X 2 y 3x 1 графика. Графични трансформации с модул

1. Дробна линейна функция и нейната графика

Функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.

Вероятно вече сте запознати с концепцията за рационални числа. По същия начин рационални функцииса функции, които могат да бъдат представени като частно на два полинома.

Ако една дробна рационална функция е частното на две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция на формата

y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.

Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax/d + b/d) и че a/c ≠ b/d (в противен случай функцията функцията е постоянна). Линейната дробна функция е дефинирана за всички реални числа с изключение на x = -d/c. Графиките на дробни линейни функции не се различават по форма от графиката y = 1/x, която познавате. Извиква се крива, която е графика на функцията y = 1/x хипербола. При неограничено нарастване на x по абсолютна стойност, функцията y = 1/x намалява неограничено по абсолютна стойност и двата клона на графиката се доближават до абсцисата: десният се приближава отгоре, а левият отдолу. Правите, към които се приближават клоновете на хипербола, се наричат ​​нейни асимптоти.

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy 7 пъти и изместване с 2 единични сегменти нагоре.

Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по подобен начин, като се подчертава „цялата част“. Следователно графиките на всички дробни линейни функции са хиперболи, изместени по различни начини по координатните оси и опънати по оста Oy.

За да се построи графика на произволна дробно-линейна функция, изобщо не е необходимо да се трансформира дробта, определяща тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим правите, към които се приближават нейните клонове - асимптотите на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцията не е дефинирана при x = -1. Това означава, че правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем какви са стойностите на функцията y(x), когато аргументът x нараства по абсолютна стойност.

За да направите това, разделете числителя и знаменателя на дробта на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Когато x → ∞ дробта ще клони към 3/2. Това означава, че хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.

Пример 3.

Начертайте графика на функцията y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Нека изберем "цялата част" на фракцията:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетрично показване по отношение на Ox и изместване с 2 единични сегмента нагоре по оста Oy.

Област D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки с оси: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функцията нараства на всеки интервал от областта на дефиниране.

Отговор: Фигура 1.

2. Дробна рационална функция

Разгледайте дробна рационална функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми със степен по-висока от първата.

Примери за такива рационални функции:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцията y = P(x) / Q(x) представлява частното от два полинома със степен по-висока от първата, тогава нейната графика по правило ще бъде по-сложна и понякога може да бъде трудно да се конструира точно , с всички подробности. Често обаче е достатъчно да се използват техники, подобни на тези, които вече представихме по-горе.

Нека дробта е правилна дроб (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно графиката на дробна рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби.

Построяване на графики на дробни рационални функции

Нека разгледаме няколко начина за конструиране на графики на дробна рационална функция.

Пример 4.

Начертайте графика на функцията y = 1/x 2 .

Решение.

Използваме графиката на функцията y = x 2, за да построим графика на y = 1/x 2 и използваме техниката на „разделяне“ на графиките.

Област D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (0; +∞).

Няма пресечни точки с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до +∞.

Отговор: Фигура 2.

Пример 5.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Област D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Тук използвахме техниката на факторизация, редукция и редукция до линейна функция.

Отговор: Фигура 3.

Пример 6.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Областта на дефиниране е D(y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо ординатата. Преди да изградим графика, нека трансформираме израза отново, като подчертаем цялата част:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Имайте предвид, че изолирането на цялата част във формулата на дробна рационална функция е едно от основните при конструирането на графики.

Ако x → ±∞, тогава y → 1, т.е. правата линия y = 1 е хоризонтална асимптота.

Отговор: Фигура 4.

Пример 7.

Нека разгледаме функцията y = x/(x 2 + 1) и се опитаме да намерим точно нейната най-голяма стойност, т.е. най-високата точка в дясната половина на графиката. За да се изгради точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно нашата крива не може да се „издигне“ много високо, т.к знаменателят бързо започва да "изпреварва" числителя. Да видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направим това, трябва да решим уравнението x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Това уравнение няма реални корени. Това означава, че нашето предположение е неправилно. За да намерите най-голямата стойност на функцията, трябва да разберете при какво най-голямо A ще има решение уравнението A = x/(x 2 + 1). Нека заменим първоначалното уравнение с квадратно: Ax 2 – x + A = 0. Това уравнение има решение, когато 1 – 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-голямата стойност A = 1/2.

Отговор: Фигура 5, max y(x) = ½.

Все още имате въпроси? Не знаете как да чертаете функции?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

Изграждането на графики на функции, съдържащи модули, обикновено създава значителни трудности за учениците. Всичко обаче не е толкова лошо. Достатъчно е да запомните няколко алгоритма за решаване на такива проблеми и лесно можете да изградите графика дори на най-привидно сложната функция. Нека да разберем какъв вид алгоритми са тези.

1. Построяване на графика на функцията y = |f(x)|

Обърнете внимание, че наборът от стойности на функцията y = |f(x)| : y ≥ 0. Така графиките на такива функции винаги се намират изцяло в горната полуравнина.

Построяване на графика на функцията y = |f(x)| се състои от следните прости четири стъпки.

1) Внимателно и внимателно построете графика на функцията y = f(x).

2) Оставете непроменени всички точки на графиката, които са над или на оста 0x.

3) Покажете частта от графиката, която се намира под оста 0x симетрично спрямо оста 0x.

Пример 1. Начертайте графика на функцията y = |x 2 – 4x + 3|

1) Построяваме графика на функцията y = x 2 – 4x + 3. Очевидно е, че графиката на тази функция е парабола. Нека намерим координатите на всички точки на пресичане на параболата с координатните оси и координатите на върха на параболата.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Следователно параболата пресича оста 0x в точки (3, 0) и (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Следователно параболата пресича оста 0y в точката (0, 3).

Координати на върха на парабола:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Следователно точка (2, -1) е върхът на тази парабола.

Начертайте парабола, като използвате получените данни (Фиг. 1)

2) Частта от графиката, лежаща под оста 0x, се показва симетрично спрямо оста 0x.

3) Получаваме графика на оригиналната функция ( ориз. 2, показано с пунктирана линия).

2. График на функцията y = f(|x|)

Обърнете внимание, че функциите от формата y = f(|x|) са четни:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Това означава, че графиките на такива функции са симетрични спрямо оста 0y.

Построяването на графика на функцията y = f(|x|) се състои от следната проста верига от действия.

1) Начертайте графика на функцията y = f(x).

2) Оставете тази част от графиката, за която x ≥ 0, тоест частта от графиката, разположена в дясната полуравнина.

3) Покажете частта от графиката, посочена в точка (2), симетрично спрямо оста 0y.

4) Като крайна графика изберете обединението на кривите, получени в точки (2) и (3).

Пример 2. Начертайте графика на функцията y = x 2 – 4 · |x| + 3

Тъй като x 2 = |x| 2, тогава оригиналната функция може да бъде пренаписана в следната форма: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Сега можем да приложим алгоритъма, предложен по-горе.

1) Внимателно и внимателно изграждаме графика на функцията y = x 2 – 4 x + 3 (вижте също ориз. 1).

2) Оставяме тази част от графиката, за която x ≥ 0, тоест частта от графиката, разположена в дясната полуравнина.

3) Покажете дясната страна на графиката симетрично спрямо оста 0y.

(фиг. 3).

Пример 3. Начертайте графика на функцията y = log 2 |x|

Прилагаме схемата, дадена по-горе.

1) Постройте графика на функцията y = log 2 x (фиг. 4).

3. Начертаване на функцията y = |f(|x|)|

Обърнете внимание, че функции от вида y = |f(|x|)| също са четни. Наистина, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x) и следователно техните графики са симетрични спрямо оста 0y. Наборът от стойности на такива функции: y ≥ 0. Това означава, че графиките на такива функции са разположени изцяло в горната полуравнина.

За да начертаете функцията y = |f(|x|)|, трябва да:

1) Внимателно постройте графика на функцията y = f(|x|).

2) Оставете непроменена частта от графиката, която е над или върху оста 0x.

3) Покажете частта от графиката, разположена под оста 0x, симетрично спрямо оста 0x.

4) Като крайна графика изберете обединението на кривите, получени в точки (2) и (3).

Пример 4. Начертайте графика на функцията y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Забележете, че x 2 = |x| 2. Това означава, че вместо оригиналната функция y = -x 2 + 2|x| - 1

можете да използвате функцията y = -|x| 2 + 2|x| – 1, тъй като графиките им съвпадат.

Изграждаме графика y = -|x| 2 + 2|x| – 1. За целта използваме алгоритъм 2.

а) Начертайте графика на функцията y = -x 2 + 2x – 1 (фиг. 6).

б) Оставяме тази част от графиката, която се намира в дясната полуравнина.

в) Показваме получената част от графиката симетрично спрямо оста 0y.

d) Получената графика е показана с пунктирана линия на фигурата (фиг. 7).

2) Няма точки над оста 0x; оставяме точките на оста 0x непроменени.

3) Частта от графиката, разположена под оста 0x, се показва симетрично спрямо 0x.

4) Получената графика е показана на фигурата с пунктирана линия (фиг. 8).

Пример 5. Начертайте графика на функцията y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Първо трябва да начертаете функцията y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). За да направим това, се връщаме към Алгоритъм 2.

а) Начертайте внимателно функцията y = (2x – 4) / (x + 3) (фиг. 9).

Имайте предвид, че тази функция е дробно линейна и нейната графика е хипербола. За да начертаете крива, първо трябва да намерите асимптотите на графиката. Хоризонтално – y = 2/1 (отношението на коефициентите на x в числителя и знаменателя на дробта), вертикално – x = -3.

2) Ще оставим непроменена тази част от графиката, която е над оста 0x или върху нея.

3) Частта от графиката, разположена под оста 0x, ще бъде показана симетрично спрямо 0x.

4) Крайната графика е показана на фигурата (фиг. 11).

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

“Естествен логаритъм” - 0,1. Натурални логаритми. 4. Логаритмичен дартс. 0,04. 7.121.

“Степенна функция степен 9” - U. Кубична парабола. Y = x3. Учител от 9 клас Ладошкина И.А. Y = x2. Хипербола. 0. Y = xn, y = x-n, където n е дадено естествено число. X. Показателят е четно естествено число (2n).

“Квадратична функция” - 1 Дефиниция на квадратна функция 2 Свойства на функция 3 Графики на функция 4 Квадратни неравенства 5 Заключение. Свойства: Неравенства: Изготвил ученикът от 8А клас Андрей Герлиц. План: Графика: -Интервали на монотонност за a > 0 за a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

“Квадратична функция и нейната графика” - Решение.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-принадлежи. Когато a=1, формулата y=ax приема формата.

“Квадратична функция за 8 клас” - 1) Построяване на върха на парабола. Построяване на графика на квадратична функция. х. -7. Постройте графика на функцията. Алгебра 8 клас Учител 496 Бовина училище Т. В. -1. План за застрояване. 2) Да се ​​построи оста на симетрия x=-1. г.

1. Дробна линейна функция и нейната графика

Функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.

Вероятно вече сте запознати с концепцията за рационални числа. По същия начин рационални функцииса функции, които могат да бъдат представени като частно на два полинома.

Ако една дробна рационална функция е частното на две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция на формата

y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.

Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax/d + b/d) и че a/c ≠ b/d (в противен случай функцията функцията е постоянна). Линейната дробна функция е дефинирана за всички реални числа с изключение на x = -d/c. Графиките на дробни линейни функции не се различават по форма от графиката y = 1/x, която познавате. Извиква се крива, която е графика на функцията y = 1/x хипербола. При неограничено нарастване на x по абсолютна стойност, функцията y = 1/x намалява неограничено по абсолютна стойност и двата клона на графиката се доближават до абсцисата: десният се приближава отгоре, а левият отдолу. Правите, към които се приближават клоновете на хипербола, се наричат ​​нейни асимптоти.

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy 7 пъти и изместване с 2 единични сегменти нагоре.

Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по подобен начин, като се подчертава „цялата част“. Следователно графиките на всички дробни линейни функции са хиперболи, изместени по различни начини по координатните оси и опънати по оста Oy.

За да се построи графика на произволна дробно-линейна функция, изобщо не е необходимо да се трансформира дробта, определяща тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим правите, към които се приближават нейните клонове - асимптотите на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцията не е дефинирана при x = -1. Това означава, че правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем какви са стойностите на функцията y(x), когато аргументът x нараства по абсолютна стойност.

За да направите това, разделете числителя и знаменателя на дробта на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Когато x → ∞ дробта ще клони към 3/2. Това означава, че хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.

Пример 3.

Начертайте графика на функцията y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Нека изберем "цялата част" на фракцията:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетрично показване по отношение на Ox и изместване с 2 единични сегмента нагоре по оста Oy.

Област D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки с оси: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функцията нараства на всеки интервал от областта на дефиниране.

Отговор: Фигура 1.

2. Дробна рационална функция

Разгледайте дробна рационална функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми със степен по-висока от първата.

Примери за такива рационални функции:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцията y = P(x) / Q(x) представлява частното от два полинома със степен по-висока от първата, тогава нейната графика по правило ще бъде по-сложна и понякога може да бъде трудно да се конструира точно , с всички подробности. Често обаче е достатъчно да се използват техники, подобни на тези, които вече представихме по-горе.

Нека дробта е правилна дроб (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно графиката на дробна рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби.

Построяване на графики на дробни рационални функции

Нека разгледаме няколко начина за конструиране на графики на дробна рационална функция.

Пример 4.

Начертайте графика на функцията y = 1/x 2 .

Решение.

Използваме графиката на функцията y = x 2, за да построим графика на y = 1/x 2 и използваме техниката на „разделяне“ на графиките.

Област D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (0; +∞).

Няма пресечни точки с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до +∞.

Отговор: Фигура 2.

Пример 5.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Област D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Тук използвахме техниката на факторизация, редукция и редукция до линейна функция.

Отговор: Фигура 3.

Пример 6.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Областта на дефиниране е D(y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо ординатата. Преди да изградим графика, нека трансформираме израза отново, като подчертаем цялата част:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Имайте предвид, че изолирането на цялата част във формулата на дробна рационална функция е едно от основните при конструирането на графики.

Ако x → ±∞, тогава y → 1, т.е. правата линия y = 1 е хоризонтална асимптота.

Отговор: Фигура 4.

Пример 7.

Нека разгледаме функцията y = x/(x 2 + 1) и се опитаме да намерим точно нейната най-голяма стойност, т.е. най-високата точка в дясната половина на графиката. За да се изгради точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно нашата крива не може да се „издигне“ много високо, т.к знаменателят бързо започва да "изпреварва" числителя. Да видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направим това, трябва да решим уравнението x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Това уравнение няма реални корени. Това означава, че нашето предположение е неправилно. За да намерите най-голямата стойност на функцията, трябва да разберете при какво най-голямо A ще има решение уравнението A = x/(x 2 + 1). Нека заменим първоначалното уравнение с квадратно: Ax 2 – x + A = 0. Това уравнение има решение, когато 1 – 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-голямата стойност A = 1/2.

Отговор: Фигура 5, max y(x) = ½.

Все още имате въпроси? Не знаете как да чертаете функции?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.