Gráficas de funciones que son k y b. Función lineal

ECUACIONES LINEALES Y DESIGUALDADES I

§ 3 Funciones lineales y sus gráficas.

Considere la igualdad

en = 2X + 1. (1)

Valor de cada letra X esta igualdad pone en correspondencia un significado muy específico de la letra en . Si, por ejemplo, X = 0, entonces en = 2 0 + 1 = 1; Si X = 10, entonces en = 2 10 + 1 = 21; en X = - 1 / 2 tenemos y = 2 (- 1 / 2) + 1 = 0, etc. Pasemos a otra igualdad:

en = X 2 (2)

cada valor X esta igualdad, al igual que la igualdad (1), asocia un valor bien definido en . Si, por ejemplo, X = 2, entonces en = 4; en X = - 3 obtenemos en = 9, etc. Las igualdades (1) y (2) conectan dos cantidades X Y en de modo que cada valor de uno de ellos ( X ) se pone en correspondencia con un valor bien definido de otra cantidad ( en ).

Si cada valor de la cantidad X corresponde a un valor muy específico en, entonces este valor en llamada función de X. Magnitud X esto se llama argumento de función en.

Así, las fórmulas (1) y (2) definen dos funciones diferentes del argumento. X .

función de argumento X , teniendo la forma

y = ax + b , (3)

Dónde A Y b - algunos números dados se llaman lineal. Un ejemplo de función lineal puede ser cualquiera de las funciones:

y = x + 2 (A = 1, b = 2);
en = - 10 (A = 0, b = - 10);
en = - 3X (A = - 3, b = 0);
en = 0 (a = b = 0).

Como sabes del curso de VIII grado, gráfico de funciones y = ax + b es una linea recta. Por eso esta función se llama lineal.

Recordemos cómo construir la gráfica de una función lineal. y = ax + b .

1. Gráfica de una función y = segundo . En a = 0 función lineal y = ax + b parece y = segundo . Su gráfica es una recta paralela al eje. X y eje de intersección en en un punto con ordenada b . En la Figura 1 ves una gráfica de la función y = 2 ( b > 0), y en la Figura 2 está la gráfica de la función en = - 1 (b < 0).

si no solo A , pero también b es igual a cero, entonces la función y= ax+ b parece en = 0. En este caso su gráfica coincide con el eje X (Fig. 3.)

2. Gráfica de una función y = ah . En b = 0 función lineal y = ax + b parece y = ah .

Si A =/= 0, entonces su gráfica es una recta que pasa por el origen e inclinada respecto al eje X en un angulo φ , cuya tangente es igual a A (Figura 4). Para construir una línea recta y = ah basta encontrar cualquiera de sus puntos distintos del origen de coordenadas. Suponiendo, por ejemplo, en la igualdad y = ah X = 1, obtenemos en = A . Por tanto, el punto M con coordenadas (1; A ) se encuentra en nuestra línea recta (Fig. 4). Ahora trazando una recta que pasa por el origen y el punto M, obtenemos la recta deseada y = hacha .

En la Figura 5, se dibuja una línea recta como ejemplo. en = 2X (A > 0), y en la Figura 6 - recto y = -x (A < 0).

3. Gráfica de una función y = ax + b .

Dejar b > 0. Entonces la recta y = ax + b y = ah en b unidades arriba. Como ejemplo, la Figura 7 muestra la construcción de una línea recta en = X / 2 + 3.

Si b < 0, то прямая y = ax + b obtenido por desplazamiento paralelo de la línea y = ah en - b unidades abajo. Como ejemplo, la Figura 8 muestra la construcción de una línea recta en = X / 2 - 3

Directo y = ax + b se puede construir de otra manera.

Cualquier recta está completamente determinada por sus dos puntos. Por lo tanto, para trazar una gráfica de la función y = ax + b Basta encontrar dos de sus puntos y luego trazar una línea recta a través de ellos. Expliquemos esto usando el ejemplo de la función. en = - 2X + 3.

En X = 0 en = 3, y en X = 1 en = 1. Por lo tanto, dos puntos: M con coordenadas (0; 3) y N con coordenadas (1; 1) - se encuentran en nuestra línea. Marcando estos puntos en el plano de coordenadas y conectándolos con una línea recta (Fig.9), obtenemos una gráfica de la función en = - 2X + 3.

En lugar de los puntos M y N, se podrían, por supuesto, tomar los otros dos puntos. Por ejemplo, como valores X Podríamos elegir no 0 y 1, como arriba, sino 1 y 2,5. Entonces para en obtendríamos los valores 5 y - 2, respectivamente. En lugar de los puntos M y N, tendríamos los puntos P con coordenadas (- 1; 5) y Q con coordenadas (2,5; - 2). Estos dos puntos, así como los puntos M y N, definen completamente la línea deseada. en = - 2X + 3.

Ejercicios

15. Construya gráficas de funciones en la misma figura:

A) en =-4; b) en = -2; V) en = 0; GRAMO) en = 2; mi) en = 4.

¿Estas gráficas intersectan los ejes de coordenadas? Si se cruzan, indique las coordenadas de los puntos de intersección.

16. Construya gráficas de funciones en la misma figura:

A) en = X / 4; b) en = X / 2; V) en =X ; GRAMO) en = 2X ; mi) en = 4X .

17. Construya gráficas de funciones en la misma figura:

A) en = - X / 4; b) en = - X / 2; V) en = - X ; GRAMO) en = - 2X ; mi) en = - 4X .

Construya gráficas de estas funciones (No. 18-21) y determine las coordenadas de los puntos de intersección de estas gráficas con los ejes de coordenadas.

18. en = 3+ X . 20. en = - 4 - X .

19. en = 2X - 2. 21. en = 0,5(1 - 3X ).

22. Grafica una función

en = 2X - 4;

usando este gráfico, averigüe: a) a qué valores x y = 0;

b) ¿a qué valores X valores en negativo y bajo qué condiciones - positivo;

c) ¿a qué valores X cantidades X Y en tener los mismos signos;

d) ¿a qué valores X cantidades X Y en tienen diferentes signos.

23. Escribe las ecuaciones de las rectas presentadas en las Figuras 10 y 11.

24. ¿Cuáles de las leyes físicas que conoces se describen mediante funciones lineales?

25. Cómo graficar una función en = - (hacha + b ), si se da la gráfica de la función y = ax + b ?

Aprenda a tomar derivadas de funciones. La derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un punto determinado que se encuentra en la gráfica de esta función. En este caso, la gráfica puede ser una línea recta o curva. Es decir, la derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un momento específico. Recuerde las reglas generales mediante las cuales se toman las derivadas y solo entonces continúe con el siguiente paso.

• Leer el artículo.
• Se describe cómo tomar las derivadas más simples, por ejemplo, la derivada de una ecuación exponencial. Los cálculos presentados en los siguientes pasos se basarán en los métodos allí descritos.

Aprender a distinguir entre problemas en los que se debe calcular la pendiente mediante la derivada de una función. Los problemas no siempre piden que encuentres la pendiente o la derivada de una función. Por ejemplo, es posible que le pidan que encuentre la tasa de cambio de una función en el punto A(x,y). También te pueden pedir que encuentres la pendiente de la tangente en el punto A(x,y). En ambos casos es necesario tomar la derivada de la función.

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>>Matemáticas: Función lineal y su gráfica

Función lineal y su gráfica.

El algoritmo para construir una gráfica de la ecuación ax + by + c = 0, que formulamos en el § 28, a pesar de su claridad y certeza, no gusta mucho a los matemáticos. Suelen hacer afirmaciones sobre los dos primeros pasos del algoritmo. ¿Por qué, dicen, resolver la ecuación dos veces para la variable y: primero ax1 + by + c = O, luego ax1 + by + c = O? ¿No es mejor expresar inmediatamente y a partir de la ecuación ax + by + c = 0, entonces será más fácil realizar los cálculos (y, lo más importante, más rápido)? Vamos a revisar. Consideremos primero la ecuacion 3x - 2y + 6 = 0 (ver ejemplo 2 del § 28).

Al dar valores específicos de x, es fácil calcular los valores de y correspondientes. Por ejemplo, cuando x = 0 obtenemos y = 3; en x = -2 tenemos y = 0; para x = 2 tenemos y = 6; para x = 4 obtenemos: y = 9.

Verá con qué facilidad y rapidez se encontraron los puntos (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) y (4; 9), que se resaltaron en el ejemplo 2 del § 28.

De la misma manera, la ecuación bx - 2y = 0 (ver ejemplo 4 del § 28) podría transformarse a la forma 2y = 16 -3x. además y = 2,5x; no es difícil encontrar los puntos (0; 0) y (2; 5) que satisfagan esta ecuación.

Finalmente, la ecuación 3x + 2y - 16 = 0 del mismo ejemplo se puede transformar a la forma 2y = 16 -3x y entonces no es difícil encontrar los puntos (0; 0) y (2; 5) que la satisfagan.

Consideremos ahora estas transformaciones en forma general.

Por lo tanto, la ecuación lineal (1) con dos variables xey siempre se puede transformar a la forma
y = kx + m,(2) donde k,m son números (coeficientes), y .

A este tipo particular de ecuación lineal lo llamaremos función lineal.

Usando la igualdad (2), es fácil especificar un valor x específico y calcular el valor y correspondiente. Dejemos, por ejemplo,

y = 2x + 3. Entonces:
si x = 0, entonces y = 3;
si x = 1, entonces y = 5;
si x = -1, entonces y = 1;
si x = 3, entonces y = 9, etc.

Normalmente estos resultados se presentan en la forma mesas:

Los valores de y de la segunda fila de la tabla se denominan valores de la función lineal y = 2x + 3, respectivamente, en los puntos x = 0, x = 1, x = -1, x = - 3.

En la ecuación (1) las variables hnu son iguales, pero en la ecuación (2) no lo son: asignamos valores específicos a una de ellas: la variable x, mientras que el valor de la variable y depende del valor seleccionado de la variable x. Por tanto, solemos decir que x es la variable independiente (o argumento), y es la variable dependiente.

Tenga en cuenta que una función lineal es un tipo especial de ecuación lineal con dos variables. Gráfico de ecuaciones y - kx + m, como cualquier ecuación lineal con dos variables, es una línea recta; también se le llama gráfica de la función lineal y = kx + m. Por tanto, el siguiente teorema es válido.

Ejemplo 1. Construya una gráfica de la función lineal y = 2x + 3.

Solución. Hagamos una tabla:

En la segunda situación, la variable independiente x, que, como en la primera situación, denota el número de días, sólo puede tomar los valores 1, 2, 3, ..., 16. En efecto, si x = 16, luego usando la fórmula y = 500 - 30x encontramos : y = 500 - 30 16 = 20. Esto significa que ya el día 17 no será posible sacar 30 toneladas de carbón del almacén, ya que para este día solo 20 toneladas quedarán en el almacén y habrá que detener el proceso de retirada de carbón. Por tanto, el modelo matemático refinado de la segunda situación queda así:

y = 500 - ZOD:, donde x = 1, 2, 3, .... 16.

En la tercera situación, independiente variable En teoría, x puede tomar cualquier valor no negativo (por ejemplo, valor de x = 0, valor de x = 2, valor de x = 3,5, etc.), pero prácticamente un turista no puede caminar a una velocidad constante sin dormir y descansar cualquier cantidad. de tiempo . Entonces necesitábamos hacer restricciones razonables sobre x, digamos 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Recuerde que el modelo geométrico de la doble desigualdad no estricta 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Acordemos escribir en lugar de la frase "x pertenece al conjunto X" (léase: "el elemento x pertenece al conjunto X", e es el signo de membresía). Como puede ver, nuestro conocimiento del lenguaje matemático continúa constantemente.

Si la función lineal y = kx + m debe considerarse no para todos los valores de x, sino solo para los valores de x de un determinado intervalo numérico X, entonces escriben:

Ejemplo 2. Grafica una función lineal:

Solución, a) Hagamos una tabla para la función lineal y = 2x + 1

Construyamos los puntos (-3; 7) y (2; -3) en el plano de coordenadas xOy y dibujemos una línea recta a través de ellos. Esta es una gráfica de la ecuación y = -2x: + 1. A continuación, seleccione un segmento que conecte los puntos construidos (Fig. 38). Este segmento es la gráfica de la función lineal y = -2x+1, dondexe [-3, 2].

Suelen decir esto: hemos trazado una función lineal y = - 2x + 1 en el segmento [- 3, 2].

b) ¿En qué se diferencia este ejemplo del anterior? La función lineal es la misma (y = -2x + 1), lo que significa que la misma línea recta sirve como gráfica. ¡Pero ten cuidado! - esta vez x e (-3, 2), es decir los valores x = -3 y x = 2 no se consideran, no pertenecen al intervalo (- 3, 2). ¿Cómo marcamos los extremos de un intervalo en una línea de coordenadas? Círculos de luz (Fig. 39), de esto hablamos en el § 26. De manera similar, los puntos (- 3; 7) y B; - 3) habrá que marcarlo en el dibujo con círculos claros. Esto nos recordará que solo se toman aquellos puntos de la recta y = - 2x + 1 que se encuentran entre los puntos marcados con círculos (Fig. 40). Sin embargo, a veces en tales casos se utilizan flechas en lugar de círculos claros (Fig. 41). Esto no es fundamental, lo principal es entender lo que se dice.

Ejemplo 3. Encuentra los valores mayor y menor de una función lineal en el segmento.
Solución. Hagamos una tabla para una función lineal.

Construyamos los puntos (0; 4) y (6; 7) en el plano de coordenadas xOy y dibujemos una línea recta a través de ellos: una gráfica de la función lineal x (Fig. 42).

Necesitamos considerar esta función lineal no como un todo, sino en un segmento, es decir, para x e.

El segmento correspondiente del gráfico está resaltado en el dibujo. Observamos que la ordenada más grande de los puntos que pertenecen a la parte seleccionada es igual a 7; este es el valor más grande de la función lineal en el segmento. Generalmente se utiliza la siguiente notación: y max =7.

Observamos que la ordenada más pequeña de los puntos que pertenecen a la parte de la línea resaltada en la Figura 42 es igual a 4; este es el valor más pequeño de la función lineal en el segmento.
Normalmente se utiliza la siguiente notación: y nombre. = 4.

Ejemplo 4. Encuentra y naib y y naim. para una función lineal y = -1,5x + 3,5

a) en el segmento; b) en el intervalo (1,5);
c) en un medio intervalo.

Solución. Hagamos una tabla para la función lineal y = -l.5x + 3.5:

Construyamos los puntos (1; 2) y (5; - 4) en el plano de coordenadas xOy y dibujemos una línea recta a través de ellos (Fig. 43-47). Seleccionemos en la recta construida la parte correspondiente a los valores de x del segmento (Fig.43), del intervalo A, 5) (Fig.44), del medio intervalo (Fig.47).

a) Usando la Figura 43, es fácil concluir que y max = 2 (la función lineal alcanza este valor en x = 1), y y min. = - 4 (la función lineal alcanza este valor en x = 5).

b) Usando la Figura 44, concluimos: esta función lineal no tiene ni el valor más grande ni el más pequeño en un intervalo dado. ¿Por qué? El caso es que, a diferencia del caso anterior, se excluyen de la consideración ambos extremos del segmento en el que se alcanzaron los valores mayor y menor.

c) Utilizando la Figura 45, concluimos que y máx. = 2 (como en el primer caso), y la función lineal no tiene un valor mínimo (como en el segundo caso).

d) Utilizando la Figura 46, concluimos: y max = 3,5 (la función lineal alcanza este valor en x = 0), e y max. no existe.

e) Usando la Figura 47, concluimos: y max = -1 (la función lineal alcanza este valor en x = 3), y y max.

Ejemplo 5. Graficar una función lineal

y = 2x - 6. Usa la gráfica para responder las siguientes preguntas:

a) ¿a qué valor de x será y = 0?
b) ¿para qué valores de x será y > 0?
c) ¿a qué valores de x será y< 0?

Solución Hagamos una tabla para la función lineal y = 2x-6:

A través de los puntos (0; - 6) y (3; 0) trazamos una línea recta: la gráfica de la función y = 2x - 6 (Fig. 48).

a) y = 0 en x = 3. La gráfica corta el eje x en el punto x = 3, este es el punto con ordenada y = 0.
b) y > 0 para x > 3. De hecho, si x > 3, entonces la recta está situada encima del eje x, lo que significa que las ordenadas de los puntos correspondientes de la recta son positivas.

gato< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Tenga en cuenta que en este ejemplo utilizamos la gráfica para resolver:

a) ecuación 2x ​​- 6 = 0 (obtuvimos x = 3);
b) desigualdad 2x - 6 > 0 (obtuvimos x > 3);
c) desigualdad 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Comentario. En ruso, el mismo objeto a menudo se llama de manera diferente, por ejemplo: "casa", "edificio", "estructura", "cabaña", "mansión", "cuartel", "choza", "cabaña". En lenguaje matemático la situación es aproximadamente la misma. Digamos, una igualdad con dos variables y = kx + m, donde k, m son números específicos, se puede llamar función lineal, se puede llamar ecuación lineal con dos variables x e y (o con dos incógnitas x e y), se puede llamar fórmula, se puede llamar relación que conecta xey, finalmente se puede llamar dependencia entre xey. Esto no importa, lo principal es entender que en todos los casos estamos hablando del modelo matemático y = kx + m

.

Considere la gráfica de la función lineal que se muestra en la Figura 49, a. Si nos movemos a lo largo de este gráfico de izquierda a derecha, entonces las ordenadas de los puntos en el gráfico aumentan todo el tiempo, como si estuviéramos "subiendo una colina". En tales casos, los matemáticos usan el término aumento y dicen esto: si k>0, entonces la función lineal y = kx + m aumenta.

Considere la gráfica de la función lineal que se muestra en la Figura 49, b. Si nos movemos a lo largo de este gráfico de izquierda a derecha, entonces las ordenadas de los puntos en el gráfico disminuyen todo el tiempo, como si estuviéramos "bajando una colina". En tales casos, los matemáticos usan el término disminución y dicen esto: si k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Función lineal en la vida.

Ahora resumamos este tema. Ya nos hemos familiarizado con el concepto de función lineal, conocemos sus propiedades y aprendimos a construir gráficas. Además, consideró casos especiales de funciones lineales y aprendió de qué depende la posición relativa de las gráficas de funciones lineales. Pero resulta que en nuestra vida cotidiana también nos cruzamos constantemente con este modelo matemático.

Pensemos en qué situaciones de la vida real están asociadas con un concepto como funciones lineales. Y además, ¿entre qué cantidades o situaciones de la vida es posible establecer una relación lineal?

Muchos de ustedes probablemente no entiendan muy bien por qué necesitan estudiar funciones lineales, porque es poco probable que les resulte útil en el futuro. Pero aquí estás profundamente equivocado, porque encontramos funciones todo el tiempo y en todas partes. Porque incluso un alquiler mensual regular también es una función que depende de muchas variables. Y estas variables incluyen metros cuadrados, número de residentes, tarifas, uso de electricidad, etc.

Por supuesto, los ejemplos más comunes de funciones de dependencia lineal que hemos encontrado se encuentran en las lecciones de matemáticas.

Tú y yo resolvimos problemas en los que encontrábamos las distancias recorridas por automóviles, trenes o peatones a cierta velocidad. Estas son funciones lineales del tiempo de movimiento. Pero estos ejemplos son aplicables no sólo en matemáticas, sino que también están presentes en nuestra vida cotidiana.

El contenido calórico de los productos lácteos depende del contenido de grasa y dicha dependencia suele ser una función lineal. Por ejemplo, cuando aumenta el porcentaje de grasa en la crema agria, también aumenta el contenido calórico del producto.

Ahora hagamos los cálculos y encontremos los valores de k y b resolviendo el sistema de ecuaciones:

Ahora derivemos la fórmula de dependencia:

Como resultado, obtuvimos una relación lineal.

Para conocer la velocidad de propagación del sonido en función de la temperatura, es posible averiguarla mediante la fórmula: v = 331 +0,6t, donde v es la velocidad (en m/s), t es la temperatura. Si dibujamos una gráfica de esta relación, veremos que será lineal, es decir, representará una línea recta.

Y estos usos prácticos del conocimiento en la aplicación de la dependencia funcional lineal pueden enumerarse durante mucho tiempo. Empezando por las cargas telefónicas, la longitud y el crecimiento del cabello, e incluso los refranes de la literatura. Y esta lista sigue y sigue.

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A. V. Pogorelov, Geometría para los grados 7-11, Libro de texto para instituciones educativas

1) Dominio de función y rango de función.

El dominio de una función es el conjunto de todos los valores válidos de los argumentos válidos. X(variable X), para lo cual la función y = f(x) determinado. El rango de una función es el conjunto de todos los valores reales. y, que la función acepta.

En matemáticas elementales, las funciones se estudian únicamente en el conjunto de los números reales.

2) Función ceros.

La función cero es el valor del argumento en el que el valor de la función es igual a cero.

3) Intervalos de signo constante de una función.

Los intervalos de signo constante de una función son conjuntos de valores de argumentos en los que los valores de la función son solo positivos o solo negativos.

4) Monotonicidad de la función..

Una función creciente (en un intervalo determinado) es una función en la que un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor mayor de la función.

Una función decreciente (en un intervalo determinado) es una función en la que un valor mayor del argumento de este intervalo corresponde a un valor menor de la función.

5) Función par (impar).

Una función par es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier X desde el dominio de la definición la igualdad f(-x) = f(x). La gráfica de una función par es simétrica con respecto a la ordenada.

Una función impar es una función cuyo dominio de definición es simétrico con respecto al origen y para cualquier X desde el dominio de la definición la igualdad es verdadera f(-x) = -f(x)). La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen.

6) Funciones limitadas e ilimitadas.

Una función se dice acotada si existe un número positivo M tal que |f(x)| ≤ M para todos los valores de x. Si tal número no existe, entonces la función es ilimitada.

7) Periodicidad de la función.

Una función f(x) es periódica si existe un número T distinto de cero tal que para cualquier x del dominio de definición de la función se cumple lo siguiente: f(x+T) = f(x). Este número más pequeño se llama período de la función. Todas las funciones trigonométricas son periódicas. (Fórmulas trigonométricas).

19. Funciones elementales básicas, sus propiedades y gráficas. Aplicación de funciones en economía.

Funciones elementales básicas. Sus propiedades y gráficas.

1. Función lineal.

Función lineal se llama función de la forma , donde x es una variable, a y b son números reales.

Número A llamada pendiente de la recta, es igual a la tangente del ángulo de inclinación de esta recta a la dirección positiva del eje x. La gráfica de una función lineal es una línea recta. Está definido por dos puntos.

Propiedades de una función lineal

1. Dominio de definición: el conjunto de todos los números reales: D(y)=R

2. El conjunto de valores es el conjunto de todos los números reales: E(y)=R

3. La función toma un valor cero cuando o.

4. La función aumenta (disminuye) en todo el dominio de definición.

5. Una función lineal es continua en todo el dominio de definición, diferenciable y .

2. Función cuadrática.

Una función de la forma, donde x es una variable y los coeficientes a, b, c son números reales, se llama cuadrático