Ako vyriešiť celú racionálnu rovnicu. Riešenie racionálnych rovníc

Riešenie zlomkových racionálnych rovníc

Referenčná príručka

Racionálne rovnice sú rovnice, v ktorých ľavá aj pravá strana sú racionálnymi výrazmi.

(Pamätajte, že racionálne výrazy sú celočíselné a zlomkové výrazy bez radikálov, vrátane operácií sčítania, odčítania, násobenia alebo delenia – napríklad: 6x; (m – n)2; x/3y atď.)

Zlomkové racionálne rovnice sa zvyčajne redukujú do tvaru:

Kde P(X) A Q(X) sú polynómy.

Na vyriešenie takýchto rovníc vynásobte obe strany rovnice Q(x), čo môže viesť k objaveniu sa cudzích koreňov. Preto pri riešení zlomkových racionálnych rovníc je potrebné skontrolovať nájdené korene.

Racionálna rovnica sa nazýva celá alebo algebraická, ak sa nedelí výrazom obsahujúcim premennú.

Príklady celej racionálnej rovnice:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x - 10
4

Ak v racionálnej rovnici existuje delenie výrazom obsahujúcim premennú (x), potom sa rovnica nazýva zlomková racionálna.

Príklad zlomkovej racionálnej rovnice:

15
x + - = 5x – 17
X

Zlomkové racionálne rovnice sa zvyčajne riešia takto:

1) nájdite spoločného menovateľa zlomkov a vynásobte ním obe strany rovnice;

2) vyriešiť výslednú celú rovnicu;

3) vylúčiť z koreňov tie, ktoré redukujú spoločného menovateľa zlomkov na nulu.

Príklady riešenia celočíselných a zlomkových racionálnych rovníc.

Príklad 1. Vyriešme celú rovnicu

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Riešenie:

Hľadanie najmenšieho spoločného menovateľa. To je 6. Vydeľte 6 menovateľom a výsledný výsledok vynásobte čitateľom každého zlomku. Získame rovnicu ekvivalentnú tejto:

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Keďže ľavá a pravá strana majú rovnakého menovateľa, možno ho vynechať. Potom dostaneme jednoduchšiu rovnicu:

3(x – 1) + 4x = 5x.

Riešime to otvorením zátvoriek a spojením podobných výrazov:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x – 5x = 3

Príklad je vyriešený.

Príklad 2. Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)

Hľadanie spoločného menovateľa. Toto je x(x – 5). Takže:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Teraz sa opäť zbavíme menovateľa, keďže je rovnaký pre všetky výrazy. Zredukujeme podobné členy, prirovnáme rovnicu k nule a získame kvadratickú rovnicu:

x 2 – 3 x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3 x – 10 = 0.

Po vyriešení kvadratickej rovnice nájdeme jej korene: –2 a 5.

Pozrime sa, či tieto čísla sú koreňmi pôvodnej rovnice.

Pri x = –2 spoločný menovateľ x(x – 5) nezmizne. To znamená, že –2 je koreň pôvodnej rovnice.

Pri x = 5 sa spoločný menovateľ dostane na nulu a dva z troch výrazov strácajú zmysel. To znamená, že číslo 5 nie je koreňom pôvodnej rovnice.

Odpoveď: x = –2

Viac príkladov

Príklad 1

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Odpoveď: -2,2;6.

Príklad 2

Riešenie zlomkových racionálnych rovníc

Ak ste žiakom ôsmeho ročníka a zrazu sa vám stalo, že ste vynechali hodinu alebo ignorovali to, o čom učiteľ hovoril, tento článok je pre vás!

Po prvé, poďme zistiť, čo to je - zlomkové racionálne rovnice? Každá učebnica má nasledujúcu definíciu: Zlomkovo-racionálna rovnica je rovnica tvaru\(fxg(x)=0\) .

A samozrejme, táto definícia vám nič nehovorí. Potom uvediem príklady a vy sa pokúsite identifikovať vzor, ​​nájsť niečo spoločné.

\(((-2x-4)\over (x^2-4))=((x+5)\over (x-2))\)\(((3x^2-6)\viac ako 2(x+1)) =x-1\)\((x\viac ako x-2 ) + (8\over(4-x^2)) - (1\viac ako x+2)=0\)

A tieto rovnice nie sú zlomkové racionálne:

\(3x^2+x-25=0 \) \(((2-x)\viac ako (2))+((3x\viac ako 5))=4\)\(((2x-1)\viac ako 2)+(5x\viac ako6)-(1-x\viac ako 3)=3x-2\)

Posledné dve rovnice rozhodne nie sú zlomkové racionálne, napriek tomu, že pozostávajú zo zlomkov. Najdôležitejšie však je, že v menovateli nie je žiadna premenná (písmeno). Ale v zlomkovej racionálnej rovnici je vždy premenná v menovateli.

Takže, keď správne určíte, ktorá rovnica je pred vami, začnime ju riešiť. Prvá vec, ktorú treba urobiť, je označená tromi veľkými písmenami,O.D.Z.Čo znamenajú tieto písmená?O oblasť D vynechané Zúspechy. Nebudem teraz vysvetľovať, čo to znamená vo vede matematiky, naším cieľom je naučiť sa riešiť rovnice a nie opakovať tému „Algebraické zlomky“. Ale pre náš účel to znamená toto: vezmeme menovateľa alebo menovateľov našich zlomkov, napíšeme ich oddelene a všimneme si, že sa nerovnajú nule.

Ak použijeme naše rovnice ako príklad\(((-2x-4)\viac ako x^2-4)=(x+5\viac ako x-2)\), to urobiť:

ODZ: \(x^2-4≠0\)

\(x-2≠0\)

\((3x^2-6\viac ako 2(x+1)) =x-1 \)

ODZ: \(x+1≠0\)

Prečo neurčili násobiteľ 2? Je tak jasné, že 2≠0

\((x\viac ako x-2)+(8\viac ako 4-x^2)-(1\viac ako x+2)=0\)

ODZ: \(x-2≠0\)

\(4-x^2≠0\)

\(x+2≠0\)

Všetko sa zatiaľ zdá jednoduché. Čo bude ďalej? Ďalší krok bude závisieť od toho, ako pokročilý si v matematike. Ak môžete, vyriešte tieto podpísané rovnicea ak nemôžete, nechajte to zatiaľ tak. A ideme ďalej.

Ďalej musia byť všetky zlomky zahrnuté v rovniciach reprezentované ako jeden zlomok. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť spoločného menovateľa zlomku. A na konci zapíšte, čo sa stalo v čitateli, a prirovnajte tento výraz k nule. A potom vyriešte rovnicu.

Vráťme sa k našim príkladom:\((-2x-4\viac ako x^2-4)=(x+5 \viac ako x-2)\) ODZ: \(x^2-4≠0\)

\((-2x-4\viac ako x^2-4)-(x+5 \viac ako x-2)=0 \)\(x-2≠0\)

Zlomok sme posunuli doľava a zároveň zmenili znamienko. Všimneme si, že menovateľ\(x^2-4\) možno faktorizovať pomocou skráteného vzorca násobenia\(x^2-4=(x-2)(x+2)\) a v čitateli môžete zo zátvoriek vyňať spoločný činiteľ „-2“.

\((-2(x+2)\viac ako (x+2)(x-2)) -(x+5\viac ako x-2)=0\)

Pozrime sa ešte raz na ODZ, máme to? Jedzte! Potom môžete znížiť prvý zlomok o x+2 . Ak nie je ODZ, nemôžete ho znížiť! Dostaneme:

\((-2\viac ako x-2)-(x+5 \viac ako x-2)=0\)

Zlomky majú spoločného menovateľa, čo znamená, že sa dajú odčítať:

\((-2-x-5\viac ako x-2)=0\)

Upozorňujeme, že keďže odčítavame zlomky, zmeníme znamienko „+“ v druhom zlomku na mínus! Podobné výrazy uvádzame v čitateli:

\((-x-7 \over x-2)=0\)

Pripomeňme, že zlomok sa rovná nule, keď sa čitateľ rovná nule a menovateľ sa nerovná nule. V ODZ sme naznačili, že menovateľ nie je nula. Je čas uviesť, že čitateľ je nula:

\(-x-7=0\)

Toto je lineárna rovnica, posuňte „-7“ doprava, zmeňte znamienko:

\(-x=7\)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

Pripomeňme si ODZ:\(x^2-4≠0\) \(x-2≠0\). Ak ste to dokázali vyriešiť, vyriešili ste to takto:\(x^2≠4\) \(x≠2\)

\(x_1≠2\) \(x_2≠-2\)

A ak sme to nedokázali vyriešiť, nahradíme v ODZ namiesto „x“ to, čo sme dostali. Máme\(x=-7\)

Potom: \((-7)^2-4≠0\) ? Vykonané? Vykonané!

Takže odpoveď na našu rovnicu je:\(x=-7\)

Zvážte nasledujúcu rovnicu: \((3x^2-6\viac ako 2(x+1))=(x-1)\)

Riešime to rovnakým spôsobom. Najprv uvedieme ODZ:\(x+1≠0\)

Potom sa posunieme x-1 doľava, tomuto výrazu hneď priradíme menovateľa 1, dá sa to urobiť, keďže menovateľ 1 nič neovplyvňuje.

Dostaneme: \((3x^2-6\viac ako 2(x+1)) -(x-1\over1)=0\)

Hľadáme spoločného menovateľa, toto\(2(x+1)\) . Týmto výrazom vynásobíme druhý zlomok.

Mám: \((3x^2-6\over2(x+1)) -((x-1)⋅2(x+1)\over2(x+1)) =0\)

\(( 3x^2-6-2x^2+2\over2(x+1)) =0 \)

Ak je to ťažké, dovoľte mi vysvetliť:\(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \) A keďže pred druhým zlomkom je znamienko „-“, pri spájaní týchto zlomkov do jedného zmeníme znamienka na opačné.

Všimli sme si, že \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) a prepíšte to takto:\(((x-2)(x+2)\over2(x+1)) =0\)

Ďalej použijeme definíciu zlomku rovného nule. Zlomok sa rovná nule, keď je čitateľ nula a menovateľ nie je nula. V ODZ sme uviedli, že menovateľ sa nerovná nule, uvedieme, že čitateľ sa rovná nule.\((x-2)(x+2)=0\) . A poďme vyriešiť túto rovnicu. Pozostáva z dvoch faktorov x-2 a x+2 . Pamätajte, že súčin dvoch faktorov sa rovná nule, keď sa jeden z faktorov rovná nule.

Takže: x+2 = 0 alebo x-2 = 0

Z prvej rovnice dostaneme x=-2, od druhého x=2 . Prenesieme číslo a zmeníme znamienko.

V poslednej fáze skontrolujeme ODZ: x+1≠0

Namiesto x dosaďte čísla 2 a -2.

Dostávame 2+1≠0 . Vykonané? Áno! Takže x=2 je náš koreň. Skontrolujeme nasledovné:-2+1≠0 . Vykonané. Áno. To znamená, že x=-2 je tiež náš koreň. Takže odpoveď je: 2 a -2.

Vyriešme poslednú rovnicu bez vysvetlenia. Algoritmus je rovnaký:

Pokračujme v rozprávaní riešenie rovníc. V tomto článku sa budeme podrobne zaoberať racionálne rovnice a princípy riešenia racionálnych rovníc s jednou premennou. Po prvé, poďme zistiť, aké typy rovníc sa nazývajú racionálne, uveďte definíciu celých racionálnych a zlomkových racionálnych rovníc a uveďte príklady. Ďalej získame algoritmy na riešenie racionálnych rovníc a, samozrejme, zvážime riešenia typických príkladov so všetkými potrebnými vysvetleniami.

Navigácia na stránke.

Na základe uvedených definícií uvádzame niekoľko príkladov racionálnych rovníc. Napríklad x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , sú všetky racionálne rovnice.

Z uvedených príkladov je zrejmé, že racionálne rovnice, ale aj rovnice iných typov môžu byť s jednou premennou, alebo s dvomi, tromi atď. premenných. V nasledujúcich odsekoch si povieme o riešení racionálnych rovníc s jednou premennou. Riešenie rovníc v dvoch premenných a ich veľký počet si zaslúži osobitnú pozornosť.

Okrem delenia racionálnych rovníc počtom neznámych premenných sa delia aj na celočíselné a zlomkové. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Racionálna rovnica sa nazýva celý, ak jeho ľavá aj pravá strana sú celočíselné racionálne výrazy.

Definícia.

Ak je aspoň jedna z častí racionálnej rovnice zlomkovým výrazom, potom sa takáto rovnica nazýva čiastočne racionálne(alebo zlomkové racionálne).

Je jasné, že celé rovnice neobsahujú delenie premennou, naopak zlomkové racionálne rovnice nevyhnutne obsahujú delenie premennou (alebo premennou v menovateli). Takže 3 x + 2 = 0 a (x+y)·(3·x2-1)+x=-y+0,5– to sú celé racionálne rovnice, obe ich časti sú celé výrazy. A a x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sú príklady zlomkových racionálnych rovníc.

Na záver tohto bodu venujme pozornosť skutočnosti, že lineárne rovnice a kvadratické rovnice známe do tohto bodu sú celé racionálne rovnice.

Riešenie celých rovníc

Jedným z hlavných prístupov k riešeniu celých rovníc je ich redukcia na ekvivalentné algebraické rovnice. To sa dá vždy urobiť vykonaním nasledujúcich ekvivalentných transformácií rovnice:

• najprv sa výraz z pravej strany pôvodnej celočíselnej rovnice prenesie na ľavú stranu s opačným znamienkom, aby sa na pravej strane získala nula;
• potom na ľavej strane rovnice výsledný štandardný tvar.

Výsledkom je algebraická rovnica, ktorá je ekvivalentná pôvodnej celočíselnej rovnici. V najjednoduchších prípadoch sa teda riešenie celých rovníc redukuje na riešenie lineárnych alebo kvadratických rovníc a vo všeobecnom prípade na riešenie algebraickej rovnice stupňa n. Pre názornosť sa pozrime na riešenie príkladu.

Príklad.

Nájdite korene celej rovnice 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Riešenie.

Zredukujme riešenie celej tejto rovnice na riešenie ekvivalentnej algebraickej rovnice. Aby sme to dosiahli, najprv prenesieme výraz z pravej strany na ľavú, čím sa dostaneme k rovnici 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. A po druhé, transformujeme výraz vytvorený na ľavej strane do štandardného polynómu vyplnením potrebného: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Riešenie pôvodnej celočíselnej rovnice sa teda redukuje na riešenie kvadratickej rovnice x 2 −5·x−6=0.

Vypočítame jeho diskriminant D=(-5)2-4.1.(-6)=25+24=49, je kladná, čo znamená, že rovnica má dva reálne korene, ktoré nájdeme pomocou vzorca pre korene kvadratickej rovnice:

Aby sme si boli úplne istí, poďme na to kontrola nájdených koreňov rovnice. Najprv skontrolujeme koreň 6, dosadíme ho namiesto premennej x v pôvodnej celočíselnej rovnici: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, čo je rovnaké, 63=63. Toto je platná numerická rovnica, preto x=6 je skutočne koreňom rovnice. Teraz skontrolujeme koreň −1, máme 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, odkiaľ, 0=0 . Keď x=−1, pôvodná rovnica sa tiež zmení na správnu číselnú rovnosť, preto je x=−1 tiež koreňom rovnice.

odpoveď:

6 , −1 .

Tu je tiež potrebné poznamenať, že pojem „stupeň celej rovnice“ je spojený so zobrazením celej rovnice vo forme algebraickej rovnice. Uveďme zodpovedajúcu definíciu:

Definícia.

Sila celej rovnice sa nazýva stupeň ekvivalentnej algebraickej rovnice.

Podľa tejto definície má celá rovnica z predchádzajúceho príkladu druhý stupeň.

Toto by mohol byť koniec riešenia celých racionálnych rovníc, ak nie jednej veci... Ako je známe, riešenie algebraických rovníc stupňa nad druhým je spojené so značnými ťažkosťami a pre rovnice stupňa vyššieho štvrtého neexistujú vôbec žiadne všeobecné koreňové vzorce. Preto na riešenie celých rovníc tretieho, štvrtého a vyššieho stupňa je často potrebné uchýliť sa k iným metódam riešenia.

V takýchto prípadoch je prístup k riešeniu celých racionálnych rovníc založený na faktorizačná metóda. V tomto prípade sa dodržiava nasledujúci algoritmus:

• najprv zabezpečia, aby na pravej strane rovnice bola nula; na tento účel prenesú výraz z pravej strany celej rovnice na ľavú;
• potom je výsledný výraz na ľavej strane prezentovaný ako súčin viacerých faktorov, čo nám umožňuje prejsť na súbor niekoľkých jednoduchších rovníc.

Daný algoritmus na riešenie celej rovnice pomocou faktorizácie si vyžaduje podrobné vysvetlenie na príklade.

Príklad.

Vyriešte celú rovnicu (x 2 −1) · (x 2 −10 · x + 13) = 2 x (x 2 -10 x + 13) .

Riešenie.

Najprv, ako obvykle, prenesieme výraz z pravej strany na ľavú stranu rovnice, pričom nezabudneme zmeniť znamienko, dostaneme (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 -10 x + 13) = 0 . Tu je celkom zrejmé, že nie je vhodné transformovať ľavú stranu výslednej rovnice na polynóm štandardného tvaru, pretože tak vznikne algebraická rovnica štvrtého stupňa tvaru. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, ktorého riešenie je náročné.

Na druhej strane je zrejmé, že na ľavej strane výslednej rovnice môžeme x 2 −10 x+13 , čím ju prezentovať ako súčin. Máme (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1) = 0. Výsledná rovnica je ekvivalentná pôvodnej celej rovnici a môže byť nahradená sústavou dvoch kvadratických rovníc x 2 −10·x+13=0 a x 2 −2·x−1=0. Nájsť ich korene pomocou známych koreňových vzorcov cez diskriminant nie je ťažké, korene sú rovnaké. Sú to požadované korene pôvodnej rovnice.

odpoveď:

Tiež užitočné pri riešení celých racionálnych rovníc metóda na zavedenie novej premennej. V niektorých prípadoch umožňuje prejsť na rovnice, ktorých stupeň je nižší ako stupeň pôvodnej celej rovnice.

Príklad.

Nájdite skutočné korene racionálnej rovnice (x 2 +3 x+1) 2 +10=-2 (x 2 +3 x-4).

Riešenie.

Redukovať celú túto racionálnu rovnicu na algebraickú rovnicu nie je, mierne povedané, veľmi dobrý nápad, keďže v tomto prípade prídeme k potrebe vyriešiť rovnicu štvrtého stupňa, ktorá nemá racionálne korene. Preto budete musieť hľadať iné riešenie.

Tu je ľahké vidieť, že môžete zaviesť novú premennú y a nahradiť ňou výraz x 2 +3·x. Toto nahradenie nás vedie k celej rovnici (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , ktorá po premiestnení výrazu −2·(y−4) na ľavú stranu a následnej transformácii výrazu tam vytvorený, sa redukuje na kvadratickú rovnicu y 2 +4·y+3=0. Korene tejto rovnice y=−1 a y=−3 sa dajú ľahko nájsť, napríklad ich možno vybrať na základe inverznej vety k Vietovej vete.

Teraz prejdeme k druhej časti metódy zavedenia novej premennej, teda k vykonaniu spätnej náhrady. Po vykonaní obrátenej substitúcie dostaneme dve rovnice x 2 +3 x=−1 a x 2 +3 x=−3, ktoré možno prepísať ako x 2 +3 x+1=0 a x 2 +3 x+3 =0. Pomocou vzorca pre korene kvadratickej rovnice nájdeme korene prvej rovnice. A druhá kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene, pretože jej diskriminant je záporný (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

odpoveď:

Vo všeobecnosti, keď sa zaoberáme celými rovnicami vysokých stupňov, musíme byť vždy pripravení hľadať neštandardnú metódu alebo umelú techniku ​​na ich riešenie.

Riešenie zlomkových racionálnych rovníc

Po prvé, bude užitočné pochopiť, ako riešiť zlomkové racionálne rovnice tvaru , kde p(x) a q(x) sú celočíselné racionálne výrazy. A potom si ukážeme, ako zredukovať riešenie iných zlomkovo racionálnych rovníc na riešenie rovníc uvedeného typu.

Jeden prístup k riešeniu rovnice je založený na nasledujúcom tvrdení: číselný zlomok u/v, kde v je nenulové číslo (inak sa stretneme s , ktoré je nedefinované), sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak je jeho čitateľ rovná nule, potom je vtedy a len vtedy, ak u=0 . Na základe tohto tvrdenia sa riešenie rovnice redukuje na splnenie dvoch podmienok p(x)=0 a q(x)≠0.

Tento záver zodpovedá nasledujúcemu algoritmus na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice. Ak chcete vyriešiť zlomkovú racionálnu rovnicu tvaru , potrebujete

• vyriešiť celú racionálnu rovnicu p(x)=0 ;
• a skontrolujte, či je splnená podmienka q(x)≠0 pre každý nájdený koreň
• ak je pravda, potom tento koreň je koreňom pôvodnej rovnice;
• ak nie je splnená, potom je tento koreň cudzí, to znamená, že nie je koreňom pôvodnej rovnice.

Pozrime sa na príklad použitia ohláseného algoritmu pri riešení zlomkovej racionálnej rovnice.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

Riešenie.

Toto je zlomková racionálna rovnica a má tvar , kde p(x)=3·x−2, q(x)=5·x2 −2=0.

Podľa algoritmu na riešenie zlomkových racionálnych rovníc tohto typu musíme najskôr vyriešiť rovnicu 3 x−2=0. Toto je lineárna rovnica, ktorej koreň je x=2/3.

Zostáva skontrolovať tento koreň, teda skontrolovať, či spĺňa podmienku 5 x 2 −2≠0. Do výrazu 5 x 2 −2 namiesto x dosadíme číslo 2/3 a dostaneme . Podmienka je splnená, takže x=2/3 je koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď:

2/3 .

K riešeniu zlomkovej racionálnej rovnice môžete pristupovať z trochu inej pozície. Táto rovnica je ekvivalentná celočíselnej rovnici p(x)=0 na premennej x pôvodnej rovnice. To znamená, že sa toho môžete držať algoritmus na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice :

• vyriešiť rovnicu p(x)=0 ;
• nájsť ODZ premennej x;
• zakoreniť patriace do oblasti prijateľných hodnôt - sú to požadované korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

Napríklad pomocou tohto algoritmu vyriešme zlomkovú racionálnu rovnicu.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Najprv vyriešime kvadratickú rovnicu x 2 −2·x−11=0. Jeho korene možno vypočítať pomocou koreňového vzorca pre párny druhý koeficient, ktorý máme D1 = (-1)2-1·(-11)=12, A .

Po druhé, nájdeme ODZ premennej x pre pôvodnú rovnicu. Pozostáva zo všetkých čísel, pre ktoré je x 2 +3·x≠0, čo je rovnaké ako x·(x+3)≠0, odkiaľ x≠0, x≠−3.

Zostáva skontrolovať, či korene nájdené v prvom kroku sú zahrnuté v ODZ. Očividne áno. Preto má pôvodná zlomková racionálna rovnica dva korene.

odpoveď:

Všimnite si, že tento prístup je výnosnejší ako prvý, ak sa ODZ dá ľahko nájsť, a je obzvlášť výhodný, ak sú korene rovnice p(x) = 0 iracionálne, napríklad, alebo racionálne, ale s dosť veľkým čitateľom a /alebo menovateľ, napríklad 127/1101 a −31/59. Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch bude kontrola podmienky q(x)≠0 vyžadovať značné výpočtové úsilie a je jednoduchšie vylúčiť cudzie korene pomocou ODZ.

V iných prípadoch, pri riešení rovnice, najmä ak sú korene rovnice p(x) = 0 celé čísla, je výhodnejšie použiť prvý z uvedených algoritmov. To znamená, že je vhodné okamžite nájsť korene celej rovnice p(x)=0 a potom skontrolovať, či je pre nich splnená podmienka q(x)≠0, než nájsť ODZ a potom rovnicu riešiť p(x)=0 na tomto ODZ . Je to spôsobené tým, že v takýchto prípadoch je zvyčajne jednoduchšie skontrolovať, ako nájsť DZ.

Uvažujme o riešení dvoch príkladov na ilustráciu špecifikovaných nuancií.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

Riešenie.

Najprv nájdime korene celej rovnice (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, zložený pomocou čitateľa zlomku. Ľavá strana tejto rovnice je súčin a pravá strana je nula, preto podľa spôsobu riešenia rovníc rozkladom na rozklad je táto rovnica ekvivalentná množine štyroch rovníc 2 x−1=0 , x−6= 0, x 2 -5 x+ 14=0, x+1=0. Tri z týchto rovníc sú lineárne a jedna kvadratická; môžeme ich vyriešiť. Z prvej rovnice nájdeme x=1/2, z druhej - x=6, z tretej - x=7, x=−2, zo štvrtej - x=−1.

S nájdenými koreňmi je celkom ľahké skontrolovať, či menovateľ zlomku na ľavej strane pôvodnej rovnice zmizne, ale určenie ODZ naopak nie je také jednoduché, pretože na to budete musieť vyriešiť algebraická rovnica piateho stupňa. Preto upustíme od zisťovania ODZ v prospech kontroly koreňov. Aby sme to dosiahli, dosadíme ich jeden po druhom namiesto premennej x vo výraze x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x + 112, získané po substitúcii a porovnajte ich s nulou: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(-1)+112=0.

Teda 1/2, 6 a -2 sú požadované korene pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice a 7 a -1 sú cudzie korene.

odpoveď:

1/2 , 6 , −2 .

Príklad.

Nájdite korene zlomkovej racionálnej rovnice.

Riešenie.

Najprv nájdime korene rovnice (5 x 2 −7 x −1) (x−2) = 0. Táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc: štvorcová 5 x 2 −7 x−1=0 a lineárna x−2=0. Pomocou vzorca pre korene kvadratickej rovnice nájdeme dva korene a z druhej rovnice máme x=2.

Kontrola, či menovateľ ide na nulu pri zistených hodnotách x, je dosť nepríjemná. A určenie rozsahu prípustných hodnôt premennej x v pôvodnej rovnici je pomerne jednoduché. Preto budeme konať cez ODZ.

V našom prípade ODZ premennej x pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice pozostáva zo všetkých čísel okrem tých, pre ktoré je splnená podmienka x 2 +5·x−14=0. Korene tejto kvadratickej rovnice sú x=−7 a x=2, z ktorých vyvodíme záver o ODZ: pozostáva zo všetkých x takých, že .

Zostáva skontrolovať, či nájdené korene a x=2 patria do rozsahu prijateľných hodnôt. Korene patria, teda sú koreňmi pôvodnej rovnice, a x=2 nepatrí, teda je to cudzí koreň.

odpoveď:

Bude tiež užitočné samostatne sa zaoberať prípadmi, keď v zlomkovej racionálnej rovnici tvaru existuje číslo v čitateli, to znamená, keď je p (x) reprezentované nejakým číslom. V čom

• ak je toto číslo nenulové, potom rovnica nemá korene, pretože zlomok sa rovná nule práve vtedy, ak sa jej čitateľ rovná nule;
• ak je toto číslo nula, potom koreňom rovnice je ľubovoľné číslo z ODZ.

Príklad.

Riešenie.

Keďže čitateľ zlomku na ľavej strane rovnice obsahuje nenulové číslo, potom pre žiadne x nemôže byť hodnota tohto zlomku rovná nule. Preto táto rovnica nemá korene.

odpoveď:

žiadne korene.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Čitateľ zlomku na ľavej strane tejto zlomkovej racionálnej rovnice obsahuje nulu, takže hodnota tohto zlomku je nula pre ľubovoľné x, pre ktoré to dáva zmysel. Inými slovami, riešením tejto rovnice je ľubovoľná hodnota x z ODZ tejto premennej.

Zostáva určiť tento rozsah prijateľných hodnôt. Zahŕňa všetky hodnoty x, pre ktoré x 4 +5 x 3 ≠0. Riešenia rovnice x 4 + 5 x 3 = 0 sú 0 a -5, pretože táto rovnica je ekvivalentná rovnici x 3 (x + 5) = 0 a je zase ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc x 3 = 0 a x + 5 = 0, odkiaľ sú tieto korene viditeľné. Preto je požadovaný rozsah prijateľných hodnôt ľubovoľné x okrem x=0 a x=-5.

Zlomková racionálna rovnica má teda nekonečne veľa riešení, ktorými sú ľubovoľné čísla okrem nuly a mínus päť.

odpoveď:

Nakoniec je čas hovoriť o riešení zlomkových racionálnych rovníc ľubovoľného tvaru. Možno ich zapísať ako r(x)=s(x), kde r(x) a s(x) sú racionálne výrazy a aspoň jeden z nich je zlomkový. Pri pohľade do budúcnosti povedzme, že ich riešenie spočíva v riešení rovníc v nám už známej forme.

Je známe, že prevod člena z jednej časti rovnice do druhej s opačným znamienkom vedie k ekvivalentnej rovnici, preto rovnica r(x)=s(x) je ekvivalentná rovnici r(x)−s(x )=0.

Vieme tiež, že je možný akýkoľvek výraz identicky rovný tomuto výrazu. Racionálny výraz na ľavej strane rovnice r(x)−s(x)=0 teda môžeme vždy transformovať na identicky rovnaký racionálny zlomok tvaru .

Prejdeme teda od pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x) k rovnici a jej riešenie, ako sme zistili vyššie, sa zredukuje na vyriešenie rovnice p(x)=0.

Tu je však potrebné vziať do úvahy skutočnosť, že pri nahradení r(x)−s(x)=0 za a potom za p(x)=0 sa rozsah prípustných hodnôt premennej x môže rozšíriť. .

V dôsledku toho sa pôvodná rovnica r(x)=s(x) a rovnica p(x)=0, ku ktorej sme dospeli, môžu ukázať ako nerovnaké a vyriešením rovnice p(x)=0 môžeme získať korene to budú cudzie korene pôvodnej rovnice r(x)=s(x) . Môžete identifikovať a nezahrnúť cudzie korene do odpovede buď vykonaním kontroly, alebo kontrolou, že patria do ODZ pôvodnej rovnice.

Zhrňme si tieto informácie algoritmus na riešenie zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x). Na vyriešenie zlomkovej racionálnej rovnice r(x)=s(x) potrebujete

• Získajte nulu vpravo posunutím výrazu z pravej strany s opačným znamienkom.
• Vykonajte operácie so zlomkami a polynómami na ľavej strane rovnice, čím ju prevediete na racionálny zlomok tvaru.
• Riešte rovnicu p(x)=0.
• Identifikujte a odstráňte cudzie korene, čo sa robí ich dosadením do pôvodnej rovnice alebo kontrolou ich príslušnosti k ODZ pôvodnej rovnice.

Pre väčšiu prehľadnosť ukážeme celý reťazec riešenia zlomkových racionálnych rovníc:
.

Pozrime sa na riešenia niekoľkých príkladov s podrobným vysvetlením postupu riešenia, aby sme daný blok informácií objasnili.

Príklad.

Vyriešte zlomkovú racionálnu rovnicu.

Riešenie.

Budeme konať v súlade s práve získaným algoritmom riešenia. A najprv presunieme pojmy z pravej strany rovnice doľava, výsledkom čoho je prechod na rovnicu.

V druhom kroku musíme zlomkový racionálny výraz na ľavej strane výslednej rovnice previesť do tvaru zlomku. Aby sme to dosiahli, racionálne zlomky zredukujeme na spoločného menovateľa a výsledný výraz zjednodušíme: . Takže sa dostávame k rovnici.

V ďalšom kroku musíme vyriešiť rovnicu −2·x−1=0. Nájdeme x=−1/2.

Zostáva skontrolovať, či nájdené číslo −1/2 nie je cudzí koreň pôvodnej rovnice. Ak to chcete urobiť, môžete skontrolovať alebo nájsť VA premennej x pôvodnej rovnice. Ukážme si oba prístupy.

Začnime s kontrolou. Do pôvodnej rovnice namiesto premennej x dosadíme číslo −1/2 a dostaneme to isté, −1=−1. Substitúcia dáva správnu číselnú rovnosť, takže x=−1/2 je koreň pôvodnej rovnice.

Teraz si ukážeme, ako sa cez ODZ vykonáva posledný bod algoritmu. Rozsah prípustných hodnôt pôvodnej rovnice je množina všetkých čísel okrem −1 a 0 (pri x=−1 a x=0 menovatele zlomkov miznú). Koreň x=−1/2 nájdený v predchádzajúcom kroku patrí do ODZ, preto x=−1/2 je koreň pôvodnej rovnice.

odpoveď:

−1/2 .

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad.

Nájdite korene rovnice.

Riešenie.

Potrebujeme vyriešiť zlomkovú racionálnu rovnicu, prejdeme si všetky kroky algoritmu.

Najprv presunieme výraz z pravej strany na ľavú, dostaneme .

Po druhé, transformujeme výraz vytvorený na ľavej strane: . Výsledkom je, že sa dostaneme k rovnici x=0.

Jeho koreň je zrejmý – je nulový.

V štvrtom kroku zostáva zistiť, či nájdený koreň je cudzí pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnici. Keď sa dosadí do pôvodnej rovnice, získa sa výraz. Je zrejmé, že to nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Z toho sme dospeli k záveru, že 0 je cudzí koreň. Preto pôvodná rovnica nemá korene.

7, čo vedie k rov. Z toho môžeme usúdiť, že výraz v menovateli ľavej strany sa musí rovnať výrazu pravej strany, teda . Teraz odpočítame od oboch strán trojky: . Analogicky, odkiaľ a ďalej.

Kontrola ukazuje, že obidva nájdené korene sú koreňmi pôvodnej zlomkovej racionálnej rovnice.

odpoveď:

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. Za 2 hod.. Časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Už sme sa naučili riešiť kvadratické rovnice. Teraz rozšírme študované metódy na racionálne rovnice.

Čo je to racionálne vyjadrenie? S týmto konceptom sme sa už stretli. Racionálne výrazy sú výrazy zložené z čísel, premenných, ich mocničiek a symbolov matematických operácií.

Podľa toho sú racionálne rovnice rovnicami tvaru: , kde - racionálne prejavy.

Predtým sme zvažovali iba tie racionálne rovnice, ktoré možno redukovať na lineárne. Teraz sa pozrime na tie racionálne rovnice, ktoré možno zredukovať na kvadratické rovnice.

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie:

Zlomok sa rovná 0 práve vtedy, ak sa jeho čitateľ rovná 0 a menovateľ sa nerovná 0.

Získame nasledujúci systém:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica. Pred jeho riešením vydeľme všetky jeho koeficienty 3. Dostaneme:

Získame dva korene: ; .

Keďže 2 sa nikdy nerovná 0, musia byť splnené dve podmienky: . Pretože žiadny z koreňov rovnice získanej vyššie sa nezhoduje s neplatnými hodnotami premennej, ktoré boli získané pri riešení druhej nerovnosti, sú obe riešeniami tejto rovnice.

odpoveď:.

Poďme teda sformulovať algoritmus na riešenie racionálnych rovníc:

1. Presuňte všetky výrazy na ľavú stranu tak, aby pravá strana skončila s 0.

2. Transformujte a zjednodušte ľavú stranu, priveďte všetky zlomky k spoločnému menovateľovi.

3. Výsledný zlomok prirovnajte k 0 pomocou nasledujúceho algoritmu: .

4. Napíšte tie korene, ktoré boli získané v prvej rovnici a vyhovie druhej nerovnici v odpovedi.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: .

Riešenie

Hneď na začiatku presunieme všetky členy doľava tak, aby napravo zostala 0. Dostaneme:

Teraz prinesme ľavú stranu rovnice k spoločnému menovateľovi:

Táto rovnica je ekvivalentná systému:

Prvá rovnica systému je kvadratická rovnica.

Koeficienty tejto rovnice: . Vypočítame diskriminant:

Získame dva korene: ; .

Teraz vyriešme druhú nerovnosť: súčin faktorov sa nerovná 0 práve vtedy, ak žiadny z faktorov nie je rovný 0.

Musia byť splnené dve podmienky: . Zistili sme, že z dvoch koreňov prvej rovnice je vhodný iba jeden - 3.

odpoveď:.

V tejto lekcii sme si pripomenuli, čo je racionálny výraz, a tiež sme sa naučili riešiť racionálne rovnice, ktoré sa redukujú na kvadratické rovnice.

V ďalšej lekcii sa pozrieme na racionálne rovnice ako na modely reálnych situácií a tiež sa pozrieme na pohybové problémy.

Bibliografia

1. Bašmakov M.I. Algebra, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a iné Algebra, 8. 5. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra, 8. ročník. Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie. - M.: Vzdelávanie, 2006.

1. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Domáca úloha

„Racionálne rovnice s polynómami“ sú jednou z najbežnejších tém testových úloh jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Z tohto dôvodu by sa ich opakovaniu mala venovať osobitná pozornosť. Mnohí študenti sa stretávajú s problémom nájsť diskriminant, preniesť ukazovatele z pravej strany na ľavú a priviesť rovnicu k spoločnému menovateľovi, a preto splnenie takýchto úloh spôsobuje ťažkosti. Riešenie racionálnych rovníc pri príprave na Jednotnú štátnu skúšku na našej webovej stránke vám pomôže rýchlo zvládnuť problémy akejkoľvek zložitosti a úspešne prejsť testom.

Vyberte si vzdelávací portál Shkolkovo a úspešne sa pripravte na Jednotnú skúšku z matematiky!

Ak chcete poznať pravidlá výpočtu neznámych a ľahko získať správne výsledky, použite našu online službu. Portál Shkolkovo je jedinečná platforma, kde sa zhromažďujú materiály potrebné na prípravu na jednotnú štátnu skúšku. Naši učitelia systematizovali a zrozumiteľnou formou prezentovali všetky matematické pravidlá. Okrem toho pozývame školákov, aby si vyskúšali riešenie štandardných racionálnych rovníc, ktorých základ sa neustále aktualizuje a rozširuje.

Pre efektívnejšiu prípravu na testovanie odporúčame postupovať podľa našej špeciálnej metódy a začať s opakovaním pravidiel a riešením jednoduchých problémov, postupne prejsť k zložitejším. Absolvent tak bude vedieť identifikovať pre seba najťažšie témy a sústrediť sa na ich štúdium.

Začnite sa pripravovať na záverečný test so Shkolkovo už dnes a výsledky na seba nenechajú dlho čakať! Vyberte najjednoduchší príklad z uvedených. Ak si rýchlo osvojíte výraz, prejdite na ťažšiu úlohu. Takto si môžete zdokonaliť svoje znalosti až po riešenie USE úloh z matematiky na špecializovanej úrovni.

Školenie je dostupné nielen pre absolventov z Moskvy, ale aj pre školákov z iných miest. Strávte pár hodín denne napríklad štúdiom na našom portáli a už čoskoro si budete vedieť poradiť s rovnicami akejkoľvek zložitosti!