema de programación lineal con

A primera vista, puede parecer que las condiciones (2) no son equivalentes a las condiciones (4), ya que en lugar de signos de igualdad contienen signos de desigualdad. Sin embargo, es fácil deshacerse de los signos de desigualdad introduciendo nuevas variables ficticias no negativas y escribiendo condiciones (2) en la forma:

(5)

La forma Ф que debe minimizarse es igual a

El aparato de programación lineal permite seleccionar valores utilizando un número relativamente pequeño de muestras sucesivas. , satisfaciendo los requisitos indicados. Para mayor claridad, demostraremos aquí el uso de este aparato directamente sobre el material de resolución de juegos específicos.