मैट्रिक्स विरोधी खेलों को हल करने के सिद्धांत। मैट्रिक्स गेम: समस्या समाधान के उदाहरण

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सेवा का उद्देश्य. ऑनलाइन सेवा का उपयोग करके आप यह कर सकते हैं:

मैट्रिक्स गेम (निचली और ऊपरी सीमाएं) की कीमत निर्धारित करें, सैडल पॉइंट की उपस्थिति की जांच करें, मिश्रित रणनीति का समाधान ढूंढें, खिलाड़ियों की न्यूनतम रणनीति ढूंढें;
दोहरी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं की एक जोड़ी का गणितीय मॉडल लिखें, निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके मैट्रिक्स गेम को हल करें: मिनिमैक्स, सिम्प्लेक्स विधि, ग्राफिकल (ज्यामितीय) विधि, ब्राउन की विधि।

निर्देश। मैट्रिक्स आयाम का चयन करें, अगला क्लिक करें। नए संवाद बॉक्स में, मैट्रिक्स गेम को हल करने के लिए एक विधि का चयन करें। उदाहरण भरना. गणना परिणाम वर्ड प्रारूप में एक रिपोर्ट में प्रस्तुत किए जाते हैं।

एक खेलवास्तविक संघर्ष की स्थिति का एक गणितीय मॉडल है। दो खिलाड़ियों के बीच संघर्ष की स्थिति को युगल खेल कहा जाता है। शून्य-राशि युग्म खेल का अध्ययन करना सुविधाजनक है यदि इसे मैट्रिक्स के रूप में वर्णित किया गया हो। इस खेल को कहा जाता है आव्यूह; संख्याओं से बना एक मैट्रिक्स a ij भुगतान कहलाता है। तालिका भुगतान मैट्रिक्स ए द्वारा निर्दिष्ट गेम को हल करने के लिए विकल्प प्रस्तुत करती है।

एल्गोरिथम का विवरण:

भुगतान मैट्रिक्स के विश्लेषण के आधार पर, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या इसमें प्रभुत्व वाली रणनीतियाँ हैं और उन्हें समाप्त करना है।
गेम की ऊपरी और निचली कीमतें ज्ञात करें और निर्धारित करें कि क्या इस गेम में सैडल पॉइंट है (गेम की निचली कीमत गेम की ऊपरी कीमत के बराबर होनी चाहिए)।
यदि एक सैडल पॉइंट मौजूद है, तो खिलाड़ियों की इष्टतम रणनीतियाँ, जो खेल का समाधान हैं, सैडल पॉइंट के अनुरूप उनकी शुद्ध रणनीतियाँ होंगी। खेल की कीमत खेल की ऊपरी और निचली कीमतों के बराबर होती है, जो एक दूसरे के बराबर होती हैं।
यदि खेल में सैडल पॉइंट नहीं है, तो खेल का समाधान मिश्रित रणनीतियों में खोजा जाना चाहिए। एम × एन गेम में इष्टतम मिश्रित रणनीतियों को निर्धारित करने के लिए, किसी को सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करना चाहिए, पहले गेम की समस्या को एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में सुधारना चाहिए।

आइए हम मैट्रिक्स गेम को ग्राफिक रूप से हल करने के लिए एल्गोरिदम प्रस्तुत करें।

चित्र - मैट्रिक्स गेम को हल करने की योजना।

मिश्रित रणनीतियों में मैट्रिक्स गेम को हल करने के तरीके

इसलिए, यदि कोई सैडल पॉइंट नहीं है, तो गेम को मिश्रित रणनीतियों का उपयोग करके हल किया जाता है और निम्नलिखित तरीकों का उपयोग करके हल किया जाता है:

समीकरणों की एक प्रणाली के माध्यम से खेल को हल करना।
यदि एक वर्ग मैट्रिक्स nxn (n=m) दिया गया है, तो समीकरणों की प्रणाली को हल करके संभाव्यता वेक्टर पाया जा सकता है। यह विधि हमेशा उपयोग नहीं की जाती है और केवल कुछ मामलों में ही लागू होती है (यदि मैट्रिक्स 2x2 है, तो गेम का समाधान लगभग हमेशा प्राप्त होता है)। यदि समाधान नकारात्मक संभावनाएं उत्पन्न करता है, तो इस प्रणाली को सिंप्लेक्स विधि का उपयोग करके हल किया जाता है।
गेम को ग्राफ़िक तरीके से हल करना।
ऐसे मामलों में जहां n=2 या m=2, मैट्रिक्स गेम को ग्राफ़िक रूप से हल किया जा सकता है।
सिम्प्लेक्स विधि का उपयोग करके मैट्रिक्स गेम को हल करना।
इस मामले में, मैट्रिक्स गेम कम हो जाता है

मैट्रिक्स गेम को हल करने के दृष्टिकोण को शून्य-राशि गेम के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें खिलाड़ियों का भुगतान एक सतत फ़ंक्शन (अनंत शून्य-राशि गेम) के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।

इस गेम को दो-खिलाड़ियों के गेम के रूप में दर्शाया जाता है जिसमें खिलाड़ी 1 एक नंबर चुनता है एक्सबहुतों से एक्स,खिलाड़ी 2 सेट 7 में से नंबर y चुनता है, और उसके बाद खिलाड़ी 1 और 2 को क्रमशः जीत मिलती है यू(एक्स, y) और -यू(एक्स, वाई).किसी खिलाड़ी द्वारा एक निश्चित संख्या चुनने का अर्थ है इस संख्या के अनुरूप उसकी शुद्ध रणनीति का अनुप्रयोग।

मैट्रिक्स गेम के अनुरूप, किसी गेम की शुद्ध कम कीमत कही जा सकती है वी (=अधिकतम न्यूनतम यू(एक्स, वाई),और खेल का शुद्ध शीर्ष मूल्य -v 2 =

न्यूनतम अधिकतम यू(एक्स, वाई).फिर, सादृश्य से, हम यह मान सकते हैं कि यदि कुछ के लिए

पर *

या परिमाण का एक अंतहीन विरोधी खेल वीऔर वि 2मौजूद हैं और एक दूसरे के बराबर हैं ("i =v 2 =v),तो ऐसे गेम का समाधान शुद्ध रणनीतियों में होता है, यानी। खिलाड़ी 1 की सर्वोत्तम रणनीति एक संख्या चुनना है x°इ एक्स,और खिलाड़ी 2 - संख्याएँ य 0ई 7, जिसके लिए श्च (य 0) -v.

इस मामले में वीइसे खेल का शुद्ध मूल्य कहा जाता है, और (x°, y 0) अनंत शून्य-राशि वाले खेल का सैडल बिंदु है।

परिमाण के मैट्रिक्स गेम के लिए वी एक्सऔर वि 2हमेशा मौजूद रहते हैं, लेकिन अनंत विरोधी खेलों में वे मौजूद नहीं हो सकते हैं, यानी। एक अंतहीन शून्य-राशि वाला खेल हमेशा हल करने योग्य नहीं होता है।

किसी वास्तविक स्थिति को एक अंतहीन विरोधी खेल के रूप में औपचारिक रूप देते समय, आमतौर पर एक एकल रणनीतिक अंतराल का चयन किया जाता है - एक एकल अंतराल जिसमें से खिलाड़ी चुनाव कर सकते हैं (एक्स -खिलाड़ी 1 द्वारा चुनी गई संख्या (रणनीति); -

खिलाड़ी 2 द्वारा चुनी गई संख्या (रणनीति)। तकनीकी रूप से, यह समाधान को सरल बनाता है, क्योंकि एक साधारण परिवर्तन द्वारा किसी भी अंतराल को एक इकाई अंतराल में परिवर्तित किया जा सकता है और इसके विपरीत। इस खेल को कहा जाता है एक इकाई वर्ग पर विरोधी खेल।

उदाहरण के लिए, मान लें कि खिलाड़ी 1 नंबर चुनता है एक्सबहुतों से एक्स=, खिलाड़ी 2 सेट से नंबर y चुनता है य=. इसके बाद, खिलाड़ी 2, खिलाड़ी 1 को राशि का भुगतान करता है श्च, य) -2x 2 -य 2.चूँकि खिलाड़ी 2 खिलाड़ी 1 के भुगतान को कम करना चाहता है, वह न्यूनतम निर्धारित करता है ( 2x 2 - y 2) = 2x 2- 1, यानी इस मामले में = 1. खिलाड़ी 1 एमटैग बनाने का प्रयास करता है

अपने भुगतान का अनुकरण करें, इसलिए अधिकतम न्यूनतम निर्धारित करता है शश, y)1 =

xGX y उदा

- अधिकतम (2x2 - 1) = 2- 1 = 1, जो कब प्राप्त होता है एक्स = 1.

इस प्रकार, खेल का शुद्ध मूल्य कम है वी एक्स - 1. शीर्ष साफ

खेल की कीमतवि 2=मिनट - मिनट (2 - वाई 2) = 2 - 1 = 1, यानी। इस में

>उदाहेह यू आई

खेल वी एल =वी 2 =एल.इसलिए खेल का शुद्ध मूल्य वी= 1, और काठी बिंदु (x° = 1; y° = 1)।

चलिए अब मान लेते हैं ची वाई-खुले अंतराल, यानी खिलाड़ी 1 xeA"=(0; 1) चुनता है, खिलाड़ी 2 ue 7= (0; 1) चुनता है। इस मामले में, चुनना एक्स, 1 के काफी करीब, खिलाड़ी 1 को भरोसा होगा कि उसे "=1" के करीब की संख्या से कम का भुगतान नहीं मिलेगा; y को 1 के करीब चुनने पर, खिलाड़ी 2 खिलाड़ी 1 के भुगतान को खेल की शुद्ध लागत से अधिक नहीं होने देगा वी= 1.

खेल की कीमत से निकटता की डिग्री को संख्या?>0 द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसलिए, वर्णित गेम में हम शुद्ध रणनीतियों की इष्टतमता के बारे में बात कर सकते हैं x°= 1, 0 = 1 क्रमशः खिलाड़ी 1 और 2 एक मनमानी संख्या तक?>0। डॉट (एक्स", y ई), कहाँ एक्स ईई एक्स, वाई (। ईवाई, एक अनंत शून्य-योग खेल में कहा जाता है z-संतुलन बिंदु (s.-सैडल बिंदु), यदि किसी भी रणनीति xTiger 1, ue Tiger 2 के लिए असमानता कायम है शश,यू.) - ? Ш एक्स आर , यू (.) यू(एक्स टी ., यू) + ?. इस मामले में, रणनीतियाँ एक्स क.और आप। कहा जाता है इष्टतम रणनीतियों के साथ. क्या ये रणनीतियाँ इष्टतम हैं? इस अर्थ में कि यदि इष्टतम रणनीति से विचलन खिलाड़ी को कोई लाभ नहीं पहुंचा सकता है, तो सी-इष्टतम रणनीति से उसका विचलन उसके भुगतान को ई से अधिक नहीं बढ़ा सकता है।

यदि गेम में सैडल पॉइंट (सी-सैडल पॉइंट) नहीं है, यानी। शुद्ध रणनीतियों में समाधान, फिर मिश्रित रणनीतियों के बीच इष्टतम रणनीतियों की तलाश की जा सकती है, जिनका उपयोग शुद्ध रणनीतियों का उपयोग करने वाले खिलाड़ियों के संभाव्यता वितरण कार्यों के रूप में किया जाता है।

होने देना एफ(एक्स)खिलाड़ी 1 द्वारा शुद्ध रणनीतियों के उपयोग की संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन है। यदि संख्या ई खिलाड़ी 1 की शुद्ध रणनीति है, तो एफ(एक्स) = पी(क्यू जहां पी क्यू -एक्स)- संभावना है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई शुद्ध रणनीति ई से अधिक नहीं होगी एक्स।शुद्ध रणनीतियों r| का उपयोग करने की संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन को इसी तरह से माना जाता है। खिलाड़ी 2: Q(y) = P(g .

कार्य एफ(एक्स)और क्यू(वाई)कहा जाता है मिश्रित रणनीतियाँक्रमशः खिलाड़ी 1 और 2। यदि एफएक्स)और क्यू(वाई)अवकलनीय हैं, तो उनके व्युत्पन्न मौजूद हैं, जिन्हें क्रमशः निरूपित किया जाता है एफ(एक्स)और क्यू(वाई)(वितरण घनत्व कार्य)।

सामान्य तौर पर, वितरण फ़ंक्शन का अंतर डीएफ(एक्स) संभावना व्यक्त करता है कि रणनीति साथ,बीच में है एक्स ई, इसी प्रकार खिलाड़ी 2 के लिए: dQ(y)इसका मतलब यह संभावना है कि उसकी रणनीति पी अंतराल में है य जी| य+द्य.फिर खिलाड़ी 1 का भुगतान होगा एसएचएक्स, वाई) डीएफ(एक्स),और खिलाड़ी 2 का भुगतान है Shx, y) dQ(y)।

खिलाड़ी 1 का औसत भुगतान, यह देखते हुए कि खिलाड़ी 2 अपनी शुद्ध रणनीति का उपयोग करता है हाँ,सभी संभावित मूल्यों पर भुगतानों को एकीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है एक्स,वे। एक इकाई अंतराल पर:

खिलाड़ी 1 का औसत भुगतान, यह मानते हुए कि दोनों खिलाड़ी अपनी मिश्रित रणनीतियों का उपयोग करते हैं एफ(एक्स)और क्यू(य),बराबर होगा

मैट्रिक्स गेम के अनुरूप, खिलाड़ियों की इष्टतम मिश्रित रणनीतियाँ और खेल की कीमत निर्धारित की जाती है: यदि मिश्रित रणनीतियों की एक जोड़ी एफ*(एक्स) और क्यू*(य)क्रमशः खिलाड़ियों 1 और 2 के लिए इष्टतम हैं, फिर किसी भी मिश्रित रणनीति के लिए एफ(एक्स)और क्यू(वाई)निम्नलिखित संबंध मान्य हैं:

यदि खिलाड़ी 1 अपनी रणनीति से भटक जाता है एफ*(एक्स),तो उसका औसत भुगतान बढ़ नहीं सकता, लेकिन खिलाड़ी 2 के तर्कसंगत कार्यों के कारण घट सकता है। यदि खिलाड़ी 2 अपनी मिश्रित रणनीति से पीछे हट जाता है क्यू*(य),तब खिलाड़ी 1 के अधिक उचित कार्यों के कारण खिलाड़ी 1 का औसत भुगतान बढ़ सकता है, लेकिन घट नहीं सकता। ई(एफ*, क्यू*),जब खिलाड़ी इष्टतम मिश्रित रणनीतियाँ लागू करते हैं तो खिलाड़ी 1 द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो खेल की कीमत से मेल खाता है।

फिर मिश्रित रणनीतियों में हल किए गए अनंत शून्य-राशि वाले खेल की न्यूनतम कीमत को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है वी एक्स= जांचें

मिन इ(एफक्यू),और गेम की अधिकतम कीमत इस प्रकार है वि 2=न्यूनतम अधिकतम ई(एफ, क्यू).

क्यू क्यू एफ

यदि ऐसी मिश्रित रणनीतियाँ मौजूद हैं एफ* (एक्स)और क्यू*(y) क्रमशः खिलाड़ियों 1 और 2 के लिए, जिसके लिए खेल की निचली और ऊपरी कीमतें मेल खाती हैं एफ*(एक्स)और क्यू*(य)संबंधित खिलाड़ियों की इष्टतम मिश्रित रणनीतियों को कॉल करना स्वाभाविक है, ए वी=वी एक्स = वी 2- खेल की कीमत पर.

मैट्रिक्स गेम के विपरीत, प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए अनंत शून्य-राशि गेम का समाधान मौजूद नहीं है शश, उह)।लेकिन प्रमेय सिद्ध हो चुका है कि प्रत्येक अनंत शून्य-राशि का खेल निरंतर भुगतान फ़ंक्शन के साथ होता है शश, उह)यूनिट स्क्वायर पर एक समाधान होता है (खिलाड़ियों के पास इष्टतम मिश्रित रणनीतियाँ होती हैं), हालाँकि निरंतर गेम सहित अनंत शून्य-राशि वाले गेम को हल करने के लिए कोई सामान्य तरीके नहीं हैं। हालाँकि, उत्तल और अवतल निरंतर भुगतान कार्यों के साथ विरोधी अनंत खेल (उन्हें क्रमशः कहा जाता है उत्तलऔर अवतल खेल)।

आइए उत्तल अदायगी फ़ंक्शन वाले खेलों के समाधान पर विचार करें। अवतल अदायगी फ़ंक्शन वाले खेलों का समाधान सममित है।

उत्तलफ़ंक्शन/चर एक्सअंतराल पर ( ए; बी)एक ऐसा कार्य है जिसके लिए असमानता कायम है

कहाँ xxऔर एक्स 2 -अंतराल से कोई दो बिंदु (ए; बी);

X.1, A.2 > 0, और +X.2= 1.

यदि / h * 0 D 2 * 0 के लिए, सख्त असमानता हमेशा बनी रहती है

फिर फ़ंक्शन/कहा जाता है सख्ती से उत्तलएक पर; बी)।

एक ज्यामितीय रूप से उत्तल फ़ंक्शन एक चाप को दर्शाता है, जिसका ग्राफ़ इसे अंतरित करने वाली जीवा के नीचे स्थित होता है। विश्लेषणात्मक रूप से, दो बार भिन्न फ़ंक्शन की उत्तलता इसके दूसरे व्युत्पन्न की गैर-नकारात्मकता (और सख्त उत्तलता के मामले में, सकारात्मकता) से मेल खाती है।

अवतल कार्यों के लिए गुण विपरीत हैं; उनके लिए असमानता /(/4X1 +A.2X2) > के.एफ(xi) +)-अगर(x 2) (> सख्त अवतलता के साथ), और दूसरा व्युत्पन्न / "(x)

यह सिद्ध है कि एक बंद अंतराल पर एक सतत और सख्ती से उत्तल फ़ंक्शन अंतराल के केवल एक बिंदु पर न्यूनतम मान लेता है। अगर शश, y) इकाई वर्ग पर खिलाड़ी 1 के भुगतान का एक सतत कार्य है कठोरता सेसाथ उत्तल परकिसी भी x के लिए, एक अद्वितीय इष्टतम शुद्ध रणनीति है y=y°ई खिलाड़ी 2 के लिए, खेल की कीमत सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

और अर्थ य 0निम्नलिखित समीकरण के समाधान के रूप में परिभाषित किया गया है:

यदि फ़ंक्शन शश, y) y में कड़ाई से उत्तल नहीं है, तो खिलाड़ी 2 के पास एकमात्र इष्टतम शुद्ध रणनीति नहीं होगी।

सममित गुण सख्ती से अवतल कार्यों के लिए भी लागू होता है। यदि फ़ंक्शन शश, y) दोनों तर्कों में निरंतर है और किसी भी y के लिए x में सख्ती से अवतल है, तो खिलाड़ी 1 के पास एक अद्वितीय इष्टतम रणनीति है।

खेल की कीमत सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है

और खिलाड़ी 1 की शुद्ध इष्टतम रणनीति x 0 समीकरण से निर्धारित होती है

उत्तल या अवतल अदायगी कार्यों के साथ अनंत शून्य-राशि वाले खेलों के इन गुणों के आधार पर, एक इकाई वर्ग (хе, уе) पर ऐसे खेलों को हल करने के लिए एक सामान्य योजना का निर्माण किया जाता है। हम यह योजना केवल उत्तल खेलों के लिए प्रस्तुत करते हैं, क्योंकि अवतल खेलों के लिए यह सममित है।

1. फ़ंक्शन की जाँच करें शश, y) y में उत्तलता के लिए (दूसरा आंशिक व्युत्पन्न 0 से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए)।

2. संबंध से y 0 ज्ञात कीजिए वीन्यूनतम अधिकतम शश, उह)अर्थ के रूप में

हाँ,जिस पर मिनिमैक्स हासिल किया जाता है।

3. समीकरण का हल खोजें वी = यू(एक्स, y 0) और इसके समाधानों के जोड़े बनाएं एक्सऔर एक्स 2,जिसके लिए

4. पैरामीटर खोजें ए Eq से.

पैरामीटर एखिलाड़ी 1 की इष्टतम रणनीति निर्धारित करता है और उसकी शुद्ध रणनीति की पसंद की संभावना का अर्थ रखता है एक्स एक्स.मान 1 - ए का अर्थ खिलाड़ी 1 द्वारा अपनी शुद्ध रणनीति चुनने की संभावना है एक्स 2.

आइए इस प्रकार के खेल को हल करने के लिए इस योजना के उपयोग को प्रदर्शित करने के लिए एक उदाहरण का उपयोग करें। मान लीजिए कि अनंत शून्य-राशि वाले गेम में भुगतान फ़ंक्शन एक इकाई वर्ग पर दिया गया है और इसके बराबर है श्च, य)==(एक्स - वाई) 2 =एक्स 2 - 2 xyच-य 2.

1. यह फ़ंक्शन निरंतर है एक्सऔर हाँ,और इसलिए इस गेम के पास एक समाधान है। समारोह शश, उह)साथ में सख्ती से उत्तल हाँ,क्योंकि

इसलिए, खिलाड़ी 2 के पास एकमात्र शुद्ध इष्टतम रणनीति 0 है।

2. हमारे पास है वी= न्यूनतम अधिकतम (x - य) 2. अधिकतम निर्धारित करने के लिए (x 2 - 2xy Ch-y 2)

आइए हम x के संबंध में भुगतान फ़ंक्शन के पहले और दूसरे आंशिक डेरिवेटिव को क्रमिक रूप से खोजें:

तो समारोह यूकिसी भी y के लिए x=y पर न्यूनतम है। इसका मतलब यह है कि जैसे-जैसे xy - बढ़ता है, और इसकी अधिकतम सीमा x = 0 या x = 1 में से किसी एक चरम बिंदु पर प्राप्त की जानी चाहिए। आइए फ़ंक्शन के मान निर्धारित करें यूइन बिंदुओं पर:

फिर जांचें (x - y) 2 = अधिकतम (y 2; 1 - 2y + y 2)। "आंतरिक" की तुलना

घुंघराले कोष्ठक में मैक्सिमा, इसे देखना आसान है दो पर > 1 - - 2य+य 2,अगर आप >*/ 2 और य 2 1 - 2 य+य 2,अगर y "/ 2. इसे ग्राफ़ (चित्र 2.5) द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है।

चावल। 2.5. भुगतान फ़ंक्शन की आंतरिक अधिकतम सीमा यू(एक्स, y) = (x- पर) 2

इसलिए, अभिव्यक्ति (x - य) 2यदि x=0 पर इसकी अधिकतम सीमा तक पहुँच जाता है आप > 7 2, और पर एक्स= 1 यदि यू 2 पर:

इस तरह, वी=मिनट (मिनट वाई 2 ; मिनट (1 - वाई) 2 ). हरेक

सुबह न्यूनतम तापमान पर पहुँच जाता है आप=*/ 2 और मान Y 4 लेता है। इस प्रकार, खेल की कीमत r = Y 4, और खिलाड़ी 2 की इष्टतम रणनीति:

3. समीकरण से खिलाड़ी 1 की इष्टतम रणनीति निर्धारित करें यू(एक्स,य0)= वी,वे। इस गेम के लिए (x - Y 2) 2 = Y 4. इस समीकरण का हल X| =0, x 2 = 1.

उनके लिए शर्तें पूरी की जाती हैं

4. आइए पैरामीटर ए निर्धारित करें, अर्थात। खिलाड़ी 1 द्वारा अपनी शुद्ध रणनीति X] = 0 का उपयोग करने की संभावना। आइए समीकरण a-1 + (1 - a) (-1) = 0 बनाएं, जिससे a = Y 2। इस प्रकार, खिलाड़ी 1 की इष्टतम रणनीति संभाव्यता के साथ अपनी शुद्ध रणनीतियों 0 और 1 को चुनना है 1 / 2 प्रत्येक। समस्या सुलझ गई है।

गेम थ्योरी में विस्तार से विकसित किया गया सबसे सरल मामला, एक सीमित शून्य-राशि जोड़े गेम (दो व्यक्तियों या दो गठबंधनों का एक विरोधी गेम) है। एक खेल G पर विचार करें जिसमें दो खिलाड़ी A और B भाग लेते हैं, जिनके हित परस्पर विरोधी हैं: एक का लाभ दूसरे के नुकसान के बराबर है। चूंकि खिलाड़ी ए का भुगतान विपरीत चिह्न वाले खिलाड़ी बी के भुगतान के बराबर है, इसलिए हम केवल खिलाड़ी ए के भुगतान में रुचि ले सकते हैं। स्वाभाविक रूप से, A अधिकतम करना चाहता है, और B न्यूनतम करना चाहता है।

सरलता के लिए, आइए मानसिक रूप से खुद को खिलाड़ियों में से एक के साथ पहचानें (इसे ए होने दें) और उसे "हम" और खिलाड़ी बी को "प्रतिद्वंद्वी" कहें (बेशक, ए के लिए इससे कोई वास्तविक लाभ नहीं होगा)। आइए हमारे पास संभावित रणनीतियाँ हैं और प्रतिद्वंद्वी - संभावित रणनीतियाँ (ऐसे खेल को खेल कहा जाता है)। यदि हम रणनीति का उपयोग करते हैं और प्रतिद्वंद्वी रणनीति का उपयोग करता है तो आइए हम अपनी जीत को दर्शाते हैं

तालिका 26.1

आइए मान लें कि रणनीतियों की प्रत्येक जोड़ी के लिए भुगतान (या औसत भुगतान) हमें ज्ञात है। फिर, सिद्धांत रूप में, एक आयताकार तालिका (मैट्रिक्स) बनाना संभव है जो खिलाड़ियों की रणनीतियों और संबंधित भुगतानों को सूचीबद्ध करती है (तालिका 26.1 देखें)।

यदि ऐसी कोई तालिका संकलित की जाती है, तो वे कहते हैं कि गेम जी को मैट्रिक्स फॉर्म में कम कर दिया गया है (गेम को अपने आप में ऐसे फॉर्म में लाना पहले से ही एक कठिन काम हो सकता है, और कभी-कभी रणनीतियों की विशाल विविधता के कारण लगभग असंभव हो सकता है) ). ध्यान दें कि यदि गेम को मैट्रिक्स फॉर्म में घटा दिया जाता है, तो मल्टी-मूव गेम वास्तव में सिंगल-मूव गेम में कम हो जाता है - खिलाड़ी को केवल एक चाल बनाने की आवश्यकता होती है: एक रणनीति चुनें। हम संक्षेप में गेम मैट्रिक्स को निरूपित करेंगे

आइए मैट्रिक्स रूप में गेम G (4X5) का एक उदाहरण देखें। हमारे पास चुनने के लिए चार रणनीतियाँ हैं, जबकि दुश्मन के पास पाँच रणनीतियाँ हैं। गेम मैट्रिक्स तालिका 26.2 में दिया गया है

आइए सोचें कि हमें (खिलाड़ी ए) किस रणनीति का उपयोग करना चाहिए? मैट्रिक्स 26.2 में "10" का आकर्षक लाभ है; हम एक ऐसी रणनीति चुनने के लिए प्रलोभित होते हैं जिसमें हमें यह "टिडबिट" प्राप्त होगी।

लेकिन रुकिए: दुश्मन भी मूर्ख नहीं है! यदि हम कोई रणनीति चुनते हैं, तो वह हमें नाराज करने के लिए रणनीति चुनेगा, और हमें कुछ दयनीय प्रतिफल "1" मिलेगा। नहीं, आप कोई रणनीति नहीं चुन सकते! हो कैसे? जाहिर है, सावधानी के सिद्धांत (और यह खेल सिद्धांत का मूल सिद्धांत है) के आधार पर, हमें वह रणनीति चुननी चाहिए जिस पर हमारा न्यूनतम लाभ अधिकतम हो।

तालिका 26.2

यह तथाकथित "मिनी-मैक्स सिद्धांत" है: इस तरह से कार्य करें कि, आपके प्रतिद्वंद्वी के सबसे खराब व्यवहार के बावजूद, आपको अधिकतम जीत मिले।

आइए तालिका 26.2 को फिर से लिखें और सही अतिरिक्त कॉलम में प्रत्येक पंक्ति में न्यूनतम विजेता मान लिखें (पंक्ति न्यूनतम); आइए इसे पंक्ति a के लिए निरूपित करें (तालिका 26.3 देखें)।

तालिका 26.3

सभी मानों (दाएं कॉलम) में से सबसे बड़ा (3) हाइलाइट किया गया है। रणनीति इसके अनुरूप है. इस रणनीति को चुनकर, हम किसी भी स्थिति में यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि (दुश्मन के किसी भी व्यवहार के लिए) हम 3 से कम नहीं जीतेंगे। यह मान हमारी गारंटीकृत जीत है; सावधानी से व्यवहार करते हुए हमें इससे कम नहीं मिल सकता, हो सकता है अधिक मिल जाए)।

इस जीत को खेल की निचली कीमत (या "अधिकतम" - न्यूनतम जीत की अधिकतम) कहा जाता है। हम इसे एक के रूप में निरूपित करेंगे। हमारे मामले में

आइए अब शत्रु का दृष्टिकोण और उसके लिए कारण लें। वह किसी प्रकार का मोहरा नहीं है, लेकिन वह चतुर भी है! रणनीति चुनते समय, वह कम देना चाहेगा, लेकिन उसे अपने लिए हमारे सबसे खराब व्यवहार पर भरोसा करना चाहिए। यदि वह कोई रणनीति चुनता है, तो हम उसे उत्तर देंगे और वह 10 देगा; यदि वह चुनता है, तो हम उसे उत्तर देंगे और वह देगा, आदि। हम तालिका 26.3 में एक अतिरिक्त निचली पंक्ति जोड़ेंगे और उसमें कॉलम की अधिकतम सीमाएँ लिखेंगे। जाहिर है, एक सतर्क प्रतिद्वंद्वी को वह रणनीति चुननी चाहिए जिसमें यह मान हो न्यूनतम (संबंधित मान 5 तालिका 26.3 में हाइलाइट किया गया है)। यह मान P लाभ का मूल्य है, जिससे अधिक एक उचित प्रतिद्वंद्वी निश्चित रूप से हमें नहीं देगा। इसे खेल की ऊपरी कीमत (या "एमआई-निमैक्स" - अधिकतम जीत का न्यूनतम) कहा जाता है। हमारे उदाहरण में, और दुश्मन की रणनीति से हासिल किया जाता है

इसलिए, सावधानी के सिद्धांत (पुनर्बीमा नियम "हमेशा सबसे खराब पर भरोसा करें!") के आधार पर, हमें रणनीति ए और दुश्मन को चुनना होगा - रणनीति ऐसी रणनीतियों को "मिनिमैक्स" (मिनिमैक्स सिद्धांत के बाद) कहा जाता है। जब तक हमारे उदाहरण में दोनों पक्ष अपनी न्यूनतम रणनीतियों पर कायम रहेंगे, तब तक लाभ मिलेगा

अब आइए एक पल के लिए कल्पना करें कि हमने जान लिया है कि दुश्मन एक रणनीति का पालन कर रहा है। चलो, हम उसे इसके लिए दंडित करें और एक रणनीति चुनें, हमें 5 मिलेंगे, और यह इतना बुरा नहीं है। लेकिन शत्रु भी असफल नहीं है; उसे बताएं कि हमारी रणनीति क्या है, वह भी चुनने में जल्दबाजी करेगा, हमारी जीत को 2 तक कम कर देगा, आदि (साझेदार "रणनीतियों के साथ इधर-उधर भागे")। संक्षेप में, हमारे उदाहरण में मिनिमैक्स रणनीतियाँ दूसरे पक्ष के व्यवहार के बारे में जानकारी के संबंध में अस्थिर हैं; इन रणनीतियों में संतुलन का गुण नहीं है।

क्या हमेशा ऐसा ही होता है? नहीं हमेशा नहीं. तालिका 26.4 में दिए गए मैट्रिक्स के साथ उदाहरण पर विचार करें।

इस उदाहरण में, खेल की निचली कीमत ऊपरी कीमत के बराबर है:। इससे क्या निष्कर्ष निकलता है? खिलाड़ी ए और बी की मिनिमैक्स रणनीतियाँ स्थिर होंगी। जब तक दोनों खिलाड़ी उनका पालन करते हैं, तब तक भुगतान 6 होता है। आइए देखें कि क्या होता है यदि हमें (ए) पता चलता है कि प्रतिद्वंद्वी (बी) रणनीति बी का पालन करता है?

तालिका 26.4

लेकिन बिल्कुल भी कुछ नहीं बदलेगा, क्योंकि रणनीति से कोई भी विचलन हमारी स्थिति को और खराब कर सकता है। इसी तरह, प्रतिद्वंद्वी द्वारा प्राप्त जानकारी उसे अपनी रणनीति से विचलित होने के लिए मजबूर नहीं करेगी। रणनीतियों की एक जोड़ी में संतुलन (रणनीतियों की एक संतुलित जोड़ी) की संपत्ति होती है, और रणनीतियों की इस जोड़ी के साथ प्राप्त भुगतान (हमारे मामले में 6) होता है इसे "मैट्रिक्स का सैडल पॉइंट" कहा जाता है। एक सैडल पॉइंट और रणनीतियों की एक संतुलित जोड़ी की उपस्थिति का संकेत खेल की निचली और ऊपरी कीमतों की समानता है; कुल मूल्य को खेल की कीमत कहा जाता है। हम इसे निरूपित करेंगे

वे रणनीतियाँ (इस मामले में) जिन पर यह लाभ प्राप्त किया जाता है, इष्टतम शुद्ध रणनीतियाँ कहलाती हैं, और उनकी समग्रता को खेल का समाधान कहा जाता है। ऐसे में वे गेम के बारे में ही कहते हैं कि इसे शुद्ध रणनीतियों में हल किया जाता है। दोनों पक्षों ए और बी को उनकी इष्टतम रणनीतियाँ दी जा सकती हैं, जिसमें उनकी स्थिति सर्वोत्तम संभव हो। और यदि खिलाड़ी A 6 जीतता है, और खिलाड़ी B हार जाता है, तो, ये खेल की स्थितियाँ हैं: वे A के लिए फायदेमंद हैं और B के लिए हानिकारक हैं।

पाठक के मन में यह प्रश्न हो सकता है: इष्टतम रणनीतियों को "शुद्ध" क्यों कहा जाता है? थोड़ा आगे देखते हुए, हम इस प्रश्न का उत्तर देंगे: "मिश्रित" रणनीतियाँ हैं, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि खिलाड़ी न केवल एक रणनीति का उपयोग करता है, बल्कि कई रणनीतियों का उपयोग करता है, उन्हें यादृच्छिक रूप से जोड़ता है। इसलिए, यदि हम शुद्ध रणनीतियों के अलावा मिश्रित रणनीतियों की अनुमति देते हैं, तो प्रत्येक सीमित खेल का एक समाधान होता है - एक संतुलन बिंदु। लेकिन इस पर अभी चर्चा होनी बाकी है.

किसी खेल में सैडल पॉइंट की मौजूदगी एक नियम से बहुत दूर है; बल्कि, यह एक अपवाद है। अधिकांश खेलों में सैडल पॉइंट नहीं होता है। हालाँकि, एक प्रकार का गेम है जिसमें हमेशा एक सैडल पॉइंट होता है और इसलिए, इसे शुद्ध रणनीतियों में हल किया जाता है। ये तथाकथित "संपूर्ण जानकारी वाले खेल" हैं। संपूर्ण जानकारी वाला खेल एक ऐसा खेल है जिसमें प्रत्येक खिलाड़ी, प्रत्येक व्यक्तिगत चाल के साथ, उसके विकास की पूरी पृष्ठभूमि जानता है, यानी, पिछली सभी चालों के परिणाम, व्यक्तिगत और यादृच्छिक दोनों। संपूर्ण जानकारी वाले खेलों के उदाहरणों में शामिल हैं: चेकर्स, शतरंज, टिक-टैक-टो, आदि।

गेम थ्योरी में यह सिद्ध है कि संपूर्ण जानकारी वाले प्रत्येक गेम में एक सैडल पॉइंट होता है, और इसलिए इसे शुद्ध रणनीतियों में हल किया जाता है। संपूर्ण जानकारी वाले प्रत्येक गेम में, इष्टतम रणनीतियों की एक जोड़ी होती है जो गेम की लागत के बराबर स्थिर भुगतान देती है। यदि इस तरह के खेल में केवल व्यक्तिगत चालें होती हैं, तो जब प्रत्येक खिलाड़ी अपनी इष्टतम रणनीति का उपयोग करता है, तो इसे बहुत निश्चित तरीके से समाप्त होना चाहिए - खेल की लागत के बराबर जीत के साथ। इसका मतलब यह है कि यदि खेल का समाधान ज्ञात हो तो खेल अपना अर्थ ही खो देता है!

आइए पूरी जानकारी के साथ एक खेल का प्रारंभिक उदाहरण लें: दो खिलाड़ी बारी-बारी से एक गोल मेज पर निकेल रखते हैं, सिक्के के केंद्र की स्थिति को यादृच्छिक रूप से चुनते हैं (सिक्के के पारस्परिक ओवरलैप की अनुमति नहीं है)। जो आखिरी निकेल डालता है वह जीतता है (जब दूसरों के लिए कोई जगह नहीं बचती है)। यह देखना आसान है कि इस खेल का नतीजा, संक्षेप में, पूर्व निर्धारित है। एक निश्चित रणनीति है जो यह सुनिश्चित करती है कि जो खिलाड़ी पहले सिक्का डालता है वह जीतता है।

अर्थात्, उसे पहले तालिका के केंद्र में एक निकेल रखना होगा, और फिर प्रत्येक प्रतिद्वंद्वी की चाल का एक सममित चाल के साथ जवाब देना होगा। जाहिर है, दुश्मन चाहे कैसा भी व्यवहार करे, वह हार से बच नहीं सकता। पूरी जानकारी के साथ सामान्य तौर पर शतरंज और खेलों के साथ स्थिति बिल्कुल वैसी ही है: उनमें से किसी को भी, मैट्रिक्स रूप में लिखा गया है, एक काठी बिंदु है, जिसका अर्थ है कि समाधान शुद्ध रणनीतियों में है, और इसलिए केवल तभी तक समझ में आता है जब तक यह समाधान नहीं मिला. मान लीजिए कि शतरंज का खेल या तो हमेशा श्वेत की जीत के साथ समाप्त होता है, या हमेशा काले की जीत के साथ, या हमेशा ड्रॉ के साथ, लेकिन हम अभी तक नहीं जानते कि वास्तव में क्या (शतरंज प्रेमियों के लिए सौभाग्य से)। आइए हम यह भी जोड़ें: हमें निकट भविष्य में जानने की संभावना नहीं है, क्योंकि रणनीतियों की संख्या इतनी बड़ी है कि गेम को मैट्रिक्स फॉर्म में लाना और इसमें एक सैडल पॉइंट ढूंढना बेहद मुश्किल (यदि असंभव नहीं है) है।

अब आइए अपने आप से पूछें कि यदि गेम में सैडल पॉइंट नहीं है तो क्या करें: ठीक है, यदि प्रत्येक खिलाड़ी को एक एकल शुद्ध रणनीति चुनने के लिए मजबूर किया जाता है, तो करने के लिए कुछ नहीं है: हमें मिनिमैक्स सिद्धांत द्वारा निर्देशित होना चाहिए। यह दूसरी बात है कि यदि आप अपनी रणनीतियों को "मिश्रित" कर सकते हैं, उन्हें कुछ संभावनाओं के साथ यादृच्छिक रूप से वैकल्पिक कर सकते हैं। मिश्रित रणनीतियों का उपयोग इस प्रकार सोचा जाता है: खेल को कई बार दोहराया जाता है; खेल के प्रत्येक खेल से पहले, जब खिलाड़ी को व्यक्तिगत मोड़ दिया जाता है, तो वह अपनी पसंद का मौका "सौंपता है", "लॉट डालता है" और जो रणनीति सामने आती है उसे अपनाता है (हम पहले से ही जानते हैं कि पिछले अध्याय से लॉट को कैसे व्यवस्थित किया जाए) ).

गेम थ्योरी में मिश्रित रणनीतियाँ परिवर्तनशील, लचीली रणनीति का एक मॉडल हैं जब कोई भी खिलाड़ी नहीं जानता कि प्रतिद्वंद्वी किसी दिए गए गेम में कैसा व्यवहार करेगा। यह युक्ति (हालांकि आमतौर पर बिना किसी गणितीय औचित्य के) अक्सर कार्ड गेम में उपयोग की जाती है। आइए साथ ही ध्यान दें कि अपने व्यवहार को दुश्मन से छिपाने का सबसे अच्छा तरीका इसे एक यादृच्छिक चरित्र देना है और इसलिए, पहले से नहीं जानना कि आप क्या करेंगे।

तो चलिए मिश्रित रणनीतियों के बारे में बात करते हैं। हम क्रमशः खिलाड़ियों ए और बी की मिश्रित रणनीतियों को निरूपित करेंगे, जहां (कुल मिलाकर एक) - खिलाड़ी ए द्वारा रणनीतियों का उपयोग करने की संभावना - खिलाड़ी बी द्वारा रणनीतियों का उपयोग करने की संभावना

विशेष मामले में जब एक को छोड़कर सभी संभावनाएं शून्य के बराबर होती हैं, और यह एक के बराबर होती है, तो मिश्रित रणनीति शुद्ध हो जाती है।

गेम थ्योरी का एक मौलिक प्रमेय है: किसी भी सीमित दो-व्यक्ति शून्य-राशि गेम में कम से कम एक समाधान होता है - इष्टतम रणनीतियों की एक जोड़ी, आम तौर पर मिश्रित, और एक संबंधित कीमत

किसी खेल का समाधान बनाने वाली इष्टतम रणनीतियों की एक जोड़ी में निम्नलिखित गुण होते हैं: यदि खिलाड़ियों में से एक अपनी इष्टतम रणनीति का पालन करता है, तो दूसरे के लिए उससे विचलित होना लाभदायक नहीं हो सकता है। रणनीतियों की यह जोड़ी खेल में एक निश्चित संतुलन स्थिति बनाती है: एक खिलाड़ी लाभ को अधिकतम में बदलना चाहता है, दूसरा - न्यूनतम में, प्रत्येक अपनी दिशा में खींचता है और, दोनों के उचित व्यवहार के साथ, संतुलन और एक स्थिर लाभ होता है वी स्थापित हैं. यदि तब खेल हमारे लिए लाभदायक है, यदि - शत्रु के लिए; जब खेल "निष्पक्ष" होता है, तो दोनों प्रतिभागियों के लिए समान रूप से फायदेमंद होता है।

आइए बिना सैडल पॉइंट वाले खेल के एक उदाहरण पर विचार करें और (बिना प्रमाण के) इसका समाधान दें। खेल इस प्रकार है: दो खिलाड़ी ए और बी एक साथ और बिना कुछ कहे एक, दो या तीन उंगलियां दिखाते हैं। उंगलियों की कुल संख्या जीत का फैसला करती है: यदि यह सम है, तो ए जीतता है और बी से इस संख्या के बराबर राशि प्राप्त करता है; यदि यह विषम है, तो, इसके विपरीत, A, B को इस संख्या के बराबर राशि का भुगतान करता है। खिलाड़ियों को क्या करना चाहिए?

आइए एक गेम मैट्रिक्स बनाएं। एक खेल में, प्रत्येक खिलाड़ी की तीन रणनीतियाँ होती हैं: एक, दो या तीन उंगलियाँ दिखाएँ। 3x3 मैट्रिक्स तालिका 26.5 में दिया गया है; अतिरिक्त दायां कॉलम पंक्ति मिनिमा दिखाता है, और अतिरिक्त निचली पंक्ति कॉलम मैक्सिमा दिखाती है।

खेल की कम कीमत रणनीति से मेल खाती है। इसका मतलब है कि उचित, सावधान व्यवहार के साथ, हम गारंटी देते हैं कि हम 3 से अधिक नहीं हारेंगे। छोटी सांत्वना, लेकिन फिर भी, कुछ कोशिकाओं में पाई गई 5 की जीत से बेहतर है मैट्रिक्स का. यह हमारे लिए बुरा है, खिलाड़ी एल... लेकिन आइए हम खुद को सांत्वना दें: दुश्मन की स्थिति और भी खराब लगती है: खेल की कीमत कम है। उचित व्यवहार वह हमें कम से कम 4 देगा।

निर्णय लेने की समस्या, जिसे सिस्टम दृष्टिकोण के ढांचे के भीतर माना जाता है, में तीन मुख्य घटक शामिल हैं: यह सिस्टम, नियंत्रण उपप्रणाली और पर्यावरण को अलग करता है। अब हम निर्णय लेने की समस्याओं के अध्ययन की ओर बढ़ते हैं जिसमें सिस्टम एक से नहीं, बल्कि कई नियंत्रण उप-प्रणालियों से प्रभावित होता है, जिनमें से प्रत्येक के अपने लक्ष्य और कार्रवाई की संभावनाएं होती हैं। निर्णय लेने के इस दृष्टिकोण को गेम-सैद्धांतिक कहा जाता है, और संबंधित इंटरैक्शन के गणितीय मॉडल कहा जाता है खेल. नियंत्रण उपप्रणालियों के लक्ष्यों में अंतर के साथ-साथ उनके बीच सूचनाओं के आदान-प्रदान की संभावना पर कुछ प्रतिबंधों के कारण, ये इंटरैक्शन परस्पर विरोधी प्रकृति के हैं। इसलिए, प्रत्येक खेल संघर्ष का गणितीय मॉडल है। आइए हम खुद को उस मामले तक सीमित रखें जब दो नियंत्रण उपप्रणालियाँ हों। यदि प्रणालियों के लक्ष्य विपरीत हैं, तो संघर्ष को विरोधी कहा जाता है, और ऐसे संघर्ष के गणितीय मॉडल को कहा जाता है विरोधी खेल..

गेम-सैद्धांतिक शब्दावली में, प्रथम नियंत्रण उपप्रणाली को कहा जाता है खिलाड़ी 1, दूसरा नियंत्रण उपप्रणाली - खिलाड़ी 2, सेट

उनके वैकल्पिक कार्यों को कहा जाता है रणनीतियों के सेटये खिलाड़ी. होने देना एक्स- खिलाड़ी 1 के लिए कई रणनीतियाँ, वाई- कई रणनीतियाँ

प्लेयर 2. सिस्टम की स्थिति विशिष्ट रूप से सबसिस्टम 1 और 2 द्वारा नियंत्रण क्रियाओं की पसंद, यानी रणनीतियों की पसंद से निर्धारित होती है

एक्स∈एक्सऔर य∈वाई. होने देना एफ(एक्स,य) - उस राज्य के खिलाड़ी 1 के लिए उपयोगिता का आकलन

सिस्टम जिसमें यह तब जाता है जब खिलाड़ी 1 रणनीति चुनता है एक्सऔर

खिलाड़ी 2 रणनीति पर. संख्या एफ(एक्स,य) कहा जाता है जीतनास्थिति में खिलाड़ी 1 ( एक्स,य), और फ़ंक्शन एफ- खिलाड़ी 1 का भुगतान फ़ंक्शन. खिलाड़ी की जीत

1 एक साथ खिलाड़ी 2 का नुकसान है, यानी, वह मूल्य जिसे पहला खिलाड़ी बढ़ाना चाहता है, और दूसरा - कम करना चाहता है। यह वही है

संघर्ष की विरोधी प्रकृति की अभिव्यक्ति: खिलाड़ियों के हित पूरी तरह से विपरीत हैं (जो एक जीतता है, दूसरा हारता है)।

एक विरोधी खेल को स्वाभाविक रूप से सिस्टम द्वारा परिभाषित किया जाता है जी=(एक्स, वाई, एफ).

ध्यान दें कि औपचारिक रूप से शून्य-राशि का खेल वस्तुतः उसी तरह से सेट किया जाता है जैसे अनिश्चितता की स्थिति में निर्णय लेने का कार्य - यदि

पर्यावरण के साथ नियंत्रण उपप्रणाली 2 की पहचान करें। नियंत्रण उपप्रणाली और पर्यावरण के बीच महत्वपूर्ण अंतर यही है

प्रथम का व्यवहार उद्देश्यपूर्ण होता है। यदि, किसी वास्तविक संघर्ष का गणितीय मॉडल तैयार करते समय, हमारे पास पर्यावरण को एक दुश्मन मानने का कारण (या इरादा) है जिसका लक्ष्य लाना है

हमें अधिकतम हानि हो तो ऐसी स्थिति को एक विरोधी खेल के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, शून्य-राशि खेल को अनिश्चितता की स्थितियों के तहत ZPR के एक चरम मामले के रूप में व्याख्या किया जा सकता है,

एक लक्ष्य के साथ पर्यावरण को एक प्रतिद्वंद्वी के रूप में मानना इसकी विशेषता है। साथ ही, हमें पर्यावरण के व्यवहार के बारे में परिकल्पनाओं के प्रकारों को भी सीमित करना चाहिए।

यहां सबसे न्यायसंगत अत्यधिक सावधानी की परिकल्पना है, जब निर्णय लेते समय, हम पर्यावरण द्वारा हमारे लिए सबसे खराब संभव कार्रवाई पर भरोसा करते हैं।

परिभाषा।अगर एक्सऔर वाईपरिमित हैं, तो विरोधी खेल को मैट्रिक्स गेम कहा जाता है। मैट्रिक्स गेम में हम यह मान सकते हैं एक्स={1,…,एन},

वाई={1,…,एम) और रखें ऐज=एफ(मैं, जे). इस प्रकार, मैट्रिक्स गेम पूरी तरह से मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित होता है ए=(ऐज),मैं=1,…,एन, जे=1,…,एम.

उदाहरण 3.1. दो उंगलियों का खेल.

दो लोग एक साथ एक या दो उंगलियां दिखाते हैं और नंबर 1 या 2 पर कॉल करते हैं, जिसका वक्ता की राय में मतलब नंबर होता है

दूसरों को उँगलियाँ दिखाना। उंगलियां दिखाने और नंबर बताने के बाद, जीत की राशि निम्नलिखित नियमों के अनुसार वितरित की जाती है:

यदि दोनों ने अनुमान लगाया या दोनों ने अनुमान नहीं लगाया कि उनके प्रतिद्वंद्वी ने कितनी उंगलियां दिखाईं, तो सभी की जीत शून्य है; यदि केवल एक ने अनुमान लगाया है, तो प्रतिद्वंद्वी अनुमान लगाने वाले को दिखाई गई कुल संख्या के अनुपात में धनराशि का भुगतान करता है

यह एक शून्य-राशि मैट्रिक्स गेम है। प्रत्येक खिलाड़ी की चार रणनीतियाँ होती हैं: 1- 1 उंगली दिखाओ और 1 बुलाओ, 2- 1 उंगली दिखाओ और 2 बुलाओ, 3-

2 उंगलियां दिखाएं और 1, 4 कॉल करें - 2 उंगलियां दिखाएं और 2 कॉल करें। फिर पेऑफ मैट्रिक्स A=(aij), i= 1,…, 4, जे= 1,…, 4 को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

ए12= 2, a21 = – 2, a13=a42=–3, a24=a31= 3, ए34 = – 4, ए43= 4,एआइजे=अन्य मामलों में 0.

उदाहरण 3.2. असतत द्वंद्व प्रकार का खेल।

द्वंद्वयुद्ध प्रकार की समस्याएं वर्णन करती हैं, उदाहरण के लिए, दो खिलाड़ियों के बीच लड़ाई,

जिनमें से प्रत्येक कोई एकमुश्त कार्रवाई करना चाहता है (बाज़ार में माल का एक बैच जारी करना, नीलामी में खरीदारी के लिए आवेदन करना) और इसके लिए एक समय चुनता है। खिलाड़ियों को एक-दूसरे की ओर बढ़ने को कहें एनकदम। प्रत्येक कदम उठाने के बाद, खिलाड़ी दुश्मन पर गोली चलाने या न चलाने का विकल्प चुन सकता है। प्रत्येक व्यक्ति को केवल एक ही गोली मिल सकती है। ऐसा माना जाता है कि आगे बढ़ने पर दुश्मन पर वार करने की संभावना बढ़ जाती है क n =5 का रूप है

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परिचय

1. सैद्धांतिक भाग

1.3 गेम ऑर्डर 2x2

1.4 बीजगणितीय विधि

1.5 ग्राफ़िकल विधि

1.6 गेम्स 2xn या mx2

1.7 मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके खेलों को हल करना

2. व्यावहारिक भाग

2.2 गेम्स 2एक्सएन और एमएक्स2

2.3 मैट्रिक्स विधि

2.4 भूरी विधि

परिणामों का विश्लेषण

परिचय

शून्य-राशि वाला खेल एक शून्य-राशि वाला खेल है। शून्य-राशि खेल एक असहयोगी खेल है जिसमें दो खिलाड़ी शामिल होते हैं जिनका भुगतान विपरीत होता है।

औपचारिक रूप से, एक विरोधी खेल को ट्रोइका द्वारा दर्शाया जा सकता है , जहाँ किसी दी गई स्थिति को लागू करने वाला पहला खिलाड़ी।

चूँकि खिलाड़ियों के हित विपरीत हैं, फ़ंक्शन F एक साथ दूसरे खिलाड़ी के नुकसान का प्रतिनिधित्व करता है।

ऐतिहासिक रूप से, शून्य-राशि वाले खेल गणितीय खेल सिद्धांत मॉडल की पहली श्रेणी हैं जिसके साथ जुए का वर्णन किया गया था। ऐसा माना जाता है कि अध्ययन के इसी विषय से गेम थ्योरी को अपना नाम मिला। आजकल, विरोधी खेलों को असहयोगी खेलों के व्यापक वर्ग का हिस्सा माना जाता है।

1. सैद्धांतिक भाग

1.1 खेल की बुनियादी परिभाषाएँ और प्रावधान

खेल को नियमों की एक प्रणाली की विशेषता है जो खेल में प्रतिभागियों की संख्या, उनके संभावित कार्यों और उनके व्यवहार और परिणामों के आधार पर जीत का वितरण निर्धारित करती है। एक खिलाड़ी को एक प्रतिभागी या खेल प्रतिभागियों का एक समूह माना जाता है जिनके कुछ सामान्य हित होते हैं जो अन्य समूहों के हितों से मेल नहीं खाते हैं। इसलिए, प्रत्येक प्रतिभागी को खिलाड़ी नहीं माना जाता है।

खेल के नियम या शर्तें खेल के विकास के किसी भी चरण में खिलाड़ियों के लिए संभावित व्यवहार, विकल्प और चाल निर्धारित करते हैं। किसी खिलाड़ी के लिए विकल्प चुनने का मतलब उसके व्यवहार विकल्पों में से किसी एक को चुनना है। इसके बाद खिलाड़ी चालों का उपयोग करके ये विकल्प चुनता है। चाल चलने का अर्थ है खेल के एक निश्चित चरण में खेल के नियमों द्वारा प्रदान की गई संभावनाओं के आधार पर, एक ही बार में सभी विकल्प या उसका कुछ भाग चुनना। खेल के एक निश्चित चरण में प्रत्येक खिलाड़ी अपनी पसंद के अनुसार कदम उठाता है। पहले खिलाड़ी की पसंद को जानते हुए या न जानते हुए दूसरा खिलाड़ी भी चाल चलता है। प्रत्येक खिलाड़ी खेल के पिछले विकास के बारे में जानकारी लेने का प्रयास करता है, यदि खेल के नियमों द्वारा ऐसी संभावना की अनुमति हो।

नियमों का एक सेट जो खिलाड़ी को स्पष्ट रूप से इंगित करता है कि खेल के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाली स्थिति के आधार पर उसे प्रत्येक चाल में क्या विकल्प चुनना चाहिए, खिलाड़ी की रणनीति कहलाती है। गेम थ्योरी में रणनीति का मतलब खिलाड़ी के लिए एक निश्चित पूर्ण कार्य योजना है, जिसमें दिखाया गया है कि उसे गेम के विकास के सभी संभावित मामलों में कैसे कार्य करना चाहिए। रणनीति का अर्थ है खेल के विकास के किसी भी चरण में खिलाड़ी के लिए उपलब्ध जानकारी की किसी भी स्थिति के लिए सभी निर्देशों की समग्रता। इससे यह तो स्पष्ट है कि रणनीतियाँ अच्छी और बुरी, सफल और असफल आदि हो सकती हैं।

एक शून्य-राशि खेल तब होगा जब उसके प्रत्येक खेल में सभी खिलाड़ियों की जीत का योग शून्य के बराबर हो, यानी शून्य-राशि वाले खेल में, सभी खिलाड़ियों की कुल पूंजी नहीं बदलती है, बल्कि खिलाड़ियों के बीच पुनर्वितरित होती है परिणामी परिणामों पर निर्भर करता है। इस प्रकार, कई आर्थिक और सैन्य स्थितियों को शून्य-राशि वाले खेल के रूप में देखा जा सकता है।

विशेष रूप से, दो खिलाड़ियों के बीच शून्य-राशि वाले खेल को विरोधी कहा जाता है, क्योंकि इसमें खिलाड़ियों के लक्ष्य सीधे विपरीत होते हैं: एक खिलाड़ी का लाभ दूसरे के नुकसान की कीमत पर ही होता है।

1.1.1 शुद्ध रणनीतियों में मैट्रिक्स गेम की परिभाषा, उदाहरण और समाधान

दो-खिलाड़ियों के शून्य-योग मैट्रिक्स गेम को निम्नलिखित अमूर्त दो-खिलाड़ियों के खेल के रूप में सोचा जा सकता है।

पहले खिलाड़ी के पास t रणनीतियाँ i =1, 2,…, t हैं, दूसरे के पास n रणनीतियाँ j = 1, 2,…, p हैं। रणनीतियों की प्रत्येक जोड़ी (i, j) एक संख्या a ij से जुड़ी है, जो व्यक्त करती है पहले खिलाड़ी की जीत दूसरे खिलाड़ी के कारण होती है यदि पहला खिलाड़ी अपनी i-th रणनीति का उपयोग करता है, और दूसरा खिलाड़ी अपनी j-th रणनीति का उपयोग करता है।

प्रत्येक खिलाड़ी एक चाल चलता है: पहला खिलाड़ी अपनी i-th रणनीति चुनता है (i = 1, 2,..., m), दूसरा अपनी j-th रणनीति चुनता है (j = 1, 2,..., n) , जिसके बाद पहले खिलाड़ी को दूसरे खिलाड़ी की कीमत पर जीत एक आईजे प्राप्त होती है (यदि एक आईजे< 0, то это значит, что первый игрок платит второму сумму a ij). На этом игра заканчивается.

खिलाड़ी की प्रत्येक रणनीति i = 1, 2,…, t; j = 1, 2,…, n को अक्सर शुद्ध रणनीति कहा जाता है।

दो-खिलाड़ियों वाले शून्य-योग मैट्रिक्स गेम को अब से केवल मैट्रिक्स गेम कहा जाएगा। जाहिर है मैट्रिक्स गेम विरोधी खेलों से संबंधित है। इसकी परिभाषा से यह पता चलता है कि मैट्रिक्स गेम को परिभाषित करने के लिए पहले खिलाड़ी के भुगतान के क्रम का मैट्रिक्स ए = (ए आईजे) निर्दिष्ट करना पर्याप्त है।

यदि हम भुगतान मैट्रिक्स पर विचार करें

फिर मैट्रिक्स ए के साथ मैट्रिक्स गेम के प्रत्येक गेम को खेलने के लिए आई-वें पंक्ति के पहले खिलाड़ी और जे-वें कॉलम के दूसरे खिलाड़ी की पसंद को कम कर दिया जाता है, और पहले खिलाड़ी को प्राप्त होता है (दूसरे की कीमत पर) ) जीत मैट्रिक्स ए में आई-वें पंक्ति और जे-वें कॉलम के चौराहे पर स्थित है।

मैट्रिक्स गेम के रूप में वास्तविक संघर्ष की स्थिति को औपचारिक रूप देने के लिए, प्रत्येक खिलाड़ी की शुद्ध रणनीतियों को पहचानना और पुन: क्रमांकित करना और एक भुगतान मैट्रिक्स बनाना आवश्यक है।

अगला चरण खिलाड़ियों की इष्टतम रणनीतियों और जीत का निर्धारण करना है।

खेलों के अध्ययन में मुख्य बात खिलाड़ियों की इष्टतम रणनीतियों की अवधारणा है। इस अवधारणा का सहज रूप से निम्नलिखित अर्थ है: एक खिलाड़ी की रणनीति इष्टतम होती है यदि इस रणनीति का उपयोग उसे दूसरे खिलाड़ी की सभी संभावित रणनीतियों के लिए सबसे बड़ी गारंटी वाली जीत प्रदान करता है। इन स्थितियों के आधार पर, पहला खिलाड़ी निम्नानुसार सूत्र (1.1) का उपयोग करके अपने भुगतान के मैट्रिक्स ए की जांच करता है: i (i = 1, 2,..., t) के प्रत्येक मूल्य के लिए न्यूनतम भुगतान मूल्य निर्धारित किया जाता है। दूसरे खिलाड़ी द्वारा उपयोग की जाने वाली रणनीतियाँ

(मैं = 1, 2,..., एम) (1.2)

यानी, पहले खिलाड़ी के लिए न्यूनतम भुगतान निर्धारित किया जाता है, बशर्ते कि वह अपनी i-th शुद्ध रणनीति लागू करता है, फिर इन न्यूनतम भुगतान से, एक रणनीति i = i 0 पाई जाती है जिसके लिए यह न्यूनतम भुगतान अधिकतम होगा, अर्थात, पाया जाता है

परिभाषा। सूत्र (1.3) द्वारा निर्धारित संख्या बी को खेल का निचला शुद्ध मूल्य कहा जाता है और यह दर्शाता है कि पहला खिलाड़ी दूसरे खिलाड़ी के सभी संभावित कार्यों के लिए अपनी शुद्ध रणनीतियों को लागू करके अपने लिए कितनी न्यूनतम जीत की गारंटी दे सकता है।

दूसरे खिलाड़ी को, अपने इष्टतम व्यवहार के साथ, यदि संभव हो तो, अपनी रणनीतियों के माध्यम से, पहले खिलाड़ी की जीत को कम करने का प्रयास करना चाहिए। इसलिए, हम दूसरे खिलाड़ी को ढूंढते हैं

यानी, पहले खिलाड़ी का अधिकतम भुगतान निर्धारित किया जाता है, बशर्ते कि दूसरा खिलाड़ी अपनी जे-वें शुद्ध रणनीति लागू करता है, तो दूसरा खिलाड़ी अपनी जे = जे 1 रणनीति ढूंढता है जिसके तहत पहले खिलाड़ी को न्यूनतम भुगतान प्राप्त होगा, यानी, पाता है

परिभाषा। सूत्र (1.5) द्वारा निर्धारित संख्या बी को खेल का शुद्ध ऊपरी मूल्य कहा जाता है और यह दर्शाता है कि पहला खिलाड़ी अपनी रणनीतियों के माध्यम से अपने लिए कितनी अधिकतम जीत की गारंटी दे सकता है। दूसरे शब्दों में, अपनी शुद्ध रणनीतियों को लागू करके, पहला खिलाड़ी बी से कम का भुगतान सुनिश्चित नहीं कर सकता है, और दूसरा खिलाड़ी, अपनी शुद्ध रणनीतियों को लागू करके, पहले खिलाड़ी को बी से अधिक जीतने से रोक सकता है।

परिभाषा। यदि मैट्रिक्स ए वाले गेम में गेम की निचली और ऊपरी शुद्ध कीमतें मेल खाती हैं, यानी बी = सी, तो इस गेम को शुद्ध रणनीतियों में सैडल पॉइंट और गेम की शुद्ध कीमत कहा जाता है:

एन = बी = वी (1.6)

सैडल पॉइंट क्रमशः पहले और दूसरे खिलाड़ियों की शुद्ध रणनीतियों () की एक जोड़ी है, जिस पर समानता हासिल की जाती है

सैडल पॉइंट की अवधारणा का निम्नलिखित अर्थ है: यदि खिलाड़ियों में से एक सैडल पॉइंट के अनुरूप रणनीति का पालन करता है, तो दूसरा खिलाड़ी सैडल पॉइंट के अनुरूप रणनीति का पालन करने से बेहतर कुछ नहीं कर सकता है। इस बात को ध्यान में रखते हुए कि किसी खिलाड़ी के सर्वोत्तम व्यवहार के कारण उसकी जीत में कमी नहीं आनी चाहिए, और सबसे खराब व्यवहार के कारण उसकी जीत में कमी नहीं होनी चाहिए, इन स्थितियों को गणितीय रूप से निम्नलिखित संबंधों के रूप में लिखा जा सकता है:

जहाँ i, j क्रमशः पहले और दूसरे खिलाड़ियों की कोई शुद्ध रणनीतियाँ हैं; (i 0 , j 0) ऐसी रणनीतियाँ हैं जो एक काठी बिंदु बनाती हैं। नीचे हम दिखाएंगे कि सैडल पॉइंट की परिभाषा शर्तों (1.8) के बराबर है।

इस प्रकार, (1.8) के आधार पर, सैडल तत्व i 0वीं पंक्ति में न्यूनतम है और मैट्रिक्स A में j 0वें कॉलम में अधिकतम है। मैट्रिक्स A का सैडल बिंदु ढूँढना आसान है: मैट्रिक्स A में, न्यूनतम तत्व क्रमिक रूप से पाया जाता है प्रत्येक पंक्ति और जांचें कि क्या यह तत्व उसके कॉलम में अधिकतम है। यदि ऐसा है, तो यह एक काठी तत्व है, और इसके अनुरूप रणनीतियों की जोड़ी एक काठी बिंदु बनाती है। पहले और दूसरे खिलाड़ियों की शुद्ध रणनीतियों (i 0, j 0) की एक जोड़ी, जो एक सैडल पॉइंट और एक सैडल तत्व बनाती है, खेल का समाधान कहलाती है।

काठी बिंदु बनाने वाली शुद्ध रणनीतियाँ i 0 और j 0 क्रमशः पहले और दूसरे खिलाड़ियों की इष्टतम शुद्ध रणनीतियाँ कहलाती हैं।

प्रमेय 1. मान लीजिए कि f (x, y) दो चर x A और y B का एक वास्तविक फलन है और अस्तित्व में है

फिर बी = सी.

सबूत। न्यूनतम और अधिकतम की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है

चूँकि (1.11) के बाईं ओर x मनमाना है, तो

इसलिए, असमानता के दाईं ओर (1.12) y मनमाना है

क्यू.ई.डी.

विशेष रूप से, मैट्रिक्स () फ़ंक्शन f (x, y) का एक विशेष मामला है, यानी यदि हम x = i, y = j, = f (x, y) रखते हैं, तो प्रमेय 1 से हम प्राप्त करते हैं कि निचला नेट कीमत मैट्रिक्स गेम में खेलने की ऊपरी शुद्ध कीमत से अधिक नहीं है।

परिभाषा। मान लीजिए f (x, y) दो चर x A और y B का एक वास्तविक फलन है। बिंदु (x 0, y 0) को फलन f (x, y) के लिए सैडल बिंदु कहा जाता है यदि निम्नलिखित असमानताएँ संतुष्ट होती हैं

एफ (एक्स, वाई 0) एफ (एक्स 0, वाई 0)एफ (एक्स 0, वाई) (1.14)

किसी भी x A और y B के लिए।

1.2 इष्टतम मिश्रित रणनीतियाँ और उनके गुण

मैट्रिक्स गेम का अध्ययन शुद्ध रणनीतियों में इसके काठी बिंदु को खोजने से शुरू होता है। यदि किसी मैट्रिक्स गेम में शुद्ध रणनीतियों में एक सैडल पॉइंट होता है, तो गेम का अध्ययन इस बिंदु को खोजने के साथ समाप्त होता है। यदि मैट्रिक्स गेम में शुद्ध रणनीतियों में कोई काठी बिंदु नहीं है, तो कोई इस गेम की निचली और ऊपरी शुद्ध कीमतें पा सकता है, जो इंगित करता है कि पहले खिलाड़ी को गेम की ऊपरी कीमत से अधिक जीतने की उम्मीद नहीं करनी चाहिए, और कर सकते हैं खेल की कीमत से कम कीमत पर जीत सुनिश्चित करें। शुद्ध रणनीतियों में सैडल पॉइंट के बिना मैट्रिक्स गेम में खिलाड़ियों के व्यवहार के बारे में ऐसी सिफारिशें शोधकर्ताओं और चिकित्सकों को संतुष्ट नहीं कर सकती हैं। मैट्रिक्स गेम के समाधानों में सुधार के लिए शुद्ध रणनीतियों का उपयोग करने की गोपनीयता और गेम के रूप में गेम को कई बार दोहराने की संभावना का उपयोग करना चाहिए। इसलिए, उदाहरण के लिए, शतरंज, चेकर्स और फुटबॉल के खेलों की एक श्रृंखला खेली जाती है, और हर बार खिलाड़ी अपनी रणनीतियों को इस तरह से लागू करते हैं कि उनके विरोधियों को उनकी सामग्री के बारे में कोई जानकारी नहीं होती है, और इस तरह, औसतन, वे खेलों की पूरी शृंखला खेलकर निश्चित जीत हासिल करें। ये जीतें औसतन खेल की निचली कीमत से अधिक और खेल की ऊपरी कीमत से कम होती हैं। यह औसत मान जितना अधिक होगा, खिलाड़ी उतनी ही बेहतर रणनीति का उपयोग करेगा। इसलिए, एक निश्चित संभावना के साथ शुद्ध रणनीतियों को यादृच्छिक रूप से लागू करने का विचार आया। यह उनके उपयोग की गोपनीयता को पूरी तरह से सुनिश्चित करता है। प्रत्येक खिलाड़ी अपनी शुद्ध रणनीतियों का उपयोग करने की संभावनाओं को इस तरह से बदल सकता है ताकि उसका औसत भुगतान अधिकतम हो सके और रास्ते में इष्टतम रणनीतियाँ प्राप्त हो सकें। इस विचार ने मिश्रित रणनीति की अवधारणा को जन्म दिया।

परिभाषा। एक खिलाड़ी की मिश्रित रणनीति उसकी शुद्ध रणनीतियों का उपयोग करने की संभावनाओं का पूरा सेट है।

इस प्रकार, यदि पहले खिलाड़ी के पास m शुद्ध रणनीतियाँ 1, 2, … i, … m है, तो उसकी मिश्रित रणनीति x संख्याओं का एक सेट है x = (x 1, x 2, ..., x i,…, x m ) संतोषजनक रिश्ते

x i 0 (i = 1, 2, ... , t), = 1. (1.15)

इसी प्रकार, दूसरे खिलाड़ी के लिए, जिसके पास n शुद्ध रणनीतियाँ हैं, एक मिश्रित रणनीति y संख्याओं का एक सेट है y = (y 1, ..., y j, ... y n) संबंधों को संतुष्ट करता है

y j 0 (j = 1, 2, ... , n), = 1. (1.16)

चूँकि हर बार जब कोई खिलाड़ी एक शुद्ध रणनीति का उपयोग करता है तो दूसरी का उपयोग छोड़ देता है, शुद्ध रणनीतियाँ असंगत घटनाएँ होती हैं। इसके अलावा, वे एकमात्र संभावित घटनाएँ हैं।

जाहिर है, एक शुद्ध रणनीति मिश्रित रणनीति का एक विशेष मामला है। वास्तव में, यदि किसी मिश्रित रणनीति में किसी i-th शुद्ध रणनीति को संभाव्यता एक के साथ लागू किया जाता है, तो अन्य सभी शुद्ध रणनीतियाँ लागू नहीं होती हैं। और यह i-th शुद्ध रणनीति मिश्रित रणनीति का एक विशेष मामला है। गोपनीयता बनाए रखने के लिए, प्रत्येक खिलाड़ी दूसरे खिलाड़ी की पसंद की परवाह किए बिना अपनी रणनीतियाँ लागू करता है।

परिभाषा। मैट्रिक्स ए के साथ मैट्रिक्स गेम में पहले खिलाड़ी का औसत भुगतान उसके भुगतान की गणितीय अपेक्षा के रूप में व्यक्त किया जाता है

ई (ए, एक्स, वाई) = (1.20)

जाहिर है, पहले खिलाड़ी का औसत भुगतान चर x और y के दो सेटों का एक कार्य है। पहले खिलाड़ी का लक्ष्य, अपनी मिश्रित रणनीतियों को बदलकर, अपने औसत भुगतान ई (ए, एक्स, वाई) को अधिकतम करना है, और दूसरे खिलाड़ी, अपनी मिश्रित रणनीतियों के माध्यम से, ई (ए, एक्स, वाई) को न्यूनतम बनाने का प्रयास करता है, यानी। गेम को हल करने के लिए ऐसे x, y को ढूंढना जरूरी है, जिस पर गेम की ऊपरी कीमत हासिल हो।

1.3 ऑर्डर 22 का खेल

क्रम 22 का एक मैट्रिक्स गेम पहले खिलाड़ी के लिए निम्नलिखित भुगतान मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है:

इस खेल का समाधान शुद्ध रणनीतियों में एक काठी बिंदु खोजने से शुरू होना चाहिए। ऐसा करने के लिए, पहली पंक्ति में न्यूनतम तत्व ढूंढें और जांचें कि क्या यह उसके कॉलम में अधिकतम है। यदि ऐसा कोई तत्व नहीं मिलता है तो दूसरी पंक्ति की भी इसी प्रकार जाँच की जाती है। यदि दूसरी पंक्ति में ऐसा कोई तत्व पाया जाए तो वह काठी है।

सैडल तत्व ढूँढना, यदि कोई है, तो इसका समाधान ढूंढने की प्रक्रिया समाप्त हो जाती है, क्योंकि इस मामले में गेम की कीमत पाई गई है - सैडल तत्व और सैडल पॉइंट, यानी, पहले और के लिए शुद्ध रणनीतियों की एक जोड़ी दूसरा खिलाड़ी, इष्टतम शुद्ध रणनीतियों का गठन। यदि शुद्ध रणनीतियों में कोई काठी बिंदु नहीं है, तो हमें मिश्रित रणनीतियों में एक काठी बिंदु खोजने की आवश्यकता है, जो मैट्रिक्स गेम के मुख्य प्रमेय के अनुसार आवश्यक रूप से मौजूद है।

आइए हम क्रमशः पहले और दूसरे खिलाड़ियों की मिश्रित रणनीतियों को x = (x 1 , x 2), y = (y 1 , y 2) से निरूपित करें। याद रखें कि x 1 का मतलब पहले खिलाड़ी द्वारा अपनी पहली रणनीति का उपयोग करने की संभावना है, और x 2 = 1 - x 1 उसकी दूसरी रणनीति का उपयोग करने की संभावना है। इसी प्रकार दूसरे खिलाड़ी के लिए: 1 उसके द्वारा पहली रणनीति का उपयोग करने की संभावना है, 2 = 1 - 1 उसके द्वारा दूसरी रणनीति का उपयोग करने की संभावना है।

प्रमेय के परिणाम के अनुसार, मिश्रित रणनीतियों x और y के इष्टतम होने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि गैर-नकारात्मक x 1, x 2, y 1, y 2 के लिए निम्नलिखित संबंध हों:

आइए अब हम दिखाते हैं कि यदि किसी मैट्रिक्स गेम में शुद्ध रणनीतियों में कोई काठी बिंदु नहीं है, तो इन असमानताओं को समानता में बदलना होगा:

वास्तव में। मान लीजिए कि खेल में शुद्ध रणनीतियों में कोई काठी बिंदु नहीं है, तो मिश्रित रणनीतियों के इष्टतम मूल्य असमानताओं को संतुष्ट करते हैं

0<<1, 0<< 1,

0< <1, 01. (1.25)

आइए मान लें कि (1.22) से दोनों असमानताएं सख्त हैं

तब, प्रमेय के अनुसार, y 1 = y 2 = 0, जो शर्तों (1.25) का खंडन करता है।

इसी प्रकार यह सिद्ध है कि (1.23) से दोनों असमानताएँ सख्त असमानताएँ नहीं हो सकतीं।

आइए अब मान लें कि असमानताओं में से एक (1.22) सख्त हो सकती है, उदाहरण के लिए पहली

इसका मतलब यह है कि प्रमेय के अनुसार, y 1 = 0, y 2 = 1. परिणामस्वरूप, (1.23) से हम प्राप्त करते हैं

यदि दोनों असमानताएँ (1.24) सख्त हैं, तो, प्रमेय के अनुसार, x 1 = x 2 = 0, जो (1.25) का खंडन करता है। यदि 12 और 22 है, तो असमानताओं में से एक (1.27) सख्त है, और दूसरी एक समानता है। इसके अलावा, 12 और 22 के बड़े तत्व के लिए समानता कायम रहेगी, यानी, (1.27) से एक असमानता सख्त होनी चाहिए। उदाहरण के लिए 12< а 22 . Тогда справедливо а 12 < v, а это равносильно тому, что первое неравенство из (1.24) строгое. Тогда согласно теореме должно х 1 = 0, что противоречит условию (1.25). Если а 12 = а 22 , то оба неравенства (1.27) превращаются в равенства и тогда можно положить х 1 = 0, что противоречит (1.25). Итак, предположение о том, что первое неравенство из (1.22) может быть строгим, не справедливо. Аналогично можно показать, что второе неравенство из (1.22) также не может быть строгим.

इस प्रकार, यह दिखाया गया है कि यदि मैट्रिक्स गेम में शुद्ध रणनीतियों में सैडल पॉइंट नहीं है, तो पहले खिलाड़ी की इष्टतम रणनीतियों के लिए, असमानताएं (1.22) समानता में बदल जाती हैं। असमानताओं (1.23) के संबंध में इसी तरह का तर्क इस तथ्य को जन्म देगा कि इस मामले में असमानताएं (1.23) समानताएं होनी चाहिए।

इसलिए, यदि ऑर्डर 22 के मैट्रिक्स गेम में सैडल पॉइंट नहीं है, तो खिलाड़ियों की इष्टतम मिश्रित रणनीति और गेम की कीमत समीकरणों की प्रणाली (1.24) को हल करके निर्धारित की जा सकती है। यह भी स्थापित किया गया है कि यदि 2x2 क्रम के मैट्रिक्स गेम में एक खिलाड़ी के पास इष्टतम शुद्ध रणनीति है, तो दूसरे खिलाड़ी के पास भी इष्टतम शुद्ध रणनीति है।

नतीजतन, यदि किसी मैट्रिक्स गेम में शुद्ध रणनीतियों में सैडल पॉइंट नहीं है, तो इसका समाधान मिश्रित रणनीतियों में होना चाहिए, जो समीकरणों (1.24) से निर्धारित होते हैं। सिस्टम का समाधान (1.25)

1.4 बीजगणितीय विधि

बीजगणितीय पद्धति का उपयोग करके समस्याओं को हल करने के दो संभावित मामले हैं:

1. मैट्रिक्स में एक सैडल पॉइंट होता है;

2. मैट्रिक्स में सैडल पॉइंट नहीं है।

पहले मामले में, समाधान रणनीतियों की एक जोड़ी है जो खेल का आधार बिंदु बनाती है। आइए दूसरे मामले पर विचार करें। यहां समाधान मिश्रित रणनीतियों में मांगे जाने चाहिए:

आइए रणनीतियाँ खोजें और... जब पहला खिलाड़ी अपनी इष्टतम रणनीति का उपयोग करता है, तो दूसरा खिलाड़ी, उदाहरण के लिए, ऐसी दो शुद्ध रणनीतियों को लागू कर सकता है

इसके अलावा, संपत्ति के कारण, यदि खिलाड़ियों में से एक इष्टतम मिश्रित रणनीति का उपयोग करता है, और दूसरा शून्य के बराबर संभावना के साथ अपनी इष्टतम मिश्रित रणनीति में शामिल किसी भी शुद्ध रणनीति का उपयोग करता है, तो जीतने की गणितीय उम्मीद हमेशा अपरिवर्तित और बराबर रहती है खेल की कीमत के लिए, यानी

इनमें से प्रत्येक मामले में जीत गेम वी की कीमत के बराबर होनी चाहिए। इस मामले में, निम्नलिखित संबंध मान्य हैं:

दूसरे खिलाड़ी की इष्टतम रणनीति के लिए (2.5), (2.6) के समान समीकरणों की एक प्रणाली का निर्माण किया जा सकता है:

सामान्यीकरण की स्थिति को ध्यान में रखते हुए:

आइए अज्ञात के संबंध में समीकरण (1.37) - (1.41) को एक साथ हल करें, हम सभी को एक साथ नहीं, बल्कि एक समय में तीन को हल कर सकते हैं: अलग-अलग (1.36), (1.38), (1.40) और (1.37), ( 1.39), (1.41). समाधान के परिणामस्वरूप हमें यह मिलता है:

1.5 ग्राफ़िकल विधि

गेम 22 का एक अनुमानित समाधान ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके काफी सरलता से प्राप्त किया जा सकता है। इसका सार इस प्रकार है:

चित्र 1.1 - इकाई लंबाई का एक अनुभाग ढूँढना

x-अक्ष पर इकाई लंबाई का एक अनुभाग चुनें. इसका बायां सिरा पहले खिलाड़ी की पहली रणनीति को दर्शाएगा, और दायां सिरा दूसरे खिलाड़ी का प्रतिनिधित्व करेगा। सभी मध्यवर्ती बिंदु पहले खिलाड़ी की मिश्रित रणनीतियों के अनुरूप हैं, और बिंदु के दाईं ओर के खंड की लंबाई पहली रणनीति का उपयोग करने की संभावना के बराबर है, और बाईं ओर के खंड की लंबाई उपयोग की संभावना के बराबर है। पहले खिलाड़ी द्वारा दूसरी रणनीति.

दो अक्ष I-I और II-II खींचे गए हैं। जब पहला खिलाड़ी पहली रणनीति का उपयोग करता है तो हम जीत को I-I पर डाल देंगे, जब वह दूसरी रणनीति का उपयोग करता है तो II-II पर डाल देंगे। उदाहरण के लिए, दूसरा खिलाड़ी अपनी पहली रणनीति लागू करता है, फिर मान को I-I अक्ष पर प्लॉट किया जाना चाहिए, और मान को II-II अक्ष पर प्लॉट किया जाना चाहिए

पहले खिलाड़ी की किसी भी मिश्रित रणनीति के लिए, उसका भुगतान खंड के मूल्य से निर्धारित किया जाएगा। पंक्ति I-I दूसरे खिलाड़ी द्वारा पहली रणनीति के अनुप्रयोग से मेल खाती है; हम इसे दूसरे खिलाड़ी की पहली रणनीति कहेंगे। इसी तरह, आप दूसरे खिलाड़ी की दूसरी रणनीति बना सकते हैं। फिर, सामान्य तौर पर, गेम मैट्रिक्स का ग्राफिकल डिस्प्ले निम्नलिखित रूप लेगा:

चित्र 1.2 - खेल की कीमत ज्ञात करना

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह निर्माण पहले खिलाड़ी के लिए किया गया था। यहां खंड की लंबाई खेल मूल्य V के बराबर है।

1N2 रेखा को निचली जीत सीमा कहा जाता है। यहां आप स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि बिंदु N पहले खिलाड़ी की गारंटीकृत जीत की अधिकतम राशि से मेल खाता है।

सामान्यतया, दूसरे खिलाड़ी की रणनीति भी इस आंकड़े से निर्धारित की जा सकती है, उदाहरण के लिए निम्नलिखित तरीकों से। I-I अक्ष पर:

या अक्ष II-II पर

हालाँकि, दूसरे खिलाड़ी की रणनीति उसी तरह निर्धारित की जा सकती है जैसे पहले खिलाड़ी के लिए की जाती है, यानी। ऐसा ग्राफ बनाएं.

चित्र 1.3 - दूसरे खिलाड़ी की रणनीति का निर्धारण

यहां लाइन 1N2 हानि की ऊपरी सीमा है। प्वाइंट एन दूसरे खिलाड़ी की न्यूनतम संभावित हानि से मेल खाता है, और यह रणनीति निर्धारित करता है।

मैट्रिक्स गुणांक के विशिष्ट मूल्यों के आधार पर, ग्राफ़ का एक अलग रूप हो सकता है, उदाहरण के लिए, यह:

चित्र 1.4 - पहले खिलाड़ी की इष्टतम रणनीति निर्धारित करता है

ऐसी स्थिति में, पहले खिलाड़ी की इष्टतम रणनीति शुद्ध है:

1.6 गेम्स 2एन या एम2

क्रम 2n के खेलों में, पहले खिलाड़ी के पास 2 शुद्ध रणनीतियाँ होती हैं, और दूसरे खिलाड़ी के पास n शुद्ध रणनीतियाँ होती हैं, अर्थात। पहले खिलाड़ी के भुगतान मैट्रिक्स का रूप इस प्रकार है:

यदि ऐसे गेम में सैडल पॉइंट है, तो इसे ढूंढना और समाधान प्राप्त करना आसान है।

आइए मान लें कि गेम में सैडल पॉइंट हैं। फिर ऐसी मिश्रित रणनीतियों को ढूंढना आवश्यक है और, तदनुसार, पहले और दूसरे खिलाड़ी और खेल मूल्य वी, जो संबंधों को संतुष्ट करते हैं:

चूंकि खेल में कोई सैडल प्वाइंट नहीं है, इसलिए असमानता (1.54) को असमानताओं से बदल दिया जाता है

सिस्टम (1.56), (1.55), (1.53) को हल करने के लिए ग्राफिकल विधि का उपयोग करने की सलाह दी जाती है। इस प्रयोजन के लिए, हम असमानता के बाईं ओर के लिए अंकन प्रस्तुत करते हैं (1.53)

मैट्रिक्स गेम गणितीय मॉडल

या, (1.55) से लगाने और सरल परिवर्तन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

पहले खिलाड़ी का औसत भुगतान कहां है, बशर्ते कि वह अपनी मिश्रित रणनीति का उपयोग करता है, और दूसरा खिलाड़ी अपनी जे-वें शुद्ध रणनीति का उपयोग करता है।

अभिव्यक्ति के अनुसार, प्रत्येक मान j=1, 2, …, n एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक सीधी रेखा से मेल खाता है।

दूसरे खिलाड़ी का लक्ष्य अपनी रणनीतियों को चुनकर पहले खिलाड़ी की जीत को कम करना है। इसलिए हम गणना करते हैं

प्रतिबंधों के सेट की निचली सीमा कहां है. चित्र 1.6 में, फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक मोटी रेखा के साथ दिखाया गया है।

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चित्र 1.6 - फ़ंक्शन ग्राफ़

पहले खिलाड़ी का लक्ष्य पसंद के माध्यम से अपनी जीत को अधिकतम करना है, अर्थात। calculate

चित्र 1.6 में, बिंदु का अर्थ वह अधिकतम मान है जिस पर प्राप्त किया जाता है। गेम की कीमत इसलिए है क्योंकि:

इस तरह, पहले खिलाड़ी की इष्टतम मिश्रित रणनीति और दूसरे खिलाड़ी की शुद्ध रणनीतियों की एक जोड़ी ग्राफिक रूप से निर्धारित की जाती है, जो चौराहे पर एक बिंदु बनाती है। चित्र 1.6 दूसरे खिलाड़ी की दूसरी और तीसरी रणनीतियों को दर्शाता है। ऐसी रणनीतियों के लिए, असमानताएँ (1.53) समानता में बदल जाती हैं। चित्र 1.6 में ये रणनीतियाँ j=2, j=3 हैं।

अब हम समीकरणों की प्रणाली को हल कर सकते हैं

और के मानों को सटीक रूप से निर्धारित करें (ग्राफ़िक रूप से वे लगभग निर्धारित होते हैं)। फिर, उन j के लिए सभी मान रखें जिनके लिए वे एक बिंदु नहीं बनाते हैं, समीकरणों की प्रणाली को हल करना (1.56) चित्र 1.6 में दिखाए गए उदाहरण के लिए, यह निम्नलिखित प्रणाली है:

और बाकी इस प्रणाली को ढलान द्वारा हल किया जा सकता है यदि कुछ j=j 0 के लिए दूसरे खिलाड़ी की रणनीतियाँ एक बिंदु M 0 बनाती हैं और फिर प्रतिबंधों के सेट की निचली सीमा का अधिकतम मान एक खंड के समानांतर दर्शाया जाता है अक्ष इस मामले में, पहले खिलाड़ी के पास असीम रूप से कई इष्टतम मान और खेल की कीमत है। इस मामले को चित्र 1.7 में दर्शाया गया है, जहां खंड एमएन ऊपरी सीमा को दर्शाता है, इष्टतम मान सीमा के भीतर हैं। दूसरा खिलाड़ी एक शुद्ध इष्टतम रणनीति j=j 0 है।

ऑर्डर एम2 के मैट्रिक्स गेम को ग्राफ़िकल विधि का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। इस मामले में पहले खिलाड़ी के भुगतान मैट्रिक्स का रूप है

क्रमशः पहले और दूसरे खिलाड़ियों की मिश्रित रणनीतियों को क्रम 2n के खेलों के मामले में उसी तरह परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि 0 से 1 तक का मान क्षैतिज अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है, और पहले खिलाड़ी के औसत जीत का मान ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ प्लॉट किया गया है, इस शर्त के तहत कि पहला खिलाड़ी अपनी शुद्ध i-th रणनीति लागू करता है (i=1, 2, ..., एम), दूसरा - उसकी मिश्रित रणनीति (वाई 1, 1- वाई 1) =वाई। उदाहरण के लिए, जब m=4 ग्राफ़िक रूप से) को चित्र 1.7 में दिखाए अनुसार दर्शाया जा सकता है।

चित्र 1.7 - फ़ंक्शन ग्राफ़)

पहला खिलाड़ी अपने औसत भुगतान को अधिकतम करने का प्रयास करता है, इसलिए वह खोजने का प्रयास करता है

फ़ंक्शन को एक मोटी रेखा द्वारा दर्शाया जाता है और बाधाओं के एक सेट की ऊपरी सीमा का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरा खिलाड़ी अपनी रणनीति चुनकर न्यूनतम करने का प्रयास करता है, अर्थात। मान मेल खाता है

चित्र में, मान को एक बिंदु द्वारा दर्शाया गया है। दूसरे शब्दों में, पहले खिलाड़ी की दो रणनीतियाँ और दूसरे खिलाड़ी की संभावना निर्धारित की जाती है, जिस पर समानता हासिल की जाती है

चित्र से हम देखते हैं कि खेल की कीमत बिंदु की कोटि है, संभावना बिंदु की भुजाओं की है। इष्टतम मिश्रित रणनीति में पहले खिलाड़ी की शेष शुद्ध रणनीतियों के लिए () होना चाहिए।

इस प्रकार, सिस्टम (1.69) को हल करके, हम दूसरे खिलाड़ी की इष्टतम रणनीति और खेल की कीमत प्राप्त करते हैं। समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली को हल करके हम पहले खिलाड़ी के लिए इष्टतम मिश्रित रणनीति पाते हैं:

1.7 खेलों को हल करने के लिए मैट्रिक्स विधि

पदनाम:

ऑर्डर मैट्रिक्स का कोई भी वर्ग सबमैट्रिक्स

मैट्रिक्स(1);

मैट्रिक्स को स्थानांतरित किया गया;

बी से जुड़ा मैट्रिक्स;

- (1) प्राप्त होने पर हटाई गई पंक्तियों के अनुरूप तत्वों को हटाकर एक्स से प्राप्त एक मैट्रिक्स;

- (1) प्राप्त होने पर हटाई गई पंक्तियों के अनुरूप तत्वों को हटाकर प्राप्त एक मैट्रिक्स।

कलन विधि:

1. क्रम के मैट्रिक्स का एक वर्ग उपमैट्रिक्स चुनें () और गणना करें

2. यदि कुछ या, तो पाए गए मैट्रिक्स को त्यागें और दूसरे मैट्रिक्स का प्रयास करें।

3. यदि (), (), तो हम उचित स्थानों पर शून्य जोड़कर और से एक्स की गणना और निर्माण करते हैं।

जाँच करना कि क्या असमानताएँ संतुष्ट हैं

सभी के लिए (1.75)

और असमानताएँ

सभी के लिए (1.76)

अगर एक रिश्ते से संतुष्टि नहीं मिलती तो हम दूसरा रिश्ता आजमाते हैं। यदि सभी संबंध वैध हैं, तो एक्स, और आवश्यक समाधान।

1.8 खेल की कीमत के क्रमिक अनुमान की विधि

खेल स्थितियों का अध्ययन करते समय, अक्सर ऐसा हो सकता है कि खेल का सटीक समाधान प्राप्त करने की कोई आवश्यकता नहीं है या, किसी कारण से, खेल की कीमत और इष्टतम मिश्रित रणनीतियों का सटीक मूल्य ढूंढना असंभव या बहुत मुश्किल है। फिर आप मैट्रिक्स गेम को हल करने के लिए अनुमानित तरीकों का उपयोग कर सकते हैं।

आइए हम इनमें से एक विधि का वर्णन करें - किसी खेल की कीमत का क्रमिक रूप से अनुमान लगाने की विधि। विधि का उपयोग करते समय गणना की गई संख्या भुगतान मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों की संख्या के अनुपात में लगभग बढ़ जाती है।

विधि का सार इस प्रकार है: खेल मानसिक रूप से कई बार खेला जाता है, अर्थात। क्रमिक रूप से, प्रत्येक खेल में खिलाड़ी वह रणनीति चुनता है जो उसे सबसे बड़ी समग्र (कुल) जीत दिलाती है।

कुछ खेलों के ऐसे कार्यान्वयन के बाद, पहले खिलाड़ी की जीत और दूसरे खिलाड़ी की हार के औसत मूल्य की गणना की जाती है, और उनके अंकगणितीय औसत को खेल की लागत के अनुमानित मूल्य के रूप में लिया जाता है। यह विधि दोनों खिलाड़ियों की इष्टतम मिश्रित रणनीतियों के अनुमानित मूल्य का पता लगाना संभव बनाती है: प्रत्येक शुद्ध रणनीति के आवेदन की आवृत्ति की गणना करना और इसे संबंधित खिलाड़ी की इष्टतम मिश्रित रणनीति में अनुमानित मूल्य के रूप में लेना आवश्यक है।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि कार्यक्रम खेलों की संख्या में असीमित वृद्धि के साथ, पहले खिलाड़ी का औसत लाभ और दूसरे खिलाड़ी का औसत नुकसान अनिश्चित काल तक खेल की कीमत और मिश्रित रणनीतियों के अनुमानित मूल्यों के करीब पहुंच जाएगा। ऐसे मामले में जहां खेल का एक अनूठा समाधान होता है, वह प्रत्येक खिलाड़ी की इष्टतम मिश्रित रणनीतियों की ओर प्रवृत्त होगा। सामान्यतया, इन मूल्यों से ऊपर के अनुमानित मूल्यों की वास्तविक मूल्यों तक पहुंचने की प्रवृत्ति धीमी है। हालाँकि, इस प्रक्रिया को यंत्रीकृत करना आसान है और इस तरह अपेक्षाकृत बड़े ऑर्डर के पेऑफ मैट्रिक्स के साथ भी सटीकता की आवश्यक डिग्री के साथ गेम का समाधान प्राप्त करने में मदद मिलती है।

2. व्यावहारिक भाग

दंपति तय करते हैं कि कहां घूमने जाना है और दोनों के लिए उपयोगी समय बिताना है।

लड़की ने ताजी हवा लेने के लिए पार्क में टहलने और शाम को निकटतम सिनेमाघर में फिल्म देखने का फैसला किया।

वह व्यक्ति टेक्नोलॉजी पार्क जाने और फिर केंद्रीय स्टेडियम में स्थानीय क्लब फुटबॉल खिलाड़ियों का मैच देखने का सुझाव देता है।

इसके अनुसार, आपको यह पता लगाना होगा कि किसी एक खिलाड़ी के लक्ष्य को प्राप्त करने में कितना समय लगेगा। विजेता मैट्रिक्स इस तरह दिखेगा:

तालिका 1. भुगतान मैट्रिक्स

रणनीतियाँ

1 2 के बाद से, जाहिर है, इस गेम में शुद्ध रणनीतियों में कोई काठी बिंदु नहीं है। इसलिए, हम निम्नलिखित सूत्रों का उपयोग करते हैं और प्राप्त करते हैं:

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2.2 गेम 2एक्सएन और एमएक्स2

समस्या 1(2xn)

शुष्क और आर्द्र जलवायु के लिए दो अनाज वाली फसलें उगाई जाती हैं।

और प्रकृति की स्थिति को इस प्रकार माना जा सकता है: सूखा, गीला, मध्यम।

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M() का अधिकतम मान बिंदु M पर प्राप्त होता है, जो j=1, j"=2 के अनुरूप रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनता है। इसके अनुसार, हम मानते हैं:

समस्या 2(mx2)

एक लड़का और एक लड़की सप्ताहांत में कहाँ जाना है इसके विकल्पों पर विचार कर रहे हैं।

एक अवकाश स्थल के चयन के बारे में इस प्रकार सोचा जा सकता है: एक पार्क, एक सिनेमा, एक रेस्तरां।

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M() का अधिकतम मान बिंदु E पर प्राप्त होता है, जो j=1, j"=2 के अनुरूप रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनता है। इसके अनुसार, हम मानते हैं:

V का मान निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित समीकरणों को हल करना होगा:

2.5 मैट्रिक्स विधि

दो रेस्तरां (खानपान प्रतिष्ठान) एक दूसरे के साथ प्रतिस्पर्धा करते हुए सेवाओं के निम्नलिखित सेट प्रदान करते हैं। पहला रेस्तरां केंद्र में स्थित है, और दूसरा शहर के बाहरी इलाके में।

केंद्रीय रेस्तरां में निम्नलिखित सेवाएँ शामिल हैं:

1) अधिक महंगी और उच्च गुणवत्ता वाली ग्राहक सेवा;

2) व्यंजन फ्रांसीसी व्यंजनों पर केंद्रित हैं;

दूसरा रेस्तरां प्रदान करता है:

1) सस्ती और उच्च गुणवत्ता वाली सेवा;

2) मेनू दुनिया के विभिन्न प्रसिद्ध व्यंजनों को जोड़ता है;

3) निरंतर प्रचार और छूट भी;

4) होम डिलीवरी के लिए ऑर्डर वितरित करता है और स्वीकार करता है।

कार्य के अनुसार, दो रेस्तरां के बीच एक दिन का लाभ निम्नानुसार वितरित किया जाएगा:

तालिका 2. भुगतान मैट्रिक्स

रणनीतियाँ

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके फॉर्म के गेम को हल करना:

छह उपमात्राएं हैं और:

मैट्रिक्स पर विचार करें:

एक्स 1 = ? 0, x 2 = ? 0

चूंकि x 2 =< 0, то мы отбрасываем.