Instrucciones

Una progresión aritmética es una secuencia de la forma a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Número d paso progresión.Es obvio que el general de un n-ésimo término arbitrario de la aritmética progresión tiene la forma: An = A1+(n-1)d. Entonces conociendo a uno de los miembros progresión, miembro progresión y paso progresión, puede, es decir, el número del miembro de progreso. Evidentemente vendrá determinado por la fórmula n = (An-A1+d)/d.

Que ahora se conozca el término enésimo. progresión y otro miembro progresión- nésimo, pero n , como en el caso anterior, pero se sabe que n y m no coinciden. progresión se puede calcular mediante la fórmula: d = (An-Am)/(n-m). Entonces n = (An-Am+md)/d.

Si se conoce la suma de varios elementos de una ecuación aritmética progresión, así como su primero y su último, entonces también se puede determinar el número de estos elementos La suma de la aritmética. progresión será igual a: S = ((A1+An)/2)n. Entonces n = 2S/(A1+An) - chdenov progresión. Utilizando el hecho de que An = A1+(n-1)d, esta fórmula se puede reescribir como: n = 2S/(2A1+(n-1)d). A partir de esto podemos expresar n resolviendo una ecuación cuadrática.

Una secuencia aritmética es un conjunto ordenado de números, cada miembro del cual, excepto el primero, difiere del anterior en la misma cantidad. Este valor constante se llama diferencia de progresión o su paso y se puede calcular a partir de los términos conocidos de la progresión aritmética.

Instrucciones

Si los valores del primer y segundo o cualquier otro par de términos adyacentes se conocen a partir de las condiciones del problema, para calcular la diferencia (d) simplemente reste el anterior del término posterior. El valor resultante puede ser un número positivo o negativo; depende de si la progresión es creciente. En forma general, escribe la solución para un par arbitrario (aᵢ y aᵢ₊₁) de términos vecinos de la progresión de la siguiente manera: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Para un par de términos de dicha progresión, uno de los cuales es el primero (a₁) y el otro es cualquier otro elegido arbitrariamente, también es posible crear una fórmula para encontrar la diferencia (d). Sin embargo, en este caso, se debe conocer el número de serie (i) de un miembro de la secuencia seleccionado arbitrariamente. Para calcular la diferencia, suma ambos números y divide el resultado resultante por el número ordinal de un término arbitrario reducido a uno. En general, escribe esta fórmula de la siguiente manera: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Si, además de un miembro arbitrario de una progresión aritmética con número ordinal i, se conoce otro miembro con número ordinal u, cambie la fórmula del paso anterior en consecuencia. En este caso, la diferencia (d) de la progresión será la suma de estos dos términos dividida por la diferencia de sus números ordinales: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

La fórmula para calcular la diferencia (d) se vuelve algo más complicada si las condiciones del problema dan el valor de su primer término (a₁) y la suma (Sᵢ) de un número dado (i) de los primeros términos de la secuencia aritmética. Para obtener el valor deseado, se divide la suma por el número de términos que la componen, se resta el valor del primer número de la secuencia y se duplica el resultado. Divide el valor resultante por el número de términos que forman la suma reducido en uno. En general, escribe la fórmula para calcular el discriminante de la siguiente manera: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Suma de una progresión aritmética.

La suma de una progresión aritmética es algo simple. Tanto en significado como en fórmula. Pero hay todo tipo de tareas sobre este tema. Desde básico hasta bastante sólido.

Primero, comprendamos el significado y la fórmula de la cantidad. Y luego decidiremos. Para su propio placer.) El significado de la cantidad es tan simple como un mugido. Para encontrar la suma de una progresión aritmética, solo necesitas sumar cuidadosamente todos sus términos. Si estos términos son pocos, puede agregarlos sin fórmulas. Pero si hay mucho, o mucho... la adición es molesta.) En este caso, la fórmula viene al rescate.

La fórmula para la cantidad es simple:

Averigüemos qué tipo de letras se incluyen en la fórmula. Esto aclarará mucho las cosas.

sn - la suma de una progresión aritmética. Resultado de la suma todos miembros, con primero Por último. Es importante. Suman exactamente Todo miembros seguidos, sin saltar ni saltar. Y, precisamente, a partir de primero. En problemas como encontrar la suma de los términos tercero y octavo, o la suma de los términos quinto al vigésimo, la aplicación directa de la fórmula resultará decepcionante.)

un 1 - primero miembro de la progresión. Aquí todo está claro, es simple. primero numero de fila.

un- último miembro de la progresión. El último número de la serie. No es un nombre muy familiar, pero aplicado a la cantidad, resulta muy adecuado. Entonces lo verás por ti mismo.

norte - número del último miembro. Es importante entender que en la fórmula este número coincide con el número de términos agregados.

Definamos el concepto último miembro un. Pregunta capciosa: ¿qué miembro será el último si se da sin fin¿progresión aritmética?)

Para responder con seguridad, es necesario comprender el significado elemental de la progresión aritmética y... ¡leer la tarea con atención!)

En la tarea de encontrar la suma de una progresión aritmética, siempre aparece el último término (directa o indirectamente), que debería ser limitado. De lo contrario, una cantidad final y específica simplemente no existe. Para la solución, no importa si la progresión es dada: finita o infinita. No importa cómo se dé: una serie de números o una fórmula para el enésimo término.

Lo más importante es entender que la fórmula funciona desde el primer término de la progresión hasta el término con número norte. En realidad, el nombre completo de la fórmula se ve así: la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética. El número de estos primeros miembros, es decir norte, está determinado únicamente por la tarea. En una tarea, toda esta valiosa información suele estar cifrada, sí... Pero no importa, en los ejemplos siguientes desvelamos estos secretos.)

Ejemplos de tareas sobre la suma de una progresión aritmética.

Primero que nada, información útil:

La principal dificultad en las tareas que implican la suma de una progresión aritmética radica en la correcta determinación de los elementos de la fórmula.

Los redactores de las tareas cifran estos mismos elementos con una imaginación ilimitada). Lo principal aquí es no tener miedo. Para comprender la esencia de los elementos, basta con descifrarlos. Veamos algunos ejemplos en detalle. Empecemos con una tarea basada en un GIA real.

1. La progresión aritmética viene dada por la condición: a n = 2n-3,5. Encuentra la suma de sus primeros 10 términos.

Buen trabajo. Fácil.) Para determinar la cantidad usando la fórmula, ¿qué necesitamos saber? Primer miembro un 1, ultimo plazo un, sí el número del último miembro norte.

¿Dónde puedo conseguir el número del último miembro? norte? Sí, ahí mismo, ¡con condición! Dice: encuentra la suma. primeros 10 miembros. Bueno, ¿con qué número será? último, décimo miembro?) No lo creerás, ¡su número es el décimo!) Por lo tanto, en lugar de un Sustituiremos en la fórmula. un 10, y en cambio norte- diez. Repito, el número del último socio coincide con el número de socios.

Queda por determinar un 1 Y un 10. Esto se calcula fácilmente utilizando la fórmula para el enésimo término, que se proporciona en el planteamiento del problema. ¿No sabes cómo hacer esto? Asiste a la lección anterior, sin esta no hay manera.

un 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

un 10=2·10 - 3,5 =16,5

sn = S 10.

Hemos descubierto el significado de todos los elementos de la fórmula para la suma de una progresión aritmética. Sólo queda sustituirlos y contar:

Eso es todo. Respuesta: 75.

Otra tarea basada en el GIA. Un poco más complicado:

2. Dada una progresión aritmética (an), cuya diferencia es 3,7; a 1 = 2,3. Encuentra la suma de sus primeros 15 términos.

Inmediatamente escribimos la fórmula de la suma:

Esta fórmula nos permite encontrar el valor de cualquier término por su número. Buscamos una sustitución simple:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Queda por sustituir todos los elementos en la fórmula de la suma de una progresión aritmética y calcular la respuesta:

Respuesta: 423.

Por cierto, si en la fórmula de suma en lugar de un Simplemente sustituimos la fórmula por el enésimo término y obtenemos:

Presentemos otros similares y obtengamos una nueva fórmula para la suma de términos de una progresión aritmética:

Como puede ver, el enésimo término no es necesario aquí. un. En algunos problemas esta fórmula ayuda mucho, sí... Puedes recordar esta fórmula. O simplemente puedes mostrarlo en el momento adecuado, como aquí. Después de todo, siempre es necesario recordar la fórmula de la suma y la fórmula del enésimo término).

Ahora la tarea en forma de cifrado breve):

3. Encuentra la suma de todos los números positivos de dos dígitos que sean múltiplos de tres.

¡Guau! Ni tu primer integrante, ni el último, ni progresión alguna... ¿¡Cómo vivir!?

Tendrás que pensar con la cabeza y sacar de la condición todos los elementos de la suma de la progresión aritmética. Sabemos qué son los números de dos cifras. Consisten en dos números.) ¿Qué número de dos dígitos será primero? 10, presumiblemente). última cosa número de dos dígitos? ¡99, por supuesto! Los de tres dígitos lo seguirán...

Múltiplos de tres... Hm... ¡Estos son números que son divisibles por tres, aquí! Diez no es divisible por tres, 11 no es divisible... 12... ¡es divisible! Entonces algo está surgiendo. Ya puedes anotar una serie según las condiciones del problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

¿Será esta serie una progresión aritmética? ¡Ciertamente! Cada término se diferencia del anterior estrictamente en tres. Si sumas 2 o 4 a un término, digamos, el resultado, es decir el nuevo número ya no es divisible por 3. Puedes determinar inmediatamente la diferencia de la progresión aritmética: re = 3.¡Sera util!)

Entonces, podemos anotar con seguridad algunos parámetros de progresión:

¿Cuál será el número? norteúltimo miembro? Cualquiera que piense que el 99 está fatalmente equivocado... Los números siempre van seguidos, pero nuestros miembros saltan por encima del tres. No coinciden.

Hay dos soluciones aquí. Una forma es para los súper trabajadores. Puede escribir la progresión, la serie completa de números y contar el número de miembros con el dedo). La segunda forma es para los reflexivos. Debes recordar la fórmula para el enésimo término. Si aplicamos la fórmula a nuestro problema, encontramos que 99 es el trigésimo término de la progresión. Aquellos. norte = 30.

Veamos la fórmula para la suma de una progresión aritmética:

Miramos y nos regocijamos). Sacamos del planteamiento del problema todo lo necesario para calcular la cantidad:

un 1= 12.

un 30= 99.

sn = S 30.

Todo lo que queda es aritmética elemental. Sustituimos los números en la fórmula y calculamos:

Respuesta: 1665

Otro tipo de rompecabezas popular:

4. Dada una progresión aritmética:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Encuentra la suma de términos del vigésimo al treinta y cuatro.

Miramos la fórmula de la cantidad y... nos enojamos.) La fórmula, permítanme recordarles, calcula la cantidad desde el principio miembro. Y en el problema necesitas calcular la suma. desde el veinte... La fórmula no funcionará.

Por supuesto, puedes escribir toda la progresión en una serie y agregar términos del 20 al 34. Pero... es algo estúpido y lleva mucho tiempo, ¿verdad?)

Hay una solución más elegante. Dividamos nuestra serie en dos partes. La primera parte será desde el primer mandato hasta el decimonoveno. Segunda parte - de veinte a treinta y cuatro. Está claro que si calculamos la suma de los términos de la primera parte T 1-19, sumémoslo con la suma de los términos de la segunda parte T 20-34, obtenemos la suma de la progresión desde el primer término hasta el trigésimo cuarto T 1-34. Como esto:

T 1-19 + T 20-34 = T 1-34

De esto podemos ver que encuentra la suma. T 20-34 se puede hacer con una simple resta

T 20-34 = T 1-34 - T 1-19

Se consideran ambas cantidades del lado derecho desde el principio miembro, es decir la fórmula de suma estándar es bastante aplicable a ellos. ¿Empecemos?

Extraemos los parámetros de progresión del planteamiento del problema:

re = 1,5.

un 1= -21,5.

Para calcular las sumas de los primeros 19 y 34 términos, necesitaremos los términos 19 y 34. Los calculamos usando la fórmula del enésimo término, como en el problema 2:

un 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

un 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

No queda nada. De la suma de 34 términos resta la suma de 19 términos:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Respuesta: 262,5

¡Una nota importante! Existe un truco muy útil para solucionar este problema. En lugar de cálculo directo lo que necesitas (S 20-34), contamos algo que parecería no ser necesario - S 1-19. Y luego determinaron T 20-34, descartando lo innecesario del resultado completo. Este tipo de “finta con los oídos” a menudo te salva de problemas complicados.)

En esta lección analizamos problemas para los que basta con comprender el significado de la suma de una progresión aritmética. Bueno, necesitas conocer un par de fórmulas).

Consejo practico:

Al resolver cualquier problema que involucre la suma de una progresión aritmética, recomiendo escribir inmediatamente las dos fórmulas principales de este tema.

Fórmula para el enésimo término:

Estas fórmulas le dirán inmediatamente qué buscar y en qué dirección pensar para resolver el problema. Ayuda.

Y ahora las tareas para solución independiente.

5. Encuentra la suma de todos los números de dos dígitos que no son divisibles por tres.

¿Genial?) La pista está oculta en la nota del problema 4. Bueno, el problema 3 ayudará.

6. La progresión aritmética viene dada por la condición: a 1 = -5,5; un norte+1 = un norte +0,5. Encuentra la suma de sus primeros 24 términos.

¿Inusual?) Esta es una fórmula recurrente. Puedes leer sobre esto en la lección anterior. No ignore el vínculo, este tipo de problemas se encuentran a menudo en la Academia Estatal de Ciencias.

7. Vasya ahorró dinero para las vacaciones. ¡Hasta 4550 rublos! Y decidí regalarle a mi persona favorita (yo mismo) unos días de felicidad). Vive bellamente sin negarte nada. ¡Gasta 500 rublos el primer día y cada día siguiente gasta 50 rublos más que el anterior! Hasta que se acabe el dinero. ¿Cuántos días de felicidad tuvo Vasya?

¿Es difícil?) La fórmula adicional de la tarea 2 ayudará.

Respuestas (en desorden): 7, 3240, 6.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.

Primer nivel

Progresión aritmética. Teoría detallada con ejemplos (2019)

secuencia numérica

Entonces, sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:
Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee (en nuestro caso, los hay). No importa cuántos números escribamos, siempre podremos decir cuál es el primero, cuál el segundo, y así hasta el último, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica:

secuencia numérica
Por ejemplo, para nuestra secuencia:

El número asignado es específico de un solo número de la secuencia. En otras palabras, no hay tres segundos números en la secuencia. El segundo número (como el décimo número) es siempre el mismo.
El número con número se llama décimo término de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

En nuestro caso:

Digamos que tenemos una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.
Por ejemplo:

etc.
Esta secuencia numérica se llama progresión aritmética.
El término "progresión" fue introducido por el autor romano Boecio en el siglo VI y se entendió en un sentido más amplio como una secuencia numérica infinita. El nombre "aritmética" proviene de la teoría de las proporciones continuas, que fue estudiada por los antiguos griegos.

Esta es una secuencia numérica, cada miembro de la cual es igual al anterior sumado al mismo número. Este número se llama diferencia de una progresión aritmética y se designa.

Intente determinar qué secuencias numéricas son una progresión aritmética y cuáles no:

a)
b)
C)
d)

¿Entiendo? Comparemos nuestras respuestas:
Es progresión aritmética - b, c.
No es progresión aritmética - a, d.

Volvamos a la progresión dada () e intentemos encontrar el valor de su enésimo término. existe dos manera de encontrarlo.

1. Método

Podemos sumar el número de progresión al valor anterior hasta llegar al décimo término de la progresión. Es bueno que no tengamos mucho que resumir: sólo tres valores:

Entonces, el término de la progresión aritmética descrita es igual a.

2. Método

¿Qué pasaría si necesitáramos encontrar el valor del enésimo término de la progresión? La suma nos llevaría más de una hora, y no es un hecho que no cometeremos errores al sumar números.
Por supuesto, los matemáticos han ideado una forma en la que no es necesario sumar la diferencia de una progresión aritmética al valor anterior. Eche un vistazo más de cerca a la imagen dibujada... Seguramente ya habrás notado cierto patrón, a saber:

Por ejemplo, veamos en qué consiste el valor del término enésimo de esta progresión aritmética:


En otras palabras:

Intente encontrar usted mismo el valor de un miembro de una progresión aritmética determinada de esta manera.

¿Calculaste? Compara tus notas con la respuesta:

Tenga en cuenta que obtuvo exactamente el mismo número que en el método anterior, cuando sumamos secuencialmente los términos de la progresión aritmética al valor anterior.
Intentemos "despersonalizar" esta fórmula; pongámosla en forma general y obtengamos:

Ecuación de progresión aritmética.

Las progresiones aritméticas pueden ser crecientes o decrecientes.

Creciente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es mayor que el anterior.
Por ejemplo:

Descendente- progresiones en las que cada valor posterior de los términos es menor que el anterior.
Por ejemplo:

La fórmula derivada se utiliza en el cálculo de términos tanto crecientes como decrecientes de una progresión aritmética.
Comprobemos esto en la práctica.
Se nos da una progresión aritmética que consta de los siguientes números: Comprobemos cuál será el enésimo número de esta progresión aritmética si usamos nuestra fórmula para calcularlo:

Desde entonces:

Por tanto, estamos convencidos de que la fórmula opera tanto en progresión aritmética decreciente como creciente.
Intenta encontrar tú mismo los términos enésimo y enésimo de esta progresión aritmética.

Comparemos los resultados:

Propiedad de progresión aritmética

Compliquemos el problema: derivaremos la propiedad de la progresión aritmética.
Digamos que se nos da la siguiente condición:
- progresión aritmética, encuentra el valor.
Fácil, dices y empiezas a contar según la fórmula que ya conoces:

Vamos, ah, entonces:

Absolutamente correcto. Resulta que primero encontramos, luego lo sumamos al primer número y obtenemos lo que estamos buscando. Si la progresión está representada por valores pequeños, entonces no tiene nada de complicado, pero ¿qué pasa si nos dan números en la condición? De acuerdo, existe la posibilidad de cometer un error en los cálculos.
Ahora piense si es posible resolver este problema en un solo paso usando alguna fórmula. Por supuesto que sí, y eso es lo que intentaremos sacar a la luz ahora.

Denotemos el término requerido de la progresión aritmética como, conocemos la fórmula para encontrarlo; esta es la misma fórmula que derivamos al principio:
, Entonces:

• el término anterior de la progresión es:
• el siguiente término de la progresión es:

Resumamos los términos anteriores y posteriores de la progresión:

Resulta que la suma de los términos de progresión anterior y posterior es el valor doble del término de progresión ubicado entre ellos. En otras palabras, para encontrar el valor de un término de progresión con valores anteriores y sucesivos conocidos, es necesario sumarlos y dividirlos por.

Así es, tenemos el mismo número. Aseguremos el material. Calcula tú mismo el valor de la progresión, no es nada difícil.

¡Bien hecho! ¡Sabes casi todo sobre la progresión! Sólo queda descubrir una fórmula que, según la leyenda, fue fácilmente deducida por uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos, el “rey de los matemáticos”: Karl Gauss...

Cuando Carl Gauss tenía 9 años, un profesor, ocupado comprobando el trabajo de los alumnos de otras clases, asignó en clase la siguiente tarea: "Calcular la suma de todos los números naturales desde hasta (según otras fuentes hasta) inclusive". Imagínese la sorpresa del profesor cuando uno de sus alumnos (este era Karl Gauss) un minuto después dio la respuesta correcta a la tarea, mientras que la mayoría de los compañeros del temerario, después de largos cálculos, recibieron el resultado equivocado...

El joven Carl Gauss notó un cierto patrón que usted también puede notar fácilmente.
Digamos que tenemos una progresión aritmética que consta de -ésimos términos: Necesitamos encontrar la suma de estos términos de la progresión aritmética. Por supuesto, podemos sumar manualmente todos los valores, pero ¿qué pasa si la tarea requiere encontrar la suma de sus términos, como buscaba Gauss?

Representemos la progresión que se nos ha dado. Observe de cerca los números resaltados e intente realizar varias operaciones matemáticas con ellos.


¿Lo has probado? ¿Qué notaste? ¡Bien! sus sumas son iguales

Ahora dime, ¿cuántos pares de este tipo hay en total en la progresión que se nos ha dado? Por supuesto, exactamente la mitad de todos los números, es decir.
Partiendo de que la suma de dos términos de una progresión aritmética es igual, y los pares semejantes son iguales, obtenemos que la suma total es igual a:
.
Así, la fórmula para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

En algunos problemas no conocemos el término décimo, pero conocemos la diferencia de la progresión. Intente sustituir la fórmula del enésimo término en la fórmula de la suma.
¿Qué obtuviste?

¡Bien hecho! Ahora volvamos al problema que le plantearon a Carl Gauss: calcula por ti mismo a qué es igual la suma de los números a partir del ésimo y la suma de los números a partir del ésimo.

¿Cuanto conseguiste?
Gauss encontró que la suma de los términos es igual, y la suma de los términos. ¿Es eso lo que decidiste?

De hecho, la fórmula para la suma de los términos de una progresión aritmética fue probada por el antiguo científico griego Diofanto en el siglo III, y durante todo este tiempo, personas ingeniosas aprovecharon al máximo las propiedades de la progresión aritmética.
Por ejemplo, imaginemos el Antiguo Egipto y el proyecto de construcción más grande de esa época: la construcción de una pirámide... La imagen muestra un lado.

¿Dónde está la progresión aquí, dices? Mire con atención y encuentre un patrón en la cantidad de bloques de arena en cada fila de la pared de la pirámide.


¿Por qué no una progresión aritmética? Calcule cuántos bloques se necesitan para construir una pared si se colocan bloques de ladrillos en la base. Espero que no cuentes mientras mueves el dedo por el monitor, ¿recuerdas la última fórmula y todo lo que dijimos sobre la progresión aritmética?

En este caso, la progresión se ve así: .
Diferencia de progresión aritmética.
El número de términos de una progresión aritmética.
Sustituyamos nuestros datos en las últimas fórmulas (calculemos el número de bloques de 2 formas).

Método 1.

Método 2.

Y ahora puedes calcular en el monitor: compara los valores obtenidos con la cantidad de bloques que hay en nuestra pirámide. ¿Entiendo? Bien hecho, dominas la suma de los enésimos términos de una progresión aritmética.
Por supuesto, no se puede construir una pirámide a partir de bloques en la base, pero ¿desde? Intente calcular cuántos ladrillos de arena se necesitan para construir un muro con esta condición.
¿Lograste?
La respuesta correcta es bloques:

Capacitación

Tareas:

1. Masha se está poniendo en forma para el verano. Cada día aumenta el número de sentadillas. ¿Cuántas veces Masha hará sentadillas en una semana si las hizo en la primera sesión de entrenamiento?
2. ¿Cuál es la suma de todos los números impares que contiene?
3. Al almacenar registros, los registradores los apilan de tal manera que cada capa superior contenga un registro menos que la anterior. ¿Cuántos troncos hay en una mampostería, si la base de la mampostería son troncos?

Respuestas:

1. Definamos los parámetros de la progresión aritmética. En este caso
   (semanas = días).

   Respuesta: En dos semanas, Masha debería hacer sentadillas una vez al día.

2. Primer número impar, último número.
   Diferencia de progresión aritmética.
   El número de números impares es la mitad, sin embargo, verifiquemos este hecho usando la fórmula para encontrar el término enésimo de una progresión aritmética:

   Los números contienen números impares.
   Sustituyamos los datos disponibles en la fórmula:

   Respuesta: La suma de todos los números impares contenidos en es igual.

3. Recordemos el problema de las pirámides. Para nuestro caso, a , dado que cada capa superior se reduce en un registro, entonces en total hay un montón de capas, es decir.
   Sustituyamos los datos en la fórmula:

   Respuesta: Hay troncos en la mampostería.

resumámoslo

1. - una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual. Puede ser creciente o decreciente.
2. Encontrar fórmula El décimo término de una progresión aritmética se escribe mediante la fórmula - , donde es el número de números en la progresión.
3. Propiedad de los miembros de una progresión aritmética.- - donde está el número de números en progresión.
4. La suma de los términos de una progresión aritmética. se puede encontrar de dos maneras:
   
   , donde está el número de valores.

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. NIVEL PROMEDIO

secuencia numérica

Sentémonos y comencemos a escribir algunos números. Por ejemplo:

Puede escribir cualquier número y puede haber tantos como desee. Pero siempre podemos decir cuál es primero, cuál es segundo, y así sucesivamente, es decir, podemos numerarlos. Este es un ejemplo de una secuencia numérica.

secuencia numérica es un conjunto de números, a cada uno de los cuales se le puede asignar un número único.

Es decir, a cada número se le puede asociar un número natural determinado, y uno único. Y no asignaremos este número a ningún otro número de este conjunto.

El número con el número se llama el ésimo miembro de la secuencia.

Por lo general, llamamos a toda la secuencia con alguna letra (por ejemplo), y cada miembro de esta secuencia es la misma letra con un índice igual al número de este miembro: .

Es muy conveniente si el enésimo término de la secuencia se puede especificar mediante alguna fórmula. Por ejemplo, la fórmula

establece la secuencia:

Y la fórmula es la siguiente secuencia:

Por ejemplo, una progresión aritmética es una secuencia (el primer término aquí es igual y la diferencia es). O (, diferencia).

fórmula del enésimo término

Llamamos recurrente a una fórmula en la que, para conocer el décimo término, es necesario conocer el anterior o varios anteriores:

Para encontrar, por ejemplo, el término enésimo de la progresión usando esta fórmula, tendremos que calcular los nueve anteriores. Por ejemplo, déjalo. Entonces:

Bueno, ¿está claro ahora cuál es la fórmula?

En cada línea sumamos, multiplicamos por algún número. ¿Cuál? Muy simple: este es el número del miembro actual menos:

Mucho más conveniente ahora, ¿verdad? Verificamos:

Decide por ti mismo:

En una progresión aritmética, encuentra la fórmula para el enésimo término y encuentra el centésimo término.

Solución:

El primer término es igual. ¿Cuál es la diferencia? Esto es lo que:

(Por eso se llama diferencia porque es igual a la diferencia de términos sucesivos de la progresión).

Entonces, la fórmula:

Entonces el centésimo término es igual a:

¿Cuál es la suma de todos los números naturales desde hasta?

Según la leyenda, el gran matemático Carl Gauss, cuando tenía 9 años, calculó esta cantidad en unos minutos. Se dio cuenta de que la suma del primer y el último número es igual, la suma del segundo y el penúltimo es la misma, la suma del tercero y el tercero desde el final es la misma, y ​​así sucesivamente. ¿Cuántos pares de este tipo hay en total? Así es, exactamente la mitad de todos los números, es decir. Entonces,

La fórmula general para la suma de los primeros términos de cualquier progresión aritmética será:

Ejemplo:
Encuentra la suma de todos los múltiplos de dos dígitos.

Solución:

El primero de esos números es este. Cada número subsiguiente se obtiene sumando al número anterior. Así, los números que nos interesan forman una progresión aritmética con el primer término y la diferencia.

Fórmula del décimo término de esta progresión:

¿Cuántos términos hay en la progresión si todos tienen que ser de dos dígitos?

Muy fácil: .

El último término de la progresión será igual. Entonces la suma:

Respuesta: .

Ahora decide por ti mismo:

1. Cada día el deportista corre más metros que el día anterior. ¿Cuántos kilómetros totales correrá en una semana si corrió km m el primer día?
2. Un ciclista recorre cada día más kilómetros que el día anterior. El primer día recorrió el km. ¿Cuántos días necesita viajar para recorrer un kilómetro? ¿Cuántos kilómetros recorrerá durante el último día de su viaje?
3. El precio de un frigorífico en una tienda disminuye en la misma cantidad cada año. Determine cuánto disminuyó el precio de un refrigerador cada año si, puesto a la venta por rublos, seis años después se vendió por rublos.

Respuestas:

1. Lo más importante aquí es reconocer la progresión aritmética y determinar sus parámetros. En este caso, (semanas = días). Debes determinar la suma de los primeros términos de esta progresión:
   .
   Respuesta:
2. Aquí se da: , debe ser encontrado.
   Obviamente, necesitas usar la misma fórmula de suma que en el problema anterior:
   .
   Sustituye los valores:

   La raíz obviamente no encaja, entonces la respuesta es.
   Calculemos el camino recorrido durante el último día usando la fórmula del décimo término:
   (kilómetros).
   Respuesta:

3. Dado: . Encontrar: .
   No podría ser más sencillo:
   (frotar).
   Respuesta:

PROGRESIÓN ARITMÉTICA. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Esta es una secuencia numérica en la que la diferencia entre números adyacentes es la misma e igual.

La progresión aritmética puede ser creciente () y decreciente ().

Por ejemplo:

Fórmula para encontrar el enésimo término de una progresión aritmética

está escrito por la fórmula, donde es el número de números en progresión.

Propiedad de los miembros de una progresión aritmética.

Le permite encontrar fácilmente un término de una progresión si se conocen sus términos vecinos: ¿dónde está el número de números en la progresión?

Suma de términos de una progresión aritmética

Hay dos formas de encontrar la cantidad:

¿Dónde está el número de valores?

¿Dónde está el número de valores?

El concepto de secuencia numérica implica que cada número natural corresponde a algún valor real. Esta serie de números puede ser arbitraria o tener ciertas propiedades: una progresión. En el último caso, cada elemento (miembro) posterior de la secuencia se puede calcular utilizando el anterior.

Una progresión aritmética es una secuencia de valores numéricos en la que sus miembros vecinos se diferencian entre sí en el mismo número (todos los elementos de la serie, comenzando por el 2, tienen una propiedad similar). Este número (la diferencia entre los términos anterior y posterior) es constante y se llama diferencia de progresión.

Diferencia de progresión: definición

Considere una secuencia que consta de j valores A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j pertenece al conjunto de los números naturales N. Una aritmética La progresión, según su definición, es una secuencia en la que a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. El valor d es la diferencia deseada de esta progresión.

d = a(j) – a(j-1).

Destacar:

• Una progresión creciente, en cuyo caso d > 0. Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Progresión decreciente, luego d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresión diferencial y sus elementos arbitrarios.

Si se conocen 2 términos arbitrarios de la progresión (i-ésimo, k-ésimo), entonces la diferencia para una secuencia determinada se puede determinar en función de la relación:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, lo que significa d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Diferencia de progresión y su primer término.

Esta expresión ayudará a determinar un valor desconocido solo en los casos en que se conozca el número del elemento de la secuencia.

Diferencia de progresión y su suma.

La suma de una progresión es la suma de sus términos. Para calcular el valor total de sus primeros j elementos, utilice la fórmula adecuada:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, pero desde a(j) = a(1) + d(j – 1), entonces S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

¿Cuál es la esencia principal de la fórmula?

Esta fórmula le permite encontrar cualquier POR SU NÚMERO " norte" .

Por supuesto, también necesitas saber el primer término. un 1 y diferencia de progresión d Pues bien, sin estos parámetros no puedes anotar una progresión concreta.

Memorizar (o criticar) esta fórmula no es suficiente. Es necesario comprender su esencia y aplicar la fórmula en diversos problemas. Y también para no olvidar en el momento adecuado, sí...) ¿Cómo No olvide- No sé. Y aquí como recordar Si es necesario, definitivamente te asesoraré. Para aquellos que completan la lección hasta el final.)

Entonces, veamos la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética.

¿Qué es una fórmula en general? Por cierto, echa un vistazo si no lo has leído. Allí todo es sencillo. Queda por descubrir qué es. enésimo término.

La progresión en general se puede escribir como una serie de números:

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5,.....

un 1- denota el primer término de una progresión aritmética, un 3- tercer miembro, un 4- el cuarto, y así sucesivamente. Si estamos interesados ​​en el quinto mandato, digamos que estamos trabajando con un 5, si ciento veinte - s un 120.

¿Cómo podemos definirlo en términos generales? cualquier término de una progresión aritmética, con cualquier¿número? ¡Muy simple! Como esto:

un

Eso es lo que es enésimo término de una progresión aritmética. La letra n oculta todos los números de miembros a la vez: 1, 2, 3, 4, etc.

¿Y qué nos aporta ese registro? Imagínense, en lugar de un número escribieron una letra...

Esta notación nos brinda una herramienta poderosa para trabajar con progresión aritmética. Usando la notación un, podemos encontrar rápidamente cualquier miembro cualquier progresión aritmética. Y resuelve muchos otros problemas de progresión. Lo comprobarás por ti mismo más adelante.

En la fórmula del enésimo término de una progresión aritmética:

un norte = un 1 + (n-1)d

un 1- el primer término de una progresión aritmética;

norte- número de miembro.

La fórmula conecta los parámetros clave de cualquier progresión: un ; un 1; d Y norte. Todos los problemas de progresión giran en torno a estos parámetros.

La fórmula del enésimo término también se puede utilizar para escribir una progresión específica. Por ejemplo, el problema puede decir que la progresión está especificada por la condición:

un norte = 5 + (n-1) 2.

Tal problema puede ser un callejón sin salida... No hay ni una serie ni una diferencia... Pero, comparando la condición con la fórmula, es fácil entender que en esta progresión a 1 = 5 y d = 2.

¡Y puede ser aún peor!) Si tomamos la misma condición: un norte = 5 + (n-1) 2, Sí, ¿abrir los paréntesis y dar otros similares? Obtenemos una nueva fórmula:

un norte = 3 + 2norte.

Este Simplemente no general, sino para una progresión específica. Aquí es donde acecha el peligro. Algunas personas piensan que el primer término es un tres. Aunque en realidad el primer término es cinco... Un poco más abajo trabajaremos con una fórmula tan modificada.

En los problemas de progresión hay otra notación: un n+1. Este es, como habrás adivinado, el término “n más el primero” de la progresión. Su significado es simple e inofensivo.) Este es un miembro de la progresión cuyo número es mayor que el número n en uno. Por ejemplo, si en algún problema tomamos un quinto mandato entonces un n+1 Será el sexto miembro. Etc.

Muy a menudo la designación un n+1 encontrado en fórmulas de recurrencia. ¡No tengas miedo de esta palabra aterradora!) Esta es solo una forma de expresar un miembro de una progresión aritmética. a través del anterior. Digamos que nos dan una progresión aritmética de esta forma, usando una fórmula recurrente:

un norte+1 = un norte +3

un 2 = un 1 + 3 = 5+3 = 8

un 3 = un 2 + 3 = 8+3 = 11

Del cuarto al tercero, del quinto al cuarto, y así sucesivamente. ¿Cómo podemos contar inmediatamente, digamos, el vigésimo término? un 20? ¡Pero no hay manera!) Hasta que sepamos el término 19, no podremos contar el 20. Ésta es la diferencia fundamental entre la fórmula recurrente y la fórmula del enésimo término. Trabajos recurrentes sólo a través de anterior término, y la fórmula del enésimo término es mediante primero y permite inmediatamente encontrar cualquier miembro por su número. Sin calcular toda la serie de números en orden.

En una progresión aritmética, es fácil convertir una fórmula recurrente en una regular. Cuente un par de términos consecutivos, calcule la diferencia d, Encuentre, si es necesario, el primer término. un 1, escribe la fórmula en su forma habitual y trabaja con ella. Este tipo de tareas se encuentran a menudo en la Academia Estatal de Ciencias.

Aplicación de la fórmula del enésimo término de una progresión aritmética.

Primero, veamos la aplicación directa de la fórmula. Al final de la lección anterior hubo un problema:

Se da una progresión aritmética (an). Encuentra un 121 si a 1 = 3 y d = 1/6.

Este problema se puede resolver sin fórmulas, simplemente basándose en el significado de una progresión aritmética. Suma y agrega... Una hora o dos.)

Y según la fórmula, la solución tardará menos de un minuto. Puedes cronometrarlo.) Decidamos.

Las condiciones proporcionan todos los datos para utilizar la fórmula: a 1 =3, d=1/6. Queda por descubrir qué es igual. norte.¡Ningún problema! Necesitamos encontrar un 121. Entonces escribimos:

¡Por favor pon atención! En lugar de un índice norte apareció un número específico: 121. Lo cual es bastante lógico.) Nos interesa el miembro de la progresión aritmética número ciento veintiuno. Esto será nuestro norte. Este es el significado norte= 121 lo sustituiremos más en la fórmula, entre paréntesis. Sustituimos todos los números en la fórmula y calculamos:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Eso es todo. Con la misma rapidez se podía encontrar el término quinientos décimo y el mil tercero, cualquiera. ponemos en su lugar norte el número deseado en el índice de la letra " a" y entre paréntesis, y contamos.

Déjame recordarte el punto: esta fórmula te permite encontrar cualquier término de progresión aritmética POR SU NÚMERO " norte" .

Resolvamos el problema de una manera más astuta. Nos topemos con el siguiente problema:

Encuentre el primer término de la progresión aritmética (a n), si a 17 =-2; d=-0,5.

Si tienes alguna dificultad te cuento el primer paso. ¡Escribe la fórmula del enésimo término de una progresión aritmética! Sí Sí. Escribe con tus manos, directamente en tu cuaderno:

un norte = un 1 + (n-1)d

Y ahora, mirando las letras de la fórmula, ¿entendemos qué datos tenemos y cuáles faltan? Disponible d=-0,5, hay un decimoséptimo miembro... ¿Es ese? Si crees que es eso, entonces no solucionarás el problema, sí...

Todavía tenemos un número norte! En condicion un 17 =-2 oculto dos parámetros. Este es tanto el valor del decimoséptimo término (-2) como su número (17). Aquellos. n=17. Esta “bagatela” a menudo se nos escapa de la cabeza, y sin ella (¡sin la “bagatela”, ¡no la cabeza!) el problema no se puede resolver. Aunque... y sin cabeza además.)

Ahora podemos simplemente sustituir estúpidamente nuestros datos en la fórmula:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Oh sí, un 17 sabemos que es -2. Bien, sustituyamos:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Eso es básicamente todo. Queda por expresar el primer término de la progresión aritmética a partir de la fórmula y calcularlo. La respuesta será: un 1 = 6.

Esta técnica (escribir una fórmula y simplemente sustituir datos conocidos) es de gran ayuda en tareas sencillas. Bueno, por supuesto, debes poder expresar una variable a partir de una fórmula, pero ¿¡qué hacer!? Sin esta habilidad, es posible que las matemáticas no se puedan estudiar en absoluto...

Otro rompecabezas popular:

Encuentra la diferencia de la progresión aritmética (a n), si a 1 =2; 15 = 12.

¿Que estamos haciendo? ¡Te sorprenderás, estamos escribiendo la fórmula!)

un norte = un 1 + (n-1)d

Consideremos lo que sabemos: un 1 = 2; un 15 =12; y (¡lo destacaré especialmente!) n=15. Siéntete libre de sustituir esto en la fórmula:

12=2 + (15-1)d

Hacemos la aritmética.)

12=2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Esta es la respuesta correcta.

Así, las tareas de un n, un 1 Y d decidido. Todo lo que queda es aprender a encontrar el número:

El número 99 es miembro de la progresión aritmética (an), donde a 1 = 12; d=3. Encuentra el número de este miembro.

Sustituimos las cantidades que conocemos en la fórmula del enésimo término:

un norte = 12 + (n-1) 3

A primera vista, aquí hay dos cantidades desconocidas: una n y n. Pero un- este es algún miembro de la progresión con un número norte...¡Y conocemos a este miembro de la progresión! Es 99. No sabemos su número. norte, Entonces este número es lo que necesitas encontrar. Sustituimos el término de la progresión 99 en la fórmula:

99 = 12 + (n-1) 3

Expresamos de la fórmula. norte, Nosotros pensamos. Obtenemos la respuesta: n=30.

Y ahora un problema sobre el mismo tema, pero más creativo):

Determine si el número 117 es miembro de la progresión aritmética (an):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Escribamos la fórmula nuevamente. ¿Qué, no hay parámetros? Hm... ¿Por qué nos dan ojos?) ¿Vemos el primer término de la progresión? Vemos. Esto es -3,6. Puedes escribir con seguridad: a 1 = -3,6. Diferencia d¿Puedes determinarlo a partir de una serie? Es fácil si sabes cuál es la diferencia de una progresión aritmética:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Entonces hicimos lo más simple. Queda por lidiar con el número desconocido. norte y el incomprensible número 117. En el problema anterior, al menos se sabía que era el término de la progresión que se daba. Pero aquí ni siquiera sabemos... ¿¡Qué hacer!? Bueno, qué hacer, qué hacer... Enciende Habilidades creativas!)

Nosotros suponer que 117 es, después de todo, un miembro de nuestra progresión. Con un numero desconocido norte. Y, al igual que en el problema anterior, intentemos encontrar este número. Aquellos. escribimos la fórmula (¡sí, sí!)) y sustituimos nuestros números:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Nuevamente expresamos a partir de la fórmula.norte, contamos y obtenemos:

¡Ups! El número resultó ¡fraccionario! Ciento uno y medio. Y números fraccionarios en progresiones. no puede ser.¿Qué conclusión podemos sacar? ¡Sí! Número 117 no es miembro de nuestra progresión. Está en algún lugar entre los términos centésimo primero y centésimo segundo. Si el número resultó natural, es decir es un número entero positivo, entonces el número sería miembro de la progresión con el número encontrado. Y en nuestro caso, la respuesta al problema será: No.

Una tarea basada en una versión real del GIA:

Una progresión aritmética viene dada por la condición:

un norte = -4 + 6.8n

Encuentra el primer y décimo término de la progresión.

Aquí la progresión se establece de una manera inusual. Algún tipo de fórmula... Sucede.) Sin embargo, esta fórmula (como escribí arriba) - ¡También la fórmula para el enésimo término de una progresión aritmética! Ella también permite Encuentra cualquier miembro de la progresión por su número.

Estamos buscando al primer miembro. El que piensa. (¡Que el primer término es menos cuatro es un error fatal!) Porque se modifica la fórmula del problema. El primer término de la progresión aritmética en él. oculto. Está bien, lo encontraremos ahora).

Al igual que en problemas anteriores, sustituimos norte=1 en esta fórmula:

un 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

¡Aquí! ¡El primer término es 2,8, no -4!

Buscamos el décimo término de la misma forma:

un 10 = -4 + 6,8 10 = 64

Eso es todo.

Y ahora, para aquellos que hayan leído estas líneas, el bono prometido.)

Supongamos que, en una situación de combate difícil del Examen Estatal o Examen Estatal Unificado, usted ha olvidado la fórmula útil para el enésimo término de una progresión aritmética. Recuerdo algo, pero de alguna manera con incertidumbre... O norte allí, o n+1, o n-1...¿¡Cómo ser!?

¡Calma! Esta fórmula es fácil de derivar. No es muy estricto, ¡pero definitivamente es suficiente para tener confianza y tomar la decisión correcta!) Para llegar a una conclusión, basta con recordar el significado elemental de una progresión aritmética y disponer de un par de minutos de tiempo. Sólo necesitas hacer un dibujo. Para mayor claridad.

Dibuja una recta numérica y marca la primera en ella. segundo, tercero, etc. miembros. Y notamos la diferencia d entre miembros. Como esto:

Miramos la imagen y pensamos: ¿a qué equivale el segundo término? Segundo uno d:

a 2 =un 1 + 1 d

¿Cuál es el tercer término? Tercero término es igual al primer término más dos d.

a 3 =un 1 + 2 d

¿Lo entiendes? No en vano resalto algunas palabras en negrita. Bueno, un paso más).

¿Cuál es el cuarto término? Cuatro término es igual al primer término más tres d.

a 4 =un 1 + 3 d

Es hora de darse cuenta de que el número de brechas, es decir. d, Siempre uno menos que el número del miembro que buscas norte. Es decir, al número. n, número de espacios voluntad n-1. Por tanto, la fórmula será (¡sin variaciones!):

un norte = un 1 + (n-1)d

En general, las imágenes visuales son muy útiles para resolver muchos problemas de matemáticas. No descuides las fotos. Pero si es difícil hacer un dibujo, entonces... ¡solo una fórmula!) Además, la fórmula del enésimo término le permite conectar todo el poderoso arsenal de las matemáticas a la solución: ecuaciones, desigualdades, sistemas, etc. No puedes insertar una imagen en la ecuación...

Tareas para solución independiente.

Para calentar:

1. En progresión aritmética (an) a 2 =3; a 5 = 5,1. Encuentra un 3.

Pista: según la imagen, el problema se puede resolver en 20 segundos... Según la fórmula, resulta más difícil. Pero para dominar la fórmula, es más útil). En la Sección 555, este problema se resuelve usando tanto la imagen como la fórmula. ¡Siente la diferencia!)

Y esto ya no es un calentamiento).

2. En progresión aritmética (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. Encuentra a 3 .

¿Qué, no quieres hacer un dibujo?) ¡Por supuesto! Mejor según la fórmula, sí...

3. La progresión aritmética viene dada por la condición:a 1 = -5,5; un norte+1 = un norte +0,5. Encuentra el término ciento veinticinco de esta progresión.

En esta tarea, la progresión se especifica de forma recurrente. Pero contando hasta el término ciento veinticinco... No todo el mundo es capaz de tal hazaña.) ¡Pero la fórmula del enésimo término está al alcance de todos!

4. Dada una progresión aritmética (an):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Encuentra el número del término positivo más pequeño de la progresión.

5. De acuerdo con las condiciones de la tarea 4, encuentre la suma de los términos positivos más pequeños y negativos más grandes de la progresión.

6. El producto de los términos quinto y duodécimo de una progresión aritmética creciente es igual a -2,5, y la suma de los términos tercero y undécimo es igual a cero. Encuentra un 14.

No es la tarea más fácil, sí...) El método de la “punta del dedo” no funcionará aquí. Tendrás que escribir fórmulas y resolver ecuaciones.

Respuestas (en desorden):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

¿Sucedió? ¡Es agradable!)

¿No todo sale bien? Sucede. Por cierto, hay un punto sutil en la última tarea. Se requerirá cuidado al leer el problema. Y lógica.

La solución a todos estos problemas se analiza en detalle en la Sección 555. Y el elemento de fantasía para el cuarto, y el punto sutil para el sexto, y los enfoques generales para resolver cualquier problema que involucre la fórmula del enésimo término: todo se describe. Recomiendo.

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Por cierto, tengo un par de sitios más interesantes para ti).

Podrás practicar la resolución de ejemplos y descubrir tu nivel. Pruebas con verificación instantánea. Aprendamos, ¡con interés!)

Puede familiarizarse con funciones y derivadas.