Distancia de un punto a otro: fórmulas, ejemplos, soluciones. Distancia entre dos puntos en un plano

La distancia entre dos puntos en un plano.
Sistemas coordinados

Cada punto A del plano se caracteriza por sus coordenadas (x, y). Coinciden con las coordenadas del vector 0A que sale del punto 0, el origen de las coordenadas.

Sean A y B puntos arbitrarios del plano con coordenadas (x 1 y 1) y (x 2, y 2), respectivamente.

Entonces el vector AB obviamente tiene coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Se sabe que el cuadrado de la longitud de un vector es igual a la suma de los cuadrados de sus coordenadas. Por tanto, la distancia d entre los puntos A y B, o lo que es lo mismo, la longitud del vector AB, se determina a partir de la condición

re 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

La fórmula resultante le permite encontrar la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano, si solo se conocen las coordenadas de estos puntos.

Cada vez que hablamos de las coordenadas de un punto particular del plano, nos referimos a un sistema de coordenadas bien definido x0y. En general, el sistema de coordenadas en un plano se puede elegir de diferentes maneras. Entonces, en lugar del sistema de coordenadas x0y, puedes considerar el sistema de coordenadas x"0y", que se obtiene girando los antiguos ejes de coordenadas alrededor del punto inicial 0. en sentido anti-horario flechas en la esquina α .

Si un determinado punto del plano en el sistema de coordenadas x0y tenía coordenadas (x, y), entonces en el nuevo sistema de coordenadas x"0y" tendrá coordenadas diferentes (x, y").

Como ejemplo, considere el punto M, ubicado en el eje 0x y separado del punto 0 a una distancia de 1.

Obviamente, en el sistema de coordenadas x0y este punto tiene coordenadas (cos α ,pecado α ), y en el sistema de coordenadas x"0y" las coordenadas son (1,0).

Las coordenadas de dos puntos cualesquiera en el plano A y B dependen de cómo se especifique el sistema de coordenadas en este plano. Pero la distancia entre estos puntos no depende del método para especificar el sistema de coordenadas. Haremos un uso significativo de esta importante circunstancia en el siguiente párrafo.

Ejercicios

I. Encuentra las distancias entre puntos del plano con coordenadas:

1) (3.5) y (3.4); 3) (0,5) y (5, 0); 5) (-3,4) y (9, -17);

2) (2, 1) y (- 5, 1); 4) (0, 7) y (3,3); 6) (8, 21) y (1, -3).

II. Encuentra el perímetro de un triángulo cuyos lados están dados por las ecuaciones:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 y y = 1.

III. En el sistema de coordenadas x0y, los puntos M y N tienen coordenadas (1, 0) y (0,1), respectivamente. Encuentre las coordenadas de estos puntos en el nuevo sistema de coordenadas, que se obtiene girando los antiguos ejes alrededor del punto inicial en un ángulo de 30° en sentido contrario a las agujas del reloj.

IV. En el sistema de coordenadas x0y, los puntos M y N tienen coordenadas (2, 0) y (\ / 3/2, - 1/2) respectivamente. Encuentre las coordenadas de estos puntos en el nuevo sistema de coordenadas, que se obtiene girando los antiguos ejes alrededor del punto inicial en un ángulo de 30° en el sentido de las agujas del reloj.

Distancia de un punto a otro es la longitud del segmento que conecta estos puntos en una escala dada. Así, a la hora de medir distancias, es necesario conocer la escala (unidad de longitud) en la que se tomarán las medidas. Por lo tanto, el problema de encontrar la distancia de un punto a otro generalmente se considera en una línea de coordenadas o en sistema de coordenadas cartesiano rectangular en un plano o en un espacio tridimensional. En otras palabras, la mayoría de las veces hay que calcular la distancia entre puntos utilizando sus coordenadas.

En este artículo, primero recordaremos cómo se determina la distancia de un punto a otro en una línea de coordenadas. A continuación, obtenemos fórmulas para calcular la distancia entre dos puntos de un plano o espacio según unas coordenadas dadas. En conclusión, consideraremos en detalle las soluciones a ejemplos y problemas típicos.

Navegación de páginas.

La distancia entre dos puntos en una línea de coordenadas.

Primero definamos la notación. Denotaremos la distancia del punto A al punto B como .

De esto podemos concluir que la distancia del punto A con coordenadas al punto B con coordenadas es igual al módulo de la diferencia de coordenadas, eso es, para cualquier ubicación de puntos en la línea de coordenadas.

Distancia de un punto a otro en un plano, fórmula.

Obtenemos una fórmula para calcular la distancia entre puntos y dada en un sistema de coordenadas cartesiano rectangular en un plano.

Dependiendo de la ubicación de los puntos A y B, son posibles las siguientes opciones.

Si los puntos A y B coinciden, entonces la distancia entre ellos es cero.

Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje de abscisas, entonces los puntos coinciden y la distancia es igual a la distancia. En el párrafo anterior descubrimos que la distancia entre dos puntos en una línea de coordenadas es igual al módulo de la diferencia entre sus coordenadas, por lo tanto, . Por eso, .

De manera similar, si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje de ordenadas, entonces la distancia del punto A al punto B se calcula como .

En este caso, el triángulo ABC es de construcción rectangular y Y . Por Teorema de pitágoras podemos escribir la igualdad, de donde .

Resumamos todos los resultados obtenidos: la distancia de un punto a un punto en un plano se encuentra a través de las coordenadas de los puntos usando la fórmula .

La fórmula resultante para encontrar la distancia entre puntos se puede utilizar cuando los puntos A y B coinciden o se encuentran en una línea recta perpendicular a uno de los ejes de coordenadas. De hecho, si A y B coinciden, entonces . Si los puntos A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje Ox, entonces. Si A y B se encuentran en una línea recta perpendicular al eje Oy, entonces .

Distancia entre puntos en el espacio, fórmula.

Introduzcamos un sistema de coordenadas rectangular Oxyz en el espacio. Obtengamos una fórmula para encontrar la distancia desde un punto. al punto .

En general, los puntos A y B no se encuentran en un plano paralelo a uno de los planos coordenados. Dibujemos por los puntos A y B planos perpendiculares a los ejes de coordenadas Ox, Oy y Oz. Los puntos de intersección de estos planos con los ejes de coordenadas nos darán proyecciones de los puntos A y B sobre estos ejes. Denotamos las proyecciones. .

La distancia requerida entre los puntos A y B es la diagonal del paralelepípedo rectangular que se muestra en la figura. Por construcción, las dimensiones de este paralelepípedo son iguales. Y . En un curso de geometría de secundaria se demostró que el cuadrado de la diagonal de un cuboide es igual a la suma de los cuadrados de sus tres dimensiones, por lo tanto, . Con base en la información del primer apartado de este artículo, podemos escribir las siguientes igualdades, por lo tanto,

de donde lo sacamos fórmula para encontrar la distancia entre puntos en el espacio .

Esta fórmula también es válida si los puntos A y B

• emparejar;
• pertenecer a uno de los ejes de coordenadas o una línea paralela a uno de los ejes de coordenadas;
• pertenecen a uno de los planos coordenados o a un plano paralelo a uno de los planos coordenados.

Encontrar la distancia de un punto a otro, ejemplos y soluciones.

Entonces, obtuvimos fórmulas para encontrar la distancia entre dos puntos en una línea de coordenadas, un plano y un espacio tridimensional. Es hora de buscar soluciones a ejemplos típicos.

La cantidad de problemas en los que el paso final es encontrar la distancia entre dos puntos según sus coordenadas es realmente enorme. Una revisión completa de tales ejemplos está más allá del alcance de este artículo. Aquí nos limitaremos a ejemplos en los que se conocen las coordenadas de dos puntos y es necesario calcular la distancia entre ellos.

CUESTIONES TEÓRICAS

GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL AVIÓN

1. Método de coordenadas: recta numérica, coordenadas en una recta; sistema de coordenadas rectangular (cartesiano) en un plano; coordenadas polares.

Consideremos una línea recta. Elijamos una dirección en él (luego se convertirá en un eje) y algún punto 0 (el origen de las coordenadas). Una línea recta con una dirección y un origen elegidos se llama línea de coordenadas(asumimos que se selecciona la unidad de escala).

Dejar METRO– un punto arbitrario en la línea de coordenadas. Pongámoslo de acuerdo con el punto. METRO Número Real X, igual al valor om segmento: x=OM. Número X llamada coordenada del punto METRO.

Por tanto, cada punto de la línea de coordenadas corresponde a un determinado número real: su coordenada. Lo contrario también es cierto: cada número real x corresponde a un cierto punto en la línea de coordenadas, es decir, tal punto METRO, cuya coordenada es x. Esta correspondencia se llama cara a cara.

Entonces, los números reales se pueden representar mediante puntos de una línea de coordenadas, es decir La línea de coordenadas sirve como imagen del conjunto de todos los números reales. Por tanto, el conjunto de todos los números reales se llama numero de linea, y cualquier número es un punto en esta línea. Cerca de un punto en una recta numérica, a menudo se indica un número: su coordenada.

Sistema de coordenadas rectangular (o cartesiano) en un plano.

Dos ejes mutuamente perpendiculares Acerca de x Y Acerca de ti tener un origen común ACERCA DE y la misma unidad de escala, forma Sistema de coordenadas rectangular (o cartesiano) en un plano.

Eje OH llamado eje de abscisas, el eje oy– eje de ordenadas. Punto ACERCA DE la intersección de los ejes se llama origen. El plano en el que se encuentran los ejes. OH Y oy, se llama plano de coordenadas y se denota Acerca de xy.

Entonces, un sistema de coordenadas rectangular en un plano establece una correspondencia uno a uno entre el conjunto de todos los puntos en el plano y el conjunto de pares de números, lo que permite aplicar métodos algebraicos al resolver problemas geométricos. Los ejes coordenados dividen el plano en 4 partes, se llaman en cuartos, cuadrado o ángulos coordinados.

Coordenadas polares.

El sistema de coordenadas polares consta de un determinado punto. ACERCA DE, llamado polo, y el rayo que emana de él equipo original, llamado eje polar. Además, se establece la unidad de escala para medir las longitudes de los segmentos. Sea un sistema de coordenadas polares y sea METRO– punto arbitrario del avión. Denotemos por R– distancia del punto METRO desde el punto ACERCA DE, y mediante φ – el ángulo mediante el cual se gira el haz en el sentido contrario a las agujas del reloj para alinear el eje polar con el haz om.

Coordenadas polares puntos METRO números de llamada R Y φ . Número R se considera la primera coordenada y se llama radio polar, número φ – la segunda coordenada se llama ángulo polar.

Punto METRO con coordenadas polares R Y φ se designan de la siguiente manera: METRO(;φ). Establezcamos una conexión entre las coordenadas polares de un punto y sus coordenadas rectangulares.
En este caso, asumiremos que el origen del sistema de coordenadas rectangular está en el polo y el eje de semiabscisa positivo coincide con el eje polar.

Dejemos que el punto M tenga coordenadas rectangulares. X Y Y y coordenadas polares R Y φ .

Prueba.

Gota de puntos m 1 Y m2 perpendiculares M1V Y M 1 A,. porque (x2; y2). Por teorema, si M1 (x1) Y M2 (x2) son dos puntos cualesquiera y α es la distancia entre ellos, entonces α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

La resolución de problemas de matemáticas suele ir acompañada de muchas dificultades para los estudiantes. Ayudar al estudiante a enfrentar estas dificultades, así como enseñarle a aplicar sus conocimientos teóricos existentes al resolver problemas específicos en todas las secciones del curso en la materia "Matemáticas" es el objetivo principal de nuestro sitio.

Al comenzar a resolver problemas sobre el tema, los estudiantes deberían poder construir un punto en un plano usando sus coordenadas, así como encontrar las coordenadas de un punto determinado.

El cálculo de la distancia entre dos puntos A(x A; y A) y B(x B; y B) tomados en un plano se realiza mediante la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), donde d es la longitud del segmento que conecta estos puntos en el plano.

Si uno de los extremos del segmento coincide con el origen de coordenadas y el otro tiene coordenadas M(x M; y M), entonces la fórmula para calcular d tomará la forma OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Cálculo de la distancia entre dos puntos basándose en las coordenadas dadas de estos puntos.

Ejemplo 1.

Encuentre la longitud del segmento que conecta los puntos A(2; -5) y B(-4; 3) en el plano de coordenadas (Fig. 1).

Solución.

El planteamiento del problema establece: x A = 2; x B = -4; y A = -5 y y B = 3. Encuentre d.

Aplicando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), obtenemos:

re = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Cálculo de las coordenadas de un punto que equidista de tres puntos dados

Ejemplo 2.

Encuentre las coordenadas del punto O 1, que es equidistante de tres puntos A(7; -1) y B(-2; 2) y C(-1; -5).

Solución.

De la formulación de las condiciones del problema se deduce que O 1 A = O 1 B = O 1 C. Sea el punto deseado O 1 que tenga coordenadas (a; b). Usando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Creemos un sistema de dos ecuaciones:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Después de elevar al cuadrado los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones, escribimos:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Simplificando, escribamos

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Resolviendo el sistema, obtenemos: a = 2; b = -1.

El punto O 1 (2; -1) es equidistante de los tres puntos especificados en la condición que no se encuentran en la misma línea recta. Este punto es el centro de una circunferencia que pasa por tres puntos dados. (Figura 2).

3. Cálculo de la abscisa (ordenada) de un punto que se encuentra en el eje de abscisas (ordenada) y está a una distancia determinada de un punto determinado

Ejemplo 3.

La distancia desde el punto B(-5; 6) hasta el punto A que se encuentra en el eje Ox es 10. Encuentre el punto A.

Solución.

De la formulación de las condiciones del problema se deduce que la ordenada del punto A es igual a cero y AB = 10.

Denotando la abscisa del punto A por a, escribimos A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Obtenemos la ecuación √((a + 5) 2 + 36) = 10. Simplificándola, tenemos

a 2 + 10a – 39 = 0.

Las raíces de esta ecuación son a 1 = -13; y 2 = 3.

Obtenemos dos puntos A 1 (-13; 0) y A 2 (3; 0).

Examen:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Ambos puntos obtenidos son adecuados según las condiciones del problema. (Fig. 3).

4. Cálculo de la abscisa (ordenada) de un punto que se encuentra en el eje de abscisas (ordenada) y está a la misma distancia de dos puntos dados

Ejemplo 4.

Encuentre un punto en el eje Oy que esté a la misma distancia de los puntos A (6, 12) y B (-8, 10).

Solución.

Sean las coordenadas del punto requerido por las condiciones del problema, que se encuentra en el eje Oy, O 1 (0; b) (en el punto que se encuentra en el eje Oy, la abscisa es cero). De la condición se deduce que O 1 A = O 1 B.

Usando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Tenemos la ecuación √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) o 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Después de la simplificación obtenemos: b – 4 = 0, b = 4.

Punto O 1 (0; 4) requerido por las condiciones del problema (Figura 4).

5. Cálculo de las coordenadas de un punto que se encuentra a la misma distancia de los ejes de coordenadas y de algún punto dado.

Ejemplo 5.

Encuentre el punto M ubicado en el plano de coordenadas a la misma distancia de los ejes de coordenadas y del punto A(-2; 1).

Solución.

El punto M requerido, al igual que el punto A(-2; 1), se ubica en el segundo ángulo coordenado, ya que es equidistante de los puntos A, P 1 y P 2. (Figura 5). Las distancias del punto M a los ejes de coordenadas son las mismas, por lo tanto, sus coordenadas serán (-a; a), donde a > 0.

De las condiciones del problema se deduce que MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

aquellos. |-a| = a.

Usando la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) encontramos:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Hagamos una ecuación:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Después de elevar al cuadrado y simplificar tenemos: a 2 – 6a + 5 = 0. Resuelve la ecuación, encuentra a 1 = 1; y 2 = 5.

Obtenemos dos puntos M 1 (-1; 1) y M 2 (-5; 5) que satisfacen las condiciones del problema.

6. Cálculo de las coordenadas de un punto que se encuentra a la misma distancia especificada del eje de abscisas (ordenadas) y del punto dado.

Ejemplo 6.

Encuentre un punto M tal que su distancia desde el eje de ordenadas y desde el punto A(8; 6) sea igual a 5.

Solución.

De las condiciones del problema se deduce que MA = 5 y la abscisa del punto M es igual a 5. Sea la ordenada del punto M igual a b, entonces M(5; b) (Figura 6).

Según la fórmula d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) tenemos:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Hagamos una ecuación:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Simplificándolo, obtenemos: b 2 – 12b + 20 = 0. Las raíces de esta ecuación son b 1 = 2; b 2 = 10. En consecuencia, hay dos puntos que satisfacen las condiciones del problema: M 1 (5; 2) y M 2 (5; 10).

Se sabe que muchos estudiantes, a la hora de resolver problemas de forma independiente, necesitan consultas constantes sobre técnicas y métodos para resolverlos. A menudo, un estudiante no puede encontrar una manera de resolver un problema sin la ayuda de un maestro. El alumno puede recibir el asesoramiento necesario para la resolución de problemas en nuestra web.

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