Сума от серии

уебсайтви позволява да намерите онлайн сериал сумачислова последователност. В допълнение към намирането на сумата от поредица от онлайн числова последователност, сървърът е в на линияще намеря частична сума на серията. Това е полезно за аналитични изчисления, когато онлайн сериал суматрябва да бъде представено и намерено като решение на границата на последователността частични суми на серията. В сравнение с други сайтове, уебсайтима неоспоримо предимство, тъй като ви позволява да намерите онлайн сериал сумане само числено, но и функционален диапазон, което ще ни позволи да определим зоната на конвергенция на оригинала редизползвайки най-известните методи. Според теорията редове, необходимо условие за конвергенцията на числова редица е границата на общия член да е равна на нула числова сериятъй като променливата клони към безкрайност. Това условие обаче не е достатъчно, за да се определи сходимостта на редица от числа онлайн.. Да се ​​определи конвергенция на серии онлайноткрити са различни достатъчни признаци на конвергенция или дивергенция ред. Най-известните и често използвани от тях са знаците на Даламбер, Коши, Раабе, сравнение числова серия, както и интегралния знак за конвергенция числова серия. Особено място сред числова сериязаемат тези, в които знаците на термините стриктно се редуват, и абсолютните стойности числова сериянамалява монотонно. Оказва се, че за такива числова сериянеобходимият знак за конвергенция на серията онлайн е в същото време достатъчен, тоест равенството на границата на общия член на нула числова сериятъй като променливата клони към безкрайност. Има много различни сайтове, които предоставят сървърида изчисля онлайн серии суми, както и разширения на функции в редонлайн в някакъв момент от домейна на дефиниране на тази функция. Ако разширим функцията в сериал онлайнне е особено трудно на тези сървъри, тогава изчисляването сбор от функционални серии онлайн, всеки член на който, за разлика от числения ред, не е число, а функция, изглежда почти невъзможно поради липсата на необходимите технически средства. За www.сайтняма такъв проблем.

Отговор: серията се разминава.

Пример №3

Намерете сумата от серията $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$.

Тъй като долната граница на сумирането е 1, общият член на реда се записва под знака за сума: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. Нека направим n-тата частична сума от редицата, т.е. Нека сумираме първите $n$ членове на дадена редица от числа:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

Защо пиша точно $\frac(2)(3\cdot 5)$, а не $\frac(2)(15)$, ще стане ясно от по-нататъшния разказ. Записването на частична сума обаче не ни доближи и на йота до целта ни. Трябва да намерим $\lim_(n\to\infty)S_n$, но ако просто напишем:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

тогава този запис, напълно правилен по форма, няма да ни даде нищо по същество. За да се намери границата, трябва първо да се опрости изразът за частичната сума.

За това има стандартна трансформация, която се състои в разлагане на дробта $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$, която представлява общия член на редицата, на елементарни дроби. Отделна тема е посветена на въпроса за разлагането на рационални дроби на елементарни (вижте например пример № 3 на тази страница). Развивайки дробта $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ на елементарни дроби, ще имаме:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

Приравняваме числителите на дробите от лявата и дясната страна на полученото равенство:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

Има два начина да намерите стойностите на $A$ и $B$. Можете да отворите скобите и да пренаредите термините или можете просто да замените някои подходящи стойности вместо $n$. Само за разнообразие, в този пример ще отидем по първия начин, а в следващия ще заменим частни стойности $n$. Отваряйки скобите и пренареждайки термините, получаваме:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

От лявата страна на равенството $n$ се ​​предхожда от нула. Ако желаете, за по-голяма яснота, лявата страна на равенството може да бъде представена като $0\cdot n+ 2$. Тъй като от лявата страна на равенството $n$ се ​​предхожда от нула, а от дясната страна на равенството $n$ се ​​предхожда от $2A+2B$, имаме първото уравнение: $2A+2B=0$. Нека веднага разделим двете страни на това уравнение на 2, след което получаваме $A+B=0$.

Тъй като от лявата страна на равенството свободният член е равен на 2, а от дясната страна на равенството свободният член е равен на $3A+B$, тогава $3A+B=2$. И така, имаме система:

$$ \left\(\begin(aligned) & A+B=0;\\ & 3A+B=2. \end(aligned)\right. $$

Ще проведем доказателството с помощта на метода на математическата индукция. На първата стъпка трябва да проверите дали доказваното равенство е вярно $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ за $n=1$. Знаем, че $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, но дали изразът $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ ще даде стойността $\frac( 2 )(15)$, ако заместим $n=1$ в него? Да проверим:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

И така, за $n=1$ равенството $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ е изпълнено. Това завършва първата стъпка от метода на математическата индукция.

Да приемем, че за $n=k$ равенството е изпълнено, т.е. $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. Нека докажем, че същото равенство ще бъде изпълнено за $n=k+1$. За да направите това, разгледайте $S_(k+1)$:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

Тъй като $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, тогава $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. Съгласно предположението, направено по-горе $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, следователно формулата $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ ще приеме формата:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

Заключение: формулата $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ е правилна за $n=k+1$. Следователно, според метода на математическата индукция, формулата $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ е вярна за всяко $n\in N$. Равенството е доказано.

В стандартен курс по висша математика те обикновено се задоволяват с „задраскване“ на анулиращи термини, без да изискват никакви доказателства. И така, получихме израза за n-тата частична сума: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Нека намерим стойността на $\lim_(n\to\infty)S_n$:

Заключение: дадената редица се събира и нейната сума е $S=\frac(1)(3)$.

Вторият начин за опростяване на формулата за частична сума.

Честно казано, аз самият предпочитам този метод :) Нека запишем частичната сума в съкратен вариант:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

По-рано получихме, че $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, следователно:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\надясно). $$

Сумата $S_n$ съдържа краен брой членове, така че можем да ги пренаредим както желаем. Искам първо да добавя всички членове от формата $\frac(1)(2k+1)$ и едва след това да премина към членове от формата $\frac(1)(2k+3)$. Това означава, че ще представим частичната сума, както следва:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1) )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

Разбира се, разширената нотация е изключително неудобна, така че горното равенство може да бъде написано по-компактно:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

Сега нека трансформираме изразите $\frac(1)(2k+1)$ и $\frac(1)(2k+3)$ в една форма. Мисля, че е удобно да се намали до формата на по-голяма фракция (въпреки че е възможно да се използва и по-малка, това е въпрос на вкус). Тъй като $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (колкото по-голям е знаменателят, толкова по-малка е дробта), ще дадем дробта $\frac(1)(2k+ 3) $ във формата $\frac(1)(2k+1)$.

Ще представя израза в знаменателя на дробта $\frac(1)(2k+3)$, както следва:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

И сумата $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ вече може да бъде записана по следния начин:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\сума\граници_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

Ако равенството $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1) $ не повдига никакви въпроси, тогава нека да продължим. Ако имате въпроси, моля, разширете бележката.

Как получихме преобразуваната сума? Покажи скрий

Имахме серия $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( k+1)+1)$. Нека въведем нова променлива вместо $k+1$ - например $t$. Така че $t=k+1$.

Как се промени старата променлива $k$? И се промени от 1 на $n$. Нека разберем как ще се промени новата променлива $t$. Ако $k=1$, тогава $t=1+1=2$. Ако $k=n$, тогава $t=n+1$. И така, изразът $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ сега става: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1 )(2t+1). $$

Имаме сумата $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$. Въпрос: има ли значение коя буква се използва в тази сума? :) Като просто напишем буквата $k$ вместо $t$, получаваме следното:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

Ето как получаваме равенството $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

Така частичната сума може да бъде представена по следния начин:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

Обърнете внимание, че сумите $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ и $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1 )(2k+1)$ се различават само в границите на сумиране. Нека направим тези ограничения еднакви. „Отнемайки“ първия елемент от сумата $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ ще имаме:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

„Отнемайки“ последния елемент от сумата $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$, получаваме:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

Тогава изразът за частичната сума ще приеме формата:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Ако пропуснете всички обяснения, тогава процесът на намиране на съкратена формула за n-тата частична сума ще приеме следната форма:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1) )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

Нека ви напомня, че намалихме дробта $\frac(1)(2k+3)$ до формата $\frac(1)(2k+1)$. Разбира се, можете да направите обратното, т.е. представи дробта $\frac(1)(2k+1)$ като $\frac(1)(2k+3)$. Крайният израз за частичната сума няма да се промени. В този случай ще скрия процеса на намиране на частичната сума под бележка.

Как да намеря $S_n$, ако се преобразува в друга дроб? Покажи скрий

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k= 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3) ). $$

И така, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. Намерете границата $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

Даденият ред се събира и неговата сума $S=\frac(1)(3)$.

Отговор: $S=\frac(1)(3)$.

Продължаването на темата за намиране на сумата от редица ще бъде обсъдено във втората и третата част.

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ

Държавно учебно заведение

висше професионално образование

"МАТИ" - РУСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНОЛОГИЧЕН УНИВЕРСИТЕТ НА ИМЕТО К.Е. ЦИОЛКОВСКИ

Катедра „Системно моделиране и информационни технологии”

Цифрови серии

Насоки за практически упражнения

по дисциплина "Висша математика"

Съставен от: Егорова Ю.Б.

Мамонов И.М.

Корниенко Л.И.

Москва 2005 въведение

Насоките са предназначени за редовни и вечерни студенти от факултет № 14, специалности 071000, 130200, 220200.

1. Основни понятия

Позволявам u 1 , u 2 , u 3 , …, u н, … е безкрайна редица от числа. Изразяване
Наречен безкрайна редица от числа, числа u 1 , u 2 , u 3 , …, u н- членове на поредицата;
се нарича общ член на серията. Поредицата често се записва в съкратена (свита) форма:

Сборът на първия нчленовете на числова серия се означават с и се обади н та частична сума от серията:

Сериалът се нарича конвергентенако то н-i частична сума с неограничено увеличение нклони към крайната граница, т.е. Ако
Номер Наречен сума на серията.

Ако н-та частична сума от серията at
не клони към крайна граница, тогава серията се нарича разнопосочни.

Пример 1.Намерете сбора на редицата
.

Решение.Ние имаме
. защото:

,

следователно

защото
, тогава редът се събира и сборът му е равен на
.

2. Основни теореми за числови редове

Теорема 1.Ако серията се сближава
тогава серията се събира получени от дадена серия чрез изхвърляне на първата
членове (този последен ред се нарича
-ти остатък от оригиналната серия). И обратното, от конвергенцията
Остатъкът от редицата предполага сходимост на тази редица.

Теорема 2.Ако серията се сближава
и неговата сума е числото , тогава серията се събира
и сумата на последния ред е равна на
.

Теорема 3.Ако сериите се събират

имайки съответно сумите S и Q, тогава серията се сближава и сумата на последната серия е равна на
.

Теорема 4 (Необходим знак за сходимост на редовете). Ако редът
тогава се сближава
, т.е. при
границата на общия член на конвергентен ред е нула.

Следствие 1.Ако
, тогава серията се разминава.

Следствие 2.Ако
, тогава е невъзможно да се определи конвергенцията или дивергенцията на редица, като се използва необходимият критерий за конвергенция. Една серия може да бъде или конвергентна, или дивергентна.

Пример 2.Изследвайте конвергенцията на серията:

Решение.Намиране на общия член на реда
. защото:

тези.
, тогава редът се разминава (не е изпълнено необходимото условие за сходимост).

3. Признаци за сходимост на редове с положителни членове

3.1. Знаци за сравнение

Критериите за сравнение се основават на сравняване на конвергенцията на дадена серия с серия, чиято конвергенция или дивергенция е известна. Изброените по-долу серии се използват за сравнение.

Редете
съставен от членове на произволна намаляваща геометрична прогресия, е конвергентен и има сумата

Редете
съставен от членове на нарастваща геометрична прогресия, е различен.

Редете
е различно.

Редете
наречена серия на Дирихле. За >1 редът на Дирихле се събира, за <1- расходится.

Когато =1 ред
наречени хармонични. Хармоничната серия се разминава.

Теорема. Първият знак за сравнение.Нека са дадени две серии с положителни членове:

(2)

Освен това, всеки член на серия (1) не надвишава съответния член на серия (2), т.е.
(н= 1, 2, 3, …). Тогава, ако серия (2) се сближава, тогава серия (1) също се сближава; ако серия (1) се разминава, тогава серия (2) също се разминава.

Коментирайте.Този критерий остава валиден, ако неравенството
не работи за всички , но започвайки само от определено число н= н, т.е. за всички н н.

Пример 3.Изследвайте сходимостта на редицата

Решение.Членовете на дадена серия са по-малко от съответните членове на серията
съставен от членове на безкрайно намаляваща геометрична прогресия. Тъй като този ред се събира, дадения ред също се събира.

Теорема. Вторият знак за сравнение (ограничителната форма на знака за сравнение).Ако има крайна и ненулева граница
, след това и двата реда И се сближават или разминават едновременно.

Пример 4.Изследвайте сходимостта на редицата

Решение.Нека сравним реда с хармоничния ред
Нека намерим границата на съотношението на общите членове на серията:

Тъй като хармоничната редица се разминава, дадената серия също се разминава.

и т.н. – най-минималните знания за числова серия. Необходимо е да разберете какво е серия, да можете да я опишете подробно и да не разширявате очи след фразите „серията се сближава“, „серията се разминава“, „сумата на серията“. Ето защо, ако настроението ви е напълно на нула, моля, отделете 5-10 минути за тази статия Редове за манекени(буквално първите 2-3 страници), а след това се върнете тук и спокойно започнете да решавате примери!

Трябва да се отбележи, че в повечето случаи намирането на сумата на редица не е лесно и този проблем обикновено се решава чрез функционална серия (ще живеем, ще живеем :)). Така, например, сумата на популярен изпълнител изход чрез Редица на Фурие. В тази връзка на практика почти винаги се налага инсталиране самият факт на конвергенцията, но не и да намерите конкретен номер (много, мисля, вече са забелязали това). Въпреки това, сред голямото разнообразие от числови серии, има няколко представители, които позволяват дори пълен чайник да се докосне до светая светих без никакви проблеми. И във встъпителния урок дадох пример за безкрайно намаляваща геометрична прогресия , чийто размер лесно се изчислява по добре познатата училищна формула.

В тази статия ще продължим да разглеждаме подобни примери, освен това ще научим стриктната дефиниция на сума и по пътя ще се запознаем с някои свойства на сериите. Нека загреем... и нека загреем направо върху прогресиите:

Пример 1

Намерете сбора на редицата

Решение: Нека си представим нашата серия като сбор от две серии:

Защо в товаВъзможно ли е да се направи това? Извършените действия се основават на две прости изявления:

1) Ако редовете се събират , тогава редовете, съставени от сумите или разликите на съответните членове, също ще се сближат: . В случая е важен фактът, за който говорим сближаванередове. В нашия пример ние знаем предварително, че и двете геометрични прогресии ще се сближат, което означава, без никакво съмнение, че разлагаме оригиналната серия на два реда.

2) Второто свойство е още по-очевидно. Константата може да бъде преместена извън серията: , и това няма да повлияе на неговата конвергенция или дивергенция и крайната сума. Защо да извеждаме константата? Да, само за да „не пречи“. Но понякога е полезно да не правите това

Чистият пример изглежда така:

Използваме формулата два пъти, за да намерим сумата на безкрайно намаляваща геометрична прогресия: , където е първият член на прогресията, а е основата на прогресията.

Отговор: сбор от серии

Началото на решението може да бъде проектирано в малко по-различен стил - напишете серията директно и пренаредете нейните членове:

По-нататък по утъпкания път.

Пример 2

Намерете сбора на редицата

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Тук няма специални изкушения, но един ден попаднах на необичайна серия, която може да изненада неопитен човек. Това... също е безкрайно намаляваща геометрична прогресия! Всъщност сумата се изчислява само за няколко момента: .

А сега един животворен полъх на математически анализ, необходим за решаване на по-нататъшни проблеми:

Каква е сумата на серия?

Строгата дефиниция на конвергенция/дивергенция и сбор на редица в теорията се дава чрез т.нар. частични сумиред. Частично означава непълно. Нека запишем частичните суми на редица от числа :

И частичният сбор на членовете "en" на поредицата играе специална роля:

Ако границата на частичните суми на редица от числа е равна на финалномер: , тогава такава серия се нарича конвергентен, а самото число е сума на серията. Ако границата е безкрайна или не съществува, тогава серията се извиква разнопосочни.

Да се ​​върнем към демонстрационния ред и запишете неговите частични суми:

Границата на частичните суми е точно безкрайно намаляваща геометрична прогресия, чиято сума е равна на: . Разгледахме подобна граница в урока относно числовите последователности. Всъщност самата формула е пряко следствие от горните теоретични изчисления (виж 2-ри том на Матан).

Така се рисува общ алгоритъм за решаване на нашия проблем: необходимо е да се състави n-тата частична сума от серията и да се намери границата. Нека да видим как това се прави на практика:

Пример 3

Изчислете сбора на серия

Решение: в първата стъпка трябва да разложите общ термин на поредицатакъм сбора на дробите. Ние използваме метод на несигурни коефициенти:

Като резултат:

ВеднагаПолезно е да направите обратното, като по този начин проверите:

Общият член на серията беше получен в оригиналния си вид, следователно разлагането на сбор от дроби беше извършено успешно.

Сега нека направим частичен сбор от серията. По принцип това се прави устно, но веднъж ще опиша възможно най-подробно от какво се получи:

Как се пише е напълно ясно, но на какво е равен предишният член? В общия термин на поредицата ВМЕСТОЗаменяме „en“:

Почти всички членове на частичната сума успешно се компенсират взаимно:


Ние правим точно такива бележки с молив в тетрадка. Адски удобно.

Остава да се изчисли елементарната граница и да се намери сумата от серията:

Отговор:

Подобна серия за независимо решение:

Пример 4

Изчислете сбора на серия

Примерен пример за крайно решение в края на урока.

Очевидно намирането на сумата на редица само по себе си е доказателство за нейната конвергенция (в допълнение към знаци за сравнение, Д'Аламбер, Кошии т.н.), което по-специално се подсказва от формулировката на следната задача:

Пример 5

Намерете сумата на редица или установете нейната дивергенция

По външния вид на общ член можете веднага да разберете как се държи този другар. Без комплекси. Като се използва ограничителен критерий за сравнениеЛесно е да разберете (дори устно), че тази серия ще се сближи с поредицата. Но имаме рядък случай, когато сумата също се изчислява без много караница.

Решение: Нека разширим знаменателя на дробта в произведение. За да направите това, трябва да решите квадратно уравнение:

По този начин:

По-добре е да подредите факторите във възходящ ред: .

Нека направим междинна проверка:

Добре

Така общият термин на серията е:

По този начин:

Нека не бъдем мързеливи:

Което трябваше да се провери.

Нека запишем частичната сума "en" на членовете на серията, като същевременно обърнем внимание на факта, че "броячът" на серията "започва да работи" от числото . Както в предишните примери, по-безопасно е да разтегнете кобрата до прилична дължина:

Но ако го запишем в един или два реда, пак ще бъде доста трудно да се ориентираме в термините (във всеки термин има по 3). И тук на помощ ще ни дойде... геометрията. Нека накараме змията да танцува на нашата мелодия:

Да, точно така записваме един термин под друг в тетрадката и ги задраскваме точно така. Между другото, мое собствено изобретение. Както разбирате, не е най-лесната задача в този живот =)

В резултат на стрипинга получаваме:

И накрая сумата от серията:

Отговор:

Пример 8

Изчислете сбора на серия

Това е пример, който можете да решите сами.

Разглежданият проблем, разбира се, не ни радва с разнообразието си - на практика срещаме или безкрайно намаляваща геометрична прогресия, или серия с дробен рационален общ член и разложим полином в знаменателя (между другото, не всеки такъв полином дава възможност да се намери сумата на серията). Но въпреки това понякога се срещат необичайни екземпляри и според установената добра традиция завършвам урока с някакъв интересен проблем.

Числовата поредица е поредица, която се разглежда заедно с друга поредица (нарича се още поредица от частични суми). Подобни концепции се използват в математическия и комплексния анализ.

Сумата на числова серия може лесно да се изчисли в Excel с помощта на функцията SERIES.SUM. Нека да разгледаме пример как работи тази функция и след това да изградим графика на функциите. Нека научим как да използваме числовите серии на практика при изчисляване на растежа на капитала. Но първо, малко теория.

Сума от числови серии

Числовият ред може да се разглежда като система от приближения на числата. За да го обозначите, използвайте формулата:

Ето началната последователност от числа в серията и правилото за сумиране:

• ∑ - математически знак на сумата;
• a i - общ аргумент;
• i е променлива, правило за промяна на всеки следващ аргумент;
• ∞ е знакът за безкрайност, „граница“, до която се извършва сумирането.

Нотацията означава: естествените числа от 1 до „плюс безкрайност“ се сумират. Тъй като i = 1, изчисляването на сумата започва от единица. Ако тук имаше друго число (например 2, 3), тогава щяхме да започнем сумирането от него (от 2, 3).

В съответствие с променливата i, серията може да бъде написана разширена:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (до „плюс безкрайност“).

Дефиницията на сумата от числова серия се дава чрез „частични суми“. В математиката те се означават със Sn. Нека напишем нашата редица от числа под формата на частични суми:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Сборът на числова серия е границата на частичните суми S n . Ако границата е крайна, говорим за „конвергентна” серия. Безкрайно - за „различно“.

Първо, нека намерим сумата на редицата от числа:

Сега нека изградим таблица със стойности на членовете на серията в Excel:

Вземаме общия първи аргумент от формулата: i=3.

Ние намираме всички следните стойности на i, използвайки формулата: =B4+$B$1. Поставете курсора в долния десен ъгъл на клетка B5 и умножете формулата.

Нека намерим стойностите. Направете клетка C4 активна и въведете формулата: =SUM(2*B4+1). Копирайте клетка C4 в посочения диапазон.

Стойността на сумата от аргументи се получава с помощта на функцията: =SUM(C4:C11). Комбинация от бързи клавиши ALT+“+” (плюс на клавиатурата).

Функция ROW.SUM в Excel

За да намерите сумата на числова серия в Excel, използвайте математическата функция SERIES.SUM. Програмата използва следната формула:

Аргументи на функцията:

• x – променлива стойност;
• n – степен за първия аргумент;
• m е стъпката, с която се повишава степента за всеки следващ член;
• a са коефициентите за съответните степени на x.

Важни условия за работа на функцията:

• всички аргументи са задължителни (т.е. всички трябва да бъдат попълнени);
• всички аргументи са ЧИСЛОВИ стойности;
• векторът на коефициентите има фиксирана дължина (границата на „безкрайност“ няма да работи);
• брой „коефициенти“ = брой аргументи.

Изчисляване на сумата на серия в Excel

Същата функция SERIES.SUM работи със степенни серии (един от вариантите на функционални серии). За разлика от числовите, техните аргументи са функции.

Функционалните серии често се използват във финансовата и икономическата сфера. Може да се каже, че това е тяхната област на приложение.

Например, те са депозирали определена сума пари (a) в банката за определен период (n). Имаме годишно плащане от x процента. За изчисляване на натрупаната сума в края на първия период се използва формулата:

S 1 = a (1 + x).

В края на втория и следващите периоди формата на изразите е следната:

S 2 = a (1 + x) 2 ; S 3 = a (1 + x) 2 и т.н.

За да намерите общата сума:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Частични суми в Excel могат да бъдат намерени с помощта на функцията BS().

Първоначални параметри на тренировъчната задача:

Използвайки стандартна математическа функция, намираме натрупаната сума в края на срока. За да направим това, в клетка D2 използваме формулата: =B2*DEGREE(1+B3;4)

Сега в клетка D3 ще решим същия проблем с помощта на вградената функция на Excel: =BS(B3;B1;;-B2)

Резултатите са същите, както и трябва да бъде.

Как да попълните аргументите на функцията BS():

1. „Процент“ е лихвеният процент, при който се прави депозитът. Тъй като процентният формат е зададен в клетка B3, ние просто посочихме връзка към тази клетка в полето за аргумент. Ако беше посочено число, то ще бъде записано като стотна от него (20/100).
2. „Nper“ е броят на периодите за лихвени плащания. В нашия пример – 4 години.
3. "Plt" - периодични плащания. В нашия случай такива няма. Следователно не попълваме полето за аргумент.
4. “Ps” - “настояща стойност”, сумата на депозита. Тъй като се разделяме с тези пари за известно време, посочваме параметъра със знак „-“.

Така функцията BS ни помогна да намерим сумата от функционалната серия.

Excel има и други вградени функции за намиране на различни параметри. Обикновено това са функции за работа с инвестиционни проекти, ценни книжа и амортизационни плащания.

График на функции на сумата от числова редица

Нека изградим функционална графика, отразяваща растежа на капитала. За да направим това, трябва да построим графика на функция, която е сумата от построената серия. Като пример, нека вземем същите данни за депозита:

Първият ред показва натрупаната сума след една година. Във втория - на две. И така нататък.

Нека създадем друга колона, в която ще отразяваме печалбата:

Както мислехме - в лентата с формули.

Въз основа на получените данни ще изградим графика на функциите.

Нека изберем 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Отидете в раздела „Вмъкване“ - инструмента „Диаграми“. Изберете първата диаграма:

Нека направим проблема още по-„приложен“. В примера използвахме сложна лихва. Те се начисляват върху сумата, начислена през предходен период.

Нека вземем проста лихва за сравнение. Проста формула за лихва в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Нека добавим получените стойности към диаграмата „Капиталов растеж“.

Очевидно е какви изводи ще направи инвеститорът.

Математическа формула за частичната сума на функционален ред (с проста лихва): S n = a (1 + x*n), където a е първоначалната сума на депозита, x е лихвата, n е периодът.