Отрицателна степен как да се реши. Проблеми за самостоятелно решаване

От училище всички знаем правилото за степенуването: всяко число със степен N е равно на резултата от умножаването на това число по себе си N брой пъти. С други думи, 7 на степен 3 е 7, умножено по себе си три пъти, тоест 343. Друго правило е, че повишаването на произволно количество на степен 0 дава единица, а повишаването на отрицателно количество е резултат от обикновеното повишаване до степента, ако е четна, и същия резултат със знак минус, ако е нечетна.

Правилата дават и отговор как да повдигнем число на отрицателна степен. За да направите това, трябва да повишите необходимата стойност с модула на индикатора по обичайния начин и след това да разделите единицата на резултата.

От тези правила става ясно, че изпълнението на реални задачи с големи количества ще изисква наличието на технически средства. Ръчно можете да умножите сами максимален диапазон от числа до двадесет до тридесет и след това не повече от три или четири пъти. Това не е да споменаваме разделянето на едно на резултата. Ето защо, за тези, които нямат под ръка специален инженерен калкулатор, ще ви кажем как да повишите числото до отрицателна мощност в Excel.

Решаване на задачи в Excel

За решаване на проблеми, включващи степенуване, Excel ви позволява да използвате една от двете опции.

Първият е използването на формула със стандартен знак „капак“. Въведете следните данни в клетките на работния лист:

По същия начин можете да повишите желаната стойност до произволна степен - отрицателна, дробна. Нека изпълним следните стъпки и да отговорим на въпроса как да повдигнем число на отрицателна степен. Пример:

Можете да коригирате =B2^-C2 директно във формулата.

Вторият вариант е да използвате готовата функция „Степен“, която приема два необходими аргумента - число и експонента. За да започнете да я използвате, просто поставете знака за равенство (=) във всяка свободна клетка, указваща началото на формулата, и въведете горните думи. Остава само да изберете две клетки, които ще участват в операцията (или да посочите ръчно конкретни числа) и да натиснете клавиша Enter. Нека да разгледаме няколко прости примера.

Както можете да видите, няма нищо сложно в това как да увеличите число до отрицателна степен и до нормална степен с помощта на Excel. В крайна сметка, за да разрешите този проблем, можете да използвате както познатия символ „капак“, така и вградената функция на програмата, която е лесна за запомняне. Това е категоричен плюс!

Нека да преминем към по-сложни примери. Нека си припомним правилото как да повдигнем число на отрицателна дробна степен и ще видим, че този проблем се решава много лесно в Excel.

Дробни показатели

Накратко, алгоритъмът за изчисляване на число с дробен показател е следният.

1. Преобразувайте дроб в правилна или неправилна дроб.
2. Повишете нашето число до числителя на получената преобразувана дроб.
3. От числото, получено в предишния параграф, изчислете корена, при условие че показателят на корена ще бъде знаменателят на фракцията, получена на първия етап.

Съгласете се, че дори когато работите с малки числа и правилни дроби, подобни изчисления могат да отнемат много време. Добре е, че процесорът за електронни таблици на Excel не се интересува какво число се повишава до каква степен. Опитайте да решите следния пример в работен лист на Excel:

Използвайки горните правила, можете да проверите и да се уверите, че изчислението е извършено правилно.

В края на нашата статия ще представим под формата на таблица с формули и резултати няколко примера за това как да повдигнем число на отрицателна степен, както и няколко примера за работа с дробни числа и степени.

Примерна таблица

Вижте следните примери във вашия работен лист в Excel. За да работи всичко правилно, трябва да използвате смесена препратка, когато копирате формулата. Фиксирайте номера на колоната, съдържаща числото, което се повишава, и номера на реда, съдържащ индикатора. Вашата формула трябва да изглежда така: "=$B4^C$3."

Моля, имайте предвид, че положителните числа (дори нецелите) могат да бъдат изчислени без проблеми за всяка степен. Няма проблеми с повдигането на произволни числа до цели числа. Но повишаването на отрицателно число до дробна степен ще се окаже грешка за вас, тъй като е невъзможно да следвате правилото, посочено в началото на нашата статия за повишаване на отрицателни числа, тъй като паритетът е характеристика изключително на ЦЯЛО число.

Продължавайки разговора за силата на числото, логично е да разберем как да намерим стойността на мощността. Този процес се нарича степенуване. В тази статия ще проучим как се извършва степенуването, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени - естествени, цели, рационални и ирационални. И според традицията ще разгледаме подробно решения на примери за повишаване на числата на различни степени.

Навигация в страницата.

Какво означава "степенуване"?

Нека започнем, като обясним какво се нарича степенуване. Ето съответното определение.

Определение.

степенуване- това е намиране на стойността на степента на число.

По този начин намирането на стойността на степента на число a с показател r и повишаването на числото a на степен r е едно и също нещо. Например, ако задачата е „изчислете стойността на степен (0,5) 5“, тогава тя може да бъде преформулирана по следния начин: „Повишете числото 0,5 на степен 5“.

Сега можете да преминете директно към правилата, по които се извършва степенуването.

Повишаване на число на естествена степен

На практика равенството, основано на, обикновено се прилага във формата . Тоест, при повдигане на число a на дробна степен m/n, първо се взема корен n-та от числото a, след което полученият резултат се повдига на цяла степен m.

Нека да разгледаме решенията на примери за повдигане на дробна степен.

Пример.

Изчислете стойността на градуса.

Решение.

Ще покажем две решения.

Първи начин. По дефиниция на степен с дробен показател. Изчисляваме стойността на степента под знака на корена и след това извличаме кубичния корен: .

Втори начин. По дефиницията на степен с дробен показател и въз основа на свойствата на корените са верни следните равенства: . Сега извличаме корена , накрая го повдигаме на цяло число .

Очевидно получените резултати от повишаването на дробна степен съвпадат.

Отговор:

Обърнете внимание, че дробен показател може да се запише като десетична дроб или смесено число, в тези случаи трябва да се замени със съответната обикновена дроб и след това да се повдигне на степен.

Пример.

Изчислете (44.89) 2.5.

Решение.

Нека запишем експонента под формата на обикновена дроб (ако е необходимо, вижте статията): . Сега извършваме повдигането до дробна степен:

Отговор:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Трябва също да се каже, че повишаването на числата до рационални степени е доста трудоемък процес (особено когато числителят и знаменателят на дробния показател съдържат достатъчно големи числа), който обикновено се извършва с помощта на компютърна технология.

За да завършим тази точка, нека се спрем на повишаването на числото нула на дробна степен. Дадохме следното значение на дробната степен на нула на формата: когато имаме , а при нула до степента m/n не е дефинирана. И така, нула до дробна положителна степен е нула, например, . А нулата в дробна отрицателна степен няма смисъл, например изразите 0 -4,3 нямат смисъл.

Издигане до ирационална степен

Понякога става необходимо да се намери стойността на степента на число с ирационален показател. В този случай за практически цели обикновено е достатъчно да се получи стойността на градуса с точност до определен знак. Нека веднага да отбележим, че на практика тази стойност се изчислява с помощта на електронни компютри, тъй като ръчното й повишаване до ирационална мощност изисква голям брой тромави изчисления. Но все пак ще опишем в общи линии същността на действията.

За да се получи приблизителна стойност на степента на число a с ирационален показател, се взема някакво десетично приближение на степента и се изчислява стойността на степента. Тази стойност е приблизителна стойност на степента на числото a с ирационален показател. Колкото по-точно десетично приближение на дадено число се вземе първоначално, толкова по-точна стойност на степента ще се получи накрая.

Като пример, нека изчислим приблизителната стойност на степента на 2 1,174367... . Нека вземем следното десетично приближение на ирационалния показател: . Сега повдигаме 2 до рационалната степен 1,17 (описахме същността на този процес в предишния параграф), получаваме 2 1,17 ≈2,250116. По този начин, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ако вземем по-точно десетично приближение на ирационалния показател, например, тогава получаваме по-точна стойност на оригиналния показател: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика за 5 клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7. клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8. клас. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9. клас. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).

В една от предишните статии вече споменахме силата на числото. Днес ще се опитаме да се ориентираме в процеса на намиране на значението му. Научно казано, ще разберем как да повдигнем на степен правилно. Ще разберем как се извършва този процес и в същото време ще се докоснем до всички възможни показатели: естествени, ирационални, рационални, цели числа.

Така че, нека разгледаме по-подробно решенията на примерите и да разберем какво означава това:

1. Дефиниция на понятието.
2. Издигане до отрицателно изкуство.
3. Цял индикатор.
4. Повишаване на число на ирационална степен.

Ето дефиниция, която точно отразява значението: „Степененето е определението на стойността на степен на число.“

Съответно повишаването на числото а в чл. r и процесът на намиране на стойността на степента a с експонента r са идентични понятия. Например, ако задачата е да се изчисли стойността на степента (0,6)6″, тогава тя може да бъде опростена до израза „Повишете числото 0,6 на степен 6“.

След това можете да продължите директно към правилата за строителство.

Повдигане на отрицателна степен

За по-голяма яснота трябва да обърнете внимание на следната верига от изрази:

110=0,1=1* 10 минус 1 супена лъжица,

1100=0,01=1*10 в минус 2 градуса,

11000=0,0001=1*10 в минус 3 ст.,

110000=0,00001=1*10 до минус 4 градуса.

Благодарение на тези примери можете ясно да видите способността за незабавно изчисляване на 10 на произволна минус степен. За тази цел е достатъчно просто да преместите десетичния компонент:

• 10 на -1 степен - пред единица има 1 нула;
• в -3 - три нули преди единица;
• в -9 има 9 нули и така нататък.

Също така е лесно да се разбере от тази диаграма колко ще бъде 10 минус 5 супени лъжици. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Как да повдигнем число на естествена степен

Спомняйки си определението, вземаме предвид, че естественото число а в чл. n е равно на произведението на n фактора, всеки от които е равен на a. Нека илюстрираме: (a*a*…a)n, където n е броят на числата, които се умножават. Съответно, за да се повиши a до n, е необходимо да се изчисли произведението от следната форма: a*a*…a делено на n пъти.

От това става очевидно, че повдигане до естествени ул. разчита на способността за извършване на умножение(този материал е разгледан в раздела за умножаване на реални числа). Нека да разгледаме проблема:

Повишете -2 до 4-ти st.

Имаме работа с естествен индикатор. Съответно ходът на решението ще бъде следният: (-2) в чл. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Сега всичко, което остава, е да умножим целите числа: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Получаваме 16.

Отговор на проблема:

(-2) в чл. 4=16.

Пример:

Изчислете стойността: три цяло две седми на квадрат.

Този пример е равен на следния продукт: три цяло и две седми, умножено по три цяло и две седми. Припомняйки си как се умножават смесени числа, завършваме конструкцията:

• 3 точка 2 седмини, умножени по себе си;
• се равнява на 23 седми, умножено по 23 седми;
• е равно на 529 четиридесет и девети;
• намаляваме и получаваме 10 тридесет и девет четиридесет и девети.

Отговор: 10 39/49

Що се отнася до въпроса за издигането до ирационален показател, трябва да се отбележи, че изчисленията започват да се извършват след приключване на предварителното закръгляване на основата на степента до всяка цифра, която би позволила получаването на стойността с дадена точност. Например, трябва да повдигнем на квадрат числото P (pi).

Започваме със закръгляване на P до стотни и получаваме:

P на квадрат = (3,14)2=9,8596. Въпреки това, ако намалим P до десет хилядни, получаваме P = 3,14159. Тогава повдигането на квадрат дава напълно различно число: 9,8695877281.

Тук трябва да се отбележи, че в много задачи не е необходимо да се повдигат ирационални числа на степени. По правило отговорът се въвежда или под формата на действителната степен, например корен от 6 на степен 3, или, ако изразът позволява, се извършва неговата трансформация: корен от 5 до 7 степени = 125 корен от 5.

Как да повдигнем число на цяла степен

Тази алгебрична манипулация е подходяща вземете под внимание за следните случаи:

• за цели числа;
• за нулев индикатор;
• за степен на положително цяло число.

Тъй като почти всички положителни цели числа съвпадат с масата на естествените числа, задаването на степен положително цяло число е същият процес като задаването в чл. естествено. Описахме този процес в предишния параграф.

Сега нека поговорим за изчисляването на st. нула. Вече разбрахме по-горе, че нулевата степен на числото a може да се определи за всяко ненулево a (реално), докато a в чл. 0 ще е равно на 1.

Съответно, повишаването на всяко реално число до нула st. ще даде един.

Например 10 в ст. 0=1, (-3,65)0=1 и 0 в ст. 0 не може да се определи.

За да завършим повдигането на цяло число, остава да вземем решение за опциите за отрицателни цели числа. Спомняме си, че чл. от a с цяло число -z ще се дефинира като дроб. Знаменателят на дробта е st. с положително цяло число, чиято стойност вече се научихме да намираме. Сега остава само да разгледаме пример за конструкция.

Пример:

Изчислете стойността на числото 2 в куб с цяло отрицателно число.

Процес на решение:

Според дефиницията на степен с отрицателен показател, ние означаваме: две минус 3 степени. е равно на едно към две на трета степен.

Знаменателят се изчислява просто: две на куб;

3 = 2*2*2=8.

Отговор: две на минус 3-ти чл. = една осма.

Степента се използва за опростяване на операцията по умножаване на число по себе си. Например, вместо да пишете, можете да пишете 4 5 (\displaystyle 4^(5))(обяснение за този преход е дадено в първия раздел на тази статия). Степените улесняват писането на дълги или сложни изрази или уравнения; степените също са лесни за добавяне и изваждане, което води до опростен израз или уравнение (напр. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Забележка:ако трябва да решите експоненциално уравнение (в такова уравнение неизвестното е в степента), прочетете.

стъпки

Решаване на прости задачи със степени

Умножете основата на експонентата по себе си толкова пъти, колкото е степента.Ако трябва да решите степенна задача на ръка, пренапишете степента като операция за умножение, където основата на степента се умножава сама по себе си. Например, дадена степен 3 4 (\displaystyle 3^(4)). В този случай основата на степен 3 трябва да се умножи сама по себе си 4 пъти: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Ето и други примери:

Първо умножете първите две числа.Например, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Не се притеснявайте - процесът на изчисление не е толкова сложен, колкото изглежда на пръв поглед. Първо умножете първите две четворки и след това ги заменете с резултата. Като този:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Умножете резултата (16 в нашия пример) по следващото число.Всеки следващ резултат ще нараства пропорционално. В нашия пример умножете 16 по 4. Така:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Продължете да умножавате резултата от първите две числа по следващото число, докато получите окончателния отговор. За да направите това, умножете първите две числа и след това умножете получения резултат по следващото число в редицата. Този метод е валиден за всяка степен. В нашия пример трябва да получите: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Решете следните задачи.Проверете отговора си с помощта на калкулатор.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. На вашия калкулатор потърсете ключа с надпис "exp" или " x n (\displaystyle x^(n))“ или „^“.С помощта на този ключ ще повдигнете число на степен. Почти невъзможно е ръчно да се изчисли степен с голям индикатор (например степента 9 15 (\displaystyle 9^(15))), но калкулаторът може лесно да се справи с тази задача. В Windows 7 стандартният калкулатор може да бъде превключен в инженерен режим; За да направите това, щракнете върху „Преглед“ -> „Инженеринг“. За да превключите към нормален режим, щракнете върху „Преглед“ -> „Нормално“.

   • Проверете отговора, който сте получили с помощта на търсачка (Google или Yandex). Използвайки клавиша "^" на клавиатурата на компютъра, въведете израза в търсачката, която незабавно ще покаже правилния отговор (и евентуално ще предложи подобни изрази, които да изучавате).

   Събиране, изваждане, умножение на степени

   1. Можете да събирате и изваждате градуси само ако имат еднакви основи.Ако трябва да добавите степени с еднакви основи и показатели, тогава можете да замените операцията събиране с операцията умножение. Например, като се има предвид изразът 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Не забравяйте, че степента 4 5 (\displaystyle 4^(5))могат да бъдат представени във формата 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); По този начин, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(където 1 +1 =2). Тоест, пребройте броя на подобни степени и след това умножете тази степен и това число. В нашия пример повишете 4 на пета степен и след това умножете получения резултат по 2. Не забравяйте, че операцията събиране може да бъде заменена с операцията умножение, например, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Ето и други примери:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. При умножение на степени с една и съща основа се събират техните показатели (основата не се променя).Например, като се има предвид изразът x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). В този случай просто трябва да добавите индикаторите, като оставите основата непроменена. По този начин, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Ето визуално обяснение на това правило:

      При повишаване на степен на степен показателите се умножават.Например, дава се степен. Тъй като експонентите се умножават, тогава (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Смисълът на това правило е, че умножавате по степени (x 2) (\displaystyle (x^(2)))върху себе си пет пъти. Като този:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Тъй като основата е една и съща, показателите просто се сумират: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Степен с отрицателен показател трябва да се преобразува в дроб (обратна степен).Няма значение, ако не знаете какво е реципрочна степен. Ако ви бъде дадена степен с отрицателен показател, напр. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), запишете тази степен в знаменателя на дробта (поставете 1 в числителя) и направете показателя положителен. В нашия пример: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Ето и други примери:

      При деление на степени с една и съща основа, експонентите им се изваждат (основата не се променя).Операцията деление е противоположна на операцията умножение. Например, като се има предвид изразът 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Извадете степента в знаменателя от степента в числителя (не променяйте основата). По този начин, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Степента в знаменателя може да бъде записана по следния начин: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Не забравяйте, че дробта е число (степен, израз) с отрицателен показател.

   4. По-долу са дадени някои изрази, които ще ви помогнат да се научите да решавате задачи с показатели.Дадените изрази покриват материала, представен в този раздел. За да видите отговора, просто изберете празното място след знака за равенство.

   Решаване на задачи с дробни показатели

   Степен с дробен показател (например ) се преобразува в операция за корен.В нашия пример: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x (\displaystyle (\sqrt (x))). Тук няма значение кое число е в знаменателя на дробния показател. Например, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))- е четвъртият корен от “x”, т.е x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Ако показателят е неправилна дроб, тогава показателят може да се разложи на две степени, за да се опрости решението на проблема. В това няма нищо сложно - просто помнете правилото за умножение на степените. Например, дава се степен. Преобразувайте такава степен в корен, чиято степен е равна на знаменателя на дробния показател, и след това повдигнете този корен до степен, равна на числителя на дробния показател. За да направите това, помнете това 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). В нашия пример:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Някои калкулатори имат бутон за изчисляване на степени (първо трябва да въведете основата, след това да натиснете бутона и след това да въведете степента). Означава се като ^ или x^y.
   3. Не забравяйте, че всяко число на първа степен е равно на себе си, например, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)Освен това всяко число, умножено или разделено на едно, е равно на себе си, напр. 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)И 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Знайте, че степента 0 0 не съществува (такава степен няма решение). Ако се опитате да решите такава степен на калкулатор или на компютър, ще получите грешка. Но не забравяйте, че всяко число на нулева степен е 1, например, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Във висшата математика, която оперира с въображаеми числа: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Където i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e е константа, приблизително равна на 2,7; a е произволна константа. Доказателството за това равенство може да се намери във всеки учебник по висша математика.

   Предупреждения

   • С увеличаването на експонентата неговата стойност нараства значително. Така че, ако отговорът ви изглежда грешен, той всъщност може да е правилен. Можете да тествате това, като начертаете произволна експоненциална функция, като например 2 x.

Разбрахме какво всъщност е степен на число. Сега трябва да разберем как да го изчислим правилно, т.е. повишаване на числата до степени. В този материал ще анализираме основните правила за изчисляване на степени в случай на цели, естествени, дробни, рационални и ирационални показатели. Всички определения ще бъдат илюстрирани с примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Концепцията за степенуване

Нека започнем с формулирането на основни дефиниции.

Определение 1

степенуване- това е изчисляването на стойността на степента на определено число.

Тоест, думите „изчисляване на стойността на степен“ и „повдигане на степен“ означават едно и също нещо. Така че, ако проблемът казва „Повишете числото 0, 5 на пета степен“, това трябва да се разбира като „изчислете стойността на степен (0, 5) 5.

Сега представяме основните правила, които трябва да се спазват при извършване на такива изчисления.

Нека си припомним какво е степен на число с естествен показател. За степен с основа а и показател n, това ще бъде произведението на n-тия брой множители, всеки от които е равен на а. Това може да се напише така:

За да изчислите стойността на степен, трябва да извършите действие за умножение, тоест да умножите основите на степента посочения брой пъти. Самата концепция за степен с естествен експонент се основава на способността за бързо умножение. Да дадем примери.

Пример 1

Условие: повдигнете - 2 на степен 4.

Решение

Използвайки дефиницията по-горе, записваме: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . След това просто трябва да следваме тези стъпки и да получим 16.

Да вземем един по-сложен пример.

Пример 2

Изчислете стойността 3 2 7 2

Решение

Този запис може да се пренапише като 3 2 7 · 3 2 7 . Преди това разгледахме как да умножим правилно смесените числа, споменати в условието.

Нека изпълним тези стъпки и да получим отговора: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ако проблемът показва необходимостта от повдигане на ирационални числа на естествена степен, ще трябва първо да закръглим основите им до цифрата, която ще ни позволи да получим отговор с необходимата точност. Нека разгледаме един пример.

Пример 3

Изпълнете квадрата на π.

Решение

Първо, нека го закръглим до стотни. Тогава π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ако π ≈ 3. 14159, тогава получаваме по-точен резултат: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Имайте предвид, че необходимостта от изчисляване на степени на ирационални числа възниква сравнително рядко на практика. След това можем да запишем отговора като самата степен (ln 6) 3 или да преобразуваме, ако е възможно: 5 7 = 125 5 .

Отделно трябва да се посочи каква е първата степен на числото. Тук можете просто да запомните, че всяко число, повдигнато на първа степен, ще остане себе си:

Това става ясно от записа .

Не зависи от основата на степента.

Пример 4

И така, (− 9) 1 = − 9 и 7 3, повдигнато на първа степен, ще остане равно на 7 3.

За удобство ще разгледаме три случая поотделно: ако показателят е цяло положително число, ако е нула и ако е цяло отрицателно число.

В първия случай това е същото като повдигане на естествена степен: в края на краищата положителните цели числа принадлежат към набора от естествени числа. Вече говорихме по-горе за това как да работим с такива степени.

Сега нека видим как правилно да вдигнем до нулева мощност. За основа, различна от нула, това изчисление винаги извежда 1. По-рано обяснихме, че 0-та степен на a може да бъде дефинирана за всяко реално число, което не е равно на 0, и a 0 = 1.

Пример 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - не е определено.

Остава ни само случай на степен с цяло число отрицателен показател. Вече обсъдихме, че такива степени могат да бъдат записани като дроб 1 a z, където a е произволно число, а z е отрицателно цяло число. Виждаме, че знаменателят на тази дроб не е нищо повече от обикновена степен с цяло положително число и вече сме се научили как да го изчисляваме. Нека дадем примери за задачи.

Пример 6

Повдигнете 3 на степен - 2.

Решение

Използвайки дефиницията по-горе, записваме: 2 - 3 = 1 2 3

Нека изчислим знаменателя на тази дроб и ще получим 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Тогава отговорът е: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Пример 7

Повишете 1,43 на степен -2.

Решение

Нека преформулираме: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Изчисляваме квадрата в знаменателя: 1,43·1,43. Десетичните числа могат да се умножат по следния начин:

В резултат на това получихме (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Всичко, което трябва да направим, е да запишем този резултат под формата на обикновена дроб, за което трябва да го умножим по 10 хиляди (вижте материала за преобразуване на дроби).

Отговор: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Специален случай е повдигането на число на минус първа степен. Стойността на тази степен е равна на реципрочната на първоначалната стойност на основата: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Пример 8

Пример: 3 − 1 = 1/3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Как да повдигнем число на дробна степен

За да извършим такава операция, трябва да запомним основната дефиниция на степен с дробен показател: a m n = a m n за всяко положително a, цяло число m и естествено n.

Определение 2

По този начин изчисляването на дробна степен трябва да се извърши на две стъпки: повишаване на цяло число и намиране на корена на n-та степен.

Имаме равенството a m n = a m n, което, като се вземат предвид свойствата на корените, обикновено се използва за решаване на задачи във формата a m n = a n m. Това означава, че ако повдигнем число a на дробна степен m / n, тогава първо вземаме корен n-та от a, след което повдигаме резултата на степен с цяло число m.

Нека илюстрираме с пример.

Пример 9

Пресметнете 8 - 2 3 .

Решение

Метод 1: Съгласно основната дефиниция, можем да представим това като: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Сега нека изчислим степента под корена и извлечем третия корен от резултата: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Метод 2. Трансформирайте основното равенство: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

След това изваждаме корена 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 и повдигаме резултата на квадрат: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Виждаме, че решенията са идентични. Можете да го използвате както желаете.

Има случаи, когато степента има показател, изразен като смесено число или десетична дроб. За да опростите изчисленията, по-добре е да го замените с обикновена дроб и да изчислите, както е посочено по-горе.

Пример 10

Повдигнете 44, 89 на степен 2, 5.

Решение

Нека преобразуваме стойността на индикатора в обикновена дроб - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Сега изпълняваме по ред всички действия, посочени по-горе: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Отговор: 13 501, 25107.

Ако числителят и знаменателят на дробен показател съдържат големи числа, тогава изчисляването на такива показатели с рационални показатели е доста трудна работа. Обикновено изисква компютърна технология.

Нека се спрем отделно на степените с нулева основа и дробен показател. На израз от формата 0 m n може да се придаде следното значение: ако m n > 0, тогава 0 m n = 0 m n = 0; ако m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Как да повдигнем число на ирационална степен

Необходимостта да се изчисли стойността на степен, чийто показател е ирационално число, не възниква толкова често. На практика задачата обикновено се ограничава до изчисляване на приблизителна стойност (до определен брой десетични знаци). Това обикновено се изчислява на компютър поради сложността на такива изчисления, така че няма да се спираме на това подробно, ще посочим само основните разпоредби.

Ако трябва да изчислим стойността на степен a с ирационален показател a, тогава вземаме десетичното приближение на степента и броим от него. Резултатът ще бъде приблизителен отговор. Колкото по-точно е десетичното приближение, толкова по-точен е отговорът. Нека покажем с пример:

Пример 11

Изчислете приблизителната стойност на 21, 174367....

Решение

Нека се ограничим до десетичното приближение a n = 1, 17. Нека направим изчисления, като използваме това число: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ако вземем, например, приближението a n = 1, 1743, тогава отговорът ще бъде малко по-точен: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter