Jak vyřešit celou racionální rovnici. Řešení racionálních rovnic

Řešení zlomkových racionálních rovnic

Referenční příručku

Racionální rovnice jsou rovnice, ve kterých jsou levá i pravá strana racionálními výrazy.

(Pamatujte si: racionální výrazy jsou celočíselné a zlomkové výrazy bez radikálů, včetně operací sčítání, odčítání, násobení nebo dělení – například: 6x; (m – n)2; x/3y atd.)

Zlomkové racionální rovnice jsou obvykle redukovány do tvaru:

Kde P(X) A Q(X) jsou polynomy.

Chcete-li takové rovnice vyřešit, vynásobte obě strany rovnice Q(x), což může vést ke vzniku vnějších kořenů. Při řešení zlomkových racionálních rovnic je proto nutné zkontrolovat nalezené kořeny.

Racionální rovnice se nazývá celá nebo algebraická, pokud se nedělí výrazem obsahujícím proměnnou.

Příklady celé racionální rovnice:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x - 10
4

Jestliže v racionální rovnici existuje dělení výrazem obsahujícím proměnnou (x), pak se rovnice nazývá zlomková racionální.

Příklad zlomkové racionální rovnice:

15
x + - = 5x – 17
X

Zlomkové racionální rovnice se obvykle řeší takto:

1) najděte společného jmenovatele zlomků a vynásobte jím obě strany rovnice;

2) vyřešit výslednou celou rovnici;

3) vyloučit z jeho kořenů ty, které redukují společného jmenovatele zlomků na nulu.

Příklady řešení celočíselných a zlomkových racionálních rovnic.

Příklad 1. Vyřešme celou rovnici

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Řešení:

Hledání nejmenšího společného jmenovatele. To je 6. Vydělte 6 jmenovatelem a výsledný výsledek vynásobte čitatelem každého zlomku. Dostaneme rovnici ekvivalentní této:

3(x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Protože levá a pravá strana mají stejného jmenovatele, lze jej vynechat. Pak dostaneme jednodušší rovnici:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Vyřešíme to otevřením závorek a kombinací podobných výrazů:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Příklad je vyřešen.

Příklad 2. Řešte zlomkovou racionální rovnici

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)

Hledání společného jmenovatele. Toto je x(x – 5). Tak:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Nyní se opět zbavíme jmenovatele, protože je stejný pro všechny výrazy. Zredukujeme podobné členy, přirovnáme rovnici k nule a získáme kvadratickou rovnici:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3 x – 10 = 0.

Po vyřešení kvadratické rovnice najdeme její kořeny: –2 a 5.

Pojďme zkontrolovat, zda tato čísla jsou kořeny původní rovnice.

Při x = –2 společný jmenovatel x(x – 5) nezmizí. To znamená, že –2 je kořen původní rovnice.

Při x = 5 se společný jmenovatel dostane na nulu a dva ze tří výrazů ztratí smysl. To znamená, že číslo 5 není kořenem původní rovnice.

Odpověď: x = –2

Další příklady

Příklad 1

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Odpověď: -2,2;6.

Příklad 2

Řešení zlomkových racionálních rovnic

Pokud jste žákem osmé třídy a najednou se vám stalo, že jste vynechali hodinu nebo ignorovali, o čem učitel mluvil, je tento článek určen právě vám!

Nejprve si ujasněme, co to je – zlomkové racionální rovnice? Každá učebnice má následující definici: Zlomková-racionální rovnice je rovnice tvaru\(fxg(x)=0\) .

A tato definice vám samozřejmě nic neříká. Pak uvedu příklady a vy se pokusíte určit vzorec, najít něco společného.

\(((-2x-4)\přes (x^2-4))=((x+5)\přes (x-2))\)\(((3x^2-6)\přes 2(x+1)) =x-1\)\((x\přes x-2 ) + (8\přes(4-x^2)) - (1\přes x+2)=0\)

Ale tyto rovnice nejsou zlomkové:

\(3x^2+x-25=0 \) \(((2-x)\přes (2))+((3x\více než 5))=4\)\(((2x-1)\přes 2)+(5x\přes6)-(1-x\více než 3)=3x-2\)

Poslední dvě rovnice rozhodně nejsou zlomkové racionální, přestože se skládají ze zlomků. Nejdůležitější ale je, že ve jmenovateli není žádná proměnná (písmeno). Ale ve zlomkové racionální rovnici je vždy proměnná ve jmenovateli.

Jakmile tedy správně určíte, která rovnice je před vámi, začněme ji řešit. První věc, kterou musíte udělat, je označena třemi velkými písmeny,O.D.Z.Co tato písmena znamenají?O plocha D vynechán Zúspěchy. Nebudu nyní vysvětlovat, co to znamená ve vědě o matematice, naším cílem je naučit se řešit rovnice a ne opakovat téma „Algebraické zlomky“. Ale pro náš účel to znamená toto: vezmeme jmenovatele nebo jmenovatele našich zlomků, vypíšeme je odděleně a všimneme si, že se nerovnají nule.

Pokud použijeme naše rovnice jako příklad\(((-2x-4)\přes x^2-4)=(x+5\přes x-2)\), Udělej to:

ODZ: \(x^2-4≠0\)

\(x-2≠0\)

\((3x^2-6\přes 2(x+1)) =x-1 \)

ODZ: \(x+1≠0\)

Proč neuvedli násobitel 2? Je tak jasné, že 2≠0

\((x\přes x-2)+(8\přes 4-x^2)-(1\více než x+2)=0\)

ODZ: \(x-2≠0\)

\(4-x^2≠0\)

\(x+2≠0\)

Vše se zatím zdá jednoduché. Co bude dál? Další postup bude záviset na tom, jak jste pokročilí v matematice. Pokud můžete, vyřešte tyto rovnice se znaménkema pokud nemůžete, nechte to zatím tak, jak to je. A jedeme dál.

Dále musí být všechny zlomky zahrnuté v rovnicích reprezentovány jako jeden zlomek. K tomu je potřeba najít společného jmenovatele zlomku. A na konci zapište, co se stalo v čitateli, a přirovnejte tento výraz k nule. A pak rovnici řešit.

Vraťme se k našim příkladům:\((-2x-4\přes x^2-4)=(x+5 \přes x-2)\) ODZ: \(x^2-4≠0\)

\((-2x-4\přes x^2-4)-(x+5 \přes x-2)=0 \)\(x-2≠0\)

Zlomek jsme posunuli doleva a zároveň změnili znaménko. Všimneme si, že jmenovatel\(x^2-4\) lze faktorizovat pomocí zkráceného násobícího vzorce\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) a v čitateli můžete ze závorek vyjmout společný faktor „-2“.

\((-2(x+2)\přes (x+2)(x-2)) -(x+5\více než x-2)=0\)

Podívejme se znovu na ODZ, máme to? Jíst! Pak můžete snížit první zlomek o x+2 . Pokud neexistuje ODZ, nemůžete jej snížit! Dostaneme:

\((-2\přes x-2)-(x+5 \více než x-2)=0\)

Zlomky mají společného jmenovatele, což znamená, že je lze odečíst:

\((-2-x-5\přes x-2)=0\)

Vezměte prosím na vědomí, že protože odečítáme zlomky, změníme znaménko „+“ ve druhém zlomku na mínus! V čitateli uvádíme podobné termíny:

\((-x-7 \over x-2)=0\)

Připomeňme, že zlomek se rovná nule, když je čitatel nula a jmenovatel se nerovná nule. V ODZ jsme uvedli, že jmenovatel není nula. Je čas uvést, že čitatel je nula:

\(-x-7=0\)

Toto je lineární rovnice, posuňte „-7“ doprava, změňte znaménko:

\(-x=7\)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

Připomeňme si ODZ:\(x^2-4≠0\) \(x-2≠0\). Pokud jste to dokázali vyřešit, vyřešili jste to takto:\(x^2≠4\) \(x≠2\)

\(x_1≠2\) \(x_2≠-2\)

A pokud jsme to nedokázali vyřešit, dosadíme do ODZ místo „x“ to, co jsme dostali. My máme\(x=-7\)

Potom: \((-7)^2-4≠0\) ? Provedeno? Provedeno!

Takže odpověď na naši rovnici je:\(x=-7\)

Zvažte následující rovnici: \((3x^2-6\přes 2(x+1))=(x-1)\)

Řešíme to stejně. Nejprve uvedeme ODZ:\(x+1≠0\)

Pak se posuneme x-1 vlevo tomuto výrazu ihned přiřadíme jmenovatel 1, což lze provést, protože jmenovatel 1 nic neovlivňuje.

Dostaneme: \((3x^2-6\přes 2(x+1)) -(x-1\over1)=0\)

Hledáme společného jmenovatele, toto\(2(x+1)\) . Tímto výrazem vynásobíme druhý zlomek.

Mám: \((3x^2-6\over2(x+1)) -((x-1)⋅2(x+1)\over2(x+1)) =0\)

\(( 3x^2-6-2x^2+2\over2(x+1)) =0 \)

Pokud je to obtížné, dovolte mi vysvětlit:\(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \) A protože druhému zlomku předchází znaménko „-“, při spojování těchto zlomků do jednoho změníme znaménka na opačné.

Všimli jsme si, že \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) a přepiš to takto:\(((x-2)(x+2)\over2(x+1)) =0\)

Dále použijeme definici zlomku rovného nule. Zlomek se rovná nule, když je čitatel nula a jmenovatel není nula. V ODZ jsme uvedli, že jmenovatel se nerovná nule, uvedeme, že čitatel je roven nule.\((x-2)(x+2)=0\) . A pojďme vyřešit tuto rovnici. Skládá se ze dvou faktorů x-2 a x+2 . Pamatujte, že součin dvou faktorů je roven nule, když je jeden z faktorů roven nule.

Takže: x+2 =0 nebo x-2 =0

Z první rovnice dostaneme x=-2, od druhého x=2 . Přeneseme číslo a změníme znaménko.

V poslední fázi zkontrolujeme ODZ: x+1≠0

Místo x dosaďte čísla 2 a -2.

Dostáváme 2+1≠0 . Provedeno? Ano! Takže x=2 je náš kořen. Zkontrolujeme následující:-2+1≠0 . Provedeno. Ano. To znamená, že x=-2 je také náš kořen. Takže odpověď je: 2 a -2.

Pojďme vyřešit poslední rovnici bez vysvětlení. Algoritmus je stejný:

Pojďme dále mluvit o řešení rovnic. V tomto článku se budeme podrobně zabývat racionální rovnice a principy řešení racionálních rovnic s jednou proměnnou. Nejprve si ujasněme, jaké typy rovnic se nazývají racionální, uveďme definici celých racionálních a zlomkových racionálních rovnic a uveďme příklady. Dále získáme algoritmy pro řešení racionálních rovnic a samozřejmě zvážíme řešení typických příkladů se všemi potřebnými vysvětleními.

Navigace na stránce.

Na základě uvedených definic uvádíme několik příkladů racionálních rovnic. Například x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , jsou všechny racionální rovnice.

Z ukázaných příkladů je zřejmé, že racionální rovnice, stejně jako rovnice jiných typů, mohou být s jednou proměnnou, nebo se dvěma, třemi atp. proměnné. V následujících odstavcích si povíme o řešení racionálních rovnic s jednou proměnnou. Řešení rovnic ve dvou proměnných a jejich velký počet si zaslouží zvláštní pozornost.

Kromě dělení racionálních rovnic počtem neznámých proměnných se také dělí na celočíselné a zlomkové. Uveďme odpovídající definice.

Definice.

Racionální rovnice se nazývá Celý, pokud obě jeho levé i pravé strany jsou celočíselné racionální výrazy.

Definice.

Pokud alespoň jedna z částí racionální rovnice je zlomkový výraz, pak se taková rovnice nazývá částečně racionální(nebo zlomkové racionální).

Je jasné, že celé rovnice neobsahují dělení proměnnou, naopak zlomkové racionální rovnice nutně obsahují dělení proměnnou (nebo proměnnou ve jmenovateli). Takže 3 x + 2 = 0 a (x+y)·(3·x2-1)+x=-y+0,5– to jsou celé racionální rovnice, obě jejich části jsou celé výrazy. A a x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 jsou příklady zlomkových racionálních rovnic.

Na závěr tohoto bodu věnujme pozornost skutečnosti, že lineární rovnice a kvadratické rovnice známé tomuto bodu jsou celé racionální rovnice.

Řešení celých rovnic

Jedním z hlavních přístupů k řešení celých rovnic je jejich redukce na ekvivalentní algebraické rovnice. To lze vždy provést provedením následujících ekvivalentních transformací rovnice:

• nejprve se výraz z pravé strany původní celočíselné rovnice přenese na levou stranu s opačným znaménkem, aby se na pravé straně získala nula;
• poté na levé straně rovnice výsledný standardní tvar.

Výsledkem je algebraická rovnice, která je ekvivalentní původní celočíselné rovnici. Řešení celých rovnic se tak v nejjednodušších případech redukuje na řešení lineárních nebo kvadratických rovnic a v obecném případě na řešení algebraické rovnice stupně n. Pro názornost se podívejme na řešení příkladu.

Příklad.

Najděte kořeny celé rovnice 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Řešení.

Redukujme řešení celé této rovnice na řešení ekvivalentní algebraické rovnice. Za tímto účelem nejprve přeneseme výraz z pravé strany na levou, čímž se dostaneme k rovnici 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. A za druhé, transformujeme výraz vytvořený na levé straně do standardního polynomu vyplněním nezbytných: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Řešení původní celočíselné rovnice je tedy redukováno na řešení kvadratické rovnice x 2 −5·x−6=0.

Vypočítáme jeho diskriminant D=(-5)2-4.1·(-6)=25+24=49, je kladná, což znamená, že rovnice má dva reálné kořeny, které zjistíme pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice:

Abychom si byli zcela jisti, udělejme to kontrola nalezených kořenů rovnice. Nejprve zkontrolujeme kořen 6, dosadíme jej místo proměnné x v původní celočíselné rovnici: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, což je stejné, 63=63. Toto je platná numerická rovnice, proto x=6 je skutečně kořenem rovnice. Nyní zkontrolujeme kořen −1, máme 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, odkud, 0=0 . Když x=−1, původní rovnice se také změní ve správnou numerickou rovnost, proto je x=−1 také kořenem rovnice.

Odpovědět:

6 , −1 .

Zde je také třeba poznamenat, že termín „stupeň celé rovnice“ je spojen s reprezentací celé rovnice ve formě algebraické rovnice. Uveďme odpovídající definici:

Definice.

Síla celé rovnice se nazývá stupeň ekvivalentní algebraické rovnice.

Podle této definice má celá rovnice z předchozího příkladu druhý stupeň.

To by mohl být konec řešení celých racionálních rovnic, nebýt jedné věci…. Jak známo, řešení algebraických rovnic stupně nad druhým je spojeno se značnými obtížemi a pro rovnice stupně nad čtvrtým neexistují vůbec žádné obecné kořenové vzorce. K řešení celých rovnic třetího, čtvrtého a vyššího stupně je proto často nutné uchýlit se k jiným metodám řešení.

V takových případech je přístup k řešení celých racionálních rovnic založený na faktorizační metoda. V tomto případě se dodržuje následující algoritmus:

• nejprve zajistí, aby na pravé straně rovnice byla nula, k tomu přenesou výraz z pravé strany celé rovnice na levou;
• pak je výsledný výraz na levé straně prezentován jako součin několika faktorů, což nám umožňuje přejít na sadu několika jednodušších rovnic.

Daný algoritmus pro řešení celé rovnice pomocí faktorizace vyžaduje podrobné vysvětlení na příkladu.

Příklad.

Vyřešte celou rovnici (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x + 13) .

Řešení.

Nejprve, jako obvykle, přeneseme výraz z pravé strany na levou stranu rovnice, přičemž nezapomeneme změnit znaménko, dostaneme (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x + 13) = 0 . Zde je zcela zřejmé, že není vhodné převádět levou stranu výsledné rovnice na polynom standardního tvaru, protože tím vznikne algebraická rovnice čtvrtého stupně tvaru. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, jehož řešení je obtížné.

Na druhou stranu je zřejmé, že na levé straně výsledné rovnice můžeme x 2 −10 x+13 prezentovat ji jako součin. My máme (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Výsledná rovnice je ekvivalentní původní celé rovnici a může být nahrazena sadou dvou kvadratických rovnic x 2 −10·x+13=0 a x 2 −2·x−1=0. Najít jejich kořeny pomocí známých kořenových vzorců prostřednictvím diskriminantu není obtížné, kořeny jsou si rovny. Jsou to požadované kořeny původní rovnice.

Odpovědět:

Také užitečné pro řešení celých racionálních rovnic metoda pro zavedení nové proměnné. V některých případech umožňuje přejít na rovnice, jejichž stupeň je nižší než stupeň původní celé rovnice.

Příklad.

Najděte skutečné kořeny racionální rovnice (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Řešení.

Redukovat celou tuto racionální rovnici na algebraickou rovnici není, mírně řečeno, příliš dobrý nápad, protože v tomto případě dojdeme k nutnosti řešit rovnici čtvrtého stupně, která nemá racionální kořeny. Proto budete muset hledat jiné řešení.

Zde je snadné vidět, že můžete zavést novou proměnnou y a nahradit jí výraz x 2 +3·x. Toto nahrazení nás vede k celé rovnici (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , která po přesunutí výrazu −2·(y−4) na levou stranu a následné transformaci výrazu tam vzniklý, je redukován na kvadratickou rovnici y 2 +4·y+3=0. Kořeny této rovnice y=−1 a y=−3 lze snadno najít, například je lze vybrat na základě věty inverzní k Vietově větě.

Nyní přejdeme k druhé části metody zavedení nové proměnné, tedy k provedení reverzní náhrady. Po provedení zpětné substituce získáme dvě rovnice x 2 +3 x=−1 a x 2 +3 x=−3, které lze přepsat jako x 2 +3 x+1=0 a x 2 +3 x+3 =0. Pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice najdeme kořeny první rovnice. A druhá kvadratická rovnice nemá žádné reálné kořeny, protože její diskriminant je záporný (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Odpovědět:

Obecně platí, že když se zabýváme celými rovnicemi vysokých stupňů, musíme být vždy připraveni hledat nestandardní metodu nebo umělou techniku ​​jejich řešení.

Řešení zlomkových racionálních rovnic

Nejprve bude užitečné pochopit, jak řešit zlomkové racionální rovnice tvaru , kde p(x) a q(x) jsou celočíselné racionální výrazy. A pak si ukážeme, jak redukovat řešení dalších zlomkově racionálních rovnic na řešení rovnic naznačeného typu.

Jeden přístup k řešení rovnice je založen na následujícím tvrzení: číselný zlomek u/v, kde v je nenulové číslo (jinak se setkáme s , které není definováno), je roven nule právě tehdy, když je jeho čitatel rovna nule, pak je, právě když u=0 . Na základě tohoto tvrzení je řešení rovnice redukováno na splnění dvou podmínek p(x)=0 a q(x)≠0.

Tento závěr odpovídá následujícímu algoritmus pro řešení zlomkové racionální rovnice. Chcete-li vyřešit zlomkovou racionální rovnici tvaru , potřebujete

• vyřešit celou racionální rovnici p(x)=0 ;
• a zkontrolujte, zda je splněna podmínka q(x)≠0 pro každý nalezený kořen, while
• je-li pravda, pak tento kořen je kořenem původní rovnice;
• pokud není splněna, pak je tento kořen cizí, to znamená, že není kořenem původní rovnice.

Podívejme se na příklad použití oznámeného algoritmu při řešení zlomkové racionální rovnice.

Příklad.

Najděte kořeny rovnice.

Řešení.

Toto je zlomková racionální rovnice ve tvaru , kde p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Podle algoritmu pro řešení zlomkových racionálních rovnic tohoto typu musíme nejprve vyřešit rovnici 3 x−2=0. Toto je lineární rovnice, jejíž kořen je x=2/3.

Zbývá zkontrolovat tento kořen, tedy zkontrolovat, zda splňuje podmínku 5 x 2 −2≠0. Do výrazu 5 x 2 −2 místo x dosadíme číslo 2/3 a dostaneme . Podmínka je splněna, takže x=2/3 je kořenem původní rovnice.

Odpovědět:

2/3 .

K řešení zlomkové racionální rovnice můžete přistupovat z trochu jiné pozice. Tato rovnice je ekvivalentní celočíselné rovnici p(x)=0 na proměnné x původní rovnice. To znamená, že se toho můžete držet algoritmus pro řešení zlomkové racionální rovnice :

• řešit rovnici p(x)=0 ;
• najít ODZ proměnné x;
• vzít kořeny patřící do oblasti přijatelných hodnot - jsou to požadované kořeny původní zlomkové racionální rovnice.

Pomocí tohoto algoritmu vyřešme například zlomkovou racionální rovnici.

Příklad.

Vyřešte rovnici.

Řešení.

Nejprve vyřešíme kvadratickou rovnici x 2 −2·x−11=0. Jeho kořeny lze vypočítat pomocí kořenového vzorce pro sudý druhý koeficient, který máme D 1 =(−1)2−1·(−11)=12, A .

Za druhé, najdeme ODZ proměnné x pro původní rovnici. Skládá se ze všech čísel, pro která x 2 +3·x≠0, což je stejné jako x·(x+3)≠0, odkud x≠0, x≠−3.

Zbývá zkontrolovat, zda kořeny nalezené v prvním kroku jsou zahrnuty v ODZ. Očividně ano. Proto má původní zlomková racionální rovnice dva kořeny.

Odpovědět:

Všimněte si, že tento přístup je ziskovější než první, pokud lze ODZ snadno najít, a je zvláště výhodný, pokud jsou kořeny rovnice p(x) = 0 například iracionální nebo racionální, ale s poměrně velkým čitatelem a /nebo jmenovatel, například 127/1101 a −31/59. To je způsobeno skutečností, že v takových případech bude kontrola podmínky q(x)≠0 vyžadovat značné výpočetní úsilí a je jednodušší vyloučit cizí kořeny pomocí ODZ.

V ostatních případech je při řešení rovnice, zvláště když kořeny rovnice p(x) = 0 celá čísla, výhodnější použít první z uvedených algoritmů. To znamená, že je vhodné okamžitě najít kořeny celé rovnice p(x)=0 a poté zkontrolovat, zda je pro ně splněna podmínka q(x)≠0, než hledat ODZ a pak rovnici řešit p(x)=0 na tomto ODZ . To je způsobeno tím, že v takových případech je obvykle jednodušší zkontrolovat než najít DZ.

Podívejme se na řešení dvou příkladů pro ilustraci specifikovaných nuancí.

Příklad.

Najděte kořeny rovnice.

Řešení.

Nejprve najdeme kořeny celé rovnice (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, složený pomocí čitatele zlomku. Levá strana této rovnice je součin a pravá strana je nula, proto je tato rovnice podle způsobu řešení rovnic faktorizací ekvivalentní soustavě čtyř rovnic 2 x−1=0 , x−6= 0, x 2 -5 x+ 14=0, x+1=0. Tři z těchto rovnic jsou lineární a jedna kvadratická, můžeme je vyřešit. Z první rovnice najdeme x=1/2, z druhé - x=6, ze třetí - x=7, x=−2, ze čtvrté - x=−1.

S nalezenými kořeny je docela snadné zkontrolovat, zda zmizel jmenovatel zlomku na levé straně původní rovnice, ale naopak určení ODZ není tak jednoduché, protože k tomu budete muset vyřešit algebraická rovnice pátého stupně. Proto upustíme od hledání ODZ ve prospěch kontroly kořenů. K tomu je dosadíme jeden po druhém místo proměnné x ve výrazu x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x + 112, získané po substituci a porovnejte je s nulou: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(-1)+112=0.

1/2, 6 a -2 jsou tedy požadované kořeny původní zlomkové racionální rovnice a 7 a -1 jsou vnější kořeny.

Odpovědět:

1/2 , 6 , −2 .

Příklad.

Najděte kořeny zlomkové racionální rovnice.

Řešení.

Nejprve najdeme kořeny rovnice (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Tato rovnice je ekvivalentní sadě dvou rovnic: čtvercová 5 x 2 −7 x−1=0 a lineární x−2=0. Pomocí vzorce pro kořeny kvadratické rovnice najdeme dva kořeny a z druhé rovnice máme x=2.

Kontrola, zda jde jmenovatel na nulu při nalezených hodnotách x, je docela nepříjemná. A určení rozsahu přípustných hodnot proměnné x v původní rovnici je poměrně jednoduché. Proto budeme jednat prostřednictvím ODZ.

V našem případě se ODZ proměnné x původní zlomkové racionální rovnice skládá ze všech čísel kromě těch, pro která je splněna podmínka x 2 +5·x−14=0. Kořeny této kvadratické rovnice jsou x=−7 a x=2, z čehož vyvodíme závěr o ODZ: skládá se ze všech x takových, že .

Zbývá zkontrolovat, zda nalezené kořeny a x=2 patří do rozsahu přijatelných hodnot. Kořeny patří, jsou tedy kořeny původní rovnice, a x=2 nepatří, proto je to cizí kořen.

Odpovědět:

Bude také užitečné se samostatně pozastavit nad případy, kdy ve zlomkové racionální rovnici tvaru je v čitateli číslo, tedy když p(x) je reprezentováno nějakým číslem. V čem

• pokud je toto číslo nenulové, pak rovnice nemá kořeny, protože zlomek je roven nule právě tehdy, když je její čitatel roven nule;
• pokud je toto číslo nula, pak kořenem rovnice je libovolné číslo z ODZ.

Příklad.

Řešení.

Protože čitatel zlomku na levé straně rovnice obsahuje nenulové číslo, pak pro žádné x nemůže být hodnota tohoto zlomku rovna nule. Proto tato rovnice nemá kořeny.

Odpovědět:

žádné kořeny.

Příklad.

Vyřešte rovnici.

Řešení.

Čitatel zlomku na levé straně této zlomkové racionální rovnice obsahuje nulu, takže hodnota tohoto zlomku je nula pro libovolné x, pro které to dává smysl. Jinými slovy, řešením této rovnice je libovolná hodnota x z ODZ této proměnné.

Zbývá určit tento rozsah přijatelných hodnot. Zahrnuje všechny hodnoty x, pro které x 4 +5 x 3 ≠0. Řešení rovnice x 4 +5 x 3 =0 jsou 0 a -5, protože tato rovnice je ekvivalentní rovnici x 3 (x+5)=0 a ta je zase ekvivalentní kombinaci dvou rovnic x 3 =0 a x +5=0, odkud jsou tyto kořeny viditelné. Požadovaný rozsah přijatelných hodnot je tedy libovolné x kromě x=0 a x=−5.

Zlomková racionální rovnice má tedy nekonečně mnoho řešení, kterými jsou libovolná čísla kromě nuly a mínus pěti.

Odpovědět:

Konečně je čas mluvit o řešení zlomkových racionálních rovnic libovolného tvaru. Lze je zapsat jako r(x)=s(x), kde r(x) a s(x) jsou racionální výrazy a alespoň jeden z nich je zlomkový. Při pohledu do budoucna řekněme, že jejich řešení spočívá v řešení rovnic nám již známého tvaru.

Je známo, že převod člena z jedné části rovnice do druhé s opačným znaménkem vede k ekvivalentní rovnici, proto rovnice r(x)=s(x) je ekvivalentní rovnici r(x)−s(x )=0.

Víme také, že je možný jakýkoli výraz identicky rovný tomuto výrazu. Racionální výraz na levé straně rovnice r(x)−s(x)=0 tak můžeme vždy převést na shodně stejný racionální zlomek tvaru .

Přejdeme tedy od původní zlomkové racionální rovnice r(x)=s(x) k rovnici a její řešení, jak jsme zjistili výše, se redukuje na řešení rovnice p(x)=0.

Zde je však nutné vzít v úvahu skutečnost, že při nahrazení r(x)−s(x)=0 za a poté za p(x)=0 se může rozšířit rozsah přípustných hodnot proměnné x .

V důsledku toho se původní rovnice r(x)=s(x) a rovnice p(x)=0, ke kterým jsme dospěli, mohou ukázat jako nerovné a řešením rovnice p(x)=0 můžeme získat kořeny to budou vnější kořeny původní rovnice r(x)=s(x) . Můžete identifikovat a nezahrnout cizí kořeny do odpovědi buď provedením kontroly, nebo kontrolou, že patří do ODZ původní rovnice.

Pojďme si tyto informace shrnout algoritmus pro řešení zlomkové racionální rovnice r(x)=s(x). Chcete-li vyřešit zlomkovou racionální rovnici r(x)=s(x) , potřebujete

• Získejte nulu vpravo posunutím výrazu z pravé strany s opačným znaménkem.
• Provádějte operace se zlomky a polynomy na levé straně rovnice, čímž ji převedete na racionální zlomek tvaru.
• Řešte rovnici p(x)=0.
• Identifikujte a odstraňte cizí kořeny, což se provádí jejich dosazením do původní rovnice nebo kontrolou jejich příslušnosti k ODZ původní rovnice.

Pro větší názornost si ukážeme celý řetězec řešení zlomkových racionálních rovnic:
.

Podívejme se na řešení několika příkladů s podrobným vysvětlením postupu řešení, abychom daný blok informací objasnili.

Příklad.

Vyřešte zlomkovou racionální rovnici.

Řešení.

Budeme jednat v souladu s právě získaným algoritmem řešení. A nejprve přesuneme členy z pravé strany rovnice doleva, ve výsledku přejdeme k rovnici.

Ve druhém kroku potřebujeme převést zlomkový racionální výraz na levé straně výsledné rovnice do tvaru zlomku. K tomu zredukujeme racionální zlomky na společného jmenovatele a výsledný výraz zjednodušíme: . Takže se dostáváme k rovnici.

V dalším kroku potřebujeme vyřešit rovnici −2·x−1=0. Najdeme x=−1/2.

Zbývá zkontrolovat, zda nalezené číslo −1/2 není cizí kořen původní rovnice. Chcete-li to provést, můžete zkontrolovat nebo najít VA proměnné x původní rovnice. Pojďme si ukázat oba přístupy.

Začněme kontrolou. Do původní rovnice místo proměnné x dosadíme číslo −1/2 a dostaneme to samé, −1=−1. Substituce dává správnou číselnou rovnost, takže x=−1/2 je kořenem původní rovnice.

Nyní si ukážeme, jak se provádí poslední bod algoritmu prostřednictvím ODZ. Rozsah přípustných hodnot původní rovnice je množina všech čísel kromě −1 a 0 (při x=−1 a x=0 jmenovatelé zlomků mizí). Kořen x=−1/2 nalezený v předchozím kroku patří do ODZ, proto x=−1/2 je kořenem původní rovnice.

Odpovědět:

−1/2 .

Podívejme se na další příklad.

Příklad.

Najděte kořeny rovnice.

Řešení.

Potřebujeme vyřešit zlomkovou racionální rovnici, projdeme si všechny kroky algoritmu.

Nejprve přesuneme termín z pravé strany na levou, dostaneme .

Zadruhé transformujeme výraz vytvořený na levé straně: . V důsledku toho se dostáváme k rovnici x=0.

Jeho kořen je zřejmý – je nulový.

Ve čtvrtém kroku zbývá zjistit, zda nalezený kořen je cizí původní zlomkové racionální rovnici. Když se dosadí do původní rovnice, získá se výraz. Je zřejmé, že to nedává smysl, protože obsahuje dělení nulou. Z toho vyvozujeme, že 0 je cizí kořen. Původní rovnice proto nemá kořeny.

7, což vede k rov. Z toho můžeme usoudit, že výraz ve jmenovateli levé strany se musí rovnat výrazu pravé strany, tedy . Nyní odečteme od obou stran trojice: . Analogicky, odkud a dále.

Kontrola ukazuje, že oba nalezené kořeny jsou kořeny původní zlomkové racionální rovnice.

Odpovědět:

Bibliografie.

• Algebra: učebnice pro 8. třídu. obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2008. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. třída. Ve 2 hod. Část 1. Učebnice pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazáno. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. třída: vzdělávací. pro všeobecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdělávání, 2009. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Už jsme se naučili řešit kvadratické rovnice. Nyní rozšíříme studované metody na racionální rovnice.

Co je racionální vyjádření? S tímto konceptem jsme se již setkali. Racionální výrazy jsou výrazy složené z čísel, proměnných, jejich mocnin a symbolů matematických operací.

V souladu s tím jsou racionální rovnice rovnicemi tvaru: , kde - racionální projevy.

Dříve jsme uvažovali pouze ty racionální rovnice, které lze redukovat na lineární. Nyní se podívejme na ty racionální rovnice, které lze redukovat na kvadratické rovnice.

Příklad 1

Řešte rovnici: .

Řešení:

Zlomek se rovná 0 právě tehdy, když je jeho čitatel roven 0 a jmenovatel není roven 0.

Získáme následující systém:

První rovnice systému je kvadratická rovnice. Než to vyřešíme, vydělme všechny jeho koeficienty 3. Dostaneme:

Získáme dva kořeny: ; .

Protože 2 se nikdy nerovná 0, musí být splněny dvě podmínky: . Protože žádný z kořenů rovnice získané výše se neshoduje s neplatnými hodnotami proměnné, které byly získány při řešení druhé nerovnosti, jsou obě řešením této rovnice.

Odpovědět:.

Pojďme tedy formulovat algoritmus pro řešení racionálních rovnic:

1. Přesuňte všechny termíny na levou stranu tak, aby pravá strana skončila 0.

2. Transformujte a zjednodušte levou stranu, přiveďte všechny zlomky na společného jmenovatele.

3. Výsledný zlomek srovnejte s 0 pomocí následujícího algoritmu: .

4. Zapište ty kořeny, které byly získány v první rovnici, a uspokojte druhou nerovnost v odpovědi.

Podívejme se na další příklad.

Příklad 2

Řešte rovnici: .

Řešení

Na úplném začátku přesuneme všechny členy doleva tak, aby napravo zůstala 0. Dostaneme:

Nyní přivedeme levou stranu rovnice ke společnému jmenovateli:

Tato rovnice je ekvivalentní soustavě:

První rovnice systému je kvadratická rovnice.

Koeficienty této rovnice: . Vypočítáme diskriminant:

Získáme dva kořeny: ; .

Nyní vyřešme druhou nerovnost: součin faktorů není roven 0 právě tehdy, když žádný z faktorů není roven 0.

Musí být splněny dvě podmínky: . Zjistíme, že ze dvou kořenů první rovnice je vhodný pouze jeden - 3.

Odpovědět:.

V této lekci jsme si připomněli, co je racionální výraz, a také jsme se naučili řešit racionální rovnice, které se redukují na kvadratické rovnice.

V další lekci se podíváme na racionální rovnice jako na modely reálných situací a také na pohybové problémy.

Bibliografie

1. Bašmakov M.I. Algebra, 8. třída. - M.: Vzdělávání, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a další Algebra, 8. 5. vyd. - M.: Vzdělávání, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. třída. Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce. - M.: Vzdělávání, 2006.

1. Festival pedagogických nápadů „Otevřená lekce“ ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Domácí práce

„Racionální rovnice s polynomy“ jsou jedním z nejčastějších témat testových úloh jednotné státní zkoušky z matematiky. Z tohoto důvodu by měla být věnována zvláštní pozornost jejich opakování. Mnoho studentů se potýká s problémem najít diskriminant, přenést ukazatele z pravé strany na levou a přivést rovnici ke společnému jmenovateli, a proto je plnění takových úkolů obtížné. Řešení racionálních rovnic při přípravě na jednotnou státní zkoušku na našem webu vám pomůže rychle se vyrovnat s problémy jakékoli složitosti a úspěšně projít testem.

Vyberte si vzdělávací portál Shkolkovo, abyste se úspěšně připravili na jednotnou zkoušku z matematiky!

Chcete-li znát pravidla pro výpočet neznámých a snadno získat správné výsledky, využijte naši online službu. Portál Shkolkovo je jedinečná platforma, kde se shromažďují materiály potřebné pro přípravu na jednotnou státní zkoušku. Naši učitelé systematizovali a srozumitelnou formou prezentovali všechna matematická pravidla. Kromě toho zveme školáky, aby si vyzkoušeli řešení standardních racionálních rovnic, jejichž základ je neustále aktualizován a rozšiřován.

Pro efektivnější přípravu na testování doporučujeme postupovat podle naší speciální metody a začít s opakováním pravidel a řešením jednoduchých problémů, postupně přejít ke složitějším. Absolvent tak bude schopen identifikovat pro sebe nejobtížnější témata a soustředit se na jejich studium.

Začněte se připravovat na závěrečný test se Shkolkovo ještě dnes a výsledky na sebe nenechají dlouho čekat! Vyberte nejjednodušší příklad z uvedených. Pokud si výraz rychle osvojíte, přejděte k obtížnějšímu úkolu. Tímto způsobem můžete zlepšit své znalosti až k řešení USE úloh v matematice na specializované úrovni.

Školení je k dispozici nejen absolventům z Moskvy, ale i školákům z jiných měst. Věnujte pár hodin denně studiu například na našem portálu a velmi brzy si poradíte s rovnicemi jakékoli složitosti!