Изучаването на функция се извършва по ясна схема и изисква от студента да има солидни познания по основни математически понятия като област на дефиниция и стойности, непрекъснатост на функцията, асимптота, точки на екстремум, паритет, периодичност и др. . Ученикът трябва да може свободно да диференцира функции и да решава уравнения, които понякога могат да бъдат много сложни.

Тоест тази задача тества значителен слой знания, всяка празнина в която ще се превърне в пречка за получаване на правилното решение. Особено често възникват трудности при конструирането на графики на функции. Тази грешка веднага се забелязва от учителя и може значително да повреди оценката ви, дори ако всичко останало е направено правилно. Тук можете да намерите онлайн проблеми с изследване на функцията: учебни примери, изтегляне на решения, поръчване на задачи.

Разгледайте функция и начертайте графика: примери и решения онлайн

Подготвили сме за вас много готови функционални изследвания, както платени в книгата с решения, така и безплатни в раздела Примери за функционални изследвания. На базата на тези решени задачи ще можете да се запознаете подробно с методиката за изпълнение на подобни задачи и да извършите своето изследване по аналогия.

Предлагаме готови примери за цялостно изследване и начертаване на функции от най-често срещаните видове: полиноми, дробно-рационални, ирационални, експоненциални, логаритмични, тригонометрични функции. Всяка решена задача е придружена от готова графика с подчертани ключови точки, асимптоти, максимуми и минимуми, като решението се извършва чрез алгоритъм за изследване на функцията.

Във всеки случай решените примери ще ви бъдат от голяма полза, тъй като обхващат най-популярните видове функции. Предлагаме ви стотици вече решени задачи, но, както знаете, в света има безкраен брой математически функции, а учителите са страхотни експерти в измислянето на все по-сложни задачи за бедни ученици. Така че, скъпи ученици, квалифицираната помощ няма да ви навреди.

Решаване на проблеми с изследване на персонализирани функции

В този случай нашите партньори ще ви предложат друга услуга - пълнофункционално проучване онлайнда поръчам. Задачата ще бъде изпълнена за вас при спазване на всички изисквания за алгоритъм за решаване на подобни задачи, което много ще зарадва вашия учител.

Ние ще направим цялостно проучване на функцията вместо вас: ще намерим областта на дефиницията и областта на стойностите, ще проверим за непрекъснатост и прекъсване, ще установим паритет, ще проверим вашата функция за периодичност и ще намерим точките на пресичане с координатните оси . И, разбира се, допълнително използвайки диференциално смятане: ще намерим асимптоти, ще изчислим екстремуми, инфлексни точки и ще изградим самата графика.

От известно време насам вградената база данни със сертификати за SSL на TheBat спря да работи коректно (не е ясно по каква причина).

При проверка на публикацията се появява грешка:

Неизвестен CA сертификат
Сървърът не е представил основен сертификат в сесията и съответният основен сертификат не е намерен в адресната книга.
Тази връзка не може да бъде тайна. Моля те
свържете се с вашия администратор на сървъра.

И ви се предлага избор от отговори - ДА / НЕ. И така всеки път, когато премахвате поща.

Решение

В този случай трябва да замените стандарта за внедряване на S/MIME и TLS с Microsoft CryptoAPI в настройките на TheBat!

Тъй като трябваше да комбинирам всички файлове в един, първо конвертирах всички doc файлове в един pdf файл (с помощта на програмата Acrobat) и след това го прехвърлих във fb2 чрез онлайн конвертор. Можете също да конвертирате файлове поотделно. Форматите могат да бъдат абсолютно всякакви (източник) - doc, jpg и дори zip архив!

Името на сайта отговаря на същността :) Онлайн фотошоп.

Актуализация май 2015 г

Намерих още един страхотен сайт! Още по-удобен и функционален за създаване на изцяло персонализиран колаж! Това е сайтът http://www.fotor.com/ru/collage/. Насладете му се за ваше здраве. И сам ще го използвам.

В живота си се натъкнах на проблема с ремонта на електрическа печка. Вече направих много неща, научих много, но някак си имах малко общо с плочките. Наложи се подмяна на контактите на регулаторите и горелките. Възникна въпросът - как да се определи диаметърът на горелката на електрическа печка?

Отговорът се оказа лесен. Не е необходимо да измервате нищо, лесно можете да определите на око какъв размер ви трябва.

Най-малката горелка- това е 145 милиметра (14,5 сантиметра)

Средна горелка- това е 180 милиметра (18 сантиметра).

И накрая най голяма горелка- това е 225 милиметра (22,5 сантиметра).

Достатъчно е да определите размера на око и да разберете какъв диаметър имате нужда от горелката. Когато не знаех това, се притеснявах за тези размери, не знаех как да измервам, кой ръб да навигирам и т.н. Сега съм помъдряла :) Дано съм помогнала и на вас!

В живота си се сблъсках с такъв проблем. Мисля, че не съм единственият.

Една от най-важните задачи на диференциалното смятане е разработването на общи примери за изследване на поведението на функциите.

Ако функцията y=f(x) е непрекъсната на интервала и нейната производна е положителна или равна на 0 на интервала (a,b), тогава y=f(x) нараства с (f"(x)0) Ако функцията y=f (x) е непрекъсната на сегмента и нейната производна е отрицателна или равна на 0 на интервала (a,b), тогава y=f(x) намалява с (f"(x)0 )

Интервалите, в които функцията не намалява или нараства, се наричат ​​интервали на монотонност на функцията. Монотонността на функция може да се промени само в онези точки от нейната област на дефиниране, в които се променя знакът на първата производна. Точките, в които първата производна на функция изчезва или има прекъсване, се наричат ​​критични.

Теорема 1 (1-во достатъчно условие за съществуване на екстремум).

Нека функцията y=f(x) е дефинирана в точката x 0 и нека има околност δ>0, така че функцията да е непрекъсната в интервала и диференцируема в интервала (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) и неговата производна запазва постоянен знак на всеки от тези интервали. Тогава, ако върху x 0 -δ,x 0) и (x 0 , x 0 +δ) знаците на производната са различни, тогава x 0 е точка на екстремум, а ако те съвпадат, тогава x 0 не е точка на екстремум . Освен това, ако при преминаване през точката x0 производната промени знака от плюс на минус (вляво от x 0 f"(x)>0 е изпълнено, тогава x 0 е максималната точка; ако производната промени знака от минус към плюс (вдясно от x 0 изпълнен f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Точките на максимум и минимум се наричат ​​точки на екстремум на функцията, а максимумът и минимумът на функцията се наричат ​​нейни екстремни стойности.

Теорема 2 (необходим знак за локален екстремум).

Ако функцията y=f(x) има екстремум при текущия x=x 0, тогава или f’(x 0)=0, или f’(x 0) не съществува.
В точките на екстремум на диференцируемата функция допирателната към нейната графика е успоредна на оста Ox.

Алгоритъм за изследване на функция за екстремум:

1) Намерете производната на функцията.
2) Намерете критични точки, т.е. точки, в които функцията е непрекъсната и производната е нула или не съществува.
3) Разгледайте околността на всяка точка и разгледайте знака на производната отляво и отдясно на тази точка.
4) Определете координатите на екстремните точки; за това заменете стойностите на критичните точки в тази функция. Използвайки достатъчни условия за екстремума, направете съответните заключения.

Пример 18. Разгледайте функцията y=x 3 -9x 2 +24x за екстремум

Решение.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Приравнявайки производната на нула, намираме x 1 =2, x 2 =4. В този случай производната е дефинирана навсякъде; Това означава, че освен откритите две точки, няма други критични точки.
3) Знакът на производната y"=3(x-2)(x-4) се променя в зависимост от интервала, както е показано на фигура 1. При преминаване през точката x=2, производната променя знака от плюс на минус, а при преминаване през точката x=4 - от минус към плюс.
4) В точка x=2 функцията има максимум y max =20, а в точка x=4 - минимум y min =16.

Теорема 3. (2-ро достатъчно условие за съществуване на екстремум).

Нека f"(x 0) и в точката x 0 съществува f""(x 0). Тогава ако f""(x 0)>0, тогава x 0 е минималната точка и ако f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

На сегмент функцията y=f(x) може да достигне най-малката (y най-малкото) или най-голямата (y най-високата) стойност или в критичните точки на функцията, разположени в интервала (a;b), или при краищата на сегмента.

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на непрекъсната функция y=f(x) върху отсечката:

1) Намерете f"(x).
2) Намерете точките, в които f"(x)=0 или f"(x) не съществува, и изберете от тях онези, които лежат вътре в сегмента.
3) Изчислете стойността на функцията y=f(x) в точките, получени в стъпка 2), както и в краищата на сегмента и изберете най-големия и най-малкия от тях: те съответно са най-големите (y най-голямата) и най-малката (y най-малката) стойности на функцията в интервала.

Пример 19. Намерете най-голямата стойност на непрекъснатата функция y=x 3 -3x 2 -45+225 върху отсечката.

1) Имаме y"=3x 2 -6x-45 върху отсечката
2) Производната y" съществува за всички x. Нека намерим точките, в които y"=0; получаваме:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
х 1 =-3; х 2 =5
3) Изчислете стойността на функцията в точки x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Отсечката съдържа само точката x=5. Най-голямата от намерените стойности на функцията е 225, а най-малката е числото 50. И така, y max = 225, y min = 50.

Изследване на функция върху изпъкналост

Фигурата показва графики на две функции. Първият от тях е изпъкнал нагоре, вторият е изпъкнал надолу.

Функцията y=f(x) е непрекъсната на сегмента и диференцируема в интервала (a;b), се нарича изпъкнала нагоре (надолу) на този сегмент, ако за axb нейната графика не лежи по-високо (не по-ниско) от допирателна, начертана във всяка точка M 0 (x 0 ;f(x 0)), където axb.

Теорема 4. Нека функцията y=f(x) има втора производна във всяка вътрешна точка x на отсечката и е непрекъсната в краищата на тази отсечка. Тогава, ако неравенството f""(x)0 е валидно за интервала (a;b), тогава функцията е изпъкнала надолу върху интервала ; ако неравенството f""(x)0 е в сила на интервала (a;b), тогава функцията е изпъкнала нагоре върху .

Теорема 5. Ако функцията y=f(x) има втора производна на интервала (a;b) и ако тя променя знака при преминаване през точката x 0, тогава M(x 0 ;f(x 0)) е инфлексна точка.

Правило за намиране на инфлексни точки:

1) Намерете точките, в които f""(x) не съществува или изчезва.
2) Разгледайте знака f""(x) отляво и отдясно на всяка точка, намерена в първата стъпка.
3) Въз основа на теорема 4 направете заключение.

Пример 20. Намерете точките на екстремум и точките на инфлексия на графиката на функцията y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Имаме f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Очевидно f"(x)=0, когато x 1 =0, x 2 =1. При преминаване през точката x=0 производната променя знака от минус на плюс, но при преминаване през точката x=1 не променя знака. Това означава, че x=0 е минималната точка (y min =12) и няма екстремум в точка x=1. След това намираме . Втората производна се нулира в точките x 1 =1, x 2 =1/3. Знаците на втората производна се променят както следва: На лъча (-∞;) имаме f""(x)>0, на интервала (;1) имаме f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Следователно x= е инфлексната точка на графиката на функцията (преход от изпъкналост надолу към изпъкналост нагоре), а x=1 също е инфлексната точка (преход от изпъкналост нагоре към изпъкналост надолу). Ако x=, тогава y=; ако, тогава x=1, y=13.

Алгоритъм за намиране на асимптота на графика

I. Ако y=f(x) като x → a, тогава x=a е вертикална асимптота.
II. Ако y=f(x) като x → ∞ или x → -∞, тогава y=A е хоризонтална асимптота.
III. За да намерим наклонената асимптота, използваме следния алгоритъм:
1) Изчислете. Ако границата съществува и е равна на b, тогава y=b е хоризонтална асимптота; ако , тогава преминете към втората стъпка.
2) Изчислете. Ако тази граница не съществува, тогава няма асимптота; ако съществува и е равно на k, тогава преминете към третата стъпка.
3) Изчислете. Ако тази граница не съществува, тогава няма асимптота; ако съществува и е равно на b, тогава преминете към четвъртата стъпка.
4) Запишете уравнението на наклонената асимптота y=kx+b.

Пример 21: Намерете асимптотата за функция

1)
2)
3)
4) Уравнението на наклонената асимптота има формата

Схема за изучаване на функция и построяване на нейната графика

I. Намерете областта на дефиниция на функцията.
II. Намерете пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.
III. Намерете асимптоти.
IV. Намерете възможни екстремни точки.
V. Намерете критични точки.
VI. Използвайки спомагателната фигура, изследвайте знака на първата и втората производни. Определете областите на нарастваща и намаляваща функция, намерете посоката на изпъкналост на графиката, точките на екстремуми и точките на инфлексия.
VII. Изградете графика, като вземете предвид изследванията, проведени в параграфи 1-6.

Пример 22: Построете графика на функцията съгласно горната диаграма

Решение.
I. Домейнът на функция е множеството от всички реални числа с изключение на x=1.
II. Тъй като уравнението x 2 +1=0 няма реални корени, графиката на функцията няма пресечни точки с оста Ox, но пресича оста Oy в точката (0;-1).
III. Нека изясним въпроса за съществуването на асимптоти. Нека изследваме поведението на функцията в близост до точката на прекъсване x=1. Тъй като y → ∞ при x → -∞, y → +∞ при x → 1+, тогава правата x=1 е вертикалната асимптота на графиката на функцията.
Ако x → +∞(x → -∞), тогава y → +∞(y → -∞); следователно графиката няма хоризонтална асимптота. Освен това от съществуването на граници

Решавайки уравнението x 2 -2x-1=0, получаваме две възможни точки на екстремум:
x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2

V. За да намерим критичните точки, изчисляваме втората производна:

Тъй като f""(x) не изчезва, няма критични точки.
VI. Нека разгледаме знака на първата и втората производни. Възможни точки на екстремум, които трябва да се вземат предвид: x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2, разделете областта на съществуване на функцията на интервали (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) и (1+√2;+∞).

Във всеки от тези интервали производната запазва знака си: в първия - плюс, във втория - минус, в третия - плюс. Последователността от знаци на първата производна ще бъде записана както следва: +,-,+.
Откриваме, че функцията нараства при (-∞;1-√2), намалява при (1-√2;1+√2) и отново нараства при (1+√2;+∞). Точки на екстремум: максимум при x=1-√2 и f(1-√2)=2-2√2 минимум при x=1+√2 и f(1+√2)=2+2√2. При (-∞;1) графиката е изпъкнала нагоре, а при (1;+∞) е изпъкнала надолу.
VII Да направим таблица на получените стойности

VIII Въз основа на получените данни изграждаме скица на графиката на функцията

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Проведете пълно проучване и начертайте графика на функцията

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Обхватът на функцията. Тъй като функцията е дроб, трябва да намерим нулите на знаменателя.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Изключваме единствената точка x=1x=1 от областта на дефиниране на функцията и получаваме:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Нека изследваме поведението на функцията в близост до точката на прекъсване. Нека намерим едностранни ограничения:

Тъй като границите са равни на безкрайност, точката x=1x=1 е прекъсване от втори род, правата x=1x=1 е вертикална асимптота.

3) Нека определим пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.

Да намерим пресечните точки с ординатната ос OyOy, за които приравняваме x=0x=0:

Така точката на пресичане с оста OyOy има координати (0;8)(0;8).

Да намерим точките на пресичане с абсцисната ос OxOx, за които задаваме y=0y=0:

Уравнението няма корени, така че няма пресечни точки с оста OxOx.

Обърнете внимание, че x2+8>0x2+8>0 за всяко xx. Следователно, за x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), функцията y>0y>0 (приема положителни стойности, графиката е над оста x), за x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) функция y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Функцията не е нито четна, нито нечетна, защото:

5) Нека разгледаме функцията за периодичност. Функцията не е периодична, тъй като е дробна рационална функция.

6) Нека разгледаме функцията за екстремуми и монотонност. За да направим това, намираме първата производна на функцията:

Нека приравним първата производна на нула и намерим стационарни точки (при които y′=0y′=0):

Имаме три критични точки: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Нека разделим цялата област на дефиниране на функцията на интервали с тези точки и да определим знаците на производната във всеки интервал:

За x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) производната y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

За x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) производната y′>0y′>0, функцията нараства на тези интервали.

В този случай x=−2x=−2 е локална минимална точка (функцията намалява и след това нараства), x=4x=4 е локална максимална точка (функцията нараства и след това намалява).

Нека намерим стойностите на функцията в тези точки:

Така минималната точка е (−2;4)(−2;4), максималната точка е (4;−8)(4;−8).

7) Нека разгледаме функцията за прегъвания и изпъкналост. Нека намерим втората производна на функцията:

Нека приравним втората производна на нула:

Полученото уравнение няма корени, така че няма инфлексни точки. Освен това, когато x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 е изпълнено, т.е. функцията е вдлъбната, когато x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) се удовлетворява от y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Нека разгледаме поведението на функцията в безкрайност, т.е.

Тъй като границите са безкрайни, няма хоризонтални асимптоти.

Нека се опитаме да определим наклонени асимптоти от формата y=kx+by=kx+b. Ние изчисляваме стойностите на k, bk, b, използвайки известни формули:

Открихме, че функцията има една наклонена асимптота y=−x−1y=−x−1.

9) Допълнителни точки. Нека изчислим стойността на функцията в някои други точки, за да построим по-точно графиката.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Въз основа на получените данни ще построим графика, ще я допълним с асимптоти x=1x=1 (синя), y=−x−1y=−x−1 (зелена) и ще отбележим характерните точки (лилаво пресичане с ординатата ос, оранжеви екстремуми, черни допълнителни точки):

Задача 4: Геометрични, Икономически задачи (нямам представа какви, ето приблизителна селекция от задачи с решения и формули)

Пример 3.23. а

Решение. хИ г г
y = a - 2×a/4 =a/2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За xa/4 S " > 0 и за x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.

Решение.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Пример 3.22.Намерете екстремума на функцията f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.Тъй като f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), тогава критичните точки на функцията x 1 = 2 и x 2 = 3. Екстремумите могат да бъдат само при тези точки. Тъй като при преминаване през точката x 1 = 2 производната променя знака си от плюс на минус, то в тази точка функцията има максимум. При преминаване през точката x 2 = 3 производната променя знака си от минус към плюс, следователно в точката x 2 = 3 функцията има минимум.Изчислявайки стойностите на функцията в точките
x 1 = 2 и x 2 = 3, намираме екстремумите на функцията: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) = 13.

Пример 3.23.В близост до каменната стена е необходимо да се изгради правоъгълна зона, така че да бъде оградена от три страни с телена мрежа, а четвъртата страна да е в непосредствена близост до стената. За това има алинейни метри мрежа. При какво съотношение на страните сайтът ще има най-голяма площ?

Решение.Нека означим страните на платформата с хИ г. Площта на сайта е S = xy. Позволявам г- това е дължината на страната, съседна на стената. Тогава по условие трябва да е спазено равенството 2x + y = a. Следователно y = a - 2x и S = ​​x(a - 2x), където
0 ≤ x ≤ a/2 (дължината и ширината на подложката не могат да бъдат отрицателни). S " = a - 4x, a - 4x = 0 при x = a/4, откъдето
y = a - 2×a/4 =a/2. Тъй като x = a/4 е единствената критична точка, нека проверим дали знакът на производната се променя при преминаване през тази точка. За xa/4 S " > 0 и за x > a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се изработи затворен цилиндричен резервоар с вместимост V=16p ≈ 50 m 3 . Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (радиус R и височина H), така че да се използва най-малко материал за производството му?

Решение.Общата повърхност на цилиндъра е S = 2pR(R+H). Знаем обема на цилиндъра V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Това означава S(R) = 2p(R 2 +16/R). Намираме производната на тази функция:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 за R 3 = 8, следователно,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Свързана информация.