Resolver desigualdades con una variable y sus sistemas. Sistemas de desigualdades - información básica

El tema de la lección es "Resolver desigualdades y sus sistemas" (matemáticas grado 9)

Tipo de lección: Lección sobre sistematización y generalización de conocimientos y habilidades.

Tecnología de la lección: tecnología para el desarrollo del pensamiento crítico, aprendizaje diferenciado, tecnologías TIC

El propósito de la lección.: repetir y sistematizar conocimientos sobre las propiedades de las desigualdades y los métodos para resolverlas, crear las condiciones para desarrollar las habilidades para aplicar este conocimiento en la resolución de problemas estándar y creativos.

Tareas.

Educativo:

Contribuir al desarrollo de las habilidades de los estudiantes para generalizar los conocimientos adquiridos, realizar análisis, síntesis, comparaciones y sacar las conclusiones necesarias.

organizar las actividades de los estudiantes para aplicar los conocimientos adquiridos en la práctica

promover el desarrollo de habilidades para aplicar los conocimientos adquiridos en condiciones no estándar

Educativo:

continuar la formación del pensamiento lógico, la atención y la memoria;

mejorar las habilidades de análisis, sistematización, generalización;

crear condiciones que aseguren el desarrollo de habilidades de autocontrol en los estudiantes;

Promover la adquisición de las habilidades necesarias para las actividades de aprendizaje independiente.

Educativo:

cultivar la disciplina y la compostura, la responsabilidad, la independencia, la actitud crítica hacia uno mismo y la atención.

Resultados educativos planificados.

Personal: Actitud responsable ante el aprendizaje y competencia comunicativa en la comunicación y cooperación con los compañeros en el proceso de las actividades educativas.

Cognitivo: la capacidad de definir conceptos, crear generalizaciones, seleccionar de forma independiente motivos y criterios para la clasificación, construir razonamientos lógicos y sacar conclusiones;

Regulador: la capacidad de identificar posibles dificultades al resolver una tarea educativa y cognitiva y encontrar medios para eliminarlas, evaluar los propios logros

Comunicativo: la capacidad de emitir juicios utilizando términos y conceptos matemáticos, formular preguntas y respuestas durante la tarea, intercambiar conocimientos entre los miembros del grupo para tomar decisiones conjuntas efectivas.

Términos y conceptos básicos: desigualdad lineal, desigualdad cuadrática, sistema de desigualdades.

Equipo

Proyector, computadora portátil para profesores, varias netbooks para estudiantes;

Presentación;

Tarjetas con conocimientos y habilidades básicos sobre el tema de la lección (Apéndice 1);

Tarjetas con trabajo independiente (Anexo 2).

Plan de estudios

Lista de literatura usada: Álgebra. Libro de texto para noveno grado. / Yu.N.Makrychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorova. - M.: Educación, 2014

Tema de la lección: Resolver un sistema de desigualdades lineales con una variable

Fecha de: _______________

Clase: 6a, 6b, 6c

Tipo de lección: aprendizaje de material nuevo y consolidación primaria.

Objetivo didáctico: Crear las condiciones para la conciencia y comprensión de un bloque de nueva información educativa.

Metas: 1) Educativas: introducir los conceptos: solución de sistemas de desigualdades, sistemas de desigualdades equivalentes y sus propiedades; Enseñe cómo aplicar estos conceptos al resolver sistemas simples de desigualdades con una variable.

2) De desarrollo: promover el desarrollo de elementos de actividad creativa e independiente de los estudiantes; Desarrollar el habla, la capacidad de pensar, analizar, generalizar, expresar sus pensamientos de forma clara y concisa.

3) Educativo: Fomentar una actitud de respeto hacia los demás y una actitud responsable hacia la labor educativa.

Tareas:

repetir la teoría sobre el tema de las desigualdades numéricas y los intervalos numéricos;

dar un ejemplo de un problema que pueda resolverse mediante un sistema de desigualdades;

considerar ejemplos de resolución de sistemas de desigualdades;

hacer trabajo independiente.

Formas de organización de actividades educativas:- frontal – colectivo – individual.

Métodos: explicativo - ilustrativo.

Plan de estudios:

1. Momento organizacional, motivación, establecimiento de metas.

2. Actualización del estudio del tema

3. Aprender material nuevo

4. Consolidación primaria y aplicación de material nuevo.

5. Hacer trabajo independiente

7. Resumiendo la lección. Reflexión.

Durante las clases:

1. Momento organizacional

La desigualdad puede ser una buena ayuda. Sólo necesitas saber cuándo acudir a él en busca de ayuda. La formulación de problemas en muchas aplicaciones de las matemáticas a menudo se formula en el lenguaje de las desigualdades. Por ejemplo, muchos problemas económicos se reducen al estudio de sistemas de desigualdades lineales. Por tanto, es importante poder resolver sistemas de desigualdades. ¿Qué significa “resolver un sistema de desigualdades”? Esto es lo que veremos en la lección de hoy.

2. Actualización de conocimientos.

trabajo oral con clase, tres estudiantes trabajan usando tarjetas individuales.

Para revisar la teoría del tema "Desigualdades y sus propiedades", realizaremos pruebas, seguidas de verificación y conversación sobre la teoría de este tema. Cada tarea de prueba requiere la respuesta "Sí" - cifra, "No" - cifra ____

El resultado de la prueba debería ser algún tipo de cifra.

(respuesta: ).

Establecer una correspondencia entre desigualdad e intervalo numérico.

1. (– ; – 0,3)

2. (3; 18)

3. [ 12; + )

4. (– 4; 0]

5. [ 4; 12]

6. [ 2,5; 10)

“Las matemáticas te enseñan a superar dificultades y corregir tus propios errores”. Encuentra el error al resolver la desigualdad, explica por qué se cometió el error, escribe la solución correcta en tu cuaderno.

2x<8-6

x>-1

3. Estudiar material nuevo.

¿Cómo crees que se llama solución a un sistema de desigualdades?

(La solución de un sistema de desigualdades con una variable es el valor de la variable para la cual cada una de las desigualdades del sistema es verdadera)

¿Qué significa “Resolver un sistema de desigualdades”?

(Resolver un sistema de desigualdades significa encontrar todas sus soluciones o demostrar que no las hay)

¿Qué se debe hacer para responder a la pregunta “es un número dado”

¿Solución a un sistema de desigualdades?

(Sustituye este número en ambas desigualdades del sistema, si las desigualdades son verdaderas, entonces el número dado es una solución al sistema de desigualdades, si las desigualdades son incorrectas, entonces el número dado no es una solución al sistema de desigualdades)

Formular un algoritmo para resolver sistemas de desigualdades.

1. Resuelve cada desigualdad del sistema.

2. Representa gráficamente las soluciones de cada desigualdad en la línea de coordenadas.

3. Encuentra la intersección de soluciones a desigualdades en la línea de coordenadas.

4. Escribe la respuesta como un intervalo numérico.

Considere ejemplos:

Respuesta:

Respuesta: no hay soluciones

4. Asegurando el tema.

Trabajar con los libros de texto No. 1016, No. 1018, No. 1022

5. Trabajo independiente según opciones (Tarjetas de tareas para estudiantes en las mesas)

Trabajo independiente

Opción 1

Resuelve el sistema de desigualdades:

Este artículo proporciona información inicial sobre los sistemas de desigualdades. Aquí hay una definición de un sistema de desigualdades y una definición de una solución a un sistema de desigualdades. También se enumeran los principales tipos de sistemas con los que es necesario trabajar con mayor frecuencia en las lecciones de álgebra en la escuela y se dan ejemplos.

Navegación de páginas.

¿Qué es un sistema de desigualdades?

Es conveniente definir sistemas de desigualdades de la misma manera que introdujimos la definición de un sistema de ecuaciones, es decir, por el tipo de notación y el significado que se le atribuye.

Definición.

Sistema de desigualdades es un registro que representa un cierto número de desigualdades escritas una debajo de la otra, unidas a la izquierda por una llave, y denota el conjunto de todas las soluciones que son simultáneamente soluciones a cada desigualdad del sistema.

Pongamos un ejemplo de un sistema de desigualdades. Tomemos dos arbitrarios, por ejemplo, 2 x−3>0 y 5−x≥4 x−11, escríbalos uno debajo del otro.
2x−3>0,
5−x≥4x−11
y unir con un signo del sistema - una llave, como resultado obtenemos un sistema de desigualdades de la siguiente forma:

Se da una idea similar sobre los sistemas de desigualdades en los libros de texto escolares. Vale la pena señalar que sus definiciones se dan de manera más estricta: para desigualdades con una variable o con dos variables.

Principales tipos de sistemas de desigualdades.

Está claro que es posible crear infinitos sistemas de desigualdades diferentes. Para no perderse en esta diversidad, es recomendable considerarlos en grupos que tienen sus propias características distintivas. Todos los sistemas de desigualdades se pueden dividir en grupos según los siguientes criterios:

• por el número de desigualdades en el sistema;
• por el número de variables involucradas en la grabación;
• por el tipo de desigualdades mismas.

En función del número de desigualdades incluidas en el registro se distinguen sistemas de dos, tres, cuatro, etc. desigualdades En el párrafo anterior dimos un ejemplo de un sistema, que es un sistema de dos desigualdades. Mostremos otro ejemplo de un sistema de cuatro desigualdades. .

Por otra parte, diremos que no tiene sentido hablar únicamente de un sistema de desigualdad; en este caso, en esencia, estamos hablando de la desigualdad en sí, y no del sistema.

Si nos fijamos en el número de variables, entonces existen sistemas de desigualdades con uno, dos, tres, etc. variables (o, como también se dice, incógnitas). Mire el último sistema de desigualdades escrito dos párrafos arriba. Es un sistema con tres variables x, y y z. Tenga en cuenta que sus dos primeras desigualdades no contienen las tres variables, sino solo una de ellas. En el contexto de este sistema, deben entenderse como desigualdades con tres variables de la forma x+0·y+0·z≥−2 y 0·x+y+0·z≤5, respectivamente. Tenga en cuenta que la escuela se centra en las desigualdades con una variable.

Queda por discutir qué tipos de desigualdades están involucradas en los sistemas de registro. En la escuela, consideran principalmente sistemas de dos desigualdades (con menos frecuencia, tres, incluso menos, cuatro o más) con una o dos variables, y las desigualdades mismas suelen ser desigualdades enteras primer o segundo grado (con menos frecuencia, grados superiores o fraccionariamente racionales). Pero no se sorprenda si en sus materiales de preparación para el Examen Estatal Unificado se encuentra con sistemas de desigualdades que contienen desigualdades irracionales, logarítmicas, exponenciales y de otro tipo. Como ejemplo, damos el sistema de desigualdades. , está tomado de .

¿Cuál es la solución a un sistema de desigualdades?

Introduzcamos otra definición relacionada con los sistemas de desigualdades: la definición de solución a un sistema de desigualdades:

Definición.

Resolver un sistema de desigualdades con una variable. Se llama tal valor de una variable que convierte en verdadera cada una de las desigualdades del sistema, en otras palabras, es una solución a cada desigualdad del sistema.

Expliquemos con un ejemplo. Tomemos un sistema de dos desigualdades con una variable. Tomemos el valor de la variable x igual a 8, es una solución a nuestro sistema de desigualdades por definición, ya que su sustitución en las desigualdades del sistema da dos desigualdades numéricas correctas 8>7 y 2−3·8≤0. Por el contrario, la unidad no es una solución del sistema, ya que al sustituirla por la variable x, la primera desigualdad se convertirá en la desigualdad numérica incorrecta 1>7.

De manera similar, se puede introducir la definición de solución a un sistema de desigualdades con dos, tres o más variables:

Definición.

Resolver un sistema de desigualdades con dos, tres, etc. variables llamado par, tres, etc. valores de estas variables, que a la vez es una solución a cada desigualdad del sistema, es decir, convierte cada desigualdad del sistema en una desigualdad numérica correcta.

Por ejemplo, un par de valores x=1, y=2 o en otra notación (1, 2) es una solución a un sistema de desigualdades con dos variables, ya que 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Los sistemas de desigualdades pueden no tener soluciones, pueden tener un número finito de soluciones o pueden tener un número infinito de soluciones. Se suele hablar del conjunto de soluciones a un sistema de desigualdades. Cuando un sistema no tiene soluciones, entonces hay un conjunto vacío de sus soluciones. Cuando hay un número finito de soluciones, entonces el conjunto de soluciones contiene un número finito de elementos, y cuando hay infinitas soluciones, entonces el conjunto de soluciones consta de un número infinito de elementos.

Algunas fuentes introducen definiciones de solución particular y general a un sistema de desigualdades, como, por ejemplo, en los libros de texto de Mordkovich. Bajo solución privada del sistema de desigualdades comprender su única decisión. A su momento solución general al sistema de desigualdades- Estas son todas sus decisiones privadas. Sin embargo, estos términos sólo tienen sentido cuando es necesario enfatizar específicamente de qué tipo de solución estamos hablando, pero generalmente esto ya queda claro por el contexto, por lo que con mucha más frecuencia simplemente dicen "una solución a un sistema de desigualdades".

De las definiciones de un sistema de desigualdades y sus soluciones introducidas en este artículo, se deduce que una solución a un sistema de desigualdades es la intersección de los conjuntos de soluciones de todas las desigualdades de este sistema.

Bibliografía.

1. Álgebra: libro de texto para 8vo grado. educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2008. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Álgebra: 9º grado: educativo. para educación general instituciones / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª ed. - M.: Educación, 2009. - 271 p. : enfermo. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G.Álgebra. Noveno grado. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A.G.Álgebra e inicio del análisis matemático. Grado 11. En 2 horas Parte 1. Libro de texto para estudiantes de instituciones de educación general (nivel de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., borrada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: enfermo. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Examen estatal unificado-2013. Matemáticas: opciones de examen estándar: 30 opciones / ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Editorial “Educación Nacional”, 2012. – 192 p. – (USE-2013. FIPI - escuela).

1. El concepto de desigualdad con una variable.

2. Desigualdades equivalentes. Teoremas sobre la equivalencia de desigualdades

3. Resolver desigualdades con una variable

4. Solución gráfica de desigualdades con una variable.

5. Desigualdades que contienen una variable bajo el signo del módulo

6. Principales conclusiones

Desigualdades con una variable

Ofertas 2 X + 7 > 10, x 2 +7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 se llaman desigualdades con una variable.

En general, este concepto se define de la siguiente manera:

Definición. Sean f(x) y g(x) dos expresiones con una variable x y dominio X. Entonces una desigualdad de la forma f(x) > g(x) o f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Valor variable X desde muchos X, en el que la desigualdad se convierte en una verdadera desigualdad numérica se llama decisión. Resolver una desigualdad significa encontrarle muchas soluciones.

Así, resolviendo la desigualdad 2 X + 7 > 10 -x,x? R es el numero X= 5, ya que 2 5 + 7 > 10 - 5 es una verdadera desigualdad numérica. Y el conjunto de sus soluciones es el intervalo (1, ∞), que se encuentra realizando la transformación de la desigualdad: 2 X + 7 > 10-X => 3X >3 => X >1.

Desigualdades equivalentes. Teoremas sobre la equivalencia de desigualdades

La base para resolver desigualdades con una variable es el concepto de equivalencia.

Definición. Se dice que dos desigualdades son equivalentes si sus conjuntos de soluciones son iguales.

Por ejemplo, desigualdades 2 X+ 7 > 10 y 2 X> 3 son equivalentes, ya que sus conjuntos solución son iguales y representan el intervalo (2/3, ∞).

Los teoremas sobre la equivalencia de desigualdades y las consecuencias de ellas son similares a los teoremas correspondientes sobre la equivalencia de ecuaciones. Su prueba utiliza las propiedades de verdaderas desigualdades numéricas.

Teorema 3. Deja que la desigualdad f(x) > g(x) definido en el set X Y h(X) es una expresión definida en el mismo conjunto. Entonces las desigualdades f(x) > g(x) y f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) son equivalentes en el set X.

De este teorema se derivan corolarios, que se utilizan a menudo al resolver desigualdades:

1) Si a ambos lados de la desigualdad f(x) > g(x) sumar el mismo numero d, entonces obtenemos la desigualdad f(x) + d > g(x)+ d, equivalente al original.

2) Si cualquier término (expresión numérica o expresión con variable) se traslada de una parte de la desigualdad a otra, cambiando el signo del término al contrario, entonces obtenemos una desigualdad equivalente a la dada.

Teorema 4. Deja que la desigualdad f(x) > g(x) definido en el set X Y h(X X desde muchos X expresión h(x) toma valores positivos. Entonces las desigualdades f(x) > g(x) y f(x) h(x) > g(x) h(x) son equivalentes en el set X.

f(x) > g(x) multiplicar por el mismo numero positivo d, entonces obtenemos la desigualdad f(x) d > g(x) d, equivalente a esto.

Teorema 5. Deja que la desigualdad f(x) > g(x) definido en el set X Y h(X) - una expresión definida en el mismo conjunto y para todos X Hay muchos de ellos X expresión h(X) toma valores negativos. Entonces las desigualdades f(x) > g(x) y f(x) h(x) > g(x) h(x) son equivalentes en el set X.

De este teorema se desprende un corolario: si ambos lados de la desigualdad f(x) > g(x) multiplicar por el mismo numero negativo d y cambiamos el signo de la desigualdad al opuesto, obtenemos la desigualdad f(x) d > g(x) d, equivalente a esto.

Resolver desigualdades con una variable.

Resolvamos la desigualdad 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, y justificaremos todas las transformaciones que realizaremos en el proceso de solución.

Resolviendo la desigualdad X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 es el intervalo (-∞, 7).

Ejercicios

1. Determina cuáles de las siguientes entradas son desigualdades con una variable:

a) -12 - 7 X< 3X+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);

segundo) 15( X+ 2)>4; e) 17-12·8;

c) 17-(13+8)< 14-9; е) 2x2+ 3X-4> 0.

2. ¿Es el número 3 una solución a la desigualdad? 6(2x + 7) < 15(X + 2), X? R? ¿Qué pasa con el número 4,25?

3. ¿Son equivalentes los siguientes pares de desigualdades en el conjunto de los números reales?

a) -17 X< -51 и X > 3;

segundo) (3 X-1)/4 >0 y 3 X-1>0;

c) 6-5 X>-4 y X<2?

4. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) -7 X < -28 => X>4;

b) X < 6 => X < 5;

V) X< 6 => X< 20?

5. Resuelve la desigualdad 3( X - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 y justifica todas las transformaciones que realizarás.

6. Demuestra que resolviendo la desigualdad 2(x)+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) es cualquier número real.

7. Demuestre que no existe ningún número real que sea solución a la desigualdad 3(2 - X) - 2 > 5 - 3X.

8. Un lado del triángulo mide 5 cm y el otro mide 8 cm. ¿Cuál puede ser la longitud del tercer lado si el perímetro del triángulo es:

a) menos de 22 cm;

b) más de 17 cm?

SOLUCIÓN GRÁFICA DE DESIGUALDADES CON UNA VARIABLE. Resolver la desigualdad gráficamente. f(x) > g(x) necesidad de construir gráficas de funciones

y = f (x) = g (x) y seleccione aquellos intervalos del eje de abscisas en los que se encuentra la gráfica de la función y = f(x) ubicado encima de la gráfica de la función y = g(x).

Ejemplo 17.8. Resuelve gráficamente la desigualdad. x2- 4 > 3X.

Solución. Construyamos gráficas de funciones en un sistema de coordenadas.

y = x 2 - 4 y y = Zx (figura 17.5). La figura muestra que las gráficas de funciones. en= x2- 4 se encuentra encima de la gráfica de la función y = 3 X en X< -1 y x > 4, es decir el conjunto de soluciones de la desigualdad original es el conjunto

(- ¥; -1) È (4; + ooo) .

Respuesta: x О(-oo; -1) y ( 4; +oo).

Gráfica de una función cuadrática en= hacha 2 + bx + c es una parábola con ramas apuntando hacia arriba si un > 0, y hacia abajo si A< 0. En este caso, son posibles tres casos: la parábola corta el eje Oh(es decir, ecuación Ah 2+ bx+ c = 0 tiene dos raíces diferentes); la parábola toca el eje X(es decir, ecuación hacha 2 + caja+ c = 0 tiene una raíz); la parábola no corta al eje Oh(es decir, ecuación Ah 2+ bx+ c = 0 no tiene raíces). Así, hay seis posiciones posibles de la parábola, que sirve como gráfica de la función y = Ah 2+b x+c(Figura 17.6). Con estas ilustraciones, puedes resolver desigualdades cuadráticas.

Ejemplo 17.9. Resuelve la desigualdad: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.

Solución, a) La ecuación 2x ​​2 + 5x -3 = 0 tiene dos raíces: x, = -3, x2 = 0,5. Parábola que sirve como gráfica de una función. en= 2x2+ 5x -3, como se muestra en la Fig. A. Desigualdad 2x2+ 5x -3 > 0 se cumple para esos valores X, para el cual los puntos de la parábola se encuentran por encima del eje Oh: será en X< х х o cuando X> xg> aquellos. en X< -3 o en x > 0,5. Esto significa que el conjunto de soluciones de la desigualdad original es el conjunto de (- ¥; -3) y (0,5; + ¥).

b) Ecuación -Зх 2 + 2x- 6 = 0 no tiene raíces reales. Parábola que sirve como gráfica de una función. en= - 3x2-2x- 6, mostrado en la Fig. 17.6 Desigualdad -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, para el cual los puntos de la parábola se encuentran debajo del eje Oh. Como toda la parábola se encuentra debajo del eje Oh, entonces el conjunto de soluciones de la desigualdad original es el conjunto R .

DESIGUALDADES QUE CONTIENEN UNA VARIABLE BAJO EL SIGNO DEL MÓDULO. A la hora de resolver estas desigualdades se debe tener en cuenta que:

|f(x) | =

f(x), Si f(x) ³ 0,

- f(x), Si f(x) < 0,

En este caso, el rango de valores permisibles de la desigualdad debe dividirse en intervalos, en cada uno de los cuales las expresiones bajo el signo del módulo conservan su signo. Luego, expandiendo los módulos (teniendo en cuenta los signos de las expresiones), es necesario resolver la desigualdad en cada intervalo y combinar las soluciones resultantes en un conjunto de soluciones a la desigualdad original.

Ejemplo 17.10. Resuelve la desigualdad:

|x-1| + |2-x| > 3+x.

Solución. Los puntos x = 1 y x = 2 dividen el eje numérico (ODZ de la desigualdad (17.9) en tres intervalos: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Resolvamos esta desigualdad para cada uno de ellos. si x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; por lo tanto |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2-x. Esto significa que la desigualdad (17.9) toma la forma: 1- x + 2 - x > 3 + x, es decir X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Si 1 £ x £.2, entonces x - 1 ³ 0 y 2 – x ³ 0; por lo tanto | x-1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Esto significa que el sistema cumple:

x – 1 + 2 – x > 3 + x,

El sistema resultante de desigualdades no tiene soluciones. Por tanto, en el intervalo [ 1; 2] el conjunto de soluciones a la desigualdad (17.9) está vacío.

Si x > 2, entonces x - 1 >0 y 2 – x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

x -1 + x – 2 > 3+x,

x > 6 o

Combinando las soluciones encontradas para todos los lados de la desigualdad ODZ (17.9), obtenemos su solución: el conjunto (-¥; 0) È (6; +oo).

A veces es útil utilizar la interpretación geométrica del módulo de un número real, según la cual | un | significa la distancia del punto a de la línea de coordenadas desde el origen O, a | a-b | significa la distancia entre los puntos a y b en la línea de coordenadas. Alternativamente, puedes usar el método de elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

Teorema 17.5. Si expresiones f(x) y g(x) para cualquier x tome solo valores no negativos, entonces las desigualdades f(x) > g(x) Y f(x)² > g(x)² son equivalentes.

58. Principales conclusiones § 12

En esta sección hemos definido lo siguiente conceptos:

Expresión numérica;

El valor de una expresión numérica;

Una expresión que no tiene significado;

Expresión con variable(s);

Alcance de la definición de expresión;

Expresiones idénticamente iguales;

Identidad;

Transformación idéntica de una expresión;

Igualdad numérica;

Desigualdad numérica;

Ecuación con una variable;

Raíz de la ecuación;

¿Qué significa resolver una ecuación?

Ecuaciones equivalentes;

Desigualdad con una variable;

Resolver Desigualdades;

¿Qué significa resolver la desigualdad?

Desigualdades equivalentes.

Además, examinamos teoremas sobre la equivalencia de ecuaciones y desigualdades, que son la base para su solución.

El conocimiento de las definiciones de todos los conceptos y teoremas anteriores sobre la equivalencia de ecuaciones y desigualdades es una condición necesaria para el estudio metodológicamente competente del material algebraico con estudiantes de primaria.