Je množina komplexných čísel pole? Komplexné číselné pole

Def. Systém komplexných čísel sa nazýva min pole, ktoré je rozšírením poľa reálnych čísel a v ktorom je prvok i (i 2 -1=0)

Def. Algebra<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>sa nazýva systém počítačových čísel, ak sú splnené tieto podmienky (axiómy):

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. - akčné pole čísla

13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i2+1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ a (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

Sväté čísla:

1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊R:a=a+b∙i

2. Pole kompových čísel nemožno usporiadať lineárne, t.j. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-nemožné.

3. Základná veta algebry: Pole ℂ čísel je algebraicky uzavreté, to znamená, že každé množné číslo je kladné. stupňa nad poľom ℂ čísel má aspoň jednu množinu. koreň

Nasledujúce z hlavného alg. vety: Akékoľvek množstvo kladných. stupňa nad oborom komplexných čísel možno rozdeliť na súčin ... prvého stupňa s kladným koeficientom.

Ďalej: každá úroveň štvorca má 2 korene: 1) D>0 2 rôzne. platné koreň 2)D=0 2-a dest. zhoda koreňa 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. Axióma. teória komplexných čísel je kategorická a konzistentná

Metodológia.

V triedach všeobecného vzdelávania sa koncept komplexného čísla nezohľadňuje, obmedzujú sa len na štúdium reálnych čísel. Ale na strednej škole už majú školáci dosť zrelé matematické vzdelanie a sú schopní pochopiť potrebu rozšírenia pojmu číslo. Z hľadiska všeobecného vývoja sa poznatky o komplexných číslach využívajú v prírodných vedách a technike, čo je pre žiaka dôležité v procese výberu budúceho povolania. Autori niektorých učebníc zaraďujú štúdium tejto témy ako povinné do svojich učebníc z algebry a začiatkov matematickej analýzy pre odborné úrovne, ktorú stanovuje štátna norma.

Téma „Komplexné čísla“ z metodologického hľadiska rozvíja a prehlbuje pojmy polynómy a čísla stanovené v základnom kurze matematiky, čím v istom zmysle završuje cestu rozvoja pojmu číslo na strednej škole.

Avšak aj na strednej škole majú mnohí školáci slabo vyvinuté abstraktné myslenie, alebo je veľmi ťažké predstaviť si „imaginárny, imaginárny“ celok, pochopiť rozdiely medzi súradnicovou a komplexnou rovinou. Alebo naopak, študent operuje s abstraktnými pojmami izolovane od ich skutočného obsahu.

Po preštudovaní témy „Komplexné čísla“ by študenti mali jasne rozumieť komplexným číslam, poznať algebraické, geometrické a trigonometrické formy komplexného čísla. Študenti by mali byť schopní vykonávať operácie sčítania, násobenia, odčítania, delenia, umocňovania a odmocňovania na komplexných číslach; previesť komplexné čísla z algebraickej do trigonometrickej formy, mať predstavu o geometrickom modeli komplexných čísel

V učebnici pre hodiny matematiky od N.Ya.Vilenkina, O.S. Ivasheva-Musatova, S.I. Shvartsburda „Algebra a začiatky matematickej analýzy“ je v 11. ročníku zavedená téma „Komplexné čísla“. Štúdium témy sa ponúka v 2. polroku 11. ročníka po preštudovaní trigonometrie v 10. ročníku a integrálnych a diferenciálnych rovníc, exponenciálnych, logaritmických a mocninných funkcií a polynómov v 11. ročníku. Téma „Komplexné čísla a operácie s nimi“ je v učebnici rozdelená do dvoch častí: Komplexné čísla v algebraickom tvare; Trigonometrický tvar komplexných čísel. Úvaha o téme „Komplexné čísla a operácie s nimi“ začína úvahou o problematike riešenia kvadratických rovníc, rovníc tretieho a štvrtého stupňa a v dôsledku toho sa ukazuje potreba zaviesť „nové číslo i“. Pojmy komplexných čísel a operácií s nimi sú okamžite dané: nájdenie súčtu, súčinu a kvocientu komplexných čísel. Ďalej je uvedená striktná definícia pojmu komplexné číslo, vlastnosti operácií sčítania a násobenia, odčítania a delenia. Nasledujúci odsek hovorí o konjugovaných komplexných číslach a niektorých ich vlastnostiach. Ďalej uvažujeme o extrakcii druhých odmocnín z komplexných čísel a riešení kvadratických rovníc s komplexnými koeficientmi. Nasledujúci odsek pojednáva o: geometrickom znázornení komplexných čísel; polárny súradnicový systém a trigonometrický tvar komplexných čísel; násobenie, umocňovanie a delenie komplexných čísel v trigonometrickom tvare; Moivreov vzorec, aplikácia komplexných čísel na dôkaz goniometrických identít; extrahovanie koreňa komplexného čísla; základná veta polynomiálnej algebry; komplexné čísla a geometrické transformácie, funkcie komplexnej premennej.

V učebnici S.M. Nikolsky, M.K. Potapová, N.N. Rešetniková, A.V. Shevkin „Algebra a začiatky matematickej analýzy“, téma „Komplexné čísla sa zvažujú v 11. ročníku po preštudovaní všetkých tém, t.j. na konci kurzu školskej algebry. Téma je rozdelená do troch častí: Algebraická forma a geometrická interpretácia komplexných čísel; Trigonometrický tvar komplexných čísel; Korene polynómov, exponenciálny tvar komplexných čísel. Obsah odsekov je pomerne rozsiahly, obsahuje veľa pojmov, definícií a teorémov. Odsek „Algebraická forma a geometrická interpretácia komplexných čísel“ obsahuje tri časti: algebraická forma komplexného čísla; konjugovať komplexné čísla; geometrická interpretácia komplexného čísla. Odsek „Trigonometrická forma komplexného čísla“ obsahuje definície a pojmy potrebné na zavedenie konceptu trigonometrickej formy komplexného čísla, ako aj algoritmus na prechod z algebraickej formy zápisu na trigonometrickú formu zápisu. komplexné číslo. V poslednom odseku „Korene polynómov. Exponenciálna forma komplexných čísel“ obsahuje tri časti: korene komplexných čísel a ich vlastnosti; korene polynómov; exponenciálny tvar komplexného čísla.

Učebnicový materiál je prezentovaný v malom objeme, ale úplne postačujúci na to, aby žiaci pochopili podstatu komplexných čísel a osvojili si o nich minimálne vedomosti. Učebnica obsahuje malý počet cvičení a nerieši problematiku zvyšovania komplexného čísla na mocninu a Moivreov vzorec.

V učebnici A.G. Mordkovich, P.V. Semenov „Algebra a začiatky matematickej analýzy“, profilová úroveň, ročník 10, téma „Komplexné čísla“ sa zavádza v druhej polovici 10. ročníka bezprostredne po preštudovaní tém „Reálne čísla“ a „Trigonometria“. Toto umiestnenie nie je náhodné: tak číselný kruh, ako aj trigonometrické vzorce sa aktívne používajú pri štúdiu trigonometrickej formy komplexného čísla, vzorca Moivre a pri extrakcii štvorcových a kockových koreňov z komplexného čísla. Téma „Komplexné čísla“ je uvedená v kapitole 6 a je rozdelená do 5 častí: komplexné čísla a aritmetické operácie s nimi; komplexné čísla a rovina súradníc; trigonometrický tvar zápisu komplexného čísla; komplexné čísla a kvadratické rovnice; zvýšenie komplexného čísla na mocninu, extrahovanie druhej odmocniny komplexného čísla.

Pojem komplexné číslo sa zavádza ako rozšírenie pojmu číslo a nemožnosť vykonávať určité operácie v reálnych číslach. Učebnica uvádza tabuľku s hlavnými číselnými súbormi a operáciami v nich povolenými. Vymenujú sa minimálne podmienky, ktoré musia komplexné čísla spĺňať a následne sa zavedie pojem imaginárna jednotka, definícia komplexného čísla, rovnosť komplexných čísel, ich súčet, rozdiel, súčin a kvocient.

Od geometrického modelu množiny reálnych čísel prejdeme ku geometrickému modelu množiny komplexných čísel. Úvaha o téme „Trigonometrická forma zápisu komplexného čísla“ začína definíciou a vlastnosťami modulu komplexného čísla. Ďalej sa pozrieme na trigonometrický tvar komplexného čísla, definíciu argumentu komplexného čísla a štandardný goniometrický tvar komplexného čísla.

Ďalej študujeme extrakciu druhej odmocniny komplexného čísla a riešenie kvadratických rovníc. A v poslednom odseku je predstavený Moivreov vzorec a je odvodený algoritmus na extrakciu druhej odmocniny komplexného čísla.

Aj v recenzovanej učebnici sa v každom odseku súbežne s teoretickou časťou uvažuje o niekoľkých príkladoch, ktoré ilustrujú teóriu a poskytujú zmysluplnejšie vnímanie témy. Uvádzajú sa stručné historické fakty.

Definície . Nechaj a, b- reálne čísla, i- nejaký symbol. Komplexné číslo je zápis tvaru a+bi.

Doplnenie A násobenie čísla na množine komplexných čísel: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(a+bi)(c+di)=(ak–bd)+(reklama+bc)i. .

Veta 1 . Súbor komplexných čísel S s operáciami sčítania a násobenia tvorí pole. Vlastnosti sčítania

1) Komutatívnosť b: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+di)+(a+bi).

2) Asociativita :[(a+bi)+(c+di)]+(napr+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+bi)+[(c+di)+(napr+fi)].

3) Existencia neutrálny prvok :(a+bi)+(0 +0i)=(a+bi). číslo 0 +0 i budeme volať nulu a označovať 0 .

4) Existencia opačný prvok : (a+bi)+(–a–bi)=0 +0i=0 .

5) Komutivita násobenia : (a+bi)(c+di)=(ak–bd)+(pred Kr+ad)i=(c+di)(a+bi).

6) Asociativita násobenia :Ak z 1=a+bi, z 2=c+di, z 3=e+fi, To (z 1 z 2) z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) Distributivita: Ak z 1=a+bi, z 2=c+di, z 3=e+fi, To z 1 (z 2+z 3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) Neutrálny prvok pre násobenie :(a+bi) (1+0i)=(a 1–b 0)+(a·0+b·1)i=a+bi.

9) Číslo 1 +0i=1 – jednotka.

9) Existencia inverzný prvok : "z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .

Nechaj z=a+bi. Reálne čísla a, volal platný, A b - imaginárne časti komplexné číslo z. Použité notácie: a=Rez, b=Imz.

Ak b=0 , To z=a+ 0i=a- Reálne číslo. Preto množina reálnych čísel R je súčasťou množiny komplexných čísel C: RÍ C.

Poznámka: ja 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Použitie tejto vlastnosti čísla i, ako aj vlastnosti operácií preukázaných vo vete 1, môžete vykonávať operácie s komplexnými číslami podľa zvyčajných pravidiel, ktoré nahradia ja 2 na - 1 .

Komentujte. Vzťahy £, ³ („menej“, „väčšie“) nie sú pre komplexné čísla definované.

2 Goniometrický zápis .

Volá sa záznam z = a+bi algebraické forma komplexného čísla . Uvažujme rovinu s vybraným karteziánskym súradnicovým systémom. Budeme reprezentovať číslo z bod so súradnicami (a, b). Potom reálne čísla a=a+0i budú reprezentované osovými bodmi VÔL- to sa nazýva platné os. Os OY volal imaginárny os, jej body zodpovedajú číslam formulára bi ktoré sa niekedy nazývajú čisto imaginárne . Celé lietadlo sa nazýva komplexná rovina .Číslo sa volá modul čísla z: ,

Polárny uhol j volal argument čísla z: j=argz.

Argument je určený až do termínu 2 kp; hodnota, za ktorú - p< j £ p , volal hlavný význam argument. čísla r, j sú polárne súradnice bodu z. To je jasné a=r cosj, b=r sinj a dostaneme: z=a+b·i=r·(cosj+ja sinj). trigonometrická forma písanie komplexného čísla.

Konjugované čísla . Komplexné číslo sa nazýva konjugát číslaz = a + bi . To je jasné. Vlastnosti : .

Komentujte. Súčet a súčin konjugovaných čísel sú reálne čísla:

Pojem komplexného čísla je primárne spojený s rovnicou. Neexistujú žiadne reálne čísla, ktoré by vyhovovali tejto rovnici.

Komplexné čísla teda vznikli ako zovšeobecnenie (rozšírenie) poľa reálnych čísel pri pokusoch riešiť ľubovoľné kvadratické (a všeobecnejšie) rovnice pridávaním nových čísel k nemu tak, že rozšírená množina vytvorila číselné pole, v ktorom sa akcia extrahovania koreň by bol vždy realizovateľný.

Definícia.Číslo, ktorého druhá mocnina je - 1, zvyčajne sa označuje písmenomi a zavolajte pomyselná jednotka.

Definícia. Pole komplexných čísel C sa nazýva minimálne rozšírenie poľa reálnych čísel obsahujúcich koreň rovnice.

Definícia. Lúka S volal pole komplexných čísel, ak spĺňa tieto podmienky:

Veta. (O existencii a jedinečnosti poľa komplexných čísel). Je len jeden, až po označenie koreňa rovnice pole komplexných čísel S .

Každý prvok môže byť jedinečne reprezentovaný v nasledujúcej forme:

kde , je koreň rovnice i 2 +1=0.

Definícia. Akýkoľvek prvok volal komplexné číslo, sa volá reálne číslo x reálna časťčíslo z a označuje sa , volá sa reálne číslo y imaginárnu časťčíslo z a označuje sa .

Komplexné číslo je teda usporiadaná dvojica, komplex zložený z reálnych čísel X A r.

Ak X=0, potom číslo z= 0+iy=iy volal čisto imaginárne alebo imaginárny. Ak r=0, potom číslo z=x+ 0i=x je identifikovaný skutočným číslom X.

Dve komplexné čísla sa považujú za rovnaké, ak sú ich skutočné a imaginárne časti rovnaké:

Komplexné číslo sa rovná nule, keď sa jeho reálna a imaginárna časť rovnajú nule:

Definícia. Nazývajú sa dve komplexné čísla, ktoré majú rovnakú reálnu časť a ktorých imaginárne časti sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku komplexný konjugát alebo jednoducho konjugovaný.

Konjugované číslo z, označené ako . Teda ak , tak .

1.3. Modul a argument komplexného čísla.
Geometrické znázornenie komplexných čísel

Geometricky je komplexné číslo znázornené na rovine (obr. 1) ako bod M so súradnicami ( X, r).

Definícia. Rovina, na ktorej sú zobrazené komplexné čísla, sa nazýva komplexná rovina C, os Ox a Oy, na ktorých sa nachádzajú reálne čísla a čisto imaginárne čísla , sa volajú platné A imaginárny osí resp.

Poloha bodu možno určiť aj pomocou polárne súradnice r A φ , t.j. pomocou dĺžky vektora polomeru a uhla sklonu vektora polomeru bodu M(x, y) do kladnej reálnej poloosi Oh.

Definícia. modul komplexné číslo je dĺžka vektora reprezentujúceho komplexné číslo v súradnicovej (komplexnej) rovine.

Modul komplexného čísla sa označuje písmenom alebo písmenom r a rovná sa aritmetickej hodnote druhej odmocniny súčtu druhých mocnín jeho reálnej a imaginárnej časti.

Komplexné číslo z volal výraz kde A A V- reálne čísla, i– imaginárna jednotka alebo zvláštny znak.

V tomto prípade sú splnené tieto dohody:

1) s výrazom a+bi môžete vykonávať aritmetické operácie podľa pravidiel, ktoré sú akceptované pre doslovné výrazy v algebre;

5) rovnosť a+bi=c+di, kde a, b, c, d sú reálne čísla, nastane práve vtedy, ak a=c a b=d.

Volá sa číslo 0+bi=bi imaginárny alebo čisto imaginárne.

Akékoľvek reálne číslo a je špeciálny prípad komplexného čísla, pretože ho možno zapísať v tvare a=a+ 0i. Konkrétne 0=0+0i, ale ak a+bi=0, potom a+bi=0+0i, teda a=b=0.

Komplexné číslo a+bi=0 teda práve vtedy, ak a=0 a b=0.

Z dohôd vyplývajú zákony transformácie komplexných čísel:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Vidíme, že súčet, rozdiel, súčin a kvocient (kde deliteľ sa nerovná nule) komplexných čísel je zasa komplexné číslo.

číslo A volal reálna časť komplexného čísla z(označené ), V– imaginárna časť komplexného čísla z (označuje sa ).

Komplexné číslo z s nulovou reálnou časťou sa nazýva. čisto imaginárne, s nulovou imaginárnou – čisto skutočné.

Volajú sa dve komplexné čísla. rovný ak sa ich skutočná a imaginárna časť zhodujú.

Volajú sa dve komplexné čísla. konjugovaný, ak majú látky. časti sa zhodujú, ale imaginárne časti sa líšia v znakoch. , potom jeho konjugát.

Súčet konjugovaných čísel je počet látok a rozdiel je čisto imaginárne číslo. Operácie násobenia a sčítania čísel sú prirodzene definované na množine komplexných čísel. Totiž, ak a sú dve komplexné čísla, potom súčet je: ; práca: .

Teraz definujme operácie odčítania a delenia.

Všimnite si, že súčinom dvoch komplexných čísel je počet látok.

(keďže i=-1). Toto číslo sa volá. štvorcový modulčísla. Ak je teda číslo , potom jeho modul je reálne číslo.

Na rozdiel od reálnych čísel nie sú pre komplexné čísla zavedené pojmy „viac“ a „menej“.

Geometrické znázornenie komplexných čísel. Reálne čísla sú reprezentované bodmi na číselnej osi:

Tu je pointa A znamená číslo –3, bodka B– číslo 2 a O- nula. Naproti tomu komplexné čísla sú reprezentované bodmi na súradnicovej rovine. Na tento účel volíme pravouhlé (karteziánske) súradnice s rovnakými mierkami na oboch osiach. Potom komplexné číslo a+ bi bude reprezentovaný bodkou P s osou a a ordinátou b(ryža.). Tento súradnicový systém je tzv komplexná rovina.

modul komplexné číslo je dĺžka vektora OP, ktoré predstavuje komplexné číslo na súradnici ( obsiahly) lietadlo. Modul komplexného čísla a+ bi označené | a+ bi| alebo list r a rovná sa:

Konjugované komplexné čísla majú rovnaký modul. __

Argument komplexné číslo je uhol medzi osou VÔL a vektor OP, ktoré predstavuje toto komplexné číslo. Preto opálenie = b / a .

Trigonometrický tvar komplexného čísla. Spolu so zápisom komplexného čísla v algebraickom tvare sa používa aj iný tvar, tzv trigonometrické.

Nech komplexné číslo z=a+bi predstavuje vektor OA so súradnicami (a,b). Označme dĺžku vektora OA bukom r: r=|OA| a uhol, ktorý zviera s kladným smerom osi Ox, uhlom φ.

Pomocou definícií funkcií sinφ=b/r, cosφ=a/r možno komplexné číslo z=a+bi zapísať ako z=r(cosφ+i*sinφ), kde , a uhol φ je určený z podmienky

Trigonometrická forma komplexného čísla z je jeho reprezentácia v tvare z=r(cosφ+i*sinφ), kde r a φ sú reálne čísla a r≥0.

V skutočnosti sa volá číslo r modul komplexné číslo a označuje sa |z| a uhol φ je argumentom komplexného čísla z. Argument φ komplexného čísla z označujeme Arg z.

Operácie s komplexnými číslami reprezentovanými v trigonometrickom tvare:

Toto je famózne Moivreov vzorec.

8 .Vektorový priestor. Príklady a najjednoduchšie vlastnosti vektorových priestorov. Lineárna závislosť a nezávislosť sústavy vektorov. Základ a poradie výsledného systému vektorov

Vektorový priestor - matematický pojem, ktorý zovšeobecňuje pojem množiny všetkých (voľných) vektorov bežného trojrozmerného priestoru.

Pre vektory v trojrozmernom priestore sú uvedené pravidlá pre sčítanie vektorov a ich násobenie reálnymi číslami. Použiteľné na akékoľvek vektory x, y, z a akékoľvek čísla α, β tieto pravidlá spĺňajú nasledujúcich podmienok:

1) X+pri=pri+X(komutivita sčítania);

2)(X+pri)+z=X+(r+z) (asociatívnosť sčítania);

3) existuje nulový vektor 0 (alebo nulový vektor) spĺňajúci podmienku X+0 =X: pre akýkoľvek vektor X;

4) pre ľubovoľný vektor X existuje opačný vektor pri také že X+pri =0 ,

5) 1 x=X,kde 1 je poľná jednotka

6) α (βx)=(αβ )X(asociatívnosť násobenia), kde súčin αβ je súčinom skalárov

7) (α +β )X=αх+βх(distributívna vlastnosť vo vzťahu k číselnému faktoru);

8) α (X+pri)=αх+αу(distributívna vlastnosť vo vzťahu k vektorovému multiplikátoru).

Vektorový (alebo lineárny) priestor je množina R, pozostávajúce z prvkov ľubovoľnej povahy (nazývané vektory), v ktorých sú definované operácie sčítania prvkov a násobenia prvkov reálnymi číslami, ktoré spĺňajú podmienky 1-8.

Príkladmi takýchto priestorov sú množina reálnych čísel, množina vektorov v rovine a v priestore, matice atď.

Veta „Najjednoduchšie vlastnosti vektorových priestorov“

1. Vo vektorovom priestore je len jeden nulový vektor.

2. Vo vektorovom priestore má každý vektor svoj jedinečný opak.

4. .

Dokument

Nech 0 je nulový vektor vektorového priestoru V. Potom . Nech je ďalší nulový vektor. Potom . Zoberme si v prvom prípade , av druhom - . Potom a , odkiaľ vyplýva, že atď.

Najprv dokážeme, že súčin nulového skalára a ľubovoľného vektora sa rovná nulovému vektoru.

Nechaj . Potom použitím axiómov vektorového priestoru dostaneme:

Čo sa týka sčítania, vektorový priestor je abelovská grupa a zákon o zrušení platí v akejkoľvek skupine. Ak použijeme zákon redukcie, posledná rovnosť implikuje 0*x=0

Teraz dokážeme tvrdenie 4). Nech je ľubovoľný vektor. Potom

Z toho hneď vyplýva, že vektor (-1)x je opačný ako vektor x.

Teraz nech x=0. Potom použitím axiómov vektorového priestoru dostaneme:

Predpokladajme, že. Keďže , kde K je pole, potom . Vynásobme rovnosť vľavo :, čo znamená buď 1*x=0 alebo x=0

Lineárna závislosť a nezávislosť sústavy vektorov. Súbor vektorov sa nazýva vektorový systém.

Systém vektorov sa nazýva lineárne závislý, ak existujú čísla, ktoré nie sú všetky súčasne rovné nule, takže (1)

Systém k vektorov sa nazýva lineárne nezávislý, ak je rovnosť (1) možná len pre , t.j. keď je lineárna kombinácia na ľavej strane rovnosti (1) triviálna.

Poznámky:

1. Jeden vektor tiež tvorí systém: pri lineárne závislý a lineárne nezávislý pri.

2. Akákoľvek časť systému vektorov sa nazýva podsystém.

Vlastnosti lineárne závislých a lineárne nezávislých vektorov:

1. Ak systém vektorov obsahuje nulový vektor, potom je lineárne závislý.

2. Ak má systém vektorov dva rovnaké vektory, potom je lineárne závislý.

3. Ak má systém vektorov dva proporcionálne vektory, potom je lineárne závislý.

4. Systém k>1 vektorov je lineárne závislý práve vtedy, ak aspoň jeden z vektorov je lineárnou kombináciou ostatných.

5. Akékoľvek vektory zahrnuté v lineárne nezávislom systéme tvoria lineárne nezávislý subsystém.

6. Systém vektorov obsahujúci lineárne závislý podsystém je lineárne závislý.

7. Ak je sústava vektorov lineárne nezávislá a po pridaní vektora k nej sa ukáže, že je lineárne závislá, potom je možné vektor rozšíriť na vektory, a navyše jedinečným spôsobom, t.j. koeficienty expanzie možno nájsť jednoznačne.

Dokážme napríklad poslednú vlastnosť. Keďže systém vektorov je lineárne závislý, existujú čísla, ktoré nie sú všetky rovné 0, čo. V tejto rovnosti. V skutočnosti, ak , potom. To znamená, že netriviálna lineárna kombinácia vektorov sa rovná nulovému vektoru, čo je v rozpore s lineárnou nezávislosťou systému. Následne a potom, t.j. vektor je lineárna kombinácia vektorov. Zostáva ukázať jedinečnosť takejto reprezentácie. Predpokladajme opak. Nech existujú dve expanzie a , A nie všetky koeficienty expanzií sa navzájom rovnajú (napríklad ).

Potom z rovnosti dostaneme .

Preto sa lineárna kombinácia vektorov rovná nulovému vektoru. Keďže nie všetky jeho koeficienty sú rovné nule (aspoň), táto kombinácia je netriviálna, čo je v rozpore s podmienkou lineárnej nezávislosti vektorov. Výsledný rozpor potvrdzuje jedinečnosť rozšírenia.

Hodnosť a základ vektorového systému. Hodnosť systému vektorov je maximálny počet lineárne nezávislých vektorov systému.

Základ vektorového systému sa nazýva maximálny lineárne nezávislý podsystém daného systému vektorov.

Veta. Akýkoľvek systémový vektor môže byť reprezentovaný ako lineárna kombinácia systémových základných vektorov. (Akýkoľvek systémový vektor môže byť rozšírený na základné vektory.) Expanzné koeficienty sú určené jednoznačne pre daný vektor a danú bázu.

Dokument:

Nech má systém základ.

1 prípad. Vektor - od základu. Preto sa rovná jednému zo základných vektorov, povedzme . Potom = .

Prípad 2 Vektor nie je zo základu. Potom r>k.

Zoberme si systém vektorov. Tento systém je lineárne závislý, keďže ide o základ, t.j. maximálny lineárne nezávislý subsystém. V dôsledku toho existujú čísla s 1, s 2, ..., s k, s, nie všetky sa rovnajú nule, takže

Je zrejmé, že (ak c = 0, potom základ systému je lineárne závislý).

Dokážme, že expanzia vektora vzhľadom na bázu je jedinečná. Predpokladajme opak: existujú dve expanzie vektora vzhľadom na základ.

Odčítaním týchto rovnosti dostaneme

Ak vezmeme do úvahy lineárnu nezávislosť základných vektorov, získame

V dôsledku toho je rozšírenie vektora z hľadiska základu jedinečné.

Počet vektorov v ľubovoľnej báze systému je rovnaký a rovný hodnote systému vektorov.

Axiómy poľa. Pole komplexných čísel. Trigonometrický zápis komplexného čísla.

Komplexné číslo je číslo tvaru , kde a sú reálne čísla, tzv pomyselná jednotka. Číslo sa volá reálna časť ( ) komplexné číslo, číslo sa volá imaginárnu časť ( ) komplexné číslo.

Kopa alebo komplexné čísla zvyčajne označené „tučným“ alebo zhrubnutým písmenom

Komplexné čísla sú reprezentované komplexná rovina:

Komplexná rovina pozostáva z dvoch osí:
- skutočná os (x)
- pomyselná os (y)

Množina reálnych čísel je podmnožinou množiny komplexných čísel

Akcie s komplexnými číslami

Ak chcete sčítať dve komplexné čísla, musíte sčítať ich skutočnú a imaginárnu časť.

Odčítanie komplexných čísel

Akcia je podobná ako pri sčítaní, jedinou zvláštnosťou je, že podzátvorka musí byť vložená do zátvoriek a potom sa musia zátvorky otvoriť štandardným spôsobom a zmeniť znamienko

Násobenie komplexných čísel

otvorte zátvorky podľa pravidla pre násobenie polynómov

Delenie komplexných čísel

Rozdelenie čísel sa vykonáva vynásobením menovateľa a čitateľa konjugovaným vyjadrením menovateľa.

Komplexné čísla majú mnoho vlastností vlastných reálnych čísel, z ktorých si všimneme nasledovné, tzv Hlavná.

1) (a + b) + c = a + (b + c) (adičná asociativita);

2) a + b = b + a (komutatívnosť sčítania);

3) a + 0 = 0 + a = a (existencia neutrálneho prvku pridaním);

4) a + (−a) = (−a) + a = 0 (existencia opačného prvku);

5) a(b + c) = ab + ac ();

6) (a + b)c = ac + bc (distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie);

7) (ab)c = a(bc) (asociativita násobenia);

8) ab = ba (komutatívnosť násobenia);

9) a∙1 = 1∙a = a (existencia neutrálneho prvku pri násobení);

10) pre kohokoľvek a≠ 0 taká vec existuje b, Čo ab = ba = 1 (existencia inverzného prvku);

11) 0 ≠ 1 (bez mena).

Súbor objektov ľubovoľnej povahy, na ktorých sú definované operácie sčítania a násobenia, ktoré majú uvedených 11 vlastností (čo sú v tomto prípade axiómy), sa nazýva lúka.

Pole komplexných čísel možno chápať ako rozšírenie odboru reálnych čísel, v ktorom má polynóm koreň

Akékoľvek komplexné číslo (okrem nuly) je možné zapísať v trigonometrickom tvare:
, kde to je modul komplexného čísla, A - argument komplexného čísla.

Modul komplexného čísla je vzdialenosť od začiatku k príslušnému bodu v komplexnej rovine. Jednoducho povedané, modul je dĺžka vektor polomeru, ktorý je na výkrese vyznačený červenou farbou.

Modul komplexného čísla sa zvyčajne označuje: alebo

Pomocou Pytagorovej vety je ľahké odvodiť vzorec na nájdenie modulu komplexného čísla: . Tento vzorec je správny pre akékoľvek významy „a“ ​​a „byť“.

Argument komplexného čísla volal rohu medzi kladná poloos reálna os a vektor polomeru nakreslený z počiatku do zodpovedajúceho bodu. Argument nie je definovaný pre jednotné číslo: .

Argument komplexného čísla sa štandardne označuje: alebo

Nech φ = arg z. Potom podľa definície argumentu máme:

Krúžok matíc nad poľom reálnych čísel. Základné operácie s maticami. Vlastnosti operácií.

Matrix veľkosť m´n, kde m je počet riadkov, n je počet stĺpcov, sa nazýva tabuľka čísel usporiadaná v určitom poradí. Tieto čísla sa nazývajú maticové prvky. Umiestnenie každého prvku je jednoznačne určené číslom riadku a stĺpca, na ktorého priesečníku sa nachádza. Prvky matice sú označené a ij, kde i je číslo riadku a j je číslo stĺpca.

Definícia. Ak sa počet stĺpcov matice rovná počtu riadkov (m=n), potom sa zavolá matica námestie.

Definícia. Zobraziť maticu:

= E,

volal matica identity.

Definícia. Ak a mn = a nm, potom sa zavolá matica symetrické.

Príklad. - symetrická matica

Definícia. Štvorcová matica formulára volal uhlopriečka matice.

Násobenie matice číslom

Násobenie matice číslom(označenie: ) spočíva v zostrojení matice, ktorej prvky sa získajú vynásobením každého prvku matice týmto číslom, to znamená, že každý prvok matice sa rovná

Vlastnosti násobenia matíc číslom:

· jedenásť A = A;

· 2. (λβ)A = λ(βA)

· 3. (λ+β)A = λA + βA

· 4. λ(A+B) = λA + λB

Pridanie matice

Pridanie matice je operácia hľadania matice, ktorej všetky prvky sa rovnajú párovému súčtu všetkých zodpovedajúcich prvkov matíc, to znamená, že každý prvok matice je rovnaký

Vlastnosti pridania matrice:

· 1.komutivita: A+B = B+A;

· 2.asociativita: (A+B)+C =A+(B+C);

· 3.sčítanie s nulovou maticou: A + Θ = A;

· 4.existencia opačnej matice: A + (-A) = 0;

Všetky vlastnosti lineárnych operácií opakujú axiómy lineárneho priestoru, a preto platí veta:

Množina všetkých matíc rovnakej veľkosti m X n s prvkami z terénu P(pole všetkých reálnych alebo komplexných čísel) tvorí lineárny priestor nad poľom P (každá takáto matica je vektorom tohto priestoru). Predovšetkým však, aby sa predišlo terminologickému zmätku, matice v bežných kontextoch sa vyhýbajú bez potreby (ktorá sa v najbežnejších štandardných aplikáciách nevyskytuje) a jasného objasnenia použitia termínu nazývaného vektory.

Maticové násobenie

Maticové násobenie(zápis: , menej často so znamienkom násobenia) - je operácia výpočtu matice, ktorej každý prvok sa rovná súčtu súčinov prvkov v zodpovedajúcom riadku prvého faktora a stĺpci druhého.

Počet stĺpcov v matici sa musí zhodovať s počtom riadkov v matici, inými slovami, matica musí byť dohodnuté s matricou. Ak má matica rozmer ,- , potom rozmer ich produktu je .

Vlastnosti násobenia matíc:

· 1.asociatívnosť (AB)C = A(BC);

· 2. nekomutatívnosť (vo všeobecnom prípade): AB BA;

· 3. súčin je komutatívny v prípade násobenia s maticou identity: AI = IA;

· 4.rozdelenie: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC;

· 5.asociativita a komutivita vzhľadom na násobenie číslom: (λA)B = λ(AB) = A(λB);

Maticová transpozícia.

Nájdenie inverznej matice.

Štvorcová matica je invertibilná vtedy a len vtedy, ak nie je singulárna, to znamená, že jej determinant sa nerovná nule. Pre neštvorcové matice a singulárne matice neexistujú žiadne inverzné matice.

Veta o poradí matice

Hodnosť matice A je maximálny rád nenulovej minority

Minor, ktorý určuje hodnosť matice, sa nazýva základný minor. Riadky a stĺpce, ktoré tvoria BM, sa nazývajú základné riadky a stĺpce.

Označenia: r(A), R(A), Rang A.

Komentujte. Je zrejmé, že úroveň matice nemôže presiahnuť menší z jej rozmerov.

Pre každú maticu sú jej vedľajšie, riadkové a stĺpcové poradie rovnaké.

Dôkaz. Nech je vedľajšia hodnosť matice A rovná sa r . Ukážme, že poradie riadkov sa tiež rovná r . Aby sme to urobili, môžeme predpokladať, že invertible minor M objednať r je v prvom r riadkov matice A . Z toho vyplýva, že prvý r maticové riadky A lineárne nezávislé a množina vedľajších riadkov M lineárne nezávislé. Nechaj a -- dĺžka šnúrky r , zložený z prvkov i riadkov matice, ktoré sú umiestnené v rovnakých stĺpcoch ako vedľajší M . Keďže čiary sú menšie M tvorí základ v k r , To a -- lineárna kombinácia molových strún M . Odčítať od i -tý riadok A rovnaká lineárna kombinácia prvej r maticové riadky A . Ak skončíte s reťazcom obsahujúcim nenulový prvok v čísle stĺpca t , potom považovať za menšie M 1 objednať r+1 matice A pridaním tého riadku matice k riadkom vedľajšieho A a do stĺpcov vedľajšieho stĺpca matice A (hovoria, že je to menšie M 1 prijaté hraničiace s maloletým M používaním i -tý riadok a t stĺpec matice A ). Podľa našej voľby t , tento moll je invertibilný (stačí odpočítať od posledného riadku tohto molla lineárnu kombináciu prvých vybratých vyššie r riadkov a potom rozšírte jeho determinant pozdĺž posledného riadku, aby ste sa uistili, že tento determinant sa zhoduje s determinantom menšieho, až do nenulového skalárneho faktora M . A-priorstvo r takáto situácia je nemožná a teda po transformácii i -tý riadok A sa stane nulou. Inými slovami, originál i -tý riadok je lineárna kombinácia prvého r maticové riadky A . Ukázali sme, že prvý r riadky tvoria základ množiny riadkov matice A , teda hodnosť reťazcov A rovná sa r . Dokázať, že poradie stĺpca je r , stačí vo vyššie uvedenej úvahe prehodiť „riadky“ a „stĺpce“. Veta bola dokázaná.

Táto veta ukazuje, že nemá zmysel rozlišovať medzi tromi stupňami matice a v nasledujúcom texte pod poradím matice budeme chápať poradie riadkov, pričom si uvedomíme, že sa rovná stĺpcovým aj vedľajším radom (zápis r(A) -- maticová hodnosť A ). Všimnite si tiež, že z dôkazu vety o hodnosti vyplýva, že hodnosť matice sa zhoduje s rozmerom akéhokoľvek invertovateľného minoru matice tak, že všetky minority, ktoré s ním hraničia (ak vôbec existujú), sú degenerované.

Kronecker-Capelliho veta

Systém lineárnych algebraických rovníc je konzistentný vtedy a len vtedy, ak sa poradie jeho hlavnej matice rovná hodnote jeho rozšírenej matice a systém má jedinečné riešenie, ak sa poradie rovná počtu neznámych, a nekonečný počet riešení, ak je poradie menšie ako počet neznámych.

Nevyhnutnosť

Nech je systém kooperatívny. Potom sú čísla také, že . Preto je stĺpec lineárnou kombináciou stĺpcov matice. Zo skutočnosti, že poradie matice sa nezmení, ak sa riadok (stĺpec) vymaže alebo pridá zo systému jej riadkov (stĺpcov), čo je lineárna kombinácia iných riadkov (stĺpcov), vyplýva, že .

Primeranosť

Nechaj . Vezmime si v matici nejaké základné drobné. Keďže potom bude aj základom minor matice. Potom podľa vedľajšej bázovej vety bude posledný stĺpec matice lineárnou kombináciou základných stĺpcov, to znamená stĺpcov matice. Preto je stĺpec voľných členov sústavy lineárnou kombináciou stĺpcov matice.

Dôsledky

· Počet hlavných premenných systému sa rovná hodnosti systému.

· Konzistentný systém bude definovaný (jeho riešenie je jedinečné), ak sa hodnosť systému rovná počtu všetkých jeho premenných.

Veta o vedľajšom základe.

Veta. V ľubovoľnej matici A je každý stĺpec (riadok) lineárnou kombináciou stĺpcov (riadkov), v ktorých sa nachádza základná minorita.

Hodnosť ľubovoľnej matice A sa teda rovná maximálnemu počtu lineárne nezávislých riadkov (stĺpcov) v matici.

Ak A je štvorcová matica a detA = 0, potom aspoň jeden zo stĺpcov je lineárnou kombináciou zostávajúcich stĺpcov. To isté platí pre struny. Toto tvrdenie vyplýva z vlastnosti lineárnej závislosti, keď sa determinant rovná nule.

7. roztok SLU. Cramerova metóda, maticová metóda, Gaussova metóda.

Cramerova metóda.

Táto metóda je tiež použiteľná len v prípade sústav lineárnych rovníc, kde sa počet premenných zhoduje s počtom rovníc. Okrem toho je potrebné zaviesť obmedzenia na systémové koeficienty. Je potrebné, aby všetky rovnice boli lineárne nezávislé, t.j. žiadna rovnica by nebola lineárnou kombináciou ostatných.

Na to je potrebné, aby sa determinant matice systému nerovnal 0.

V skutočnosti, ak je niektorá rovnica systému lineárnou kombináciou ostatných, potom ak k prvkom jedného riadka pridáte prvky iného riadku, vynásobené nejakým číslom, pomocou lineárnych transformácií môžete získať nulový riadok. Determinant v tomto prípade bude rovný nule.

Veta. (Cramerovo pravidlo):

Veta. Sústava n rovníc s n neznámymi

ak sa determinant matice systému nerovná nule, má jedinečné riešenie a toto riešenie sa nájde podľa vzorcov:

x i = D i /D, kde

D = det A a D i je determinant matice získanej zo systémovej matice nahradením stĺpca i stĺpcom voľných členov b i.

D i =

Maticová metóda riešenia sústav lineárnych rovníc.

Maticová metóda je použiteľná na riešenie sústav rovníc, kde sa počet rovníc rovná počtu neznámych.

Metóda je vhodná na riešenie systémov nízkeho rádu.

Metóda je založená na aplikácii vlastností násobenia matíc.

Nech je daný systém rovníc:

Zostavme matice: A = ; B =; X = .

Sústavu rovníc možno zapísať: A×X = B.

Urobme nasledujúcu transformáciu: A -1 ×A×X = A -1 ×B, pretože A-1 ×A = E, potom E × X = A-1 ×B

X = A-1 x B

Pre aplikáciu tejto metódy je potrebné nájsť inverznú maticu, čo môže byť spojené s výpočtovými ťažkosťami pri riešení systémov vysokého rádu.

Definícia. Systém m rovníc s n neznámymi vo všeobecnom tvare je napísaný takto:

, (1)

kde a ij sú koeficienty a b i sú konštanty. Riešením systému je n čísel, ktoré po dosadení do systému premenia každú z jeho rovníc na identitu.

Definícia. Ak má systém aspoň jedno riešenie, potom sa volá kĺb. Ak systém nemá jediné riešenie, potom sa volá nekĺbový.

Definícia. Systém je tzv istý, ak má len jedno riešenie a neistý, ak je viac ako jeden.

Definícia. Pre sústavu lineárnych rovníc tvaru (1) je matica

A = sa nazýva matica systému a matica

A * =
nazývaná rozšírená matica systému

Definícia. Ak b 1, b 2, …,b m = 0, potom sa volá systém homogénne. homogénny systém je vždy konzistentný.

Elementárne transformácie systémov.

Medzi elementárne transformácie patria:

1) Pridanie zodpovedajúcich častí druhej rovnice na obe strany jednej rovnice vynásobené rovnakým číslom, ktoré sa nerovná nule.

2) Preusporiadanie rovníc.

3) Odstránenie rovníc zo systému, ktoré sú identitami pre všetky x.

Gaussova metóda je klasická metóda na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc (SLAE). Ide o metódu sekvenčnej eliminácie premenných, kedy sa pomocou elementárnych transformácií redukuje systém rovníc na ekvivalentný trojuholníkový systém, z ktorého sa postupne zisťujú všetky ostatné premenné, počnúc poslednými (podľa počtu) premenných.

Nech pôvodný systém vyzerá takto

Matica sa nazýva hlavná matica systému - stĺpec voľných výrazov.

Potom, podľa vlastnosti elementárnych transformácií nad riadkami, môže byť hlavná matica tohto systému zredukovaná na echelonový tvar (rovnaké transformácie musia byť aplikované na stĺpec voľných výrazov):

Potom sa volajú premenné hlavné premenné. Všetci ostatní sú tzv zadarmo.

Ak je aspoň jedno číslo , kde , potom je uvažovaný systém nekonzistentný, t.j. nemá jediné riešenie.

Nech je to pre kohokoľvek.

Presuňme voľné premenné za znamienka rovnosti a vydeľme každú zo systémových rovníc jej koeficientom úplne vľavo ( , kde je číslo riadku):

Ak dáme všetky možné hodnoty voľným premenným systému (2) a vyriešime nový systém s ohľadom na hlavné neznáme zdola nahor (teda od spodnej rovnice po hornú), potom dostaneme všetky riešenia tohto SLAE. Keďže tento systém bol získaný elementárnymi transformáciami nad pôvodným systémom (1), potom podľa vety o ekvivalencii pri elementárnych transformáciách sú systémy (1) a (2) ekvivalentné, to znamená, že ich množiny riešení sa zhodujú.

Dôsledky:
1: Ak sú v spoločnom systéme všetky premenné hlavné, potom je takýto systém určitý.

2: Ak počet premenných v systéme prevyšuje počet rovníc, potom je takýto systém buď neistý alebo nekonzistentný.

Algoritmus

Algoritmus riešenia SLAE pomocou Gaussovej metódy je rozdelený do dvoch etáp.

V prvej fáze sa vykonáva takzvaný priamy ťah, keď sa elementárnymi transformáciami nad radmi systém dostane do stupňovitého alebo trojuholníkového tvaru, alebo sa zistí, že systém je nekompatibilný. Totiž, spomedzi prvkov prvého stĺpca matice vyberte nenulový jeden, presuňte ho na najvyššiu pozíciu preusporiadaním riadkov a po preusporiadaní odčítajte výsledný prvý riadok od zostávajúcich riadkov a vynásobte ho hodnotou. rovná pomeru prvého prvku každého z týchto riadkov k prvému prvku prvého riadku, čím sa vynuluje stĺpec pod ním. Po dokončení týchto transformácií sa prvý riadok a prvý stĺpec v duchu prečiarknu a pokračuje sa, kým nezostane matica nulovej veľkosti. Ak v ktorejkoľvek iterácii nie je medzi prvkami prvého stĺpca žiadny nenulový prvok, prejdite na ďalší stĺpec a vykonajte podobnú operáciu.

V druhej fáze sa vykonáva takzvaný spätný ťah, ktorého podstatou je vyjadrenie všetkých výsledných základných premenných v pojmoch nebázických a vybudovanie fundamentálneho systému riešení, alebo ak sú všetky premenné základné , potom vyjadrite číselne jediné riešenie sústavy lineárnych rovníc. Tento postup začína poslednou rovnicou, z ktorej je vyjadrená zodpovedajúca základná premenná (a je len jedna) a dosadená do predchádzajúcich rovníc atď. Každý riadok zodpovedá presne jednej základnej premennej, takže v každom kroku okrem posledného (najvrchnejšieho) sa situácia presne opakuje ako prípad posledného riadku.

vektory. Základné pojmy. Bodový produkt, jeho vlastnosti.

Vektor nazývaný riadený segment (usporiadaná dvojica bodov). Vektory tiež zahŕňajú nulový vektor, ktorého začiatok a koniec sa zhodujú.

Dĺžka (modul) vektor je vzdialenosť medzi začiatkom a koncom vektora.

Vektory sú tzv kolineárne, ak sú umiestnené na rovnakých alebo rovnobežných líniách. Nulový vektor je kolineárny s ľubovoľným vektorom.

Vektory sú tzv koplanárny, ak existuje rovina, s ktorou sú rovnobežné.

Kolineárne vektory sú vždy koplanárne, ale nie všetky koplanárne vektory sú kolineárne.

Vektory sú tzv rovný, ak sú kolineárne, rovnako smerované a majú rovnaké moduly.

Všetky vektory môžu byť privedené do spoločného pôvodu, t.j. konštruovať vektory, ktoré sa zodpovedajú údajom a majú spoločný pôvod. Z definície rovnosti vektorov vyplýva, že každý vektor má nekonečne veľa rovnakých vektorov.

Lineárne operácie nad vektormi sa nazýva sčítanie a násobenie číslom.

Súčet vektorov je vektor -

Práca - a je kolineárny.

Vektor je kosmerný s vektorom ( ), ak a > 0.

Vektor je orientovaný opačne ako vektor ( ¯ ), ak a< 0.

Vlastnosti vektorov.

1) + = + - komutivita.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – asociativita

6) (a+b) = a + b - distributivita

7) a( + ) = a + a

1) Základ v priestore sa nazývajú ľubovoľné 3 nekoplanárne vektory zachytené v určitom poradí.

2) Základ v rovine sa nazývajú 2 nekolineárne vektory zachytené v určitom poradí.

3)Základ Volá sa ľubovoľný nenulový vektor na priamke.

Ak je základ v priestore a , potom sa volajú čísla a, b a g komponenty alebo súradnice vektorov na tomto základe.

V tejto súvislosti môžeme napísať nasledovné vlastnosti:

rovnaké vektory majú rovnaké súradnice,

keď sa vektor vynásobí číslom, vynásobia sa týmto číslom aj jeho zložky,

Pri pridávaní vektorov sa pridávajú ich zodpovedajúce zložky.

;
;

Lineárna závislosť vektorov.

Definícia. vektory sa volajú lineárne závislé, ak takáto lineárna kombinácia existuje, pričom a i sa zároveň nerovná nule, t.j. .

Ak je splnené iba a i = 0, potom sa vektory nazývajú lineárne nezávislé.

Nehnuteľnosť 1. Ak je medzi vektormi nulový vektor, potom sú tieto vektory lineárne závislé.

Nehnuteľnosť 2. Ak sa k systému lineárne závislých vektorov pridá jeden alebo viac vektorov, potom bude aj výsledný systém lineárne závislý.

Nehnuteľnosť 3. Systém vektorov je lineárne závislý práve vtedy, ak je jeden z vektorov rozložený na lineárnu kombináciu zostávajúcich vektorov.

Nehnuteľnosť 4. Akékoľvek 2 kolineárne vektory sú lineárne závislé a naopak, akékoľvek 2 lineárne závislé vektory sú kolineárne.

Nehnuteľnosť 5. Akékoľvek 3 koplanárne vektory sú lineárne závislé a naopak, akékoľvek 3 lineárne závislé vektory sú koplanárne.

Nehnuteľnosť 6. Akékoľvek 4 vektory sú lineárne závislé.

Dĺžka vektora v súradniciach je definovaná ako vzdialenosť medzi počiatočným a koncovým bodom vektora. Ak sú v priestore A(x 1, y 1, z 1), B(x 2, y 2, z 2) dané dva body, tak.

Ak bod M(x, y, z) delí segment AB v pomere l/m, potom súradnice tohto bodu sú určené ako:

V špeciálnom prípade súradnice stred segmentu sa nachádzajú ako:

x = (x1 + x 2)/2; y = (yi + y2)/2; z = (zi + z2)/2.

Lineárne operácie s vektormi v súradniciach.

Rotujúce súradnicové osi

Pod sústruženie Súradnicové osi znamenajú transformáciu súradníc, pri ktorej sú obe osi otočené o rovnaký uhol, ale pôvod a mierka zostávajú nezmenené.

Nech novú sústavu O 1 x 1 y 1 získame otočením sústavy Oxy o uhol α.

Nech M je ľubovoľný bod v rovine, (x;y) jeho súradnice v starom systéme a (x";y") - v novom systéme.

Predstavme si dva polárne súradnicové systémy so spoločným pólom O a polárnymi osami Ox a Οx 1 (mierka je rovnaká). Polárny polomer r je rovnaký v oboch systémoch a polárne uhly sú v tomto poradí rovné α + j a φ, kde φ je polárny uhol v novom polárnom systéme.

Podľa vzorcov na prechod z polárnych na pravouhlé súradnice máme

Ale rcosj = x" a rsinφ = y". Preto

Výsledné vzorce sú tzv vzorce rotácie osí . Umožňujú určiť staré súradnice (x; y) ľubovoľného bodu M prostredníctvom nových súradníc (x"; y") toho istého bodu M a naopak.

Ak sa zo starého Oxy získa nový súradnicový systém O 1 x 1 y 1 paralelným prenosom súradnicových osí a následným natočením osí o uhol α (pozri obr. 30), tak zavedením pomocného systému je ľahké získať vzorce

vyjadrenie starých súradníc x a y ľubovoľného bodu pomocou jeho nových súradníc x" a y".

Elipsa

Elipsa je množina bodov v rovine, súčet vzdialeností od každého z nich

ktorý je konštantný až do dvoch daných bodov. Tieto body sa nazývajú ohniská a

sú určené F1 A F2, vzdialenosť medzi nimi 2 s, a súčet vzdialeností od každého bodu k

zameriava sa - 2a(podľa stavu 2a>2c). Zostavme karteziánsky súradnicový systém tak, že F1 A F2 boli na osi x a počiatok sa zhodoval so stredom segmentu F1F2. Odvoďme rovnicu elipsy. Ak to chcete urobiť, zvážte svojvoľný bod M(x, y) elipsa. A-priorita: | F1M |+| F2M |=2a. F1M =(x+c; y);F2M = (x-c; y).

|F1M|=(X+ c)2 + r 2 ; |F2M| = (X- c)2 + r 2

(X+ c)2 + r 2 + (X- c)2 + r 2 = 2a(5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a(X- c)2 + r 2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a(X- c)2 + r 2

a2-cx=a(X- c)2 + r 2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

pretože 2a>2c(súčet dvoch strán trojuholníka je väčší ako tretia strana), teda a2-c2>0.

Nechaj a2-c2=b2

Body so súradnicami (a, 0), (−a, 0), (b, 0) a (−b, 0) sa nazývajú vrcholy elipsy, hodnota a je hlavná poloos elipsy a hodnota b je jeho vedľajšia os. Body F1(c, 0) a F2(−c, 0) sa nazývajú ohniská

elipsa a ohnisko F1 sa nazýva doprava a ohnisko F2 sa nazýva ľavé. Ak bod M patrí elipse, potom vzdialenosti |F1M| a |F2M| sa nazývajú ohniskové polomery a označujú sa r1 a r2. Veličina e =c/a sa nazýva excentricita elipsy. Čiary s rovnicami x =a/e

a x = −a/e sa nazývajú smerové čiary elipsy (pre e = 0 neexistujú žiadne smerové čiary elipsy).

Všeobecná rovinná rovnica

Uvažujme všeobecnú rovnicu prvého stupňa s tromi premennými x, y a z:

Za predpokladu, že aspoň jeden z koeficientov A, B alebo C sa nerovná nule, napríklad rovnicu (12.4) prepíšeme do tvaru