Как се решават прости тригонометрични неравенства. Решаване на тригонометрични неравенства

1.5 Тригонометрични неравенства и методи за решаването им

1.5.1 Решаване на прости тригонометрични неравенства

Повечето автори на съвременни учебници по математика предлагат да започнете да разглеждате тази тема чрез решаване на най-простите тригонометрични неравенства. Принципът за решаване на най-простите тригонометрични неравенства се основава на знанията и уменията за определяне на тригонометричен кръг на стойностите не само на основните тригонометрични ъгли, но и на други стойности.

Междувременно решението на неравенства от формата , , , може да се извърши по следния начин: първо намираме някакъв интервал (), на който това неравенство е изпълнено, и след това записваме окончателния отговор, като добавяме към краищата на намерения интервал a число, което е кратно на периода на синуса или косинуса: ( ). В този случай стойността е лесна за намиране, т.к или . Търсенето на смисъл се основава на интуицията на учениците, тяхната способност да забелязват равенството на дъги или сегменти, като се възползват от симетрията на отделните части на синусовата или косинусовата графика. А това понякога е извън възможностите на доста голям брой ученици. За да се преодолеят отбелязаните трудности, в учебниците през последните години са използвани различни подходи за решаване на прости тригонометрични неравенства, но това не е довело до подобрение в резултатите от обучението.

От няколко години доста успешно използваме формули за корените на съответните уравнения, за да намерим решения на тригонометрични неравенства.

Ние изучаваме тази тема по следния начин:

1. Изграждаме графики и y = a, като приемаме, че .

След това записваме уравнението и неговото решение. Давайки n 0; 1; 2 намираме трите корена на съставеното уравнение: . Стойностите са абсцисата на три последователни точки на пресичане на графиките и y = a. Очевидно е, че неравенството винаги важи за интервала (), а неравенството винаги важи за интервала ().

Добавяйки към краищата на тези интервали число, кратно на периода на синуса, в първия случай получаваме решение на неравенството във вида: ; а във втория случай решение на неравенството във вида:

Само за разлика от синуса от формулата, която е решение на уравнението, за n = 0 получаваме два корена, а третият корен за n = 1 във формата . И отново, те са три последователни абсцисни точки на пресечните точки на графиките и . В интервала () неравенството е в сила, в интервала () неравенството

Сега не е трудно да напишем решенията на неравенствата и . В първия случай получаваме: ;

а във втория: .

Обобщете. За да разрешите неравенството или, трябва да създадете съответното уравнение и да го решите. От получената формула намерете корените на и и запишете отговора на неравенството във вида: .

При решаване на неравенства , от формулата за корените на съответното уравнение намираме корените и , и записваме отговора на неравенството във вида: .

Тази техника ви позволява да научите всички ученици как да решават тригонометрични неравенства, защото Тази техника разчита изцяло на умения, които учениците владеят добре. Това са умения за решаване на прости задачи и намиране на стойността на променлива с помощта на формула. Освен това става напълно ненужно внимателно решаване на голям брой упражнения под ръководството на учител, за да се демонстрират всякакви техники за разсъждение в зависимост от знака на неравенството, стойността на модула на числото a и неговия знак . И самият процес на решаване на неравенството става кратък и, което е много важно, еднообразен.

Друго предимство на този метод е, че ви позволява лесно да решавате неравенства, дори когато дясната страна не е таблична стойност на синус или косинус.

Нека демонстрираме това с конкретен пример. Да предположим, че трябва да решим неравенство. Нека съставим съответното уравнение и го решим:

Нека намерим стойностите на и .

Когато n = 1

Когато n = 2

Записваме крайния отговор на това неравенство:

В разглеждания пример за решаване на най-простите тригонометрични неравенства може да има само един недостатък - наличието на известна доза формализъм. Но ако всичко се оценява само от тези позиции, тогава ще бъде възможно да се обвинят формулите на корените на квадратното уравнение и всички формули за решаване на тригонометрични уравнения и много повече във формализъм.

Въпреки че предложеният метод заема достойно място във формирането на умения за решаване на тригонометрични неравенства, значението и характеристиките на други методи за решаване на тригонометрични неравенства не могат да бъдат подценени. Те включват интервалния метод.

Нека разгледаме същността му.

Комплект, редактиран от A.G. Мордкович, въпреки че не трябва да пренебрегвате и останалите учебници. § 3. Методика на преподаване на темата „Тригонометрични функции” в курса по алгебра и начало на анализа В изучаването на тригонометричните функции в училище могат да се разграничат два основни етапа: ü Първоначално запознаване с тригонометричните функции...

При извършване на изследването бяха решени следните задачи: 1) Анализирани са настоящите учебници по алгебра и наченките на математическия анализ, за ​​да се идентифицират представените в тях методи за решаване на ирационални уравнения и неравенства. Анализът ни позволява да направим следните изводи: ·в средното училище не се обръща достатъчно внимание на методите за решаване на различни ирационални уравнения, главно...

Проект по алгебра „Решаване на тригонометрични неравенства“ Изпълнен от ученичка от 10 „Б“ клас Казачкова Юлия Ръководител: учителят по математика Кочакова Н.Н.

Цел Да се ​​затвърди материалът по темата „Решаване на тригонометрични неравенства“ и да се създаде напомняне за учениците да се подготвят за предстоящия изпит.

Цели: Обобщете материала по тази тема. Систематизирайте получената информация. Помислете за тази тема в Единния държавен изпит.

Уместност Уместността на темата, която избрах, се крие във факта, че задачите по темата „Решаване на тригонометрични неравенства“ са включени в задачите на Единния държавен изпит.

Тригонометрични неравенства Неравенството е връзка, свързваща две числа или изрази чрез един от знаците: (по-голямо от); ≥ (по-голямо или равно на). Тригонометрично неравенство е неравенство, включващо тригонометрични функции.

Тригонометрични неравенства Решението на неравенствата, съдържащи тригонометрични функции, като правило се свежда до решаването на най-простите неравенства от вида: sin x>a, sin x a, cos x a, tg x a,ctg x

Алгоритъм за решаване на тригонометрични неравенства Върху оста, съответстваща на дадена тригонометрична функция, отбележете дадената числена стойност на тази функция. Начертайте линия през маркираната точка, пресичаща единичната окръжност. Изберете пресечните точки на линия и окръжност, като вземете предвид строгия или нестрогия знак за неравенство. Изберете дъгата на окръжността, върху която са разположени решенията на неравенството. Определете стойностите на ъглите в началната и крайната точка на кръговата дъга. Запишете решението на неравенството, като вземете предвид периодичността на дадената тригонометрична функция.

Формули за решаване на тригонометрични неравенства sinx >a; x (arcsin a + 2πn; π- arcsin a + 2πn). sinx а; x (- arccos a + 2πn; arccos a + 2πn). cosxа; x (arctg a + πn ; + πn). tgx а; x (πn; arctan + πn). ctgx

Графично решение на основни тригонометрични неравенства sinx >a

Графично решение на основни тригонометрични неравенства sinx

Графично решение на основни тригонометрични неравенства cosx >a

Графично решение на основни тригонометрични неравенства cosx

Графично решение на основни тригонометрични неравенства tgx >a

Графично решение на основни тригонометрични неравенства tgx

Графично решение на основни тригонометрични неравенства ctgx >a

Графично решение на основни тригонометрични неравенства ctgx

Методи за решаване на тригонометрични неравенства Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на числовата окръжност; Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на графиката на функция. :

Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на числовата окръжност Пример 1: : Отговор:

Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на числовата окръжност Пример 1: Отговор:

Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на графиката на функция Пример: Отговор:

Резултат от работата Затвърдих знанията си по темата „Решаване на тригонометрични неравенства“. Систематизира информацията, получена по тази тема, за по-лесно възприемане: разработи алгоритъм за решаване на тригонометрични неравенства; очерта две решения; демонстрирани примери за решения. :

Резултат от работата Също така към моя проект като завършен продукт е приложена „Паметна бележка за ученици, подготвящи се за изпита по алгебра“. Документ на Microsoft Office Word (2). docx:

Използвана литература Учебник по алгебра за 10 клас „Алгебра и началото на анализа” под редакцията на А. Н. Колмогоров http://festival.1september.ru/articles/514580/ http://www.mathematics-repetition.com http:// www. calc.ru http://www.pomochnik-vsem.ru:

Алгоритъм за решаване на прости тригонометрични неравенства и разпознаване на методи за решаване на тригонометрични неравенства.

Учители от най-висока квалификационна категория:

Ширко Ф.М. стр. Прогрес, МОБУ-СОУ №6

Санкина Л.С. Армавир, частно средно училище "Нов път"

Няма универсални методи за преподаване на природни и математически дисциплини. Всеки учител намира свои собствени начини на преподаване, които са приемливи само за него.

Дългогодишният ни преподавателски опит показва, че учениците по-лесно усвояват материал, който изисква концентрация и задържане на голямо количество информация в паметта, ако са научени да използват алгоритми в дейността си в началния етап на изучаване на сложна тема. Според нас такава тема е темата за решаване на тригонометрични неравенства.

И така, преди да започнем с учениците да идентифицираме техники и методи за решаване на тригонометрични неравенства, ние упражняваме и консолидираме алгоритъм за решаване на най-простите тригонометрични неравенства.

Алгоритъм за решаване на прости тригонометрични неравенства

Маркирайте точки на съответната ос ( За грях х– OA ос, заcos х– OX ос)

Възстановяваме перпендикуляр към оста, който ще пресича окръжността в две точки.

Първата точка от окръжността е точка, която по дефиниция принадлежи на интервала от диапазона на дъговата функция.

Започвайки от маркираната точка, засенчете дъгата на кръга, съответстваща на защрихованата част от оста.

Обръщаме специално внимание на посоката на обхода. Ако обхождането се извършва по посока на часовниковата стрелка (т.е. има преход през 0), тогава втората точка от кръга ще бъде отрицателна, ако обратно на часовниковата стрелка, ще бъде положителна.

Записваме отговора под формата на интервал, като вземем предвид периодичността на функцията.

Нека да разгледаме работата на алгоритъма с примери.

1) грях ≥ 1/2;

Решение:

Изобразяваме единична окръжност.;

Маркираме точка ½ на оста OU.

Възстановяваме перпендикуляра на оста,

който пресича окръжността в две точки.

По дефиницията на арксинуса първо отбелязваме

точка π/6.

Засенчете частта от оста, която съответства на

дадено неравенство, над точката ½.

Засенчете дъгата на кръга, съответстваща на защрихованата част от оста.

Обхождането се извършва обратно на часовниковата стрелка, получаваме точката 5π/6.

Записваме отговора под формата на интервал, като вземем предвид периодичността на функцията;

Отговор:х;[π/6 + 2π н, 5π/6 + 2π н], н З.

Най-простото неравенство се решава с помощта на същия алгоритъм, ако записът на отговора не съдържа таблична стойност.

Учениците, когато решават неравенства на дъската в първите си уроци, изричат ​​всяка стъпка от алгоритъма на глас.

2) 5 cos х – 1 ≥ 0;

Р решение:при

5 cos х – 1 ≥ 0;

cos х ≥ 1/5;

Начертайте единична окръжност.

Отбелязваме точка с координата 1/5 на оста OX.

Възстановяваме перпендикуляра на оста, който

пресича окръжността в две точки.

Първата точка от окръжността е точка, която принадлежи на интервала от диапазона на арккосинуса по дефиниция (0;π).

Защриховаме частта от оста, която съответства на това неравенство.

Започвайки от подписаната точка arccos 1/5, засенчете дъгата на кръга, съответстваща на защрихованата част от оста.

Преминаването се извършва по посока на часовниковата стрелка (т.е. има преход през 0), което означава, че втората точка от окръжността ще бъде отрицателна - arccos 1/5.

Записваме отговора под формата на интервал, като отчитаме периодичността на функцията, от по-малката стойност към по-голямата.

Отговор: х  [-arccos 1/5 + 2π н, arccos 1/5 + 2π н], н З.

Подобряването на способността за решаване на тригонометрични неравенства се улеснява от следните въпроси: „Как ще решим група неравенства?“; „По какво едно неравенство се различава от друго?“; „По какво едно неравенство е подобно на друго?“; Как би се променил отговорът, ако беше дадено строго неравенство?"; Как би се променил отговорът, ако вместо знака "" имаше знак "

Задачата за анализиране на списък от неравенства от гледна точка на методите за решаването им ви позволява да практикувате тяхното разпознаване.

На учениците се дават неравенства, които трябва да бъдат решени в час.

Въпрос:Подчертайте неравенствата, които изискват използването на еквивалентни трансформации при редуциране на тригонометрично неравенство до най-простата му форма?

Отговор 1, 3, 5.

Въпрос:Кои са неравенствата, при които трябва да разглеждате сложен аргумент като прост?

Отговор: 1, 2, 3, 5, 6.

Въпрос:Кои са неравенствата, при които могат да се прилагат тригонометрични формули?

Отговор: 2, 3, 6.

Въпрос:Посочете неравенствата, при които може да се приложи методът за въвеждане на нова променлива?

Отговор: 6.

Задачата за анализиране на списък от неравенства от гледна точка на методите за решаването им ви позволява да практикувате тяхното разпознаване. При развиването на умения е важно да се идентифицират етапите на неговото изпълнение и да се формулират в обща форма, която е представена в алгоритъма за решаване на най-простите тригонометрични неравенства.

Повечето ученици не харесват тригонометричните неравенства. Но напразно. Както казваше един герой,

„Просто не знаете как да ги приготвите“

И така, как да „готвим“ и с какво да представим неравенство със синус, ще разберем в тази статия. Ще го решим по най-простия начин - с единичната окръжност.

Така че, на първо място, имаме нужда от следния алгоритъм.

Алгоритъм за решаване на неравенства със синус:

1. върху синусовата ос нанасяме числото $a$ и начертаваме права линия, успоредна на косинусовата ос, докато се пресече с окръжността;
2. точките на пресичане на тази права с окръжността ще бъдат защриховани, ако неравенството не е строго, и не са защриховани, ако неравенството е строго;
3. областта на решението на неравенството ще бъде разположена над линията и до кръга, ако неравенството съдържа знака “$>$”, и под линията и до кръга, ако неравенството съдържа знака “$<$”;
4. за да намерим пресечните точки, решаваме тригонометричното уравнение $\sin(x)=a$, получаваме $x=(-1)^(n)\arcsin(a) + \pi n$;
5. задавайки $n=0$, намираме първата пресечна точка (тя се намира или в първата, или в четвъртата четвърт);
6. за да намерим втората точка, гледаме в каква посока преминаваме през областта до втората пресечна точка: ако в положителна посока, тогава трябва да вземем $n=1$, а ако в отрицателна посока, тогава $n=- 1$;
7. в отговор интервалът се записва от по-малката пресечна точка $+ 2\pi n$ до по-голямата $+ 2\pi n$.

Ограничение на алгоритъма

Важно: dдаден алгоритъм не работиза неравенства от вида $\sin(x) > 1; \ \sin(x) \geq 1, \ \sin(x)< -1, \ \sin{x} \leq -1$. В строгом случае эти неравенства не имеют решений, а в нестрогом – решение сводится к решению уравнения $\sin{x} = 1$ или $\sin{x} = -1$.

Частни случаи при решаване на неравенства със синус

Също така е важно да се отбележат следните случаи, които са много по-удобни за логическо решаване без използване на горния алгоритъм.

Специален случай 1.Решете неравенство:

$\sin(x)\leq 1.$

Поради факта, че обхватът на стойностите на тригонометричната функция $y=\sin(x)$ не е по-голям от модул $1$, тогава лявата страна на неравенството по всяко$x$ от дефиниционната област (и дефиниционната област на синуса са всички реални числа) не е повече от $1$. И следователно в отговора пишем: $x \in R$.

Последица:

$\sin(x)\geq -1.$

Специален случай 2.Решете неравенство:

$\sin(x)< 1.$

Прилагайки разсъждения, подобни на специален случай 1, откриваме, че лявата страна на неравенството е по-малка от $1$ за всички $x \in R$, с изключение на точките, които са решения на уравнението $\sin(x) = 1$. Решавайки това уравнение, ще имаме:

$x = (-1)^(n)\arcsin(1)+ \pi n = (-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n.$

И следователно в отговора пишем: $x \in R \backslash \left\((-1)^(n)\frac(\pi)(2) + \pi n\right\)$.

Последица:неравенството се решава по подобен начин

$\sin(x) > -1.$

Примери за решаване на неравенства с помощта на алгоритъм.

Пример 1:Решете неравенство:

$\sin(x) \geq \frac(1)(2).$

1. Нека отбележим координатата $\frac(1)(2)$ върху синусовата ос.
2. Нека начертаем права линия, успоредна на косинусовата ос и минаваща през тази точка.
3. Нека маркираме пресечните точки. Те ще бъдат защриховани, защото неравенството не е строго.
4. Знакът за неравенство е $\geq$, което означава, че рисуваме областта над линията, т.е. по-малък полукръг.
5. Намираме първата пресечна точка. За да направим това, превръщаме неравенството в равенство и го решаваме: $\sin(x)=\frac(1)(2) \ \Rightarrow \ x=(-1)^(n)\arcsin(\frac(1 )(2) )+\pi n =(-1)^(n)\frac(\pi)(6) + \pi n$. Освен това задаваме $n=0$ и намираме първата пресечна точка: $x_(1)=\frac(\pi)(6)$.
6. Намираме втората точка. Нашата област върви в положителна посока от първата точка, което означава, че задаваме $n$ равно на $1$: $x_(2)=(-1)^(1)\frac(\pi)(6) + \pi \cdot 1 = \pi – \frac(\pi)(6) = \frac(5\pi)(6)$.

Така решението ще приеме формата:

$x \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right], \n \in Z.$

Пример 2:Решете неравенство:

$\sin(x)< -\frac{1}{2}$

Нека отбележим координатата $-\frac(1)(2)$ върху синусовата ос и да начертаем права линия, успоредна на косинусовата ос и минаваща през тази точка. Нека маркираме пресечните точки. Те няма да бъдат засенчени, тъй като неравенството е строго. Знакът за неравенство $<$, а, значит, закрашиваем область ниже прямой, т.е. меньший полукруг. Неравенство превращаем в равенство и решаем его:

$\sin(x)=-\frac(1)(2)$

$x=(-1)^(n)\arcsin(\left(-\frac(1)(2)\right))+ \pi n =(-1)^(n+1)\frac(\pi )(6) + \pi n$.

Допълнително приемайки $n=0$, намираме първата пресечна точка: $x_(1)=-\frac(\pi)(6)$. Нашата област върви в отрицателна посока от първата точка, което означава, че задаваме $n$ равно на $-1$: $x_(2)=(-1)^(-1+1)\frac(\pi)( 6) + \pi \cdot (-1) = -\pi + \frac(\pi)(6) = -\frac(5\pi)(6)$.

И така, решението на това неравенство ще бъде интервалът:

$x \in \left(-\frac(5\pi)(6) + 2\pi n; -\frac(\pi)(6) + 2 \pi n\вдясно), \n \in Z.$

Пример 3:Решете неравенство:

$1 – 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq 0.$

Този пример не може да бъде решен веднага с помощта на алгоритъм. Първо трябва да го трансформирате. Правим точно това, което бихме направили с уравнение, но не забравяйте за знака. Деление или умножение с отрицателно число го обръща!

И така, нека преместим всичко, което не съдържа тригонометрична функция, в дясната страна. Получаваме:

$- 2\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \leq -1.$

Нека разделим лявата и дясната страна на $-2$ (не забравяйте за знака!). Ще има:

$\sin(\left(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)\right)) \geq \frac(1)(2).$

Отново имаме неравенство, което не можем да решим с помощта на алгоритъм. Но тук е достатъчно да промените променливата:

$t=\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6).$

Получаваме тригонометрично неравенство, което може да се реши с помощта на алгоритъма:

$\sin(t) \geq \frac(1)(2).$

Това неравенство беше решено в Пример 1, така че нека вземем отговора от там:

$t \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Решението обаче още не е приключило. Трябва да се върнем към оригиналната променлива.

$(\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)) \in \left[\frac(\pi)(6) + 2\pi n; \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n\right].$

Нека си представим интервала като система:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n, \\ \frac(x)(4)+\frac(\pi)(6) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n. \end(масив) \right.$

От лявата страна на системата има израз ($\frac(x)(4)+\frac(\pi)(6)$), който принадлежи на интервала. Лявата граница на интервала е отговорна за първото неравенство, а дясната граница е отговорна за второто. Освен това скобите играят важна роля: ако скобата е квадратна, тогава неравенството ще бъде отпуснато, а ако е кръгло, тогава ще бъде строго. нашата задача е да вземем $x$ отляво и в двете неравенства.

Нека преместим $\frac(\pi)(6)$ от лявата страна на дясната страна, получаваме:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq \frac(\pi)(6) + 2\pi n -\frac(\pi)(6), \\ \frac(x)(4) \leq \frac(5\pi)(6) + 2 \pi n – \frac(\pi)(6).\end(масив) \right.$

Опростявайки, ще имаме:

$\left\(\begin(array)(c) \frac(x)(4) \geq 2\pi n, \\ \frac(x)(4) \leq \frac(2\pi)(3) + 2 \pi n. \end(масив) \right.$

Умножавайки лявата и дясната страна по $4$, получаваме:

$\left\(\begin(array)(c) x \geq 8\pi n, \\ x \leq \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n. \end(array) \right. $

Сглобявайки системата в интервала, получаваме отговора:

$x \in \left[ 8\pi n; \frac(8\pi)(3) + 8 \pi n\right], \n \in Z.$

Неравенствата са релации от формата a › b, където a и b са изрази, съдържащи поне една променлива. Неравенствата могат да бъдат строги - ‹, › и нестроги - ≥, ≤.

Тригонометричните неравенства са изрази във формата: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в които F(x) е представено от една или повече тригонометрични функции .

Пример за най-простото тригонометрично неравенство е: sin x ‹ 1/2. Обичайно е такива проблеми да се решават графично, за това са разработени два метода.

Метод 1 - Решаване на неравенства чрез изобразяване на графика на функция

За да намерите интервал, който отговаря на условията неравенство sin x ‹ 1/2, трябва да изпълните следните стъпки:

1. На координатната ос изградете синусоида y = sin x.
2. На същата ос начертайте графика на числения аргумент на неравенството, т.е. права линия, минаваща през точка ½ на ординатата OY.
3. Маркирайте пресечните точки на двете графики.
4. Засенчете сегмента, който е решението на примера.

Когато в израза присъстват строги знаци, пресечните точки не са решения. Тъй като най-малкият положителен период на синусоида е 2π, ние записваме отговора, както следва:

Ако знаците на израза не са строги, тогава интервалът на решение трябва да бъде ограден в квадратни скоби - . Отговорът на задачата може да се запише и като следното неравенство:

Метод 2 - Решаване на тригонометрични неравенства с помощта на единичната окръжност

Подобни проблеми могат лесно да бъдат решени с помощта на тригонометричен кръг. Алгоритъмът за намиране на отговори е много прост:

1. Първо трябва да начертаете единична окръжност.
2. След това трябва да отбележите стойността на дъговата функция на аргумента от дясната страна на неравенството върху дъгата на окръжността.
3. Необходимо е да се начертае права линия, минаваща през стойността на дъговата функция, успоредна на абсцисната ос (OX).
4. След това остава само да изберете дъгата от окръжност, която е множеството от решения на тригонометричното неравенство.
5. Запишете отговора в необходимата форма.

Нека анализираме етапите на решението, използвайки примера на неравенството sin x › 1/2. Върху кръга са отбелязани точки α и β - стойности

Точките от дъгата, разположени над α и β, са интервалът за решаване на даденото неравенство.

Ако трябва да решите пример за cos, тогава дъгата на отговора ще бъде разположена симетрично спрямо оста OX, а не OY. Можете да разгледате разликата между интервалите на решение за sin и cos в диаграмите по-долу в текста.

Графичните решения за тангенс и котангенс неравенства ще се различават както от синус, така и от косинус. Това се дължи на свойствата на функциите.

Арктангенсът и арккотангенсът са допирателни към тригонометрична окръжност и минималният положителен период за двете функции е π. За да използвате бързо и правилно втория метод, трябва да запомните на коя ос са нанесени стойностите на sin, cos, tg и ctg.

Допирателната е успоредна на оста OY. Ако начертаем стойността на arctan a върху единичната окръжност, тогава втората необходима точка ще бъде разположена в диагоналната четвърт. Ъгли

Те са точки на прекъсване за функцията, тъй като графиката се стреми към тях, но никога не ги достига.

В случай на котангенс, допирателната е успоредна на оста OX и функцията се прекъсва в точки π и 2π.

Сложни тригонометрични неравенства

Ако аргументът на функцията за неравенство е представен не само от променлива, а от цял ​​израз, съдържащ неизвестно, тогава говорим за сложно неравенство. Процесът и процедурата за решаването му са малко по-различни от методите, описани по-горе. Да предположим, че трябва да намерим решение на следното неравенство:

Графичното решение включва конструиране на обикновена синусоида y = sin x с помощта на произволно избрани стойности на x. Нека изчислим таблица с координати за контролните точки на графиката:

Резултатът трябва да е красива извивка.

За да улесним намирането на решение, нека заменим аргумента на сложната функция