Sistem je homogen. Homogeni sistemi linearnih jednačina

Linearni sistem se zove homogena , ako su svi slobodni članovi jednaki 0.

U matričnom obliku, homogeni sistem je zapisan:
.

Homogeni sistem (2) je uvijek konzistentan . Očigledno, skup brojeva
,
, …,
zadovoljava svaku jednačinu sistema. Rješenje
pozvao nula ili trivijalan odluka. Dakle, homogeni sistem uvijek ima nulto rješenje.

Pod kojim uslovima će homogeni sistem (2) imati različita od nule (netrivijalna) rješenja?

Teorema 1.3 Homogeni sistem (2) ima rješenja različita od nule ako i samo ako je rang r njegova glavna matrica manje nepoznatih n .

Sistem (2) – neizvjestan
.

Zaključak 1. Ako je broj jednačina m homogeni sistem ima manje varijabli
, tada je sistem neizvjestan i ima mnogo rješenja koja nisu nula.

Zaključak 2. Kvadratni homogeni sistem
ima rješenja različita od nule ako i kada je glavna matrica ovog sistema degenerisan, tj. odrednica
.

Inače, ako je determinanta
, kvadratni homogeni sistem ima jedina stvar nulto rješenje
.

Neka je rang sistema (2)
odnosno sistem (2) ima netrivijalna rješenja.

Neka I - pojedinačna rješenja ovog sistema, tj.
I
.

Osobine rješenja homogenog sistema

Zaista, .

Zaista, .

Kombinujući svojstva 1) i 2), možemo reći da ako

…,
- rješenja homogenog sistema (2), tada je svaka njihova linearna kombinacija ujedno i njegovo rješenje. Evo
- proizvoljni realni brojevi.

Može se naći
linearno nezavisna parcijalna rješenja homogeni sistem (2), uz pomoć kojeg se može dobiti bilo koje drugo posebno rješenje ovog sistema, tj. dobiti opće rješenje za sistem (2).

Definicija 2.2 Totalnost
linearno nezavisna parcijalna rješenja

…,
homogeni sistem (2) takav da se svako rješenje sistema (2) može predstaviti kao njihova linearna kombinacija naziva se fundamentalni sistem rješenja (FSR) homogenog sistema (2).

Neka

…,
je fundamentalni sistem rješenja, onda se generalno rješenje homogenog sistema (2) može predstaviti kao:

Gdje

.

Komentar. Da biste dobili FSR, morate pronaći privatna rješenja

…,
, dajući jednoj slobodnoj varijabli vrijednost “1”, a svim ostalim slobodnim varijablama vrijednost “0”.

Dobijamo ,, …,- FSR.

Primjer. Pronađite opšte rešenje i osnovni sistem rešenja homogenog sistema jednačina:

Rješenje. Zapišimo proširenu matricu sistema, prethodno stavili posljednju jednačinu sistema na prvo mjesto i doveli je u postupni oblik. Budući da se desna strana jednadžbe ne mijenja kao rezultat elementarnih transformacija, ostaje nula, stupac

možda neće biti ispisana.

̴
̴
̴

Sistemski rang gdje
- broj varijabli. Sistem je neizvjestan i ima mnogo rješenja.

Osnovni mol za varijable
ne-nula:
izabrati
kao osnovne varijable, ostalo
- slobodne varijable (uzimaju bilo koje realne vrijednosti).

Poslednja matrica u lancu odgovara postupnom sistemu jednačina:

(3)

Izrazimo osnovne varijable
preko slobodnih varijabli
(obrnut Gaussovom metodom).

Iz posljednje jednačine koju izražavamo :
i zamijenite ga u prvu jednačinu. Naći ćemo ga. Hajde da otvorimo zagrade, damo slične i izrazimo :
.

Believing
,
,
, Gdje
, pišemo

- generalno rješenje sistema.

Hajde da pronađemo fundamentalni sistem rešenja

,,.

Tada se opšte rešenje homogenog sistema može zapisati kao:

Komentar. FSR je mogao biti pronađen i na drugi način, a da se prethodno nije pronašlo opšte rješenje za sistem. Da bi se to uradilo, rezultujući sistem koraka (3) je trebalo tri puta rešiti, uz pretpostavku za :
; Za :
; Za :
.

Homogeni sistemi linearnih algebarskih jednačina

U sklopu nastave Gausova metoda I Nekompatibilni sistemi/sistemi sa zajedničkim rješenjem smatrali smo nehomogeni sistemi linearnih jednačina, Gdje besplatni član(koji je obično na desnoj strani) najmanje jedan iz jednadžbi bio različit od nule.
A sada, nakon dobrog zagrevanja sa matrični rang, nastavićemo sa poliranjem tehnike elementarne transformacije on homogeni sistem linearnih jednačina.
Na osnovu prvih pasusa, materijal može izgledati dosadno i osrednje, ali ovaj utisak je varljiv. Pored daljeg razvoja tehnika, bit će puno novih informacija, pa vas molimo da ne zanemarite primjere u ovom članku.

Šta je homogeni sistem linearnih jednačina?

Odgovor se nameće sam od sebe. Sistem linearnih jednačina je homogen ako je slobodni član svima jednačina sistema je nula. Na primjer:

To je apsolutno jasno homogen sistem je uvek konzistentan, odnosno uvijek ima rješenje. I, prije svega, ono što vam upada u oči je tzv trivijalan rješenje . Trivijalno, za one koji uopće ne razumiju značenje pridjeva, znači bez razmetanja. Ne akademski, naravno, ali razumljivo =) ...Zašto se tucati, hajde da saznamo ima li ovaj sistem još neko rješenje:

Primjer 1

Rješenje: za rješavanje homogenog sistema potrebno je napisati sistemska matrica i uz pomoć elementarnih transformacija dovesti ga u stepenasti oblik. Imajte na umu da ovdje nema potrebe zapisivati ​​okomitu traku i nulti stupac slobodnih pojmova - na kraju krajeva, bez obzira što radite s nulama, one će ostati nule:

(1) Prvi red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. Prvi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –3.

(2) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa –1.

Deljenje trećeg reda sa 3 nema mnogo smisla.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se ekvivalentan homogeni sistem , i, koristeći inverznu Gaussovu metodu, lako je provjeriti da je rješenje jedinstveno.

Odgovori:

Hajde da formulišemo očigledan kriterijum: homogeni sistem linearnih jednačina ima samo trivijalno rešenje, Ako rang sistemske matrice(u ovom slučaju 3) jednako je broju varijabli (u ovom slučaju – 3 komada).

Zagrijmo se i podesimo naš radio na val elementarnih transformacija:

Primjer 2

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Iz članka Kako pronaći rang matrice? Prisjetimo se racionalne tehnike istovremenog smanjivanja brojeva matrice. U suprotnom ćete morati rezati veliku ribu koja često grize. Približan primjer zadatka na kraju lekcije.

Nule su dobre i zgodne, ali u praksi je slučaj mnogo češći kada se redovi sistemske matrice linearno zavisna. I tada je pojava generalnog rješenja neizbježna:

Primjer 3

Riješiti homogeni sistem linearnih jednačina

Rješenje: hajde da zapišemo matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postepeni oblik. Prva radnja je usmjerena ne samo na dobivanje jedne vrijednosti, već i na smanjenje brojeva u prvom stupcu:

(1) Treći red je dodan prvom redu, pomnožen sa –1. Treći red je dodat drugom redu, pomnožen sa –2. U gornjem lijevom kutu dobio sam jedinicu sa „minusom“, koja je često mnogo pogodnija za daljnje transformacije.

(2) Prva dva reda su ista, jedan od njih je obrisan. Iskreno, nisam forsirao rješenje - ispalo je tako. Ako transformacije izvodite na šablonski način, onda linearna zavisnost linije bi se otkrile nešto kasnije.

(3) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 3.

(4) Promijenjen je predznak prvog reda.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je ekvivalentan sistem:

Algoritam radi potpuno isto kao za heterogenih sistema. Varijable “sjedi na stepenicama” su glavne, varijabla koja nije dobila “korak” je besplatna.

Izrazimo osnovne varijable kroz slobodnu varijablu:

Odgovori: zajednička odluka:

Trivijalno rješenje je uključeno u opću formulu i nije ga potrebno posebno zapisivati.

Provjera se također vrši prema uobičajenoj shemi: rezultirajuće opšte rješenje mora se zamijeniti u lijevu stranu svake jednačine sistema i mora se dobiti zakonska nula za sve zamjene.

To bi bilo moguće završiti tiho i mirno, ali rješenje za homogeni sistem jednačina često treba biti predstavljeno u vektorskom obliku korišćenjem fundamentalni sistem rješenja. Molim vas, zaboravite na to za sada analitička geometrija, pošto ćemo sada govoriti o vektorima u opštem algebarskom smislu, što sam malo otvorio u članku o matrični rang. Nema potrebe prekrivati ​​terminologiju, sve je prilično jednostavno.

Sistemi linearnih homogenih jednačina- ima oblik ∑a k i x i = 0. gdje je m > n ili m Homogeni sistem linearnih jednadžbi je uvijek konzistentan, jer je rangA = rangB. Očigledno ima rješenje koje se sastoji od nula, koje se zove trivijalan.

Svrha usluge. Online kalkulator je dizajniran da pronađe netrivijalno i fundamentalno rješenje za SLAE. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku (pogledajte primjer rješenja).

Instrukcije. Odaberite dimenziju matrice:

Osobine sistema linearnih homogenih jednačina

Da bi sistem imao netrivijalna rješenja, potrebno je i dovoljno da rang njene matrice bude manji od broja nepoznatih.

Teorema. Sistem u slučaju m=n ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je determinanta ovog sistema jednaka nuli.

Teorema. Svaka linearna kombinacija rješenja nekog sistema je također rješenje za taj sistem.
Definicija. Skup rješenja sistema linearnih homogenih jednačina naziva se fundamentalni sistem rješenja, ako se ovaj skup sastoji od linearno nezavisnih rješenja i svako rješenje sistema je linearna kombinacija ovih rješenja.

Teorema. Ako je rang r sistemske matrice manji od broja n nepoznatih, onda postoji fundamentalni sistem rješenja koji se sastoji od (n-r) rješenja.

Algoritam za rješavanje sistema linearnih homogenih jednačina

1. Pronalaženje ranga matrice.
2. Odabiremo osnovni mol. Razlikujemo zavisne (osnovne) i slobodne nepoznanice.
3. Precrtavamo one jednačine sistema čiji koeficijenti nisu uključeni u bazni minor, jer su posljedice ostalih (prema teoremi o baznom minoru).
4. Članove jednačina koje sadrže slobodne nepoznanice pomjeramo na desnu stranu. Kao rezultat, dobijamo sistem od r jednačina sa r nepoznatih, ekvivalentan datoj, čija je determinanta različita od nule.
5. Rezultirajući sistem rješavamo eliminacijom nepoznanica. Nalazimo odnose koji izražavaju zavisne varijable kroz slobodne.
6. Ako rang matrice nije jednak broju varijabli, tada nalazimo osnovno rješenje sistema.
7. U slučaju rang = n imamo trivijalno rješenje.

Primjer. Pronađite osnovu sistema vektora (a 1, a 2,...,a m), rangirajte i izrazite vektore na osnovu baze. Ako je a 1 =(0,0,1,-1), i 2 =(1,1,2,0), i 3 =(1,1,1,1), i 4 =(3,2,1 ,4), i 5 =(2,1,0,3).
Zapišimo glavnu matricu sistema:

Pomnožite 3. red sa (-3). Dodajmo 4. red u 3.:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Pomnožite 4. red sa (-2). Pomnožimo 5. red sa (3). Dodajmo 5. red u 4.:
Dodajmo 2. red na 1.:
Nađimo rang matrice.
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo netrivijalno rješenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1 , x 2 , x 3 preko slobodnih x 4 , odnosno pronašli smo opšte rešenje:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

Sistem m linearne jednačine c n zvane nepoznate sistem linearnih homogenih jednadžbe ako su svi slobodni članovi jednaki nuli. Takav sistem izgleda ovako:

Gdje i ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - dati brojevi; x i– nepoznato.

Sistem linearnih homogenih jednačina je uvijek konzistentan, jer r(A) = r(). Uvijek ima najmanje nulu ( trivijalan) rješenje (0; 0; …; 0).

Razmotrimo pod kojim uslovima homogeni sistemi imaju rješenja različita od nule.

Teorema 1. Sistem linearnih homogenih jednadžbi ima rješenja različita od nule ako i samo ako je rang njegove glavne matrice r manje nepoznatih n, tj. r < n.

□ 1). Neka sistem linearnih homogenih jednačina ima rješenje različito od nule. Pošto rang ne može premašiti veličinu matrice, onda je, očigledno, r ≤ n. Neka r = n. Zatim jedna od manjih veličina n n različito od nule. Dakle, odgovarajući sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rešenje: . To znači da nema drugih rješenja osim trivijalnih. Dakle, ako postoji netrivijalno rješenje, onda r < n.

2). Neka r < n. Tada je homogeni sistem, budući da je konzistentan, neizvjestan. To znači da ima beskonačan broj rješenja, tj. ima rješenja različita od nule. ■

Razmislite o homogenom sistemu n linearne jednačine c n nepoznato:

(2)

Teorema 2. Homogeni sistem n linearne jednačine c n nepoznanica (2) ima rješenja različita od nule ako i samo ako je njena determinanta jednaka nuli: = 0.

□ Ako sistem (2) ima rješenje različito od nule, onda je = 0. Jer kada sistem ima samo jedno nulto rješenje. Ako je = 0, onda rang r glavna matrica sistema je manja od broja nepoznatih, tj. r < n. I, prema tome, sistem ima beskonačan broj rješenja, tj. ima rješenja različita od nule. ■

Označimo rješenje sistema (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n kao niz .

Rešenja sistema linearnih homogenih jednačina imaju sledeća svojstva:

1. Ako je linija je rješenje za sistem (1), onda je linija rješenje za sistem (1).

2. Ako su linije i su rješenja sistema (1), tada za bilo koje vrijednosti With 1 i With 2 njihova linearna kombinacija je također rješenje za sistem (1).

Valjanost ovih svojstava može se provjeriti direktnom zamjenom u jednačine sistema.

Iz formulisanih svojstava proizilazi da je svaka linearna kombinacija rješenja sistema linearnih homogenih jednačina također rješenje ovog sistema.

Sistem linearno nezavisnih rješenja e 1 , e 2 , …, e r pozvao fundamentalno, ako je svako rješenje sistema (1) linearna kombinacija ovih rješenja e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Ako rang r matrice koeficijenata za varijable sistema linearnih homogenih jednadžbi (1) su manje od broja varijabli n, tada se svaki fundamentalni sistem rješenja sistema (1) sastoji od n–r odluke.

Zbog toga zajednička odluka sistem linearnih homogenih jednadžbi (1) ima oblik:

Gdje e 1 , e 2 , …, e r– bilo koji fundamentalni sistem rješenja sistema (9), With 1 , With 2 , …, sa str– proizvoljni brojevi, R = n–r.

Teorema 4. Opšte rješenje sistema m linearne jednačine c n nepoznanica jednaka je zbiru opšteg rešenja odgovarajućeg sistema linearnih homogenih jednačina (1) i proizvoljnog partikularnog rešenja ovog sistema (1).

Primjer. Riješite sistem

Rješenje. Za ovaj sistem m = n= 3. Determinanta

prema teoremi 2, sistem ima samo trivijalno rješenje: x = y = z = 0.

Primjer. 1) Pronađite opšta i posebna rješenja sistema

2) Pronađite osnovni sistem rješenja.

Rješenje. 1) Za ovaj sistem m = n= 3. Determinanta

prema teoremi 2, sistem ima rješenja različita od nule.

Pošto postoji samo jedna nezavisna jednačina u sistemu

x + y – 4z = 0,

onda ćemo iz njega izraziti x =4z- y. Gdje dobijamo beskonačan broj rješenja: (4 z- y, y, z) – ovo je opšte rešenje sistema.

At z= 1, y= -1, dobijamo jedno posebno rešenje: (5, -1, 1). Stavljanje z= 3, y= 2, dobijamo drugo posebno rešenje: (10, 2, 3), itd.

2) U opštem rješenju (4 z- y, y, z) varijable y I z su besplatni, a varijabla X- zavisi od njih. Da bismo pronašli fundamentalni sistem rješenja, dodijelimo vrijednosti slobodnim varijablama: prvo y = 1, z= 0, onda y = 0, z= 1. Dobijamo parcijalna rješenja (-1, 1, 0), (4, 0, 1), koja čine osnovni sistem rješenja.

Ilustracije:

Rice. 1 Klasifikacija sistema linearnih jednačina

Rice. 2 Proučavanje sistema linearnih jednačina

Prezentacije:

· Rješenje SLAE_matrica metoda

· Rješenje SLAE_Cramer metoda

· Rješenje SLAE_Gaussova metoda

· Paketi za rješavanje matematičkih problema Mathematica, MathCad: traženje analitičkih i numeričkih rješenja sistema linearnih jednačina

Kontrolna pitanja:

1. Definirajte linearnu jednačinu

2. Na koji tip sistema to izgleda? m linearne jednadžbe sa n nepoznato?

3. Šta se naziva rješavanjem sistema linearnih jednačina?

4. Koji se sistemi nazivaju ekvivalentnim?

5. Koji sistem se naziva nekompatibilnim?

6. Koji sistem se zove zglob?

7. Koji sistem se naziva definitivnim?

8. Koji sistem se naziva neodređenim

9. Navedite elementarne transformacije sistema linearnih jednačina

10. Navedite elementarne transformacije matrica

11. Formulirajte teoremu o primjeni elementarnih transformacija na sistem linearnih jednačina

12. Koji se sistemi mogu riješiti korištenjem matrične metode?

13. Koji se sistemi mogu riješiti Cramerovom metodom?

14. Koji se sistemi mogu riješiti Gaussovom metodom?

15. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom

16. Opisati matričnu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

17. Opišite Cramerovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

18. Opišite Gaussovu metodu za rješavanje sistema linearnih jednačina

19. Koji se sistemi mogu riješiti korištenjem inverzne matrice?

20. Navedite 3 moguća slučaja koji se javljaju pri rješavanju sistema linearnih jednačina korištenjem Cramerove metode

Književnost:

1. Viša matematika za ekonomiste: Udžbenik za univerzitete / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: JEDINSTVO, 2005. – 471 str.

2. Opšti kurs visoke matematike za ekonomiste: Udžbenik. / Ed. IN AND. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 str.

3. Zbirka zadataka iz visoke matematike za ekonomiste: Udžbenik / Urednik V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 str.

4. Gmurman V. E. Vodič za rješavanje problema u teoriji vjerojatnosti i magmatskoj statistici. - M.: Viša škola, 2005. – 400 str.

5. Gmurman. V.E Teorija vjerojatnosti i matematička statistika. - M.: Viša škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Viša matematika u vježbama i problemima. Dio 1, 2. – M.: Oniks 21. vijek: Mir i obrazovanje, 2005. – 304 str. dio 1; – 416 str. Dio 2.

7. Matematika u ekonomiji: Udžbenik: U 2 dijela / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finansije i statistika, 2006.

8. Shipachev V.S. Viša matematika: Udžbenik za studente. univerziteti - M.: Viša škola, 2007. - 479 str.

Povezane informacije.

Hajde da razmotrimo homogeni sistem m linearnih jednadžbi sa n varijabli:

(15)

Sistem homogenih linearnih jednačina je uvijek konzistentan, jer uvijek ima nulto (trivijalno) rješenje (0,0,…,0).

Ako je u sistemu (15) m=n i , tada sistem ima samo nulto rješenje, što slijedi iz Cramerove teoreme i formula.

Teorema 1. Homogeni sistem (15) ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang njegove matrice manji od broja varijabli, tj. . r(A)< n.

Dokaz. Postojanje netrivijalnog rješenja sistema (15) je ekvivalentno linearnoj zavisnosti stupaca matrice sistema (tj. postoje brojevi x 1, x 2,...,x n, koji nisu svi jednaki nuli, tako da jednakosti (15) su tačne).

Prema teoremi baznog mola, stupci matrice su linearno zavisni  kada nisu svi stupci ove matrice osnovni, tj.  kada je red r baznog minora matrice manji od broja n njenih stupaca. itd.

Posljedica. Kvadratni homogeni sistem ima netrivijalna rješenja  kada je |A|=0.

Teorema 2. Ako su kolone x (1), x (2),..., x (s) rješenja homogenog sistema AX = 0, onda je svaka njihova linearna kombinacija također rješenje za ovaj sistem.

Dokaz. Razmotrite bilo koju kombinaciju rješenja:

Tada je AX=A()===0. itd.

Zaključak 1. Ako homogeni sistem ima netrivijalno rješenje, onda ima beskonačno mnogo rješenja.

To. potrebno je pronaći takva rješenja x (1), x (2),..., x (s) sistema Ax = 0, tako da svako drugo rješenje ovog sistema bude predstavljeno u obliku njihove linearne kombinacije i , štaviše, na jedinstven način.

Definicija. Sistem k=n-r (n je broj nepoznatih u sistemu, r=rg A) linearno nezavisnih rješenja x (1), x (2),..., x (k) sistema Ah=0 naziva se fundamentalni sistem rješenja ovaj sistem.

Teorema 3. Neka je dat homogeni sistem Ah=0 sa n nepoznatih i r=rg A. Tada postoji skup k=n-r rješenja x (1), x (2),..., x (k) ovog sistema, koji formira a. fundamentalni sistem rješenja.

Dokaz. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da se bazni minor matrice A nalazi u gornjem lijevom uglu. Zatim, prema teoremi o baznom malom, preostali redovi matrice A su linearne kombinacije baznih redova. To znači da ako vrijednosti x 1, x 2,…, x n zadovoljavaju prve r jednačine, tj. jednadžbi koje odgovaraju redovima baznog minora), onda one zadovoljavaju i druge jednačine. Shodno tome, skup rješenja sistema se neće promijeniti ako odbacimo sve jednačine počevši od (r+1)-te. Dobijamo sistem:

Pomerimo slobodne nepoznanice x r +1 , x r +2 ,…, x n na desnu stranu, a osnovne x 1 , x 2 ,…, x r ostavimo na levoj strani:

(16)

Jer u ovom slučaju sve b i =0, tada umjesto formula

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), dobijamo:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Ako slobodne nepoznanice x r +1 , x r +2 ,…, x n postavimo na proizvoljne vrijednosti, tada s obzirom na osnovne nepoznate dobijamo kvadratni SLAE sa nesingularnom matricom za koju postoji jedinstveno rješenje. Dakle, svako rješenje homogene SLAE je jednoznačno određeno vrijednostima slobodnih nepoznanica x r +1, x r +2,…, x n. Razmotrimo sljedeće k=n-r serije vrijednosti slobodnih nepoznatih:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Broj serije je označen superskriptom u zagradama, a nizovi vrijednosti su ispisani u obliku kolona. U svakoj seriji =1 ako je i=j i =0 ako je ij.

I-ti niz vrijednosti slobodnih nepoznatih jedinstveno odgovara vrijednostima ,,...,osnovnih nepoznatih. Vrijednosti slobodne i osnovne nepoznanice zajedno daju rješenja za sistem (17).

Pokažimo da su stupci e i =,i=1,2,…,k (18)

formiraju fundamentalni sistem rješenja.

Jer Ovi stupci su po konstrukciji rješenja homogenog sistema Ax=0 i njihov broj je jednak k, tada ostaje dokazati linearnu nezavisnost rješenja (16). Neka postoji linearna kombinacija rješenja e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), jednako nultom stupcu:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Tada je lijeva strana ove jednakosti kolona čije su komponente s brojevima r+1,r+2,…,n jednake nuli. Ali (r+1)-ta komponenta je jednaka  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Slično, (r+2)-ta komponenta je jednaka  2 ,…, k-ta komponenta je jednaka  k. Stoga  1 =  2 = …= k =0, što znači linearnu nezavisnost rješenja e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1) , x (2) ,…, x (k)).

Konstruisani fundamentalni sistem rješenja (18) naziva se normalno. Na osnovu formule (13) ima sljedeći oblik:

(20)

Zaključak 2. Neka e 1 , e 2 ,…, e k-normalan osnovni sistem rješenja homogenog sistema, tada se skup svih rješenja može opisati formulom:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+s k e k (21)

gdje s 1,s 2,…,s k – uzimaju proizvoljne vrijednosti.

Dokaz. Prema teoremi 2, kolona (19) je rješenje homogenog sistema Ax=0. Ostaje dokazati da se svako rješenje ovog sistema može predstaviti u obliku (17). Uzmite u obzir kolonu X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Ovaj stupac se poklapa sa stupcem y u elementima s brojevima r+1,...,n i rješenje je (16). Stoga kolone X I at poklapaju, jer rješenja sistema (16) jednoznačno su određena skupom vrijednosti njegovih slobodnih nepoznanica x r +1 ,…,x n , i stupcima at I X ovi setovi su isti. dakle, at=X= y r +1 e 1 +…+y n e k, tj. rješenje at je linearna kombinacija kolona e 1 ,…,y n normalan FSR. itd.

Dokazana izjava je tačna ne samo za normalan FSR, već i za proizvoljan FSR homogenog SLAE.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - zajednička odluka sistemi linearnih homogenih jednačina

Gdje je X 1, X 2,…, X n - r – bilo koji fundamentalni sistem rješenja,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r su proizvoljni brojevi.

Primjer. (str. 78)

Uspostavimo vezu između rješenja nehomogene SLAE (1) i odgovarajući homogeni SLAE (15)

Teorema 4. Zbir bilo kojeg rješenja nehomogenog sistema (1) i odgovarajućeg homogenog sistema (15) je rješenje sistema (1).

Dokaz. Ako je c 1 ,…,c n rješenje sistema (1), a d 1 ,…,d n rješenje sistema (15), onda zamjenom nepoznatih brojeva c u bilo koju (na primjer, i-tu) jednačinu od sistem (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , dobijamo:

B i +0=b i h.t.d.

Teorema 5. Razlika između dva proizvoljna rješenja nehomogenog sistema (1) je rješenje homogenog sistema (15).

Dokaz. Ako su c 1 ,…,c n i c 1 ,…,c n rješenja sistema (1), onda zamjenom nepoznatih brojeva c u bilo koju (na primjer, i-tu) jednačinu sistema (1 ) 1 -s 1 ,…,c n -s n , dobijamo:

B i -b i =0 p.t.d.

Iz dokazanih teorema proizilazi da je opće rješenje sistema od m linearnih homogenih jednačina sa n varijabli jednako zbiru opšteg rješenja odgovarajućeg sistema homogenih linearnih jednačina (15) i proizvoljnog broja određenog rješenja ovaj sistem (15).

X neod. =X ukupno jedan +X česte više nego jednom (22)

Kao posebno rješenje nehomogenog sistema, prirodno je uzeti rješenje koje se dobije ako u formulama c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) postaviti sve brojeve c r +1 ,…,c n jednakima nuli, tj.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Dodavanje ovog konkretnog rješenja općem rješenju X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r odgovarajući homogeni sistem, dobijamo:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)

Razmotrimo sistem od dvije jednačine sa dvije varijable:

u kojoj je najmanje jedan od koeficijenata a ij 0.

Da bismo riješili, eliminišemo x 2 tako što pomnožimo prvu jednačinu sa 22, a drugu sa (-a 12) i saberemo ih: Eliminišemo x 1 množenjem prve jednačine sa (-a 21), a drugu sa 11 i dodajući ih: Izraz u zagradama je determinanta

Nakon što je odredio ,, tada će sistem poprimiti oblik:, tj. ako, onda sistem ima jedinstveno rješenje:,.

Ako je Δ=0, i (ili), onda je sistem nekonzistentan, jer svedeno na oblik Ako je Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, tada je sistem neizvjestan, jer svedeno na formu