एब्सिस्सा समन्वय प्रणाली. एक कोर्डिनेट क्या है? किसी खंड की लंबाई निर्धारित करने में भी समस्याएं आती हैं

शब्द "ऑर्डिनेट" लैटिन "ऑर्डिनैटस" से आया है - "क्रम में व्यवस्थित।" ऑर्डिनेट एक विशुद्ध गणितीय शब्द है जिसका उपयोग आयताकार समन्वय प्रणाली में किसी बिंदु के निर्देशांक को दर्शाने के लिए किया जाता है।

आइए थोड़ा और बारीकी से देखें कि कोटि क्या है।

एब्सिस्सा, कोर्डिनेट और एप्लिकेट

एक आयताकार द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में, किसी विशेष बिंदु या खंड के निर्देशांक को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए भुज और कोटि का उपयोग किया जाता है। भुज OX अक्ष के अनुदिश बिंदु का निर्देशांक है, कोटि OY अक्ष के अनुदिश बिंदु का निर्देशांक है। एक आयताकार समन्वय प्रणाली में रुचि के बिंदु के भुज और कोटि मान को निर्धारित करने के लिए, इस बिंदु से क्रमशः OX और OY अक्षों पर लंबवत खींचना आवश्यक है। अक्षों पर मान बिंदु के भुज और कोटि मान होंगे।

यदि बिंदु त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली में स्थित है, तो "एप्लिकेट" की अवधारणा भी जोड़ी जाती है - यह OZ अक्ष के साथ बिंदु का मान है।

एक बिंदु को कैसे चिह्नित करें और भुज और कोटि का उपयोग करके ग्राफ कैसे बनाएं

जैसे, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक बिंदु होने पर, आप उसका भुज और कोटि ज्ञात कर सकते हैं, और भुज और कोटि के मूल्यों को जानकर, आप समन्वय प्रणाली में एक बिंदु को चिह्नित कर सकते हैं। किसी बिंदु के निर्देशांक आमतौर पर निम्नलिखित प्रारूप में दर्शाए जाते हैं - ए (2; 5), पहले एब्सिस्सा मान इंगित किया जाता है, अर्थात, ओएक्स अक्ष के साथ बिंदु का मान, और फिर कोटि मान - के साथ मान ओए अक्ष.

भुज और कोटि एक बिंदु को परिभाषित कर सकते हैं, भुज और कोटि का एक जोड़ा एक सीधे खंड को परिभाषित कर सकता है, और उदाहरण के लिए, एक परवलय का निर्माण करने के लिए, आपको तीन भुजाओं और कोटि को जानने की आवश्यकता होगी।

किसी विशेष ग्राफ के निर्माण के लिए, भुज पर कोटि मानों की निर्भरता का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए: y = 2x + 8. एक ग्राफ बनाने के लिए, आपको विभिन्न x मानों से गुजरना होगा और समन्वय प्रणाली पर संबंधित y मानों को चिह्नित करना होगा।

अध्याय आठवीं

निर्देशांक और सरल ग्राफ़िक्स

§ 41. समन्वय अक्ष. समतल पर एक बिंदु का भुज और कोटि।

1258. एक आयताकार समन्वय प्रणाली का निर्माण करें और निम्नलिखित निर्देशांक वाले बिंदुओं को चिह्नित करें:

1) एक्स = 5, पर = 3; 2) एक्स = - 4, पर = 6;

3) एक्स = - 3, पर =- 4; 4) एक्स = 5, य = -2.

1259. निम्नलिखित निर्देशांक के साथ बिंदु बनाएं:

1) एक्स = 8 1 / 2 , पर = - 5 1 / 2 2) एक्स = - 6,5, पर = 4,5;

3) एक्स = -2,8, पर =-3,2; 4) एक्स = 7,3, पर =8,4;

5) ए (-3 3/4; 5 1/2); "6) वी (-0.8; - एल.4). ,

1260. 1) इन निर्देशांकों का उपयोग करके, बिंदु बनाएं और इंगित करें कि बिंदु किन परिस्थितियों में अक्ष पर स्थित हैं एक्स -ओव या अक्ष पर वाई -एस।

1) एक्स = 4, पर = 0;

2) एक्स =- 2, पर = 0\

3) एक्स = 0, पर = 3;

4) एक्स = 0, पर =-4;

5) एक्स = 0, पर = 0.

2) चित्र 35 पर दर्शाए गए प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें और रिकॉर्ड करें।

1261. निर्देशांक वाले दो बिंदुओं को जोड़ने वाली एक सीधी रेखा बनाएं:

1) ए(5; 4) और बी (-3;-2); 2) सी (-4; 2) और डी (5; - 3)।

1262. 1) शीर्ष A, B और C के निर्देशांकों का उपयोग करके एक त्रिभुज की रचना करें:

ए (4; 5); बी (8; 2); सी (- 6; 3).

2) शीर्ष A, B, C और D के निर्देशांक के अनुसार एक चतुर्भुज की रचना करें:

ए (- 3; 8); बी (10; 6); सी (5; -5); डी (-7; -4).

1263. 1) बिंदु A (4; 6) दिया गया है। x-अक्ष के सापेक्ष बिंदु A के सममित बिंदु B की रचना करें ओह , और इस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें।

2) x-अक्ष के सापेक्ष सममित रूप से स्थित कई और बिंदुओं का निर्माण करें।

3) दिखाएँ कि यदि बिंदु A और B भुज अक्ष के बारे में सममित हैं, तो उनके भुज बराबर हैं, और उनके निर्देशांक केवल चिह्नों में भिन्न हैं।

1264. 1) कोटि अक्ष के सापेक्ष बिंदु A के सममित बिंदु A(4; 6) और बिंदु B की रचना करें। इन बिंदुओं के भुज और कोटि में क्या अंतर है?

2) कोटि अक्ष के परितः सममित बिंदुओं के कई युग्म बनाएं ओए , उनके निर्देशांक खोजें और दिखाएं कि यदि बिंदु A और B कोटि अक्ष के बारे में सममित हैं, तो उनके निर्देशांक बराबर हैं, और भुज केवल चिह्नों में भिन्न हैं।

1265. 1) बिंदु ए (3; 7) और बिंदु बी की रचना करें, जो मूल बिंदु के सापेक्ष बिंदु ए के सममित हों। इन बिंदुओं के भुज और कोटि में क्या अंतर है?

2) ऐसे बिंदुओं के कई जोड़े बनाएं जो निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में सममित हों और दिखाएं कि ऐसे बिंदुओं के प्रत्येक जोड़े के निर्देशांक केवल चिह्न में भिन्न होते हैं।

1266. समतल पर बिंदु हैं:

ए(1; 3); बी(2; 5); सी(1; -3); डी(-2; -5); ई(-1; 3).

निर्धारित करें कि इन बिंदुओं के कौन से जोड़े निम्नलिखित के संबंध में सममित हैं: 1) भुज अक्ष; 2) समन्वय अक्ष; 3) निर्देशांक की उत्पत्ति.

1267. 1) इसके शीर्षों के निम्नलिखित निर्देशांकों का उपयोग करके एक चतुर्भुज की रचना करें: "

ए(0; 0); बी(1; 3); सी (8; 5); डी(9; 1).

टिप्पणी।स्केल इकाई के रूप में 1 सेमी लें।

2) शीर्ष A से, चतुर्भुज का विकर्ण बनाएं और, परिणामी त्रिभुजों के आधार और ऊंचाई को सीधे मापकर (0.1 सेमी की सटीकता के साथ), उनके क्षेत्रफल और संपूर्ण चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करें।

3) शीर्ष से दूसरे विकर्ण तक रेखांकन करें और उचित माप और गणना करके फिर से चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

4) प्राप्त दो परिणामों के अंकगणितीय माध्य की गणना करें और उत्तर को दो महत्वपूर्ण अंकों में पूर्णांकित करें।

5) यह जानते हुए कि इस चतुर्भुज का क्षेत्रफल 28 सेमी है, परिणामी उत्तर की निरपेक्ष और सापेक्ष त्रुटियाँ ज्ञात करें 2 .

1268. दिन के दौरान हवा के तापमान माप के परिणाम निम्नलिखित तालिका में दर्ज किए गए हैं:

1) तालिका डेटा का उपयोग करके, दिन के दौरान हवा के तापमान में परिवर्तन का एक ग्राफ बनाएं।

2) शेड्यूल के अनुसार हवा का तापमान निर्धारित करें: 3 बजे; 9 बजे; 13 बजे; 21 बजे

3) ग्राफ़ से पता लगाएं कि किस समय हवा का तापमान बराबर था: -1°; -4°; + 2°; +5°.

4) ग्राफ के अनुसार स्थापित करें कि किस अवधि में तापमान बढ़ा और गिरा।

5) ग्राफ़ से पता लगाएं कि दिन के दौरान तापमान कब सबसे अधिक और सबसे कम था।

1269. जब कोई पिंड मुक्त रूप से गिरता है, तो किसी भी समय गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है वी = जीटी , कहाँ वी - गति मीटर प्रति सेकंड में, जी ≈ 9.81 मीटर/सेकंड 2 , टी - सेकंड में समय.

गिरने के समय के आधार पर किसी गिरते हुए पिंड की गति में होने वाले परिवर्तनों का ग्राफ बनाइए।

1270. भूमध्यरेखीय प्रशांत महासागर में बढ़ती गहराई के साथ पानी के तापमान में परिवर्तन के अवलोकन से, निम्नलिखित डेटा प्राप्त हुए:

1) गहराई में परिवर्तन के साथ पानी के तापमान में परिवर्तन का एक ग्राफ बनाएं।

2) निर्धारित करें कि किस गहराई पर पानी का तापमान सबसे तेजी से घटता है? सबसे धीमा?

1271. जब हीटिंग शुरू हुई, तो बॉयलर में पानी का तापमान 8° था। गर्म करने पर पानी का तापमान हर मिनट 2° बढ़ जाता है।

1).समय के आधार पर पानी के तापमान में परिवर्तन को व्यक्त करने वाला एक सूत्र लिखें टी इसे गर्म करना.

2) मानों की एक तालिका बनाएं पर 1 मिनट से 10 मिनट तक के समय के लिए।

3) तापन समय में परिवर्तन के आधार पर पानी के तापमान में परिवर्तन का एक ग्राफ बनाएं

4) 1 की सटीकता के साथ ग्राफ़ से ज्ञात करें: गर्म करने के 14 मिनट बाद पानी का तापमान; हीटिंग शुरू होने के कितने मिनट बाद पानी का तापमान 20° तक पहुंच जाएगा? 35°? सूत्र का उपयोग करके गणना करके जांचें।

यदि आप किसी शून्य बिंदु पर हैं और सोच रहे हैं कि किसी अन्य बिंदु पर जाने के लिए आपको कितनी इकाइयों की दूरी सीधे आगे और फिर सीधे दाईं ओर जाने की आवश्यकता है, तो आप पहले से ही विमान पर एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं। और यदि बिंदु उस तल के ऊपर स्थित है जिस पर आप खड़े हैं, और अपनी गणना में आप सीढ़ियों के साथ बिंदु पर एक निश्चित संख्या में दूरी इकाइयों द्वारा सख्ती से ऊपर की ओर एक चढ़ाई जोड़ते हैं, तो आप पहले से ही एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग कर रहे हैं अंतरिक्ष।

एक समान मूल (निर्देशांक की उत्पत्ति) और लंबाई की एक सामान्य इकाई के साथ एक दूसरे के लंबवत दो या तीन प्रतिच्छेदी अक्षों की एक क्रमबद्ध प्रणाली को कहा जाता है आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली .

फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस (1596-1662) का नाम मुख्य रूप से एक समन्वय प्रणाली से जुड़ा है जिसमें सभी अक्षों पर लंबाई की एक सामान्य इकाई मापी जाती है और अक्ष सीधे होते हैं। आयताकार के अलावा, वहाँ है सामान्य कार्टेशियन समन्वय प्रणाली (एफ़िन समन्वय प्रणाली). इसमें वे अक्ष भी शामिल हो सकते हैं जो आवश्यक रूप से लंबवत नहीं हैं। यदि अक्ष लंबवत हैं, तो समन्वय प्रणाली आयताकार है।

एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली दो अक्ष हैं और अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली - तीन अक्ष. किसी समतल या अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को निर्देशांक के एक क्रमबद्ध सेट द्वारा परिभाषित किया जाता है - समन्वय प्रणाली की लंबाई की इकाई के अनुरूप संख्याएँ।

ध्यान दें कि, परिभाषा के अनुसार, एक सीधी रेखा पर, यानी एक आयाम में, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली होती है। एक रेखा पर कार्टेशियन निर्देशांक का परिचय उन तरीकों में से एक है जिसके द्वारा एक रेखा पर कोई भी बिंदु एक अच्छी तरह से परिभाषित वास्तविक संख्या, यानी एक समन्वय के साथ जुड़ा हुआ है।

समन्वय पद्धति, जो रेने डेसकार्टेस के कार्यों में उत्पन्न हुई, ने सभी गणित के एक क्रांतिकारी पुनर्गठन को चिह्नित किया। ज्यामितीय छवियों (ग्राफ़) के रूप में बीजगणितीय समीकरणों (या असमानताओं) की व्याख्या करना और, इसके विपरीत, विश्लेषणात्मक सूत्रों और समीकरणों की प्रणालियों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं के समाधान ढूंढना संभव हो गया। हाँ, असमानता जेड < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyऔर इस तल से 3 इकाई ऊपर स्थित है।

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हुए, किसी दिए गए वक्र पर एक बिंदु की सदस्यता इस तथ्य से मेल खाती है कि संख्याएं एक्सऔर यकुछ समीकरण संतुष्ट करें. इस प्रकार, किसी दिए गए बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त पर एक बिंदु के निर्देशांक ( ए; बी) समीकरण को संतुष्ट करें (एक्स - ए)² + ( य - बी)² = आर² .

एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली

एक समान मूल और समान स्केल इकाई वाले एक समतल पर दो लंबवत अक्ष बनते हैं समतल पर कार्तीय आयताकार समन्वय प्रणाली . इनमें से एक अक्ष को अक्ष कहा जाता है बैल, या X- अक्ष , अन्य - धुरी ओए, या शाफ़्ट . इन अक्षों को निर्देशांक अक्ष भी कहा जाता है। आइए हम इसे निरूपित करें एमएक्सऔर एमयक्रमशः, एक मनमाना बिंदु का प्रक्षेपण एमअक्ष पर बैलऔर ओए. प्रक्षेपण कैसे प्राप्त करें? आइए मुद्दे पर चलते हैं एम बैल. यह सीधी रेखा अक्ष को काटती है बैलबिंदु पर एमएक्स. आइए मुद्दे पर चलते हैं एमअक्ष के लंबवत् सीधी रेखा ओए. यह सीधी रेखा अक्ष को काटती है ओएबिंदु पर एमय. यह नीचे चित्र में दिखाया गया है.

एक्सऔर यअंक एमहम तदनुसार निर्देशित खंडों के मूल्यों को कॉल करेंगे ॐएक्सऔर ॐय. इन निर्देशित खंडों के मूल्यों की गणना तदनुसार की जाती है एक्स = एक्स0 - 0 और य = य0 - 0 . कार्तीय निर्देशांक एक्सऔर यअंक एम सूच्याकार आकृति का भुज और तालमेल . तथ्य यह है कि बात एमनिर्देशांक हैं एक्सऔर य, को इस प्रकार दर्शाया गया है: एम(एक्स, य) .

निर्देशांक अक्ष समतल को चार भागों में विभाजित करते हैं वृत्त का चतुर्थ भाग , जिसकी संख्या नीचे दिए गए चित्र में दिखाई गई है। यह किसी विशेष चतुर्थांश में उनके स्थान के आधार पर बिंदुओं के निर्देशांक के लिए संकेतों की व्यवस्था को भी दर्शाता है।

एक समतल पर कार्टेशियन आयताकार निर्देशांक के अलावा, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली पर भी अक्सर विचार किया जाता है। एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में संक्रमण की विधि के बारे में - पाठ में ध्रुवीय समन्वय प्रणाली .

अंतरिक्ष में आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली

अंतरिक्ष में कार्तीय निर्देशांक को समतल में कार्तीय निर्देशांक के साथ पूर्ण सादृश्य में पेश किया जाता है।

एक समान मूल के साथ अंतरिक्ष में तीन परस्पर लंबवत अक्ष (समन्वय अक्ष)। हेऔर समान पैमाने की इकाई के साथ वे बनते हैं अंतरिक्ष में कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली .

इनमें से एक अक्ष को अक्ष कहा जाता है बैल, या X- अक्ष , अन्य - धुरी ओए, या शाफ़्ट , तीसरा - अक्ष आउंस, या अक्ष अनुप्रयोग . होने देना एमएक्स, एमय एमजेड- एक मनमाने बिंदु का प्रक्षेपण एमअक्ष पर स्थान बैल , ओएऔर आउंसक्रमश।

आइए मुद्दे पर चलते हैं एम बैलबैलबिंदु पर एमएक्स. आइए मुद्दे पर चलते हैं एमअक्ष के लंबवत समतल ओए. यह तल अक्ष को प्रतिच्छेद करता है ओएबिंदु पर एमय. आइए मुद्दे पर चलते हैं एमअक्ष के लंबवत समतल आउंस. यह तल अक्ष को प्रतिच्छेद करता है आउंसबिंदु पर एमजेड.

कार्तीय आयताकार निर्देशांक एक्स , यऔर जेडअंक एमहम तदनुसार निर्देशित खंडों के मूल्यों को कॉल करेंगे ॐएक्स, ॐयऔर ॐजेड. इन निर्देशित खंडों के मूल्यों की गणना तदनुसार की जाती है एक्स = एक्स0 - 0 , य = य0 - 0 और जेड = जेड0 - 0 .

कार्तीय निर्देशांक एक्स , यऔर जेडअंक एमतदनुसार बुलाया जाता है सूच्याकार आकृति का भुज , तालमेल और आवेदन करें .

जोड़े में लिए गए निर्देशांक अक्ष निर्देशांक तलों में स्थित होते हैं xOy , yOzऔर ज़ोक्स .

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में बिंदुओं के बारे में समस्याएं

उदाहरण 1।

ए(2; -3) ;

बी(3; -1) ;

सी(-5; 1) .

भुज अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान। इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, भुज अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण भुज अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष बैल, और इसलिए बिंदु के भुज के बराबर एक भुज है, और एक कोटि (अक्ष पर निर्देशांक) है ओए, जिसे x-अक्ष बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करता है), जो शून्य के बराबर है। तो हमें x-अक्ष पर इन बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं:

एएक्स(2;0);

बीएक्स(3;0);

सीएक्स (-5; 0).

उदाहरण 2.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(-3; 2) ;

बी(-5; 1) ;

सी(3; -2) .

कोटि अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान। इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, कोटि अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कोटि अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष ओए, और इसलिए इसकी एक कोटि बिंदु की कोटि के बराबर होती है, और एक भुज (अक्ष पर निर्देशांक) होता है बैल, जिसे कोटि अक्ष बिंदु 0 पर प्रतिच्छेद करता है), जो शून्य के बराबर है। तो हमें कोटि अक्ष पर इन बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं:

एआप(0;2);

बीआप(0;1);

सीआप(0;-2).

उदाहरण 3.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(2; 3) ;

बी(-3; 2) ;

सी(-1; -1) .

बैल .

बैल बैल बैल, दिए गए बिंदु के समान भुज होगा, और दिए गए बिंदु की कोटि के निरपेक्ष मान के बराबर और चिह्न में विपरीत कोटि होगी। तो हमें अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं बैल :

ए"(2; -3) ;

बी"(-3; -2) ;

सी"(-1; 1) .

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करके समस्याओं को स्वयं हल करें, और फिर समाधान देखें

उदाहरण 4.निर्धारित करें कि किस चतुर्थांश में (क्वार्टर, चतुर्भुज के साथ आरेखण - पैराग्राफ के अंत में "एक समतल पर आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली") एक बिंदु स्थित हो सकता है एम(एक्स; य) , अगर

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) एक्स − य = 0 ;

4) एक्स + य = 0 ;

5) एक्स + य > 0 ;

6) एक्स + य < 0 ;

7) एक्स − य > 0 ;

8) एक्स − य < 0 .

उदाहरण 5.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(-2; 5) ;

बी(3; -5) ;

सी(ए; बी) .

अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ओए .

आइए मिलकर समस्याओं का समाधान करना जारी रखें

उदाहरण 6.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(-1; 2) ;

बी(3; -1) ;

सी(-2; -2) .

अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ओए .

समाधान। अक्ष के चारों ओर 180 डिग्री घुमाएँ ओएअक्ष से दिशात्मक खंड ओएयहां तक। चित्र में, जहां समतल के चतुर्थांश दर्शाए गए हैं, हम देखते हैं कि अक्ष के सापेक्ष बिंदु दिए गए बिंदु के सममित है ओए, दिए गए बिंदु के समान कोटि होगी, और एक भुज, दिए गए बिंदु के भुज के निरपेक्ष मान के बराबर और चिह्न में विपरीत होगा। तो हमें अक्ष के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओए :

ए"(1; 2) ;

बी"(-3; -1) ;

सी"(2; -2) .

उदाहरण 7.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, बिंदु समतल पर दिए जाते हैं

ए(3; 3) ;

बी(2; -4) ;

सी(-2; 1) .

मूल बिंदु के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

समाधान। हम मूल बिंदु से दिए गए बिंदु तक जाने वाले निर्देशित खंड को मूल के चारों ओर 180 डिग्री तक घुमाते हैं। चित्र में, जहां समतल के चतुर्भुजों को दर्शाया गया है, हम देखते हैं कि निर्देशांक की उत्पत्ति के सापेक्ष दिए गए बिंदु के सममित बिंदु में एक भुज और कोटि होगा जो दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के निरपेक्ष मान के बराबर होगा, लेकिन संकेत में विपरीत. तो हमें मूल बिंदु के सापेक्ष इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं:

ए"(-3; -3) ;

बी"(-2; 4) ;

सी(2; -1) .

उदाहरण 8.

ए(4; 3; 5) ;

बी(-3; 2; 1) ;

सी(2; -3; 0) .

इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निर्देशांक खोजें:

1) हवाई जहाज़ पर ऑक्सी ;

2) हवाई जहाज़ पर ऑक्सज़ ;

3) विमान को ओयज़ ;

4) भुज अक्ष पर;

5) कोटि अक्ष पर;

6) आवेदन अक्ष पर।

1) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ऑक्सीइस तल पर ही स्थित है, और इसलिए इसमें एक दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के बराबर एक भुज और कोटि है, और शून्य के बराबर एक अनुप्रयोग है। तो हमें इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सी :

एxy (4; 3; 0);

बीxy (-3; 2; 0);

सीxy(2;-3;0).

2) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ऑक्सज़इस तल पर ही स्थित है, और इसलिए इसमें दिए गए बिंदु के भुज और अनुपूरक के बराबर एक भुज और अनुपूरक है, और शून्य के बराबर एक कोटि है। तो हमें इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सज़ :

एxz (4; 0; 5);

बीxz (-3; 0; 1);

सीxz (2; 0; 0).

3) एक बिंदु का समतल पर प्रक्षेपण ओयज़इस तल पर ही स्थित है, और इसलिए इसकी कोटि और अनुपूरक किसी दिए गए बिंदु की कोटि और अनुप्रयुक्त के बराबर है, और भुज शून्य के बराबर है। तो हमें इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओयज़ :

एyz(0; 3; 5);

बीyz (0; 2; 1);

सीyz (0; -3; 0).

4) इस पाठ के सैद्धांतिक भाग के अनुसार, भुज अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण भुज अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष बैल, और इसलिए इसका भुज स्वयं बिंदु के भुज के बराबर होता है, और प्रक्षेपण की कोटि और अनुप्रयुक्त अक्ष शून्य के बराबर होते हैं (क्योंकि कोटि और अनुप्रयुक्त अक्ष भुज को बिंदु 0 पर काटते हैं)। हम भुज अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

एएक्स(4;0;0);

बीएक्स (-3; 0; 0);

सीएक्स(2;0;0).

5) कोटि अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण कोटि अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष ओए, और इसलिए इसकी कोटि स्वयं बिंदु की कोटि के बराबर होती है, और प्रक्षेपण के भुज और अनुप्रयुक्त अक्ष शून्य के बराबर होते हैं (चूंकि भुज और अनुप्रयुक्त अक्ष कोटि अक्ष को बिंदु 0 पर काटते हैं)। हम कोटि अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

एआप(0; 3; 0);

बीय (0; 2; 0);

सीy(0;-3;0).

6) एप्लिकेट अक्ष पर एक बिंदु का प्रक्षेपण एप्लिकेट अक्ष पर ही स्थित होता है, अर्थात अक्ष आउंस, और इसलिए इसका एप्लिकेट बिंदु के एप्लिकेट के बराबर है, और प्रक्षेपण का एब्सिस्सा और कोटि शून्य के बराबर है (चूंकि एब्सिस्सा और कोटि अक्ष एप्लिकेट अक्ष को बिंदु 0 पर काटते हैं)। हम अनुप्रयोग अक्ष पर इन बिंदुओं के प्रक्षेपण के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

एजेड (0; 0; 5);

बीजेड (0; 0; 1);

सीz(0; 0; 0).

उदाहरण 9.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में, अंक अंतरिक्ष में दिए गए हैं

ए(2; 3; 1) ;

बी(5; -3; 2) ;

सी(-3; 2; -1) .

इन बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए:

1) विमान ऑक्सी ;

2) विमान ऑक्सज़ ;

3) विमान ओयज़ ;

4) भुज कुल्हाड़ियाँ;

5) कोर्डिनेट कुल्हाड़ियाँ;

6) कुल्हाड़ियों को लागू करें;

7) निर्देशांक की उत्पत्ति.

1) बिंदु को अक्ष के दूसरी ओर "स्थानांतरित करें"। ऑक्सी ऑक्सी, किसी दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के बराबर एक भुज और कोटि होगा, और एक दिए गए बिंदु के भुज और कोटि के परिमाण के बराबर एक ऐप्लिकेट होगा, लेकिन चिह्न में विपरीत होगा। तो, हमें विमान के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सी :

ए"(2; 3; -1) ;

बी"(5; -3; -2) ;

सी"(-3; 2; 1) .

2) बिंदु को अक्ष के दूसरी ओर "स्थानांतरित करें"। ऑक्सज़समान दूरी तक. निर्देशांक स्थान प्रदर्शित करने वाले चित्र से, हम देखते हैं कि अक्ष के सापेक्ष एक बिंदु सममित है ऑक्सज़, एक भुज होगा और किसी दिए गए बिंदु के भुज और अनुप्रयुक्त के बराबर होगा, और एक कोटि किसी दिए गए बिंदु की कोटि के परिमाण के बराबर होगा, लेकिन चिह्न में विपरीत होगा। तो, हमें विमान के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ऑक्सज़ :

ए"(2; -3; 1) ;

बी"(5; 3; 2) ;

सी"(-3; -2; -1) .

3) बिंदु को अक्ष के दूसरी ओर "स्थानांतरित करें"। ओयज़समान दूरी तक. निर्देशांक स्थान प्रदर्शित करने वाले चित्र से, हम देखते हैं कि अक्ष के सापेक्ष एक बिंदु सममित है ओयज़, किसी दिए गए बिंदु के कोटि और एप्लिकेट के बराबर एक कोटि और एक अनुप्रयुक्त होगा, और एक भुज किसी दिए गए बिंदु के भुज के मान के बराबर होगा, लेकिन चिह्न में विपरीत होगा। तो, हमें विमान के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक मिलते हैं ओयज़ :

ए"(-2; 3; 1) ;

बी"(-5; -3; 2) ;

सी"(3; 2; -1) .

समतल पर सममित बिंदुओं और अंतरिक्ष में बिंदुओं के अनुरूप, जो विमानों के सापेक्ष डेटा के सममित हैं, हम ध्यान दें कि अंतरिक्ष में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुछ अक्ष के संबंध में समरूपता के मामले में, अक्ष पर समन्वय के संबंध में जो समरूपता दी गई है वह अपना चिह्न बनाए रखेगी, और अन्य दो अक्षों पर निर्देशांक निरपेक्ष मान में किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक के समान होंगे, लेकिन चिह्न में विपरीत होंगे।

4) भुज अपना चिह्न बनाए रखेगा, लेकिन कोटि और अनुप्रयुक्त चिह्न बदल देंगे। तो, हम भुज अक्ष के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

ए"(2; -3; -1) ;

बी"(5; 3; -2) ;

सी"(-3; -2; 1) .

5) कोटि अपना चिन्ह बनाए रखेगी, लेकिन भुज और एप्लिकेट चिन्ह बदल देंगे। तो, हम कोटि अक्ष के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

ए"(-2; 3; -1) ;

बी"(-5; -3; -2) ;

सी"(3; 2; 1) .

6) आवेदक अपना चिह्न बनाए रखेगा, लेकिन भुज और कोटि चिह्न बदल देंगे। तो, हम आवेदक अक्ष के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं:

ए"(-2; -3; 1) ;

बी"(-5; 3; 2) ;

सी"(3; -2; -1) .

7) किसी समतल पर बिंदुओं के मामले में समरूपता के अनुरूप, निर्देशांक की उत्पत्ति के बारे में समरूपता के मामले में, किसी दिए गए बिंदु के सममित बिंदु के सभी निर्देशांक किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होंगे, लेकिन संकेत में उनके विपरीत. तो, हम मूल बिंदु के सापेक्ष डेटा के सममित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक प्राप्त करते हैं।

यह बिन्दु अक्ष पर है X'Xएक आयताकार समन्वय प्रणाली में. एक बिंदु का भुज मान एखंड की लंबाई के बराबर ओ.बी.(तस्वीर देखने)। अगर बात बीसकारात्मक अर्ध-अक्ष से संबंधित है बैल, तो भुज का एक सकारात्मक मान है। अगर बात बीनकारात्मक अर्ध-अक्ष से संबंधित है एक्स'ओ, तो भुज का मान ऋणात्मक है। अगर बात एअक्ष पर स्थित है Y Y, तो इसका भुज शून्य है।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, एक किरण (सीधी रेखा) X'Xइसे "एब्सिस्सा अक्ष" कहा जाता है। फ़ंक्शंस प्लॉट करते समय, एक्स-अक्ष का उपयोग आमतौर पर फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन के रूप में किया जाता है।

शब्द-साधन

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लिंक

• एब्सिस्सा // ग्रेट सोवियत इनसाइक्लोपीडिया: [30 खंडों में] / अध्याय। ईडी। ए. एम. प्रोखोरोव. - तीसरा संस्करण। - एम। : सोवियत विश्वकोश, 1969-1978।

एब्सिस्सा की विशेषता बताने वाला अंश

"हालाँकि, मैं तुम्हें शर्मिंदा कर रहा हूँ," उसने धीरे से उससे कहा, "चलो, व्यापार के बारे में बात करें, और मैं चला जाऊँगा।"
"नहीं, बिल्कुल नहीं," बोरिस ने कहा। और अगर तुम थके हो तो चलो मेरे कमरे में चलो और लेट जाओ और आराम करो।
- वास्तव में...
वे उस छोटे से कमरे में दाखिल हुए जहाँ बोरिस सो रहा था। रोस्तोव, बिना बैठे, तुरंत जलन के साथ - जैसे कि बोरिस उसके सामने किसी चीज़ का दोषी था - उसे डेनिसोव का मामला बताना शुरू कर दिया, पूछा कि क्या वह चाहता है और संप्रभु से अपने जनरल के माध्यम से डेनिसोव के बारे में पूछ सकता है और उसके माध्यम से एक पत्र दे सकता है . जब वे अकेले रह गए, तो रोस्तोव को पहली बार यकीन हुआ कि उन्हें बोरिस की आँखों में देखने में शर्म आ रही थी। बोरिस, अपने पैरों को पार करते हुए और अपने बाएं हाथ से अपने दाहिने हाथ की पतली उंगलियों को सहलाते हुए, रोस्तोव की बात सुनी, जैसे एक जनरल एक अधीनस्थ की रिपोर्ट सुनता है, अब बगल की ओर देख रहा है, अब उसी धूमिल टकटकी के साथ, सीधे देख रहा है रोस्तोव की आँखें. हर बार रोस्तोव को अजीब महसूस हुआ और उसने अपनी आँखें नीची कर लीं।
“मैंने इस तरह की चीज़ों के बारे में सुना है और मुझे पता है कि सम्राट इन मामलों में बहुत सख्त हैं। मुझे लगता है कि हमें इसे महामहिम के सामने नहीं लाना चाहिए। मेरी राय में, सीधे कोर कमांडर से पूछना बेहतर होगा... लेकिन सामान्य तौर पर मुझे लगता है...
- तो आप कुछ नहीं करना चाहते, बस इतना कह दीजिए! - रोस्तोव लगभग चिल्लाया, बोरिस की आँखों में देखे बिना।
बोरिस मुस्कुराया: "इसके विपरीत, मैं वह करूँगा जो मैं कर सकता हूँ, लेकिन मैंने सोचा...
इसी समय, दरवाजे पर बोरिस को बुलाते हुए ज़िलिंस्की की आवाज़ सुनाई दी।
"ठीक है, जाओ, जाओ, जाओ..." रोस्तोव ने कहा, रात का खाना खाने से इनकार कर दिया, और एक छोटे से कमरे में अकेला छोड़ दिया गया, वह लंबे समय तक उसमें आगे-पीछे चलता रहा, और अगले कमरे से हंसमुख फ्रांसीसी बातचीत सुनता रहा .

तालमेल

विकिमीडिया फाउंडेशन. 2010.

समानार्थी शब्द:

देखें अन्य शब्दकोशों में "ऑर्डिनेट" क्या है:

तालमेल- जब डेटा को ग्राफ़ किया जाता है, तो कोटि ऊर्ध्वाधर अक्ष, या y-अक्ष पर मौजूद जानकारी से मेल खाती है। प्रायोगिक अध्ययन में आश्रित चर के मानों को इसी अक्ष पर रखा जाता है। मनोविज्ञान। ए I. शब्दकोश... ... महान मनोवैज्ञानिक विश्वकोश

- (क्रम में स्थित लैटिन ऑर्डिनैटस से) एक बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक में से एक, आमतौर पर दूसरा, अक्षर y द्वारा दर्शाया जाता है ... बड़ा विश्वकोश शब्दकोश

क्रमबद्ध करें, निर्देशांकित करें, स्त्री. (अव्य. ऑर्डिनाटासमान दूरी पर स्थित) (चटाई)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति की समन्वय प्रणाली में, एक समतल पर एक लंब को एक बिंदु से भुज अक्ष पर उतारा जाता है। उषाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश। डी.एन. उषाकोव। 1935 1940… उशाकोव का व्याख्यात्मक शब्दकोश

अस्तित्व।, पर्यायवाची शब्दों की संख्या: 1 निर्देशांक (4) पर्यायवाची शब्दकोष एएसआईएस। वी.एन. ट्रिशिन। 2013… पर्यायवाची शब्दकोष

तालमेल- प्रोफ़ाइल की शुरुआत और अंत के देशांतर में अंतर, किसी दिए गए अक्षांश विषय तेल और गैस उद्योग एन समन्वय प्रस्थान पर मापा जाता है ... तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

तालमेल- कार्टोग्राफी में, अक्षीय मेरिडियन के लंबवत दिशा में मापा गया एक समन्वय... भूगोल का शब्दकोश

तालमेल- दो (तीन) संख्याओं में से एक जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक विमान (अंतरिक्ष में) पर एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करती है... बिग पॉलिटेक्निक इनसाइक्लोपीडिया

- (अव्य. ऑर्डिनैटस ने आदेश दिया, एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित) ईओएम। दो (तीन) संख्याओं में से एक जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली के सापेक्ष एक विमान (अंतरिक्ष में) पर एक बिंदु की स्थिति निर्धारित करती है। विदेशी शब्दों का नया शब्दकोश. एडवर्ड द्वारा... रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

वाई; और। [अक्षांश से. ऑर्डिनैटस ने आदेश दिया, सौंपा] मैट। एक मात्रा जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली (सीएफ. एब्सिस्सा, कोर्डिनेट) में वाई अक्ष के साथ एक विमान या अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु की स्थिति निर्धारित करती है। * * *ऑर्डिनेट (लैटिन ऑर्डिनैटस से ... ... विश्वकोश शब्दकोश

तालमेल- ऑर्डिनैटे स्टेटसस टी स्रिटिस फ़िज़िका एटिटिकमेनिस: अंग्रेजी। समन्वय वोक. ऑर्डिनेट, एफ रस। कोर्डिनेट, एफ प्रैंक। ऑर्डोनी, एफ… फ़िज़िकोस टर्मिनस ज़ोडनास