Събиране на два корена. Правила за събиране на квадратни корени

Събиране и изваждане на корени- един от най-честите „препъникамъци“ за тези, които посещават курсове по математика (алгебра) в гимназията. Но да се научите правилно да ги добавяте и изваждате е много важно, тъй като примерите за сумата или разликата на корените са включени в програмата на основния Единен държавен изпит по дисциплината „математика“.

За да овладеете решаването на такива примери, трябват две неща - да разберете правилата, а също и да натрупате практика. След като реши една или две дузини типични примери, ученикът ще доведе това умение до автоматизма и тогава вече няма да има от какво да се страхува на Единния държавен изпит. Препоръчително е да започнете да овладявате аритметичните операции със събиране, защото добавянето им е малко по-лесно от изваждането.

Най-лесният начин да обясните това е да използвате квадратния корен като пример. В математиката има утвърден термин „вдигане на квадрат“. „Поставяне на квадрат“ означава еднократно умножаване на определено число само по себе си.. Например, ако повдигнете на квадрат 2, получавате 4. Ако повдигнете на квадрат 7, ще получите 49. На квадрат от 9 е 81. Така че квадратният корен от 4 е 2, от 49 е 7 и от 81 е 9.

По правило преподаването на тази тема по математика започва с квадратни корени. За да го определи веднага, ученикът в гимназията трябва да знае наизуст таблицата за умножение. Тези, които не знаят твърдо тази таблица, трябва да използват съвети. Обикновено процесът на извличане на корен квадрат от число е даден под формата на таблица на кориците на много ученически тетрадки по математика.

Корените са от следните видове:

• квадрат;
• кубичен (или т.нар. трета степен);
• четвърта степен;
• пета степен.

Правила за добавяне

За да се реши успешно типичен пример, е необходимо да се има предвид, че не всички коренни числа могат да се подреждат един с друг. За да бъдат сглобени, те трябва да бъдат приведени в един модел. Ако това е невъзможно, значи проблемът няма решение. Такива задачи също често се срещат в учебниците по математика като своеобразен капан за учениците.

Не се допуска добавяне в задачи, когато коренните изрази се различават един от друг. Това може да се илюстрира с ясен пример:

• Ученикът е изправен пред задачата: да събере корен квадратен от 4 и 9;
• неопитен ученик, който не знае правилото, обикновено пише: „корен от 4 + корен от 9 = корен от 13.“
• Много е лесно да се докаже, че това решение е неправилно. За да направите това, трябва да намерите корен квадратен от 13 и да проверите дали примерът е решен правилно;
• с помощта на микрокалкулатор можете да определите, че е приблизително 3,6. Сега остава само да проверим решението;
• корен от 4=2 и корен от 9=3;
• Сумата от числата "две" и "три" е равна на пет. Следователно този алгоритъм за решение може да се счита за неправилен.

Ако корените имат еднаква степен, но различни числови изрази, то се изважда от скоби и се поставя в скоби сбор от два радикални израза. Така вече се извлича от това количество.

Алгоритъм за добавяне

За да разрешите правилно най-простия проблем, трябва:

1. Определете какво точно изисква добавяне.
2. Разберете дали е възможно да добавяте стойности една към друга, ръководейки се от съществуващите правила в математиката.
3. Ако не са сгъваеми, трябва да ги трансформирате, за да могат да се сгъват.
4. След като извършите всички необходими трансформации, трябва да извършите добавянето и да запишете готовия отговор. Можете да извършите добавяне наум или с помощта на микрокалкулатор, в зависимост от сложността на примера.

Какви са подобните корени

За да разрешите правилно пример за добавяне, първо трябва да помислите как можете да го опростите. За да направите това, трябва да имате основни познания за това какво е сходство.

Способността да се идентифицират подобни помага за бързо решаване на подобни примери за добавяне, привеждайки ги в опростена форма. За да опростите типичен пример за добавяне, трябва да:

1. Намерете подобни и ги разделете в една група (или няколко групи).
2. Пренапишете съществуващия пример по такъв начин, че корените, които имат същия индикатор, следват ясно един след друг (това се нарича „групиране“).
3. След това трябва отново да напишете израза, този път по такъв начин, че подобни (които имат същия индикатор и същата радикална фигура) също следват един след друг.

След това опростеният пример обикновено е лесен за решаване.

За да решите правилно всеки пример за добавяне, трябва ясно да разберете основните правила за добавяне, както и да знаете какво е корен и какво може да бъде.

Понякога такива проблеми изглеждат много трудни на пръв поглед, но обикновено се решават лесно чрез групиране на подобни. Най-важното нещо е практиката и тогава ученикът ще започне да „разбива проблемите като ядки“. Добавянето на корени е една от най-важните части на математиката, така че учителите трябва да отделят достатъчно време за изучаването му.

Видео

Това видео ще ви помогне да разберете уравненията с квадратни корени.

В математиката всяко действие има противоположна двойка - по същество това е едно от проявленията на хегеловия закон на диалектиката: „единството и борбата на противоположностите“. Едно от действията в такава „двойка“ е насочено към увеличаване на броя, а другото, неговата противоположност, е насочено към намаляването му. Например обратното на събирането е изваждането, а делението е обратното на умножението. Степеняването също има своя диалектическа противоположна двойка. Говорим за извличане на корена.

Да се ​​извлече корен на такава и такава степен от число означава да се изчисли кое число трябва да се повдигне на съответната степен, за да се получи дадено число. Двете степени имат свои отделни имена: втората степен се нарича „квадрат“, а третата се нарича „куб“. Съответно, хубаво е корените на тези степени да се наричат ​​квадратни и кубични корени. Действията с кубични корени са тема за отделна дискусия, но сега нека поговорим за добавянето на квадратни корени.

Нека започнем с факта, че в някои случаи е по-лесно първо да извадите квадратни корени и след това да добавите резултатите. Да предположим, че трябва да намерим стойността на следния израз:

В крайна сметка не е никак трудно да се изчисли, че корен квадратен от 16 е 4, а от 121 е 11. Следователно,

√16+√121=4+11=15

Това обаче е най-простият случай - тук говорим за пълни квадрати, т.е. за тези числа, които се получават чрез повдигане на квадрат на цели числа. Но това не винаги се случва. Например числото 24 не е перфектен квадрат (няма цяло число, което, когато бъде повдигнато на втора степен, да доведе до 24). Същото важи и за число като 54... Ами ако трябва да съберем квадратните корени на тези числа?

В този случай ще получим в отговора не число, а друг израз. Максимумът, който можем да направим тук, е да опростим максимално оригиналния израз. За да направите това, ще трябва да извадите факторите под квадратния корен. Нека да видим как се прави това, използвайки числата, споменати по-горе като пример:

Първо, нека разложим 24 на множители, така че един от тях да може лесно да бъде извлечен като квадратен корен (т.е., така че да е перфектен квадрат). Има такъв номер - той е 4:

Сега нека направим същото с 54. В състава си това число ще бъде 9:

Така получаваме следното:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Сега нека извлечем корените от това, от което можем да ги извлечем: 2*√6+3*√6

Тук има общ фактор, който можем да извадим от скоби:

(2+3)* √6=5*√6

Това ще бъде резултатът от добавянето - нищо повече не може да бъде извлечено тук.

Вярно е, че можете да използвате калкулатор - но резултатът ще бъде приблизителен и с огромен брой десетични знаци:

√6=2,449489742783178

Постепенно закръглявайки, получаваме приблизително 2,5. Ако все пак искаме да доведем решението на предишния пример до логичния му край, можем да умножим този резултат по 5 - и ще получим 12,5. Невъзможно е да се получи по-точен резултат с такива първоначални данни.

Корен квадратен от число x е число a, което, умножено по себе си, дава числото x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Както при всички числа, можете да извършвате аритметични операции събиране и изваждане с квадратни корени.

Инструкции

1. Първо, когато добавяте квадратни корени, опитайте се да извлечете тези корени. Това ще бъде приемливо, ако числата под знака за корен са идеални квадрати. Да кажем, че даденият израз е ?4 + ?9. Първото число 4 е квадрат на числото 2. Второто число 9 е квадрат на числото 3. Така се оказва, че: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Ако няма пълни квадратчета под знака за корен, тогава опитайте да преместите множителя на числото от под знака за корен. Да кажем, да кажем, че е даден изразът?24 +?54. Разложете числата на множители: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Числото 24 има фактор 4, този, който може да бъде прехвърлен от под знака за квадратен корен. Числото 54 има коефициент 9. Така се оказва, че: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . В този пример, в резултат на премахване на множителя под знака на корена, беше възможно да се опрости дадения израз.

3. Нека сумата от 2 квадратни корена е знаменателят на дроб, да речем A / (?a + ?b). И нека вашата задача е „да се отървете от ирационалността в знаменателя“. След това можете да използвате следващия метод. Умножете числителя и знаменателя на дробта по израза ?a - ?b. Така знаменателят ще съдържа съкратената формула за умножение: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. По аналогия, ако знаменателят съдържа разликата между корените: ?a - ?b, тогава числителят и знаменателят на дробта трябва да се умножат по израза ?a + ?b. Например нека дробта 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Помислете за по-сложен пример за премахване на ирационалността в знаменателя. Нека е дадена дробта 12 / (?2 + ?3 + ?5). Трябва да умножите числителя и знаменателя на дробта по израза?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. И накрая, ако имате нужда само от приблизителна стойност, можете да изчислите квадратния корен с помощта на калкулатор. Изчислете стойностите поотделно за цялото число и го запишете с необходимата точност (да речем два знака след десетичната запетая). И след това извършете необходимите аритметични операции, както с обикновените числа. Да кажем, да кажем, че трябва да намерите приблизителната стойност на израза ?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Видео по темата

Забележка!
В никакъв случай не могат да се събират квадратни корени като примитивни числа, т.е. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Полезен съвет
Ако разлагате число, за да преместите квадрата от знака за корен, извършете обратната проверка - умножете всички получени фактори и получете оригиналното число.

В математиката корените могат да бъдат квадратни, кубични или да имат друг показател (степен), който се записва вляво над знака за корен. Израз под знака за корен се нарича радикален израз. Добавянето на корени е подобно на добавянето на членове на алгебричен израз, т.е. изисква определяне на подобни корени.

стъпки

Обозначаване на корени.Израз под знака за корен () означава, че е необходимо да се извлече корен от определена степен от този израз.

• Коренът се обозначава със знак.
• Показателят (степента) на корена се записва вляво над знака за корен. Например кубичният корен от 27 се записва като: (27)
• Ако индексът (степента) на корена липсва, тогава показателят се счита за равен на 2, т.е. той е квадратен корен (или корен от втора степен).
• Числото, написано преди знака за корен, се нарича множител (тоест това число се умножава по корена), например 5 (2)
• Ако няма множител пред корена, тогава той е равен на 1 (помнете, че всяко число, умножено по 1, е равно на себе си).
• Ако за първи път работите с корени, направете подходящи бележки за множителя и степенния корен, за да избегнете объркване и да разберете по-добре предназначението им.

Запомнете кои корени могат да се сгъват и кои не.Точно както не можете да добавяте различни членове на израз, например 2a + 2b 4ab, не можете да добавяте различни корени.

Идентифицирайте и групирайте подобни корени.Подобни корени са корени, които имат еднакви показатели и същите радикални изрази. Например, разгледайте израза:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Първо, пренапишете израза, така че корените със същия индекс да са разположени последователно.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• След това пренапишете израза така, че корените с еднакъв степенен показател и със същия радикален израз да са разположени последователно.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Опростете корените.За да направите това, разложете (където е възможно) радикалните изрази на два фактора, единият от които е изваден изпод корена. В този случай премахнатото число и коренният фактор се умножават.

Добавете множителите с подобни корени.В нашия пример има подобни корени квадратни от 2 (те могат да бъдат добавени) и подобни корени квадратни от 3 (те също могат да бъдат добавени). Кубичният корен от 3 няма такива корени.

• Няма общоприети правила за реда, в който се записват корените в израза. Следователно можете да напишете корени във възходящ ред на техните индикатори и във възходящ ред на радикални изрази.

Всичко интересно

Числото, което е под знака на корена, често пречи на решаването на уравнението и е неудобно за работа. Дори ако е повдигнато на степен, дробно или не може да бъде представено като цяло число на определена степен, можете да опитате да го извлечете от...

Корен от число x е число, което, когато е повдигнато на степен на корена, е равно на x. Множител е числото, което се умножава. Тоест в израз от формата x*ª-&radic-y трябва да въведете x под корена. Инструкции 1 Определете степента...

Ако един радикален израз съдържа набор от математически операции с променливи, тогава понякога в резултат на неговото опростяване е възможно да се получи относително проста стойност, част от която може да бъде извадена от корена. Това опростяване може да бъде полезно...

Аритметичните операции с корени от различни степени могат значително да опростят изчисленията във физиката и технологиите и да ги направят по-точни. Когато умножавате и делите, е по-удобно да не извличате корена на всеки множител или дивидент и делител, а първо...

Корен квадратен от число x е число a, което, умножено по себе си, дава числото x: a * a = a^2 = x, x = a. Както при всички числа, можете да извършвате аритметичните операции събиране и изваждане с квадратни корени. Инструкции...

Коренът в математиката може да има две значения: това е аритметична операция и всяко от решенията на уравнение, алгебрично, параметрично, диференциално или друго. Инструкции 1 Коренът n-ти от a е число, такова че...

При извършване на различни аритметични операции с корени често е необходима възможност за трансформиране на радикални изрази. За да опростите изчисленията, може да се наложи да преместите множителя извън радикалния знак или да го добавите под него. Това действие може...

Коренът е икона, която обозначава математическата операция за намиране на число, чието повдигане на степен, посочена пред знака за корен, трябва да даде числото, посочено под същия знак. Често за решаване на проблеми, които включват...

В математическите науки знакът за корен е символ за корени. Числото под знака на корена се нарича радикален израз. Ако няма показател, коренът е корен квадратен, в противен случай цифрата показва...

Аритметичен корен от n-та степен на реално число a е неотрицателно число x, чиято n-та степен е равна на числото a. Тези. (n) a = x, x^n = a. Има различни начини за събиране на аритметичен корен и рационално число...

Коренът n-ти на реално число a е число b, за което е в сила равенството b^n = a. Нечетните корени съществуват за отрицателни и положителни числа, но четните корени съществуват само за положителни числа....

Съдържание:

В математиката корените могат да бъдат квадратни, кубични или да имат друг показател (степен), който се записва вляво над знака за корен. Израз под знака за корен се нарича радикален израз. Добавянето на корени е подобно на добавянето на членове на алгебричен израз, т.е. изисква определяне на подобни корени.

стъпки

Част 1 Определяне на корени

1. 1 Обозначаване на корени.Израз под знака за корен (√) означава, че е необходимо да се извлече корен от определена степен от този израз.
   • Коренът се отбелязва със знака √.
   • Показателят (степента) на корена се записва вляво над знака за корен. Например кубичният корен от 27 се записва като: 3 √(27)
   • Ако индексът (степента) на корена липсва, тогава показателят се счита за равен на 2, т.е. той е квадратен корен (или корен от втора степен).
   • Числото, записано преди знака за корен, се нарича множител (тоест това число се умножава по корена), например 5√(2)
   • Ако няма множител пред корена, тогава той е равен на 1 (помнете, че всяко число, умножено по 1, е равно на себе си).
   • Ако за първи път работите с корени, направете подходящи бележки за множителя и степенния корен, за да избегнете объркване и да разберете по-добре предназначението им.
2. 2 Запомнете кои корени могат да се сгъват и кои не.Точно както не можете да добавяте различни членове на израз, например 2a + 2b ≠ 4ab, не можете да добавяте различни корени.
   • Не можете да добавяте корени с различни радикални изрази, например √(2) + √(3) ≠ √(5). Но можете да съберете числата под един и същ корен, например √(2 + 3) = √(5) (корен квадратен от 2 е приблизително 1,414, корен квадратен от 3 е приблизително 1,732, а корен квадратен от 5 е приблизително 2,236).
   • Не можете да добавяте корени с едни и същи радикални изрази, но различни експоненти, например √(64) + 3 √(64) (тази сума не е равна на 5 √(64), тъй като квадратният корен от 64 е 8, корен кубичен от 64 е 4, 8 + 4 = 12, което е много по-голямо от корен пети от 64, който е приблизително 2,297).

Част 2 Опростяване и добавяне на корени

1. 1 Идентифицирайте и групирайте подобни корени.Подобни корени са корени, които имат еднакви показатели и същите радикални изрази. Например, разгледайте израза:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Първо, пренапишете израза, така че корените със същия индекс да са разположени последователно.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • След това пренапишете израза така, че корените с еднакъв степенен показател и със същия радикален израз да са разположени последователно.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Опростете корените.За да направите това, разложете (където е възможно) радикалните изрази на два фактора, единият от които е изваден изпод корена. В този случай премахнатото число и коренният фактор се умножават.
   • В примера по-горе разложете числото 50 на 2*25 и числото 32 на 2*16. От 25 и 16 можете да вземете квадратни корени (съответно 5 и 4) и да премахнете 5 и 4 изпод корена, като ги умножите съответно по коефициентите 2 и 1. Така получавате опростен израз: 10√(2 ) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Числото 81 може да бъде разложено на множители 3*27 и от числото 27 можете да вземете кубичен корен от 3. Това число 3 може да бъде извадено изпод корена. Така получавате още по-опростен израз: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Добавете множителите с подобни корени.В нашия пример има подобни корени квадратни от 2 (те могат да бъдат добавени) и подобни корени квадратни от 3 (те също могат да бъдат добавени). Кубичният корен от 3 няма такива корени.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Краен опростен израз: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Няма общоприети правила за реда, в който се записват корените в израза. Следователно можете да напишете корени във възходящ ред на техните индикатори и във възходящ ред на радикални изрази.