Může být kotangens větší než 1. Základní goniometrické identity, jejich formulace a odvození

Přednáška: Sinus, kosinus, tangens, kotangens libovolného úhlu

Sinus, kosinus libovolného úhlu

Abychom pochopili, co jsou goniometrické funkce, podívejme se na kružnici s jednotkovým poloměrem. Tato kružnice má střed v počátku v souřadnicové rovině. K určení daných funkcí použijeme rádiusový vektor NEBO, který začíná ve středu kružnice, a bod R je bod na kružnici. Tento vektor poloměru svírá s osou úhel alfa ACH. Protože má kruh poloměr rovný jedné OR = R = 1.

Pokud od bodu R snižte kolmici k ose ACH, pak dostaneme pravoúhlý trojúhelník s přeponou rovnou jedné.

Pokud se vektor poloměru pohybuje ve směru hodinových ručiček, nazývá se tento směr negativní, pokud se pohybuje proti směru hodinových ručiček - pozitivní.

Sinus úhlu NEBO, je pořadnice bodu R vektor na kruhu.

To znamená, že pro získání hodnoty sinu daného úhlu alfa je nutné určit souřadnici U na povrchu.

Jak byla tato hodnota získána? Protože víme, že sinus libovolného úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr protější větve k přeponě, dostaneme, že

A od té doby R=1, Že sin(α) = y 0 .

V jednotkovém kruhu nemůže být hodnota pořadnice menší než -1 a větší než 1, což znamená

Sinus má kladnou hodnotu v první a druhé čtvrtině jednotkového kruhu a zápornou hodnotu ve třetí a čtvrté.

Kosinus úhlu daná kružnice tvořená poloměrovým vektorem NEBO, je úsečka bodu R vektor na kruhu.

To znamená, že pro získání kosinusové hodnoty daného úhlu alfa je nutné určit souřadnici X na povrchu.

Kosinus libovolného úhlu v pravoúhlém trojúhelníku je poměr sousední větve k přeponě, dostaneme, že

A od té doby R=1, Že cos(α) = x 0 .

V jednotkovém kruhu nemůže být hodnota úsečky menší než -1 a větší než 1, což znamená

Kosinus má kladnou hodnotu v první a čtvrté čtvrtině jednotkového kruhu a zápornou hodnotu ve druhé a třetí čtvrtině.

Tečnalibovolný úhel Vypočítá se poměr sinusu ke kosinusu.

Pokud uvažujeme pravoúhlý trojúhelník, pak je to poměr protilehlé strany k sousední straně. Pokud mluvíme o jednotkové kružnici, pak je to poměr pořadnice k úsečce.

Soudě podle těchto vztahů lze pochopit, že tečna nemůže existovat, pokud je hodnota úsečky nulová, to znamená pod úhlem 90 stupňů. Tangenta může nabývat všech ostatních hodnot.

Tangenta je kladná v první a třetí čtvrtině jednotkového kruhu a záporná ve druhé a čtvrté.

|BD| - délka oblouku kružnice se středem v bodě A.
α je úhel vyjádřený v radiánech.

Tangenta ( opálení α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky protějšího ramene |BC| na délku sousedního ramene |AB| .
Kotangens ( ctg α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky sousedního ramene |AB| na délku protější nohy |BC| .

Tečna

Kde n- Celý.

V západní literatuře je tečna označena takto:
.
;
;
.

Graf funkce tangens, y = tan x

Kotangens

Kde n- Celý.

V západní literatuře, kotangens je označován takto:
.
Přijímají se také následující zápisy:
;
;
.

Graf funkce kotangens, y = ctg x

Vlastnosti tečny a kotangens

Periodicita

Funkce y = tg x a y = ctg x jsou periodické s periodou π.

Parita

Funkce tangens a kotangens jsou liché.

Oblasti vymezení a hodnot, rostoucí, klesající

Funkce tangens a kotangens jsou spojité ve své oblasti definice (viz důkaz spojitosti). Hlavní vlastnosti tečny a kotangens jsou uvedeny v tabulce ( n- Celý).

Vzorce

Výrazy pomocí sinus a kosinus

; ;
; ;
;

Vzorce pro tečnu a kotangens ze součtu a rozdílu

Zbývající vzorce lze snadno získat například

Součin tečen

Vzorec pro součet a rozdíl tečen

Tato tabulka uvádí hodnoty tečen a kotangens pro určité hodnoty argumentu.

Výrazy pomocí komplexních čísel

Výrazy prostřednictvím hyperbolických funkcí

;
;

Deriváty

; .

.
Derivace n-tého řádu vzhledem k proměnné x funkce:
.
Odvození vzorců pro tečnu > > > ; pro kotangens >> >

Integrály

Rozšíření řady

Chcete-li získat rozšíření tečny v mocninách x, musíte vzít několik členů rozšíření v mocninné řadě pro funkce hřích x A cos x a rozdělte tyto polynomy navzájem, . Tím se získají následující vzorce.

Na .

na .
Kde Bn- Bernoulliho čísla. Jsou určeny buď ze vztahu opakování:
;
;
kde .
Nebo podle Laplaceova vzorce:

Inverzní funkce

Inverzní funkce tangens a kotangens jsou arkustangens a arkustangens, v tomto pořadí.

Arktangens, arctg

, Kde n- Celý.

Arccotangens, arcctg

, Kde n- Celý.

Reference:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškolské studenty, „Lan“, 2009.
G. Korn, Příručka matematiky pro vědce a inženýry, 2012.

Tento článek obsahuje tabulky sinů, kosinů, tečen a kotangens. Nejprve poskytneme tabulku základních hodnot goniometrických funkcí, tedy tabulku sinů, kosinů, tečen a kotangens úhlů 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stupňů ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2π radián). Poté uvedeme tabulku sinů a kosinus a také tabulku tečen a kotangens od V. M. Bradise a ukážeme, jak tyto tabulky používat při hledání hodnot goniometrických funkcí.

Navigace na stránce.

Tabulka sinus, kosinus, tangens a kotangens pro úhly 0, 30, 45, 60, 90, ... stupňů

Bibliografie.

• Algebra: Učebnice pro 9. třídu. prům. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M.: Education, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a počátky analýzy: Učebnice. pro 10-11 tříd. prům. škola - 3. vyd. - M.: Vzdělávání, 1993. - 351 s.: nemoc. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začátek analýzy: Proc. pro 10-11 tříd. obecné vzdělání instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdělávání, 2004. - 384 s.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro studenty technických škol): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.
• Bradis V.M.Čtyřmístné matematické tabulky: Pro všeobecné vzdělávání. učebnice provozoven. - 2. vyd. - M.: Drop, 1999.- 96 s.: ill. ISBN 5-7107-2667-2

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

• Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

• Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
• Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
• Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
• Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

• V případě potřeby – v souladu se zákonem, soudním řízením, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí vládních orgánů na území Ruské federace – zpřístupnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
• V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.