چگونه کوچکترین مضرب مشترک 3 عدد را پیدا کنیم؟ یافتن کمترین مضرب مشترک، روش ها، نمونه هایی از یافتن LCM

بزرگترین مقسوم علیه مشترک و کمترین مضرب مشترک مفاهیم کلیدی حسابی هستند که کار با کسرها را بدون زحمت می کنند. LCM و اغلب برای یافتن مخرج مشترک چند کسر استفاده می شوند.

مفاهیم اساسی

مقسوم علیه یک عدد صحیح X عدد صحیح دیگری است که X بدون باقی ماندن بر آن تقسیم می شود. به عنوان مثال، مقسوم علیه 4 برابر 2 است و 36 برابر با 4، 6، 9 است. مضرب یک عدد صحیح X، عددی است که بر X بدون باقیمانده بخش پذیر است. مثلاً 3 مضرب 15 و 6 مضرب 12 است.

برای هر جفت اعداد می توانیم مقسوم علیه و مضرب مشترک آنها را پیدا کنیم. به عنوان مثال، برای 6 و 9، مضرب مشترک 18 و مقسوم علیه مشترک 3 است. بدیهی است که جفت ها می توانند چندین مقسوم علیه و مضرب داشته باشند، بنابراین در محاسبات از بزرگترین مقسوم علیه GCD و کوچکترین مضرب LCM استفاده می شود.

کمترین مقسوم علیه بی معنی است، زیرا برای هر عددی همیشه یک است. بزرگترین مضرب نیز بی معنی است، زیرا دنباله مضرب به بی نهایت می رود.

پیدا کردن gcd

روش های زیادی برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک وجود دارد که معروف ترین آنها عبارتند از:

• جستجوی متوالی مقسوم علیه ها، انتخاب موارد مشترک برای یک جفت و جستجوی بزرگترین آنها.
• تجزیه اعداد به عوامل غیر قابل تقسیم.
• الگوریتم اقلیدسی؛
• الگوریتم باینری

امروزه در موسسات آموزشی رایج ترین روش ها تجزیه به فاکتورهای اول و الگوریتم اقلیدسی است. دومی به نوبه خود هنگام حل معادلات دیوفانتین استفاده می شود: جستجوی GCD برای بررسی معادله برای امکان تفکیک در اعداد صحیح مورد نیاز است.

پیدا کردن NOC

کمترین مضرب مشترک نیز با جستجوی متوالی یا تجزیه به عوامل غیرقابل تقسیم تعیین می شود. علاوه بر این، اگر بزرگترین مقسوم علیه قبلاً تعیین شده باشد، یافتن LCM آسان است. برای اعداد X و Y، LCM و GCD با رابطه زیر مرتبط هستند:

LCD (X,Y) = X × Y / GCD (X,Y).

به عنوان مثال، اگر GCM(15,18) = 3، LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. واضح ترین مثال استفاده از LCM یافتن مخرج مشترک است که کمترین مضرب مشترک است. کسرهای داده شده

اعداد همزمان اول

اگر یک جفت اعداد مقسوم علیه مشترک نداشته باشند، به چنین جفتی کوپرایم می گویند. gcd برای چنین جفت هایی همیشه برابر با یک است و بر اساس ارتباط بین مقسوم علیه ها و مضرب ها، gcd برای جفت های coprime برابر است با حاصلضرب آنها. به عنوان مثال، اعداد 25 و 28 نسبتاً اول هستند، زیرا آنها مقسوم علیه مشترک ندارند و LCM(25, 28) = 700 که با حاصلضرب آنها مطابقت دارد. هر دو عدد غیر قابل تقسیم همیشه نسبتا اول خواهند بود.

مقسوم علیه مشترک و ماشین حساب چندگانه

با استفاده از ماشین حساب ما می توانید GCD و LCM را برای تعداد دلخواه اعدادی که می توانید انتخاب کنید محاسبه کنید. وظایف محاسبه مقسوم علیه ها و مضرب های مشترک در ریاضی کلاس پنجم و ششم یافت می شود، اما GCD و LCM مفاهیم کلیدی در ریاضیات هستند و در تئوری اعداد، پلان سنجی و جبر ارتباطی استفاده می شوند.

نمونه های زندگی واقعی

مخرج مشترک کسرها

کمترین مضرب مشترک برای یافتن مخرج مشترک چند کسر استفاده می شود. فرض کنید در یک مسئله حسابی باید 5 کسر را جمع کنید:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

برای افزودن کسرها، عبارت باید به یک مخرج مشترک تقلیل یابد، که به مشکل یافتن LCM کاهش می‌یابد. برای انجام این کار، 5 عدد را در ماشین حساب انتخاب کنید و مقادیر مخرج ها را در سلول های مربوطه وارد کنید. این برنامه LCM (8، 9، 12، 15، 18) = 360 را محاسبه می کند. اکنون باید عوامل اضافی را برای هر کسری محاسبه کنید، که به عنوان نسبت LCM به مخرج تعریف می شود. بنابراین ضریب های اضافی به نظر می رسد:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

پس از این، همه کسرها را در ضریب اضافی مربوطه ضرب می کنیم و به دست می آوریم:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

ما به راحتی می توانیم چنین کسرهایی را جمع کنیم و نتیجه را 159/360 بدست آوریم. کسر را 3 کاهش می دهیم و پاسخ نهایی را می بینیم - 53/120.

حل معادلات دیوفانتین خطی

معادلات دیوفانتین خطی عبارت هایی به شکل ax + by = d هستند. اگر نسبت d / gcd(a, b) یک عدد صحیح باشد، معادله در اعداد صحیح قابل حل است. بیایید چند معادله را بررسی کنیم تا ببینیم آیا آنها یک راه حل عدد صحیح دارند یا خیر. ابتدا معادله 150x + 8y = 37 را بررسی می کنیم. با استفاده از یک ماشین حساب، GCD (150.8) = 2 را پیدا می کنیم. 37/2 = 18.5 را تقسیم می کنیم. عدد یک عدد صحیح نیست، بنابراین معادله ریشه عدد صحیح ندارد.

بیایید معادله 1320x + 1760y = 10120 را بررسی کنیم. برای یافتن GCD(1320, 1760) = 440 از یک ماشین حساب استفاده کنید. .

نتیجه

GCD و LCM نقش بزرگی در تئوری اعداد بازی می‌کنند و خود مفاهیم به طور گسترده در زمینه‌های متنوعی از ریاضیات استفاده می‌شوند. از ماشین حساب ما برای محاسبه بزرگترین مقسوم علیه و کوچکترین مضرب هر تعداد اعداد استفاده کنید.

مضرب عددی است که بر یک عدد معین بدون باقیمانده بخش پذیر است. حداقل مضرب مشترک (LCM) یک گروه از اعداد کوچکترین عددی است که بر هر عدد در گروه بدون باقی ماندن باقیمانده بخش پذیر است. برای یافتن کمترین مضرب مشترک، باید ضرایب اول اعداد داده شده را پیدا کنید. LCM همچنین می تواند با استفاده از تعدادی روش دیگر که برای گروه های دو یا چند عددی اعمال می شود محاسبه شود.

مراحل

سری چندتایی

به این اعداد نگاه کنید.روشی که در اینجا توضیح داده می شود زمانی بهترین استفاده را دارد که دو عدد داده شود، که هر کدام کمتر از 10 باشد. اگر اعداد بزرگتر داده شده است، از روش دیگری استفاده کنید.

• به عنوان مثال، کوچکترین مضرب مشترک 5 و 8 را پیدا کنید. اینها اعداد کوچکی هستند، بنابراین می توانید از این روش استفاده کنید.

1. مضرب عددی است که بر یک عدد معین بدون باقیمانده بخش پذیر است. در جدول ضرب ضریب ها را می توان یافت.

   • برای مثال اعدادی که مضرب 5 هستند عبارتند از: 5، 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40.

2. یک سری اعداد را که مضربی از عدد اول هستند بنویسید.این کار را زیر مضربی از عدد اول انجام دهید تا دو مجموعه اعداد را با هم مقایسه کنید.

   • به عنوان مثال، اعدادی که مضرب 8 هستند عبارتند از: 8، 16، 24، 32، 40، 48، 56 و 64.

3. کوچکترین عددی را که در هر دو مجموعه مضرب وجود دارد بیابید.ممکن است مجبور شوید سری های طولانی مضرب بنویسید تا تعداد کل را بیابید. کوچکترین عددی که در هر دو مجموعه مضرب وجود دارد، کمترین مضرب مشترک است.

   • برای مثال کوچکترین عددی که در سری مضرب های 5 و 8 ظاهر می شود عدد 40 است بنابراین 40 کمترین مضرب مشترک 5 و 8 است.

   فاکتورسازی اولیه

   1. به این اعداد نگاه کنید.روشی که در اینجا توضیح داده شده زمانی بهتر است که دو عدد داده شود، که هر کدام بزرگتر از 10 است. اگر اعداد کوچکتر داده شده است، از روش دیگری استفاده کنید.

      • برای مثال کوچکترین مضرب مشترک اعداد 20 و 84 را پیدا کنید. هر کدام از اعداد بزرگتر از 10 هستند، بنابراین می توانید از این روش استفاده کنید.

   2. عدد اول را به فاکتورهای اول تبدیل کنید.یعنی باید چنین اعداد اولی را بیابید که وقتی ضرب شوند، عدد معینی به دست آید. هنگامی که عوامل اصلی را پیدا کردید، آنها را به صورت برابر بنویسید.

      • مثلا، 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\زمان 10=20)و 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). بنابراین، عوامل اول عدد 20 اعداد 2، 2 و 5 هستند. آنها را به صورت یک عبارت بنویسید: .

   3. عدد دوم را به فاکتورهای اول تبدیل کنید.این کار را به همان ترتیبی که عدد اول را فاکتور گرفتید انجام دهید، یعنی اعداد اولی را پیدا کنید که در صورت ضرب، عدد داده شده به دست آید.

      • مثلا، 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2))\زمان 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)و 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). بنابراین فاکتورهای اول عدد 84 اعداد 2، 7، 3 و 2 هستند. آنها را به صورت عبارت بنویسید: .

   4. عوامل مشترک هر دو عدد را بنویسید.عواملی را به عنوان عملیات ضرب بنویسید. همانطور که هر عامل را می نویسید، آن را در هر دو عبارت خط بزنید (عباراتی که فاکتورسازی اعداد را به عوامل اول توصیف می کنند).

      • به عنوان مثال، هر دو عدد دارای ضریب مشترک 2 هستند، بنابراین بنویسید 2 × (\displaystyle 2\ بار)و 2 را در هر دو عبارت خط بزنید.
      • وجه اشتراک هر دو عدد ضریب دیگری از 2 است، پس بنویسید 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)و 2 دوم را در هر دو عبارت خط بزنید.

   5. عوامل باقیمانده را به عملیات ضرب اضافه کنید.اینها عواملی هستند که در هر دو عبارت خط زده نمی شوند، یعنی عواملی که در هر دو عدد مشترک نیستند.

      • مثلاً در بیان 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)هر دو (2) خط خورده اند زیرا آنها عوامل مشترک هستند. ضریب 5 خط خورده نیست، بنابراین عملیات ضرب را به این صورت بنویسید: 2 × 2 × 5 (\splaystyle 2\times 2\times 5)
      • در بیان 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)هر دو دو (2) نیز خط خورده اند. فاکتورهای 7 و 3 خط خورده نیستند، بنابراین عملیات ضرب را به این صورت بنویسید: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\splaystyle 2 \ بار 2 \ بار 5 \ بار 7 \ بار 3).

   6. حداقل مضرب مشترک را محاسبه کنید.برای این کار اعداد را در عملیات ضرب نوشتاری ضرب کنید.

      • مثلا، 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). بنابراین کمترین مضرب مشترک 20 و 84 420 است.

   یافتن عوامل مشترک

   1. یک شبکه مانند یک بازی تیک تاک بکشید.چنین شبکه ای از دو خط موازی تشکیل شده است که (در زاویه قائم) با دو خط موازی دیگر تلاقی می کنند. این به شما سه ردیف و سه ستون می دهد (شبکه شباهت زیادی به نماد # دارد). در سطر اول و ستون دوم عدد اول را بنویسید. عدد دوم را در سطر اول و ستون سوم بنویسید.

      • به عنوان مثال، حداقل مضرب مشترک اعداد 18 و 30 را پیدا کنید، در سطر اول و ستون دوم عدد 18 را بنویسید و در سطر اول و ستون سوم عدد 30 را بنویسید.

   2. مقسوم علیه مشترک هر دو عدد را پیدا کنید.آن را در سطر اول و ستون اول یادداشت کنید. بهتر است به دنبال عوامل اصلی باشید، اما این یک الزام نیست.

      • به عنوان مثال 18 و 30 اعداد زوج هستند، بنابراین ضریب مشترک آنها 2 است. بنابراین در سطر اول و ستون اول 2 بنویسید.

   3. هر عدد را بر تقسیم کننده اول تقسیم کنید.هر ضریب را زیر عدد مناسب بنویسید. ضریب حاصل از تقسیم دو عدد است.

      • مثلا، 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9)پس عدد 9 را زیر 18 بنویسید.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15)بنابراین 15 را زیر 30 بنویسید.

   4. مقسوم علیه مشترک هر دو ضریب را پیدا کنید.اگر چنین مقسوم‌کننده‌ای وجود نداشت، از دو مرحله بعدی صرفنظر کنید. در غیر این صورت در سطر دوم و ستون اول تقسیم کننده را بنویسید.

      • به عنوان مثال 9 و 15 بر 3 بخش پذیرند پس در سطر دوم و ستون اول عدد 3 را بنویسید.

   5. هر ضریب را بر دومین مقسوم علیه آن تقسیم کنید.نتیجه هر تقسیم را زیر ضریب مربوطه بنویسید.

      • مثلا، 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)پس 3 زیر 9 بنویسید.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5)پس 5 زیر 15 بنویسید.

   6. در صورت لزوم، سلول های اضافی را به شبکه اضافه کنید.مراحل توضیح داده شده را تا زمانی تکرار کنید که ضریب ها یک مقسوم علیه مشترک داشته باشند.

   7. دور اعداد ستون اول و سطر آخر شبکه حلقه بزنید.سپس اعداد انتخاب شده را به صورت عملیات ضرب بنویسید.

      • به عنوان مثال اعداد 2 و 3 در ستون اول و اعداد 3 و 5 در ردیف آخر قرار دارند، بنابراین عمل ضرب را به این صورت بنویسید: 2 × 3 × 3 × 5 (\splaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. حاصل ضرب اعداد را بیابید.این حداقل مضرب مشترک دو عدد داده شده را محاسبه می کند.

      • مثلا، 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). بنابراین کمترین مضرب مشترک 18 و 30 90 است.

   الگوریتم اقلیدس

   1. اصطلاحات مرتبط با عملیات تقسیم را به خاطر بسپارید.سود سهام عددی است که تقسیم می شود. مقسوم علیه عددی است که بر آن تقسیم می شود. ضریب حاصل از تقسیم دو عدد است. باقی مانده عددی است که هنگام تقسیم دو عدد باقی می ماند.

      • مثلاً در بیان 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 سود سهام است
        6 یک مقسوم علیه است
        2 ضریب است
        3 باقی مانده است.

شماره دوم: b=

جداکننده هزاربدون جداکننده فضا "'

نتیجه:

بزرگترین مقسوم علیه مشترک GCD( آ,ب)=6

کمترین مضرب مشترک LCM( آ,ب)=468

بزرگترین عدد طبیعی را که می توان بدون باقیمانده بر اعداد a و b تقسیم کرد نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترک(GCD) از این اعداد. با gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) یا hcf(a,b) مشخص می‌شود.

کمترین مضرب مشترک LCM دو عدد صحیح a و b کوچکترین عدد طبیعی است که بدون باقیمانده بر a و b بخش پذیر است. LCM(a,b) یا lcm(a,b) نشان داده می شود.

اعداد صحیح a و b نامیده می شوند دوطرفه نخست، اگر هیچ مقسوم علیه مشترک دیگری غیر از +1 و -1 نداشته باشند.

بزرگترین مقسوم علیه مشترک

بگذارید دو عدد مثبت داده شود آ 1 و آ 2 1). لازم است مقسوم علیه مشترک این اعداد را پیدا کنید، یعنی. چنین عددی را پیدا کنید λ ، که اعداد را تقسیم می کند آ 1 و آ 2 به طور همزمان. بیایید الگوریتم را شرح دهیم.

1) در این مقاله کلمه عدد به صورت یک عدد صحیح درک خواهد شد.

اجازه دهید آ 1 ≥ آ 2 و اجازه دهید

جایی که متر 1 , آ 3 تعدادی اعداد صحیح هستند، آ 3 <آ 2 (باقی مانده از تقسیم آ 1 در هر آ 2 باید کمتر باشد آ 2).

بیایید وانمود کنیم که λ تقسیم می کند آ 1 و آ 2 سپس λ تقسیم می کند متر 1 آ 2 و λ تقسیم می کند آ 1 −متر 1 آ 2 =آ 3 (گزاره 2 مقاله تقسیم پذیری اعداد آزمون بخش پذیری). نتیجه می شود که هر مقسوم علیه مشترک آ 1 و آ 2 مقسوم علیه مشترک است آ 2 و آ 3. عکس آن نیز صادق است اگر λ مقسوم علیه مشترک آ 2 و آ 3 سپس متر 1 آ 2 و آ 1 =متر 1 آ 2 +آ 3 نیز بر بخش پذیر است λ . بنابراین مقسوم علیه مشترک آ 2 و آ 3 نیز یک مقسوم علیه مشترک است آ 1 و آ 2. زیرا آ 3 <آ 2 ≤آ 1، پس می توان گفت که حل مسئله یافتن مقسوم علیه مشترک اعداد است آ 1 و آ 2 به مسئله ساده تر یعنی یافتن مقسوم علیه مشترک اعداد کاهش می یابد آ 2 و آ 3 .

اگر آ 3 ≠0، سپس می توانیم تقسیم کنیم آ 2 در آ 3. سپس

,

جایی که متر 1 و آ 4 تعدادی اعداد صحیح هستند، ( آ 4 باقی مانده از تقسیم آ 2 در آ 3 (آ 4 <آ 3)). با استدلال مشابه به این نتیجه می رسیم که مقسوم علیه های مشترک اعداد آ 3 و آ 4 با مقسوم علیه های مشترک اعداد منطبق است آ 2 و آ 3 و همچنین با مقسوم علیه های مشترک آ 1 و آ 2. زیرا آ 1 , آ 2 , آ 3 , آ 4، ... اعدادی هستند که دائماً در حال کاهش هستند و از آنجایی که تعداد محدودی از اعداد صحیح بین آنها وجود دارد. آ 2 و 0، سپس در مرحله ای n، باقی مانده از تقسیم آغیر آ n+1 برابر با صفر خواهد بود ( آ n+2 =0).

.

هر مقسوم علیه مشترک λ شماره آ 1 و آ 2 نیز مقسوم علیه اعداد است آ 2 و آ 3 , آ 3 و آ 4 , .... آ n و آ n+1 . برعکس نیز درست است، مقسوم‌گیرنده‌های مشترک اعداد آ n و آ n+1 نیز مقسوم علیه اعداد هستند آ n-1 و آ n، ....، آ 2 و آ 3 , آ 1 و آ 2. اما مقسوم علیه مشترک اعداد آ n و آ n+1 یک عدد است آ n+1، زیرا آ n و آ n+1 بر بخش پذیر هستند آ n+1 (به یاد داشته باشید که آ n+2 =0). از این رو آ n+1 نیز مقسوم علیه اعداد است آ 1 و آ 2 .

توجه داشته باشید که شماره آ n+1 بزرگترین مقسوم علیه اعداد است آ n و آ n+1 از بزرگترین مقسوم علیه آ n+1 خودش است آ n+1 . اگر آ n+1 را می توان به عنوان حاصلضرب اعداد صحیح نشان داد، سپس این اعداد نیز مقسوم علیه مشترک اعداد هستند. آ 1 و آ 2. عدد آ n+1 نامیده می شود بزرگترین مقسوم علیه مشترکشماره آ 1 و آ 2 .

شماره آ 1 و آ 2 می تواند اعداد مثبت یا منفی باشد. اگر یکی از اعداد برابر با صفر باشد، بزرگترین مقسوم علیه مشترک این اعداد برابر با قدر مطلق عدد دیگر خواهد بود. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد صفر تعریف نشده است.

الگوریتم فوق نامیده می شود الگوریتم اقلیدسیبرای پیدا کردن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد صحیح

مثالی از یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد

بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو عدد 630 و 434 را پیدا کنید.

• مرحله 1. عدد 630 را بر 434 تقسیم کنید. باقیمانده 196 است.
• مرحله 2. عدد 434 را بر 196 تقسیم کنید. باقیمانده 42 است.
• مرحله 3. عدد 196 را بر 42 تقسیم کنید. باقیمانده 28 است.
• مرحله 4. عدد 42 را بر 28 تقسیم کنید باقیمانده 14 است.
• مرحله 5. عدد 28 را بر 14 تقسیم کنید باقیمانده 0 است.

در مرحله 5 باقیمانده تقسیم 0 است.بنابراین بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد 630 و 434 14 است.توجه داشته باشید که اعداد 2 و 7 نیز مقسوم علیه اعداد 630 و 434 هستند.

اعداد همزمان اول

تعریف 1. بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد را بگذارید آ 1 و آ 2 برابر با یک است. سپس این اعداد فراخوانی می شوند اعداد همزمان اول، بدون مقسوم علیه مشترک.

قضیه 1. اگر آ 1 و آ 2 عدد همزمان اول و λ مقداری عدد، سپس هر مقسوم علیه مشترک اعداد λa 1 و آ 2 نیز مقسوم علیه مشترک اعداد است λ و آ 2 .

اثبات الگوریتم اقلیدسی را برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد در نظر بگیرید آ 1 و آ 2 (به بالا مراجعه کنید).

.

از شرایط قضیه چنین بر می آید که بزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد است آ 1 و آ 2 و بنابراین آ n و آ n+1 1 است آ n+1 =1.

بیایید همه این برابری ها را در ضرب کنیم λ ، سپس

.

اجازه دهید مقسوم علیه مشترک آ 1 λ و آ 2 بله δ . سپس δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است آ 1 λ , متر 1 آ 2 λ و در آ 1 λ -متر 1 آ 2 λ =آ 3 λ (به "تقسیم پذیری اعداد"، بیانیه 2 مراجعه کنید). به علاوه δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است آ 2 λ و متر 2 آ 3 λ ، و بنابراین، به عنوان یک عامل در گنجانده شده است آ 2 λ -متر 2 آ 3 λ =آ 4 λ .

با این استدلال، ما متقاعد شده ایم که δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است آ n-1 λ و متر n-1 آ n λ ، و بنابراین در آ n-1 λ −متر n-1 آ n λ =آ n+1 λ . زیرا آ n+1 =1، سپس δ به عنوان ضریب در گنجانده شده است λ . بنابراین تعداد δ مقسوم علیه مشترک اعداد است λ و آ 2 .

اجازه دهید موارد خاصی از قضیه 1 را در نظر بگیریم.

نتیجه 1. اجازه دهید آو جاعداد اول نسبتا هستند ب. سپس محصول آنها acیک عدد اول نسبت به ب.

واقعا از قضیه 1 acو بمقسوم علیه های مشترک مشابهی دارند جو ب. اما اعداد جو بنسبتا ساده، یعنی دارای یک مقسوم علیه مشترک 1. سپس acو بهمچنین دارای یک مقسوم علیه مشترک 1. بنابراین acو بمتقابل ساده

نتیجه 2. اجازه دهید آو باعداد coprime و let بتقسیم می کند ak. سپس بتقسیم می کند و ک.

واقعا از شرط تایید akو بمقسوم علیه مشترک دارند ب. به موجب قضیه 1، بباید مقسوم علیه مشترک باشد بو ک. از این رو بتقسیم می کند ک.

نتیجه 1 را می توان تعمیم داد.

نتیجه 3. 1. اجازه دهید اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 , ..., آ m نسبت به عدد اول هستند ب. سپس آ 1 آ 2 , آ 1 آ 2 · آ 3 , ..., آ 1 آ 2 آ 3 ··· آ m، حاصل ضرب این اعداد نسبت به عدد اول است ب.

2. اجازه دهید دو ردیف اعداد داشته باشیم

به طوری که هر عدد در سری اول نسبت به هر عدد در سری دوم اول است. سپس محصول

شما باید اعدادی را پیدا کنید که بر هر یک از این اعداد بخش پذیر باشند.

اگر عددی بر بخش پذیر باشد آ 1، سپس فرم را دارد sa 1 کجا ستعدادی عدد اگر qبزرگترین مقسوم علیه مشترک اعداد است آ 1 و آ 2، سپس

جایی که س 1 مقداری عدد صحیح است. سپس

است حداقل مضرب مشترک اعداد آ 1 و آ 2 .

آ 1 و آ 2 نسبتا اول هستند، سپس کمترین مضرب مشترک اعداد هستند آ 1 و آ 2:

ما باید حداقل مضرب مشترک این اعداد را پیدا کنیم.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که هر مضرب اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 باید مضربی از اعداد باشد ε و آ 3 و برگشت. حداقل مضرب مشترک اعداد را بگذارید ε و آ 3 بله ε 1 . بعد، مضرب اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 , آ 4 باید مضربی از اعداد باشد ε 1 و آ 4 . حداقل مضرب مشترک اعداد را بگذارید ε 1 و آ 4 بله ε 2. بنابراین، ما متوجه شدیم که همه مضرب اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m منطبق بر مضرب یک عدد معین است ε n که کمترین مضرب مشترک اعداد داده شده نامیده می شود.

در حالت خاص که اعداد آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m نسبتا اول هستند، سپس کمترین مضرب مشترک اعداد هستند آ 1 , آ 2، همانطور که در بالا نشان داده شده است، شکل (3) دارد. بعد، از زمان آ 3 عدد اول نسبت به اعداد آ 1 , آ 2 سپس آ 3 عدد اول آ 1 · آ 2 (نتیجه 1). به معنای کمترین مضرب مشترک اعداد است آ 1 ,آ 2 ,آ 3 یک عدد است آ 1 · آ 2 · آ 3. با استدلال مشابه به گزاره های زیر می رسیم.

بیانیه 1. کمترین مضرب مشترک اعداد هم اول آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m برابر حاصلضرب آنهاست آ 1 · آ 2 · آ 3 ··· آمتر

بیانیه 2. هر عددی که بر هر یک از اعداد همزمان اول بخش پذیر باشد آ 1 , آ 2 , آ 3 ,...,آ m نیز بر حاصلضرب آنها قابل تقسیم است آ 1 · آ 2 · آ 3 ··· آمتر

برای درک نحوه محاسبه LCM، ابتدا باید معنای اصطلاح "چندین" را تعیین کنید.

مضرب A یک عدد طبیعی است که بدون باقیمانده بر A بخش پذیر است بنابراین اعدادی که مضرب 5 هستند را می توان 15، 20، 25 و غیره در نظر گرفت.

می تواند تعداد محدودی از مقسوم علیه یک عدد خاص وجود داشته باشد، اما تعداد بی نهایت مضرب وجود دارد.

مضرب مشترک اعداد طبیعی عددی است که بدون باقی ماندن بر آنها بخش پذیر باشد.

چگونه کوچکترین مضرب مشترک اعداد را پیدا کنیم

کمترین مضرب مشترک (LCM) اعداد (دو، سه یا بیشتر) کوچکترین عدد طبیعی است که بر همه این اعداد بخش پذیر است.

برای پیدا کردن LOC، می توانید از چندین روش استفاده کنید.

برای اعداد کوچک، نوشتن تمام مضرب این اعداد در یک خط راحت است تا زمانی که چیزی مشترک بین آنها پیدا کنید. مضرب ها با حرف بزرگ K نشان داده می شوند.

به عنوان مثال، مضرب 4 را می توان به صورت زیر نوشت:

K (4) = (8،12، 16، 20، 24، ...)

K (6) = (12، 18، 24، ...)

بنابراین، می بینید که کمترین مضرب مشترک اعداد 4 و 6 عدد 24 است. این نماد به صورت زیر انجام می شود:

LCM(4، 6) = 24

اگر اعداد بزرگ هستند، مضرب مشترک سه یا چند عدد را پیدا کنید، سپس بهتر است از روش دیگری برای محاسبه LCM استفاده کنید.

برای تکمیل کار، باید اعداد داده شده را به فاکتورهای اول تبدیل کنید.

ابتدا باید تجزیه بزرگترین عدد را روی یک خط بنویسید و در زیر آن - بقیه را بنویسید.

تجزیه هر عدد ممکن است شامل تعداد متفاوتی از عوامل باشد.

برای مثال، اعداد 50 و 20 را در فاکتورهای اول قرار می دهیم.

در بسط عدد کوچکتر باید عواملی که در بسط اولین عدد بزرگ وجود ندارد را برجسته کرده و سپس به آن اضافه کنید. در مثال ارائه شده، یک دو گم شده است.

اکنون می توانید حداقل مضرب مشترک 20 و 50 را محاسبه کنید.

LCM(20، 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

بنابراین حاصل ضرب ضرایب اول عدد بزرگتر و ضرایب عدد دوم که در بسط عدد بزرگتر لحاظ نشده اند، کمترین مضرب مشترک خواهد بود.

برای یافتن LCM سه یا چند عدد، باید همه آنها را مانند مورد قبلی در فاکتورهای اول قرار دهید.

به عنوان مثال، می توانید حداقل مضرب مشترک اعداد 16، 24، 36 را پیدا کنید.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

بنابراین، تنها دو دو از بسط شانزده در فاکتورگیری یک عدد بزرگتر گنجانده نشد (یکی در بسط بیست و چهار است).

بنابراین، آنها باید به بسط تعداد بیشتری اضافه شوند.

LCM(12، 16، 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

موارد خاصی برای تعیین کمترین مضرب مشترک وجود دارد. بنابراین، اگر بتوان یکی از اعداد را بدون باقیمانده بر دیگری تقسیم کرد، بزرگتر از این اعداد کمترین مضرب مشترک خواهد بود.

به عنوان مثال، LCM دوازده و بیست و چهار، بیست و چهار است.

اگر لازم باشد که حداقل مضرب مشترک اعداد هم اول را که مقسوم‌گیرنده‌های یکسانی ندارند پیدا کنیم، LCM آنها برابر حاصلضرب آنها خواهد بود.

به عنوان مثال، LCM (10، 11) = 110.