X y je jednako 2 grafikona linearne funkcije. Direktna funkcija

Koncept numeričke funkcije. Metode za određivanje funkcije. Svojstva funkcija.

Numerička funkcija je funkcija koja djeluje iz jednog numeričkog prostora (skupa) u drugi numerički prostor (skup).

Tri glavna načina definiranja funkcije: analitički, tabelarni i grafički.

1. Analitički.

Metoda specificiranja funkcije pomoću formule naziva se analitička. Ova metoda je glavna u otiraču. analize, ali u praksi to nije zgodno.

2. Tabelarni metod specificiranja funkcije.

Funkcija se može specificirati pomoću tablice koja sadrži vrijednosti argumenata i njihove odgovarajuće vrijednosti funkcije.

3. Grafička metoda specificiranja funkcije.

Za funkciju y=f(x) se kaže da je data grafički ako je njen graf konstruisan. Ova metoda specificiranja funkcije omogućava određivanje vrijednosti funkcije samo približno, jer je konstruiranje grafa i pronalaženje vrijednosti funkcije na njemu povezano s greškama.

Svojstva funkcije koja se moraju uzeti u obzir pri konstruisanju njenog grafa:

1) Područje definicije funkcije.

Domen funkcije, odnosno one vrijednosti koje argument x funkcije F =y (x) može uzeti.

2) Intervali rastućih i opadajućih funkcija.

Funkcija se zove rastuća na intervalu koji se razmatra, ako veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije y(x). To znači da ako su dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzeta iz intervala koji se razmatra, a x 1 > x 2, onda je y(x 1) > y(x 2).

Funkcija se zove opadajuća na intervalu koji se razmatra, ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije y(x). To znači da ako se dva proizvoljna argumenta x 1 i x 2 uzmu iz intervala koji se razmatra, a x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Nule funkcije.

Tačke u kojima funkcija F = y (x) siječe osu apscise (dobive se rješavanjem jednadžbe y(x) = 0) nazivaju se nulama funkcije.

4) Parne i neparne funkcije.

Funkcija se zove parna, ako za sve vrijednosti argumenata iz opsega

y(-x) = y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Funkcija se naziva neparna, ako za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(-x) = -y(x).

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Mnoge funkcije nisu ni parne ni neparne.

5) Periodičnost funkcije.

Funkcija se zove periodična, ako postoji broj P takav da za sve vrijednosti argumenta iz domene definicije

y(x + P) = y(x).

Linearna funkcija, njena svojstva i graf.

Linearna funkcija je funkcija oblika y = kx + b, definisan na skupu svih realnih brojeva.

k– nagib (stvarni broj)

b– lažni termin (pravi broj)

x- nezavisna varijabla.

· U posebnom slučaju, ako je k = 0, dobijamo konstantnu funkciju y = b, čiji je grafik prava linija paralelna sa Ox osi koja prolazi kroz tačku sa koordinatama (0; b).

· Ako je b = 0, onda dobijamo funkciju y = kx, što je direktna proporcionalnost.

o Geometrijsko značenje koeficijenta b je dužina segmenta koji prava linija odsiječe duž ose Oy, računajući od početka.

o Geometrijsko značenje koeficijenta k je ugao nagiba prave linije prema pozitivnom smjeru ose Ox, izračunat u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Svojstva linearne funkcije:

1) Oblast definisanja linearne funkcije je cela realna osa;

2) Ako je k ≠ 0, tada je raspon vrijednosti linearne funkcije cijela realna osa.

Ako je k = 0, tada se raspon vrijednosti linearne funkcije sastoji od broja b;

3) Parnost i neparnost linearne funkcije zavise od vrijednosti koeficijenata k i b.

a) b ≠ 0, k = 0, dakle, y = b – paran;

b) b = 0, k ≠ 0, dakle y = kx – neparan;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, stoga je y = kx + b funkcija opšteg oblika;

d) b = 0, k = 0, stoga je y = 0 i parna i neparna funkcija.

4) Linearna funkcija nema svojstvo periodičnosti;

5) Tačke preseka sa koordinatnim osama:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, dakle (-b/k; 0) je tačka preseka sa osom apscise.

Oy: y = 0k + b = b, dakle (0; b) je tačka preseka sa ordinatom.

Komentar. Ako je b = 0 i k = 0, tada funkcija y = 0 nestaje za bilo koju vrijednost varijable x. Ako je b ≠ 0 i k = 0, tada funkcija y = b ne nestaje ni za jednu vrijednost varijable x.

6) Intervali konstantnosti predznaka zavise od koeficijenta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – pozitivno na x iz (-b/k; +∞),

y = kx + b – negativno za x iz (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – pozitivno na x od (-∞; -b/k),

y = kx + b – negativno za x od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b je pozitivan u cijelom domenu definicije,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Intervali monotonosti linearne funkcije zavise od koeficijenta k.

k > 0, stoga se y = kx + b povećava u cijelom domenu definicije,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funkcija y = ax 2 + bx + c, njena svojstva i graf.

Funkcija y = ax 2 + bx + c (a, b, c su konstante, a ≠ 0) naziva se kvadratni U najjednostavnijem slučaju, y = ax 2 (b = c = 0) grafik je kriva linija koja prolazi kroz početak. Kriva koja služi kao graf funkcije y = ax 2 je parabola. Svaka parabola ima os simetrije tzv osi parabole. Tačka O presjeka parabole sa njenom osom naziva se vrh parabole.

Graf se može konstruisati prema sledećoj šemi: 1) Naći koordinate vrha parabole x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Konstruišemo još nekoliko tačaka koje pripadaju paraboli pri konstruisanju možemo koristiti simetrije parabole u odnosu na pravu x = -b/2a; 3) Povežite naznačene tačke glatkom linijom. Primjer. Grafikujte funkciju b = x 2 + 2x - 3. Rješenja. Graf funkcije je parabola, čije su grane usmjerene prema gore. Apscisa vrha parabole x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, njene ordinate y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Dakle, vrh parabole je tačka (-1; -4). Sastavimo tablicu vrijednosti za nekoliko tačaka koje se nalaze desno od ose simetrije parabole - ravna linija x = -1. Svojstva funkcije.

Razmotrimo funkciju y=k/y. Grafikon ove funkcije je prava, koja se u matematici naziva hiperbola. Opšti izgled hiperbole prikazan je na donjoj slici. (Grafikon prikazuje funkciju y jednako k podijeljeno sa x, za koju je k jednako jedan.)

Može se vidjeti da se graf sastoji od dva dijela. Ovi dijelovi se nazivaju grane hiperbole. Također je vrijedno napomenuti da se svaka grana hiperbole približava u jednom od smjerova sve bliže i bliže koordinatnoj osi. Koordinatne ose u ovom slučaju nazivaju se asimptote.

Općenito, sve prave linije kojima se graf funkcije beskonačno približava, ali ih ne dostiže, nazivaju se asimptote. Hiperbola, kao i parabola, ima ose simetrije. Za hiperbolu prikazanu na gornjoj slici, ovo je prava y=x.

Pogledajmo sada dva uobičajena slučaja hiperbole. Graf funkcije y = k/x, za k ≠0, bit će hiperbola, čije se grane nalaze ili u prvom i trećem koordinatnom kutu, za k>0, ili u drugom i četvrtom koordinatnom kutu, viljuška<0.

Osnovna svojstva funkcije y = k/x, za k>0

Grafikon funkcije y = k/x, za k>0

5. y>0 pri x>0; y6. Funkcija se smanjuje i na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞).

10. Raspon vrijednosti funkcije je dva otvorena intervala (-∞;0) i (0;+∞).

Osnovna svojstva funkcije y = k/x, za k<0

Grafikon funkcije y = k/x, na k<0

1. Tačka (0;0) je centar simetrije hiperbole.

2. Koordinatne ose - asimptote hiperbole.

4. Domen definicije funkcije je sve x osim x=0.

5. y>0 na x0.

6. Funkcija raste i na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞).

7. Funkcija nije ograničena ni odozdo ni odozgo.

8. Funkcija nema ni maksimalnu ni minimalnu vrijednost.

9. Funkcija je kontinuirana na intervalu (-∞;0) i na intervalu (0;+∞). Ima razmak na x=0.

“Kritične tačke funkcije” - Kritične tačke. Među kritičnim tačkama nalaze se tačke ekstrema. Neophodan uslov za ekstrem. Odgovor: 2. Definicija. Ali, ako je f" (x0) = 0, onda nije neophodno da tačka x0 bude tačka ekstrema. Ekstremne tačke (ponavljanje). Kritične tačke funkcije. Ekstremne tačke.

“Koordinatna ravan 6. razred” - Matematika 6. razred. 1. X. 1. Pronađite i zapišite koordinate tačaka A, B, C, D: -6. Koordinatna ravan. O. -3. 7. U.

“Funkcije i njihovi grafovi” - Kontinuitet. Najveća i najmanja vrijednost funkcije. Koncept inverzne funkcije. Linearno. Logaritamski. Monotona. Ako je k > 0, tada je formirani ugao oštar, ako je k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“Funkcije 9. razred” - Važeće aritmetičke operacije nad funkcijama. [+] – sabiranje, [-] – oduzimanje, [*] – množenje, [:] – dijeljenje. U takvim slučajevima govorimo o grafičkom specificiranju funkcije. Formiranje klase elementarnih funkcija. Funkcija snage y=x0.5. Iovlev Maxim Nikolaevich, učenik 9. razreda srednje škole RMOU Raduzhskaya.

“Jednačina tangente lekcije” - 1. Pojasniti koncept tangente na graf funkcije. Leibniz je razmatrao problem povlačenja tangente na proizvoljnu krivu. ALGORITAM ZA RAZVOJ JEDNAČINE ZA TANGENTU NA GRAFIK FUNKCIJE y=f(x). Tema lekcije: Test: pronađite izvod funkcije. Tangentna jednadžba. Fluxion. 10. razred. Dešifrirajte ono što je Isaac Newton nazvao derivacijskom funkcijom.

“Napravi graf funkcije” - Zadana je funkcija y=3cosx. Grafikon funkcije y=m*sin x. Grafikujte funkciju. Sadržaj: Zadata funkcija: y=sin (x+?/2). Istezanje grafika y=cosx duž y ose. Za nastavak kliknite na l. Dugme miša. Zadata funkcija y=cosx+1. Pomak grafikona y=sinx okomito. Zadata funkcija y=3sinx. Horizontalni pomak grafika y=cosx.

U ovoj temi ima ukupno 25 prezentacija

Definicija linearne funkcije

Hajde da uvedemo definiciju linearne funkcije

Definicija

Funkcija oblika $y=kx+b$, gdje je $k$ različit od nule, naziva se linearna funkcija.

Grafikon linearne funkcije je prava linija. Broj $k$ naziva se nagib prave.

Kada je $b=0$ linearna funkcija se naziva funkcijom direktne proporcionalnosti $y=kx$.

Razmotrite sliku 1.

Rice. 1. Geometrijsko značenje nagiba prave

Razmotrimo trougao ABC. Vidimo da je $VS=kx_0+b$. Nađimo tačku preseka prave $y=kx+b$ sa osom $Ox$:

\ \

Dakle, $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nađimo omjer ovih strana:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

S druge strane, $\frac(BC)(AC)=tg\ugao A$.

Dakle, možemo izvući sljedeći zaključak:

Zaključak

Geometrijsko značenje koeficijenta $k$. Ugaoni koeficijent prave $k$ jednak je tangenti ugla nagiba ove prave na osu $Ox$.

Proučavanje linearne funkcije $f\left(x\right)=kx+b$ i njenog grafa

Prvo, razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx+b$, gdje je $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Posljedično, ova funkcija se povećava u cijelom domenu definicije. Ne postoje ekstremne tačke.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafikon (slika 2).

Rice. 2. Grafovi funkcije $y=kx+b$, za $k > 0$.

Sada razmotrite funkciju $f\left(x\right)=kx$, gdje je $k

1. Domen definicije su svi brojevi.
2. Raspon vrijednosti su svi brojevi.
3. $f\lijevo(-x\desno)=-kx+b$. Funkcija nije ni parna ni neparna.
4. Za $x=0,f\left(0\right)=b$. Kada je $y=0.0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Tačke preseka sa koordinatnim osa: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ i $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Dakle, funkcija nema prevojne tačke.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafikon (slika 3).

Hajde da razmotrimo problem. Motociklista koji je napustio grad A u trenutno nalazi se 20 km od njega. Na kojoj udaljenosti s (km) od A će se motociklista nalaziti nakon t sati ako se kreće brzinom od 40 km/h?

Očigledno, za t sati motociklista će preći 50t km. Shodno tome, nakon t sati on će biti na udaljenosti od (20 + 50t) km od A, tj. s = 50t + 20, gdje je t ≥ 0.

Svaka vrijednost t odgovara jednoj vrijednosti s.

Formula s = 50t + 20, gdje je t ≥ 0, definira funkciju.

Hajde da razmotrimo još jedan problem. Za slanje telegrama naplaćuje se naknada od 3 kopejke za svaku reč i dodatnih 10 kopejki. Koliko kopejki (u) treba da platite za slanje telegrama koji sadrži n reči?

Budući da pošiljalac mora platiti 3n kopejki za n riječi, trošak slanja telegrama od n riječi može se pronaći pomoću formule u = 3n + 10, gdje je n bilo koji prirodan broj.

U oba razmatrana problema naišli smo na funkcije koje su date formulama oblika y = kx + l, gdje su k i l neki brojevi, a x i y varijable.

Funkcija koja se može specificirati formulom oblika y = kx + l, gdje su k i l neki brojevi, naziva se linearna.

Pošto izraz kx + l ima smisla za bilo koji x, domen definicije linearne funkcije može biti skup svih brojeva ili bilo koji njen podskup.

Poseban slučaj linearne funkcije je prethodno razmatrana direktna proporcionalnost. Podsjetimo da za l = 0 i k ≠ 0 formula y = kx + l poprima oblik y = kx, a ova formula, kao što je poznato, za k ≠ 0 određuje direktnu proporcionalnost.

Trebamo nacrtati linearnu funkciju f datu formulom
y = 0,5x + 2.

Dobijmo nekoliko odgovarajućih vrijednosti varijable y za neke vrijednosti x:

Označimo tačke sa koordinatama koje smo dobili: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

Očigledno, konstruisane tačke leže na određenoj pravoj. Iz ovoga ne slijedi da je graf ove funkcije prava linija.

Da bismo saznali u kakvom obliku izgleda graf razmatrane funkcije f, uporedimo ga sa poznatim grafikom direktne proporcionalnosti x – y, gdje je x = 0,5.

Za bilo koji x, vrijednost izraza 0,5x + 2 je veća od odgovarajuće vrijednosti izraza 0,5x za 2 jedinice. Stoga je ordinata svake tačke na grafu funkcije f za 2 jedinice veća od odgovarajuće ordinate na grafu direktne proporcionalnosti.

Shodno tome, graf dotične funkcije f može se dobiti iz grafa direktne proporcionalnosti paralelnim prevođenjem za 2 jedinice u smjeru y-ose.

Pošto je grafik direktne proporcionalnosti prava linija, onda je i grafik linearne funkcije f koja se razmatra takođe prava linija.

Općenito, grafik funkcije dat formulom oblika y = kx + l je prava linija.

Znamo da je za konstruisanje prave linije dovoljno odrediti položaj njene dve tačke.

Neka, na primjer, trebate nacrtati funkciju koja je data formulom
y = 1,5x – 3.

Uzmimo dvije proizvoljne vrijednosti x, na primjer, x 1 = 0 i x 2 = 4. Izračunajte odgovarajuće vrijednosti funkcije y 1 = -3, y 2 = 3, konstruirajte tačke A (-3; 0) i B (4; 3) i povući pravu liniju kroz ove tačke. Ova prava linija je željeni graf.

Ako domen definicije linearne funkcije nije u potpunosti predstavljen brojeva, tada će njegov graf biti podskup tačaka na pravoj (na primjer, zraka, segment, skup pojedinačnih tačaka).

Lokacija grafa funkcije određene formule y = kx + l ovisi o vrijednostima l i k. Konkretno, ugao nagiba grafika linearne funkcije prema x-osi ovisi o koeficijentu k. Ako je k pozitivan broj, onda je ovaj ugao oštar; ako je k negativan broj, tada je ugao tup. Broj k se naziva nagibom prave.

web stranica, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.