X 2 y 3x 1 graf. Transformace grafů s modulem

1. Zlomková lineární funkce a její graf

Funkce ve tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy, se nazývá zlomková racionální funkce.

S konceptem racionální čísla asi se už znáte. Rovněž racionální funkce jsou funkce, které lze znázornit jako podíl dvou polynomů.

Pokud je zlomková racionální funkce kvocientem dvou lineární funkce– polynomy prvního stupně, tzn. funkce formuláře

y = (ax + b) / (cx + d), pak se nazývá zlomková lineární.

Všimněte si, že ve funkci y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (jinak se funkce stane lineární y = ax/d + b/d) a že a/c ≠ b/d (jinak funkce je konstantní). Pro všechny je definována zlomková lineární funkce reálná čísla s výjimkou x = -d/c. Grafy zlomkových lineárních funkcí se tvarem neliší od grafu y = 1/x, který znáte. Zavolá se křivka, která je grafem funkce y = 1/x nadsázka. Při neomezeném nárůstu x v absolutní hodnotě funkce y = 1/x neomezeně klesá v absolutní hodnotě a obě větve grafu se blíží k úsečce: pravá shora a levá zdola. Čáry, ke kterým se větve hyperboly blíží, se nazývají její asymptoty.

Příklad 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Řešení.

Vyberme celou část: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Nyní je snadné vidět, že graf této funkce získáme z grafu funkce y = 1/x následujícími transformacemi: posun o 3 jednotkové segmenty doprava, protažení podél osy Oy 7krát a posunutí o 2 segmenty jednotky směrem nahoru.

Podobným způsobem lze zapsat libovolný zlomek y = (ax + b) / (cx + d) se zvýrazněním „celé části“. V důsledku toho jsou grafy všech zlomkových lineárních funkcí hyperboly, různými způsoby posunuty podél souřadnicových os a protaženy podél osy Oy.

Pro sestavení grafu libovolné frakčně-lineární funkce není vůbec nutné transformovat zlomek definující tuto funkci. Protože víme, že graf je hyperbola, bude stačit najít přímky, ke kterým se jeho větve blíží - asymptoty hyperboly x = -d/c a y = a/c.

Příklad 2

Najděte asymptoty grafu funkce y = (3x + 5)/(2x + 2).

Řešení.

Funkce není definována, při x = -1. To znamená, že přímka x = -1 slouží jako vertikální asymptota. Abychom našli horizontální asymptotu, zjistěme, k čemu se blíží hodnoty funkce y(x), když argument x vzroste v absolutní hodnotě.

Chcete-li to provést, vydělte čitatel a jmenovatel zlomku x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Jako x → ∞ bude mít zlomek tendenci k 3/2. To znamená, že vodorovná asymptota je přímka y = 3/2.

Příklad 3

Nakreslete graf funkce y = (2x + 1)/(x + 1).

Řešení.

Vyberme „celou část“ zlomku:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nyní je dobře vidět, že graf této funkce získáme z grafu funkce y = 1/x následujícími transformacemi: posunem o 1 jednotku doleva, symetrickým zobrazením vzhledem k Ox a posunem o 2 segmenty jednotky nahoru podél osy Oy.

Doména D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Průsečíky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkce se zvyšuje v každém intervalu definičního oboru.

Odpověď: Obrázek 1.

2. Zlomková racionální funkce

Uvažujme zlomkovou racionální funkci tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy stupně vyššího než první.

Příklady takových racionálních funkcí:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) nebo y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Pokud funkce y = P(x) / Q(x) představuje podíl dvou polynomů stupně vyššího než první, pak bude její graf zpravidla složitější a někdy může být obtížné jej přesně sestrojit. , se všemi detaily. Často však stačí použít techniky podobné těm, které jsme již představili výše.

Nechť zlomek je vlastní zlomek (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + q t) m1 + ... + (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + qt).

Je zřejmé, že graf zlomkové racionální funkce lze získat jako součet grafů elementárních zlomků.

Vykreslování grafů zlomkových racionálních funkcí

Zvažme několik způsobů, jak sestrojit grafy zlomkové racionální funkce.

Příklad 4.

Nakreslete graf funkce y = 1/x 2 .

Řešení.

Z grafu funkce y = x 2 sestrojíme graf y = 1/x 2 a použijeme techniku ​​„dělení“ grafů.

Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (0; +∞).

Nejsou zde žádné průsečíky s osami. Funkce je sudá. Zvyšuje pro všechna x z intervalu (-∞; 0), snižuje pro x od 0 do +∞.

Odpověď: Obrázek 2.

Příklad 5.

Graf funkce y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Řešení.

Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Zde jsme použili techniku ​​faktorizace, redukce a redukce na lineární funkci.

Odpověď: Obrázek 3.

Příklad 6.

Nakreslete graf funkce y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Řešení.

Definiční obor je D(y) = R. Protože funkce je sudá, je graf symetrický podle ordináty. Než vytvoříme graf, transformujme výraz znovu a zvýrazněme celou část:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Všimněte si, že izolace části celého čísla ve vzorci zlomkové racionální funkce je jednou z hlavních při sestavování grafů.

Jestliže x → ±∞, pak y → 1, tzn. přímka y = 1 je vodorovná asymptota.

Odpověď: Obrázek 4.

Příklad 7.

Uvažujme funkci y = x/(x 2 + 1) a pokusme se přesně najít její největší hodnotu, tzn. nejvíc vysoký bod pravá polovina grafu. K přesné konstrukci tohoto grafu dnešní znalosti nestačí. Je zřejmé, že naše křivka nemůže „vystoupat“ příliš vysoko, protože jmenovatel rychle začne „předbíhat“ čitatele. Podívejme se, zda se hodnota funkce může rovnat 1. K tomu potřebujeme vyřešit rovnici x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Tato rovnice nemá žádné reálné kořeny. To znamená, že náš předpoklad je nesprávný. Chcete-li najít co nejvíce velká důležitost funkce, musíte zjistit, v jakém největším A bude mít rovnice A = x/(x 2 + 1) řešení. Původní rovnici nahraďme kvadratickou: Аx 2 – x + А = 0. Tato rovnice má řešení, když 1 – 4А 2 ≥ 0. Odtud najdeme nejvyšší hodnotu A = 1/2.

Odpověď: Obrázek 5, max y(x) = ½.

Máte ještě otázky? Nevíte si rady s grafem funkcí?
Chcete-li získat pomoc od lektora -.
První lekce je zdarma!

blog.site, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na původní zdroj.

Sestrojování grafů funkcí obsahujících moduly působí školákům zpravidla značné potíže. Všechno však není tak špatné. Stačí si zapamatovat několik algoritmů pro řešení takových problémů a můžete snadno sestavit graf i pro ty nejnápadnější komplexní funkce. Pojďme zjistit, jaké druhy algoritmů to jsou.

1. Vynesení grafu funkce y = |f(x)|

Všimněte si, že množina funkčních hodnot ​​y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takových funkcí jsou tedy vždy umístěny zcela v horní polorovině.

Vynesení grafu funkce y = |f(x)| se skládá z následujících jednoduchých čtyř kroků.

1) Pečlivě a pečlivě sestrojte graf funkce y = f(x).

2) Ponechte beze změny všechny body v grafu, které jsou nad nebo na ose 0x.

3) Zobrazte část grafu, která leží pod osou 0x symetricky vzhledem k ose 0x.

Příklad 1. Nakreslete graf funkce y = |x 2 – 4x + 3|

1) Sestavíme graf funkce y = x 2 – 4x + 3. Je zřejmé, že grafem této funkce je parabola. Najděte souřadnice všech průsečíků paraboly se souřadnicovými osami a souřadnicemi vrcholu paraboly.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Proto parabola protíná osu 0x v bodech (3, 0) a (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Proto parabola protíná osu 0y v bodě (0, 3).

Souřadnice vrcholu paraboly:

x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Bod (2, -1) je tedy vrcholem této paraboly.

Nakreslete parabolu pomocí získaných dat (Obr. 1)

2) Část grafu ležící pod osou 0x je zobrazena symetricky vzhledem k ose 0x.

3) Získáme graf původní funkce ( rýže. 2, zobrazeno tečkovanou čarou).

2. Vynesení funkce y = f(|x|)

Všimněte si, že funkce ve tvaru y = f(|x|) jsou sudé:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takových funkcí jsou symetrické kolem osy 0y.

Vykreslení grafu funkce y = f(|x|) se skládá z následujícího jednoduchého řetězce akcí.

1) Nakreslete graf funkce y = f(x).

2) Ponechte tu část grafu, pro kterou x ≥ 0, tedy tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.

3) Zobrazte část grafu specifikovanou v bodě (2) symetricky k ose 0y.

4) Jako konečný graf vyberte sjednocení křivek získaných v bodech (2) a (3).

Příklad 2. Nakreslete graf funkce y = x 2 – 4 · |x| + 3

Protože x 2 = |x| 2, pak lze původní funkci přepsat do následujícího tvaru: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Nyní můžeme použít výše navržený algoritmus.

1) Pečlivě a pečlivě sestavíme graf funkce y = x 2 – 4 x + 3 (viz též rýže. 1).

2) Ponecháme tu část grafu, pro kterou x ≥ 0, tedy tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.

3) Zobrazte pravou stranu grafu symetricky k ose 0y.

(obr. 3).

Příklad 3. Nakreslete graf funkce y = log 2 |x|

Aplikujeme výše uvedené schéma.

1) Sestavte graf funkce y = log 2 x (obr. 4).

3. Vynesení funkce y = |f(|x|)|

Všimněte si, že funkce tvaru y = |f(|x|)| jsou také vyrovnané. Ve skutečnosti y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a proto jsou jejich grafy symetrické kolem osy 0y. Sada hodnot těchto funkcí: y ≥ 0. To znamená, že grafy takových funkcí jsou umístěny zcela v horní polorovině.

Chcete-li vykreslit funkci y = |f(|x|)|, musíte:

1) Pečlivě sestrojte graf funkce y = f(|x|).

2) Ponechte beze změny tu část grafu, která je nad nebo na ose 0x.

3) Zobrazte část grafu umístěnou pod osou 0x symetricky vzhledem k ose 0x.

4) Jako konečný graf vyberte sjednocení křivek získaných v bodech (2) a (3).

Příklad 4. Nakreslete graf funkce y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Všimněte si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že místo původní funkce y = -x 2 + 2|x| - 1

můžete použít funkci y = -|x| 2 + 2|x| – 1, protože jejich grafy se shodují.

Sestavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. K tomu použijeme algoritmus 2.

a) Nakreslete graf funkce y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).

b) Necháme tu část grafu, která se nachází v pravé polorovině.

c) Výslednou část grafu zobrazíme symetricky k ose 0y.

d) Výsledný graf je na obrázku znázorněn tečkovanou čarou (obr. 7).

2) Nad osou 0x nejsou žádné body, body na ose 0x ponecháme beze změny.

3) Část grafu umístěná pod osou 0x je zobrazena symetricky vzhledem k 0x.

4) Výsledný graf je na obrázku znázorněn tečkovanou čarou (obr. 8).

Příklad 5. Nakreslete graf funkce y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Nejprve musíte vykreslit funkci y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Abychom to udělali, vrátíme se k Algoritmu 2.

a) Pečlivě zakreslete funkci y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).

všimněte si, že tuto funkci je zlomková lineární a její graf je hyperbola. Chcete-li vykreslit křivku, musíte nejprve najít asymptoty grafu. Horizontální – y = 2/1 (poměr koeficientů x v čitateli a jmenovateli zlomku), vertikální – x = -3.

2) Část grafu, která je nad osou 0x nebo na ní, ponecháme beze změny.

3) Část grafu umístěná pod osou 0x bude zobrazena symetricky vzhledem k 0x.

4) Výsledný graf je na obrázku (obr. 11).

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.

"Přirozený logaritmus" - 0,1. Přirozené logaritmy. 4. Logaritmické šipky. 0,04. 7.121.

"Stupeň výkonové funkce 9" - U. kubická parabola. Y = x3. Učitelka 9. třídy Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y = xn, y = x-n kde n je dané přirozené číslo. X. Exponent je sudé přirozené číslo (2n).

"Kvadratická funkce" - 1 Definice kvadratická funkce 2 Vlastnosti funkce 3 Grafy funkce 4 Kvadratické nerovnice 5 Závěr. Vlastnosti: Nerovnosti: Připravil student třídy 8A Andrey Gerlitz. Plán: Graf: -Intervaly monotonie pro a > 0 pro a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

“Kvadratická funkce a její graf” - Řešení.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-patří. Když a=1, vzorec y=ax má tvar.

„Kvadratická funkce 8. stupně“ - 1) Sestrojte vrchol paraboly. Vynesení grafu kvadratické funkce. X. -7. Sestrojte graf funkce. Algebra 8. ročník Učitel 496 Bovina škola T.V.-1. Stavební plán. 2) Sestrojte osu souměrnosti x=-1. y

1. Zlomková lineární funkce a její graf

Funkce ve tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy, se nazývá zlomková racionální funkce.

Pravděpodobně již znáte koncept racionálních čísel. Rovněž racionální funkce jsou funkce, které lze znázornit jako podíl dvou polynomů.

Je-li zlomková racionální funkce podílem dvou lineárních funkcí - polynomů prvního stupně, tzn. funkce formuláře

y = (ax + b) / (cx + d), pak se nazývá zlomková lineární.

Všimněte si, že ve funkci y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (jinak se funkce stane lineární y = ax/d + b/d) a že a/c ≠ b/d (jinak funkce je konstantní). Lineární zlomková funkce je definována pro všechna reálná čísla kromě x = -d/c. Grafy zlomkových lineárních funkcí se tvarem neliší od grafu y = 1/x, který znáte. Zavolá se křivka, která je grafem funkce y = 1/x nadsázka. Při neomezeném nárůstu x v absolutní hodnotě funkce y = 1/x neomezeně klesá v absolutní hodnotě a obě větve grafu se blíží k úsečce: pravá shora a levá zdola. Čáry, ke kterým se větve hyperboly blíží, se nazývají její asymptoty.

Příklad 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Řešení.

Vyberme celou část: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Nyní je snadné vidět, že graf této funkce získáme z grafu funkce y = 1/x následujícími transformacemi: posun o 3 jednotkové segmenty doprava, protažení podél osy Oy 7krát a posunutí o 2 segmenty jednotky směrem nahoru.

Podobným způsobem lze zapsat libovolný zlomek y = (ax + b) / (cx + d) se zvýrazněním „celé části“. V důsledku toho jsou grafy všech zlomkových lineárních funkcí hyperboly, posunuté různými způsoby podél souřadnicových os a natažené podél osy Oy.

Pro sestavení grafu libovolné frakčně-lineární funkce není vůbec nutné transformovat zlomek definující tuto funkci. Protože víme, že graf je hyperbola, bude stačit najít přímky, ke kterým se jeho větve blíží - asymptoty hyperboly x = -d/c a y = a/c.

Příklad 2

Najděte asymptoty grafu funkce y = (3x + 5)/(2x + 2).

Řešení.

Funkce není definována, při x = -1. To znamená, že přímka x = -1 slouží jako vertikální asymptota. Abychom našli horizontální asymptotu, zjistěme, k čemu se blíží hodnoty funkce y(x), když argument x vzroste v absolutní hodnotě.

Chcete-li to provést, vydělte čitatel a jmenovatel zlomku x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Jako x → ∞ bude mít zlomek tendenci k 3/2. To znamená, že vodorovná asymptota je přímka y = 3/2.

Příklad 3

Nakreslete graf funkce y = (2x + 1)/(x + 1).

Řešení.

Vyberme „celou část“ zlomku:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nyní je dobře vidět, že graf této funkce získáme z grafu funkce y = 1/x následujícími transformacemi: posunem o 1 jednotku doleva, symetrickým zobrazením vzhledem k Ox a posunem o 2 segmenty jednotky nahoru podél osy Oy.

Doména D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Průsečíky s osami: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funkce se zvyšuje v každém intervalu definičního oboru.

Odpověď: Obrázek 1.

2. Zlomková racionální funkce

Uvažujme zlomkovou racionální funkci tvaru y = P(x) / Q(x), kde P(x) a Q(x) jsou polynomy stupně vyššího než první.

Příklady takových racionálních funkcí:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) nebo y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Pokud funkce y = P(x) / Q(x) představuje podíl dvou polynomů stupně vyššího než první, pak bude její graf zpravidla složitější a někdy může být obtížné jej přesně sestrojit. , se všemi detaily. Často však stačí použít techniky podobné těm, které jsme již představili výše.

Nechť zlomek je vlastní zlomek (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + q t) m1 + ... + (M 1 x + N 1) / (x 2 + pt x + qt).

Je zřejmé, že graf zlomkové racionální funkce lze získat jako součet grafů elementárních zlomků.

Vykreslování grafů zlomkových racionálních funkcí

Zvažme několik způsobů, jak sestrojit grafy zlomkové racionální funkce.

Příklad 4.

Nakreslete graf funkce y = 1/x 2 .

Řešení.

Z grafu funkce y = x 2 sestrojíme graf y = 1/x 2 a použijeme techniku ​​„dělení“ grafů.

Doména D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Rozsah hodnot E(y) = (0; +∞).

Nejsou zde žádné průsečíky s osami. Funkce je sudá. Zvyšuje pro všechna x z intervalu (-∞; 0), snižuje pro x od 0 do +∞.

Odpověď: Obrázek 2.

Příklad 5.

Graf funkce y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Řešení.

Doména D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Zde jsme použili techniku ​​faktorizace, redukce a redukce na lineární funkci.

Odpověď: Obrázek 3.

Příklad 6.

Nakreslete graf funkce y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Řešení.

Definiční obor je D(y) = R. Protože funkce je sudá, je graf symetrický podle ordináty. Než vytvoříme graf, transformujme výraz znovu a zvýrazněme celou část:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Všimněte si, že izolace části celého čísla ve vzorci zlomkové racionální funkce je jednou z hlavních při sestavování grafů.

Jestliže x → ±∞, pak y → 1, tzn. přímka y = 1 je vodorovná asymptota.

Odpověď: Obrázek 4.

Příklad 7.

Uvažujme funkci y = x/(x 2 + 1) a pokusme se přesně najít její největší hodnotu, tzn. nejvyšší bod v pravé polovině grafu. K přesné konstrukci tohoto grafu dnešní znalosti nestačí. Je zřejmé, že naše křivka nemůže „vystoupat“ příliš vysoko, protože jmenovatel rychle začne „předbíhat“ čitatele. Podívejme se, zda se hodnota funkce může rovnat 1. K tomu potřebujeme vyřešit rovnici x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Tato rovnice nemá žádné reálné kořeny. To znamená, že náš předpoklad je nesprávný. Abyste našli největší hodnotu funkce, musíte zjistit, v jakém největším A bude mít rovnice A = x/(x 2 + 1) řešení. Původní rovnici nahraďme kvadratickou: Ax 2 – x + A = 0. Tato rovnice má řešení, když 1 – 4A 2 ≥ 0. Odtud najdeme největší hodnotu A = 1/2.

Odpověď: Obrázek 5, max y(x) = ½.

Máte ještě otázky? Nevíte si rady s grafem funkcí?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.