Systém je homogénny. Homogénne sústavy lineárnych rovníc

Lineárny systém je tzv homogénne , ak sa všetky jeho voľné termíny rovnajú 0.

V maticovej forme sa zapíše homogénny systém:
.

Homogénny systém (2) je vždy konzistentný . Samozrejme, množina čísel
,
, …,
spĺňa každú rovnicu systému. Riešenie
volal nula alebo triviálne rozhodnutie. Homogénny systém má teda vždy nulové riešenie.

Za akých podmienok bude mať homogénna sústava (2) nenulové (netriviálne) riešenia?

Veta 1.3 Homogénny systém (2) má nenulové riešenia vtedy a len vtedy, ak hodnosť r jeho hlavná matrica menej neznámych n .

Systém (2) – neistý
.

Dôsledok 1. Ak počet rovníc m homogénny systém má menej premenných
, potom je systém neistý a má veľa nenulových riešení.

Dôsledok 2. Štvorcový homogénny systém
má nenulové riešenia, ak a kedy hlavná matica tohto systému degenerovať, t.j. determinant
.

V opačnom prípade, ak je determinant
, štvorcový homogénny systém má jediná vec nulové riešenie
.

Nechajte hodnosť systému (2)
to znamená, že systém (2) má netriviálne riešenia.

Nechaj A - konkrétne riešenia tohto systému, t.j.
A
.

Vlastnosti roztokov homogénnej sústavy

Naozaj,.

Naozaj,.

Kombináciou vlastností 1) a 2) môžeme povedať, že ak

…,
- riešenia homogénnej sústavy (2), potom každá ich lineárna kombinácia je aj jej riešením. Tu
- ľubovoľné reálne čísla.

Môže byť najdený
lineárne nezávislé čiastkové riešenia homogénny systém (2), pomocou ktorého môžete získať akékoľvek iné konkrétne riešenie tohto systému, t.j. získať všeobecné riešenie systému (2).

Definícia 2.2 Totalita
lineárne nezávislé čiastkové riešenia

…,
sa nazýva homogénna sústava (2) taká, že každé riešenie sústavy (2) možno znázorniť ako ich lineárnu kombináciu základný systém riešení (FSR) homogénneho systému (2).

Nechaj

…,
je základný systém riešení, potom všeobecné riešenie homogénneho systému (2) môže byť reprezentované ako:

Kde

.

Komentujte. Ak chcete získať FSR, musíte nájsť súkromné ​​​​riešenia

…,
, pričom jednej voľnej premennej priradíme hodnotu „1“ a všetkým ostatným voľným premenným hodnotu „0“.

Dostaneme ,, …,- FSR.

Príklad. Nájdite všeobecné riešenie a základnú sústavu riešení homogénnej sústavy rovníc:

Riešenie. Zapíšme si rozšírenú maticu systému, keď sme predtým umiestnili poslednú rovnicu systému na prvé miesto, a priveďme ju do stupňovitého tvaru. Keďže pravé strany rovníc sa nemenia v dôsledku elementárnych transformácií, zostáva stĺpec nula

nesmie byť vypísané.

̴
̴
̴

Poradie systému kde
- počet premenných. Systém je neistý a má veľa riešení.

Základné moll pre premenné
nenulové:
vyberte si
ako základné premenné, ostatné
- voľné premenné (majú akékoľvek reálne hodnoty).

Posledná matica v reťazci zodpovedá postupnému systému rovníc:

(3)

Vyjadrime základné premenné
cez voľné premenné
(obrátená k Gaussovej metóde).

Z poslednej rovnice vyjadríme :
a dosaďte ho do prvej rovnice. Dostaneme to. Otvorme zátvorky, dajme podobné a vyjadrime sa :
.

Veriaci
,
,
, Kde
, píšme

- všeobecné riešenie systému.

Poďme nájsť základný systém riešení

,,.

Potom je možné všeobecné riešenie homogénneho systému zapísať ako:

Komentujte. FSR bolo možné nájsť iným spôsobom bez toho, aby sa najprv našlo všeobecné riešenie systému. Aby sa to dosiahlo, výsledný krokový systém (3) musel byť riešený trikrát, za predpokladu :
; Pre :
; Pre :
.

Homogénne sústavy lineárnych algebraických rovníc

V rámci vyučovacích hodín Gaussova metóda A Nekompatibilné systémy/systémy so spoločným riešením zvažovali sme nehomogénne sústavy lineárnych rovníc, Kde voľný člen(ktorý je zvyčajne vpravo) aspoň jeden z rovníc bola iná ako nula.
A teraz, po dobrej rozcvičke s maticová hodnosť, budeme pokračovať v leštení techniky elementárne transformácie na homogénna sústava lineárnych rovníc.
Na základe prvých odstavcov môže materiál pôsobiť nudne a priemerne, no tento dojem klame. Okrem ďalšieho vývoja techník pribudne aj množstvo nových informácií, preto sa prosím snažte nezanedbávať príklady v tomto článku.

Čo je homogénna sústava lineárnych rovníc?

Odpoveď sa ponúka sama. Sústava lineárnych rovníc je homogénna, ak je voľný člen každý rovnica systému je nulová. Napríklad:

To je úplne jasné homogénny systém je vždy konzistentný, teda vždy má riešenie. A v prvom rade, čo vás upúta, je tzv triviálne Riešenie . Triviálne, pre tých, ktorí vôbec nechápu význam prídavného mena, znamená bez predvádzania sa. Nie akademicky, samozrejme, ale zrozumiteľne =) ...Načo sa motať okolo, poďme zistiť, či má tento systém aj iné riešenia:

Príklad 1

Riešenie: na riešenie homogénnej sústavy je potrebné napísať systémová matica a pomocou elementárnych transformácií ho priviesť do stupňovitej podoby. Upozorňujeme, že tu nie je potrebné zapisovať zvislý pruh a nulový stĺpec voľných výrazov - koniec koncov, bez ohľadu na to, čo robíte s nulami, zostanú nulami:

(1) Prvý riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Prvý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –3.

(2) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený –1.

Deliť tretí riadok 3 nedáva veľký zmysel.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získa ekvivalentný homogénny systém a pomocou inverznej metódy Gaussovej metódy je ľahké overiť, či je riešenie jedinečné.

Odpoveď:

Sformulujme jasné kritérium: homogénna sústava lineárnych rovníc má len triviálne riešenie, Ak systémová matica hodnosť(v tomto prípade 3) sa rovná počtu premenných (v tomto prípade – 3 kusy).

Poďme sa zohriať a naladiť naše rádio na vlnu elementárnych premien:

Príklad 2

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Z článku Ako zistiť hodnosť matice? Pripomeňme si racionálnu techniku ​​súčasného znižovania maticových čísel. V opačnom prípade budete musieť rezať veľké a často hryzavé ryby. Približný príklad úlohy na konci hodiny.

Nuly sú dobré a pohodlné, ale v praxi je oveľa bežnejší prípad, keď sú riadky matice systému lineárne závislé. A potom je nevyhnutný vznik všeobecného riešenia:

Príklad 3

Vyriešte homogénnu sústavu lineárnych rovníc

Riešenie: zapíšeme si maticu sústavy a pomocou elementárnych transformácií ju uvedieme do stupňovitého tvaru. Prvá akcia je zameraná nielen na získanie jednej hodnoty, ale aj na zníženie čísel v prvom stĺpci:

(1) K prvému riadku bol pridaný tretí riadok vynásobený –1. Tretí riadok bol pridaný k druhému riadku, vynásobený –2. Vľavo hore som dostal jednotku s „mínusom“, čo je často oveľa pohodlnejšie pre ďalšie transformácie.

(2) Prvé dva riadky sú rovnaké, jeden z nich bol vypustený. Úprimne povedané, netlačil som na riešenie - ukázalo sa to tak. Ak vykonávate transformácie spôsobom podľa šablóny, potom lineárna závislosť linky by boli odhalené o niečo neskôr.

(3) Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 3.

(4) Znamienko prvého riadku bolo zmenené.

V dôsledku elementárnych transformácií sa získal ekvivalentný systém:

Algoritmus funguje presne rovnako ako pre heterogénne systémy. Premenné „sedí na schodoch“ sú hlavné, premenná, ktorá nedostala „krok“ je voľná.

Vyjadrime základné premenné prostredníctvom voľnej premennej:

Odpoveď: spoločné rozhodnutie:

Triviálne riešenie je zahrnuté vo všeobecnom vzorci a nie je potrebné ho zapisovať samostatne.

Kontrola sa tiež vykonáva podľa obvyklej schémy: výsledné všeobecné riešenie sa musí dosadiť na ľavú stranu každej rovnice systému a pre všetky substitúcie sa musí získať zákonná nula.

Dalo by sa to dokončiť potichu a pokojne, ale riešenie homogénneho systému rovníc je často potrebné znázorniť vo vektorovej forme používaním základný systém riešení. Prosím, nateraz na to zabudnite analytická geometria, keďže teraz budeme hovoriť o vektoroch vo všeobecnom algebraickom zmysle, čo som trochu otvoril v článku o maticová hodnosť. Nie je potrebné obchádzať terminológiu, všetko je celkom jednoduché.

Sústavy lineárnych homogénnych rovníc- má tvar ∑a k i x i = 0. kde m > n alebo m Homogénna sústava lineárnych rovníc je vždy konzistentná, keďže rangA = rangB. Očividne má riešenie pozostávajúce z núl, ktoré je tzv triviálne.

Účel služby. Online kalkulačka je navrhnutá tak, aby našla netriviálne a zásadné riešenie SLAE. Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word (pozri príklad riešenia).

Inštrukcie. Vyberte rozmer matrice:

Vlastnosti sústav lineárnych homogénnych rovníc

Aby systém mal netriviálne riešenia, je potrebné a postačujúce, aby hodnosť jeho matice bola menšia ako počet neznámych.

Veta. Systém v prípade m=n má netriviálne riešenie práve vtedy, ak je determinant tohto systému rovný nule.

Veta. Akákoľvek lineárna kombinácia riešení systému je tiež riešením tohto systému.
Definícia. Množina riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc sa nazýva základný systém riešení, ak táto množina pozostáva z lineárne nezávislých riešení a akékoľvek riešenie sústavy je lineárnou kombináciou týchto riešení.

Veta. Ak je poradie r systémovej matice menšie ako počet n neznámych, potom existuje základný systém riešení pozostávajúci z (n-r) riešení.

Algoritmus riešenia sústav lineárnych homogénnych rovníc

1. Nájdenie hodnosti matice.
2. Vyberáme základnú moll. Rozlišujeme závislé (základné) a voľné neznáme.
3. Prečiarkneme tie rovnice systému, ktorých koeficienty nie sú zahrnuté v základni minor, pretože sú dôsledkom ostatných (podľa vety o základni minor).
4. Členy rovníc obsahujúcich voľné neznáme presunieme na pravú stranu. Výsledkom je sústava r rovníc s r neznámymi, ekvivalentná danej, ktorej determinant je nenulový.
5. Výsledný systém riešime elimináciou neznámych. Nachádzame vzťahy vyjadrujúce závislé premenné prostredníctvom voľných.
6. Ak sa poradie matice nerovná počtu premenných, nájdeme základné riešenie systému.
7. V prípade rang = n máme triviálne riešenie.

Príklad. Nájdite základ sústavy vektorov (a 1, a 2,...,a m), zoraďte a vyjadrite vektory na základe bázy. Ak 1 = (0,0,1,-1) a 2 = (1,1,2,0) a 3 = (1,1,1,1) a 4 = (3,2,1 ,4) a 5 = (2,1,0,3).
Zapíšme si hlavnú maticu systému:

Vynásobte 3. riadok (-3). Pridajme 4. riadok k 3.:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

Vynásobte 4. riadok (-2). Vynásobme 5. riadok (3). Pridajme 5. riadok k 4.:
Pridajme 2. riadok k 1.:
Poďme nájsť hodnosť matice.
Systém s koeficientmi tejto matice je ekvivalentný pôvodnému systému a má tvar:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2 x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Pomocou metódy eliminácie neznámych nájdeme netriviálne riešenie:
Získali sme vzťahy vyjadrujúce závislé premenné x 1 , x 2 , x 3 cez voľné x 4 , čiže sme našli všeobecné riešenie:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

systém m lineárne rovnice c n nazývané neznáme lineárny homogénny systém rovnice, ak sa všetky voľné členy rovnajú nule. Takýto systém vyzerá takto:

Kde a ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - dané čísla; x i– neznámy.

Systém lineárnych homogénnych rovníc je vždy konzistentný, pretože r(A) = r(). Vždy má aspoň nulu ( triviálne) riešenie (0; 0; …; 0).

Uvažujme, za akých podmienok majú homogénne systémy nenulové riešenia.

Veta 1. Systém lineárnych homogénnych rovníc má nenulové riešenia práve vtedy, ak je poradie jeho hlavnej matice r menej neznámych n, t.j. r < n.

□ 1). Nech má sústava lineárnych homogénnych rovníc nenulové riešenie. Keďže poradie nemôže presiahnuť veľkosť matice, potom, samozrejme, r ≤ n. Nechaj r = n. Potom jedna z menších veľkostí n n odlišný od nuly. Preto má zodpovedajúci systém lineárnych rovníc jedinečné riešenie: ... To znamená, že neexistujú žiadne iné riešenia ako triviálne. Takže, ak existuje netriviálne riešenie, potom r < n.

2). Nechaj r < n. Potom je homogénny systém, ktorý je konzistentný, neistý. To znamená, že má nekonečné množstvo riešení, t.j. má nenulové riešenia. ■

Predstavte si homogénny systém n lineárne rovnice c n neznámy:

(2)

Veta 2. Homogénny systém n lineárne rovnice c n neznáma (2) má nenulové riešenia práve vtedy, ak sa jej determinant rovná nule: = 0.

□ Ak má sústava (2) nenulové riešenie, potom = 0. Pretože keď má sústava len jediné nulové riešenie. Ak = 0, potom poradie r hlavná matica systému je menšia ako počet neznámych, t.j. r < n. A teda systém má nekonečné množstvo riešení, t.j. má nenulové riešenia. ■

Označme riešenie sústavy (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n ako struna .

Riešenia sústavy lineárnych homogénnych rovníc majú tieto vlastnosti:

1. Ak je linka je riešením sústavy (1), potom je riadok riešením sústavy (1).

2. Ak linky a sú riešenia systému (1), potom pre ľubovoľné hodnoty s 1 a s 2 ich lineárna kombinácia je tiež riešením sústavy (1).

Platnosť týchto vlastností je možné overiť ich priamym dosadením do rovníc sústavy.

Z formulovaných vlastností vyplýva, že každá lineárna kombinácia riešení sústavy lineárnych homogénnych rovníc je riešením aj tejto sústavy.

Systém lineárne nezávislých riešení e 1 , e 2 , …, e r volal zásadný, ak každé riešenie sústavy (1) je lineárnou kombináciou týchto riešení e 1 , e 2 , …, e r.

Veta 3. Ak hodnosť r matice koeficientov pre premenné sústavy lineárnych homogénnych rovníc (1) sú menšie ako počet premenných n, potom každý základný systém riešení systému (1) pozostáva z n–r rozhodnutia.

Preto spoločné rozhodnutie sústava lineárnych homogénnych rovníc (1) má tvar:

Kde e 1 , e 2 , …, e r– akýkoľvek základný systém riešení systému (9), s 1 , s 2 , …, s p- ľubovoľné čísla, R = n–r.

Veta 4. Všeobecné riešenie systému m lineárne rovnice c n neznámych sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej sústavy lineárnych homogénnych rovníc (1) a ľubovoľného partikulárneho riešenia tejto sústavy (1).

Príklad. Vyriešte systém

Riešenie. Pre tento systém m = n= 3. Determinant

podľa vety 2 má systém iba triviálne riešenie: X = r = z = 0.

Príklad. 1) Nájdite všeobecné a konkrétne riešenia systému

2) Nájdite základný systém riešení.

Riešenie. 1) Pre tento systém m = n= 3. Determinant

podľa vety 2 má systém nenulové riešenia.

Pretože v systéme existuje iba jedna nezávislá rovnica

X + r – 4z = 0,

potom z nej vyjadríme X =4z- r. Kde získame nekonečný počet riešení: (4 z- r, r, z) – toto je všeobecné riešenie systému.

O z= 1, r= -1, dostaneme jedno konkrétne riešenie: (5, -1, 1). Umiestňovanie z= 3, r= 2, dostaneme druhé konkrétne riešenie: (10, 2, 3) atď.

2) Vo všeobecnom riešení (4 z- r, r, z) premenné r A z sú zadarmo a variabilné X- na nich závislý. Aby sme našli základný systém riešení, priraďme hodnoty voľným premenným: najprv r = 1, z= 0 teda r = 0, z= 1. Získame čiastkové riešenia (-1, 1, 0), (4, 0, 1), ktoré tvoria základnú sústavu riešení.

Ilustrácie:

Ryža. 1 Klasifikácia sústav lineárnych rovníc

Ryža. 2 Štúdium sústav lineárnych rovníc

Prezentácie:

· Metóda riešenia SLAE_matrix

· Riešenie metódy SLAE_Cramer

· Riešenie SLAE_Gaussova metóda

· Balíky na riešenie matematických úloh Mathematica, MathCad: hľadanie analytických a numerických riešení sústav lineárnych rovníc

Kontrolné otázky:

1. Definujte lineárnu rovnicu

2. Aký typ systému to vyzerá? m lineárne rovnice s n neznámy?

3. Čo sa nazýva riešenie sústav lineárnych rovníc?

4. Aké systémy sa nazývajú ekvivalentné?

5. Ktorý systém sa nazýva nekompatibilný?

6. Aký systém sa nazýva kĺbový?

7. Ktorý systém sa nazýva určitý?

8. Ktorý systém sa nazýva neurčitý

9. Vymenujte elementárne transformácie sústav lineárnych rovníc

10. Vymenujte elementárne transformácie matíc

11. Formulujte vetu o aplikácii elementárnych transformácií na sústavu lineárnych rovníc

12. Aké systémy je možné riešiť maticovou metódou?

13. Aké systémy je možné riešiť Cramerovou metódou?

14. Aké systémy možno riešiť Gaussovou metódou?

15. Uveďte 3 možné prípady, ktoré vznikajú pri riešení sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou

16. Opíšte maticovú metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

17. Opíšte Cramerovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

18. Opíšte Gaussovu metódu riešenia sústav lineárnych rovníc

19. Aké systémy možno riešiť pomocou inverznej matice?

20. Uveďte 3 možné prípady, ktoré vznikajú pri riešení sústav lineárnych rovníc Cramerovou metódou

Literatúra:

1. Vyššia matematika pre ekonómov: Učebnica pre vysoké školy / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M. N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 471 s.

2. Všeobecný kurz vyššej matematiky pre ekonómov: Učebnica. / Ed. IN AND. Ermakovej. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 s.

3. Zbierka úloh z vyššej matematiky pre ekonómov: Učebnica / Spracoval V.I. Ermakovej. M.: INFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Sprievodca riešením problémov v teórii pravdepodobnosti a magmatickej štatistike. - M.: Vyššia škola, 2005. – 400 s.

5. Gmurman. V.E Teória pravdepodobnosti a matematická štatistika. - M.: Vyššia škola, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Koževniková T.Ya. Vyššia matematika v cvičeniach a úlohách. Časť 1, 2. – M.: Onyx 21. storočie: Mier a vzdelanie, 2005. – 304 s. Časť 1; – 416 s. Časť 2.

7. Matematika v ekonómii: Učebnica: V 2 častiach / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Financie a štatistika, 2006.

8. Šipačov V.S. Vyššia matematika: Učebnica pre žiakov. univerzity - M.: Vyššia škola, 2007. - 479 s.

Súvisiace informácie.

Uvažujme homogénny systém m lineárnych rovníc s n premennými:

(15)

Systém homogénnych lineárnych rovníc je vždy konzistentný, pretože má vždy nulové (triviálne) riešenie (0,0,…,0).

Ak v sústave (15) m=n a , tak sústava má len nulové riešenie, čo vyplýva z Cramerovej vety a vzorcov.

Veta 1. Homogénny systém (15) má netriviálne riešenie práve vtedy, ak je poradie jeho matice menšie ako počet premenných, t.j. . r(A)< n.

Dôkaz. Existencia netriviálneho riešenia systému (15) je ekvivalentná lineárnej závislosti stĺpcov matice systému (t.j. existujú čísla x 1, x 2,...,x n, nie všetky sa rovnajú nule, takže platí rovnosť (15).

Podľa malej bázovej vety sú stĺpce matice lineárne závislé  vtedy, keď nie všetky stĺpce tejto matice sú bázické, t.j.  keď poradie r menšieho základu matice je menšie ako počet n jej stĺpcov. Atď.

Dôsledok. Štvorcový homogénny systém má netriviálne riešenia  keď |A|=0.

Veta 2. Ak sú stĺpce x (1), x (2),..., x (s) riešeniami homogénnej sústavy AX = 0, potom je riešením tejto sústavy aj akákoľvek ich lineárna kombinácia.

Dôkaz. Zvážte akúkoľvek kombináciu riešení:

Potom AX=A()===0. atď.

Dôsledok 1. Ak má homogénny systém netriviálne riešenie, potom má nekonečne veľa riešení.

To. je potrebné nájsť také riešenia x (1), x (2),..., x (s) sústavy Ax = 0, aby akékoľvek iné riešenie tejto sústavy bolo reprezentované vo forme ich lineárnej kombinácie a , navyše jedinečným spôsobom.

Definícia. Systém k=n-r (n je počet neznámych v sústave, r=rg A) lineárne nezávislých riešení x (1), x (2),…, x (k) sústavy Ах=0 sa nazýva základný systém riešení tento systém.

Veta 3. Nech je daný homogénny systém Ах=0 s n neznámymi a r=rg A. Potom existuje množina k=n-r riešení x (1), x (2),…, x (k) tohto systému, tvoriacich a základný systém riešení.

Dôkaz. Bez straty všeobecnosti môžeme predpokladať, že menší základ matice A sa nachádza v ľavom hornom rohu. Potom, podľa vedľajšej bázovej vety, zostávajúce riadky matice A sú lineárne kombinácie základných riadkov. To znamená, že ak hodnoty x 1, x 2,…, x n spĺňajú prvé r rovnice, t.j. rovnice zodpovedajúce radom základu moll), potom spĺňajú aj iné rovnice. V dôsledku toho sa množina riešení sústavy nezmení, ak zahodíme všetky rovnice začínajúce od (r+1)-tej. Dostaneme systém:

Presuňme voľné neznáme x r +1 , x r +2 ,…, x n na pravú stranu a základné x 1 , x 2 ,…, x r necháme vľavo:

(16)

Pretože v tomto prípade všetky b i =0, potom namiesto vzorcov

c j = (M j (b i)-c r +1 M j (ai, r +1)-…-c n M j (ain)) j=1,2,…,r ((13), dostaneme:

c j =-(c r +1 M j (ai, r +1)-…-c n M j (ain)) j=1,2,…,r (13)

Ak nastavíme voľné neznáme x r +1 , x r +2 ,…, x n na ľubovoľné hodnoty, potom vzhľadom na základné neznáme dostaneme štvorec SLAE s nesingulárnou maticou, pre ktorú existuje jedinečné riešenie. Akékoľvek riešenie homogénneho SLAE je teda jednoznačne určené hodnotami voľných neznámych x r +1, x r +2,…, x n. Zvážte nasledujúcu sériu hodnôt voľných neznámych k=n-r:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Číslo série je označené horným indexom v zátvorkách a rady hodnôt sú zapísané vo forme stĺpcov. V každej sérii =1, ak i=j a =0, ​​ak ij.

I-tý rad hodnôt voľných neznámych jednoznačne zodpovedá hodnotám ,,...,základných neznámych. Hodnoty voľných a základných neznámych spolu dávajú riešenia systému (17).

Ukážme, že stĺpce e i =,i=1,2,…,k (18)

tvoria základný systém riešení.

Pretože Tieto stĺpce sú svojou konštrukciou riešenia homogénnej sústavy Ax=0 a ich počet sa rovná k, potom zostáva dokázať lineárnu nezávislosť riešení (16). Nech existuje lineárna kombinácia riešení e 1 , e 2 ,…, e k(x (1) , x (2) ,…, x (k)), rovná sa nulovému stĺpcu:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+  k e k ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Potom ľavá strana tejto rovnosti je stĺpec, ktorého zložky s číslami r+1,r+2,…,n sú rovné nule. Ale (r+1)tá zložka sa rovná  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Podobne (r+2)-tá zložka sa rovná  2,…, k-tá zložka sa rovná  k. Preto  1 =  2 = …= k =0, čo znamená lineárnu nezávislosť riešení e 1 , e 2 ,…, e k ( x (1), x (2),..., x (k)).

Zostrojený fundamentálny systém riešení (18) sa nazýva normálne. Na základe vzorca (13) má nasledujúci tvar:

(20)

Dôsledok 2. Nechaj e 1 , e 2 ,…, e k-normálna základná sústava riešení homogénnej sústavy, potom množinu všetkých riešení možno opísať vzorcom:

x=c 1 e 1 +s 2 e 2 +…+с k e k (21)

kde с 1,с 2,…,с k – nadobúdajú ľubovoľné hodnoty.

Dôkaz. Podľa vety 2 je stĺpec (19) riešením homogénnej sústavy Ax=0. Zostáva dokázať, že akékoľvek riešenie tohto systému môže byť znázornené vo forme (17). Zvážte stĺpec X=y r +1 e 1 +…+y n e k. Tento stĺpec sa zhoduje so stĺpcom y v prvkoch s číslami r+1,...,n a je riešením (16). Preto tie kolóny X A pri zhodovať, pretože riešenia sústavy (16) sú jednoznačne určené množinou hodnôt jej voľných neznámych x r +1 ,…,x n a stĺpcami pri A X tieto sady sú rovnaké. teda pri=X= yr +1 e 1 +…+y n e k, t.j. Riešenie pri je lineárna kombinácia stĺpcov e 1 ,…,y n normálnej FSR. Atď.

Overené tvrdenie platí nielen pre normálnu FSR, ale aj pre ľubovoľnú FSR homogénneho SLAE.

X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r - spoločné rozhodnutie sústavy lineárnych homogénnych rovníc

kde X 1, X 2,…, X n - r – akýkoľvek základný systém riešení,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r sú ľubovoľné čísla.

Príklad. (str. 78)

Vytvorte spojenie medzi riešeniami nehomogénneho SLAE (1) a zodpovedajúci homogénny SLAE (15)

Veta 4. Súčet akéhokoľvek riešenia nehomogénnej sústavy (1) a zodpovedajúcej homogénnej sústavy (15) je riešením sústavy (1).

Dôkaz. Ak c 1 ,…,c n je riešením sústavy (1) a d 1 ,…,d n je riešením sústavy (15), potom dosadenie neznámych čísel c do ľubovoľnej (napríklad i-tej) rovnice sústava (1) 1 +d 1 ,…,c n + d n , dostaneme:

B i +0 = b i h.t.d.

Veta 5. Rozdiel dvoch ľubovoľných riešení nehomogénnej sústavy (1) je riešením homogénnej sústavy (15).

Dôkaz. Ak c 1 ,…,cn a c 1 ,…,c n sú riešenia sústavy (1), potom dosadenie neznámych čísel c do ľubovoľnej (napríklad i-tej) rovnice sústavy (1 ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , dostaneme:

B i - b i = 0 p.t.d.

Z overených teorém vyplýva, že všeobecné riešenie sústavy m lineárnych homogénnych rovníc s n premennými sa rovná súčtu všeobecného riešenia zodpovedajúcej sústavy homogénnych lineárnych rovníc (15) a ľubovoľného počtu partikulárneho riešenia tento systém (15).

X neod. =X Celkom jeden +X časté viac než raz (22)

Ako konkrétne riešenie nehomogénneho systému je prirodzené brať riešenie, ktoré sa získa, ak vo vzorcoch c j = (M j (b i)-c r +1 M j (ai, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) nastavte všetky čísla c r +1 ,…,c n na nulu, t.j.

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Pridanie tohto konkrétneho riešenia k všeobecnému riešeniu X=c 1 X 1 + c 2 X 2 +…+s n - r X n - r zodpovedajúci homogénny systém, dostaneme:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S n - r X n - r (24)

Zvážte systém dvoch rovníc s dvoma premennými:

v ktorej je aspoň jeden z koeficientov a ij 0.

Aby sme to vyriešili, odstránime x 2 vynásobením prvej rovnice číslom 22 a druhú rovnicou (-a 12) a ich sčítaním: Vylúčime x 1 vynásobením prvej rovnice číslom (-a 21) a druhé číslom 11 a ich pridanie: Výraz v zátvorkách je určujúci

Po určení ,, potom bude mať systém tvar:, t.j. ak, tak systém má jedinečné riešenie:,.

Ak Δ=0 a (alebo), potom je systém nekonzistentný, pretože zredukované do tvaru Ak Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, potom je systém neistý, pretože zredukované do formy