Извършете цялостно проучване на функциите на калкулатора. Изследователска функция онлайн

Инструкции

Намерете домейна на функцията. Например, функцията sin(x) е дефинирана в целия интервал от -∞ до +∞, а функцията 1/x е дефинирана от -∞ до +∞, с изключение на точката x = 0.

Идентифицирайте области на непрекъснатост и точки на прекъсване. Обикновено функцията е непрекъсната в същата област, където е дефинирана. За да се открият прекъсвания, трябва да се изчисли, когато аргументът се доближава до изолирани точки в областта на дефиницията. Например функцията 1/x клони към безкрайност, когато x→0+, и към минус безкрайност, когато x→0-. Това означава, че в точката x = 0 има прекъсване от втори род.
Ако границите в точката на прекъсване са крайни, но не са равни, тогава това е прекъсване от първи род. Ако те са равни, тогава функцията се счита за непрекъсната, въпреки че не е дефинирана в изолирана точка.

Намерете вертикални асимптоти, ако има такива. Изчисленията от предишната стъпка ще ви помогнат тук, тъй като вертикалната асимптота почти винаги се намира в точката на прекъсване от втори вид. Понякога обаче не отделни точки са изключени от дефиниционната област, а цели интервали от точки и тогава вертикалните асимптоти могат да бъдат разположени в краищата на тези интервали.

Проверете дали функцията има специални свойства: четно, нечетно и периодично.
Функцията ще бъде четна, ако за всяко x в областта f(x) = f(-x). Например cos(x) и x^2 са четни функции.

Периодичността е свойство, което казва, че има определено число T, наречено период, което за всяко x f(x) = f(x + T). Например всички основни тригонометрични функции (синус, косинус, тангенс) са периодични.

Намерете точките. За да направите това, изчислете производната на дадената функция и намерете тези стойности на x, където става нула. Например функцията f(x) = x^3 + 9x^2 -15 има производна g(x) = 3x^2 + 18x, която изчезва при x = 0 и x = -6.

За да определите кои точки на екстремум са максимуми и кои минимуми, проследете промяната в знаците на производната при намерените нули. g(x) променя знака от плюс в точката x = -6, а в точката x = 0 обратно от минус на плюс. Следователно функцията f(x) има минимум в първата точка и минимум във втората.

Така вие също открихте области на монотонност: f(x) монотонно нараства на интервала -∞;-6, монотонно намалява на -6;0 и отново нараства на 0;+∞.

Намерете втората производна. Неговите корени ще покажат къде графиката на дадена функция ще бъде изпъкнала и къде ще бъде вдлъбната. Например втората производна на функцията f(x) ще бъде h(x) = 6x + 18. Тя отива към нула при x = -3, променяйки знака от минус на плюс. Следователно графиката на f(x) преди тази точка ще бъде изпъкнала, след нея - вдлъбната, а самата тази точка ще бъде инфлексна точка.

Една функция може да има други асимптоти освен вертикалните, но само ако нейната област на дефиниция включва . За да ги намерите, изчислете границата на f(x), когато x→∞ или x→-∞. Ако е краен, значи сте намерили хоризонталната асимптота.

Наклонената асимптота е права линия с формата kx + b. За да намерите k, изчислете границата на f(x)/x като x→∞. За да намерим b - границата (f(x) – kx) за същото x→∞.

Начертайте графика на функцията въз основа на изчислените данни. Маркирайте асимптотите, ако има такива. Маркирайте точките на екстремума и стойностите на функцията в тях. За по-голяма точност на графиката изчислете стойностите на функцията в още няколко междинни точки. Проучването е завършено.

Една от най-важните задачи на диференциалното смятане е разработването на общи примери за изследване на поведението на функциите.

Ако функцията y=f(x) е непрекъсната на интервала и нейната производна е положителна или равна на 0 на интервала (a,b), тогава y=f(x) нараства с (f"(x)0) Ако функцията y=f (x) е непрекъсната на сегмента и нейната производна е отрицателна или равна на 0 на интервала (a,b), тогава y=f(x) намалява с (f"(x)0 )

Интервалите, в които функцията не намалява или нараства, се наричат ​​интервали на монотонност на функцията. Монотонността на функция може да се промени само в онези точки от нейната област на дефиниране, в които се променя знакът на първата производна. Точките, в които първата производна на функция изчезва или има прекъсване, се наричат ​​критични.

Теорема 1 (1-во достатъчно условие за съществуване на екстремум).

Нека функцията y=f(x) е дефинирана в точката x 0 и нека има околност δ>0, така че функцията да е непрекъсната в интервала и диференцируема в интервала (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) и неговата производна запазва постоянен знак на всеки от тези интервали. Тогава, ако върху x 0 -δ,x 0) и (x 0 , x 0 +δ) знаците на производната са различни, тогава x 0 е точка на екстремум, а ако те съвпадат, тогава x 0 не е точка на екстремум . Освен това, ако при преминаване през точката x0 производната промени знака от плюс на минус (вляво от x 0 f"(x)>0 е изпълнено, тогава x 0 е максималната точка; ако производната промени знака от минус към плюс (вдясно от x 0 изпълнен f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Точките на максимум и минимум се наричат ​​точки на екстремум на функцията, а максимумът и минимумът на функцията се наричат ​​нейни екстремни стойности.

Теорема 2 (необходим знак за локален екстремум).

Ако функцията y=f(x) има екстремум при текущия x=x 0, тогава или f’(x 0)=0, или f’(x 0) не съществува.
В точките на екстремум на диференцируемата функция допирателната към нейната графика е успоредна на оста Ox.

Алгоритъм за изследване на функция за екстремум:

1) Намерете производната на функцията.
2) Намерете критични точки, т.е. точки, в които функцията е непрекъсната и производната е нула или не съществува.
3) Разгледайте околността на всяка точка и разгледайте знака на производната отляво и отдясно на тази точка.
4) Определете координатите на екстремните точки; за това заменете стойностите на критичните точки в тази функция. Използвайки достатъчни условия за екстремума, направете съответните заключения.

Пример 18. Разгледайте функцията y=x 3 -9x 2 +24x за екстремум

Решение.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Приравнявайки производната на нула, намираме x 1 =2, x 2 =4. В този случай производната е дефинирана навсякъде; Това означава, че освен откритите две точки, няма други критични точки.
3) Знакът на производната y"=3(x-2)(x-4) се променя в зависимост от интервала, както е показано на фигура 1. При преминаване през точката x=2, производната променя знака от плюс на минус, а при преминаване през точката x=4 - от минус към плюс.
4) В точка x=2 функцията има максимум y max =20, а в точка x=4 - минимум y min =16.

Теорема 3. (2-ро достатъчно условие за съществуване на екстремум).

Нека f"(x 0) и в точката x 0 съществува f""(x 0). Тогава ако f""(x 0)>0, тогава x 0 е минималната точка и ако f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

На сегмент функцията y=f(x) може да достигне най-малката (y най-малкото) или най-голямата (y най-високата) стойност или в критичните точки на функцията, разположени в интервала (a;b), или при краищата на сегмента.

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на непрекъсната функция y=f(x) върху отсечката:

1) Намерете f"(x).
2) Намерете точките, в които f"(x)=0 или f"(x) не съществува, и изберете от тях онези, които лежат вътре в сегмента.
3) Изчислете стойността на функцията y=f(x) в точките, получени в стъпка 2), както и в краищата на сегмента и изберете най-големия и най-малкия от тях: те съответно са най-големите (y най-голямата) и най-малката (y най-малката) стойности на функцията в интервала.

Пример 19. Намерете най-голямата стойност на непрекъснатата функция y=x 3 -3x 2 -45+225 върху отсечката.

1) Имаме y"=3x 2 -6x-45 върху отсечката
2) Производната y" съществува за всички x. Нека намерим точките, в които y"=0; получаваме:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
х 1 =-3; х 2 =5
3) Изчислете стойността на функцията в точки x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Отсечката съдържа само точката x=5. Най-голямата от намерените стойности на функцията е 225, а най-малката е числото 50. И така, y max = 225, y min = 50.

Изследване на функция върху изпъкналост

Фигурата показва графики на две функции. Първият от тях е изпъкнал нагоре, вторият е изпъкнал надолу.

Функцията y=f(x) е непрекъсната в интервал и диференцируема в интервала (a;b), се нарича изпъкнала нагоре (надолу) в този интервал, ако за axb нейната графика не лежи по-високо (не по-ниско) от допирателна, начертана във всяка точка M 0 (x 0 ;f(x 0)), където axb.

Теорема 4. Нека функцията y=f(x) има втора производна във всяка вътрешна точка x на отсечката и е непрекъсната в краищата на тази отсечка. Тогава, ако неравенството f""(x)0 е валидно за интервала (a;b), тогава функцията е изпъкнала надолу върху интервала ; ако неравенството f""(x)0 е в сила на интервала (a;b), тогава функцията е изпъкнала нагоре върху .

Теорема 5. Ако функцията y=f(x) има втора производна на интервала (a;b) и ако тя променя знака при преминаване през точката x 0, тогава M(x 0 ;f(x 0)) е инфлексна точка.

Правило за намиране на инфлексни точки:

1) Намерете точките, в които f""(x) не съществува или изчезва.
2) Разгледайте знака f""(x) отляво и отдясно на всяка точка, намерена в първата стъпка.
3) Въз основа на теорема 4 направете заключение.

Пример 20. Намерете точките на екстремум и точките на инфлексия на графиката на функцията y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Имаме f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Очевидно f"(x)=0, когато x 1 =0, x 2 =1. При преминаване през точката x=0 производната променя знака от минус на плюс, но при преминаване през точката x=1 не променя знака. Това означава, че x=0 е минималната точка (y min =12) и няма екстремум в точка x=1. След това намираме . Втората производна се нулира в точките x 1 =1, x 2 =1/3. Знаците на втората производна се променят както следва: На лъча (-∞;) имаме f""(x)>0, на интервала (;1) имаме f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Следователно x= е инфлексната точка на графиката на функцията (преход от изпъкналост надолу към изпъкналост нагоре), а x=1 също е инфлексната точка (преход от изпъкналост нагоре към изпъкналост надолу). Ако x=, тогава y=; ако, тогава x=1, y=13.

Алгоритъм за намиране на асимптота на графика

I. Ако y=f(x) като x → a, тогава x=a е вертикална асимптота.
II. Ако y=f(x) като x → ∞ или x → -∞, тогава y=A е хоризонтална асимптота.
III. За да намерим наклонената асимптота, използваме следния алгоритъм:
1) Изчислете. Ако границата съществува и е равна на b, тогава y=b е хоризонтална асимптота; ако , тогава преминете към втората стъпка.
2) Изчислете. Ако тази граница не съществува, тогава няма асимптота; ако съществува и е равно на k, тогава преминете към третата стъпка.
3) Изчислете. Ако тази граница не съществува, тогава няма асимптота; ако съществува и е равно на b, тогава преминете към четвъртата стъпка.
4) Запишете уравнението на наклонената асимптота y=kx+b.

Пример 21: Намерете асимптотата за функция

1)
2)
3)
4) Уравнението на наклонената асимптота има формата

Схема за изучаване на функция и построяване на нейната графика

I. Намерете областта на дефиниция на функцията.
II. Намерете пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.
III. Намерете асимптоти.
IV. Намерете възможни екстремни точки.
V. Намерете критични точки.
VI. Използвайки спомагателната фигура, изследвайте знака на първата и втората производни. Определете областите на нарастваща и намаляваща функция, намерете посоката на изпъкналост на графиката, точките на екстремуми и точките на инфлексия.
VII. Изградете графика, като вземете предвид изследванията, проведени в параграфи 1-6.

Пример 22: Постройте графика на функцията съгласно горната диаграма

Решение.
I. Домейнът на функция е множеството от всички реални числа с изключение на x=1.
II. Тъй като уравнението x 2 +1=0 няма реални корени, графиката на функцията няма пресечни точки с оста Ox, но пресича оста Oy в точката (0;-1).
III. Нека изясним въпроса за съществуването на асимптоти. Нека изследваме поведението на функцията в близост до точката на прекъсване x=1. Тъй като y → ∞ при x → -∞, y → +∞ при x → 1+, тогава правата x=1 е вертикалната асимптота на графиката на функцията.
Ако x → +∞(x → -∞), тогава y → +∞(y → -∞); следователно графиката няма хоризонтална асимптота. Освен това от съществуването на граници

Решавайки уравнението x 2 -2x-1=0, получаваме две възможни точки на екстремум:
x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2

V. За да намерим критичните точки, изчисляваме втората производна:

Тъй като f""(x) не изчезва, няма критични точки.
VI. Нека разгледаме знака на първата и втората производни. Възможни точки на екстремум, които трябва да се вземат предвид: x 1 =1-√2 и x 2 =1+√2, разделете областта на съществуване на функцията на интервали (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) и (1+√2;+∞).

Във всеки от тези интервали производната запазва знака си: в първия - плюс, във втория - минус, в третия - плюс. Последователността от знаци на първата производна ще бъде записана както следва: +,-,+.
Откриваме, че функцията нараства при (-∞;1-√2), намалява при (1-√2;1+√2) и отново нараства при (1+√2;+∞). Точки на екстремум: максимум при x=1-√2 и f(1-√2)=2-2√2 минимум при x=1+√2 и f(1+√2)=2+2√2. При (-∞;1) графиката е изпъкнала нагоре, а при (1;+∞) е изпъкнала надолу.
VII Да направим таблица на получените стойности

VIII Въз основа на получените данни изграждаме скица на графиката на функцията

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.