क्या सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय एक क्षेत्र है? जटिल संख्या फ़ील्ड

हार।सम्मिश्र संख्याओं की प्रणाली को न्यूनतम क्षेत्र कहा जाता है, जो वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का विस्तार है और जिसमें एक तत्व i (i 2 -1=0) होता है

हार।बीजगणित<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>यदि निम्नलिखित शर्तें (स्वयंसिद्ध) पूरी होती हैं तो इसे कंप्यूटर नंबरों की प्रणाली कहा जाता है:

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. ए,बी∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. - क्रिया क्षेत्र नंबर

13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ and (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

पवित्र संख्याएँ:

1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i

2. COMP संख्याओं के क्षेत्र को रैखिक रूप से क्रमबद्ध नहीं किया जा सकता है, अर्थात। α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-असंभव।

3. बीजगणित का मौलिक प्रमेय: संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद होता है, अर्थात कोई भी बहुवचन संख्या धनात्मक होती है। संख्याओं के क्षेत्र में डिग्री का कम से कम एक सेट होता है। जड़

मुख्य से निम्नलिखित alg. प्रमेय: सकारात्मक की कोई बहुलता। जटिल संख्याओं के क्षेत्र में डिग्री को सकारात्मक गुणांक के साथ पहली डिग्री के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है।

अगला: किसी भी क्वाड लेवल के 2 मूल होते हैं: 1) D>0 2 भिन्न। वैध जड़ 2)डी=0 2-ए नियति। जड़ का संयोग 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. स्वयंसिद्ध. जटिल संख्याओं का सिद्धांत स्पष्ट और सुसंगत है

कार्यप्रणाली।

सामान्य शिक्षा कक्षाओं में, जटिल संख्या की अवधारणा पर विचार नहीं किया जाता है; वे केवल वास्तविक संख्याओं के अध्ययन तक ही सीमित हैं। लेकिन हाई स्कूल में, स्कूली बच्चों के पास पहले से ही काफी परिपक्व गणितीय शिक्षा होती है और वे संख्या की अवधारणा का विस्तार करने की आवश्यकता को समझने में सक्षम होते हैं। सामान्य विकास के दृष्टिकोण से, जटिल संख्याओं के बारे में ज्ञान का उपयोग प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी में किया जाता है, जो एक छात्र के लिए भविष्य का पेशा चुनने की प्रक्रिया में महत्वपूर्ण है। कुछ पाठ्यपुस्तकों के लेखकों ने बीजगणित पर अपनी पाठ्यपुस्तकों में इस विषय के अध्ययन को अनिवार्य बताया है और विशेष स्तरों के लिए गणितीय विश्लेषण की शुरुआत की है, जो राज्य मानक द्वारा प्रदान किया गया है।

एक पद्धतिगत दृष्टिकोण से, विषय "जटिल संख्याएँ" गणित के बुनियादी पाठ्यक्रम में निर्धारित बहुपद और संख्याओं की अवधारणाओं को विकसित और गहरा करता है, एक निश्चित अर्थ में माध्यमिक विद्यालय में संख्या की अवधारणा के विकास का मार्ग पूरा करता है।

हालाँकि, हाई स्कूल में भी, कई स्कूली बच्चों में अमूर्त सोच खराब विकसित होती है, या समन्वय और जटिल विमान के बीच के अंतर को समझने के लिए "काल्पनिक, काल्पनिक" इकाई की कल्पना करना बहुत मुश्किल होता है। या, इसके विपरीत, छात्र अपनी वास्तविक सामग्री से अलग होकर अमूर्त अवधारणाओं के साथ काम करता है।

"सम्मिश्र संख्याएँ" विषय का अध्ययन करने के बाद, छात्रों को सम्मिश्र संख्याओं की स्पष्ट समझ होनी चाहिए, सम्मिश्र संख्या के बीजगणितीय, ज्यामितीय और त्रिकोणमितीय रूपों को जानना चाहिए। छात्रों को सम्मिश्र संख्याओं पर जोड़, गुणा, घटाव, भाग, घातांक और मूल निष्कर्षण की संक्रियाएँ करने में सक्षम होना चाहिए; जटिल संख्याओं को बीजगणितीय से त्रिकोणमितीय रूप में परिवर्तित करें, जटिल संख्याओं के ज्यामितीय मॉडल का एक विचार रखें

N.Ya. Vilenkin, O.S. Ivashev-Musatov, S.I. Shvartsburd द्वारा गणितीय कक्षाओं के लिए पाठ्यपुस्तक में "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत", विषय "जटिल संख्याएं" 11 वीं कक्षा में पेश किया गया है। 10वीं कक्षा में त्रिकोणमिति अनुभाग का अध्ययन करने के बाद 11वीं कक्षा के दूसरे भाग में विषय का अध्ययन पेश किया जाता है, और 11वीं कक्षा में अभिन्न और विभेदक समीकरण, घातांक, लघुगणक और शक्ति कार्य, और बहुपद का अध्ययन किया जाता है। पाठ्यपुस्तक में, विषय "जटिल संख्याएँ और उन पर संक्रियाएँ" को दो खंडों में विभाजित किया गया है: बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याएँ; सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप. "जटिल संख्याएँ और उन पर संक्रियाएँ" विषय पर विचार द्विघात समीकरणों, तीसरी और चौथी डिग्री के समीकरणों को हल करने के मुद्दे पर विचार करने से शुरू होता है और, परिणामस्वरूप, एक "नई संख्या i" पेश करने की आवश्यकता सामने आती है। सम्मिश्र संख्याओं की अवधारणाएँ और उन पर संक्रियाएँ तुरंत दी गई हैं: सम्मिश्र संख्याओं का योग, गुणनफल और भागफल ज्ञात करना। आगे, एक जटिल संख्या की अवधारणा की एक सख्त परिभाषा, जोड़ और गुणा, घटाव और विभाजन के संचालन के गुण दिए गए हैं। अगला पैराग्राफ संयुग्मित सम्मिश्र संख्याओं और उनके कुछ गुणों के बारे में बात करता है। इसके बाद, हम जटिल संख्याओं से वर्गमूल निकालने और जटिल गुणांक वाले द्विघात समीकरणों को हल करने के मुद्दे पर विचार करते हैं। अगले पैराग्राफ में चर्चा की गई है: जटिल संख्याओं का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व; ध्रुवीय समन्वय प्रणाली और सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप; त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याओं का गुणन, घातांक और विभाजन; मोइवरे का सूत्र, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के प्रमाण के लिए सम्मिश्र संख्याओं का अनुप्रयोग; किसी सम्मिश्र संख्या का मूल निकालना; बहुपद बीजगणित का मौलिक प्रमेय; जटिल संख्याएँ और ज्यामितीय परिवर्तन, एक जटिल चर के कार्य।

पाठ्यपुस्तक में एस.एम. निकोल्स्की, एम.के. पोटापोवा, एन.एन. रेशेतनिकोवा, ए.वी. शेवकिन "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत", विषय "सभी विषयों का अध्ययन करने के बाद कक्षा 11 में जटिल संख्याओं पर विचार किया जाता है, अर्थात। स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम के अंत में। विषय को तीन खंडों में विभाजित किया गया है: बीजगणितीय रूप और जटिल संख्याओं की ज्यामितीय व्याख्या; सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप; बहुपदों के मूल, सम्मिश्र संख्याओं का घातांकीय रूप। अनुच्छेदों की सामग्री काफी विशाल है; इसमें कई अवधारणाएँ, परिभाषाएँ और प्रमेय शामिल हैं। पैराग्राफ "जटिल संख्याओं का बीजगणितीय रूप और ज्यामितीय व्याख्या" में तीन खंड हैं: एक जटिल संख्या का बीजगणितीय रूप; संयुग्मित सम्मिश्र संख्याएँ; एक सम्मिश्र संख्या की ज्यामितीय व्याख्या. पैराग्राफ "एक जटिल संख्या का त्रिकोणमितीय रूप" में एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप की अवधारणा को पेश करने के लिए आवश्यक परिभाषाएं और अवधारणाएं शामिल हैं, साथ ही अंकन के बीजगणितीय रूप से अंकन के त्रिकोणमितीय रूप में संक्रमण के लिए एक एल्गोरिदम भी शामिल है। एक सम्मिश्र संख्या. अंतिम पैराग्राफ में “बहुपदों की जड़ें। सम्मिश्र संख्याओं का घातांकीय रूप" में तीन खंड होते हैं: सम्मिश्र संख्याओं के मूल और उनके गुण; बहुपदों की जड़ें; सम्मिश्र संख्या का घातीय रूप.

पाठ्यपुस्तक सामग्री छोटी मात्रा में प्रस्तुत की गई है, लेकिन छात्रों के लिए जटिल संख्याओं के सार को समझने और उनके बारे में न्यूनतम ज्ञान प्राप्त करने के लिए काफी पर्याप्त है। पाठ्यपुस्तक में अभ्यासों की एक छोटी संख्या शामिल है और एक जटिल संख्या को एक घात और मोइवर सूत्र तक बढ़ाने के मुद्दे को संबोधित नहीं किया गया है

पाठ्यपुस्तक में ए.जी. मोर्दकोविच, पी.वी. सेमेनोव "बीजगणित और गणितीय विश्लेषण की शुरुआत", प्रोफ़ाइल स्तर, ग्रेड 10, विषय "कॉम्प्लेक्स नंबर" को "वास्तविक संख्या" और "त्रिकोणमिति" विषयों का अध्ययन करने के तुरंत बाद 10 वीं कक्षा के दूसरे भाग में पेश किया गया है। यह प्लेसमेंट आकस्मिक नहीं है: संख्या वृत्त और त्रिकोणमिति सूत्र दोनों सक्रिय रूप से एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय रूप, मोइवर सूत्र के अध्ययन में और एक जटिल संख्या से वर्ग और घन जड़ें निकालते समय सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं। विषय "सम्मिश्र संख्याएँ" अध्याय 6 में प्रस्तुत किया गया है और इसे 5 खंडों में विभाजित किया गया है: जटिल संख्याएँ और उन पर अंकगणितीय संक्रियाएँ; सम्मिश्र संख्याएँ और निर्देशांक तल; सम्मिश्र संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप; सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघात समीकरण; किसी सम्मिश्र संख्या को घात तक बढ़ाना, सम्मिश्र संख्या का घनमूल निकालना।

जटिल संख्या की अवधारणा को संख्या की अवधारणा के विस्तार और वास्तविक संख्याओं में कुछ संचालन करने की असंभवता के रूप में पेश किया गया है। पाठ्यपुस्तक मुख्य संख्यात्मक सेट और उनमें अनुमत संचालन के साथ एक तालिका प्रस्तुत करती है। जटिल संख्याओं को पूरा करने वाली न्यूनतम शर्तों को सूचीबद्ध किया गया है, और फिर एक काल्पनिक इकाई की अवधारणा, एक जटिल संख्या की परिभाषा, जटिल संख्याओं की समानता, उनका योग, अंतर, उत्पाद और भागफल पेश किया गया है।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के ज्यामितीय मॉडल से हम सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय के ज्यामितीय मॉडल की ओर बढ़ते हैं। "संमिश्र संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप" विषय पर विचार एक जटिल संख्या के मापांक की परिभाषा और गुणों से शुरू होता है। इसके बाद, हम एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप, एक सम्मिश्र संख्या के तर्क की परिभाषा और एक सम्मिश्र संख्या के मानक त्रिकोणमितीय रूप को देखते हैं।

इसके बाद, हम एक सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल निकालने और द्विघात समीकरणों के समाधान का अध्ययन करते हैं। और अंतिम पैराग्राफ में, मोइवरे का सूत्र पेश किया गया है और एक जटिल संख्या का घनमूल निकालने के लिए एक एल्गोरिदम निकाला गया है।

इसके अलावा समीक्षाधीन पाठ्यपुस्तक में, प्रत्येक पैराग्राफ में, सैद्धांतिक भाग के समानांतर, कई उदाहरणों पर विचार किया जाता है जो सिद्धांत को चित्रित करते हैं और विषय की अधिक सार्थक धारणा देते हैं। संक्षिप्त ऐतिहासिक तथ्य दिये गये हैं।

परिभाषाएं . होने देना ए, बी- वास्तविक संख्या, मैं– कुछ प्रतीक. सम्मिश्र संख्या प्रपत्र का एक अंकन है ए+द्वि.

जोड़नाऔर गुणा सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर संख्याएँ: (ए+द्वि)+(सी+दी)=(ए+सी)+(बी+घ)मैं

(ए+द्वि)(सी+दी)=(एसी–बीडी)+(वि+बीसी)मैं. .

प्रमेय 1 . सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय साथजोड़ और गुणा की संक्रियाओं के साथ यह एक क्षेत्र बनाता है। जोड़ के गुण

1) क्रमपरिवर्तनशीलता बी: (ए+द्वि)+(सी+दी)=(ए+सी)+(बी+घ)मैं=(सी+दी)+(ए+द्वि).

2) संबद्धता :[(ए+द्वि)+(सी+दी)]+(इ+फाई)=(ए+सी+इ)+(बी+डी+च)मैं=(ए+द्वि)+[(सी+दी)+(इ+फाई)].

3)अस्तित्व तटस्थ तत्व :(ए+द्वि)+(0 +0i)=(ए+द्वि). संख्या 0 +0 मैं हम शून्य को कॉल करेंगे और निरूपित करेंगे 0 .

4)अस्तित्व विपरीत तत्व : (ए+द्वि)+(–ए–द्वि)=0 +0i=0 .

5) गुणन की क्रमविनिमेयता : (ए+द्वि)(सी+दी)=(एसी–बीडी)+(ई.पू+विज्ञापन)मैं=(सी+दी)(ए+द्वि).

6) गुणन की साहचर्यता :अगर z 1=ए+द्वि, z 2=सी+डि, जेड 3=इ+फाई, वह (जेड 1 जेड 2)जेड 3=जेड 1 (जेड 2 जेड 3).

7) वितरणशीलता: अगर z 1=ए+द्वि, z 2=सी+डि, जेड 3=इ+फाई, वह जेड 1 (जेड 2+जेड 3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) गुणन के लिए तटस्थ तत्व :(ए+द्वि)(1+0i)=(ए 1–ख 0)+(ए·0+बी·1)मैं=ए+द्वि.

9) संख्या 1 +0i=1 - इकाई।

9)अस्तित्व उलटा तत्व : "जेड¹ 0$ज़ –1 :zz –1 =1 .

होने देना जेड=ए+द्वि. वास्तविक संख्या ए, बुलाया वैध, ए बी - काल्पनिक भाग जटिल संख्या जेड. प्रयुक्त नोटेशन: ए=रेज, बी=इम्ज़.

अगर बी=0 , वह जेड=ए+ 0i=ए- वास्तविक संख्या। अतः वास्तविक संख्याओं का समुच्चय आरसम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय का भाग है सी: आर Í सी.

टिप्पणी:मैं 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . संख्या के इस गुण का उपयोग करना मैं, साथ ही प्रमेय 1 में सिद्ध संचालन के गुणों के साथ, आप सामान्य नियमों के अनुसार जटिल संख्याओं के साथ संचालन कर सकते हैं, प्रतिस्थापित कर सकते हैं मैं 2पर - 1 .

टिप्पणी. संबंध £, ³ ("कम", "अधिक") जटिल संख्याओं के लिए परिभाषित नहीं हैं।

2 त्रिकोणमितीय संकेतन .

प्रविष्टि z = a+bi कहलाती है बीजगणितीयसम्मिश्र संख्या प्रपत्र . आइए चयनित कार्टेशियन समन्वय प्रणाली वाले एक विमान पर विचार करें। हम संख्या का प्रतिनिधित्व करेंगे जेडनिर्देशांक के साथ बिंदु (ए, बी). फिर वास्तविक संख्याएँ ए=ए+0iअक्ष बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाएगा बैल- यह कहा जाता है वैध एक्सिस। एक्सिस ओएबुलाया काल्पनिक अक्ष, इसके बिंदु प्रपत्र की संख्याओं के अनुरूप होते हैं द्विजिन्हें कभी-कभी कहा जाता है पूर्णतः काल्पनिक . पूरे विमान को बुलाया जाता है जटिल विमान .नंबर पर कॉल किया जाता है मापांक नंबर जेड: ,

ध्रुवीय कोण जेबुलाया तर्क नंबर जेड: जे=argz.

तर्क एक पद तक निर्धारित होता है 2के.पी; जिसके लिए मूल्य - पी< j £ p , बुलाया मुख्य महत्व तर्क। नंबर आर, जेबिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं जेड. यह स्पष्ट है कि ए=आर कॉसज, बी=आर सिंज, और हमें मिलता है: जेड=ए+बी·आई=r·(cosj+मैं सिंज). त्रिकोणमितीय रूप एक सम्मिश्र संख्या लिखना.

संयुग्मी संख्याएँ . सम्मिश्र संख्या को किसी संख्या का संयुग्मी कहा जाता हैजेड = ए + द्वि . यह स्पष्ट है कि । गुण : .

टिप्पणी. संयुग्म संख्याओं का योग और गुणनफल वास्तविक संख्याएँ हैं:

सम्मिश्र संख्या की अवधारणा मुख्य रूप से समीकरण से जुड़ी है। ऐसी कोई वास्तविक संख्या नहीं है जो इस समीकरण को संतुष्ट करती हो।

इस प्रकार, जटिल संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के सामान्यीकरण (विस्तार) के रूप में उत्पन्न हुईं, जिसमें नए संख्याओं को जोड़कर मनमाने ढंग से द्विघात (और अधिक सामान्य) समीकरणों को हल करने का प्रयास किया गया ताकि विस्तारित सेट ने एक संख्या क्षेत्र का निर्माण किया जिसमें निकालने की क्रिया जड़ हमेशा संभव होगी.

परिभाषा।वह संख्या जिसका वर्ग है - 1, आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता हैमैं और कॉल करें काल्पनिक इकाई.

परिभाषा. सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र C समीकरण के मूल वाले वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का न्यूनतम विस्तार कहा जाता है।

परिभाषा. मैदान साथबुलाया सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र, यदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

प्रमेय. (सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र के अस्तित्व और विशिष्टता पर)। समीकरण के मूल के पदनाम तक, केवल एक ही हैसम्मिश्र संख्या क्षेत्र साथ .

प्रत्येक तत्व को निम्नलिखित रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है:

जहाँ, समीकरण का मूल है मैं 2 +1=0.

परिभाषा. कोई भी तत्व बुलाया जटिल संख्या, वास्तविक संख्या x कहलाती है असली हिस्सासंख्या z और से निरूपित किया जाता है, तो वास्तविक संख्या y कहलाती है काल्पनिक भागसंख्या z और द्वारा निरूपित किया जाता है।

इस प्रकार, एक सम्मिश्र संख्या एक क्रमित युग्म है, वास्तविक संख्याओं से बना एक सम्मिश्र संख्या है एक्सऔर य.

अगर एक्स=0, तो संख्या z= 0+iy=iyबुलाया पूर्णतः काल्पनिक या काल्पनिक. अगर य=0, तो संख्या जेड=एक्स+ 0मैं=xवास्तविक संख्या से पहचाना जाता है एक्स।

दो सम्मिश्र संख्याएँ समान मानी जाती हैं यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग समान हों:

एक सम्मिश्र संख्या शून्य के बराबर होती है जब उसके वास्तविक और काल्पनिक भाग शून्य के बराबर होते हैं:

परिभाषा. दो सम्मिश्र संख्याएँ जिनका वास्तविक भाग समान हो और जिनके काल्पनिक भाग निरपेक्ष मान में समान हों लेकिन चिह्न में विपरीत हों, कहलाते हैं जटिल सन्युग्मया केवल संयुग्मित.

संयुग्म संख्या जेड, द्वारा चिह्नित । इस प्रकार, यदि, तो।

1.3. एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क।
सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण

ज्यामितीय रूप से, एक जटिल संख्या को एक बिंदु के रूप में एक विमान (छवि 1) पर दर्शाया गया है एमनिर्देशांक के साथ ( एक्स, य).

परिभाषा. वह तल जिस पर सम्मिश्र संख्याओं को दर्शाया जाता है, कहलाता है जटिल विमान सी, ऑक्स और ओय अक्ष जिन पर वास्तविक संख्याएँ स्थित हैं और पूर्णतः काल्पनिक संख्याएँ , कहा जाता है वैधऔर काल्पनिककुल्हाड़ियाँ क्रमशः.

बिंदु स्थिति का उपयोग करके भी निर्धारित किया जा सकता हैधुवीय निर्देशांक आरऔर φ , अर्थात।त्रिज्या वेक्टर की लंबाई और बिंदु के त्रिज्या वेक्टर के झुकाव कोण का उपयोग करना एम(एक्स, वाई) सकारात्मक वास्तविक अर्ध-अक्ष पर ओह.

परिभाषा. मापांक सम्मिश्र संख्या निर्देशांक (जटिल) तल पर सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर की लंबाई है।

किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक अक्षर द्वारा या द्वारा निरूपित किया जाता है आरऔर इसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के वर्गों के योग के वर्गमूल के अंकगणितीय मान के बराबर है।

जटिल संख्या जेड बुलाया अभिव्यक्ति कहाँ एऔर वी- वास्तविक संख्या, मैं- काल्पनिक इकाई या विशेष चिह्न।

इस मामले में, निम्नलिखित समझौते पूरे होते हैं:

1) अभिव्यक्ति a+bi के साथ आप बीजगणित में शाब्दिक अभिव्यक्तियों के लिए स्वीकार किए गए नियमों के अनुसार अंकगणितीय संचालन कर सकते हैं;

5) समानता a+bi=c+di, जहां a, b, c, d वास्तविक संख्याएं हैं, तब होती है जब और केवल यदि a=c और b=d।

संख्या 0+bi=bi कहलाती है काल्पनिकया पूर्णतः काल्पनिक.

कोई भी वास्तविक संख्या a सम्मिश्र संख्या का एक विशेष मामला है, क्योंकि इसे a=a+ 0i के रूप में लिखा जा सकता है। विशेष रूप से, 0=0+0i, लेकिन फिर यदि a+bi=0, तो a+bi=0+0i, इसलिए, a=b=0।

इस प्रकार, एक जटिल संख्या a+bi=0 यदि और केवल यदि a=0 और b=0।

सम्मिश्र संख्याओं के परिवर्तन के नियमों का पालन समझौतों से किया जाता है:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

हम देखते हैं कि सम्मिश्र संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल (जहाँ भाजक शून्य के बराबर नहीं है), बदले में, एक सम्मिश्र संख्या है।

संख्या एबुलाया सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग जेड(द्वारा चिह्नित ), वी- सम्मिश्र संख्या z का काल्पनिक भाग (द्वारा दर्शाया गया)।

शून्य वास्तविक भाग वाली सम्मिश्र संख्या z कहलाती है। पूर्णतः काल्पनिक, शून्य काल्पनिकता के साथ - विशुद्ध रूप से वास्तविक.

दो सम्मिश्र संख्याएँ कहलाती हैं। बराबरयदि उनके वास्तविक और काल्पनिक भाग मेल खाते हैं।

दो सम्मिश्र संख्याएँ कहलाती हैं। संयुग्मित, यदि उनके पास पदार्थ हैं। हिस्से मेल खाते हैं, लेकिन काल्पनिक हिस्से संकेतों में भिन्न हैं। , तो यह संयुग्मित है।

संयुग्मी संख्याओं का योग पदार्थों की संख्या है, और अंतर एक विशुद्ध काल्पनिक संख्या है। संख्याओं के गुणन और योग की संक्रियाएँ स्वाभाविक रूप से सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित होती हैं। अर्थात्, यदि तथा दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो योग है: ; काम: ।

आइए अब हम घटाव और विभाजन की संक्रियाओं को परिभाषित करें।

ध्यान दें कि दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल पदार्थों की संख्या है।

(चूंकि i=-1). इस नंबर पर कॉल किया जाता है. वर्ग मापांकनंबर. इस प्रकार, यदि कोई संख्या है, तो उसका मापांक एक वास्तविक संख्या है।

वास्तविक संख्याओं के विपरीत, जटिल संख्याओं के लिए "अधिक" और "कम" की अवधारणाएँ पेश नहीं की जाती हैं।

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण। वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है:

बात यहीं है एमतलब संख्या -3, बिंदु बी– नंबर 2, और हे- शून्य। इसके विपरीत, जटिल संख्याओं को निर्देशांक तल पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रयोजन के लिए, हम दोनों अक्षों पर समान पैमाने के साथ आयताकार (कार्टेशियन) निर्देशांक चुनते हैं। फिर सम्मिश्र संख्या ए+ द्विएक बिंदु द्वारा दर्शाया जाएगा एब्सिस्सा ए और कोटि बी के साथ पी(चावल।)। इस समन्वय प्रणाली को कहा जाता है जटिल विमान.

मापांकसम्मिश्र संख्या वेक्टर की लंबाई है सेशन, निर्देशांक पर एक सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करता है ( विस्तृत) विमान। एक सम्मिश्र संख्या का मापांक ए+ द्विनिरूपित | ए+ द्वि| या पत्र आरऔर इसके बराबर है:

संयुग्मी सम्मिश्र संख्याओं का मापांक समान होता है। __

तर्कसम्मिश्र संख्या अक्ष के बीच का कोण है बैलऔर वेक्टर सेशन, इस जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। अत: तन = बी / ए .

सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप. किसी सम्मिश्र संख्या को बीजगणितीय रूप में लिखने के साथ-साथ एक अन्य रूप का भी प्रयोग किया जाता है, जिसे कहते हैं त्रिकोणमितीय.

मान लें कि जटिल संख्या z=a+bi को निर्देशांक (a,b) के साथ वेक्टर OA द्वारा दर्शाया गया है। आइए OA वेक्टर की लंबाई को बीच r: r=|OA| द्वारा निरूपित करें, और यह ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ जो कोण बनाता है उसे कोण φ द्वारा निरूपित करें।

फ़ंक्शन की परिभाषाओं का उपयोग करते हुए synφ=b/r, cosφ=a/r, जटिल संख्या z=a+bi को z=r(cosφ+i*sinφ) के रूप में लिखा जा सकता है, जहां, और कोण φ से निर्धारित होता है शर्तें

त्रिकोणमितीय रूपएक जटिल संख्या z का प्रतिनिधित्व z=r(cosφ+i*sinφ) के रूप में होता है, जहां r और φ वास्तविक संख्याएं हैं और r≥0 हैं।

दरअसल, संख्या r को कहा जाता है मापांकसम्मिश्र संख्या और इसे |z| द्वारा निरूपित किया जाता है, और कोण φ सम्मिश्र संख्या z का तर्क है। एक सम्मिश्र संख्या z का तर्क φ Arg z द्वारा दर्शाया जाता है।

त्रिकोणमितीय रूप में दर्शाए गए जटिल संख्याओं के साथ संचालन:

ये मशहूर है मोइवरे का सूत्र.

8 ।सदिश स्थल। सदिश समष्टि के उदाहरण और सरलतम गुण। सदिशों की प्रणाली की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता। वैक्टर की अंतिम प्रणाली का आधार और रैंक

सदिश स्थल -एक गणितीय अवधारणा जो सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष के सभी (मुक्त) वैक्टरों के सेट की अवधारणा को सामान्यीकृत करती है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सदिशों के लिए, सदिशों को जोड़ने और उन्हें वास्तविक संख्याओं से गुणा करने के नियम बताए गए हैं। किसी भी वेक्टर पर लागू एक्स, वाई, जेडऔर कोई संख्या α, β ये नियम संतुष्ट करते हैं निम्नलिखित शर्तें:

1) एक्स+पर=पर+एक्स(जोड़ की क्रमपरिवर्तनशीलता);

2)(एक्स+पर)+जेड=एक्स+(य+जेड) (जोड़ की संबद्धता);

3) एक शून्य वेक्टर है 0 (या शून्य वेक्टर) शर्त को संतुष्ट करता है एक्स+0 =एक्स:किसी भी वेक्टर के लिए एक्स;

4) किसी भी वेक्टर के लिए एक्सएक विपरीत वेक्टर है परऐसा है कि एक्स+पर =0 ,

5) 1 एक्स=एक्स,जहां 1 फ़ील्ड इकाई है

6) α (βx)=(αβ )एक्स(गुणन की साहचर्यता), जहां उत्पाद αβ अदिश का गुणनफल है

7) (α +β )एक्स=αх+βх(संख्यात्मक कारक के सापेक्ष वितरणात्मक संपत्ति);

8) α (एक्स+पर)=αх+αу(वेक्टर गुणक के सापेक्ष वितरणात्मक गुण)।

एक सदिश (या रैखिक) स्थान एक समुच्चय है आर,किसी भी प्रकृति के तत्वों से युक्त (जिन्हें वेक्टर कहा जाता है), जिसमें तत्वों को जोड़ने और तत्वों को वास्तविक संख्याओं से गुणा करने की संक्रियाएं परिभाषित की जाती हैं जो शर्तों 1-8 को संतुष्ट करती हैं।

ऐसे रिक्त स्थानों के उदाहरण वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, समतल और अंतरिक्ष में सदिशों का समुच्चय, आव्यूह आदि हैं।

प्रमेय "वेक्टर रिक्त स्थान के सबसे सरल गुण"

1. एक सदिश समष्टि में केवल एक शून्य सदिश होता है।

2. सदिश समष्टि में, किसी भी सदिश का एक अद्वितीय विपरीत होता है।

4. .

दस्तावेज़

मान लीजिए 0 सदिश समष्टि V का शून्य सदिश है। चलो एक और शून्य वेक्टर हो. तब । आइए पहले मामले में लें, और दूसरे में -। तब और , जहां से यह अनुसरण करता है , आदि।

पहले हम सिद्ध करेंगे कि शून्य अदिश और किसी सदिश का गुणनफल शून्य सदिश के बराबर होता है।

होने देना । फिर, सदिश समष्टि अभिगृहीतों को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

जोड़ के संबंध में, एक सदिश समष्टि एक एबेलियन समूह है, और रद्दीकरण कानून किसी भी समूह में मान्य है। कमी के नियम को लागू करने पर, अंतिम समानता का तात्पर्य 0*x=0 है

अब हम कथन 4 को सिद्ध करते हैं)। चलो एक मनमाना वेक्टर हो. तब

इससे तुरंत पता चलता है कि वेक्टर (-1)x, वेक्टर x के विपरीत है।

मान लीजिए अब x=0. फिर, सदिश समष्टि अभिगृहीतों को लागू करने पर, हम पाते हैं:

चलिए मान लेते हैं. चूँकि, जहाँ K एक फ़ील्ड है, तो। आइए बाईं ओर की समानता को : से गुणा करें, जिसका अर्थ है 1*x=0 या x=0

सदिशों की प्रणाली की रैखिक निर्भरता और स्वतंत्रता।सदिशों के समूह को सदिश प्रणाली कहा जाता है।

सदिशों की एक प्रणाली को रैखिक रूप से आश्रित कहा जाता है यदि ऐसी संख्याएँ हों जो एक ही समय में शून्य के बराबर न हों, जैसे कि (1)

K सदिशों की एक प्रणाली को रैखिक रूप से स्वतंत्र कहा जाता है यदि समानता (1) केवल के लिए संभव है, अर्थात। जब समानता (1) के बाईं ओर रैखिक संयोजन तुच्छ है।

टिप्पणियाँ:

1. एक वेक्टर भी एक प्रणाली बनाता है: पर रैखिक रूप से निर्भर, और रैखिक रूप से स्वतंत्र पर।

2. सदिशों की प्रणाली के किसी भी भाग को उपप्रणाली कहा जाता है।

रैखिकतः आश्रित और रैखिकतः स्वतंत्र सदिशों के गुण:

1. यदि सदिशों की एक प्रणाली में शून्य सदिश शामिल है, तो यह रैखिक रूप से निर्भर है।

2. यदि सदिशों के किसी निकाय में दो समान सदिश हों तो यह रैखिकतः आश्रित होता है।

3. यदि सदिशों की एक प्रणाली में दो आनुपातिक सदिश हों, तो यह रैखिक रूप से निर्भर होता है।

4. k>1 वैक्टर की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल तभी जब कम से कम एक वेक्टर अन्य का रैखिक संयोजन हो।

5. रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रणाली में शामिल कोई भी सदिश एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपप्रणाली बनाता है।

6. रैखिक रूप से आश्रित उपप्रणाली वाले सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है।

7. यदि सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से स्वतंत्र है, और इसमें एक सदिश जोड़ने के बाद यह रैखिक रूप से निर्भर हो जाता है, तो सदिश को सदिशों में विस्तारित किया जा सकता है, और, इसके अलावा, एक अनूठे तरीके से, अर्थात्। विस्तार गुणांक विशिष्ट रूप से पाया जा सकता है।

आइए, उदाहरण के लिए, अंतिम संपत्ति सिद्ध करें। चूँकि सदिशों की प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, ऐसी संख्याएँ हैं जो 0 के बराबर नहीं हैं, जो। इस समानता में. वास्तव में, यदि, तो. इसका मतलब यह है कि वैक्टर का एक गैर-तुच्छ रैखिक संयोजन शून्य वेक्टर के बराबर है, जो सिस्टम की रैखिक स्वतंत्रता का खंडन करता है। नतीजतन, और फिर, अर्थात्। सदिश सदिशों का एक रैखिक संयोजन है। यह इस तरह के प्रतिनिधित्व की विशिष्टता दिखाने के लिए बनी हुई है। आइए इसके विपरीत मान लें। मान लीजिए कि दो विस्तार हैं और, और विस्तार के सभी गुणांक क्रमशः एक दूसरे के बराबर नहीं हैं (उदाहरण के लिए,)।

फिर समानता से हमें प्राप्त होता है.

इसलिए, सदिशों का एक रैखिक संयोजन शून्य सदिश के बराबर होता है। चूँकि इसके सभी गुणांक शून्य के बराबर नहीं हैं (कम से कम), यह संयोजन गैर-तुच्छ है, जो वैक्टर की रैखिक स्वतंत्रता की स्थिति का खंडन करता है। परिणामी विरोधाभास विस्तार की विशिष्टता की पुष्टि करता है।

वेक्टर प्रणाली की रैंक और आधार।सदिशों की एक प्रणाली की रैंक प्रणाली के रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की अधिकतम संख्या है।

वेक्टर प्रणाली का आधारसदिशों की दी गई प्रणाली का अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपप्रणाली कहा जाता है।

प्रमेय. किसी भी सिस्टम वेक्टर को सिस्टम बेस वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। (किसी भी सिस्टम वेक्टर को आधार वैक्टर में विस्तारित किया जा सकता है।) विस्तार गुणांक किसी दिए गए वेक्टर और दिए गए आधार के लिए विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

दस्तावेज़:

सिस्टम का एक आधार हो.

1 मामला.वेक्टर - आधार से. इसलिए, यह आधार वैक्टरों में से एक के बराबर है, मान लीजिए। फिर = .

केस 2.सदिश आधार से नहीं है. फिर r>k.

आइए सदिशों की एक प्रणाली पर विचार करें। यह प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर है, क्योंकि यह एक आधार है, अर्थात। अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपप्रणाली। नतीजतन, ऐसी संख्याएँ हैं जिनमें 1, 2, ..., k, with, सभी शून्य के बराबर नहीं हैं, जैसे कि

यह स्पष्ट है कि (यदि c = 0, तो सिस्टम का आधार रैखिक रूप से निर्भर है)।

आइए हम सिद्ध करें कि आधार के संबंध में वेक्टर का विस्तार अद्वितीय है। आइए इसके विपरीत मान लें: आधार के संबंध में वेक्टर के दो विस्तार हैं।

इन समानताओं को घटाने पर हमें प्राप्त होता है

आधार सदिशों की रैखिक स्वतंत्रता को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

परिणामस्वरूप, आधार के संदर्भ में वेक्टर का विस्तार अद्वितीय है।

सिस्टम के किसी भी आधार पर वैक्टर की संख्या वेक्टर सिस्टम की रैंक के समान और बराबर होती है।

क्षेत्र के अभिगृहीत. सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र. एक सम्मिश्र संख्या के लिए त्रिकोणमितीय संकेतन.

एक सम्मिश्र संख्या एक प्रकार की संख्या होती है, जहाँ और तथाकथित वास्तविक संख्याएँ होती हैं काल्पनिक इकाई. नंबर पर कॉल किया जाता है असली हिस्सा ( ) सम्मिश्र संख्या, वह संख्या कहलाती है काल्पनिक भाग ( ) जटिल संख्या।

गुच्छावही जटिल आंकड़ेआमतौर पर इसे "बोल्ड" या गाढ़े अक्षर से दर्शाया जाता है

सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जाता है जटिल विमान:

जटिल तल में दो अक्ष होते हैं:
– वास्तविक अक्ष (x)
– काल्पनिक अक्ष (y)

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय का एक उपसमुच्चय है

सम्मिश्र संख्याओं वाली क्रियाएँ

दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़ना होगा।

सम्मिश्र संख्याओं को घटाना

क्रिया जोड़ के समान है, एकमात्र ख़ासियत यह है कि उपट्रेंड को कोष्ठक में रखा जाना चाहिए, और फिर चिह्न बदलते हुए कोष्ठक को मानक तरीके से खोला जाना चाहिए

जटिल संख्याओं को गुणा करना

बहुपदों को गुणा करने के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलें

सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन

संख्याओं का विभाजन किया जाता है हर और अंश को हर के संयुग्मी व्यंजक से गुणा करके.

जटिल संख्याओं में वास्तविक संख्याओं में निहित कई गुण होते हैं, जिनमें से हम निम्नलिखित पर ध्यान देते हैं, जिन्हें कहा जाता है मुख्य.

1) (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) (अतिरिक्त साहचर्यता);

2) ए + बी = बी + ए (जोड़ की क्रमविनिमेयता);

3) ए + 0 = 0 + ए = ए (जोड़ द्वारा एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व);

4) ए + (−ए) = (−ए) + ए = 0 (विपरीत तत्व का अस्तित्व);

5) ए(बी + सी) = अब + एसी ();

6) (ए + बी)सी = एसी + ईसा पूर्व (जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता);

7) (अब)सी = ए(ईसा पूर्व) (गुणन की साहचर्यता);

8) अब = बी ० ए (गुणन की क्रमविनिमेयता);

9) ए∙1 = 1∙ए = ए (गुणन के अंतर्गत एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व);

10) किसी के लिए भी ए≠ 0 ऐसी कोई चीज़ मौजूद है बी, क्या अब = बी ० ए = 1 (उलटे तत्व का अस्तित्व);

11) 0 ≠ 1 (कोई नाम नहीं)।

मनमानी प्रकृति की वस्तुओं का एक सेट जिस पर जोड़ और गुणा के संचालन को परिभाषित किया जाता है, जिसमें संकेतित 11 गुण होते हैं (जो इस मामले में स्वयंसिद्ध हैं), कहा जाता है मैदान.

सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के विस्तार के रूप में समझा जा सकता है जिसमें बहुपद का मूल होता है

किसी भी जटिल संख्या (शून्य को छोड़कर) को त्रिकोणमितीय रूप में लिखा जा सकता है:
, कहाँ है एक सम्मिश्र संख्या का मापांक, ए - सम्मिश्र संख्या तर्क.

एक सम्मिश्र संख्या का मापांकजटिल तल में मूल बिंदु से संगत बिंदु तक की दूरी है। सीधे शब्दों में कहें, मॉड्यूल लंबाई हैत्रिज्या वेक्टर, जिसे चित्र में लाल रंग से दर्शाया गया है।

किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक आमतौर पर निम्न द्वारा दर्शाया जाता है: या

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करना आसान है:। यह फार्मूला सही है किसी के लिएजिसका अर्थ है "ए" और "बी"।

सम्मिश्र संख्या का तर्कबुलाया कोनाबीच में सकारात्मक अर्ध-अक्षवास्तविक अक्ष और त्रिज्या वेक्टर मूल बिंदु से संबंधित बिंदु तक खींचा गया है। तर्क एकवचन के लिए परिभाषित नहीं है: .

एक जटिल संख्या का तर्क मानक रूप से दर्शाया गया है: या

मान लीजिए φ = arg जेड. फिर, तर्क की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है:

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर आव्यूहों का वलय। मैट्रिसेस पर बुनियादी संचालन। संचालन के गुण.

आव्यूहआकार m´n, जहां m पंक्तियों की संख्या है, n स्तंभों की संख्या है, एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित संख्याओं की तालिका कहलाती है। इन संख्याओं को मैट्रिक्स तत्व कहा जाता है। प्रत्येक तत्व का स्थान विशिष्ट रूप से उस पंक्ति और स्तंभ की संख्या से निर्धारित होता है जिसके चौराहे पर वह स्थित है। मैट्रिक्स के तत्वों को ij द्वारा दर्शाया जाता है, जहां i पंक्ति संख्या है और j स्तंभ संख्या है।

परिभाषा। यदि मैट्रिक्स कॉलम की संख्या पंक्तियों की संख्या (m=n) के बराबर है, तो मैट्रिक्स कहा जाता है वर्ग.

परिभाषा। मैट्रिक्स देखें:

= इ,

बुलाया शिनाख्त सांचा.

परिभाषा। अगर एक एमएन = एक एनएम, तो मैट्रिक्स कहा जाता है सममित.

उदाहरण। - सममित मैट्रिक्स

परिभाषा। प्रपत्र का वर्ग मैट्रिक्स बुलाया विकर्णआव्यूह।

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना

किसी मैट्रिक्स को किसी संख्या से गुणा करना(पदनाम: ) में एक मैट्रिक्स का निर्माण होता है, जिसके तत्व मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को इस संख्या से गुणा करके प्राप्त किए जाते हैं, अर्थात मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व बराबर होता है

आव्यूहों को किसी संख्या से गुणा करने के गुण:

· ग्यारह ए = ए;

· 2. (λβ)ए = λ(βए)

· 3. (λ+β)A = λA + βA

· 4. λ(ए+बी) = λए + λबी

मैट्रिक्स जोड़

मैट्रिक्स जोड़एक मैट्रिक्स खोजने की प्रक्रिया है, जिसके सभी तत्व मैट्रिक्स के सभी संगत तत्वों के जोड़ीवार योग के बराबर हैं और, यानी, मैट्रिक्स का प्रत्येक तत्व बराबर है

मैट्रिक्स जोड़ के गुण:

· 1.परिवर्तनशीलता: ए+बी = बी+ए;

· 2.सहयोगिता: (ए+बी)+सी =ए+(बी+सी);

· 3.शून्य मैट्रिक्स के साथ जोड़: ए + Θ = ए;

· 4.विपरीत मैट्रिक्स का अस्तित्व: ए + (-ए) = Θ;

रैखिक संक्रियाओं के सभी गुण रैखिक स्थान के सिद्धांतों को दोहराते हैं और इसलिए प्रमेय मान्य है:

एक ही आकार के सभी मैट्रिक्स का सेट एमएक्स एनक्षेत्र के तत्वों के साथ पी(सभी वास्तविक या जटिल संख्याओं का क्षेत्र) फ़ील्ड P पर एक रैखिक स्थान बनाता है (ऐसा प्रत्येक मैट्रिक्स इस स्थान का एक वेक्टर है)। हालाँकि, सबसे पहले, शब्दावली संबंधी भ्रम से बचने के लिए, सामान्य संदर्भों में मैट्रिक्स को आवश्यकता के बिना (जो कि सबसे सामान्य मानक अनुप्रयोगों में मौजूद नहीं है) और वेक्टर कहे जाने वाले शब्द के उपयोग के स्पष्ट स्पष्टीकरण से बचा जाता है।

मैट्रिक्स गुणन

मैट्रिक्स गुणन(नोटेशन: , कम अक्सर गुणन चिह्न के साथ) - एक मैट्रिक्स की गणना करने का एक ऑपरेशन है, जिसका प्रत्येक तत्व पहले कारक की संबंधित पंक्ति और दूसरे के कॉलम में तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर होता है।

मैट्रिक्स में स्तंभों की संख्या मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या से मेल खाना चाहिए, दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स होना चाहिए पर सहमतमैट्रिक्स के साथ. यदि मैट्रिक्स का आयाम है, -, तो उनके उत्पाद का आयाम है।

मैट्रिक्स गुणन के गुण:

· 1.सहयोगिता (एबी)सी = ए(बीसी);

· 2.नॉन-कम्यूटेटिविटी (सामान्य स्थिति में): एबी बीए;

· 3. पहचान मैट्रिक्स के साथ गुणन के मामले में उत्पाद क्रमविनिमेय है: एआई = आईए;

· 4.वितरणशीलता: (ए+बी)सी = एसी + बीसी, ए(बी+सी) = एबी + एसी;

· 5. किसी संख्या से गुणन के संबंध में साहचर्यता और क्रमविनिमेयता: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

मैट्रिक्स ट्रांसपोज़.

व्युत्क्रम मैट्रिक्स ढूँढना.

एक वर्ग मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि यह गैर-एकवचन है, अर्थात इसका निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है। गैर-वर्ग आव्यूह और एकवचन आव्यूह के लिए, कोई व्युत्क्रम आव्यूह नहीं हैं।

मैट्रिक्स रैंक प्रमेय

मैट्रिक्स ए की रैंक एक गैर-शून्य नाबालिग का अधिकतम क्रम है

मैट्रिक्स की रैंक निर्धारित करने वाले माइनर को बेसिस माइनर कहा जाता है। बीएम बनाने वाली पंक्तियों और स्तंभों को मूल पंक्तियाँ और स्तंभ कहा जाता है।

पदनाम: आर(ए), आर(ए), रंग ए।

टिप्पणी। जाहिर है, किसी मैट्रिक्स की रैंक उसके छोटे आयामों से अधिक नहीं हो सकती।

किसी भी मैट्रिक्स के लिए, उसकी लघु, पंक्ति और स्तंभ रैंक समान होती हैं.

सबूत. मान लीजिए कि मैट्रिक्स की छोटी रैंक है ए के बराबर होती है आर . आइए दिखाते हैं कि पंक्ति रैंक भी बराबर है आर . ऐसा करने के लिए, हम यह मान सकते हैं कि व्युत्क्रमणीय अवयस्क एम आदेश आर पहले में है आर मैट्रिक्स की पंक्तियाँ ए . यह इस प्रकार है कि पहला आर मैट्रिक्स पंक्तियाँ ए रैखिक रूप से स्वतंत्र और छोटी पंक्तियों का एक सेट एम रैखिक रूप से स्वतंत्र। होने देना ए -- लंबाई की डोरी आर , तत्वों से बना है मैं मैट्रिक्स की पंक्तियाँ, जो माइनर के समान कॉलम में स्थित हैं एम . चूँकि रेखाएँ छोटी हैं एम में आधार बनाएं के आर , वह ए -- लघु तारों का रैखिक संयोजन एम . से घटाएं मैं -वीं पंक्ति ए पहले का वही रैखिक संयोजन आर मैट्रिक्स पंक्तियाँ ए . यदि आप कॉलम संख्या में एक गैर-शून्य तत्व वाली स्ट्रिंग के साथ समाप्त होते हैं टी , तो गौण समझो एम 1 आदेश आर+1 मैट्रिक्स ए मैट्रिक्स की आठवीं पंक्ति को माइनर की पंक्तियों में जोड़कर ए और मैट्रिक्स के छोटे वें कॉलम के कॉलम तक ए (वे कहते हैं कि यह मामूली है एम 1 प्राप्त नाबालिग की सीमा एम का उपयोग करके मैं -वीं पंक्ति और टी वें मैट्रिक्स कॉलम ए ). हमारी पसंद से टी , यह माइनर उलटा है (यह इस माइनर की अंतिम पंक्ति से ऊपर चुने गए पहले वाले रैखिक संयोजन को घटाने के लिए पर्याप्त है आर पंक्तियाँ, और फिर अंतिम पंक्ति के साथ इसके निर्धारक का विस्तार करें ताकि यह सुनिश्चित हो सके कि यह निर्धारक गैर-शून्य अदिश कारक तक, लघु के निर्धारक के साथ मेल खाता है एम . ए-प्राथमिकता आर ऐसी स्थिति असंभव है और इसलिए, परिवर्तन के बाद मैं -वीं पंक्ति ए शून्य हो जायेगा. दूसरे शब्दों में, मूल मैं -वीं पंक्ति पहली का एक रैखिक संयोजन है आर मैट्रिक्स पंक्तियाँ ए . हमने वो सबसे पहले दिखाया आर पंक्तियाँ मैट्रिक्स पंक्तियों के एक सेट का आधार बनती हैं ए , वह है, स्ट्रिंग रैंक ए के बराबर होती है आर . यह साबित करने के लिए कि कॉलम रैंक है आर , उपरोक्त तर्क में "पंक्तियों" और "स्तंभों" को स्वैप करना पर्याप्त है। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

इस प्रमेय से पता चलता है कि मैट्रिक्स के तीन रैंकों के बीच अंतर करने का कोई मतलब नहीं है, और इसके बाद, मैट्रिक्स के रैंक से हम पंक्ति रैंक को समझेंगे, यह याद रखते हुए कि यह कॉलम और माइनर रैंक (नोटेशन) दोनों के बराबर है आर(ए) -मैट्रिक्स रैंक ए ). यह भी ध्यान दें कि रैंक प्रमेय के प्रमाण से यह पता चलता है कि मैट्रिक्स की रैंक मैट्रिक्स के किसी भी उलटे माइनर के आयाम के साथ मेल खाती है, जैसे कि इसकी सीमा से लगे सभी माइनर्स (यदि वे बिल्कुल मौजूद हैं) पतित हैं।

क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि इसके मुख्य मैट्रिक्स की रैंक इसके विस्तारित मैट्रिक्स की रैंक के बराबर है, और सिस्टम के पास एक अद्वितीय समाधान है यदि रैंक अज्ञात की संख्या के बराबर है, और एक यदि रैंक अज्ञात की संख्या से कम है तो समाधानों की अनंत संख्या।

ज़रूरत

व्यवस्था सहयोगी बने. फिर कुछ संख्याएं ऐसी हैं. इसलिए, कॉलम मैट्रिक्स के कॉलमों का एक रैखिक संयोजन है। इस तथ्य से कि एक मैट्रिक्स की रैंक नहीं बदलेगी यदि एक पंक्ति (कॉलम) को उसकी पंक्तियों (कॉलम) के सिस्टम से हटा दिया जाता है या जोड़ा जाता है, जो कि अन्य पंक्तियों (कॉलम) का एक रैखिक संयोजन है, यह इस प्रकार है।

पर्याप्तता

होने देना । आइए मैट्रिक्स में कुछ बुनियादी माइनर लें। चूँकि, तब यह मैट्रिक्स का आधार माइनर भी होगा। फिर, आधार लघु प्रमेय के अनुसार, मैट्रिक्स का अंतिम कॉलम आधार कॉलम, यानी मैट्रिक्स के कॉलम का एक रैखिक संयोजन होगा। इसलिए, सिस्टम के मुक्त पदों का कॉलम मैट्रिक्स के कॉलमों का एक रैखिक संयोजन है।

नतीजे

· सिस्टम के मुख्य वेरिएबल्स की संख्या सिस्टम की रैंक के बराबर होती है.

· एक सुसंगत प्रणाली को परिभाषित किया जाएगा (इसका समाधान अद्वितीय है) यदि प्रणाली की रैंक उसके सभी चरों की संख्या के बराबर है।

आधार पर प्रमेय गौण.

प्रमेय. एक मनमाना मैट्रिक्स ए में, प्रत्येक कॉलम (पंक्ति) कॉलम (पंक्तियों) का एक रैखिक संयोजन है जिसमें आधार नाबालिग स्थित है।

इस प्रकार, एक मनमाना मैट्रिक्स ए की रैंक मैट्रिक्स में रैखिक रूप से स्वतंत्र पंक्तियों (स्तंभों) की अधिकतम संख्या के बराबर है।

यदि A एक वर्ग मैट्रिक्स है और detA = 0 है, तो कम से कम एक स्तंभ शेष स्तंभों का एक रैखिक संयोजन है। स्ट्रिंग्स के लिए भी यही सच है। यह कथन रैखिक निर्भरता के गुण का अनुसरण करता है जब निर्धारक शून्य के बराबर होता है।

7. एसएलयू समाधान. क्रैमर विधि, मैट्रिक्स विधि, गॉस विधि।

क्रैमर विधि.

यह विधि केवल रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के मामले में भी लागू होती है, जहां चर की संख्या समीकरणों की संख्या के साथ मेल खाती है। इसके अलावा, सिस्टम गुणांकों पर प्रतिबंध लगाना आवश्यक है। यह आवश्यक है कि सभी समीकरण रैखिक रूप से स्वतंत्र हों, अर्थात्। कोई भी समीकरण दूसरों का रैखिक संयोजन नहीं होगा।

ऐसा करने के लिए, यह आवश्यक है कि सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक 0 के बराबर न हो।

दरअसल, यदि सिस्टम का कोई भी समीकरण दूसरों का एक रैखिक संयोजन है, तो यदि आप एक पंक्ति के तत्वों में दूसरी पंक्ति के तत्वों को जोड़ते हैं, तो कुछ संख्या से गुणा करके, रैखिक परिवर्तनों का उपयोग करके आप एक शून्य पंक्ति प्राप्त कर सकते हैं। इस मामले में निर्धारक शून्य के बराबर होगा।

प्रमेय. (क्रैमर का नियम):

प्रमेय. n अज्ञात के साथ n समीकरणों की प्रणाली

यदि सिस्टम मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के बराबर नहीं है, तो इसका एक अद्वितीय समाधान है और यह समाधान सूत्रों के अनुसार पाया जाता है:

एक्स आई = डी आई /डी, कहां

डी = डेट ए, और डी आई, कॉलम आई को मुक्त शर्तों वाले कॉलम बी आई के साथ प्रतिस्थापित करके सिस्टम मैट्रिक्स से प्राप्त मैट्रिक्स का निर्धारक है।

डी मैं =

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि।

मैट्रिक्स विधि समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए लागू होती है जहां समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है।

निम्न-क्रम प्रणालियों को हल करने के लिए यह विधि सुविधाजनक है।

यह विधि मैट्रिक्स गुणन के गुणों के अनुप्रयोग पर आधारित है।

आइए समीकरणों की प्रणाली दी जाए:

आइए आव्यूहों की रचना करें: ए = ; बी = ; एक्स = .

समीकरणों की प्रणाली लिखी जा सकती है: A×X = B.

आइए निम्नलिखित परिवर्तन करें: A -1 ×A×X = A -1 ×B, क्योंकि ए -1 ×ए = ई, फिर ई×एक्स = ए -1 ×बी

एक्स = ए -1 ×बी

इस पद्धति को लागू करने के लिए, व्युत्क्रम मैट्रिक्स को खोजना आवश्यक है, जो उच्च-क्रम प्रणालियों को हल करते समय कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों से जुड़ा हो सकता है।

परिभाषा। सामान्य रूप में n अज्ञात के साथ m समीकरणों की एक प्रणाली इस प्रकार लिखी गई है:

, (1)

जहां a ij गुणांक हैं, और b i स्थिरांक हैं। सिस्टम के समाधान n संख्याएँ हैं, जो सिस्टम में प्रतिस्थापित होने पर, इसके प्रत्येक समीकरण को एक पहचान में बदल देते हैं।

परिभाषा। यदि किसी सिस्टम में कम से कम एक समाधान है, तो उसे कहा जाता है संयुक्त. यदि किसी सिस्टम में एक भी समाधान नहीं है तो उसे कहा जाता है गैर संयुक्त.

परिभाषा। सिस्टम कहा जाता है निश्चित, यदि इसका केवल एक ही समाधान है और ढुलमुल, यदि एक से अधिक हो।

परिभाषा। फॉर्म (1) के रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के लिए, मैट्रिक्स

ए = सिस्टम का मैट्रिक्स और मैट्रिक्स कहा जाता है

ए*=
सिस्टम का विस्तारित मैट्रिक्स कहा जाता है

परिभाषा। यदि b 1, b 2, …,b m = 0, तो सिस्टम कहलाता है सजातीय. एक सजातीय प्रणाली हमेशा सुसंगत होती है।

प्रणालियों का प्राथमिक परिवर्तन।

प्राथमिक परिवर्तनों में शामिल हैं:

1) एक समीकरण के दोनों पक्षों में दूसरे के संगत भागों को जोड़ने पर, समान संख्या से गुणा करने पर, शून्य के बराबर नहीं।

2) समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करना।

3) सिस्टम से उन समीकरणों को हटाना जो सभी x के लिए सर्वसमिका हैं।

गॉस विधि रैखिक बीजगणितीय समीकरणों (एसएलएई) की प्रणाली को हल करने की एक शास्त्रीय विधि है। यह चरों के क्रमिक उन्मूलन की एक विधि है, जब प्राथमिक परिवर्तनों का उपयोग करते हुए, समीकरणों की एक प्रणाली को एक समतुल्य त्रिकोणीय प्रणाली में घटा दिया जाता है, जिसमें से अंतिम (संख्या के अनुसार) चर से शुरू करके अन्य सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं।

मूल प्रणाली को इस तरह दिखने दें

मैट्रिक्स को सिस्टम का मुख्य मैट्रिक्स कहा जाता है - मुक्त शब्दों का एक स्तंभ।

फिर, पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों की संपत्ति के अनुसार, इस प्रणाली के मुख्य मैट्रिक्स को सोपानक रूप में कम किया जा सकता है (समान परिवर्तनों को मुक्त शब्दों के कॉलम पर लागू किया जाना चाहिए):

फिर वेरिएबल्स को कॉल किया जाता है मुख्य चर. बाकी सभी को बुलाया जाता है मुक्त.

यदि कम से कम एक संख्या , कहां है , तो विचाराधीन प्रणाली असंगत है , अर्थात। उसके पास एक भी समाधान नहीं है.

इसे किसी के लिए भी रहने दीजिए.

आइए मुक्त चर को समान चिह्नों से आगे ले जाएं और प्रत्येक सिस्टम समीकरण को सबसे बाईं ओर उसके गुणांक से विभाजित करें (, जहां रेखा संख्या है):

यदि हम सिस्टम (2) के मुक्त चरों को सभी संभावित मान देते हैं और नीचे से ऊपर तक (अर्थात निचले समीकरण से ऊपरी तक) मुख्य अज्ञात के संबंध में नई प्रणाली को हल करते हैं, तो हम सभी प्राप्त करेंगे इस SLAE का समाधान. चूँकि यह प्रणाली मूल प्रणाली (1) पर प्राथमिक परिवर्तनों द्वारा प्राप्त की गई थी, तो प्राथमिक परिवर्तनों के तहत तुल्यता प्रमेय के अनुसार, प्रणाली (1) और (2) समतुल्य हैं, अर्थात, उनके समाधान के सेट मेल खाते हैं।

नतीजे:
1: यदि किसी संयुक्त प्रणाली में सभी चर मुख्य हैं, तो ऐसी प्रणाली निश्चित है।

2: यदि किसी प्रणाली में चरों की संख्या समीकरणों की संख्या से अधिक है, तो ऐसी प्रणाली या तो अनिश्चित है या असंगत है।

कलन विधि

गॉसियन विधि का उपयोग करके SLAE को हल करने के लिए एल्गोरिदम को दो चरणों में विभाजित किया गया है।

पहले चरण में, तथाकथित प्रत्यक्ष चाल को अंजाम दिया जाता है, जब, पंक्तियों पर प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से, सिस्टम को एक चरणबद्ध या त्रिकोणीय आकार में लाया जाता है, या यह स्थापित किया जाता है कि सिस्टम असंगत है। अर्थात्, मैट्रिक्स के पहले कॉलम के तत्वों में से, एक गैर-शून्य तत्व का चयन करें, इसे पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके सबसे ऊपर की स्थिति में ले जाएं, और पुनर्व्यवस्था के बाद शेष पंक्तियों से परिणामी पहली पंक्ति को घटाएं, इसे एक मान से गुणा करें इनमें से प्रत्येक पंक्ति के पहले तत्व और पहली पंक्ति के पहले तत्व के अनुपात के बराबर, इस प्रकार उसके नीचे के कॉलम को शून्य कर दिया जाता है। संकेतित परिवर्तनों के पूरा होने के बाद, पहली पंक्ति और पहले कॉलम को मानसिक रूप से काट दिया जाता है और तब तक जारी रखा जाता है जब तक कि शून्य आकार का मैट्रिक्स न रह जाए। यदि किसी भी पुनरावृत्ति पर पहले कॉलम के तत्वों के बीच कोई गैर-शून्य तत्व नहीं है, तो अगले कॉलम पर जाएं और एक समान ऑपरेशन करें।

दूसरे चरण में, तथाकथित रिवर्स चाल को अंजाम दिया जाता है, जिसका सार सभी परिणामी बुनियादी चर को गैर-बुनियादी चर के रूप में व्यक्त करना और समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करना है, या, यदि सभी चर बुनियादी हैं , फिर रैखिक समीकरणों की प्रणाली का एकमात्र समाधान संख्यात्मक रूप से व्यक्त करें। यह प्रक्रिया अंतिम समीकरण से शुरू होती है, जिसमें से संबंधित मूल चर व्यक्त किया जाता है (और केवल एक ही होता है) और पिछले समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, और इसी तरह, "चरणों" तक बढ़ते हुए। प्रत्येक पंक्ति बिल्कुल एक आधार चर से मेल खाती है, इसलिए अंतिम (सबसे ऊपरी) को छोड़कर हर चरण पर, स्थिति बिल्कुल अंतिम पंक्ति के मामले को दोहराती है।

सदिश. बुनियादी अवधारणाओं। डॉट उत्पाद, उसके गुण।

वेक्टरनिर्देशित खंड (बिंदुओं का एक क्रमित युग्म) कहा जाता है। वेक्टर भी शामिल हैं व्यर्थएक वेक्टर जिसका आरंभ और अंत मेल खाता है।

लंबाई (मॉड्यूल)वेक्टर वेक्टर की शुरुआत और अंत के बीच की दूरी है।

वैक्टर कहलाते हैं समरेख, यदि वे समान या समानांतर रेखाओं पर स्थित हों। शून्य वेक्टर किसी भी वेक्टर के संरेख होता है।

वैक्टर कहलाते हैं समतलीय, यदि कोई ऐसा तल है जिसके वे समानांतर हैं।

संरेख सदिश सदैव समतलीय होते हैं, लेकिन सभी समतलीय सदिश संरेख नहीं होते।

वैक्टर कहलाते हैं बराबर, यदि वे संरेख हैं, समान रूप से निर्देशित हैं और समान मॉड्यूल हैं।

सभी सदिशों को एक समान मूल में लाया जा सकता है, अर्थात। ऐसे वेक्टर बनाएं जो क्रमशः डेटा के बराबर हों और जिनकी उत्पत्ति एक समान हो। सदिशों की समानता की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी भी सदिश के बराबर अनंततः अनेक सदिश होते हैं।

रैखिक संचालनसदिशों के ऊपर किसी संख्या का जोड़ और गुणा करना कहलाता है।

सदिशों का योग सदिश है -

काम - , और संरेख है.

यदि a > 0 है तो वेक्टर, वेक्टर ( ) के साथ सह-दिशात्मक है।

वेक्टर वेक्टर ( ¯ ) के साथ विपरीत दिशा में निर्देशित है, यदि ए< 0.

सदिशों के गुण.

1) + = + - क्रमविनिमेयता।

2) + ( + ) = ( + )+

5) (ए×बी) = ए(बी) - साहचर्यता

6) (ए+बी) = ए + बी - वितरणशीलता

7) ए( + ) = ए + ए

1) आधारअंतरिक्ष में एक निश्चित क्रम में लिए गए कोई भी 3 गैर-समतलीय सदिश कहलाते हैं।

2) आधारएक समतल पर एक निश्चित क्रम में लिए गए कोई भी 2 असंरेख सदिश कहलाते हैं।

3)आधारकिसी रेखा पर कोई भी गैर-शून्य वेक्टर कहलाता है।

अगर अंतरिक्ष में एक आधार है और, फिर संख्याएं ए, बी और जी कहलाती हैं घटक या निर्देशांकइस आधार पर वेक्टर.

इस संबंध में हम निम्नलिखित लिख सकते हैं गुण:

समान सदिशों के समान निर्देशांक होते हैं,

जब किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो उसके घटकों को भी इस संख्या से गुणा किया जाता है,

वैक्टर जोड़ते समय, उनके संबंधित घटक जोड़े जाते हैं।

;
;

सदिशों की रैखिक निर्भरता।

परिभाषा। वैक्टर कहा जाता है रैखिक रूप से निर्भर, यदि ऐसा कोई रैखिक संयोजन मौजूद है, जिसमें i एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं है, यानी। .

यदि केवल जब a i = 0 संतुष्ट होता है, तो सदिशों को रैखिकतः स्वतंत्र कहा जाता है।

संपत्ति 1. यदि सदिशों के बीच शून्य सदिश है, तो ये सदिश रैखिक रूप से निर्भर होते हैं।

संपत्ति 2. यदि रैखिक रूप से निर्भर वैक्टरों की प्रणाली में एक या अधिक वेक्टर जोड़े जाते हैं, तो परिणामी प्रणाली भी रैखिक रूप से निर्भर होगी।

संपत्ति 3. सदिशों की एक प्रणाली रैखिक रूप से निर्भर होती है यदि और केवल तभी यदि एक सदिश को शेष सदिशों के रैखिक संयोजन में विघटित किया जाए।

संपत्ति 4. कोई भी 2 संरेख सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं और, इसके विपरीत, कोई भी 2 रैखिक रूप से आश्रित सदिश संरेख होते हैं।

संपत्ति 5. कोई भी 3 समतलीय सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं और, इसके विपरीत, कोई भी 3 रैखिकतः आश्रित सदिश समतलीय होते हैं।

संपत्ति 6. कोई भी 4 सदिश रैखिकतः आश्रित होते हैं।

निर्देशांक में वेक्टर लंबाईइसे वेक्टर के आरंभ और अंत बिंदुओं के बीच की दूरी के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि स्थान A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) में दो बिंदु दिए गए हैं।

यदि बिंदु M(x, y, z) खंड AB को l/m के अनुपात में विभाजित करता है, तो इस बिंदु के निर्देशांक इस प्रकार निर्धारित किए जाते हैं:

एक विशेष मामले में, निर्देशांक खंड का मध्यबिंदुजैसे पाए जाते हैं:

एक्स = (एक्स 1 + एक्स 2)/2; वाई = (वाई 1 + वाई 2)/2; जेड = (जेड 1 + जेड 2)/2.

निर्देशांक में सदिशों पर रैखिक संक्रियाएँ।

घूर्णन समन्वय अक्ष

अंतर्गत मोड़निर्देशांक अक्षों का अर्थ एक समन्वय परिवर्तन है जिसमें दोनों अक्षों को एक ही कोण से घुमाया जाता है, लेकिन मूल और पैमाना अपरिवर्तित रहता है।

मान लीजिए कि ऑक्सी प्रणाली को कोण α द्वारा घुमाकर नई प्रणाली O 1 x 1 y 1 प्राप्त की जाती है।

मान लीजिए M समतल पर एक मनमाना बिंदु है, (x;y) पुराने सिस्टम में इसके निर्देशांक हैं और (x";y") नए सिस्टम में हैं।

आइए हम एक सामान्य ध्रुव O और ध्रुवीय अक्ष Ox और Οx 1 (पैमाना समान है) के साथ दो ध्रुवीय समन्वय प्रणालियों का परिचय दें। ध्रुवीय त्रिज्या r दोनों प्रणालियों में समान है, और ध्रुवीय कोण क्रमशः α + j और φ के बराबर हैं, जहां नए ध्रुवीय प्रणाली में ध्रुवीय कोण है।

ध्रुवीय से आयताकार में संक्रमण के सूत्रों के अनुसार, हमारे पास निर्देशांक हैं

लेकिन rcosj = x" और rsinφ = y"। इसीलिए

परिणामी सूत्र कहलाते हैं अक्ष घूर्णन सूत्र . वे आपको उसी बिंदु M के नए निर्देशांक (x"; y") के माध्यम से एक मनमाना बिंदु M के पुराने निर्देशांक (x; y) निर्धारित करने की अनुमति देते हैं, और इसके विपरीत।

यदि समन्वय अक्षों के समानांतर स्थानांतरण और कोण α द्वारा अक्षों के बाद के घूर्णन द्वारा पुराने ऑक्सी से एक नई समन्वय प्रणाली O 1 x 1 y 1 प्राप्त की जाती है (चित्र 30 देखें), तो एक सहायक प्रणाली शुरू करके इसे प्राप्त करना आसान है सूत्र

किसी मनमाने बिंदु के पुराने x और y निर्देशांक को उसके नए x" और y" निर्देशांक के रूप में व्यक्त करना।

अंडाकार

दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, जो प्रत्येक से दूरियों का योग होता है

जो दो दिए गए बिंदुओं तक स्थिर है। इन बिंदुओं को फोकस और कहा जाता है

नामित हैं एफ1और F2, उनके बीच की दूरी 2s,और प्रत्येक बिंदु से दूरियों का योग

फोकस - 2ए(शर्त के अनुसार 2ए>2सी). आइए हम एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का निर्माण करें ताकि एफ1और F2एक्स-अक्ष पर थे, और मूल खंड के मध्य से मेल खाता था F1F2. आइए हम दीर्घवृत्त का समीकरण प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम(एक्स, वाई)दीर्घवृत्त. ए-प्राथमिकता: | एफ1एम |+| F2M |=2ए. एफ1एम =(x+c; y);F2M =(x-c; y).

|F1M|=(एक्स+ सी)2 + य 2 ; |F2M| = (एक्स- सी)2 + य 2

(एक्स+ सी)2 + य 2 + (एक्स- सी)2 + य 2 =2ए(5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(एक्स- सी)2 + य 2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a(एक्स- सी)2 + य 2

a2-cx=a(एक्स- सी)2 + य 2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

क्योंकि 2ए>2सी(त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है), तो a2-c2>0.

होने देना a2-c2=b2

निर्देशांक (a, 0), (−a, 0), (b, 0) और (−b, 0) वाले बिंदुओं को दीर्घवृत्त के शीर्ष कहा जाता है, मान a दीर्घवृत्त का अर्ध-प्रमुख अक्ष है, और मान b इसका अर्ध-लघु अक्ष है। बिंदु F1(c, 0) और F2(−c, 0) को नाभियाँ कहा जाता है

दीर्घवृत्त, और फोकस F1 को दायां कहा जाता है, और फोकस F2 को बायां कहा जाता है। यदि बिंदु M एक दीर्घवृत्त से संबंधित है, तो दूरियाँ |F1M| और |F2M| इन्हें फोकल रेडी कहा जाता है और इन्हें क्रमशः r1 और r2 द्वारा दर्शाया जाता है। मात्रा e =c/a को दीर्घवृत्त की विलक्षणता कहा जाता है। समीकरण x =a/e वाली रेखाएँ

और x = −a/e को दीर्घवृत्त की नियताएं कहा जाता है (e = 0 के लिए दीर्घवृत्त की कोई नियताएं नहीं हैं)।

सामान्य समतल समीकरण

तीन चर x, y और z के साथ एक सामान्य प्रथम-डिग्री समीकरण पर विचार करें:

यह मानते हुए कि कम से कम एक गुणांक ए, बी या सी शून्य के बराबर नहीं है, उदाहरण के लिए, हम समीकरण (12.4) को इस रूप में फिर से लिखते हैं