Lo que se llama momento de fuerza con respecto al eje de rotación. Momento de poder

En esta lección, cuyo tema es "Momento de fuerza", hablaremos sobre la fuerza que se debe aplicar a un cuerpo para cambiar su velocidad, así como el punto de aplicación de esta fuerza. Veamos ejemplos de rotación de diferentes cuerpos, por ejemplo un columpio: en qué punto se debe aplicar una fuerza para que el columpio comience a moverse o se mantenga en equilibrio.

Imagina que eres un jugador de fútbol y tienes un balón de fútbol frente a ti. Para hacerlo volar, debes golpearlo. Es simple: cuanto más fuerte golpees, más rápido y más lejos volará, y lo más probable es que golpees el centro de la pelota (ver Fig. 1).

Y para que la pelota gire en vuelo y vuele en una trayectoria curva, no golpearás el centro de la pelota, sino desde el costado, que es lo que hacen los futbolistas para engañar a sus oponentes (ver Fig. 2).

Arroz. 2. Trayectoria curva de la pelota

Aquí ya es importante a qué punto llegar.

Otra pregunta sencilla: ¿en qué lugar hay que coger el palo para que no se vuelque al levantarlo? Si la barra es uniforme en grosor y densidad, entonces la cogeremos por el medio. ¿Qué pasa si es más masivo en un extremo? Luego lo acercaremos al borde macizo, de lo contrario pesará más (ver Fig. 3).

Arroz. 3. Punto de elevación

Imagínese: papá estaba sentado en un columpio (ver Fig. 4).

Arroz. 4. Balanceo del equilibrio

Para compensarlo, te sentarás en el columpio más cerca del extremo opuesto.

En todos los ejemplos dados, para nosotros era importante no sólo actuar sobre el cuerpo con cierta fuerza, sino también en qué lugar, en qué punto del cuerpo actuar. Elegimos este punto al azar, basándonos en la experiencia de vida. ¿Qué pasa si hay tres pesos diferentes en el palo? ¿Qué pasa si lo levantan juntos? ¿Y si hablamos de una grúa o de un puente atirantado (ver Fig. 5)?

Arroz. 5. Ejemplos de la vida

Para resolver este tipo de problemas no basta la intuición y la experiencia. Sin una teoría clara, ya no se pueden resolver. Hoy hablaremos sobre cómo resolver tales problemas.

Habitualmente en los problemas tenemos un cuerpo al que se aplican fuerzas, y los resolvemos, como siempre antes, sin pensar en el punto de aplicación de la fuerza. Basta saber que la fuerza se aplica simplemente al cuerpo. Estos problemas ocurren a menudo, sabemos cómo resolverlos, pero sucede que no basta con aplicar fuerza al cuerpo: es importante en qué momento.

Un ejemplo de un problema en el que el tamaño corporal no es importante

Por ejemplo, hay una pequeña bola de hierro sobre la mesa, que está sujeta a una fuerza gravitacional de 1 N. ¿Qué fuerza se debe aplicar para levantarla? La pelota es atraída por la Tierra, actuaremos hacia arriba sobre ella, aplicando algo de fuerza.

Las fuerzas que actúan sobre la pelota están dirigidas en direcciones opuestas y, para levantar la pelota, es necesario actuar sobre ella con una fuerza mayor que la fuerza de gravedad (ver Fig. 6).

Arroz. 6. Fuerzas que actúan sobre la pelota.

La fuerza de gravedad es igual a , lo que significa que la pelota debe ser impulsada hacia arriba con una fuerza:

No pensamos en cómo exactamente tomamos la pelota, simplemente la tomamos y la levantamos. Cuando mostramos cómo levantamos la pelota, podemos dibujar fácilmente un punto y mostrar: actuamos sobre la pelota (ver Fig. 7).

Arroz. 7. Acción sobre el balón

Cuando podemos hacer esto con un cuerpo, mostrarlo en un dibujo al explicarlo en forma de punto y no fijarnos en su tamaño y forma, lo consideramos un punto material. Este es un modelo. En realidad, la pelota tiene forma y dimensiones, pero en este problema no les prestamos atención. Si es necesario hacer girar la misma bola, entonces ya no es posible decir simplemente que estamos influyendo en la bola. Lo importante aquí es que empujamos la bola desde el borde y no hacia el centro, provocando que gire. En este problema, la misma bola ya no puede considerarse un punto.

Ya conocemos ejemplos de problemas en los que es necesario tener en cuenta el punto de aplicación de la fuerza: un problema con un balón de fútbol, ​​con un palo no uniforme, con un swing.

El punto de aplicación de la fuerza también es importante en el caso de una palanca. Con una pala actuamos sobre el extremo del mango. Entonces basta con aplicar una pequeña fuerza (ver Fig. 8).

Arroz. 8. Acción de baja fuerza en el mango de la pala.

¿Qué tienen en común los ejemplos considerados donde es importante para nosotros tener en cuenta el tamaño del cuerpo? Y una pelota, un palo, un columpio y una pala; en todos estos casos estábamos hablando de la rotación de estos cuerpos alrededor de un eje determinado. La pelota giraba alrededor de su eje, el columpio giraba alrededor del soporte, el palo alrededor del lugar donde lo sosteníamos, la pala alrededor del fulcro (ver Fig. 9).

Arroz. 9. Ejemplos de cuerpos giratorios.

Consideremos la rotación de los cuerpos alrededor de un eje fijo y veamos qué hace que el cuerpo gire. Consideremos la rotación en un plano, luego podemos suponer que el cuerpo gira alrededor de un punto O (ver Fig. 10).

Arroz. 10. Punto de pivote

Si queremos equilibrar un columpio cuya viga es de vidrio y delgada, entonces simplemente puede romperse, y si la viga es de metal blando y además delgada, puede doblarse (ver Fig. 11).

No consideraremos tales casos; Consideraremos la rotación de cuerpos rígidos fuertes.

Sería incorrecto decir que el movimiento de rotación está determinado únicamente por la fuerza. Al fin y al cabo, en un columpio, la misma fuerza puede hacer que gire, o no, dependiendo de dónde nos sentemos. No es sólo una cuestión de fuerza, sino también de la ubicación del punto sobre el que actuamos. Todo el mundo sabe lo difícil que es levantar y sostener una carga con el brazo extendido. Para determinar el punto de aplicación de la fuerza, se introduce el concepto de hombro de fuerza (por analogía con el hombro de la mano con la que se levanta una carga).

El brazo de una fuerza es la distancia mínima desde un punto dado hasta la línea recta a lo largo de la cual actúa la fuerza.

Probablemente ya sepa por geometría que se trata de una perpendicular que cae desde el punto O a una línea recta a lo largo de la cual actúa la fuerza (ver Fig. 12).

Arroz. 12. Representación gráfica del apalancamiento

¿Por qué el brazo de una fuerza está a la distancia mínima desde el punto O hasta la línea recta a lo largo de la cual actúa la fuerza?

Puede parecer extraño que el brazo de una fuerza se mida desde el punto O no hasta el punto de aplicación de la fuerza, sino hasta la línea recta a lo largo de la cual actúa esta fuerza.

Hagamos el siguiente experimento: ate un hilo a la palanca. Actuemos sobre la palanca con algo de fuerza en el punto donde se ata el hilo (ver Fig. 13).

Arroz. 13. El hilo está atado a la palanca.

Si se crea suficiente torque para girar la palanca, ésta girará. El hilo mostrará una línea recta a lo largo de la cual se dirige la fuerza (ver Fig. 14).

Intentemos tirar de la palanca con la misma fuerza, pero ahora sujetando el hilo. Nada cambiará en el efecto sobre la palanca, aunque sí cambiará el punto de aplicación de la fuerza. Pero la fuerza actuará a lo largo de la misma línea recta, su distancia al eje de rotación, es decir, el brazo de la fuerza, seguirá siendo la misma. Intentemos operar la palanca en ángulo (ver Fig. 15).

Arroz. 15. Acción sobre la palanca en ángulo.

Ahora la fuerza se aplica al mismo punto, pero actúa a lo largo de una línea diferente. Su distancia al eje de rotación se ha vuelto pequeña, el momento de fuerza ha disminuido y es posible que la palanca ya no gire.

El cuerpo está sometido a una influencia encaminada a la rotación, a hacer girar el cuerpo. Este impacto depende de la fuerza y ​​su apalancamiento. La cantidad que caracteriza el efecto rotacional de la fuerza sobre un cuerpo se llama momento de poder, a veces también llamado par o torsión.

El significado de la palabra "momento".

Estamos acostumbrados a utilizar la palabra “momento” para referirnos a un período de tiempo muy corto, como sinónimo de la palabra “momento” o “momento”. Entonces no queda del todo claro qué relación tiene el momento con la fuerza. Vayamos al origen de la palabra "momento".

La palabra proviene del latín impulso, que significa “fuerza impulsora, empuje”. El verbo latino movēre significa “mover” (al igual que la palabra inglesa move, y movimiento significa “movimiento”). Ahora nos queda claro que el par es lo que hace que un cuerpo gire.

El momento de una fuerza es el producto de la fuerza por su brazo.

La unidad de medida es newton multiplicado por metro: .

Si aumenta el brazo de fuerza, puede disminuir la fuerza y ​​el momento de fuerza seguirá siendo el mismo. Esto lo utilizamos muy a menudo en la vida cotidiana: cuando abrimos una puerta, cuando utilizamos unos alicates o una llave inglesa.

Queda el último punto de nuestro modelo: debemos descubrir qué hacer si varias fuerzas actúan sobre el cuerpo. Podemos calcular el momento de cada fuerza. Está claro que si las fuerzas hacen girar el cuerpo en una dirección, entonces sus acciones se sumarán (ver Fig. 16).

Arroz. 16. La acción de las fuerzas suma

Si son en direcciones diferentes, los momentos de fuerza se equilibrarán entre sí y es lógico que sea necesario restarlos. Por tanto, escribiremos los momentos de fuerzas que hacen girar el cuerpo en diferentes direcciones con diferentes signos. Por ejemplo, anotemos si la fuerza supuestamente gira el cuerpo alrededor de su eje en el sentido de las agujas del reloj y si gira en el sentido contrario a las agujas del reloj (ver Fig. 17).

Arroz. 17. Definición de signos.

Entonces podemos escribir una cosa importante: Para que un cuerpo esté en equilibrio la suma de los momentos de las fuerzas que actúan sobre él debe ser igual a cero..

Fórmula de apalancamiento

Ya conocemos el principio de funcionamiento de una palanca: sobre la palanca actúan dos fuerzas, y cuanto mayor es el brazo de palanca, menor es la fuerza:

Consideremos los momentos de fuerzas que actúan sobre la palanca.

Elijamos un sentido de rotación positivo de la palanca, por ejemplo en el sentido contrario a las agujas del reloj (ver Fig. 18).

Arroz. 18. Seleccionar el sentido de rotación

Entonces el momento de fuerza tendrá un signo más y el momento de fuerza tendrá un signo menos. Para que la palanca esté en equilibrio, la suma de los momentos de fuerzas debe ser igual a cero. Anotemos:

Matemáticamente, esta igualdad y la relación escrita arriba para la palanca son la misma, y ​​se confirmó lo que obtuvimos experimentalmente.

Por ejemplo, Determinemos si la palanca que se muestra en la figura estará en equilibrio. Sobre él actúan tres fuerzas.(ver figura 19) . , Y. Los hombros de fuerzas son iguales., Y.

Arroz. 19. Dibujo para el problema 1

Para que la palanca esté en equilibrio, la suma de los momentos de fuerzas que actúan sobre ella debe ser igual a cero.

Según la condición, sobre la palanca actúan tres fuerzas: , y . Sus hombros son respectivamente iguales a y .

El sentido de giro de la palanca en el sentido de las agujas del reloj se considerará positivo. En esta dirección la palanca gira mediante una fuerza, su momento es igual a:

Las fuerzas y giramos la palanca en sentido antihorario; escribimos sus momentos con un signo menos:

Queda por calcular la suma de los momentos de fuerzas:

El momento total no es igual a cero, lo que significa que el cuerpo no estará en equilibrio. El momento total es positivo, lo que significa que la palanca girará en el sentido de las agujas del reloj (en nuestro problema esta es la dirección positiva).

Resolvimos el problema y obtuvimos el resultado: el momento total de las fuerzas que actúan sobre la palanca es igual a . La palanca comenzará a girar. Y cuando gira, si las fuerzas no cambian de dirección, los hombros de las fuerzas cambiarán. Disminuirán hasta llegar a cero cuando la palanca se gire verticalmente (ver Fig. 20).

Arroz. 20. Las fuerzas del hombro son cero.

Y con una mayor rotación, las fuerzas se dirigirán para girarlo en la dirección opuesta. Por lo tanto, una vez resuelto el problema, determinamos en qué dirección comenzaría a girar la palanca, sin mencionar lo que sucedería a continuación.

Ahora has aprendido a determinar no solo la fuerza con la que es necesario actuar sobre el cuerpo para cambiar su velocidad, sino también el punto de aplicación de esta fuerza para que no gire (o gire, como necesitamos).

¿Cómo empujar un mueble sin que se vuelque?

Sabemos que cuando empujamos un mueble con fuerza por arriba se volcará, y para evitar que esto suceda lo empujamos hacia abajo. Ahora podemos explicar este fenómeno. El eje de su rotación está ubicado en el borde sobre el que se apoya, mientras que los hombros de todas las fuerzas, excepto la fuerza, son pequeños o iguales a cero, por lo tanto, bajo la influencia de la fuerza, el gabinete cae (ver Fig. 21).

Arroz. 21. Acción en la parte superior del gabinete.

Al aplicar una fuerza desde abajo, reducimos su hombro, lo que significa que el momento de esta fuerza y ​​​​no se produce el vuelco (ver Fig. 22).

Arroz. 22. Fuerza aplicada debajo

El armario como cuerpo, cuyas dimensiones tenemos en cuenta, obedece a la misma ley que una llave inglesa, un tirador de puerta, puentes sobre soportes, etc.

Esto concluye nuestra lección. ¡Gracias por su atención!

Bibliografía

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Tarea

El momento de una fuerza con respecto a un eje, o simplemente el momento de la fuerza, es la proyección de una fuerza sobre una línea recta, perpendicular al radio y trazada en el punto de aplicación de la fuerza, multiplicada por la distancia desde este punto al eje. O el producto de la fuerza y ​​el hombro de su aplicación. El hombro en este caso es la distancia desde el eje hasta el punto de aplicación de la fuerza. El momento de fuerza caracteriza la acción rotacional de una fuerza sobre un cuerpo. El eje en este caso es el lugar donde está unido el cuerpo, alrededor del cual puede girar. Si el cuerpo no está fijo, entonces el eje de rotación puede considerarse el centro de masa.

Fórmula 1 - Momento de fuerza.

F - Fuerza que actúa sobre el cuerpo.

r - Apalancamiento de la fuerza.

Figura 1 - Momento de fuerza.

Como puede verse en la figura, el brazo de fuerza es la distancia desde el eje hasta el punto de aplicación de la fuerza. Pero esto es así si el ángulo entre ellos es de 90 grados. Si este no es el caso, entonces es necesario trazar una línea a lo largo de la acción de la fuerza y ​​bajar una perpendicular desde el eje hacia ella. La longitud de esta perpendicular será igual al brazo de la fuerza. Pero mover el punto de aplicación de una fuerza a lo largo de la dirección de la fuerza no cambia su momento.

Generalmente se acepta que un momento de fuerza que hace que un cuerpo gire en el sentido de las agujas del reloj con respecto al punto de observación se considera positivo. Y negativo, respectivamente, provocando rotación en su contra. El momento de fuerza se mide en Newtons por metro. Un Newtonómetro es una fuerza de 1 Newton que actúa sobre un brazo de 1 metro.

Si la fuerza que actúa sobre el cuerpo pasa a lo largo de una línea que pasa por el eje de rotación del cuerpo, o el centro de masa, si el cuerpo no tiene eje de rotación. Entonces el momento de fuerza en este caso será igual a cero. Dado que esta fuerza no provocará la rotación del cuerpo, sino que simplemente lo moverá traslacionalmente a lo largo de la línea de aplicación.

Figura 2 - El momento de fuerza es cero.

Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, el momento de fuerza estará determinado por su resultante. Por ejemplo, sobre un cuerpo pueden actuar dos fuerzas de igual magnitud y direcciones opuestas. En este caso, el momento total de fuerza será igual a cero. Dado que estas fuerzas se compensarán entre sí. En pocas palabras, imaginemos un carrusel para niños. Si un niño lo empuja en el sentido de las agujas del reloj y el otro con la misma fuerza contra él, el carrusel permanecerá inmóvil.

En física, los problemas con cuerpos en rotación o sistemas que están en equilibrio se consideran utilizando el concepto de "momento de fuerza". Este artículo analizará la fórmula del torque y cómo se puede usar para resolver este tipo de problema.

en física

Como se señaló en la introducción, este artículo analizará sistemas que pueden girar alrededor de un eje o alrededor de un punto. Consideremos un ejemplo de dicho modelo que se muestra en la siguiente figura.

Vemos que la palanca gris está fijada al eje de rotación. Al final de la palanca hay un cubo negro de cierta masa que está sujeto a una fuerza (flecha roja). Está intuitivamente claro que el resultado de esta fuerza será la rotación de la palanca alrededor de su eje en sentido antihorario.

El momento de fuerza es una cantidad en física que es igual al producto vectorial del radio que conecta el eje de rotación y el punto de aplicación de la fuerza (vector verde en la figura), y la fuerza externa misma. Es decir, la fuerza relativa al eje se escribe de la siguiente manera:

El resultado de este producto será el vector M¯. Su dirección se determina basándose en el conocimiento de los vectores multiplicadores, es decir, r¯ y F¯. Según la definición de producto cruz, M¯ debe ser perpendicular al plano formado por los vectores r¯ y F¯, y dirigido de acuerdo con la regla de la mano derecha (si los cuatro dedos de la mano derecha se colocan a lo largo del primer vector multiplicado hacia el final del segundo, luego el pulgar extendido hacia arriba indicará hacia dónde se dirige el vector deseado). En la figura puedes ver hacia dónde se dirige el vector M¯ (flecha azul).

Forma escalar de notación M¯

En la figura del párrafo anterior, la fuerza (flecha roja) actúa sobre la palanca en un ángulo de 90o. En general, se puede aplicar absolutamente en cualquier ángulo. Considere la imagen a continuación.

Aquí vemos que la fuerza F ya actúa sobre la palanca L en un cierto ángulo Φ. Para este sistema, la fórmula para el momento de fuerza con respecto a un punto (mostrado por una flecha) en forma escalar tomará la forma:

M = L * F * pecado(Φ)

De la expresión se deduce que el momento de la fuerza M será mayor cuanto más cerca esté la dirección de acción de la fuerza F al ángulo de 90 o con respecto a L. Por el contrario, si F actúa a lo largo de L, entonces sin(0 ) = 0, y la fuerza no crea ningún momento ( M = 0).

Cuando se considera el momento de fuerza en forma escalar, a menudo se utiliza el concepto de “palanca de fuerza”. Esta cantidad representa la distancia entre el eje (el punto de rotación) y el vector F. Aplicando esta definición a la figura anterior, podemos decir que d = L * sin(Φ) es la palanca de fuerza (la igualdad se sigue de la definición de la función trigonométrica "seno"). Usando la palanca de fuerza, la fórmula para el momento M se puede reescribir de la siguiente manera:

Significado físico de la cantidad M

La cantidad física considerada determina la capacidad de la fuerza externa F para ejercer un efecto de rotación sobre el sistema. Para que un cuerpo entre en movimiento de rotación, es necesario que se le imparta un cierto momento M.

Un ejemplo sorprendente de este proceso es abrir o cerrar la puerta de una habitación. Sosteniendo la manija, una persona aplica fuerza y ​​gira la puerta sobre sus bisagras. Todo el mundo puede hacer esto. Si intenta abrir la puerta actuando sobre ella cerca de las bisagras, deberá hacer un gran esfuerzo para moverla.

Otro ejemplo es desenroscar una tuerca con una llave. Cuanto más corta sea esta clave, más difícil será completar la tarea.

Estas características quedan demostradas por la fórmula para el momento de fuerza a través del hombro, que se dio en el párrafo anterior. Si M se considera un valor constante, entonces cuanto menor sea d, mayor será F para crear un momento de fuerza dado.

Varias fuerzas actuantes en el sistema.

Hemos discutido casos anteriores en los que solo una fuerza F actúa sobre un sistema capaz de girar, pero ¿qué hacer cuando hay varias de esas fuerzas? De hecho, esta situación es más frecuente, ya que sobre el sistema pueden actuar fuerzas de diversa naturaleza (gravitacional, eléctrica, de fricción, mecánica y otras). En todos estos casos, el momento de fuerza resultante M¯ se puede obtener utilizando la suma vectorial de todos los momentos M i ¯, es decir:

M¯ = ∑ i (M i ¯), donde i es el número de fuerza F i

Una conclusión importante se desprende de la propiedad de la aditividad de los momentos, que se llama teorema de Varignon, que lleva el nombre del matemático de finales del siglo XVII y principios del XVIII, Pierre Varignon. Dice: "La suma de los momentos de todas las fuerzas que influyen en el sistema considerado se puede representar como el momento de una fuerza, que es igual a la suma de todas las demás y se aplica a un punto determinado". Matemáticamente, el teorema se puede escribir de la siguiente manera:

∑ yo (M yo ¯) = M¯ = re * ∑ yo (F yo ¯)

Este importante teorema se utiliza a menudo en la práctica para resolver problemas relacionados con la rotación y el equilibrio de los cuerpos.

¿Funciona un momento de fuerza?

Analizando las fórmulas dadas en forma escalar o vectorial, podemos llegar a la conclusión de que la cantidad M es algún tipo de trabajo. De hecho, su dimensión es N*m, que en el SI corresponde a julios (J). De hecho, el momento de fuerza no es trabajo, sino sólo una cantidad que es capaz de realizarlo. Para que esto suceda, es necesario que exista un movimiento circular en el sistema y una acción de larga duración M. Por lo tanto, la fórmula para el trabajo del momento de fuerza se escribe de la siguiente forma:

En esta expresión, θ es el ángulo a través del cual se realizó la rotación por el momento de fuerza M. Como resultado, la unidad de trabajo se puede escribir como N*m*rad o J*rad. Por ejemplo, un valor de 60 J*rad indica que al girar 1 radian (aproximadamente 1/3 de un círculo), la fuerza F que crea el momento M realizó 60 julios de trabajo. Esta fórmula se utiliza a menudo al resolver problemas en sistemas donde actúan fuerzas de fricción, como se mostrará a continuación.

Momento de fuerza y ​​momento de impulso.

Como se ha demostrado, la acción de un momento M sobre el sistema provoca la aparición de un movimiento de rotación en el mismo. Este último se caracteriza por una cantidad llamada “momento angular”. Se puede calcular mediante la fórmula:

Aquí I es el momento de inercia (una cantidad que juega el mismo papel durante la rotación que la masa durante el movimiento lineal de un cuerpo), ω es la velocidad angular, está relacionada con la velocidad lineal mediante la fórmula ω = v/r.

Ambos momentos (momento y fuerza) están relacionados entre sí mediante la siguiente expresión:

M = I * α, donde α = dω / dt - aceleración angular.

Presentemos otra fórmula que es importante para resolver problemas que involucran el trabajo de momentos de fuerzas. Con esta fórmula, puedes calcular la energía cinética de un cuerpo en rotación. Se parece a esto:

Equilibrio multicuerpo

El primer problema está relacionado con el equilibrio de un sistema en el que actúan varias fuerzas. La siguiente figura muestra un sistema sujeto a tres fuerzas. Es necesario calcular cuánta masa se necesita suspender un objeto de esta palanca y en qué punto se debe hacer esto para que este sistema esté en equilibrio.

De las condiciones del problema se puede entender que para resolverlo se debe utilizar el teorema de Varignon. La primera parte del problema se puede responder de inmediato, ya que el peso del objeto que se debe suspender de la palanca será igual a:

P = F 1 - F 2 + F 3 = 20 - 10 + 25 = 35 norte

Los signos aquí se eligen teniendo en cuenta el hecho de que una fuerza que gira una palanca en sentido antihorario crea un par negativo.

La posición del punto d, donde se debe suspender este peso, se calcula mediante la fórmula:

M 1 - M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 - 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 m

Tenga en cuenta que utilizando la fórmula para el momento de gravedad, calculamos el valor equivalente de M al creado por las tres fuerzas. Para que el sistema esté en equilibrio, es necesario suspender un cuerpo que pesa 35 N en un punto a 4,714 m del eje al otro lado de la palanca.

Problema de disco en movimiento

La solución al siguiente problema se basa en el uso de la fórmula para el momento de fuerza de fricción y la energía cinética de un cuerpo de revolución. Problema: dado un disco de radio r = 0,3 metros, que gira a una velocidad de ω = 1 rad/s. Es necesario calcular qué distancia puede recorrer a lo largo de la superficie si el coeficiente de fricción de rodadura es μ = 0,001.

Este problema es más fácil de resolver si utilizas la ley de conservación de la energía. Tenemos la energía cinética inicial del disco. Cuando comienza a rodar, toda esta energía se gasta en calentar la superficie debido a la acción de la fricción. Igualando ambas cantidades obtenemos la expresión:

I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

La primera parte de la fórmula es la energía cinética del disco. La segunda parte es el trabajo del momento de fuerza de fricción F = μ * N/r aplicado al borde del disco (M=F * r).

Considerando que N = m * g y I = 1/2m * r 2, calculamos θ:

θ = m * r 2 * ω 2 /(4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 /(4 * μ *g) = 0,3 2 * 1 2 /(4 * 0,001 * 9,81 ) = 2,29358 rad

Dado que 2pi radianes corresponden a una longitud de 2pi * r, entonces encontramos que la distancia requerida que recorrerá el disco es:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 mo aproximadamente 69 cm

Tenga en cuenta que la masa del disco no afecta este resultado de ninguna manera.

Tema 3. Ley de conservación del momento angular.

Momento de poder. Momento de impulso de un punto material y un sistema mecánico. Ecuación de momentos de un sistema mecánico. Ley de conservación del momento angular de un sistema mecánico.

Información matemática.

Ilustraciones vectoriales dos vectores (distintos de cero) y se llama vector, que en el sistema de coordenadas cartesiano (con vectores unitarios , , ) está determinado por la fórmula

.

Valor (área del rectángulo sobre los vectores y).

Propiedades de un producto vectorial.

1) El vector se dirige perpendicular al plano de los vectores y. Por lo tanto, para cualquier vector que se encuentre en el plano de vectores (linealmente independientes) y (es decir), obtenemos . Por lo tanto, si dos vectores distintos de cero y paralelo, Eso .

2) La derivada temporal del producto vectorial es un vector. .

De hecho, (los vectores base , , son constantes)

Vector de impulso

Vector de momento El impulso relativo al punto O se llama vector.

donde está el vector de radio del punto O, es el vector de impulso del punto. El vector se dirige perpendicular al plano de los vectores y . El punto O a veces se llama polo. Encontremos la derivada del vector del momento angular con respecto al tiempo.

.

El primer término del lado derecho: . Dado que en el sistema de referencia inercial según la segunda ley de Newton (en forma de impulso), el segundo término tiene la forma .

Magnitud llamado vector momento de fuerza respecto al punto O.

Finalmente conseguimos :

la derivada del vector del momento angular con respecto a un punto es igual al momento de las fuerzas que actúan con respecto a este punto.

Propiedades del vector momento de fuerza.

.

3) El momento de la suma de fuerzas es igual a la suma de los momentos de cada una de las fuerzas. .

4) Suma de momentos de fuerzas relativas a un punto.

al pasar a otro punto O 1, en el que cambiará según la regla

.

Por tanto, el momento de fuerza no cambiará si .

5) Deja , donde , entonces .

Por lo tanto, si dos lo mismo la fuerza miente en una línea recta, entonces sus momentos lo mismo. Esta línea se llama línea de acción de la fuerza. La longitud del vector se llama brazo de la fuerza con respecto a puntos ACERCA DE.

Momento de fuerza respecto al eje.

Como se desprende de la definición de momento de fuerza, las coordenadas de los momentos vectoriales de fuerza con respecto a los ejes de coordenadas están determinadas por las fórmulas

, , .

Consideremos un método para encontrar el momento de fuerza relativo a alguno eje Z Para hacer esto, debemos considerar el vector del momento de fuerza con respecto a un cierto punto O en este eje y encuentre la proyección del vector fuerza momento sobre este eje.

1) La proyección del vector fuerza momento sobre el eje z no depende de la elección del punto O.

Tomemos dos puntos diferentes O 1 y O 2 en el eje z y encontremos los momentos de fuerza F con respecto a estos puntos.

diferencia vectorial se dirige perpendicular al vector que se encuentra en el eje z. Por lo tanto, si consideramos el vector unitario del eje z – vector, entonces las proyecciones sobre el eje z son iguales entre sí.

Por lo tanto, el momento de fuerza con respecto al eje z está determinado de forma única.

Consecuencia. Si el momento de fuerza alrededor de un cierto punto sobre un eje es igual a cero, entonces el momento de fuerza alrededor de este eje es igual a cero.

2) Si el vector de fuerza es paralelo al eje z, entonces el momento de fuerza con respecto al eje es cero.

De hecho, el vector del momento de fuerza con respecto a cualquier punto del eje debe ser perpendicular al vector de fuerza, por lo tanto, también es perpendicular al eje paralelo a este vector. Por tanto, la proyección del vector fuerza momento sobre este eje será igual a cero. Por lo tanto, si el vector de fuerza se descompone en una componente paralela al eje y una componente perpendicular al eje, entonces

3) Si el vector de fuerza y ​​el eje no son paralelos, sino que se encuentran en el mismo plano, entonces el momento de fuerza con respecto al eje es cero. De hecho, en este caso, el vector del momento de fuerza con respecto a cualquier punto del eje se dirige perpendicular a este plano (ya que el vector también se encuentra en este plano). Puedes decirlo de otra manera. Si consideramos el punto de intersección de la línea de acción de la fuerza y ​​la línea recta z, entonces el momento de la fuerza con respecto a este punto es igual a cero, por lo tanto, el momento de la fuerza con respecto al eje es igual a cero.

Entonces, para encontrar el momento de fuerza con respecto al eje z, necesitas:

1) encuentre la proyección de la fuerza sobre cualquier plano p perpendicular a este eje e indique el punto O - el punto de intersección de este plano con el eje z;

Información relacionada.

Definición 1

El momento de fuerza está representado por un par o momento de rotación, siendo una cantidad física vectorial.

Se define como el producto vectorial del vector de fuerza, así como el vector de radio, que se traza desde el eje de rotación hasta el punto de aplicación de la fuerza especificada.

El momento de fuerza es una característica del efecto rotacional de una fuerza sobre un cuerpo sólido. Los conceptos de momento "rotativo" y "par" no se considerarán idénticos, ya que en tecnología el concepto de momento "rotativo" se considera como una fuerza externa aplicada a un objeto.

Al mismo tiempo, el concepto de "par" se considera en el formato de fuerza interna que surge en un objeto bajo la influencia de ciertas cargas aplicadas (un concepto similar se utiliza para la resistencia de los materiales).

Concepto de momento de fuerza.

El momento de fuerza en física se puede considerar como la llamada "fuerza de rotación". La unidad de medida del SI es el newton metro. El momento de una fuerza también puede denominarse "momento de un par de fuerzas", como se señala en el trabajo de Arquímedes sobre las palancas.

Nota 1

En ejemplos simples, cuando se aplica una fuerza a una palanca en relación perpendicular a ella, el momento de fuerza se determinará como el producto de la magnitud de la fuerza especificada y la distancia al eje de rotación de la palanca.

Por ejemplo, una fuerza de tres newton aplicada a una distancia de dos metros del eje de rotación de la palanca crea un momento equivalente a una fuerza de un newton aplicada a una distancia de 6 metros de la palanca. Más precisamente, el momento de fuerza de una partícula se determina en el formato de producto vectorial:

$\vec (M)=\vec(r)\vec(F)$, donde:

• $\vec (F)$ representa la fuerza que actúa sobre la partícula,
• $\vec (r)$ es el radio del vector de partículas.

En física, la energía debería entenderse como una cantidad escalar, mientras que el par se consideraría una cantidad (pseudo)vectorial. La coincidencia de las dimensiones de tales cantidades no será accidental: un momento de fuerza de 1 N m, que se aplica durante toda una revolución, realizando un trabajo mecánico, imparte una energía de 2 $\pi$ julios. Matemáticamente se ve así:

$E = M\theta$, donde:

• $E$ representa energía;
• $M$ se considera el par;
• $\theta$ será el ángulo en radianes.

Hoy en día, la medición del momento de fuerza se realiza mediante sensores de carga especiales de tipo galga extensométrica, ópticos e inductivos.

Fórmulas para calcular el momento de fuerza.

Algo interesante en física es el cálculo del momento de fuerza en un campo, obtenido según la fórmula:

$\vec(M) = \vec(M_1)\vec(F)$, donde:

• $\vec(M_1)$ se considera el momento de palanca;
• $\vec(F)$ representa la magnitud de la fuerza actuante.

La desventaja de esta representación es que no determina la dirección del momento de fuerza, sino sólo su magnitud. Si la fuerza es perpendicular al vector $\vec(r)$, el momento de la palanca será igual a la distancia desde el centro al punto de la fuerza aplicada. En este caso, el momento de fuerza será máximo:

$\vec(T)=\vec(r)\vec(F)$

Cuando una fuerza realiza una determinada acción a cualquier distancia, realizará un trabajo mecánico. De la misma forma, el momento de fuerza (al realizar una acción a lo largo de una distancia angular) funcionará.

$P = \vec (M)\omega $

En el sistema de medición internacional existente, la potencia $P$ se medirá en Watts y el momento de la fuerza en sí se medirá en Newton metros. En este caso, la velocidad angular se determina en radianes por segundo.

Momento de varias fuerzas.

Nota 2

Cuando un cuerpo está expuesto a dos fuerzas iguales y también de direcciones opuestas, que no se encuentran en la misma línea recta, se observa la ausencia de este cuerpo en estado de equilibrio. Esto se explica por el hecho de que el momento resultante de las fuerzas indicadas con respecto a cualquiera de los ejes no tiene valor cero, ya que ambas fuerzas representadas tienen momentos dirigidos en la misma dirección (un par de fuerzas).

En una situación en la que el cuerpo está fijado sobre un eje, girará bajo la influencia de un par de fuerzas. Si se aplican un par de fuerzas a un cuerpo libre, éste comenzará a girar alrededor de un eje que pasa por el centro de gravedad del cuerpo.

Se considera que el momento de un par de fuerzas es el mismo respecto de cualquier eje que sea perpendicular al plano del par. En este caso, el momento total $M$ del par siempre será igual al producto de una de las fuerzas $F$ por la distancia $l$ entre las fuerzas (brazo del par) independientemente de los tipos de segmentos en que divide la posición del eje.

$M=(FL_1+FL-2) = F(L_1+L_2)=FL$

En una situación en la que el momento resultante de varias fuerzas sea igual a cero, se considerará igual en relación con todos los ejes paralelos entre sí. Por esta razón, el efecto sobre el cuerpo de todas estas fuerzas puede ser sustituido por la acción de un solo par de fuerzas con el mismo momento.