¿Cómo encontrar los valores mayor y menor de una función en una región cerrada acotada? Encontrar los valores mayor y menor de una función en un segmento.

El valor más grande (más pequeño) de una función es el valor más grande (más pequeño) aceptado de la ordenada en el intervalo considerado.

Para encontrar el valor más grande o más pequeño de una función necesitas:

1. Compruebe qué puntos estacionarios están incluidos en un segmento determinado.
2. Calcule el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos estacionarios del paso 3
3. Seleccione el valor mayor o menor de los resultados obtenidos.

Para encontrar los puntos máximos o mínimos necesitas:

1. Encuentra la derivada de la función $f"(x)$
2. Encuentra puntos estacionarios resolviendo la ecuación $f"(x)=0$
3. Factorizar la derivada de una función.
4. Dibuja una línea de coordenadas, coloca puntos estacionarios en ella y determina los signos de la derivada en los intervalos resultantes, usando la notación del paso 3.
5. Encuentre los puntos máximos o mínimos de acuerdo con la regla: si en un punto la derivada cambia de signo de más a menos, entonces este será el punto máximo (si de menos a más, entonces este será el punto mínimo). En la práctica, es conveniente utilizar la imagen de flechas en los intervalos: en el intervalo donde la derivada es positiva, la flecha se dibuja hacia arriba y viceversa.

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales:

Reglas básicas de diferenciación.

1. La derivada de la suma y la diferencia es igual a la derivada de cada término

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Encuentra la derivada de la función $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$

La derivada de la suma y la diferencia es igual a la derivada de cada término.

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+senx-(1)/(x^2)$

2. Derivado del producto.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Encuentra la derivada $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙senx$

3. Derivada del cociente

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Encuentra la derivada $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Encuentra el punto mínimo de la función $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

1. Encuentre la ODZ de la función: $x+11>0; x>-11$

2. Encuentra la derivada de la función $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$

3. Encuentre puntos estacionarios igualando la derivada a cero.

$(2x+21)/(x+11)=0$

Una fracción es igual a cero si el numerador es cero y el denominador no es cero.

$2x+21=0; x≠-11$

4. Dibujemos una línea de coordenadas, coloquemos puntos estacionarios sobre ella y determinemos los signos de la derivada en los intervalos resultantes. Para hacer esto, sustituya cualquier número de la región más a la derecha en la derivada, por ejemplo, cero.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. En el punto mínimo, la derivada cambia de signo de menos a más, por lo tanto, el punto $-10,5$ es el punto mínimo.

Respuesta: $-10,5$

Encuentre el mayor valor de la función $y=6x^5-90x^3-5$ en el segmento $[-5;1]$

1. Encuentra la derivada de la función $y′=30x^4-270x^2$

2. Iguala la derivada a cero y encuentra puntos estacionarios.

$30x^4-270x^2=0$

Saquemos el factor total $30x^2$ de paréntesis

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Igualemos cada factor a cero

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Seleccione puntos estacionarios que pertenezcan al segmento dado $[-5;1]$

Los puntos estacionarios $x=0$ y $x=-3$ nos convienen

4. Calcule el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos estacionarios del paso 3.

En este artículo hablaré sobre cómo aplicar la habilidad de encontrar al estudio de una función: encontrar su valor mayor o menor. Y luego resolveremos varios problemas de la Tarea B15 del Open Bank de tareas para.

Como de costumbre, primero recordemos la teoría.

Al comienzo de cualquier estudio de una función, encontramos que

Para encontrar el valor mayor o menor de una función, es necesario examinar en qué intervalos la función aumenta y en cuáles disminuye.

Para hacer esto, necesitamos encontrar la derivada de la función y examinar sus intervalos de signo constante, es decir, los intervalos en los que la derivada conserva su signo.

Los intervalos en los que la derivada de una función es positiva son intervalos de función creciente.

Los intervalos en los que la derivada de una función es negativa son intervalos de función decreciente.

1 . Resolvamos la tarea B15 (No. 245184)

Para solucionarlo seguiremos el siguiente algoritmo:

a) Encuentra el dominio de definición de la función.

b) Encontremos la derivada de la función.

c) Igualémoslo a cero.

d) Encontremos los intervalos de signo constante de la función.

e) Encuentre el punto en el que la función toma el mayor valor.

f) Encuentre el valor de la función en este punto.

Te explico la solución detallada a esta tarea en el VIDEO TUTORIAL:

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Firefox

2. Resolvamos la tarea B15 (No. 282862)

Encuentra el valor más grande de la función. en el segmento

Es obvio que la función toma el mayor valor en el segmento en el punto máximo, en x=2. Encontremos el valor de la función en este punto:

Respuesta: 5

3. Resolvamos la tarea B15 (No. 245180):

Encuentra el valor más grande de la función.

1. título="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Porque según el dominio de definición de la función original title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. El numerador es igual a cero en . Comprobemos si ODZ pertenece a la función. Para hacer esto, verifiquemos si la condición title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Título="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

esto significa que el punto pertenece a la función ODZ

Examinemos el signo de la derivada a la derecha e izquierda del punto:

Vemos que la función adquiere su mayor valor en el punto . Ahora encontremos el valor de la función en:

Observación 1. Tenga en cuenta que en este problema no encontramos el dominio de definición de la función: solo fijamos las restricciones y comprobamos si el punto en el que la derivada es igual a cero pertenece al dominio de definición de la función. Esto resultó ser suficiente para esta tarea. Sin embargo, este no es siempre el caso. Depende de la tarea.

Observación 2. Al estudiar el comportamiento de una función compleja, se puede utilizar la siguiente regla:

• Si la función externa de una función compleja es creciente, entonces la función toma su mayor valor en el mismo punto en el que la función interna toma su mayor valor. Esto se desprende de la definición de función creciente: una función aumenta en el intervalo I si un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor mayor de la función.
• Si la función externa de una función compleja es decreciente, entonces la función toma su valor más grande en el mismo punto en el que la función interna toma su valor más pequeño. . Esto se desprende de la definición de función decreciente: una función disminuye en el intervalo I si un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor menor de la función

En nuestro ejemplo, la función externa aumenta en todo el dominio de definición. Bajo el signo del logaritmo hay una expresión: un trinomio cuadrado que, con un coeficiente principal negativo, adquiere el mayor valor en el punto . A continuación, sustituimos este valor de x en la ecuación de la función y encontrar su mayor valor.

El algoritmo estándar para resolver este tipo de problemas implica, después de encontrar los ceros de la función, determinar los signos de la derivada en los intervalos. Luego, el cálculo de los valores en los puntos máximos (o mínimos) encontrados y en el límite del intervalo, dependiendo de qué pregunta esté en la condición.

Te aconsejo que hagas las cosas un poco diferentes. ¿Por qué? Escribí sobre esto.

Propongo resolver tales problemas de la siguiente manera:

1. Encuentra la derivada.
2. Encuentra los ceros de la derivada.
3. Determina cuáles de ellos pertenecen a este intervalo.
4. Calculamos los valores de la función en los límites del intervalo y puntos del paso 3.
5. Sacamos una conclusión (respondemos a la pregunta planteada).

Mientras resuelve los ejemplos presentados, la resolución de ecuaciones cuadráticas no se analiza en detalle; Ellos también deberían saberlo.

Veamos ejemplos:

77422. Encuentra el valor más grande de la función y=x 3 –3x+4 en el segmento [–2;0].

Encontremos los ceros de la derivada:

El punto x = –1 pertenece al intervalo especificado en la condición.

Calculamos los valores de la función en los puntos –2, –1 y 0:

El valor más grande de la función es 6.

Respuesta: 6

77425. Encuentra el valor más pequeño de la función y = x 3 – 3x 2 + 2 en el segmento.

Encontremos la derivada de la función dada:

Encontremos los ceros de la derivada:

El intervalo especificado en la condición contiene el punto x = 2.

Calculamos los valores de la función en los puntos 1, 2 y 4:

El valor más pequeño de la función es –2.

Respuesta: –2

77426. Encuentre el valor más grande de la función y = x 3 – 6x 2 en el segmento [–3;3].

Encontremos la derivada de la función dada:

Encontremos los ceros de la derivada:

El intervalo especificado en la condición contiene el punto x = 0.

Calculamos los valores de la función en los puntos –3, 0 y 3:

El valor más pequeño de la función es 0.

Respuesta: 0

77429. Encuentra el valor más pequeño de la función y = x 3 – 2x 2 + x +3 en el segmento.

Encontremos la derivada de la función dada:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Obtenemos las raíces: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

El intervalo especificado en la condición contiene solo x = 1.

Encontremos los valores de la función en los puntos 1 y 4:

Encontramos que el valor más pequeño de la función es 3.

Respuesta: 3

77430. Encuentre el valor más grande de la función y = x 3 + 2x 2 + x + 3 en el segmento [– 4; -1].

Encontremos la derivada de la función dada:

Encontremos los ceros de la derivada y resolvamos la ecuación cuadrática:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Busquemos las raíces:

La raíz x = –1 pertenece al intervalo especificado en la condición.

Encontramos los valores de la función en los puntos –4, –1, –1/3 y 1:

Encontramos que el valor más grande de la función es 3.

Respuesta: 3

77433. Encuentra el valor más pequeño de la función y = x 3 – x 2 – 40x +3 en el segmento.

Encontremos la derivada de la función dada:

Encontremos los ceros de la derivada y resolvamos la ecuación cuadrática:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Busquemos las raíces:

El intervalo especificado en la condición contiene la raíz x = 4.

Encuentre los valores de la función en los puntos 0 y 4:

Encontramos que el valor más pequeño de la función es –109.

Respuesta: –109

Consideremos una forma de determinar los valores mayor y menor de funciones sin derivada. Este enfoque se puede utilizar si tiene grandes problemas para determinar la derivada. El principio es simple: sustituimos todos los valores enteros del intervalo en la función (el hecho es que en todos estos prototipos la respuesta es un número entero).

77437. Encuentre el valor más pequeño de la función y=7+12x–x 3 en el segmento [–2;2].

Sustituir puntos de –2 a 2: Ver solución

77434. Encuentre el valor más grande de la función y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 en el segmento [–2;0].

Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!

Atentamente, Alexander Krutitskikh.

P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.

¿Cómo encontrar los valores mayor y menor de una función en un segmento?

Para esto Seguimos un algoritmo bien conocido.:

1 . Encontramos las funciones ODZ.

2 . Encontrar la derivada de la función.

3 . Igualar la derivada a cero

4 . Encontramos los intervalos sobre los cuales la derivada conserva su signo, y a partir de ellos determinamos los intervalos de aumento y disminución de la función:

Si en el intervalo I la derivada de la función es 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} aumenta durante este intervalo.

Si en el intervalo I la derivada de la función , entonces la función disminuye durante este intervalo.

5 . Encontramos puntos máximo y mínimo de la función.

EN en el punto máximo de la función, la derivada cambia de signo de “+” a “-”.

EN punto mínimo de la funciónla derivada cambia de signo de "-" a "+".

6 . Encontramos el valor de la función en los extremos del segmento,

• luego comparamos el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos máximos, y elija el mayor de ellos si necesita encontrar el valor más grande de la función
• o comparar el valor de la función en los extremos del segmento y en los puntos mínimos, y elija el más pequeño de ellos si necesita encontrar el valor más pequeño de la función

Sin embargo, dependiendo de cómo se comporte la función en el segmento, este algoritmo se puede reducir significativamente.

Considere la función . La gráfica de esta función se ve así:

Veamos varios ejemplos de resolución de problemas del Open Task Bank para

1 . Tarea B15 (Nº 26695)

En el segmento.

1. La función está definida para todos los valores reales de x.

Obviamente, esta ecuación no tiene soluciones y la derivada es positiva para todos los valores de x. En consecuencia, la función aumenta y toma el mayor valor en el extremo derecho del intervalo, es decir, en x=0.

Respuesta: 5.

2 . Tarea B15 (Nº 26702)

Encuentra el valor más grande de la función. en el segmento.

1. Funciones ODZ título="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

La derivada es igual a cero en , sin embargo, en estos puntos no cambia de signo:

Por lo tanto, title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} aumenta y toma el mayor valor en el extremo derecho del intervalo, en .

Para que quede claro por qué la derivada no cambia de signo, transformamos la expresión de la derivada de la siguiente manera:

Título="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Respuesta: 5.

3. Tarea B15 (Nº 26708)

Encuentra el valor más pequeño de la función en el segmento.

1. Funciones ODZ: título="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Coloquemos las raíces de esta ecuación en el círculo trigonométrico.

El intervalo contiene dos números: y

Pongamos carteles. Para ello determinamos el signo de la derivada en el punto x=0: . Al pasar por los puntos y, la derivada cambia de signo.

Representemos el cambio de signos de la derivada de una función en la recta de coordenadas:

Obviamente, el punto es un punto mínimo (en el que la derivada cambia de signo de "-" a "+"), y para encontrar el valor más pequeño de la función en el segmento, es necesario comparar los valores de la función en el punto mínimo y en el extremo izquierdo del segmento, .

El estudio de tal objeto de análisis matemático como función es de gran importancia. significado y en otros campos de la ciencia. Por ejemplo, en el análisis económico existe una necesidad constante de evaluar el comportamiento. funciones beneficio, es decir, determinar su mayor significado y desarrollar una estrategia para lograrlo.

Instrucciones

El estudio de cualquier comportamiento siempre debe comenzar con la búsqueda del dominio de definición. Generalmente, de acuerdo con las condiciones de un problema específico, es necesario determinar la mayor significado funciones ya sea en toda esta área, o en un intervalo específico de la misma con fronteras abiertas o cerradas.

Basado en , el más grande es significado funciones y(x0), en el que para cualquier punto en el dominio de definición se cumple la desigualdad y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0). Gráficamente, este punto será el más alto si los valores de los argumentos se colocan a lo largo del eje de abscisas y la función misma a lo largo del eje de ordenadas.

Para determinar el mayor significado funciones, siga el algoritmo de tres pasos. Tenga en cuenta que debe poder trabajar con unilateral y , así como calcular la derivada. Entonces, dejemos que se dé alguna función y(x) y necesitemos encontrar su mayor significado en un cierto intervalo con valores límite A y B.

Descubra si este intervalo está dentro del alcance de la definición. funciones. Para hacer esto, debe encontrarlo considerando todas las restricciones posibles: la presencia de una fracción, raíz cuadrada, etc. en la expresión. El dominio de definición es el conjunto de valores de argumentos para los cuales la función tiene sentido. Determine si el intervalo dado es un subconjunto del mismo. En caso afirmativo, continúe con el siguiente paso.

Encuentra la derivada funciones y resuelve la ecuación resultante igualando la derivada a cero. De esta forma obtendrás los valores de los llamados puntos estacionarios. Evaluar si al menos uno de ellos pertenece al intervalo A, B.

En la tercera etapa, considere estos puntos y sustituya sus valores en la función. Dependiendo del tipo de intervalo, realice los siguientes pasos adicionales. Si hay un segmento de la forma [A, B], los puntos límite se incluyen en el intervalo; esto se indica entre paréntesis. Calcular valores funciones para x = A y x = B. Si el intervalo es abierto (A, B), los valores límite se perforan, es decir no están incluidos en el mismo. Resuelva límites unilaterales para x→A y x→B. Un intervalo combinado de la forma [A, B) o (A, B), uno de cuyos límites le pertenece, el otro no. Encuentre el límite unilateral cuando x tiende al valor perforado y sustitúyalo por el otro. la función Intervalo infinito de dos lados (-∞, +∞) o intervalos infinitos de un lado de la forma: , (-∞, B). Para los límites reales A y B, proceda de acuerdo con los principios ya descritos, y para los límites reales A y B. infinitos, busque límites para x→-∞ y x→+∞, respectivamente.

La tarea en esta etapa