Primjeri izvoda elementarnih funkcija s rješenjima. Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja

Navedeni su primjeri izračunavanja izvoda pomoću formule za izvod kompleksne funkcije.

Ovdje dajemo primjere izračunavanja derivata sljedećih funkcija:
; ; ; ; .

Ako se funkcija može predstaviti kao složena funkcija u sljedećem obliku:
,
tada je njegova derivacija određena formulom:
.
U primjerima ispod, zapisat ćemo ovu formulu na sljedeći način:
.
Gdje .
Ovdje indeksi ili , koji se nalaze ispod predznaka derivacije, označavaju varijable pomoću kojih se diferencijacija vrši.

Obično se u tablicama izvoda daju izvode funkcija iz varijable x. Međutim, x je formalni parametar. Varijabla x može se zamijeniti bilo kojom drugom varijablom. Stoga, kada razlikujemo funkciju od varijable, jednostavno mijenjamo, u tablici izvoda, varijablu x u varijablu u.

Jednostavni primjeri

Primjer 1

Pronađite izvod kompleksne funkcije
.

Rješenje

Zapišimo datu funkciju u ekvivalentnom obliku:
.
U tabeli derivata nalazimo:
;
.

Prema formuli za izvod kompleksne funkcije imamo:
.
Evo.

Odgovori

Primjer 2

Pronađite izvod
.

Rješenje

Konstantu 5 uzimamo iz predznaka derivacije i iz tabele derivacija nalazimo:
.

.
Evo.

Odgovori

Primjer 3

Pronađite izvod
.

Rješenje

Izvadimo konstantu -1 za predznak derivacije i iz tabele derivacija nalazimo:
;
Iz tabele derivata nalazimo:
.

Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije:
.
Evo.

Odgovori

Složeniji primjeri

U složenijim primjerima primjenjujemo pravilo za diferenciranje složene funkcije nekoliko puta. U ovom slučaju derivaciju računamo od kraja. To jest, razbijamo funkciju na njene sastavne dijelove i pomoću njih pronalazimo derivate najjednostavnijih dijelova tabela derivata. Takođe koristimo pravila za razlikovanje suma, proizvodi i frakcije. Zatim vršimo zamjene i primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.

Primjer 4

Pronađite izvod
.

Rješenje

Odaberimo najjednostavniji dio formule i pronađemo njenu derivaciju. .

.
Ovdje smo koristili notaciju
.

Dobivenim rezultatima pronalazimo derivaciju sljedećeg dijela originalne funkcije. Primjenjujemo pravilo za razlikovanje sume:
.

Još jednom primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija.

.
Evo.

Odgovori

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije
.

Rješenje

Odaberimo najjednostavniji dio formule i pronađimo njen izvod iz tablice izvoda. .

Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija.
.
Evo
.

Kako pronaći izvod, kako uzeti izvod? U ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći derivate funkcija. Ali prije proučavanja ove stranice, toplo preporučujem da se upoznate s metodološkim materijalom Vruće formule za školski kurs matematike. Referentni priručnik se može otvoriti ili preuzeti na stranici Matematičke formule i tabele. I odatle će nam trebati Tabela derivata, bolje je da ga odštampate često ćete morati da se pozivate na njega, ne samo sada, već i van mreže.

Jesti? Hajde da počnemo. Imam dvije vijesti za vas: dobru i vrlo dobru. Dobra vijest je sljedeća: da biste naučili kako pronaći derivate, ne morate znati i razumjeti šta je derivat. Štaviše, svrsishodnije je kasnije savladati definiciju derivacije funkcije, matematičko, fizičko, geometrijsko značenje derivacije, budući da kvalitetno proučavanje teorije, po mom mišljenju, zahtijeva proučavanje niza druge teme, kao i neka praktična iskustva.
A sada je naš zadatak da tehnički savladamo te iste derivate. Vrlo dobra vijest je da učenje uzimanja derivata nije tako teško da postoji prilično jasan algoritam za rješavanje (i objašnjenje) ovog zadatka, na primjer, teže je savladati;

Preporučujem sledeći redosled proučavanja teme:: Prvo, ovaj članak. Zatim morate pročitati najvažniju lekciju Derivat kompleksne funkcije. Ove dvije osnovne klase će preuzeti vaše vještine od nule. Dalje se u članku možete upoznati sa složenijim izvedenicama Složeni derivati. Logaritamski izvod. Ako je traka previsoka, prvo pročitajte stvar Najjednostavniji tipični problemi s izvedenicama. Pored novog materijala, lekcija pokriva i druge, jednostavnije vrste izvedenica, i odlična je prilika da poboljšate svoju tehniku ​​diferencijacije. Osim toga, testni radovi gotovo uvijek sadrže zadatke za pronalaženje izvoda funkcija koje su specificirane implicitno ili parametarski. Postoji i takva lekcija: Derivati ​​implicitnih i parametarski definiranih funkcija.

Pokušat ću u pristupačnom obliku, korak po korak, naučiti vas kako pronaći izvode funkcija. Sve informacije su predstavljene detaljno, jednostavnim riječima.

Zapravo, pogledajmo odmah primjer:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Rješenje:

Ovo je najjednostavniji primjer, pronađite ga u tabeli izvoda elementarnih funkcija. Pogledajmo sada rješenje i analiziramo šta se dogodilo? I dogodilo se sljedeće: imali smo funkciju, koja se kao rezultat rješenja pretvorila u funkciju.

Jednostavno rečeno, da biste pronašli derivaciju funkcije, morate je pretvoriti u drugu funkciju prema određenim pravilima. Pogledajte ponovo tablicu izvedenica - tamo se funkcije pretvaraju u druge funkcije. Jedini izuzetak je eksponencijalna funkcija, koja se pretvara u sebe. Operacija pronalaženja derivacije se zove diferencijaciju .

Oznake: Izvod je označen sa ili .

PAŽNJA, VAŽNO! Zaboravljajući staviti potez (gdje je potrebno), ili nacrtati dodatni potez (gdje nije potrebno) - VELIKA GREŠKA! Funkcija i njen derivat su dvije različite funkcije!

Vratimo se našoj tabeli derivata. Iz ove tabele je poželjno zapamtiti: pravila diferencijacije i derivati ​​nekih elementarnih funkcija, posebno:

izvod konstante:
, gdje je konstantan broj;

izvod funkcije stepena:
, posebno: , , .

Zašto pamtiti? Ovo znanje je osnovno znanje o izvedenicama. A ako ne možete odgovoriti na pitanje nastavnika „Koja je derivacija broja?“, onda bi vam se moglo završiti školovanje na fakultetu (lično sam upoznat sa dva slučaja iz stvarnog života). Osim toga, ovo su najčešće formule koje moramo koristiti gotovo svaki put kada naiđemo na derivate.

U stvarnosti, rijetki su jednostavni tabelarni primjeri, pri pronalaženju izvoda prvo se koriste pravila diferencijacije, a zatim tablica izvoda elementarnih funkcija.

S tim u vezi, prelazimo na razmatranje pravila diferencijacije:

1) Konstantan broj se može (i treba) izvući iz predznaka derivacije

Gdje je konstantan broj (konstanta)

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Pogledajmo tabelu izvedenica. Derivat kosinusa je tu, ali imamo .

Vrijeme je da upotrijebimo pravilo, iz predznaka derivacije uzimamo konstantni faktor:

Sada pretvaramo naš kosinus prema tabeli:

Pa, preporučljivo je malo "pročešljati" rezultat - stavite znak minus na prvo mjesto, istovremeno se riješite zagrada:

2) Derivat zbira jednak je zbiru izvoda

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Hajde da odlučimo. Kao što ste vjerovatno već primijetili, prvi korak koji se uvijek izvodi pri pronalaženju derivacije je da cijeli izraz stavimo u zagrade i stavimo prost u gornjem desnom kutu:

Primijenimo drugo pravilo:

Imajte na umu da za diferencijaciju svi korijeni i stupnjevi moraju biti predstavljeni u obliku, a ako su u nazivniku, onda ih pomaknite prema gore. O tome kako se to radi govori se u mojim nastavnim materijalima.

Sada se prisjetimo prvog pravila diferencijacije - uzimamo konstantne faktore (brojeve) izvan predznaka derivacije:

Obično se tokom rješavanja ova dva pravila primjenjuju istovremeno (kako se ne bi ponovo pisao dugi izraz).

Sve funkcije koje se nalaze ispod poteza su elementarne funkcije tabele pomoću koje vršimo transformaciju:

Možete ostaviti sve kako jeste, pošto više nema poteza, a derivat je pronađen. Međutim, ovakvi izrazi obično pojednostavljuju:

Preporučljivo je ponovo predstaviti sve potencije u obliku korijena sa negativnim eksponentima; Iako to ne morate da radite, to neće biti greška.

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Pokušajte sami riješiti ovaj primjer (odgovor na kraju lekcije). Zainteresovani mogu koristiti i intenzivni kurs u pdf formatu, što je posebno važno ako imate vrlo malo vremena na raspolaganju.

3) Derivat proizvoda funkcija

Čini se da analogija sugerira formulu ...., ali iznenađenje je da:

Ovo je neobično pravilo (kao, u stvari, i drugi) slijedi iz derivativne definicije. Ali za sada ćemo se zadržati na teoriji – sada je važnije naučiti kako riješiti:

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo proizvod dvije funkcije ovisno o .
Prvo primjenjujemo naše čudno pravilo, a zatim transformiramo funkcije koristeći tablicu izvedenica:

Tesko? Nimalo, sasvim dostupno čak i za čajnik.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ova funkcija sadrži zbir i proizvod dvije funkcije - kvadratnog trinoma i logaritma. Još iz škole pamtimo da množenje i dijeljenje imaju prednost nad sabiranjem i oduzimanjem.

I ovdje je isto. KAO PRVO koristimo pravilo diferencijacije proizvoda:

Sada za zagradu koristimo prva dva pravila:

Kao rezultat primjene pravila diferencijacije ispod poteza, ostaju nam samo elementarne funkcije koristeći tablicu derivacija, pretvaramo ih u druge funkcije:

Spreman.

Uz izvjesno iskustvo u pronalaženju izvedenica, čini se da ne treba tako detaljno opisivati ​​jednostavne derivate. Uglavnom se o njima odlučuje usmeno i to se odmah zapisuje .

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije)

4) Derivat kvocijentnih funkcija

Otvorio se otvor na plafonu, ne brinite, kvar je.
Ali ovo je surova realnost:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Šta ovdje nedostaje – zbir, razlika, proizvod, razlomak… Od čega da počnem?! Postoje sumnje, nema sumnje, ali, U svakom slučaju Prvo nacrtajte zagrade i stavite crtu gore desno:

Sada pogledamo izraz u zagradama, kako ga možemo pojednostaviti? U ovom slučaju uočavamo faktor, koji je, prema prvom pravilu, preporučljivo staviti van predznaka derivacije.

Pronalaženje izvoda matematičke funkcije naziva se diferencijacija. Pronalaženje derivacije matematičke funkcije je čest problem koji se susreće u višoj matematici. Možete razgovarati na različite načine: pronaći izvod, izračunati izvod, razlikovati funkciju, uzeti izvod, ali sve su to isti koncepti. Postoje, naravno, složeni zadaci u kojima je pronalaženje derivacije samo jedna od komponenti problema. Na našem web servisu imate mogućnost da izračunate derivaciju online kako iz elementarnih tako i iz složenih funkcija koje nemaju analitičko rješenje. Izvod online na našem servisu možete pronaći iz gotovo svake matematičke funkcije, čak i one najsloženije koju drugi servisi ne mogu riješiti umjesto vas. A dobijeni odgovor je uvijek 100% tačan i otklanja greške. Kako se odvija proces pronalaženja derivata možete vidjeti na našoj web stranici koristeći konkretne primjere. Primeri se nalaze desno od dugmeta Rešenje. Odaberite bilo koju funkciju s popisa primjera, ona će se automatski umetnuti u funkcijsko polje, a zatim kliknite na dugme “Rješenje”. Vidjet ćete rješenje korak po korak, a vaš derivat će se naći na isti način. Prednosti rješavanja izvedenica online. Čak i ako znate kako pronaći derivate, proces može potrajati mnogo vremena i truda. Stranica usluge je dizajnirana da vas spasi od zamornih i dugih proračuna, u kojima možete i pogriješiti. Izvod izračunavamo online jednim klikom na dugme “Rješenje” nakon unosa određene funkcije. Stranica je savršena i za one koji žele provjeriti svoje vještine u pronalaženju derivacije matematičke funkcije i uvjeriti se da je njihovo samostalno rješenje ispravno ili pronaći grešku u njoj. Da biste to učinili, samo trebate uporediti svoj odgovor s rezultatom izračuna online usluge. Ako ne želite koristiti tablice izvoda, za koje je potrebno dosta vremena za pronalaženje željene funkcije, tada koristite našu uslugu umjesto tablica izvedenica da pronađete izvod. Glavne prednosti našeg sajta u poređenju sa drugim sličnim servisima su da se kalkulacija odvija veoma brzo (u proseku 5 sekundi) i za to ne morate ništa da platite - usluga je potpuno besplatna. Nećete morati da se registrujete, unesete e-mail ili unesete svoje lične podatke. Sve što treba da uradite je da unesete zadatu funkciju i kliknete na dugme „Rješenje“. Šta je derivat? Izvod funkcije je osnovni koncept u matematici i matematičkoj analizi. Obrnuto od ovog procesa je integracija, odnosno pronalaženje funkcije iz poznatog izvoda. Pojednostavljeno rečeno, diferencijacija je radnja na funkciji, a derivacija je rezultat takve akcije. Da bi se izračunao izvod funkcije u određenoj tački, argument x se zamjenjuje numeričkom vrijednošću i izraz se procjenjuje. Izvod je označen prostim brojem u gornjem desnom uglu iznad funkcije. Hod također može biti oznaka određene funkcije. Da biste pronašli izvod elementarne funkcije, morat ćete znati tablicu izvoda ili je uvijek imati pri ruci, što možda nije baš zgodno, kao i znati pravila diferencijacije, pa preporučujemo korištenje našeg servisa gdje je izvod izračunato na mreži, samo trebate unijeti funkciju u polje predviđeno za ovo. Argument mora biti varijabla x, pošto se diferencijacija vrši u odnosu na nju. Ako trebate izračunati drugi izvod, možete razlikovati rezultirajući odgovor. Kako izračunati derivat na mreži. Tablice izvoda za elementarne funkcije su odavno napravljene i lako ih možete pronaći, tako da je izračunavanje izvoda elementarne (jednostavne) matematičke funkcije prilično jednostavna stvar. Međutim, kada trebate pronaći derivaciju složene matematičke funkcije, to više nije trivijalan zadatak i zahtijevat će mnogo truda i vremena. Možete se riješiti besmislenih i dugih proračuna ako koristite našu online uslugu. Zahvaljujući njemu, izvod će se izračunati za nekoliko sekundi.

U ovoj lekciji ćemo naučiti kako pronaći derivat kompleksne funkcije. Lekcija je logičan nastavak lekcije Kako pronaći derivat?, u kojoj smo analizirali najjednostavnije izvode, a takođe se upoznali sa pravilima diferencijacije i nekim tehničkim tehnikama za pronalaženje izvodnica. Stoga, ako niste baš dobri sa derivatima funkcija ili ako neke tačke u ovom članku nisu sasvim jasne, onda prvo pročitajte gornju lekciju. Ozbiljno se raspoloženi - materijal nije jednostavan, ali ću ipak pokušati da ga predstavim jednostavno i jasno.

U praksi se morate vrlo često, čak bih rekao, gotovo uvijek baviti izvodom složene funkcije, kada vam se daju zadaci da nađete izvode.

Gledamo u tabelu pravilo (br. 5) za razlikovanje složene funkcije:

Hajde da to shvatimo. Prije svega, obratimo pažnju na unos. Ovdje imamo dvije funkcije – i , a funkcija je, figurativno rečeno, ugniježđena unutar funkcije. Funkcija ovog tipa (kada je jedna funkcija ugniježđena u drugu) naziva se složena funkcija.

Pozvat ću funkciju eksterna funkcija, i funkciju – interna (ili ugniježđena) funkcija.

! Ove definicije nisu teorijske i ne bi se trebale pojaviti u konačnom dizajnu zadataka. Koristim neformalne izraze “spoljna funkcija”, “unutrašnja” funkcija samo da bih vam olakšao razumevanje materijala.

Da biste razjasnili situaciju, razmotrite:

Primjer 1

Pronađite izvod funkcije

Pod sinusom nemamo samo slovo "X", već cijeli izraz, tako da pronalaženje izvedenice odmah iz tabele neće raditi. Također primjećujemo da je ovdje nemoguće primijeniti prva četiri pravila, čini se da postoji razlika, ali činjenica je da se sinus ne može „rastrgnuti na komade“:

U ovom primjeru je već intuitivno jasno iz mojih objašnjenja da je funkcija složena funkcija, a polinom je interna funkcija (ugradnja) i eksterna funkcija.

Prvi korak ono što trebate učiniti kada pronađete derivaciju kompleksne funkcije je da razumjeti koja je funkcija unutrašnja, a koja eksterna.

U slučaju jednostavnih primjera, čini se jasnim da je polinom ugrađen ispod sinusa. Ali šta ako sve nije očigledno? Kako tačno odrediti koja je funkcija eksterna, a koja unutrašnja? Da biste to učinili, predlažem korištenje sljedeće tehnike, koja se može učiniti mentalno ili u nacrtu.

Zamislimo da trebamo izračunati vrijednost izraza na kalkulatoru (umjesto jedan može biti bilo koji broj).

Šta ćemo prvo izračunati? Kao prvo morat ćete izvesti sljedeću radnju: , stoga će polinom biti interna funkcija:

Drugo morat će se pronaći, tako da će sinus – biti vanjska funkcija:

Nakon nas RASPRODATO Kod unutrašnjih i eksternih funkcija, vrijeme je da se primijeni pravilo diferencijacije složenih funkcija.

Počnimo da odlučujemo. Iz razreda Kako pronaći derivat? sjećamo se da dizajn rješenja za bilo koju derivaciju uvijek počinje ovako - stavljamo izraz u zagrade i stavljamo crtu gore desno:

Kao prvo nađemo izvod eksterne funkcije (sinus), pogledamo tabelu izvoda elementarnih funkcija i uočimo da . Sve formule tablice su također primjenjive ako se “x” zamijeni složenim izrazom, u ovom slučaju:

Imajte na umu da je unutrašnja funkcija nije se promenilo, ne diramo ga.

Pa, to je sasvim očigledno

Konačni rezultat primjene formule izgleda ovako:

Konstantni faktor se obično stavlja na početak izraza:

Ako dođe do nesporazuma, zapišite rješenje na papir i ponovo pročitajte objašnjenja.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Kao i uvek, zapisujemo:

Hajde da shvatimo gde imamo spoljnu funkciju, a gde unutrašnju. Da bismo to učinili, pokušavamo (mentalno ili u nacrtu) izračunati vrijednost izraza na . Šta prvo treba da uradite? Prije svega, morate izračunati čemu je baza jednaka: dakle, polinom je interna funkcija:

I tek tada se vrši eksponencijacija, dakle, funkcija stepena je vanjska funkcija:

Prema formuli, prvo morate pronaći derivaciju vanjske funkcije, u ovom slučaju stepen. Traženu formulu tražimo u tabeli: . Ponavljamo ponovo: bilo koja tabelarna formula vrijedi ne samo za “X”, već i za složeni izraz. Dakle, rezultat primjene pravila za diferenciranje složene funkcije je sljedeći:

Ponovo naglašavam da kada uzmemo derivaciju eksterne funkcije, naša unutrašnja funkcija se ne mijenja:

Sada sve što ostaje je pronaći vrlo jednostavan izvod interne funkcije i malo podesiti rezultat:

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Da biste učvrstili vaše razumijevanje derivacije složene funkcije, dat ću primjer bez komentara, pokušajte sami da ga shvatite, razlog gdje je vanjska, a gdje unutrašnja funkcija, zašto se zadaci rješavaju na ovaj način?

Primjer 5

a) Naći derivaciju funkcije

b) Naći derivaciju funkcije

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje imamo korijen, a da bismo ga razlikovali, on mora biti predstavljen kao potencija. Dakle, prvo dovedemo funkciju u oblik prikladan za diferencijaciju:

Analizirajući funkciju dolazimo do zaključka da je zbir tri člana interna funkcija, a podizanje na stepen eksterna funkcija. Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija:

Opet predstavljamo stepen kao radikal (korijen), a za derivaciju interne funkcije primjenjujemo jednostavno pravilo za diferenciranje sume:

Spreman. Također možete svesti izraz na zajednički nazivnik u zagradama i sve zapisati kao jedan razlomak. Lijepo je, naravno, ali kada dobijete glomazne dugačke izvedenice, bolje je to ne raditi (lako se zbuniti, napraviti nepotrebnu grešku, a nastavniku će biti nezgodno da provjeri).

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Zanimljivo je primijetiti da ponekad umjesto pravila za diferenciranje složene funkcije možete koristiti pravilo za razlikovanje količnika , ali takvo rješenje će izgledati kao smiješna perverzija. Evo tipičnog primjera:

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete koristiti pravilo diferencijacije količnika , ali je mnogo isplativije pronaći izvod kroz pravilo diferencijacije složene funkcije:

Pripremamo funkciju za diferencijaciju - pomičemo minus iz znaka derivacije i dižemo kosinus u brojilac:

Kosinus je interna funkcija, eksponencijacija je vanjska funkcija.
Koristimo naše pravilo:

Pronalazimo izvod interne funkcije i resetujemo kosinus nazad:

Spreman. U razmatranom primjeru važno je da se ne zbunite u znakovima. Usput, pokušajte to riješiti pomoću pravila , odgovori se moraju podudarati.

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije).

Do sada smo gledali slučajeve u kojima smo imali samo jedno ugniježđenje u složenoj funkciji. U praktičnim zadacima često možete pronaći derivate, gdje se, poput lutki za gniježđenje, jedna u drugoj, 3 ili čak 4-5 funkcija ugniježde odjednom.

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Hajde da razumemo priloge ove funkcije. Pokušajmo izračunati izraz koristeći eksperimentalnu vrijednost. Kako bismo računali na kalkulator?

Prvo morate pronaći , što znači da je arksinus najdublje ugrađivanje:

Ovaj arcsin od jedan bi se tada trebao kvadrirati:

I konačno, dižemo sedam na stepen:

To jest, u ovom primjeru imamo tri različite funkcije i dva ugrađivanja, dok je najnutarnja funkcija arksinus, a najudaljenija funkcija eksponencijalna funkcija.

Počnimo da odlučujemo

Prema pravilu, prvo morate uzeti derivaciju eksterne funkcije. Gledamo tablicu izvoda i nalazimo izvod eksponencijalne funkcije: Jedina razlika je u tome što umjesto “x” imamo složen izraz, koji ne negira valjanost ove formule. Dakle, rezultat primjene pravila za diferenciranje složene funkcije je sljedeći.