Най-голямата и най-малката стойност на функция на две променливи в затворена област. Най-малката и най-голямата стойност на функция в сегмент

Какво е екстремум на функция и какво е необходимото условие за екстремум?

Екстремумът на функция е максимумът и минимумът на функцията.

Необходимото условие за максимума и минимума (екстремума) на функцията е следното: ако функцията f(x) има екстремум в точката x = a, тогава в тази точка производната е или нула, или безкрайна, или не съществува.

Това условие е необходимо, но не достатъчно. Производната в точката x = a може да изчезне, да отиде до безкрайност или да не съществува, без функцията да има екстремум в тази точка.

Кое е достатъчното условие за екстремума на функцията (максимум или минимум)?

Първо условие:

Ако, в достатъчна близост до точката x = a, производната f?(x) е положителна отляво на a и отрицателна отдясно на a, тогава в самата точка x = a функцията f(x) има максимум

Ако в достатъчна близост до точката x = a, производната f?(x) е отрицателна отляво на a и положителна отдясно на a, тогава в самата точка x = a функцията f(x) има минимумпри условие, че функцията f(x) тук е непрекъсната.

Вместо това можете да използвате второто достатъчно условие за екстремума на функцията:

Нека в точката x = и първата производна f?(x) изчезва; ако втората производна f??(а) е отрицателна, тогава функцията f(x) има максимум в точката x = a, ако е положителна, тогава минимум.

Каква е критичната точка на функция и как да я намерим?

Това е стойността на аргумента на функцията, при която функцията има екстремум (т.е. максимум или минимум). За да го намерите, трябва намерете производнатафункция f?(x) и приравнявайки я на нула, реши уравнението f?(x) = 0. Корените на това уравнение, както и онези точки, в които не съществува производната на тази функция, са критични точки, т.е. стойностите на аргумента, при които може да има екстремум . Те могат лесно да бъдат идентифицирани, като се вгледат производна графика: интересуваме се от тези стойности на аргумента, при които графиката на функцията пресича абсцисната ос (ос Ox) и тези, при които графиката претърпява прекъсвания.

Например, да намерим екстремум на параболата.

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производна на функция: y?(x) = 6x + 2

Решаваме уравнението: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

В този случай критичната точка е x0=-1/3. Именно за тази стойност на аргумента функцията има екстремум. Да го вземеш намирам, заместваме намереното число в израза за функцията вместо "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как да определим максимума и минимума на една функция, т.е. неговите най-големи и най-малки стойности?

Ако знакът на производната се промени от "плюс" на "минус" при преминаване през критичната точка x0, тогава x0 е максимална точка; ако знакът на производната се промени от минус на плюс, тогава x0 е минимална точка; ако знакът не се променя, то в точката x0 няма нито максимум, нито минимум.

За разглеждания пример:

Вземаме произволна стойност на аргумента вляво от критичната точка: x = -1

Когато x = -1, стойността на производната ще бъде y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знакът минус).

Сега вземаме произволна стойност на аргумента вдясно от критичната точка: x = 1

За x = 1, стойността на производната ще бъде y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знакът плюс).

Както можете да видите, при преминаване през критичната точка производната промени знака от минус на плюс. Това означава, че при критичната стойност на x0 имаме минимална точка.

Най-голямата и най-малката стойност на функцията на интервала(на сегмента) се намират по същата процедура, само като се вземе предвид фактът, че може би не всички критични точки ще лежат в определения интервал. Онези критични точки, които са извън интервала, трябва да бъдат изключени от разглеждане. Ако има само една критична точка вътре в интервала, тя ще има или максимум, или минимум. В този случай, за да определим най-големите и най-малките стойности на функцията, ние също вземаме предвид стойностите на функцията в края на интервала.

Например, нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

на интервали:

Така че производната на функцията е

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Решаваме уравнението 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Намираме критични точки на интервала [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (не е включено в интервала)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (не е включено в интервала)

Намираме стойностите на функцията при критични стойности на аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Вижда се, че на интервала [-9; 9] функцията има най-голяма стойност при x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

и най-малката - при x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

На интервала [-6; -3] имаме само една критична точка: x = -4,88. Стойността на функцията при x = -4,88 е y = 5,398.

Намираме стойността на функцията в краищата на интервала:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

На интервала [-6; -3] имаме най-голямата стойност на функцията

y = 5,398 при x = -4,88

най-малката стойност е

y = 1,077 при x = -3

Как да намерим точките на инфлексия на графика на функция и да определим страните на изпъкналост и вдлъбнатост?

За да намерите всички точки на огъване на линията y \u003d f (x), трябва да намерите второто производно, да го приравните към нула (решете уравнението) и да тествате всички тези стойности на x, за които второто производно е нула , безкрайно или не съществува. Ако при преминаване през една от тези стойности втората производна промени знака, тогава графиката на функцията има инфлексия в тази точка. Ако не се променя, значи няма инфлексия.

Корените на уравнението f ? (x) = 0, както и възможните точки на прекъсване на функцията и втората производна, разделят областта на функцията на няколко интервала. Изпъкналостта на всеки техен интервал се определя от знака на втората производна. Ако втората производна в точка от изследвания интервал е положителна, тогава линията y = f(x) тук е вдлъбната нагоре, а ако е отрицателна, тогава надолу.

Как да намерим екстремуми на функция на две променливи?

За да намерите екстремумите на функцията f(x, y), диференцируема в областта на нейното присвояване, трябва:

1) намерете критичните точки и за това решете системата от уравнения

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) за всяка критична точка P0(a;b), проучете дали знакът на разликата остава непроменен

за всички точки (x; y), достатъчно близки до P0. Ако разликата запазва положителен знак, тогава в точката P0 имаме минимум, ако е отрицателен, тогава максимум. Ако разликата не запазва знака си, то в точка Р0 няма екстремум.

По същия начин екстремумите на функцията се определят за по-голям брой аргументи.

За какво е Shrek Forever After?
Анимационен филм: Shrek Forever After Година на издаване: 2010 г. Премиера (Русия): 20 май 2010 г. Държава: САЩ Режисьор: Майкъл Питчъл Сценарий: Джош Клауснер, Дарън Лемке Жанр: семейна комедия, фентъзи, приключение Официален уебсайт: www.shrekforeverafter.com сюжет муле

Мога ли да даря кръв по време на цикъла си?
Лекарите не препоръчват кръводаряване по време на менструация, т.к. загубата на кръв, макар и не в значително количество, е изпълнена с намаляване на нивата на хемоглобина и влошаване на благосъстоянието на жената. По време на процедурата за кръводаряване ситуацията с благосъстоянието може да се влоши до откриването на кървене. Ето защо жените трябва да се въздържат от кръводаряване по време на менструация. И то вече на 5-тия ден след като свършиха

Колко kcal / час се изразходва при миене на подове
Видове физическа активност Консумация на енергия, kcal/h Готвене 80 Обличане 30 Шофиране 50 Избърсване на прах 80 Хранене 30 Градинарство 135 Гладене на дрехи 45 Оправяне на легла 130 Пазаруване 80 Заседнала работа 75 Цепене на дърва 300 Миене на подове 130 Секс 100-150 Аеробни танци с ниска интензивност

Какво означава думата "измамник"?
Мошеникът е крадец, занимаващ се с дребни кражби, или нечестив човек, склонен към измамни трикове. Потвърждение на това определение се съдържа в етимологичния речник на Крилов, според който думата "мошеник" се образува от думата "мошеник" (крадец, мошеник), близка до глагола &la

Как се казва последният публикуван разказ на братя Стругацки
Разказът на Аркадий и Борис Стругацки „По въпроса за цикъла“ е публикуван за първи път през април 2008 г. в научно-фантастичния алманах „Пладне. XXI век“ (притурка към списание „Вокруг света“, публикувано под редакцията на Борис Стругацки) . Изданието е посветено на 75-годишнината на Борис Стругацки.

Къде мога да прочета историите на участниците в програмата Work And Travel USA
Work and Travel USA (работа и пътуване в САЩ) е популярна програма за обмен на студенти, където можете да прекарате лятото в Америка, законно работейки в сектора на услугите и пътувайки. История на програмата Work & Travel е част от програмата Cultural Exchange Pro за междуправителствен обмен

Ухо. Кулинарна и историческа справка Повече от два века и половина думата "уха" се използва за обозначаване на супи или отвара от прясна риба. Но имаше време, когато тази дума се тълкуваше по-широко. Те обозначаваха супа - не само риба, но и месо, грах и дори сладко. Така че в историческия документ - "

Информационни и портали за набиране на персонал Superjob.ru - порталът за набиране на персонал Superjob.ru работи на руския онлайн пазар за набиране на персонал от 2000 г. и е лидер сред ресурсите, предлагащи работа и търсене на персонал. Ежедневно в базата данни на сайта се добавят повече от 80 000 автобиографии на специалисти и над 10 000 свободни позиции.

Какво е мотивация
Определение за мотивация Мотивация (от лат. moveo - движа се) - импулс за действие; динамичен процес на физиологичен и психологически план, който контролира човешкото поведение, определя неговата посока, организация, активност и стабилност; способността на човека да задоволява нуждите си чрез труд. Motivac

Кой е Боб Дилън
Боб Дилън (англ. Bob Dylan, истинско име - Робърт Алън Цимерман англ. Robert Allen Zimmerman; роден на 24 май 1941 г.) е американски автор на песни, който - според анкета на списание Rolling Stone - е вторият (

Как да транспортирате стайни растения
След закупуване на стайни растения, градинарят е изправен пред задачата как да достави закупените екзотични цветя невредими. Познаването на основните правила за опаковане и транспортиране на стайни растения ще помогне за решаването на този проблем. Растенията трябва да бъдат опаковани, за да бъдат транспортирани или транспортирани. На колкото и кратко разстояние да се пренасят растенията, те могат да се повредят, да изсъхнат, а през зимата &m

Процесът на намиране на най-малките и най-големите стойности на функция на сегмент напомня на завладяващ полет около обект (графика на функция) на хеликоптер със стрелба от далекобойно оръдие в определени точки и избор от тези точки много специални точки за контролни изстрели. Точките се избират по определен начин и по определени правила. По какви правила? Ще говорим за това по-нататък.

Ако функцията г = f(х) непрекъснат на интервала [ а, b] , тогава достига до този сегмент най-малко И най-високи стойности . Това може да се случи или в екстремни точкиили в краищата на сегмента. Следователно, за да намерите най-малко И най-големите стойности на функцията , непрекъснато на интервала [ а, b], трябва да изчислите стойностите му във всички критични точкии в краищата на сегмента, след което изберете най-малкия и най-големия от тях.

Нека, например, е необходимо да се определи максималната стойност на функцията f(х) на сегмента [ а, b] . За да направите това, намерете всички негови критични точки, лежащи на [ а, b] .

критична точка се нарича точката, в която дефинирана функция, и тя производнае или нула, или не съществува. След това трябва да изчислите стойностите на функцията в критични точки. И накрая, трябва да сравните стойностите на функцията в критични точки и в краищата на сегмента ( f(а) И f(b) ). Най-голямото от тези числа ще бъде най-голямата стойност на функцията върху сегмента [а, b] .

Проблемът с намирането най-малките стойности на функцията .

Търсим заедно най-малката и най-голямата стойност на функцията

Пример 1. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента [-1, 2] .

Решение. Намираме производната на тази функция. Приравнете производната на нула () и получете две критични точки: и . За да намерите най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, достатъчно е да изчислите стойностите му в краищата на сегмента и в точката, тъй като точката не принадлежи на сегмента [-1, 2] . Тези стойности на функцията са следните: , , . Следва, че най-малката стойност на функцията(отбелязано в червено на графиката по-долу), равно на -7, се достига в десния край на отсечката - в точката , и най велик(също червено на графиката), е равно на 9, - в критичната точка .

Ако функцията е непрекъсната в определен интервал и този интервал не е сегмент (но е, например, интервал; разликата между интервал и сегмент: граничните точки на интервала не са включени в интервала, но граничните точки на сегмента са включени в сегмента), тогава сред стойностите на функцията може да няма най-малката и най-голямата. Така например функцията, изобразена на фигурата по-долу, е непрекъсната върху ]-∞, +∞[ и няма най-голямата стойност.

Въпреки това, за всеки интервал (затворен, отворен или безкраен) е валидно следното свойство на непрекъснатите функции.

Пример 4. Намерете най-малките и най-големите стойности на функция на сегмента [-1, 3] .

Решение. Намираме производната на тази функция като производна на частното:

.

Приравняваме производната на нула, което ни дава една критична точка: . Принадлежи към интервала [-1, 3] . За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Нека сравним тези стойности. Заключение: равно на -5/13, в точката и най-голямата стойностравно на 1 в точката.

Продължаваме да търсим заедно най-малката и най-голямата стойност на функцията

Има учители, които по темата за намиране на най-малките и най-големите стойности на функция не дават на учениците да решават примери, по-сложни от току-що разгледаните, тоест тези, в които функцията е полином или дроб, чиито числител и знаменател са полиноми. Но няма да се ограничаваме до такива примери, тъй като сред учителите има любители да карат учениците да мислят изцяло (таблица с производни). Следователно ще се използват логаритъм и тригонометрична функция.

Пример 6. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намираме производната на тази функция като производно на продукта :

Приравняваме производната на нула, което дава една критична точка: . Принадлежи към сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Резултатът от всички действия: функцията достига минималната си стойност, равно на 0, в точка и в точка и най-голямата стойностравна на д², в точката.

Пример 7. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функция на сегмента .

Решение. Намираме производната на тази функция:

Приравнете производната на нула:

Единствената критична точка принадлежи на сегмента. За да намерим най-малките и най-големите стойности на функция на даден сегмент, намираме нейните стойности в краищата на сегмента и в намерената критична точка:

Заключение: функцията достига минималната си стойност, равно на , в точката и най-голямата стойност, равно на , в точката .

В приложните екстремални проблеми намирането на най-малките (най-големите) стойности на функцията, като правило, се свежда до намирането на минимума (максимума). Но не самите минимуми или максимуми са от по-голям практически интерес, а стойностите на аргумента, при който са постигнати. При решаването на приложни задачи възниква допълнителна трудност - съставянето на функции, които описват разглежданото явление или процес.

Пример 8Резервоар с вместимост 4, имащ формата на паралелепипед с квадратна основа и отворен отгоре, трябва да бъде калайдисан. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара, за да се покрие с най-малко материал?

Решение. Позволявам х- страна на основата ч- височина на резервоара, С- неговата повърхност без покритие, V- обемът му. Площта на резервоара се изразява с формулата, т.е. е функция на две променливи. Да изразя Скато функция на една променлива използваме факта, че , откъдето . Заместване на намерения израз чвъв формулата за С:

Нека разгледаме тази функция за екстремум. Той е дефиниран и диференцируем навсякъде в ]0, +∞[ и

.

Приравняваме производната на нула () и намираме критичната точка. В допълнение, при , производната не съществува, но тази стойност не е включена в областта на дефиниция и следователно не може да бъде точка на екстремум. И така, - единствената критична точка. Нека го проверим за наличие на екстремум, като използваме втория достатъчен знак. Нека намерим втората производна. Когато втората производна е по-голяма от нула (). Това означава, че когато функцията достигне минимум . Защото това минимум - единственият екстремум на тази функция, това е най-малката й стойност. Така че страната на основата на резервоара трябва да бъде равна на 2 м, а височината му.

Пример 9От параграф А, находящ се на жп линията, до пункта СЪС, на разстояние от него л, стоките трябва да бъдат транспортирани. Разходите за транспортиране на единица тегло на единица разстояние с железопътен транспорт са равни на , а по магистрала са равни на . До кой момент Мжелезопътна линия трябва да се проведе магистрала за превоз на товари от А V СЪСбеше най-икономичен ABжелезопътната линия се приема за права)?

Какво е екстремум на функция и какво е необходимото условие за екстремум?

Екстремумът на функция е максимумът и минимумът на функцията.

Необходимото условие за максимума и минимума (екстремума) на функцията е следното: ако функцията f(x) има екстремум в точката x = a, тогава в тази точка производната е или нула, или безкрайна, или не съществува.

Това условие е необходимо, но не достатъчно. Производната в точката x = a може да изчезне, да отиде до безкрайност или да не съществува, без функцията да има екстремум в тази точка.

Кое е достатъчното условие за екстремума на функцията (максимум или минимум)?

Първо условие:

Ако, в достатъчна близост до точката x = a, производната f?(x) е положителна отляво на a и отрицателна отдясно на a, тогава в самата точка x = a функцията f(x) има максимум

Ако в достатъчна близост до точката x = a, производната f?(x) е отрицателна отляво на a и положителна отдясно на a, тогава в самата точка x = a функцията f(x) има минимумпри условие, че функцията f(x) тук е непрекъсната.

Вместо това можете да използвате второто достатъчно условие за екстремума на функцията:

Нека в точката x = и първата производна f?(x) изчезва; ако втората производна f??(а) е отрицателна, тогава функцията f(x) има максимум в точката x = a, ако е положителна, тогава минимум.

Каква е критичната точка на функция и как да я намерим?

Това е стойността на аргумента на функцията, при която функцията има екстремум (т.е. максимум или минимум). За да го намерите, трябва намерете производнатафункция f?(x) и приравнявайки я на нула, реши уравнението f?(x) = 0. Корените на това уравнение, както и онези точки, в които не съществува производната на тази функция, са критични точки, т.е. стойностите на аргумента, при които може да има екстремум . Те могат лесно да бъдат идентифицирани, като се вгледат производна графика: интересуваме се от тези стойности на аргумента, при които графиката на функцията пресича абсцисната ос (ос Ox) и тези, при които графиката претърпява прекъсвания.

Например, да намерим екстремум на параболата.

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производна на функция: y?(x) = 6x + 2

Решаваме уравнението: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

В този случай критичната точка е x0=-1/3. Именно за тази стойност на аргумента функцията има екстремум. Да го вземеш намирам, заместваме намереното число в израза за функцията вместо "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как да определим максимума и минимума на една функция, т.е. неговите най-големи и най-малки стойности?

Ако знакът на производната се промени от "плюс" на "минус" при преминаване през критичната точка x0, тогава x0 е максимална точка; ако знакът на производната се промени от минус на плюс, тогава x0 е минимална точка; ако знакът не се променя, то в точката x0 няма нито максимум, нито минимум.

За разглеждания пример:

Вземаме произволна стойност на аргумента вляво от критичната точка: x = -1

Когато x = -1, стойността на производната ще бъде y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знакът минус).

Сега вземаме произволна стойност на аргумента вдясно от критичната точка: x = 1

За x = 1, стойността на производната ще бъде y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знакът плюс).

Както можете да видите, при преминаване през критичната точка производната промени знака от минус на плюс. Това означава, че при критичната стойност на x0 имаме минимална точка.

Най-голямата и най-малката стойност на функцията на интервала(на сегмента) се намират по същата процедура, само като се вземе предвид фактът, че може би не всички критични точки ще лежат в определения интервал. Онези критични точки, които са извън интервала, трябва да бъдат изключени от разглеждане. Ако има само една критична точка вътре в интервала, тя ще има или максимум, или минимум. В този случай, за да определим най-големите и най-малките стойности на функцията, ние също вземаме предвид стойностите на функцията в края на интервала.

Например, нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

на интервали:

Така че производната на функцията е

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Решаваме уравнението 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Намираме критични точки на интервала [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (не е включено в интервала)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (не е включено в интервала)

Намираме стойностите на функцията при критични стойности на аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Вижда се, че на интервала [-9; 9] функцията има най-голяма стойност при x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

и най-малката - при x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

На интервала [-6; -3] имаме само една критична точка: x = -4,88. Стойността на функцията при x = -4,88 е y = 5,398.

Намираме стойността на функцията в краищата на интервала:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

На интервала [-6; -3] имаме най-голямата стойност на функцията

y = 5,398 при x = -4,88

най-малката стойност е

y = 1,077 при x = -3

Как да намерим точките на инфлексия на графика на функция и да определим страните на изпъкналост и вдлъбнатост?

За да намерите всички точки на огъване на линията y \u003d f (x), трябва да намерите второто производно, да го приравните към нула (решете уравнението) и да тествате всички тези стойности на x, за които второто производно е нула , безкрайно или не съществува. Ако при преминаване през една от тези стойности втората производна промени знака, тогава графиката на функцията има инфлексия в тази точка. Ако не се променя, значи няма инфлексия.

Корените на уравнението f ? (x) = 0, както и възможните точки на прекъсване на функцията и втората производна, разделят областта на функцията на няколко интервала. Изпъкналостта на всеки техен интервал се определя от знака на втората производна. Ако втората производна в точка от изследвания интервал е положителна, тогава линията y = f(x) тук е вдлъбната нагоре, а ако е отрицателна, тогава надолу.

Как да намерим екстремуми на функция на две променливи?

За да намерите екстремумите на функцията f(x, y), диференцируема в областта на нейното присвояване, трябва:

1) намерете критичните точки и за това решете системата от уравнения

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) за всяка критична точка P0(a;b), проучете дали знакът на разликата остава непроменен

за всички точки (x; y), достатъчно близки до P0. Ако разликата запазва положителен знак, тогава в точката P0 имаме минимум, ако е отрицателен, тогава максимум. Ако разликата не запазва знака си, то в точка Р0 няма екстремум.

По същия начин екстремумите на функцията се определят за по-голям брой аргументи.

Кои безалкохолни газирани напитки почистват повърхности
Има мнение, че безалкохолната газирана напитка Coca-Cola е в състояние да разтвори месото. За съжаление няма преки доказателства за това. Напротив, има положителни факти, които потвърждават, че месото, оставено в напитката Coca-Cola за два дни, променя потребителските си свойства и не изчезва никъде.

Разпределения на типични апартаменти, описания и снимки на къщи можете да намерите на уебсайтовете: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art

Как да се лекува невроза
Невроза (новолат. невроза, идва от др. гръцки. νε?ρον - нерв; синоними - психоневроза, невротично разстройство) - в клиниката: сборно наименование за група функционални психогенни обратими разстройства, които са склонни към

Какво е афелий
Апоцентърът е точката от орбитата, в която тяло в елиптична орбита около друго тяло достига максималното си разстояние от последното. В същия момент, според втория закон на Кеплер, скоростта на орбиталното движение става минимална. Апоцентърът е разположен в точка, диаметрално противоположна на периапсиса. В специални случаи е обичайно да се използват специални термини:

Какво е мамон
Мамон (м. р.), мамон (ф. р.) - дума, произлизаща от гръцки. mammonas и означава богатство, земни съкровища, благословии. За някои древни езически народи той е бог на богатството и печалбата. В Свещеното писание се споменава от евангелистите Матей и Лука: „Никой не може да служи на двама господари: защото или единия ще намрази, и другия

Кога е православният Великден през 2049 г
През 2015 г. православният Великден ще бъде на 12 април, а католическият - на 5 април. В църковните календари датите на православния Великден се дават според Юлианския календар (стар стил), докато католическият Великден се счита според съвременния Григориански календар (нов стил), така че съпоставянето на датите изисква известно умствено усилие

Какво е рубла
Рублата е името на съвременните валути на Русия, Беларус (беларуска рубла), Приднестровието (приднестровска рубла). Руската рубла също циркулира в Южна Осетия и Абхазия. В миналото - паричната единица на руските републики и княжества, Великото Московско княжество, Руското царство, Великото литовско княжество, Руската империя и др.

Колко дълго беше Ариел Шарон в кома
Ариел Арик Шарон (Шейнерман) - израелски военен, политически и държавник, министър-председател на Израел през 2001 - 2006 г. Дата на раждане: 26 февруари 1928 г. Място на раждане: селище Кфар Малал близо до Кфар Саба, Израел Дата на смърт: 11 януари 2014 г. Място на смърт: Рамат Ган, Гуш Дан, Из

Кои са били неандерталците
Неандерталец, Неандерталец (лат. Homo neanderthalensis или Homo sapiens neanderthalensis) е изкопаем вид хора, живели преди 300-24 хиляди години. Произход на името Смята се, че черепът на неандерталеца е намерен за първи път през 1856 г.

На колко години е Джефри Ръш
Джефри Ръш е австралийски филмов и театрален актьор. Носител на Оскар (1997), БАФТА (1996, 1999), Златен глобус (1997, 2005). Най-известните филми с негово участие - "Shine"

Как да определим интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на графика на функция
Какво е екстремум на функция и какво е необходимото условие за екстремум? Екстремумът на функция е максимумът и минимумът на функцията. Необходимото условие за максимума и минимума (екстремума) на функцията е следното: ако функцията f(x) има екстремум в точката x = a, тогава в тази точка производната е или нула, или безкрайна, или не съществува. Това условие е необходимо, но не достатъчно. Производна в t

Миниатюрна и доста проста задача от вида, който служи като спасителен пояс за плаващ ученик. В природата, сънното царство на средата на юли, така че е време да се установите с лаптоп на плажа. Рано сутринта слънчев лъч на теория играе, за да се фокусира скоро върху практиката, която въпреки декларираната си лекота съдържа стъклени фрагменти в пясъка. В тази връзка препоръчвам съвестно да разгледате няколко примера от тази страница. За да решавате практически задачи, трябва да можете намерете производнии разбират материала на статията Интервали на монотонност и екстремуми на функция.

Първо, накратко за основното. В урок за непрекъснатост на функциятаДадох определението за непрекъснатост в точка и непрекъснатост в интервал. По подобен начин се формулира примерното поведение на функция върху сегмент. Една функция е непрекъсната на сегмент, ако:

1) тя е непрекъсната на интервала ;
2) непрекъснато в точка на дяснои в точката наляво.

Вторият параграф се занимава с т.нар едностранна приемственостфункции в точка. Има няколко подхода към дефинирането му, но аз ще се придържам към линията, започната по-рано:

Функцията е непрекъсната в точка на дясно, ако е дефинирана в дадена точка и дясната й граница съвпада със стойността на функцията в дадена точка: . То е непрекъснато в точката наляво, ако е дефиниран в дадена точка и лявата му граница е равна на стойността в тази точка:

Представете си, че зелените точки са ноктите, на които е прикрепена магическата гумена лента:

Мислено вземете червената линия в ръцете си. Очевидно е, че колкото и да разтеглим графиката нагоре и надолу (по оста), функцията пак ще остане ограничен- жив плет отгоре, жив плет отдолу, а нашият продукт пасе в падока. По този начин, функция, непрекъсната на сегмент, е ограничена върху него. В хода на математическия анализ този на пръв поглед прост факт се констатира и строго доказва Първата теорема на Вайерщрас.… Много хора се дразнят, че елементарните твърдения са досадно обосновани в математиката, но това има важно значение. Да предположим, че определен жител на средновековието е изтеглил графиката в небето отвъд границите на видимост, това е вмъкнато. Преди изобретяването на телескопа, ограничената функция в космоса изобщо не беше очевидна! Наистина, откъде знаеш какво ни очаква отвъд хоризонта? В края на краищата, някога Земята се смяташе за плоска, така че днес дори обикновеното телепортиране изисква доказателство =)

Според втора теорема на Вайерщрас, непрекъснат на сегментафункция достига своята точен горен ръбИ неговият точен долен ръб .

Извиква се и номерът максималната стойност на функцията върху сегментаи се обозначава с , а числото - минималната стойност на функцията на интервалаотбелязани.

В нашия случай:

Забележка : на теория записите са често срещани .

Грубо казано, най-голямата стойност се намира там, където е най-високата точка на графиката, а най-малката - там, където е най-ниската точка.

важно!Както вече беше посочено в статията за екстремуми на функцията, най-голямата стойност на функциятаИ най-малката стойност на функцията – НЕ СЪЩОТО, Какво максимална функцияИ функционален минимум. Така че в този пример числото е минимумът на функцията, но не и минималната стойност.

Между другото, какво се случва извън сегмента? Да, дори наводнението, в контекста на разглеждания проблем, това изобщо не ни интересува. Задачата включва намирането само на две числа и това е!

Освен това решението е чисто аналитично, следователно, няма нужда да рисуваш!

Алгоритъмът лежи на повърхността и се подсказва от горната фигура:

1) Намерете стойностите на функцията в критични точки, които принадлежат към този сегмент.

Хванете още една екстра: няма нужда да проверявате достатъчно условие за екстремум, тъй като, както току-що беше показано, наличието на минимум или максимум все още не е гарантиранокаква е минималната или максималната стойност. Демонстрационната функция достига своя максимум и по волята на съдбата същото число е най-голямата стойност на функцията на интервала. Но, разбира се, такова съвпадение не винаги се случва.

Така че на първата стъпка е по-бързо и по-лесно да се изчислят стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на сегмента, без да се притеснявате дали имат екстремуми или не.

2) Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента.

3) Сред стойностите на функцията, намерени в 1-ви и 2-ри параграф, изберете най-малкото и най-голямото число, запишете отговора.

Седим на брега на синьото море и удряме петите в плитка вода:

Пример 1

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция върху сегмент

Решение:
1) Изчислете стойностите на функцията в критични точки, принадлежащи на този сегмент:

Нека изчислим стойността на функцията във втората критична точка:

2) Изчислете стойностите на функцията в краищата на сегмента:

3) Получени са "удебелени" резултати с експоненциали и логаритми, което значително усложнява тяхното сравнение. Поради тази причина ще се въоръжим с калкулатор или Excel и ще изчислим приблизителните стойности, като не забравяме, че:

Сега всичко е ясно.

Отговор:

Дробно-рационален пример за независимо решение:

Пример 6

Намерете максималните и минималните стойности на функция върху сегмент