Надлъжни вибрации на пръта. Надлъжни вибрации на хомогенен прът

Под прът разбираме цилиндъра П=0х[О, /], когато аз" diamD. Тук д- площ на координатната равнина Ox 2 x 3 (фиг. 62). Материалът на пръта е хомогенен и изотропен, а оста Ox минава през центъра на тежестта на сечението Д.Поле на външни масови сили f(r, аз)=/(X|, /)e, където e е единичният вектор на оста Ox. Нека външните повърхностни сили върху страничната повърхност на цилиндъра са равни на нула, т.е. Ра= 0 включено dDх

Тогава от (4.8) следва за 1=0 равенство

Собствени форми X k(j) удобно е да се нормализира с помощта на нормата на пространството /^(), към което принадлежи функцията v(s, I),тъй като във всеки момент от време функционалът на кинетичната енергия съществува и е ограничен

Където С- площ на района Д.Ние имаме

X*(s) = Jj- sin^-l в скоростното пространство I 0 = ji)(s, /): срещу,t)д

В резултат на това получаваме ортонормална база |l r *(^)| ,

Където b до „- Символ Кронекер: Функции X k *(s), k= 1,2 са нормалните режими на естествените вибрации, а ω*, k= 1, 2, ..., - собствените честоти на трептения на система с безкраен брой степени на свобода.

В заключение отбелязваме, че функцията u(s, /) принадлежи към конфигурационното пространство на системата H, = (v(s, t): v(s, t) e e ^(), u(0, 1) = o(1, /) = 0), където U^"OO, / ]) е пространството на Соболев от функции, сумируеми заедно с квадратите на първите производни на интервала. Пространството I е областта на дефиниране на функционала на потенциалната енергия на еластични деформации

и съдържа обобщени решения на разглеждания проблем.

ISSN: 2310-7081 (онлайн), 1991-8615 (печат) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

ЗАДАЧА ЗА НАДЪЛЖНИТЕ ВИБРАЦИИ НА ЕЛАСТИЧНО ФИКСИРАН НАТАРЕН ПРЪТ

А. Б. Бейлин

Самарски държавен технически университет, Русия, 443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

анотация

Разглеждат се едномерни надлъжни вибрации на дебел къс прът, фиксиран в краищата с помощта на концентрирани маси и пружини. Като математически модел се използва начална гранична задача с динамични гранични условия за хиперболично уравнение от четвърти ред. Изборът на този конкретен модел се дължи на необходимостта да се вземат предвид ефектите от деформацията на пръта в напречна посока, чието пренебрегване, както е показано от Rayleigh, води до грешка, което се потвърждава от съвременната нелокална концепция за изучаване на вибрации на твърди тела. Доказано е съществуването на система от собствени функции на разглежданата задача, ортогонална на товара, и е получено тяхното представяне. Установените свойства на собствените функции позволиха да се приложи методът на разделяне на променливите и да се докаже съществуването на уникално решение на поставения проблем.

Ключови думи: динамични гранични условия, надлъжни вибрации, ортогоналност с натоварване, модел на Релей.

Въведение. Във всяка работеща механична система възникват колебателни процеси, които могат да бъдат породени от различни причини. Осцилаторните процеси могат да бъдат следствие от конструктивните характеристики на системата или преразпределението на товарите между различни елементи на нормално работеща структура.

Наличието на източници на колебателни процеси в механизма може да затрудни диагностицирането на състоянието му и дори да доведе до нарушаване на режима на работа, а в някои случаи и до разрушаване. Различни проблеми, свързани с нарушаване на точността и работата на механичните системи в резултат на вибрации на някои от техните елементи, често се решават експериментално на практика.

В същото време осцилаторните процеси могат да бъдат много полезни, например за обработка на материали, монтаж и демонтаж на съединения. Ултразвуковите вибрации правят възможно не само интензифициране на процесите на рязане (пробиване, фрезоване, шлайфане и др.) на материали с висока твърдост (съдържащи волфрам стомани, стомани от титанов карбид и др.),

© 2016 Самарски държавен технически университет. Шаблон за цитиране

Бейлин А. Б. Проблем с надлъжните вибрации на еластично фиксиран натоварен прът // Вестн. себе си. състояние техн. un-ta. сер. физ.-мат. Науки, 2016. Т. 20, № 2. С. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. За автора

Александър Борисович Бейлин (доктор на науките, доцент; [имейл защитен]), доцент, катедра. автоматизирани машинни и инструментални системи.

но в някои случаи може да се превърне в единствения възможен метод за обработка на крехки материали (германий, силиций, стъкло и др.). Елементът на устройството (вълновод), който предава ултразвукови вибрации от източника (вибратор) към инструмента, се нарича концентратор и може да има различни форми: цилиндрична, конична, стъпаловидна, експоненциална и др. Целта му е да предаде на инструмента вибрации с необходимата амплитуда.

По този начин последствията от възникването на колебателни процеси могат да бъдат различни, както и причините, които ги предизвикват, така че естествено възниква необходимостта от теоретично изследване на процесите на колебание. Математическият модел на разпространение на вълните в относително дълги и тънки твърди пръти, който се основава на вълновото уравнение от втори ред, е добре проучен и отдавна се е превърнал в класика. Въпреки това, както е показано от Rayleigh, този модел не съответства напълно на изследването на вибрациите на дебел, къс прът, докато много детайли на реални механизми могат да се интерпретират като къси и дебели пръти. В този случай трябва да се вземе предвид и деформацията на пръта в напречна посока. Математически модел на надлъжни вибрации на дебел къс прът, който отчита ефектите от напречното движение на пръта, се нарича прът на Релей и се основава на хиперболично уравнение от четвърти ред

^ ^- IX (a(x) e)- dx (b(x))=; (xL (1)

чиито коефициенти имат физически смисъл:

d(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p (x),

където A(x) е площта на напречното сечение, p(x) е плътността на масата на пръта, E(x) е модулът на Юнг, V(x) е коефициентът на Поасон, IP(x) е полярният момент на инерция , u(x, b) - надлъжните премествания, които трябва да се определят.

Идеите на Rayleigh са намерили своето потвърждение и развитие в съвременните трудове, посветени на процесите на трептене, както и на теорията на пластичността. В обзорната статия се обосновават недостатъците на класическите модели, описващи състоянието и поведението на твърди тела при натоварване, в които априори тялото се счита за идеален континуум. Сегашното ниво на развитие на природните науки изисква изграждането на нови модели, които адекватно да описват процесите, които се изследват, и математическите методи, разработени през последните няколко десетилетия, предоставят тази възможност. По този път през последната четвърт на миналия век беше предложен нов подход към изследването на много физически процеси, включително тези, споменати по-горе, основан на концепцията за нелокалност (вижте статията и списъка с литература в нея) . Един от класовете нелокални модели, идентифицирани от авторите, се нарича „слабо нелокален“. Математическите модели, принадлежащи към този клас, могат да бъдат реализирани чрез въвеждане на производни от висок ред в уравнението, описващо определен процес, което позволява да се вземе предвид, до известно приближение, взаимодействието на вътрешните елементи на обекта на изследване. Така моделът на Rayleigh е актуален и днес.

1. Постановка на проблема. Нека краищата на пръта x = 0, x = I са закрепени към неподвижна основа с помощта на концентрирани маси L\, M2 и пружини, чиято коравина е K\ и K2. Ще приемем, че прътът е ротационно тяло около оста 0x и в началния момент от време е в покой в ​​равновесно положение. Тогава стигаме до следния проблем с начална гранична стойност.

Задача. Намерете в областта Qt = ((0,1) x (0, T) : 1,T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) и гранични условия

a(0)ikh(0, r) + b(0)il(0, r) - k^(0, r) - M1ui(0, r) = 0, a(1)ih(1, r) + b(1)uxy(1, r) + K2u(1, r) + M2uy(1, r) = 0. ()

Статията разглежда някои специални случаи на задача (1)-(2) и дава примери, в които коефициентите на уравнението имат ясен вид и M\ = M2 = 0. Статията доказва уникалната слаба разрешимост на задачата, поставена в общ случай.

Условия (2) се определят от метода на закрепване на пръта: краищата му са прикрепени към неподвижни основи с помощта на някои устройства с маси M\, M2 и пружини с твърдост K1, K2, съответно. Наличието на маси и отчитането на напречните премествания води до условия от вида (2), съдържащи производни по време. Граничните условия, които включват времеви производни, се наричат ​​динамични. Те могат да възникнат в различни ситуации, най-простите от които са описани в учебника, а много по-сложните - в монографията.

2. Изследване на собствените вибрации на пръта. Нека разгледаме хомогенно уравнение, съответстващо на уравнение (1). Тъй като коефициентите зависят само от x, можем да разделим променливите, като напишем u(x,r) = X(x)T(r). Получаваме две уравнения:

t""(g) + \2t(g) = 0,

((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)

Уравнение (3) е придружено от гранични условия

(a(0) - \2Ъ(0))Х"(0) - (К1 - \2М1)Х(0) = 0,

(a(1) - \2Ъ(1))Х"(1) + (К2 - \2М2)Х(I) = 0. (4)

Така стигнахме до задачата на Sturm-Liouville, която се различава от класическата по това, че спектралният параметър A е включен в коефициента на най-високата производна на уравнението, както и в граничните условия. Това обстоятелство не ни позволява да се позоваваме на резултати, известни от литературата, така че нашата непосредствена цел е да проучим проблем (3), (4). За да приложим успешно метода за разделяне на променливите, се нуждаем от информация за съществуването и местоположението на собствените стойности, за качествените

свойства на собствените функции: имат ли свойството ортогоналност?

Нека покажем, че A2 > 0. Да приемем, че това не е така. Нека X(x) е собствената функция на задача (3), (4), съответстваща на стойността A = 0. Умножете (3) по X(x) и интегрирайте полученото равенство върху интервала (0,1). Интегрирайки по части и прилагайки гранични условия (4), след елементарни трансформации получаваме

1(0) - L2Ъ(0))(a(1) - L2Ъ(1)) I (dX2 + bX"2)yx+

N\X 2(0) + M2X 2(1)

I aX"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

Обърнете внимание, че от физическия смисъл на функциите a(x), b(x), d(x) са положителни, Kr, Mg са неотрицателни. Но тогава от полученото равенство следва, че X"(x) = 0, X(0) = X(1) = 0, следователно X(x) = 0, което противоречи на направеното предположение. Следователно допускането, че това нула е собствената стойност на проблем (3), (4) е неправилно.

Представянето на решението на уравнение (3) зависи от знака на израза a(x) - - A2b(x). Нека покажем, че a(x) - A2b(x) > 0 Vx e (0.1). Нека фиксираме x e (0,1) произволно и да намерим стойностите на функциите a(x), b(x), d(x) в тази точка. Нека запишем уравнение (3) във формата

X"(x) + VX (x) = 0, (5)

където посочихме

в избраната фиксирана точка и записваме условия (4) във формата

Х"(0) - аХ (0) = 0, Х"(1) + вХ (I) = 0, (6)

където a, b са лесни за изчисляване.

Както е известно, класическата задача на Стърм-Лиувил (5), (6) има изброимо множество от собствени функции за V > 0, от което, тъй като x е произволно, следва изискваното неравенство.

Собствените функции на задача (3), (4) имат свойството на ортогоналност с натоварването, изразено чрез отношението

I (dХт(х)Хп(х) + БХ"т(х)Х"п(х))<х+ ■)о

M1Xt(0)Xn(0) + M2Xt(1)Xn (I) = 0, (7)

които могат да бъдат получени по стандартен начин (вижте например), чието изпълнение в случая на разглеждания проблем е свързано с елементарни, но старателни изчисления. Нека представим накратко нейното извеждане, като пропуснем аргумента на функциите Xr(x), за да избегнем тромавостта.

Нека Am, An са различни собствени стойности, Xm, Xn са съответните собствени функции на задача (3), (4). Тогава

((a - L2tb)X"t)" + L2tdXt = 0, ((a - L2pb)X"p)" + L2pdXp = 0.

Нека умножим първото от тези уравнения по Xn, а второто по Xm и извадим второто от първото. След елементарни трансформации получаваме равенството

(Lt - Lp)YХtХп = (аХтХП)" - ЛП(БХтХ"п)" - (аХ"тХп)" + Lt(БХтХп)",

които интегрираме в интервала (0,1). В резултат на това, като вземем предвид (4) и намалим с (Lm - Ln), получаваме отношение (7).

Доказаните твърдения за свойствата на собствените стойности и собствените функции на проблема на Sturm-Liouville (3), (4) правят възможно прилагането на метода за разделяне на променливи за намиране на решение на проблема.

3. Разрешимост на проблема. Нека обозначим

C(ST) = (u: u e C(St) P C2(St), uikh e C^t)).

Теорема 1. Нека a, b e C1, d e C. Тогава има най-много едно решение u e C^t) на задача (1), (2).

Доказателство. Да приемем, че има две различни решения на задача (1), (2), u1(x,z) и u2(x,z). Тогава, поради линейността на задачата, тяхната разлика u = u1 - u2 е решение на хомогенната задача, съответстваща на (1), (2). Нека покажем, че решението му е тривиално. Нека първо отбележим, че от физическия смисъл на коефициентите на уравнението и граничните условия, функциите a, b, d са положителни навсякъде в Qm, а M^, K^ са неотрицателни.

Умножавайки равенство (1) по u и интегрирайки върху областта Qt, където t e и е произволно, след прости трансформации получаваме

/ (di2(x,t) + ai2x(x,t) + biHl(x,t))yx+ ./o

K1u2(0, t) + M1u2(0, t) + K2u2(1, t) + M2u2(1, t) = 0,

от което поради произволността на m непосредствено следва валидността на теоремата. □

Ще докажем съществуването на решение за случая на постоянни коефициенти.

Теорема 2. Нека<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, има късично непрекъсната производна от трети ред в (0.1), φ ε 1, φ(0) = φ(1) = 0 и има късично непрекъсната производна от втори ред в (0.1) , f e C(C^m), тогава решение на задача (1), (2) съществува и може да бъде получено като сума от поредица от собствени функции.

Доказателство. Както обикновено, ще търсим решение на задачата под формата на сума

където първият член е решението на проблема, поставен за хомогенно уравнение, съответстващо на (1), вторият е решението на уравнение (1), удовлетворяващо нулевите начални и гранични условия. Нека използваме резултатите от изследването, проведено в предишния параграф, и да запишем общото решение на уравнение (3):

X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.

\¡ a - A2b \¡ a - A2b

Прилагайки гранични условия (4), стигаме до система от уравнения за Cj!

(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,

(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

Приравнявайки неговата детерминанта на нула, получаваме спектралното уравнение

ctg= (a - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8)

b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2))

Нека разберем дали това трансцендентно уравнение има решение. За да направите това, разгледайте функциите от лявата и дясната му страна и разгледайте тяхното поведение. Без да ограничаваме твърде много общото, нека поставим

Mi = M2 = M, Kg = K2 = K,

което леко ще опрости необходимите изчисления. Уравнение (8) приема формата

x I q ​​​​, Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" Нека означим

и напишете спектралното уравнение в нова нотация!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM)

2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql

Анализът на функциите на лявата и дясната страна на последното уравнение ни позволява да заявим, че има изброимо множество от неговите корени и, следователно, изброимо множество от собствени функции на проблема на Sturm-Liouville (3), (4), което, като се вземе предвид връзката, получена от системата по отношение на c3, може да бъде изписана

v / l l I q K - x2pm. l i q

Xn(x) = COS XnJ-gutx + ----sin XnJ-gutX.

V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b

Сега нека преминем към намирането на решение, което също удовлетворява началните условия. Вече можем лесно да намерим решението на задачата за хомогенно уравнение под формата на редица

u(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

чиито коефициенти могат да бъдат намерени от първоначалните данни, като се използва свойството за ортогоналност на функции Xn(x), чиято норма може да бъде получена от връзка (7):

||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■Джо

Процесът на намиране на функцията v(x,t) също е по същество стандартен, но все пак отбелязваме, че търсенето на решение в традиционната форма

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

получаваме две уравнения. Наистина, като вземем предвид вида на собствените функции, нека изясним структурата на реда, под формата на който търсим решение:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~ sin X^HAarx). (9)

v JXnVa - xnb^q V a - xn "

За да удовлетворим нулевите начални условия y(x, 0) = y^x, 0) = 0, ние изискваме Vn(0) = Vn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. Разширяване f( x,r) в реда на Фурие по отношение на собствените функции Xn(x), намираме коефициентите ¡n(b) и dn(b). Замествайки (9) в уравнение (1), написано по отношение на y(x, b), след серия от трансформации получаваме уравнения за намиране на Yn(b) и Wn(b):

yts® + >&pYu =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

Като вземем предвид началните условия Vn(0) = Y, (0) = 0, Wn(0) = W, (0) = 0, стигаме до задачите на Коши за всяка от функциите Vn(b) и Wn( б), чиято уникална разрешимост е гарантирана от условията на теоремата. Свойствата на първоначалните данни, формулирани в теоремата, не оставят никакво съмнение относно сходимостта на всички серии, възникнали в хода на нашето изследване, и следователно относно съществуването на решение на поставения проблем. □

Заключение. Доказано е съществуването на система от собствени функции на разглежданата задача, ортогонална на товара, и е получено тяхното представяне.

Установените свойства на собствените функции позволиха да се докаже съществуването на уникално решение на поставения проблем. Имайте предвид, че резултатите, получени в статията, могат да се използват както за по-нататъшни теоретични изследвания на проблеми с динамични гранични условия, така и за практически цели, а именно за изчисляване на надлъжни вибрации на широк спектър от технически обекти.

Александър Борисович Бейлин: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

БИБЛИОГРАФСКИ СПИСЪК

1. Нерубай М. С., Щриков Б. Л., Калашников В. В. Ултразвукова обработка и монтаж. Самара: Издателство Самарска книга, 1995. 191 с.

2. Хмелев В. Н., Барсуков Р. В., Циганок С. Н. Ултразвукова обработка на размери на материали. Барнаул: Алтайски технически университет на името на. И.И. Ползунова, 1997. 120 с.

3. Кумабе Д. Вибрационно рязане. М.: Машиностроене, 1985. 424 с.

4. Тихонов А. Н., Самарски А. А. Уравнения на математическата физика. М.: Наука, 2004. 798 с.

5. Strett JV Теория на звука. Т. 1. М.: ГИТТЛ, 1955. 504 с.

6. Rao JS Разширена теория на вибрациите: нелинейни вибрации и едномерни структури. Ню Йорк: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 стр.

7. Федотов И. А., Полянин А. Д., Шаталов М. Ю. Теория на свободните и принудени вибрации на твърда пръчка на базата на модела на Релей // ДАН, 2007. Т. 417, № 1. стр. 56-61.

8. Bazant Z., Jirasek M. Нелокални интегрални формулировки на пластичност и увреждане: Проучване на напредъка // J. Eng. механика, 2002. том 128, бр. 11. стр. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Бейлин А. Б., Пулкина Л. С. Проблем с надлъжни вибрации на прът с динамични гранични условия // Вестн. СамСУ. Естествени науки сер., 2014. № 3(114). стр. 9-19.

10. Корпусов М. О. Разрушаване в некласически вълнови уравнения. М.: URSS, 2010. 237 с.

Получено от редактора 10/II/2016; в окончателен вариант - 18/V/2016 г.; приет за печат - 27/V/2016.

Вестн. Самар. Гос. техн. Un-ta. сер. физ.-мат. науки

2016, кн. 20, бр. 2, стр. 249-258 ISSN: 2310-7081 (онлайн), 1991-8615 (печат) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35, 35Q74

ПРОБЛЕМ ВЪРХУ НАДЪЛЖНАТА ВИБРАЦИЯ НА ЛИНГА С ЕЛАСТИЧНО ФИКСИРАНЕ

Самарски държавен технически университет,

443100, Руска федерация, Самара, ул. Молодогвардейская 244.

В тази статия изследваме надлъжни вибрации в дебел къс прът, фиксиран от точкови сили и пружини. За математическия модел разглеждаме гранична задача с динамични гранични условия за частично диференциално уравнение от четвърти ред. Изборът на този модел зависи от необходимостта да се вземе предвид резултатът от напречното напрежение. Рейли показа, че пренебрегването на напречната деформация води до грешка. Това се потвърждава от съвременната нелокална теория на вибрациите. Доказваме съществуването на ортогонални с товар собствени функции и извеждаме тяхното представяне. Установените свойства на собствените функции позволяват използването на метода за разделяне на променливите и намирането на уникално решение на проблема.

Ключови думи: динамични гранични условия, надлъжна вибрация, натоварена ортогоналност, модел на Рейли.

Александър Б. Бейлин: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Нерубай М. С., Щриков Б. Л., Калашников В. В. Ул "тразвуковая механическая обработка и сборка. Самара, Самарско книжно издание, 1995 г., 191 с. (на руски)

2. Хмелев В. Н., Барсуков Р. В., Цыганок С. Н. Ул "тразвуковая размерная обработка на материали. Барнаул, 1997 г., 120 с. (на руски)

3. Кумабе Дж. Вибрационно рязане. Токио, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (на японски).

4. Тихонов А. Н., Самарски А. А. Уравнения на математическата физика. Москва, Наука, 2004, 798 с. (На руски)

5. Strutt J. W. Теорията на звука, том. 1. Лондон, Macmillan and Co., 1945 г., xi+326 стр.

6. Rao JS Разширена теория на вибрациите: нелинейни вибрации и едномерни структури. Ню Йорк, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 стр.

Бейлин А.Б. Проблем за надлъжната вибрация на прът с еластично фиксиране, Вестн. Самар. Гос. техн. Univ., Ser. физ.-мат. Науки, 2016, кн. 20, бр. 2, стр. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (на руски) Данни за автора:

Александър Б. Бейлин (кандидат на техническите науки; [имейл защитен]), доцент, кат. на автоматизираните машини и инструментални системи.

7. Федотов И. А., Полянин А. Д., Шаталов М. Ю. Теория на свободните и принудени вибрации на твърд прът на базата на модела на Релей, Докл. физ., 2007, том 52, бр. 11, стр. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080.

8. Bazant Z., Jirasek M. Нелокални интегрални формулировки на пластичност и увреждане: Проучване на напредъка, J. ​​Eng. механика, 2002, том 128, бр. 11, стр. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Бейлин А. Б., Пулкина Л. С. Проблем на надлъжни вибрации на прът с динамични гранични условия, Вестник СамГУ. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, бр. 3(114), стр. 919 (на руски).

10. Корпусов М. О. Разрушение в некласическите волнови уравнения. Москва, URSS, 2010, 237 с. (На руски)

Получена на II.10.2016 г.;

получено в преработен вид 18/V/2016;

1

Предложен е честотен метод за решаване на проблема с надлъжните вибрации на пръти със стъпаловидно променливо напречно сечение със или без отчитане на разсейването на енергия при удар с твърдо препятствие. Уравнението на надлъжните вибрации на пръта се трансформира според Лаплас при наличие на ненулеви начални условия. Решава се гранична задача, която се състои в намиране на преобразуваните по Лаплас надлъжни сили на ръба като функции на преместванията на ръба. След това се съставя система от уравнения на равновесие за възлите, като се решават амплитудно-фазово-честотните характеристики (APFC) за сеченията на пръта, който представлява интерес. Чрез извършване на обратното преобразуване на Лаплас се изгражда процес на преход. Като тестов пример се разглежда прът с постоянно напречно сечение с крайна дължина. Дадено е сравнение с известното вълново решение. Предложеният метод за динамично изчисляване на прът при сблъсък с твърдо препятствие позволява обобщение до произволна прътова система при наличие на неограничен брой еластично закрепени маси, с произволна сила, приложена в краищата и по дължината на пръта. прът.

Честотен метод

надлъжни вибрации на пръта

1. Бидерман, В.Л. Приложна теория на механичните вибрации / V.L. Бидърман. – М.: Висше училище, 1972. – 416 с.

2. Лаврентиев, М.А. Методи на теорията на функциите на комплексна променлива / M.A. Лаврентиев, Б.В. Шабат. – М.: Наука, 1973. – 736 с.

3. Санкин, Ю.Н. Динамични характеристики на вискоеластични системи с разпределени параметри / Ю.Н. Санкин. – Саратов: Издателство Сарат. университет, 1977. – 312 с.

4. Санкин, Ю.Н. Нестабилни вибрации на прътови системи при сблъсък с препятствие / Yu.N. Санкин, Н.А. Юганова; под общ изд. Ю.Н. Санкина. – Уляновск: Уляновски държавен технически университет, 2010. – 174 с.

5. Санкин, Ю.Н. Надлъжни вибрации на еластични пръти със стъпаловидно напречно сечение, сблъскващи се с твърдо препятствие \ Ю. Н. Санкин и Н.А. Юганова, J. ​​Appl. Математически механизми, том. 65, № 3, стр. 427–433, 2001 г.

Нека разгледаме честотния метод за решаване на проблема с надлъжните вибрации на пръти със стъпково променливо напречно сечение със или без отчитане на разсейването на енергия при удар с твърдо препятствие, което ще сравним с известното вълново решение и решението в под формата на поредица от режими на вибрация (14).

Диференциалното уравнение за надлъжните вибрации на пръта, като се вземат предвид силите на вътрешно съпротивление, има формата:

Нека зададем следните гранични и начални условия:

. (2)

Нека трансформираме уравнение (1) и гранични условия (2) според Лаплас за дадените начални условия (2). Тогава уравнение (2) и гранични условия (2) ще бъдат записани, както следва:

; (3)

,

където са трансформираните по Лаплас премествания на върховете на пръта; p е параметърът на трансформацията на Лаплас.

Уравнение (3), без да се вземе предвид разсейването на енергия (при = 0), ще приеме формата:

. (4)

За полученото нехомогенно диференциално уравнение се решава гранична задача, която се състои в намиране на преобразуваните по Лаплас надлъжни сили на ръба като функции на преместванията на ръба.

За да направите това, разгледайте хомогенното уравнение на надлъжните вибрации на пръта, като вземете предвид разсейването на енергия

(5)

Обозначаване

и преминавайки към нова променлива, получаваме вместо (5)

(6)

Ако, къде е честотният параметър, тогава

.

Решението на хомогенното уравнение (6) има формата:

Намираме интеграционните константи c1 и c2 от началните условия:

u = u0; N = N0,

Тези. ;

Това решение съответства на следната трансферна матрица:

. (7)

Замествайки получените изрази за елементите на трансферната матрица във формулите на метода на изместване, получаваме:

; (8)

;

Индексите n и k показват съответно началото и края на секцията на пръта. А геометричните и физическите константи с индекси nk и kn се отнасят за конкретно сечение на пръта.

Разделяйки пръта на елементи, използвайки формули (8), ще съставим уравнения за динамичното равновесие на възлите. Тези уравнения представляват система от уравнения за неизвестни възлови премествания. Тъй като съответните коефициенти се получават чрез точно интегриране, дължината на прътовите секции не е ограничена.

Чрез решаване на получената система от уравнения за , ние конструираме амплитудно-фазово-честотни характеристики за участъците на пръта, които ни интересуват. Тези AFC могат да се разглеждат като графично изображение на еднопосочна трансформация на Фурие, която съвпада с трансформацията на Лаплас при импулсно въздействие. Тъй като всички особени точки на съответните изрази лежат отляво на въображаемата ос, обратното преобразуване може да се извърши, като се приеме , т.е. използвайки конструираните AFC. Задачата за конструиране на AFC, където полето от начални скорости, умножено по плътността на пръта, се явява като силови действие, е спомагателна. Обикновено AFC се конструират от влиянието на смущаващи сили, след което обратното преобразуване на Лаплас се извършва чрез числено интегриране или някакъв друг метод.

Като прост пример, разгледайте прав прът с дължина l, който се сблъсква надлъжно с твърдо препятствие със скорост V0 (фиг. 1).

Нека определим изместването на точките на пръта след удара. Ще приемем, че след удара контактът между препятствието и пръта остава, т.е. няма отскок на пръта. Ако връзката е несъдържаща, тогава проблемът може да се разглежда като частично линеен. Критерият за преминаване към друг вариант на решение е промяна на знака на скоростта в точката на контакт.

В монографията на Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. вълновото решение на уравнение (4) е дадено:

и оригиналът му е намерен

, (9)

където е единична стъпкова функция.

Друг подход за решаване на този проблем може да бъде осъществен чрез честотния метод, описан в. Във връзка с този проблем ще имаме:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Да намерим оригинала (11)

Нека решим същата задача, използвайки честотния метод. От уравнението на равновесието на 1-ви възел:

(12)

получаваме формула за преместване на края на пръта.

Сега, ако тестова пръчка с постоянно напречно сечение е разделена на две произволни секции с дължина l1 и l2 (виж Фиг. 1), тогава условията на равновесие за възлите ще бъдат както следва:

(13)

В резултат на решаването на системата (13) получаваме графики на фазово-честотния спектър за измествания в 1-ва и 2-ра секции (съответно U1 и U2). По този начин изображението за изместване на ръба в затворена форма, като се вземе предвид разсейването на енергията, в случая на (12) и (13) съвпада и има формата:

. (14)

Нека проверим съвпадението на резултатите в края на пръта. На фиг. Фигура 2 показва графики на решение (10) при x = l0.1 и в резултат на решаване на системата (13). Те са напълно еднакви.

Дискретното преобразуване на Фурие може да се използва за получаване на преходния процес. Резултатът може да се получи чрез извършване на числено интегриране при t=0... като се използва формулата

. (15)

В AFC (виж фиг. 2) само един видим завой се проявява значително. Следователно трябва да се вземе един член от серия (15). Графиките на фигура 3 показват колко точно решението (9) и решението за вибрационните режими (11) съвпадат с предложеното честотно решение. Грешката не надвишава 18%. Полученото несъответствие се обяснява с факта, че решенията (9) и (11) не отчитат разсейването на енергия в материала на пръта.

Ориз. 3. Преходен процес за края на пръта; 1, 2, 3 - графики, изградени по формули (9), (11), (15).

Като по-сложен пример, разгледайте проблема с надлъжните вибрации на стъпаловиден прът (фиг. 4) с товар в края, сблъскващ се с твърдо препятствие със скорост V0, и нека масата на товара е равна на масата на съседния участък на пръта:.

Ориз. 4. Изчислителна схема на надлъжни вибрации на стъпаловиден прът с товар в края

Нека въведем характерни сечения 1,2,3 на пръта, в които ще изчисляваме преместванията. Нека създадем система от решаващи уравнения:

(16)

В резултат на решаването на системата (16) получаваме графики на фазово-честотната характеристика (фиг. 5) за преместванията във втория и третия участък (съответно U2() и U3(). Изчисленията са извършени със следните постоянни стойности: l = 2 m; E = 2,1 × 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. В получените AFC само две видими завои се проявяват значително. Следователно, когато конструираме процеса на преход в избрани секции, ние вземаме два члена на серия (16). За да направите това, първо трябва да определите

Ориз. 5. AFC на премествания във втората и третата секции на стъпаловиден прът (виж фиг. 4)

Процесът на преход се конструира по подобен начин, като се използва формула (15).

Заключение: разработен е метод за изчисляване на надлъжни вибрации на пръти при удар с препятствие.

Рецензенти:

Лебедев A.M., доктор на техническите науки, доцент, професор на Уляновското висше авиационно училище (институт), Уляновск.

Антонец И.В., доктор на техническите науки, професор в Уляновския държавен технически университет, Уляновск.

Библиографска връзка

Юганова Н.А. НАДЪЛЖНИ ВИБРАЦИИ НА Пръчки при сблъсък с твърдо препятствие // Съвременни проблеми на науката и образованието. – 2014. – № 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (дата на достъп: 15.01.2020 г.). Предлагаме на вашето внимание списания, издадени от издателство "Академия за естествени науки"

Прътът е тяло, единият от размерите на който, наречен надлъжен, значително надвишава размерите му в равнина, перпендикулярна на надлъжната посока, т.е. напречни размери. Основното свойство на пръта е съпротивлението, осигурено при надлъжно натиск (опън) и огъване. Това свойство фундаментално отличава пръчката от струната, която не се разтяга и не се съпротивлява на огъване. Ако плътността на материала на пръта е еднаква във всичките му точки, тогава прътът се нарича хомогенен.

Обикновено удължените тела, ограничени от затворена цилиндрична повърхност, се считат за пръти. В този случай площта на напречното сечение остава постоянна. Ние ще изследваме поведението на точно такава пръчка с еднаква дължина л, като се приеме, че е обект само на компресия или опън, подчинявайки се на закона на Хук. При изследване на малки надлъжни деформации на прът, т.нар хипотеза за равнинни сечения.Той се крие във факта, че напречните сечения, движещи се под натиск или напрежение по пръта, остават плоски и успоредни един на друг.

Нека насочим оста хпо надлъжната ос на пръта (фиг. 19) и ще приемем, че в началния момент от време краищата на пръта са в точки х=0И x=l. Нека вземем произволно сечение от пръта с координата х. Нека означим с u(х,T) изместване на този участък в момента T, след това преместването на сечението с координат в същия момент от време ще бъде равен

След това относителното удължение на пръта в сечение хще бъдат равни

Съпротивителната сила на това удължение според закона на Хук ще бъде равна на

Където д– модул на еластичност на материала на пръта (модул на Юнг), и С -площ на напречното сечение. В границите на участък от прът с дълж dxвърху него действат сили T xИ T x + dx, насочена по оста х. Резултатът от тези сили ще бъде равен на

,

и ускорението на разглежданата секция на пръта е равно на , тогава уравнението на движението на тази секция на пръта ще има формата:

, (67)

Където ρ – плътност на материала на пръта. Ако тази плътност и модулът на Юнг са постоянни, тогава можем да въведем количеството чрез и като разделим двете страни на уравнението на Sdx, най-накрая получи уравнение на надлъжните вибрации на прътапри липса на външни сили

(68)

Това уравнение има същата форма като уравнение за напречни вибрации на струнатаи методите за решение за него са същите, но коеф аТези уравнения представляват различни количества. В уравнението на низа, количеството а 2представлява дроб, чийто числител е постоянната сила на опън на струната - T, а в знаменателя линейната плътност ρ , а в уравнението на низа числителите съдържат модула на Йънг и знаменателя – обемниплътност на материала на пръта ρ . Оттук и физическият смисъл на количеството ав тези уравнения е различен. Ако за струна този коефициент е скоростта на разпространение на малко напречно преместване, то за прът това е скоростта на разпространение на малко надлъжно разтягане или компресия и се нарича скорост на звука, тъй като именно при тази скорост малките надлъжни вибрации, представляващи звук, ще се разпространяват по пръта.

За уравнение (68) се задават начални условия, които определят преместването и скоростта на преместване на всяка секция на пръта в началния момент:

За ограничен прът условията за закрепване или прилагане на сила в краищата му са посочени под формата на гранични условия от 1-ви, 2-ри и 3-ти вид.

Граничните условия от първи вид определят надлъжно изместване в краищата на пръта:

Ако краищата на пръта са фиксирани неподвижно, тогава при условия (6) . В този случай, както и в задачата за трептене на захваната струна, прилагаме метода на разделяне на променливите.

В граничните условия от втория вид в краищата на пръта се задават еластични сили, които се получават от деформация според закона на Хук в зависимост от времето. Съгласно формула (66) тези сили с точност до постоянен коефициент са равни на производната u x, следователно в краищата тези производни са посочени като функции на времето:

Ако единият край на пръта е свободен, тогава в този край u x = 0.

Граничните условия от третия вид могат да бъдат представени като условия, при които към всеки край на пръта е прикрепена пружина, чийто другият край се движи по оста според даден времеви закон θ (T), както е показано на фиг. 20. Тези условия могат да бъдат записани по следния начин

, (72)

Където к 1 и к 2 – коравина на пружината.

Ако върху пръта по оста действа и външна сила стр(х,T), изчислено за единица обем, тогава вместо уравнение (50) трябва да се напише нехомогенното уравнение

,

Което след разделяне на приема формата

, (73)

Където . Уравнение (73) е уравнението на принудителните надлъжни вибрации на пръта, което се решава по аналогия с уравнението на принудителните вибрации на струната.

Коментирайте.Трябва да се отбележи, че и струната, и прътът са модели на реални тела, които в действителност могат да проявяват както свойствата на струната, така и на пръта, в зависимост от условията, в които се намират. В допълнение, получените уравнения не отчитат силите на съпротивление на околната среда и силите на вътрешно триене, в резултат на което тези уравнения описват незатихващи трептения. За отчитане на ефекта на затихване в най-простия случай се използва дисипативна сила, пропорционална на скоростта и насочена в посока, обратна на движението, т.е. скорост. В резултат на това уравнение (73) приема формата

(74)

Нека разгледаме пръчка с еднаква дължина, т.е. тяло с цилиндрична или друга форма, за да се разтегне или огъне, трябва да се приложи определена сила. Последното обстоятелство отличава и най-тънката пръчка от струната, която, както знаем, се огъва свободно.

В тази глава ще приложим метода на характеристиките за изследване на надлъжни вибрации на прът и ще се ограничим до изучаване само на такива вибрации, при които напречните сечения, движещи се по оста на пръта, остават плоски и успоредни на една друга (фиг. 6). Такова предположение е оправдано, ако напречните размери на пръта са малки в сравнение с дължината му.

Ако прътът е леко разтегнат или компресиран по надлъжната ос и след това оставен на себе си, тогава в него ще възникнат надлъжни вибрации. Нека насочим оста по оста на пръта и приемем, че в състояние на покой краищата на пръта са в точките Нека абсцисата на определен участък от пръта, когато последният е в покой. Нека означим с преместването на този участък в момента на времето, тогава изместването на участъка с абсцисата ще бъде равно на

От тук става ясно, че относителното удължение на пръта в сечението с абсцисата x се изразява с производната

Сега, ако приемем, че прътът претърпява малки трептения, можем да изчислим напрежението в тази секция. Наистина, прилагайки закона на Хук, откриваме, че

където е еластичният модул на материала на пръта, неговата площ на напречното сечение. Нека вземем приложен прътов елемент

между две сечения, чиито абсциси в покой са съответно равни.Върху този елемент действат сили на опън, приложени в тези сечения и насочени по оста.Резултантната на тези сили има големина

и също е насочена по . От друга страна, ускорението на елемента е равно, в резултат на което можем да запишем равенството

където е обемната плътност на пръта. Поставяне

и намалявайки с получаваме диференциалното уравнение на надлъжните вибрации на хомогенен прът

Формата на това уравнение показва, че надлъжните вибрации на пръта имат вълнов характер, а скоростта a на разпространение на надлъжните вълни се определя по формула (4).

Ако върху пръта действа и външна сила, изчислена на единица от неговия обем, тогава вместо (3) получаваме

Това е уравнението на принудените надлъжни вибрации на пръта. Както в динамиката като цяло, само уравнението на движението (6) не е достатъчно, за да се определи напълно движението на пръта. Необходимо е да се зададат началните условия, т.е. да се зададат преместванията на секциите на пръта и техните скорости в началния момент от време

където и са дадени функции в интервала (

Освен това трябва да се уточнят граничните условия в краищата на пръта. Например.