Instrukcije

Aritmetička progresija je niz oblika a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Broj d korak progresija.Očigledno je da je general proizvoljnog n-tog člana aritmetike progresija ima oblik: An = A1+(n-1)d. Zatim poznavanje jednog od članova progresija, član progresija i korak progresija, možete, odnosno broj naprednog člana. Očigledno, to će biti određeno formulom n = (An-A1+d)/d.

Neka sada bude poznat m-ti pojam progresija i još jedan član progresija- n-ti, ali n , kao u prethodnom slučaju, ali je poznato da se n i m ne poklapaju progresija može se izračunati pomoću formule: d = (An-Am)/(n-m). Tada je n = (An-Am+md)/d.

Ako je poznat zbir nekoliko elemenata aritmetičke jednadžbe progresija, kao i njegov prvi i zadnji, onda se broj ovih elemenata može odrediti i zbirom aritmetike progresija biće jednako: S = ((A1+An)/2)n. Tada je n = 2S/(A1+An) - chdenov progresija. Koristeći činjenicu da je An = A1+(n-1)d, ova formula se može prepisati kao: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Iz ovoga možemo izraziti n rješavanjem kvadratne jednačine.

Aritmetički niz je uređeni skup brojeva čiji se svaki član, osim prvog, za isti iznos razlikuje od prethodnog. Ova konstantna vrijednost naziva se razlika progresije ili njenog koraka i može se izračunati iz poznatih pojmova aritmetičke progresije.

Instrukcije

Ako su vrijednosti prvog i drugog ili bilo kojeg drugog para susjednih članova poznate iz uslova zadatka, za izračunavanje razlike (d) jednostavno oduzmite prethodni od sljedećeg člana. Rezultirajuća vrijednost može biti pozitivan ili negativan broj - ovisi o tome da li se progresija povećava. U opštem obliku, napišite rješenje za proizvoljan par (aᵢ i aᵢ₊₁) susjednih članova progresije na sljedeći način: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Za par termina takve progresije, od kojih je jedan prvi (a₁), a drugi bilo koji drugi proizvoljno odabran, također je moguće kreirati formulu za pronalaženje razlike (d). Međutim, u ovom slučaju, serijski broj (i) proizvoljno odabranog člana niza mora biti poznat. Da biste izračunali razliku, saberite oba broja i rezultat podijelite s rednim brojem proizvoljnog člana smanjenom za jedan. Općenito, napišite ovu formulu na sljedeći način: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ako je, pored proizvoljnog člana aritmetičke progresije s rednim brojem i, poznat još jedan član s rednim brojem u, promijenite formulu iz prethodnog koraka u skladu s tim. U ovom slučaju, razlika (d) progresije će biti zbir ova dva člana podijeljen s razlikom njihovih rednih brojeva: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula za izračunavanje razlike (d) postaje nešto komplikovanija ako uslovi problema daju vrijednost njegovog prvog člana (a₁) i zbir (Sᵢ) datog broja (i) prvih članova aritmetičkog niza. Da biste dobili željenu vrijednost, podijelite zbroj s brojem članova koji ga čine, oduzmite vrijednost prvog broja u nizu i udvostručite rezultat. Dobivenu vrijednost podijelite sa brojem članova koji čine zbroj umanjenim za jedan. Općenito, napišite formulu za izračunavanje diskriminanta na sljedeći način: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Zbir aritmetičke progresije.

Zbir aritmetičke progresije je jednostavna stvar. I po značenju i po formuli. Ali ima svakakvih zadataka na ovu temu. Od osnovnog do sasvim solidnog.

Prvo, shvatimo značenje i formulu iznosa. A onda ćemo odlučiti. Za vaše zadovoljstvo.) Značenje količine je jednostavno kao mukanje. Da biste pronašli zbir aritmetičke progresije, trebate samo pažljivo sabrati sve njegove članove. Ako je ovih pojmova malo, možete dodati bez ikakvih formula. Ali ako ima puno, ili puno... dodatak je neugodan.) U ovom slučaju formula dolazi u pomoć.

Formula za iznos je jednostavna:

Hajde da shvatimo kakva su slova uključena u formulu. Ovo će dosta razjasniti stvari.

S n - zbir aritmetičke progresije. Rezultat zbrajanja svimačlanovi, sa prvo By zadnji. Važno je. Tačno se sabiraju Svečlanovi u nizu, bez preskakanja ili preskakanja. I, tačnije, počevši od prvo. U problemima kao što je pronalaženje zbira trećeg i osmog člana, ili zbira petog do dvadesetog člana, direktna primjena formule će razočarati.)

a 1 - prvočlan progresije. Ovde je sve jasno, jednostavno prvo broj reda.

a n- zadnjičlan progresije. Poslednji broj serije. Nije baš poznato ime, ali kada se primjenjuje na količinu, vrlo je prikladno. Onda ćete se sami uvjeriti.

n - broj posljednjeg člana. Važno je shvatiti da je u formuli ovaj broj poklapa se sa brojem dodatih pojmova.

Hajde da definišemo koncept zadnjičlan a n. Zbunjeno pitanje: koji će član biti posljednji ako je dato beskrajno aritmetička progresija?)

Da biste odgovorili pouzdano, morate razumjeti elementarno značenje aritmetičke progresije i... pažljivo pročitati zadatak!)

U zadatku pronalaženja zbira aritmetičke progresije uvijek se pojavljuje posljednji član (direktno ili indirektno), koje bi trebalo ograničiti. Inače, konačan, konkretan iznos jednostavno ne postoji. Za rješenje nije bitno da li je progresija data: konačna ili beskonačna. Nije važno kako je zadan: niz brojeva ili formula za n-ti član.

Najvažnije je shvatiti da formula funkcionira od prvog člana progresije do člana s brojem n. Zapravo, puno ime formule izgleda ovako: zbir prvih n članova aritmetičke progresije. Broj ovih prvih članova, tj. n, određen je isključivo zadatkom. U zadatku su sve ove vrijedne informacije često šifrirane, da... Ali nema veze, u primjerima ispod otkrivamo ove tajne.)

Primjeri zadataka na zbir aritmetičke progresije.

Prije svega korisne informacije:

Glavna poteškoća u zadacima koji uključuju zbir aritmetičke progresije leži u ispravnom određivanju elemenata formule.

Autori zadataka šifriraju upravo ove elemente bezgraničnom maštom.) Ovdje je glavna stvar ne bojati se. Razumijevajući suštinu elemenata, dovoljno ih je jednostavno dešifrirati. Pogledajmo nekoliko primjera detaljno. Počnimo sa zadatkom zasnovanim na stvarnom GIA.

1. Aritmetička progresija je data uslovom: a n = 2n-3.5. Pronađite zbir njegovih prvih 10 članova.

Dobar posao. Lako.) Šta trebamo znati da bismo odredili količinu pomoću formule? Prvi član a 1, prošli mandat a n, da broj posljednjeg člana n.

Gdje mogu dobiti broj posljednjeg člana? n? Da, tu, pod uslovom! Piše: nađi zbir prvih 10 članova. Pa, sa kojim će brojem biti? posljednje, deseti član?) Nećete vjerovati, njegov broj je deseti!) Stoga, umjesto a n Zamijenit ćemo u formulu a 10, i umjesto toga n- deset. Ponavljam, broj zadnjeg člana se poklapa sa brojem članova.

Ostaje da se utvrdi a 1 I a 10. Ovo se lako izračunava pomoću formule za n-ti član, koja je data u opisu problema. Ne znate kako to učiniti? Pohađajte prethodnu lekciju, bez ovoga nema šanse.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Saznali smo značenje svih elemenata formule za zbir aritmetičke progresije. Ostaje samo da ih zamijenite i prebrojite:

To je to. Odgovor: 75.

Još jedan zadatak baziran na GIA. Malo komplikovanije:

2. Zadata je aritmetička progresija (a n), čija je razlika 3,7; a 1 =2.3. Pronađite zbroj njegovih prvih 15 članova.

Odmah pišemo formulu sume:

Ova formula nam omogućava da pronađemo vrijednost bilo kojeg pojma po njegovom broju. Tražimo jednostavnu zamjenu:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Ostaje zamijeniti sve elemente u formulu za zbir aritmetičke progresije i izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Usput, ako u formuli zbira umjesto a n Jednostavno zamijenimo formulu za n-ti član i dobijemo:

Predstavimo slične i dobijemo novu formulu za zbir članova aritmetičke progresije:

Kao što vidite, n-ti pojam ovdje nije potreban a n. Kod nekih problema ova formula jako pomaže, da... Možete zapamtiti ovu formulu. Ili ga možete jednostavno prikazati u pravo vrijeme, kao ovdje. Na kraju krajeva, uvijek morate zapamtiti formulu za zbir i formulu za n-ti član.)

Sada zadatak u obliku kratke enkripcije):

3. Pronađite zbir svih pozitivnih dvocifrenih brojeva koji su višestruki od tri.

Vau! Ni prvi član, ni zadnji, ni napredovanje uopšte... Kako živjeti!?

Morat ćete razmišljati svojom glavom i iz stanja izvući sve elemente zbira aritmetičke progresije. Znamo šta su dvocifreni brojevi. Sastoje se od dva broja.) Koji će biti dvocifreni broj prvo? 10, vjerovatno.) A poslednja stvar dvocifreni broj? 99, naravno! Trocifrene će ga pratiti...

Višestruki od tri... Hm... Ovo su brojevi koji su djeljivi sa tri, evo! Deset nije deljivo sa tri, 11 nije deljivo... 12... je deljivo! Dakle, nešto se pojavljuje. Već možete zapisati niz prema uslovima problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Hoće li ova serija biti aritmetička progresija? Svakako! Svaki termin se razlikuje od prethodnog za striktno tri. Ako nekom pojmu dodate 2 ili 4, recimo, rezultat, tj. novi broj više nije djeljiv sa 3. Možete odmah odrediti razliku aritmetičke progresije: d = 3. Dobro će doći!)

Dakle, možemo sigurno zapisati neke parametre progresije:

Koji će biti broj? n zadnji član? Ko misli da je 99 kobno se vara... Brojevi uvijek idu u nizu, ali naši članovi preskaču tri. Ne poklapaju se.

Ovdje postoje dva rješenja. Jedan od načina je za super vrijedne. Možete zapisati progresiju, cijeli niz brojeva i prstom prebrojati broj članova.) Drugi način je za promišljene. Morate zapamtiti formulu za n-ti član. Ako primijenimo formulu na naš problem, otkrićemo da je 99 trideseti član progresije. One. n = 30.

Pogledajmo formulu za zbir aritmetičke progresije:

Gledamo i radujemo se.) Iz opisa problema smo izvukli sve što je potrebno za izračunavanje iznosa:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Ostaje samo elementarna aritmetika. Zamjenjujemo brojeve u formulu i izračunavamo:

Odgovor: 1665

Druga vrsta popularne slagalice:

4. S obzirom na aritmetičku progresiju:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Nađi zbir članova od dvadesetog do trideset četvrtog.

Gledamo formulu za iznos i... uznemirimo se.) Formula, da vas podsjetim, izračunava iznos od prvečlan. A u zadatku treba izračunati sumu od dvadesetog... Formula neće raditi.

Možete, naravno, ispisati cijelu progresiju u nizu, i dodati pojmove od 20 do 34. Ali... to je nekako glupo i dugo traje, zar ne?)

Postoji elegantnije rješenje. Podijelimo našu seriju na dva dijela. Prvi dio će biti od prvog mandata do devetnaestog. Drugi dio - od dvadeset do trideset četiri. Jasno je da ako izračunamo zbir članova prvog dijela S 1-19, dodajmo ga sa zbirom članova drugog dijela S 20-34, dobijamo zbir progresije od prvog člana do trideset četvrtog S 1-34. Volim ovo:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iz ovoga možemo vidjeti da nađemo zbir S 20-34 može se uraditi jednostavnim oduzimanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

U obzir se uzimaju oba iznosa na desnoj strani od prvečlan, tj. standardna formula sume je prilično primjenjiva na njih. Hajde da počnemo?

Izvlačimo parametre progresije iz iskaza problema:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Da bismo izračunali zbir prvih 19 i prva 34 člana, trebat će nam 19. i 34. član. Izračunavamo ih koristeći formulu za n-ti član, kao u zadatku 2:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ništa nije ostalo. Od zbira 34 člana oduzmite zbir 19 članova:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262.5

Jedna važna napomena! Postoji vrlo koristan trik u rješavanju ovog problema. Umjesto direktnog obračuna šta ti treba (S 20-34), brojali smo nešto što se čini da nije potrebno - S 1-19. A onda su odlučili S 20-34, odbacujući nepotrebno iz kompletnog rezultata. Ova vrsta "finte sa ušima" često vas spašava od opakih problema.)

U ovoj lekciji smo se bavili problemima za koje je dovoljno razumjeti značenje zbira aritmetičke progresije. Pa, morate znati nekoliko formula.)

Praktični savjeti:

Kada rješavate bilo koji problem koji uključuje zbir aritmetičke progresije, preporučujem da odmah napišete dvije glavne formule iz ove teme.

Formula za n-ti član:

Ove formule će vam odmah reći šta da tražite i u kom pravcu da razmišljate kako biste rešili problem. Pomaže.

A sada zadaci za samostalno rješavanje.

5. Pronađite zbir svih dvocifrenih brojeva koji nisu djeljivi sa tri.

Cool?) Nagoveštaj je skriven u napomeni za problem 4. Pa, problem 3 će pomoći.

6. Aritmetička progresija je data uslovom: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite zbir njegovih prva 24 člana.

Neobično?) Ovo je formula koja se ponavlja. O tome možete pročitati u prethodnoj lekciji. Nemojte zanemariti vezu, takvi problemi se često nalaze u Državnoj akademiji nauka.

7. Vasya je uštedio novac za odmor. Čak 4550 rubalja! I odlučio sam da svojoj omiljenoj osobi (sebi) poklonim nekoliko dana sreće). Živite lijepo, ne uskraćujući sebi ništa. Potrošite 500 rubalja prvog dana, a svaki sljedeći dan potrošite 50 rubalja više od prethodnog! Dok novac ne ponestane. Koliko je dana sreće imao Vasja?

Je li teško?) Dodatna formula iz zadatka 2 će pomoći.

Odgovori (u neredu): 7, 3240, 6.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Prvi nivo

Aritmetička progresija. Detaljna teorija s primjerima (2019)

Redoslijed brojeva

Dakle, hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:
Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite (u našem slučaju ih ima). Koliko god brojeva zapisali, uvijek možemo reći koji je prvi, koji drugi, i tako do posljednjeg, odnosno možemo ih numerirati. Ovo je primjer niza brojeva:

Redoslijed brojeva
Na primjer, za naš niz:

Dodijeljeni broj je specifičan za samo jedan broj u nizu. Drugim riječima, u nizu nema broja od tri sekunde. Drugi broj (kao i ti broj) je uvijek isti.
Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), i svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

u našem slučaju:

Recimo da imamo niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.
Na primjer:

itd.
Ovaj niz brojeva naziva se aritmetička progresija.
Termin "progresija" uveo je rimski autor Boetije još u 6. veku i shvaćen je u širem smislu kao beskonačan numerički niz. Naziv "aritmetika" prenet je iz teorije kontinuiranih proporcija, koju su proučavali stari Grci.

Ovo je niz brojeva čiji je svaki član jednak prethodnom dodanom istom broju. Ovaj broj se naziva razlika aritmetičke progresije i označava se.

Pokušajte odrediti koji nizovi brojeva su aritmetička progresija, a koji nisu:

a)
b)
c)
d)

Jasno? Uporedimo naše odgovore:
Is aritmetička progresija - b, c.
Nije aritmetička progresija - a, d.

Vratimo se na datu progresiju () i pokušamo pronaći vrijednost njenog th člana. Postoji dva način da ga nađete.

1. Metoda

Možemo dodati broj progresije na prethodnu vrijednost dok ne dođemo do th člana progresije. Dobro je da nemamo mnogo toga da rezimiramo - samo tri vrijednosti:

Dakle, th član opisane aritmetičke progresije je jednak.

2. Metoda

Šta ako trebamo pronaći vrijednost th člana progresije? Zbrajanje bi nam oduzelo više od jednog sata, a nije činjenica da ne bismo pogriješili prilikom sabiranja brojeva.
Naravno, matematičari su smislili način na koji nije potrebno dodati razliku aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost. Pogledajte pobliže nacrtanu sliku... Sigurno ste već primijetili određeni uzorak, i to:

Na primjer, da vidimo od čega se sastoji vrijednost th člana ove aritmetičke progresije:


Drugim riječima:

Pokušajte sami pronaći vrijednost člana date aritmetičke progresije na ovaj način.

Jesi li izračunao? Uporedite svoje beleške sa odgovorom:

Imajte na umu da ste dobili potpuno isti broj kao u prethodnoj metodi, kada smo uzastopno dodali članove aritmetičke progresije na prethodnu vrijednost.
Pokušajmo "depersonalizirati" ovu formulu - stavimo je u opći oblik i dobijemo:

Jednačina aritmetičke progresije.

Aritmetičke progresije mogu biti rastuće ili opadajuće.

Povećanje- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova veća od prethodne.
Na primjer:

Silazno- progresije u kojima je svaka naredna vrijednost pojmova manja od prethodne.
Na primjer:

Izvedena formula se koristi u izračunavanju termina u rastućem i opadajućem terminu aritmetičke progresije.
Hajde da to proverimo u praksi.
Dobili smo aritmetičku progresiju koja se sastoji od sljedećih brojeva: Provjerimo koliki će biti th broj ove aritmetičke progresije ako koristimo našu formulu da ga izračunamo:

Od tada:

Stoga smo uvjereni da formula djeluje i u opadajućoj i u rastućoj aritmetičkoj progresiji.
Pokušajte sami pronaći th i th članove ove aritmetičke progresije.

Uporedimo rezultate:

Svojstvo aritmetičke progresije

Hajde da zakomplikujemo problem - izvešćemo svojstvo aritmetičke progresije.
Recimo da nam je dat sljedeći uslov:
- aritmetička progresija, pronađite vrijednost.
Lako, kažete i počinjete brojati prema formuli koju već znate:

Neka, ah, onda:

Apsolutno u pravu. Ispada da prvo pronađemo, pa ga dodamo prvom broju i dobijemo ono što tražimo. Ako je progresija predstavljena malim vrijednostima, onda u tome nema ništa komplikovano, ali šta ako su nam dati brojevi u uslovu? Slažem se, postoji mogućnost da napravite grešku u proračunima.
Sada razmislite o tome da li je moguće riješiti ovaj problem u jednom koraku koristeći bilo koju formulu? Naravno da, i to je ono što ćemo sada pokušati da iznesemo.

Označimo traženi član aritmetičke progresije kao, formula za njeno pronalaženje nam je poznata - to je ista formula koju smo izveli na početku:
, Zatim:

• prethodni termin progresije je:
• sljedeći termin progresije je:

Sumirajmo prethodni i naredni termin progresije:

Ispada da je zbir prethodnog i narednog člana progresije dvostruka vrijednost člana progresije koji se nalazi između njih. Drugim riječima, da biste pronašli vrijednost progresijskog člana sa poznatim prethodnim i uzastopnim vrijednostima, trebate ih sabrati i podijeliti.

Tako je, imamo isti broj. Osigurajmo materijal. Sami izračunajte vrijednost za napredovanje, to uopće nije teško.

Dobro urađeno! Znate skoro sve o napredovanju! Ostaje da saznamo samo jednu formulu, koju je, prema legendi, lako zaključio jedan od najvećih matematičara svih vremena, “kralj matematičara” - Karl Gauss...

Kada je Carl Gauss imao 9 godina, učiteljica, zauzeta provjeravanjem rada učenika u drugim razredima, zadala je u razredu sljedeći zadatak: „Izračunaj zbir svih prirodnih brojeva od do (prema drugim izvorima do) uključivo.” Zamislite učiteljevo iznenađenje kada je jedan od njegovih učenika (ovo je bio Karl Gauss) minut kasnije dao tačan odgovor na zadatak, dok je većina drznika iz razreda, nakon dugih proračuna, dobila pogrešan rezultat...

Mladi Carl Gauss je uočio određeni obrazac koji i vi možete lako primijetiti.
Recimo da imamo aritmetičku progresiju koja se sastoji od --tih članova: Moramo pronaći zbir ovih članova aritmetičke progresije. Naravno, možemo ručno sabrati sve vrijednosti, ali šta ako zadatak zahtijeva pronalaženje zbira njegovih članova, kao što je Gauss tražio?

Hajde da opišemo napredak koji nam je dat. Pogledajte pobliže istaknute brojeve i pokušajte s njima izvesti razne matematičke operacije.


Jeste li probali? Šta ste primetili? Tačno! Njihove sume su jednake

Sada mi recite koliko je ukupno takvih parova u progresiji koja nam je data? Naravno, tačno polovina svih brojeva, tj.
Na osnovu činjenice da je zbir dva člana aritmetičke progresije jednak, a slični parovi jednaki, dobijamo da je ukupan zbir jednak:
.
Dakle, formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

U nekim problemima ne znamo th pojam, ali znamo razliku progresije. Pokušajte zamijeniti formulu th-og člana u formulu zbira.
šta si dobio?

Dobro urađeno! Vratimo se sada na problem koji je postavljen Carlu Gausu: izračunajte sami čemu je jednak zbir brojeva koji počinju od th i zbiru brojeva koji počinju od th.

Koliko si dobio?
Gauss je otkrio da je zbir članova jednak i zbir članova. Jesi li tako odlučio?

Zapravo, formulu za zbir članova aritmetičke progresije dokazao je starogrčki naučnik Diofant još u 3. veku, i sve to vreme, duhoviti ljudi su u potpunosti koristili svojstva aritmetičke progresije.
Na primjer, zamislite Stari Egipat i najveći građevinski poduhvat tog vremena - izgradnju piramide... Na slici je prikazana jedna njena strana.

Gdje je tu napredak, kažete? Pažljivo pogledajte i pronađite uzorak u broju pješčanih blokova u svakom redu zida piramide.


Zašto ne aritmetička progresija? Izračunajte koliko je blokova potrebno za izgradnju jednog zida ako su blok cigle postavljene u podnožju. Nadam se da nećete brojati dok pomičete prst po monitoru, sjećate se posljednje formule i svega što smo rekli o aritmetičkoj progresiji?

U ovom slučaju, progresija izgleda ovako: .
Razlika aritmetičke progresije.
Broj članova aritmetičke progresije.
Zamijenimo naše podatke u posljednje formule (izračunajte broj blokova na 2 načina).

Metoda 1.

Metoda 2.

A sada možete izračunati na monitoru: usporedite dobivene vrijednosti s brojem blokova koji se nalaze u našoj piramidi. Jasno? Bravo, savladali ste zbir n-ih članova aritmetičke progresije.
Naravno, ne možete izgraditi piramidu od blokova u podnožju, ali od? Pokušajte izračunati koliko je pješčanih cigli potrebno za izgradnju zida s ovim uvjetom.
Jeste li uspjeli?
Tačan odgovor je blokovi:

Trening

Zadaci:

1. Maša je u formi za ljeto. Svakim danom povećava broj čučnjeva. Koliko puta će Maša raditi čučnjeve u sedmici ako je radila čučnjeve na prvom treningu?
2. Koliki je zbir svih neparnih brojeva sadržanih u.
3. Prilikom skladištenja trupaca, drvosječe ih slažu na način da svaki gornji sloj sadrži jedan trupac manje od prethodnog. Koliko je trupaca u jednom zidu, ako je temelj zidanja trupac?

odgovori:

1. Definirajmo parametre aritmetičke progresije. U ovom slučaju
   (sedmice = dani).

   odgovor: Za dvije sedmice, Maša bi trebala raditi čučnjeve jednom dnevno.

2. Prvi neparni broj, zadnji broj.
   Razlika aritmetičke progresije.
   Broj neparnih brojeva u je pola, međutim, provjerimo ovu činjenicu koristeći formulu za pronalaženje th člana aritmetičke progresije:

   Brojevi sadrže neparne brojeve.
   Zamijenimo dostupne podatke u formulu:

   odgovor: Zbir svih neparnih brojeva sadržanih u je jednak.

3. Prisjetimo se problema s piramidama. Za naš slučaj, a , pošto je svaki gornji sloj smanjen za jedan log, onda ukupno postoji gomila slojeva, tj.
   Zamijenimo podatke u formulu:

   odgovor: U zidovima su trupci.

Hajde da sumiramo

1. - brojevni niz u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka. Može se povećavati ili smanjivati.
2. Pronalaženje formule Ti član aritmetičke progresije piše se formulom - , gdje je broj brojeva u progresiji.
3. Svojstvo članova aritmetičke progresije- - gdje je broj brojeva u progresiji.
4. Zbir članova aritmetičke progresije može se naći na dva načina:
   
   , gdje je broj vrijednosti.

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. PROSJEČNI NIVO

Redoslijed brojeva

Hajde da sjednemo i počnemo pisati neke brojeve. Na primjer:

Možete napisati bilo koje brojeve, a može ih biti koliko god želite. Ali uvijek možemo reći koji je prvi, koji je drugi i tako dalje, odnosno možemo ih numerisati. Ovo je primjer niza brojeva.

Redoslijed brojeva je skup brojeva, od kojih se svakom može dodijeliti jedinstveni broj.

Drugim riječima, svaki broj može biti povezan s određenim prirodnim brojem, i to jedinstvenim. I nećemo dodijeliti ovaj broj nijednom drugom broju iz ovog skupa.

Broj sa brojem naziva se th član niza.

Obično cijeli niz nazivamo nekim slovom (na primjer), i svaki član ovog niza je isto slovo s indeksom jednakim broju ovog člana: .

Vrlo je zgodno ako se th član niza može specificirati nekom formulom. Na primjer, formula

postavlja redoslijed:

A formula je sljedeći niz:

Na primjer, aritmetička progresija je niz (prvi član ovdje je jednak, a razlika je). Ili (, razlika).

Formula n-ti član

Formulu nazivamo rekurentnom u kojoj, da biste saznali th pojam, morate znati prethodni ili nekoliko prethodnih:

Da bismo pronašli, na primjer, th član progresije koristeći ovu formulu, morat ćemo izračunati prethodnih devet. Na primjer, neka. onda:

Pa, da li je sada jasno koja je formula?

U svakom redu dodajemo, pomnoženo nekim brojem. Koji? Vrlo jednostavno: ovo je broj trenutnog člana minus:

Sada je mnogo zgodnije, zar ne? Provjeravamo:

Odlučite sami:

U aritmetičkoj progresiji pronađite formulu za n-ti član i pronađite stoti član.

Rješenje:

Prvi član je jednak. Koja je razlika? Evo šta:

(Zato se zove razlika jer je jednaka razlici uzastopnih članova progresije).

Dakle, formula:

Tada je stoti član jednak:

Koliki je zbir svih prirodnih brojeva od do?

Prema legendi, veliki matematičar Carl Gauss, kao 9-godišnji dječak, izračunao je ovu količinu za nekoliko minuta. Primijetio je da je zbir prvog i posljednjeg broja jednak, zbir drugog i pretposljednjeg broja isti, zbir trećeg i trećeg sa kraja isti, itd. Koliko ukupno ima takvih parova? Tako je, tačno polovina broja svih brojeva, tj. dakle,

Opća formula za zbir prvih članova bilo koje aritmetičke progresije bit će:

primjer:
Pronađite zbroj svih dvocifrenih višekratnika.

Rješenje:

Prvi takav broj je ovaj. Svaki naredni broj se dobija dodavanjem prethodnog broja. Dakle, brojevi koji nas zanimaju formiraju aritmetičku progresiju sa prvim članom i razlikom.

Formula th člana za ovu progresiju:

Koliko članova ima u progresiji ako svi moraju biti dvocifreni?

Vrlo jednostavno: .

Posljednji termin progresije će biti jednak. Zatim suma:

Odgovor: .

Sada odlučite sami:

1. Svakog dana sportista pretrči više metara nego prethodnog dana. Koliko će ukupno kilometara pretrčati u sedmici ako je prvog dana pretrčao km m?
2. Biciklista svaki dan prijeđe više kilometara nego prethodnog dana. Prvog dana prešao je km. Koliko dana mu je potrebno da pređe kilometar? Koliko će kilometara preći tokom posljednjeg dana svog putovanja?
3. Cijena frižidera u trgovini svake godine se smanjuje za isti iznos. Odredite za koliko se smanjila cijena frižidera svake godine ako je, stavljen na prodaju za rublje, šest godina kasnije prodan za rublje.

odgovori:

1. Ovdje je najvažnije prepoznati aritmetičku progresiju i odrediti njene parametre. U ovom slučaju, (sedmice = dani). Morate odrediti zbir prvih članova ove progresije:
   .
   odgovor:
2. Ovdje je dato: , mora se naći.
   Očigledno, morate koristiti istu formulu sume kao u prethodnom zadatku:
   .
   Zamijenite vrijednosti:

   Korijen očito ne odgovara, tako da je odgovor.
   Izračunajmo pređenu putanju tokom posljednjeg dana koristeći formulu th člana:
   (km).
   odgovor:

3. Dato: . Pronađite: .
   Ne može biti jednostavnije:
   (rub).
   odgovor:

ARITHMETIČKA PROGRESIJA. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Ovo je niz brojeva u kojem je razlika između susjednih brojeva ista i jednaka.

Aritmetička progresija može biti rastuća () i opadajuća ().

Na primjer:

Formula za pronalaženje n-og člana aritmetičke progresije

zapisuje se po formuli, gdje je broj brojeva u progresiji.

Svojstvo članova aritmetičke progresije

Omogućava vam da lako pronađete termin progresije ako su poznati njegovi susjedni pojmovi - gdje je broj brojeva u progresiji.

Zbir članova aritmetičke progresije

Postoje dva načina da pronađete iznos:

Gdje je broj vrijednosti.

Gdje je broj vrijednosti.

Koncept niza brojeva podrazumijeva da svaki prirodni broj odgovara nekoj realnoj vrijednosti. Takav niz brojeva može biti ili proizvoljan ili imati određena svojstva - progresiju. U potonjem slučaju, svaki sljedeći element (član) niza može se izračunati korištenjem prethodnog.

Aritmetička progresija je niz brojčanih vrijednosti u kojima se susjedni članovi razlikuju jedni od drugih za isti broj (svi elementi niza, počevši od 2., imaju slično svojstvo). Ovaj broj - razlika između prethodnog i narednog pojma - je konstantan i naziva se razlika progresije.

Razlika u progresiji: definicija

Razmotrimo niz koji se sastoji od j vrijednosti A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pripada skupu prirodnih brojeva N. Aritmetika progresija, prema svojoj definiciji, je niz, u kojem je a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Vrijednost d je željena razlika ove progresije.

d = a(j) – a(j-1).

Istaknite:

• Rastuća progresija, u kom slučaju je d > 0. Primjer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Smanjenje progresije, zatim d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresija razlike i njeni proizvoljni elementi

Ako su poznata 2 proizvoljna člana progresije (i-ti, k-ti), tada se razlika za dati niz može odrediti na osnovu odnosa:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, što znači d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Razlika u progresiji i njenom prvom terminu

Ovaj izraz će pomoći u određivanju nepoznate vrijednosti samo u slučajevima kada je poznat broj elementa niza.

Razlika progresije i njen zbir

Zbir progresije je zbir njegovih članova. Da biste izračunali ukupnu vrijednost njegovih prvih j elemenata, koristite odgovarajuću formulu:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ali pošto a(j) = a(1) + d(j – 1), tada je S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Šta je glavna suština formule?

Ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji NJEGOVIM BROJEM" n" .

Naravno, morate znati i prvi pojam a 1 i razlika u napredovanju d, pa, bez ovih parametara ne možete zapisati određenu progresiju.

Pamtiti (ili plakati) ovu formulu nije dovoljno. Morate razumjeti njegovu suštinu i primijeniti formulu u raznim problemima. I takođe da ne zaboravim u pravom trenutku, da...) Kako ne zaboravi- Ne znam. I ovdje kako zapamtiti Ako bude potrebno, svakako ću Vas savjetovati. Za one koji završe lekciju do kraja.)

Dakle, pogledajmo formulu za n-ti član aritmetičke progresije.

Šta je uopšte formula? Usput, pogledajte ako niste pročitali. Tamo je sve jednostavno. Ostaje da se shvati šta je to n-ti termin.

Progresija se općenito može zapisati kao niz brojeva:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1- označava prvi član aritmetičke progresije, a 3- treći član, a 4- četvrti, i tako dalje. Ako nas zanima peti mandat, recimo da radimo a 5, ako sto dvadeseti - s a 120.

Kako to možemo definisati uopšteno? bilo kojičlan aritmetičke progresije, sa bilo koji broj? Veoma jednostavno! Volim ovo:

a n

To je ono što je n-ti član aritmetičke progresije. Slovo n sakriva sve brojeve članova odjednom: 1, 2, 3, 4, itd.

A šta nam takav zapis daje? Zamislite, umjesto broja napisali su slovo...

Ova notacija nam daje moćan alat za rad sa aritmetičkom progresijom. Koristeći notaciju a n, možemo brzo pronaći bilo kojičlan bilo koji aritmetička progresija. I riješiti gomilu drugih problema s progresijom. Videćete dalje.

U formuli za n-ti član aritmetičke progresije:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- prvi član aritmetičke progresije;

n- članski broj.

Formula povezuje ključne parametre bilo koje progresije: a n ; a 1 ; d I n. Svi problemi progresije se vrte oko ovih parametara.

Formula n-tog pojma se također može koristiti za pisanje određene progresije. Na primjer, problem može reći da je progresija specificirana uvjetom:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takav problem može biti ćorsokak... Nema ni niza ni razlike... Ali, upoređujući stanje sa formulom, lako je shvatiti da u ovoj progresiji a 1 =5 i d=2.

A može biti još gore!) Ako uzmemo isti uslov: a n = 5 + (n-1) 2, Da, otvorite zagrade i ponesite slične? Dobijamo novu formulu:

a n = 3 + 2n.

Ovo Samo ne općenito, već za konkretan napredak. Ovdje vreba zamka. Neki ljudi misle da je prvi mandat trojka. Iako je u stvarnosti prvi rok pet... Malo niže ćemo raditi sa ovako izmijenjenom formulom.

U problemima progresije postoji još jedna notacija - a n+1. Ovo je, kao što ste pogodili, "n plus prvi" član progresije. Njegovo značenje je jednostavno i bezopasno.) Ovo je član progresije čiji je broj veći od broja n za jedan. Na primjer, ako u nekom problemu uzmemo a n onda peti mandat a n+1 biće šesti član. itd.

Najčešće oznaka a n+1 nalazi u formulama recidiva. Ne bojte se ove strašne riječi!) Ovo je samo način izražavanja člana aritmetičke progresije kroz prethodni. Recimo da nam je data aritmetička progresija u ovom obliku, koristeći rekurentnu formulu:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Četvrti - kroz treći, peti - kroz četvrti, i tako dalje. Kako da odmah prebrojimo, recimo, dvadeseti rok? a 20? Ali nema šanse!) Dok ne saznamo 19. termin, 20. ne možemo računati. Ovo je fundamentalna razlika između rekurentne formule i formule n-og člana. Rekurentni radi samo kroz prethodni pojam, a formula n-tog člana je kroz prvo i dozvoljava odmah pronađite bilo kojeg člana po broju. Bez izračunavanja čitavog niza brojeva po redu.

U aritmetičkoj progresiji, lako je povratnu formulu pretvoriti u regularnu. Izbrojte par uzastopnih članova, izračunajte razliku d, pronađite, ako je potrebno, prvi pojam a 1, napišite formulu u njenom uobičajenom obliku i radite s njom. U Državnoj akademiji nauka se često susreću sa takvim zadacima.

Primjena formule za n-ti član aritmetičke progresije.

Prvo, pogledajmo direktnu primjenu formule. Na kraju prethodne lekcije pojavio se problem:

Zadana je aritmetička progresija (a n). Pronađite 121 ako je a 1 =3 i d=1/6.

Ovaj problem se može riješiti bez ikakvih formula, jednostavno na osnovu značenja aritmetičke progresije. Dodajte i dodajte... Sat ili dva.)

A prema formuli, rješenje će trajati manje od minute. Možeš da odmeriš vreme.) Hajde da odlučimo.

Uvjeti pružaju sve podatke za korištenje formule: a 1 =3, d=1/6. Ostaje da shvatimo šta je jednako n. Nema problema! Moramo pronaći a 121. Pa pišemo:

Molimo obratite pažnju! Umjesto indeksa n pojavio se određeni broj: 121. Što je sasvim logično.) Zanima nas član aritmetičke progresije broj sto dvadeset jedan. Ovo će biti naše n. Ovo je smisao n= 121 zamenićemo dalje u formulu, u zagradama. Zamjenjujemo sve brojeve u formulu i izračunavamo:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je to. Jednako brzo se mogao naći petsto deseti pojam, a hiljadu i treći, bilo koji. Stavili smo umjesto toga nželjeni broj u indeksu slova " a" i u zagradama, i računamo.

Dozvolite mi da vas podsjetim na poentu: ova formula vam omogućava da pronađete bilo koji termin aritmetičke progresije NJEGOVIM BROJEM" n" .

Hajde da riješimo problem na lukaviji način. Hajde da naletimo na sledeci problem:

Pronađite prvi član aritmetičke progresije (a n), ako je a 17 =-2; d=-0,5.

Ako budete imali poteškoća, reći ću vam prvi korak. Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije! Da da. Zapišite rukama, direktno u svoju svesku:

a n = a 1 + (n-1)d

I sada, gledajući slova formule, razumijemo koje podatke imamo, a šta nedostaje? Dostupan d=-0,5, ima sedamnaesti član... Je li to to? Ako mislite da je to to, onda nećete riješiti problem, da...

Još uvijek imamo broj n! U stanju a 17 =-2 skriveno dva parametra. Ovo je i vrijednost sedamnaestog člana (-2) i njegov broj (17). One. n=17. Ova „sitnica“ često prođe pored glave, a bez nje (bez „sitnice“, a ne glave!) problem se ne može rešiti. Mada... i bez glave.)

Sada možemo jednostavno glupo zamijeniti naše podatke u formulu:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh da, a 17 znamo da je -2. U redu, zamenimo:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

To je u osnovi sve. Ostaje da izrazimo prvi član aritmetičke progresije iz formule i izračunamo ga. Odgovor će biti: a 1 = 6.

Ova tehnika - zapisivanje formule i jednostavna zamjena poznatih podataka - je od velike pomoći u jednostavnim zadacima. Pa, naravno, morate znati izraziti varijablu iz formule, ali šta učiniti!? Bez ove vještine možda uopće nećete učiti matematiku...

Još jedna popularna zagonetka:

Naći razliku aritmetičke progresije (a n), ako je a 1 =2; a 15 =12.

Šta mi radimo? Iznenadit ćete se, pišemo formulu!)

a n = a 1 + (n-1)d

Hajde da razmotrimo šta znamo: a 1 =2; a 15 =12; i (posebno ću istaći!) n=15. Slobodno zamijenite ovo u formulu:

12=2 + (15-1)d

Radimo aritmetiku.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Ovo je tačan odgovor.

Dakle, zadaci za a n, a 1 I d odlučila. Ostaje samo naučiti kako pronaći broj:

Broj 99 je član aritmetičke progresije (a n), gdje je a 1 =12; d=3. Pronađite broj ovog člana.

Zamjenjujemo nam poznate količine u formulu n-tog člana:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvi pogled ovde postoje dve nepoznate količine: a n i n. Ali a n- ovo je neki član progresije sa brojem n...A mi poznajemo ovog člana progresije! To je 99. Ne znamo njegov broj. n, Dakle, ovaj broj je ono što trebate pronaći. Zamjenjujemo termin progresije 99 u formulu:

99 = 12 + (n-1) 3

Izražavamo iz formule n, mi mislimo. Dobijamo odgovor: n=30.

A sada problem na istu temu, ali kreativniji):

Odredite da li je broj 117 član aritmetičke progresije (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Hajde da ponovo napišemo formulu. Šta, nema parametara? Hm... Zašto su nam date oči?) Vidimo li prvi član progresije? Vidimo. Ovo je -3,6. Možete sa sigurnošću napisati: a 1 = -3,6. Razlika d možete li odrediti iz serije? Lako je ako znate koja je razlika aritmetičke progresije:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Dakle, uradili smo najjednostavniju stvar. Ostaje da se pozabavimo nepoznatim brojem n i nerazumljivi broj 117. U prethodnom zadatku se barem znalo da je zadan termin progresije. Ali ovde ni ne znamo... Šta da radimo!? Pa šta da se radi, šta da se radi... Uključi se Kreativne vještine!)

Mi pretpostavimo da je 117, na kraju krajeva, član našeg napredovanja. Sa nepoznatim brojem n. I, baš kao u prethodnom zadatku, pokušajmo pronaći ovaj broj. One. pišemo formulu (da, da!)) i zamjenjujemo naše brojeve:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opet izražavamo iz formulen, računamo i dobijamo:

Ups! Broj se ispostavio fractional! Sto jedan i po. I razlomci u progresijama ne može biti. Kakav zaključak možemo izvući? Da! Broj 117 niječlan našeg napredovanja. To je negdje između sto prvog i sto drugog pojma. Ako je broj ispao prirodan, tj. je pozitivan cijeli broj, tada bi broj bio član progresije s pronađenim brojem. A u našem slučaju, odgovor na problem će biti: br.

Zadatak zasnovan na pravoj verziji GIA:

Aritmetička progresija je data uslovom:

a n = -4 + 6.8n

Pronađite prvi i deseti član progresije.

Ovdje je progresija postavljena na neobičan način. Nekakva formula... Dešava se.) Međutim, ova formula (kao što sam gore napisao) - također formula za n-ti član aritmetičke progresije! Ona takođe dozvoljava pronađite bilo kojeg člana progresije po njegovom broju.

Tražimo prvog člana. Onaj koji misli. da je prvi član minus četiri je fatalna greška!) Zato što je formula u zadatku modifikovana. Prvi član aritmetičke progresije u njemu skriveno. U redu je, sada ćemo to pronaći.)

Kao iu prethodnim problemima, vršimo zamjenu n=1 u ovu formulu:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Evo! Prvi član je 2,8, a ne -4!

Deseti pojam tražimo na isti način:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

To je to.

A sada, za one koji su pročitali ove redove, obećani bonus.)

Pretpostavimo da ste u teškoj borbenoj situaciji Državnog ispita ili Jedinstvenog državnog ispita zaboravili korisnu formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Sjećam se nečega, ali nekako nesigurno... Ili n tamo, ili n+1, ili n-1... Kako biti!?

Miran! Ovu formulu je lako izvesti. Nije jako striktno, ali svakako je dovoljno za samopouzdanje i pravu odluku!) Da biste zaključili, dovoljno je zapamtiti elementarno značenje aritmetičke progresije i imati par minuta vremena. Samo treba da nacrtate sliku. Radi jasnoće.

Nacrtajte brojevnu pravu i označite prvu na njoj. drugi, treći itd. članovi. I primjećujemo razliku d između članova. Volim ovo:

Gledamo sliku i mislimo: čemu je jednak drugi član? Sekunda jedan d:

a 2 =a 1 + 1 d

Šta je treći termin? Treće pojam je jednak prvom članu plus dva d.

a 3 =a 1 + 2 d

Da li shvatate? Nije uzalud neke riječi podebljano. U redu, još jedan korak).

Šta je četvrti mandat? Četvrto pojam je jednak prvom članu plus tri d.

a 4 =a 1 + 3 d

Vrijeme je da shvatimo da je broj praznina, tj. d, Uvijek jedan manji od broja člana kojeg tražite n. Odnosno na broj n, broj razmakaće n-1. Stoga će formula biti (bez varijacija!):

a n = a 1 + (n-1)d

Općenito, vizualne slike su od velike pomoći u rješavanju mnogih matematičkih problema. Nemojte zanemariti slike. Ali ako je teško nacrtati sliku, onda ... samo formula!) Osim toga, formula n-tog člana omogućava vam da povežete čitav moćni arsenal matematike na rješenje - jednadžbe, nejednačine, sisteme itd. Ne možete da ubacite sliku u jednačinu...

Zadaci za samostalno rješavanje.

Za zagrijavanje:

1. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 2 =3; a 5 =5.1. Pronađite 3.

Savjet: prema slici, problem se može riješiti za 20 sekundi... Po formuli ispada teže. Ali za savladavanje formule, korisnije je.) U odjeljku 555, ovaj problem je riješen korištenjem i slike i formule. Osjetite razliku!)

I ovo više nije zagrijavanje.)

2. U aritmetičkoj progresiji (a n) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Pronađite a 3 .

Šta, ne želite da nacrtate sliku?) Naravno! Bolje po formuli, da...

3. Aritmetička progresija je data uslovom:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Pronađite sto dvadeset peti član ove progresije.

U ovom zadatku, napredovanje je specificirano na ponavljajući način. Ali računajući do sto dvadeset i petog člana... Nije svako sposoban za takav podvig.) Ali formula n-tog člana je u moći svakoga!

4. S obzirom na aritmetičku progresiju (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Pronađite broj najmanjeg pozitivnog člana progresije.

5. Prema uslovima zadatka 4, naći zbir najmanjeg pozitivnog i najvećeg negativnog člana progresije.

6. Proizvod petog i dvanaestog člana rastuće aritmetičke progresije jednak je -2,5, a zbir trećeg i jedanaestog člana jednak je nuli. Pronađite 14.

Nije najlakši zadatak, da...) Metoda "vrh prsta" ovdje neće raditi. Morat ćete napisati formule i riješiti jednačine.

Odgovori (u neredu):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Desilo se? Lijepo je!)

Nije sve u redu? Dešava se. Inače, u posljednjem zadatku postoji jedna suptilna točka. Biće potrebna pažnja prilikom čitanja problema. I logika.

Rješenje svih ovih problema je detaljno razmotreno u Odjeljku 555. I element fantazije za četvrti, i suptilna tačka za šesti, i opći pristupi rješavanju bilo kojeg problema koji uključuje formulu n-og člana - sve je opisano. Predlažem.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.