Може ли котангенсът да бъде по-голям от 1. Основни тригонометрични тъждества, техните формулировки и извеждане

Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс на произволен ъгъл

Синус, косинус на произволен ъгъл

За да разберем какво представляват тригонометричните функции, нека разгледаме окръжност с единичен радиус. Този кръг има център в началото на координатната равнина. За определяне на дадените функции ще използваме радиус вектора ИЛИ, която започва в центъра на кръга, и точката Ре точка от окръжността. Този радиус вектор образува ъгъл алфа с оста ОХ. Тъй като окръжността има радиус, равен на единица, тогава ИЛИ = R = 1.

Ако от точката Рспуснете перпендикуляра към оста ОХ, тогава получаваме правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на едно.

Ако радиус векторът се движи по посока на часовниковата стрелка, тогава тази посока се нарича отрицателен, ако се движи обратно на часовниковата стрелка - положителен.

Синус на ъгъла ИЛИ, е ординатата на точката Рвектор върху кръг.

Тоест, за да се получи стойността на синуса на даден ъгъл алфа, е необходимо да се определи координатата Uна повърхността.

Как е получена тази стойност? Тъй като знаем, че синусът на произволен ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към хипотенузата, получаваме, че

И тъй като R=1, Че sin(α) = y 0 .

В единичен кръг стойността на ординатата не може да бъде по-малка от -1 и по-голяма от 1, което означава

Синусът приема положителна стойност в първата и втората четвърт на единичната окръжност и отрицателна в третата и четвъртата.

Косинус на ъгълададена окръжност, образувана от радиус вектора ИЛИ, е абсцисата на точката Рвектор върху кръг.

Тоест, за да се получи косинусовата стойност на даден ъгъл алфа, е необходимо да се определи координатата хна повърхността.

Косинусът на произволен ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата, получаваме това

И тъй като R=1, Че cos(α) = x 0 .

В единичния кръг стойността на абсцисата не може да бъде по-малка от -1 и по-голяма от 1, което означава

Косинусът приема положителна стойност в първата и четвъртата четвърт на единичната окръжност и отрицателна във втората и третата.

Допирателнапроизволен ъгълИзчислява се съотношението на синус към косинус.

Ако разгледаме правоъгълен триъгълник, тогава това е съотношението на срещуположната страна към съседната страна. Ако говорим за единичната окръжност, тогава това е отношението на ординатата към абсцисата.

Съдейки по тези отношения, може да се разбере, че допирателната не може да съществува, ако стойността на абсцисата е нула, тоест под ъгъл от 90 градуса. Тангенсът може да приема всички други стойности.

Допирателната е положителна в първата и третата четвърт на единичната окръжност и отрицателна във втората и четвъртата.

|BD| - дължина на дъгата от окръжност с център в точка А.
α е ъгълът, изразен в радиани.

Тангенса ( тен α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на противоположния катет |BC| до дължината на съседния катет |AB| .
Котангенс ( ctg α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на срещуположния катет |BC| .

Допирателна

Където н- цяло.

В западната литература тангенсът се обозначава по следния начин:
.
;
;
.

Графика на функцията тангенс, y = tan x

Котангенс

Където н- цяло.

В западната литература котангенсът се означава по следния начин:
.
Приемат се и следните нотации:
;
;
.

Графика на функцията котангенс, y = ctg x

Свойства на тангенса и котангенса

Периодичност

Функции y = tg xи y = ctg xса периодични с период π.

Паритет

Функциите тангенс и котангенс са нечетни.

Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи

Функциите тангенс и котангенс са непрекъснати в тяхната област на дефиниция (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на тангенса и котангенса са представени в таблицата ( н- цяло).

Формули

Изрази, използващи синус и косинус

; ;
; ;
;

Формули за тангенс и котангенс от сбор и разлика

Останалите формули са лесни за получаване, например

Произведение на допирателните

Формула за сбор и разлика на тангенси

Тази таблица представя стойностите на тангенсите и котангенсите за определени стойности на аргумента.

Изрази, използващи комплексни числа

Изразяване чрез хиперболични функции

;
;

Деривати

; .

.
Производна от n-ти ред по отношение на променливата x на функцията:
.
Извеждане на формули за тангенс >>>; за котангенс >>>

Интеграли

Разширения на сериите

За да получите разширение на тангенса по степени на x, трябва да вземете няколко члена на разширението в степенен ред за функциите грях хИ cos xи разделяме тези полиноми един на друг, . Това произвежда следните формули.

В .

при .
Където Bn- Числата на Бернули. Те се определят или от рекурентната връзка:
;
;
Където .
Или според формулата на Лаплас:

Обратни функции

Обратните функции на тангенса и котангенса са съответно арктангенс и арккотангенс.

Арктангенс, arctg

, Където н- цяло.

Аркотангенс, arcctg

, Където н- цяло.

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Г. Корн, Наръчник по математика за учени и инженери, 2012 г.

Тази статия съдържа таблици на синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Първо, ще предоставим таблица на основните стойности на тригонометрични функции, тоест таблица на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадиан). След това ще дадем таблица на синусите и косинусите, както и таблица на тангенсите и котангенсите от В. М. Брадис и ще покажем как да използваме тези таблици при намиране на стойностите на тригонометричните функции.

Навигация в страницата.

Таблица със синуси, косинуси, тангенси и котангенси за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса

Библиография.

• Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Изд. Теляковски С. А. - М.: Образование, 1990. - 272 с.: ил. - ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогоров - 14-то изд. - М.: Образование, 2004. - 384 с.: ил. - ISBN 5-09-013651-3.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
• Брадис В. М.Четирицифрени таблици по математика: За общообразователна подготовка. учебник заведения. - 2-ро изд. - М.: Дропла, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.