छड़ का अनुदैर्ध्य कंपन। एक सजातीय छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन

रॉड से हमारा तात्पर्य सिलेंडर П=0х[О, /] से है, जब मैं"हीराD. यहाँ डी- निर्देशांक तल Ox 2 x 3 पर क्षेत्र (चित्र 62)। छड़ की सामग्री सजातीय और आइसोट्रोपिक है, और ऑक्स अक्ष अनुभाग के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से होकर गुजरती है डी।बाह्य द्रव्यमान बलों का क्षेत्र f(r, मैं)=/(X|, /)e, जहां e ऑक्स अक्ष का इकाई वेक्टर है। मान लीजिए कि सिलेंडर की पार्श्व सतह पर बाहरी सतह बल शून्य के बराबर है, अर्थात। आरए= 0 पर डीडीएक्स

फिर (4.8) से यह अनुसरण करता है 1=0 समानता

स्वयं के रूप एक्स के(जे) उस स्थान /^() के मानदंड का उपयोग करके सामान्यीकरण करना सुविधाजनक है जिससे फ़ंक्शन संबंधित है वी(एस, आई),चूँकि समय के प्रत्येक क्षण में गतिज ऊर्जा क्रियाशील होती है और सीमित होती है

कहाँ एस- क्षेत्र का क्षेत्रफल डी।हमारे पास है

एक्स*(एस) = जेजे-वेग स्थान में पाप^-एल I 0 = ji)(s, /): वी(एस,टी)ई

परिणामस्वरूप, हमें एक लम्बवत् आधार प्राप्त होता है |l r *(^)| ,

कहाँ बी से „- क्रोनकर प्रतीक: कार्य एक्स के *(एस), के= 1,2 प्राकृतिक कंपन के सामान्य तरीके हैं, और ω*, क= 1, 2, ..., - स्वतंत्रता की अनंत डिग्री वाली प्रणाली के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ।

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि फ़ंक्शन u(s, /) सिस्टम H, = के कॉन्फ़िगरेशन स्थान से संबंधित है (v(s, t): v(s, t) ई ई ^(), यू(0, 1) = ओ(1, /) = 0), जहां U^"OO, / ]) अंतराल पर पहले डेरिवेटिव के वर्गों के साथ योग योग्य कार्यों का सोबोलेव स्थान है। स्थान I संभावित ऊर्जा के कार्यात्मक की परिभाषा का क्षेत्र है लोचदार विकृतियों का

और विचाराधीन समस्या के सामान्यीकृत समाधान शामिल हैं।

ISSN: 2310-7081 (ऑनलाइन), 1991-8615 (प्रिंट) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

एक इलास्टिकली फिक्स्ड लोडेड रॉड के अनुदैर्ध्य कंपन पर समस्या

ए. बी. बेइलिन

समारा राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय, रूस, 443100, समारा, सेंट। मोलोडोग्वर्डेय्स्काया, 244।

टिप्पणी

संकेंद्रित द्रव्यमान और स्प्रिंग्स का उपयोग करके सिरों पर तय की गई एक मोटी छोटी छड़ के एक-आयामी अनुदैर्ध्य कंपन पर विचार किया जाता है। चौथे क्रम के हाइपरबोलिक समीकरण के लिए गतिशील सीमा स्थितियों के साथ प्रारंभिक सीमा मूल्य समस्या का उपयोग गणितीय मॉडल के रूप में किया जाता है। इस विशेष मॉडल का चुनाव अनुप्रस्थ दिशा में छड़ के विरूपण के प्रभावों को ध्यान में रखने की आवश्यकता के कारण होता है, जिसकी उपेक्षा, जैसा कि रेले द्वारा दिखाया गया है, एक त्रुटि की ओर ले जाती है, जिसकी पुष्टि आधुनिक गैर-स्थानीय अवधारणा से होती है। ठोस पिंडों के कंपन का अध्ययन। अध्ययन के तहत समस्या के eigenfunctions की एक प्रणाली का अस्तित्व, लोड के लिए ऑर्थोगोनल साबित होता है और उनका प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है। आइजनफ़ंक्शन के स्थापित गुणों ने चर को अलग करने की विधि को लागू करना और उत्पन्न समस्या के अद्वितीय समाधान के अस्तित्व को साबित करना संभव बना दिया।

मुख्य शब्द: गतिशील सीमा स्थितियाँ, अनुदैर्ध्य कंपन, भार के साथ रूढ़िवादिता, रेले मॉडल।

परिचय। किसी भी कार्यशील यांत्रिक प्रणाली में दोलनात्मक प्रक्रियाएँ होती रहती हैं, जो विभिन्न कारणों से उत्पन्न हो सकती हैं। ऑसिलेटरी प्रक्रियाएं सिस्टम की डिज़ाइन सुविधाओं या सामान्य रूप से संचालित संरचना के विभिन्न तत्वों के बीच भार के पुनर्वितरण का परिणाम हो सकती हैं।

तंत्र में दोलन प्रक्रियाओं के स्रोतों की उपस्थिति से इसकी स्थिति का निदान करना मुश्किल हो सकता है और यहां तक ​​कि इसके संचालन मोड में व्यवधान और कुछ मामलों में विनाश भी हो सकता है। उनके कुछ तत्वों के कंपन के परिणामस्वरूप यांत्रिक प्रणालियों की सटीकता और प्रदर्शन में व्यवधान से जुड़ी विभिन्न समस्याओं को अक्सर व्यवहार में प्रयोगात्मक रूप से हल किया जाता है।

साथ ही, दोलन प्रक्रियाएं बहुत उपयोगी हो सकती हैं, उदाहरण के लिए, सामग्री के प्रसंस्करण, जोड़ों को जोड़ने और अलग करने के लिए। अल्ट्रासोनिक कंपन न केवल उच्च कठोरता (टंगस्टन युक्त स्टील्स, टाइटेनियम कार्बाइड स्टील्स, आदि) के साथ सामग्री की काटने की प्रक्रिया (ड्रिलिंग, मिलिंग, पीसने आदि) को तेज करना संभव बनाता है।

© 2016 समारा राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय। उद्धरण टेम्पलेट

बेइलिन ए.बी. एक लोचदार रूप से स्थिर लोडेड रॉड के अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या // वेस्टन। खुद। राज्य तकनीक. अन-टा. सेर. भौतिक-गणित. विज्ञान, 2016. टी. 20, संख्या 2. पी. 249258. डीओआई: 10.14498/वीएसजीटीयू1474। लेखक के बारे में

अलेक्जेंडर बोरिसोविच बेइलिन (पीएचडी, एसोसिएट प्रोफेसर; [ईमेल सुरक्षित]), एसोसिएट प्रोफेसर, विभाग। स्वचालित मशीन और उपकरण प्रणाली।

लेकिन कुछ मामलों में यह भंगुर सामग्री (जर्मेनियम, सिलिकॉन, कांच, आदि) के प्रसंस्करण के लिए एकमात्र संभावित तरीका बन सकता है। उपकरण तत्व (वेवगाइड) जो स्रोत (वाइब्रेटर) से अल्ट्रासोनिक कंपन को उपकरण तक पहुंचाता है, उसे सांद्रक कहा जाता है और इसके विभिन्न आकार हो सकते हैं: बेलनाकार, शंक्वाकार, चरणबद्ध, घातीय, आदि। इसका उद्देश्य आवश्यक आयाम के कंपन को उपकरण तक पहुंचाना है।

इस प्रकार, दोलन प्रक्रियाओं की घटना के परिणाम अलग-अलग हो सकते हैं, साथ ही उनके कारण भी भिन्न हो सकते हैं, इसलिए दोलन प्रक्रियाओं के सैद्धांतिक अध्ययन की आवश्यकता स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है। अपेक्षाकृत लंबी और पतली ठोस छड़ों में तरंग प्रसार का गणितीय मॉडल, जो दूसरे क्रम के तरंग समीकरण पर आधारित है, का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है और यह लंबे समय से एक क्लासिक बन गया है। हालाँकि, जैसा कि रेले द्वारा दिखाया गया है, यह मॉडल पूरी तरह से एक मोटी, छोटी छड़ के कंपन के अध्ययन से मेल नहीं खाता है, जबकि वास्तविक तंत्र के कई विवरणों को छोटी और मोटी छड़ के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। इस मामले में, अनुप्रस्थ दिशा में छड़ के विरूपण को भी ध्यान में रखा जाना चाहिए। एक मोटी छोटी छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन का गणितीय मॉडल, जो छड़ की अनुप्रस्थ गति के प्रभावों को ध्यान में रखता है, रेले रॉड कहलाता है और यह चौथे क्रम के हाइपरबोलिक समीकरण पर आधारित है

^ ^- IX (a(x) e)- dx (b(x))=; (एक्सएल(1)

जिनके गुणांकों का भौतिक अर्थ है:

d(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p (x),

जहां A(x) क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है, p(x) रॉड का द्रव्यमान घनत्व है, E(x) यंग का मापांक है, V(x) पॉइसन का अनुपात है, IP(x) जड़ता का ध्रुवीय क्षण है , यू(एक्स,बी) - अनुदैर्ध्य विस्थापन निर्धारित किया जाना है।

रेले के विचारों को दोलन प्रक्रियाओं के साथ-साथ प्लास्टिसिटी के सिद्धांत पर समर्पित आधुनिक कार्यों में उनकी पुष्टि और विकास मिला है। समीक्षा लेख लोड के तहत ठोस निकायों की स्थिति और व्यवहार का वर्णन करने वाले शास्त्रीय मॉडल की कमियों की पुष्टि करता है, जिसमें प्राथमिकता से शरीर को एक आदर्श सातत्य माना जाता है। प्राकृतिक विज्ञान के विकास के वर्तमान स्तर के लिए नए मॉडलों के निर्माण की आवश्यकता है जो अध्ययन के तहत प्रक्रियाओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करते हैं, और पिछले कुछ दशकों में विकसित गणितीय तरीके यह अवसर प्रदान करते हैं। इस पथ पर, पिछली शताब्दी की अंतिम तिमाही में, ऊपर उल्लिखित सहित कई भौतिक प्रक्रियाओं के अध्ययन के लिए एक नया दृष्टिकोण प्रस्तावित किया गया था, जो गैर-स्थानीयता की अवधारणा पर आधारित था (लेख और उसमें संदर्भों की सूची देखें) . लेखकों द्वारा पहचाने गए गैर-स्थानीय मॉडलों के वर्गों में से एक को "कमजोर गैर-स्थानीय" कहा जाता है। इस वर्ग से संबंधित गणितीय मॉडल को एक निश्चित प्रक्रिया का वर्णन करने वाले समीकरण में उच्च-क्रम डेरिवेटिव पेश करके लागू किया जा सकता है, जो कुछ अनुमान के अनुसार, अध्ययन की वस्तु के आंतरिक तत्वों की बातचीत को ध्यान में रखना संभव बनाता है। इस प्रकार, रेले का मॉडल आज भी प्रासंगिक है।

1. समस्या का विवरण. मान लीजिए कि छड़ के सिरे x = 0, x = I को संकेंद्रित द्रव्यमान L\, M2 और स्प्रिंग्स की सहायता से एक निश्चित आधार से जोड़ा जाता है, जिनकी कठोरता K\ और K2 है। हम मान लेंगे कि छड़ 0x अक्ष के चारों ओर घूमने वाला एक पिंड है और समय के प्रारंभिक क्षण में संतुलन की स्थिति में है। फिर हम निम्नलिखित प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्या पर आते हैं।

काम। क्षेत्र में खोजें Qt = ((0,1) x (0, T) : 1,T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) और सीमा शर्तें

a(0)ikh(0, r) + b(0)il(0, r) - k^(0, r) - M1ui(0, r) = 0, a(1)ih(1, r) + b(1)uxy(1, r) + K2u(1, r) + M2uy(1, r) = 0. ()

लेख समस्या के कुछ विशेष मामलों की जांच करता है (1)-(2) और उदाहरण देता है जिसमें समीकरण के गुणांक का एक स्पष्ट रूप होता है और एम\ = एम2 = 0। लेख में प्रस्तुत समस्या की अद्वितीय कमजोर समाधान क्षमता साबित होती है सामान्य मामला.

स्थितियाँ (2) रॉड को सुरक्षित करने की विधि द्वारा निर्धारित की जाती हैं: इसके सिरे क्रमशः द्रव्यमान M\, M2 और कठोरता K1, K2 वाले स्प्रिंग वाले कुछ उपकरणों का उपयोग करके निश्चित आधारों से जुड़े होते हैं। द्रव्यमान की उपस्थिति और अनुप्रस्थ विस्थापन को ध्यान में रखने से फॉर्म (2) की स्थिति उत्पन्न होती है, जिसमें समय के संबंध में व्युत्पन्न होते हैं। सीमा स्थितियाँ जिनमें समय व्युत्पन्न शामिल होते हैं, गतिशील कहलाती हैं। वे विभिन्न स्थितियों में उत्पन्न हो सकते हैं, जिनमें से सबसे सरल का वर्णन पाठ्यपुस्तक में किया गया है, और बहुत अधिक जटिल का मोनोग्राफ में वर्णन किया गया है।

2. छड़ के प्राकृतिक कंपन का अध्ययन। आइए समीकरण (1) के अनुरूप एक सजातीय समीकरण पर विचार करें। चूँकि गुणांक केवल x पर निर्भर करते हैं, हम u(x,r) = X(x)T(r) लिखकर चरों को अलग कर सकते हैं। हमें दो समीकरण मिलते हैं:

t""(g) + \2t(g) = 0,

((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)

समीकरण (3) सीमा स्थितियों के साथ है

(a(0) - \2Ъ(0))Х"(0) - (К1 - \2М1)Х(0) = 0,

(a(1) - \2Ъ(1))Х"(1) + (К2 - \2М2)Х(I) = 0. (4)

इस प्रकार, हम स्टर्म-लिउविले समस्या पर आए, जो शास्त्रीय समस्या से भिन्न है जिसमें वर्णक्रमीय पैरामीटर ए समीकरण के उच्चतम व्युत्पन्न के गुणांक के साथ-साथ सीमा स्थितियों में भी शामिल है। यह परिस्थिति हमें साहित्य से ज्ञात परिणामों को संदर्भित करने की अनुमति नहीं देती है, इसलिए हमारा तत्काल लक्ष्य समस्या (3), (4) का अध्ययन करना है। परिवर्तनीय पृथक्करण विधि को सफलतापूर्वक लागू करने के लिए, हमें गुणात्मक के बारे में, eigenvalues ​​​​के अस्तित्व और स्थान के बारे में जानकारी की आवश्यकता है

eigenfunctions के गुण: क्या उनमें ऑर्थोगोनैलिटी का गुण है?

आइए हम दिखाते हैं कि A2 > 0. आइए मान लें कि यह मामला नहीं है। मान लीजिए कि X(x) समस्या (3), (4) का मूल फलन है, जो मान A = 0 के अनुरूप है। (3) को X(x) से गुणा करें और परिणामी समानता को अंतराल (0,1) पर एकीकृत करें। भागों द्वारा एकीकृत करना और सीमा शर्तों (4) को लागू करना, प्राथमिक परिवर्तनों के बाद हमें प्राप्त होता है

1(0) - L2Ъ(0))(a(1) - L2Ъ(1)) I (dX2 + bX"2)yx+

एन\एक्स 2(0) + एम2एक्स 2(1)

मैं कुल्हाड़ी"2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

ध्यान दें कि फलनों के भौतिक अर्थ से a(x), b(x), d(x) सकारात्मक हैं, Kr, Mg गैर-नकारात्मक हैं। लेकिन फिर परिणामी समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि X"(x) = 0, X(0) = X(1) = 0, इसलिए, X(x) = 0, जो की गई धारणा का खंडन करता है। नतीजतन, यह धारणा शून्य समस्या (3) का स्वदेशी मान है, (4) ग़लत है।

समीकरण (3) के समाधान का प्रतिनिधित्व अभिव्यक्ति a(x) - - A2b(x) के चिह्न पर निर्भर करता है। आइए हम दिखाते हैं कि a(x) - A2b(x) > 0 Vx e (0.1)। आइए x e (0,1) को मनमाने ढंग से ठीक करें और इस बिंदु पर फ़ंक्शन a(x), b(x), d(x) के मान ज्ञात करें। आइए समीकरण (3) को फॉर्म में लिखें

एक्स"(एक्स) + वीएक्स (एक्स) = 0, (5)

जहां हमने नामित किया है

चयनित निश्चित बिंदु पर, और हम फॉर्म में शर्तें (4) लिखते हैं

Х"(0) - аХ (0) = 0, Х"(1) + вХ (आई) = 0, (6)

जहां ए, बी की गणना करना आसान है।

जैसा कि ज्ञात है, शास्त्रीय स्टर्म-लिउविल समस्या (5), (6) में वी > 0 के लिए आइजनफंक्शन का एक गणनीय सेट है, जिसमें से, चूंकि एक्स मनमाना है, इसलिए आवश्यक असमानता निम्नानुसार है।

समस्या (3), (4) के eigenfunctions में संबंध द्वारा व्यक्त भार के साथ ऑर्थोगोनलिटी की संपत्ति है

मैं (dХт(х)Хп(х) + БХ"т(х)Х"п(х))<х+ ■)о

M1Xt(0)Xn(0) + M2Xt(1)Xn (I) = 0, (7)

जिसे एक मानक तरीके से प्राप्त किया जा सकता है (उदाहरण के लिए देखें), जिसका विचाराधीन समस्या के मामले में कार्यान्वयन प्राथमिक लेकिन श्रमसाध्य गणनाओं से जुड़ा है। आइए बोझिलता से बचने के लिए फ़ंक्शन Xr(x) के तर्क को छोड़कर, इसकी व्युत्पत्ति को संक्षेप में प्रस्तुत करें।

मान लीजिए Am, An अलग-अलग eigenvalues ​​​​हैं, Xm, Xn समस्या (3), (4) के संगत eigenfunction हैं। तब

((ए - एल2टीबी)एक्स"टी)" + एल2टीडीएक्सटी = 0, ((ए - एल2पीबी)एक्स"पी)" + एल2पीडीएक्सपी = 0।

आइए हम इनमें से पहले समीकरण को Xn से गुणा करें, और दूसरे को Xm से गुणा करें, और दूसरे को पहले से घटाएँ। प्रारंभिक परिवर्तनों के बाद हमें समानता प्राप्त होती है

(Lt - Lp)YХtХп = (аХтХП)" - ЛП(БХтХ"п)" - (аХ"тХп)" + Lt(БХтХп)",

जिसे हम अंतराल (0,1) पर एकीकृत करते हैं। परिणामस्वरूप, (4) को ध्यान में रखते हुए और (एलएम - एलएन) से कम करने पर, हमें संबंध (7) प्राप्त होता है।

स्टर्म-लिउविल समस्या (3), (4) के आइजेनवैल्यू और आइजेनफंक्शन के गुणों के बारे में सिद्ध कथन समस्या का समाधान खोजने के लिए चर को अलग करने की विधि को लागू करना संभव बनाते हैं।

3. समस्या का समाधान। चलो निरूपित करें

C(ST) = (u: u e C(St) P C2(St), uikh e C^t)).

प्रमेय 1. मान लीजिए a, b e C1, d e C. तब समस्या (1), (2) का अधिकतम एक ही समाधान है u e C^t)।

सबूत। आइए मान लें कि समस्या (1), (2), u1(x,z) और u2(x,z) के दो अलग-अलग समाधान हैं। फिर, समस्या की रैखिकता के कारण, उनका अंतर u = u1 - u2 (1), (2) के अनुरूप सजातीय समस्या का समाधान है। आइए दिखाते हैं कि इसका समाधान मामूली है. आइए पहले ध्यान दें कि समीकरण और सीमा स्थितियों के गुणांकों के भौतिक अर्थ से, Qm में हर जगह फ़ंक्शन a, b, d सकारात्मक हैं, और M^, K^ गैर-नकारात्मक हैं।

समानता (1) को यू से गुणा करना और क्षेत्र क्यूटी पर एकीकृत करना, जहां टी ई और मनमाना है, सरल परिवर्तनों के बाद हम प्राप्त करते हैं

/ (di2(x,t) + ai2x(x,t) + biHl(x,t))yx+ ./o

K1u2(0, t) + M1u2(0, t) + K2u2(1, t) + M2u2(1, t) = 0,

जिससे, m की मनमानी के कारण, प्रमेय की वैधता तुरंत आ जाती है। □

हम स्थिर गुणांकों के मामले के लिए एक समाधान के अस्तित्व को साबित करेंगे।

प्रमेय 2. चलो<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, (0.1) में तीसरे क्रम का एक टुकड़ा-वार निरंतर व्युत्पन्न है, φ ε 1, φ(0) = φ(1) = 0 और (0.1) में दूसरे क्रम का एक टुकड़ा-वार निरंतर व्युत्पन्न है , f e C(C^m), तो समस्या (1), (2) का एक समाधान मौजूद है और इसे eigenfunctions की श्रृंखला के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

सबूत। हमेशा की तरह, हम समस्या का समाधान राशि के रूप में तलाशेंगे

जहां पहला पद (1) के अनुरूप सजातीय समीकरण के लिए उत्पन्न समस्या का समाधान है, वहीं दूसरा समीकरण (1) का समाधान है, जो शून्य प्रारंभिक और सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है। आइए हम पिछले पैराग्राफ में किए गए शोध के परिणामों का उपयोग करें और समीकरण (3) का सामान्य समाधान लिखें:

X(x) = Cr क्योंकि A J-+ C2 पाप Aw-^rrx।

\¡ए - ए2बी \¡ए - ए2बी

सीमा शर्तों (4) को लागू करते हुए, हम सीजे के लिए समीकरणों की एक प्रणाली पर पहुंचते हैं!

(ए - ए2बी)सी2 - (की - ए2एमआई)सीआई = 0,

(-A(a - A2b) syn Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

इसके सारणिक को शून्य के बराबर करने पर, हमें वर्णक्रमीय समीकरण प्राप्त होता है

ctg= (a - A4)A2" - (K - A?Mí)(K2 - A"M). (8)

b Va - A2b A^q(a - A2b)(Ki + K2 - A2(Mi + M2))

आइए जानें कि क्या इस पारलौकिक समीकरण का कोई समाधान है। ऐसा करने के लिए, इसके बाएँ और दाएँ पक्षों के कार्यों पर विचार करें और उनके व्यवहार की जाँच करें। व्यापकता को बहुत अधिक सीमित न करते हुए, आइए डालते हैं

एमआई = एम2 = एम, किग्रा = के2 = के,

जो आवश्यक गणनाओं को थोड़ा सरल बना देगा। समीकरण (8) का रूप लेता है

x I q ​​​, Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b" आइए निरूपित करें

और वर्णक्रमीय समीकरण को नये अंकन में लिखें!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM)

2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql

पिछले समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों के कार्यों का विश्लेषण हमें यह बताने की अनुमति देता है कि इसकी जड़ों का एक गणनीय सेट है और, इसलिए, स्टर्म-लिउविल समस्या (3), (4) के eigenfunctions का एक गणनीय सेट है। जिसे, c3 के संबंध में सिस्टम से प्राप्त संबंध को ध्यान में रखते हुए लिखा जा सकता है

वी/एल एल आई क्यू के - x2 बजे। मैं क्यू

Xn(x) = COS XnJ-gutx + ----sin XnJ-gutX।

V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b

अब आइए एक ऐसे समाधान की तलाश में आगे बढ़ें जो प्रारंभिक शर्तों को भी पूरा करता हो। अब हम श्रृंखला के रूप में एक सजातीय समीकरण के लिए समस्या का समाधान आसानी से पा सकते हैं

यू(एक्स,टी) = ^ टीएन(टी)एक्सएन(एक्स),

जिसके गुणांक प्रारंभिक डेटा से पाए जा सकते हैं, फ़ंक्शन Xn(x) की ऑर्थोगोनलिटी की संपत्ति का उपयोग करके, जिसका मानदंड संबंध (7) से प्राप्त किया जा सकता है:

||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l)। ■जो

फ़ंक्शन v(x,t) को खोजने की प्रक्रिया भी अनिवार्य रूप से मानक है, लेकिन हम अभी भी ध्यान देते हैं कि, पारंपरिक रूप में समाधान की तलाश है

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

हमें दो समीकरण मिलते हैं। वास्तव में, eigenfunctions के प्रकार को ध्यान में रखते हुए, आइए हम उस श्रृंखला की संरचना को स्पष्ट करें जिसके रूप में हम समाधान ढूंढ रहे हैं:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~sin X^HAarx). (9)

वी जेएक्सएनवीए - एक्सएनबी^क्यू वी ए - एक्सएन "

शून्य प्रारंभिक शर्तों y(x, 0) = y^x, 0) = 0 को संतुष्ट करने के लिए, हमें आवश्यकता है कि Vn(0) = Vn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. विस्तार f( x,r) को फूरियर श्रृंखला में eigenfunctions Xn(x) के संदर्भ में, हम गुणांक ¡n(b) और dn(b) पाते हैं। y(x, b) के संबंध में लिखे गए समीकरण (1) में (9) को प्रतिस्थापित करने पर, परिवर्तनों की एक श्रृंखला के बाद हमें Yn(b) और Wn(b) खोजने के लिए समीकरण प्राप्त होते हैं:

yts® + >&pYu =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

प्रारंभिक स्थितियों Vn(0) = Y, (0) = 0, Wn(0) = W, (0) = 0 को ध्यान में रखते हुए, हम प्रत्येक फ़ंक्शन Vn(b) और Wn( के लिए कॉची समस्याओं पर पहुंचते हैं। बी), जिसकी अद्वितीय सॉल्वेबिलिटी प्रमेय की शर्तों द्वारा गारंटीकृत है। प्रमेय में तैयार प्रारंभिक डेटा के गुण हमारे शोध के दौरान उत्पन्न होने वाली सभी श्रृंखलाओं के अभिसरण के बारे में कोई संदेह नहीं छोड़ते हैं और इसलिए, समस्या के समाधान के अस्तित्व के बारे में। □

निष्कर्ष। अध्ययन के तहत समस्या के eigenfunctions की एक प्रणाली का अस्तित्व, लोड के लिए ऑर्थोगोनल साबित होता है और उनका प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है।

आइजनफंक्शन के स्थापित गुणों ने समस्या के अनूठे समाधान के अस्तित्व को साबित करना संभव बना दिया। ध्यान दें कि लेख में प्राप्त परिणामों का उपयोग गतिशील सीमा स्थितियों के साथ समस्याओं के आगे के सैद्धांतिक अध्ययन और व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए किया जा सकता है, अर्थात् तकनीकी वस्तुओं की एक विस्तृत श्रृंखला के अनुदैर्ध्य कंपन की गणना के लिए।

अलेक्जेंडर बोरिसोविच बेइलिन: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

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संपादक द्वारा प्राप्त 10/II/2016; अंतिम संस्करण में - 18/वी/2016; प्रकाशनार्थ स्वीकृत - 27/वी/2016।

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एमएससी: 35एल35, 35क्यू74

इलास्टिक फिक्सिंग के साथ बार के अनुदैर्ध्य कंपन पर एक समस्या

समारा राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय,

244, मोलोडोग्वर्डेस्काया स्ट्रीट, समारा, 443100, रूसी संघ।

इस पेपर में, हम बिंदु बलों और स्प्रिंग्स द्वारा तय की गई मोटी छोटी पट्टी में अनुदैर्ध्य कंपन का अध्ययन करते हैं। गणितीय मॉडल के लिए हम अगले क्रम के आंशिक अंतर समीकरण के लिए गतिशील सीमा स्थितियों के साथ एक सीमा मूल्य समस्या पर विचार करते हैं। इस मॉडल का चुनाव अनुप्रस्थ तनाव के परिणाम को ध्यान में रखने की आवश्यकता पर निर्भर करता है। रेले द्वारा यह दिखाया गया कि अनुप्रस्थ तनाव की उपेक्षा से त्रुटि उत्पन्न होती है। इसकी पुष्टि कंपन के आधुनिक गैर-स्थानीय सिद्धांत से होती है। हम लोड आइजनफंक्शन के साथ ऑर्थोगोनल के अस्तित्व को साबित करते हैं और उनका प्रतिनिधित्व प्राप्त करते हैं। eigenfunctions के स्थापित गुण चर पृथक्करण विधि का उपयोग करके और समस्या का एक अनूठा समाधान ढूंढना संभव बनाते हैं।

कीवर्ड: गतिशील सीमा स्थितियाँ, अनुदैर्ध्य कंपन, भरी हुई ऑर्थोगोनैलिटी, रेले का मॉडल।

अलेक्जेंडर बी. बेयलिन: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. नेरुबाई एम.एस., श्रट्रिकोव बी.एल., कलाश्निकोव वी.वी. उल "ट्रेज़्वुकोविया मेखानिचेस्किया ओब्राबोटका आई सोबोर्का। समारा, समारा बुक पब्लिक, 1995, 191 पीपी। (रूसी में)

2. खमेलेव वी.एन., बार्सुकोव आर.वी., त्स्यगानोक एस.एन. उल "ट्रेज़्वुकोवाया रज़्मेर्नाया ओबराबोटका मटेरियलोव। बरनौल, 1997, 120 पीपी। (रूसी में)

3. कुमाबे जे. कंपन काटना। टोक्यो, जिक्क्यौ पब्लिशिंग कंपनी लिमिटेड, 1979 (जापानी में)।

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बेयलिन ए.बी. इलास्टिक फिक्सिंग, वेस्टन के साथ एक बार के अनुदैर्ध्य कंपन पर एक समस्या। समर. गोस. तकनीक. विश्वविद्यालय, सेर. फ़िज़.-मैट. नौकी, 2016, वॉल्यूम। 20, नहीं. 2, पृ. 249-258. डीओआई: 10.14498/वीएसजीटीयू1474। (रूसी में) लेखक विवरण:

अलेक्जेंडर बी. बेयलिन (कैन्ड. तकनीक. विज्ञान; [ईमेल सुरक्षित]), एसोसिएट प्रोफेसर, विभाग। ऑटोमेशन मशीन टूल्स और टूलींग सिस्टम का।

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9. बेयलिन ए.बी., पुल्किना एल.एस. गतिशील सीमा स्थितियों के साथ एक छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन पर एक प्रस्ताव, वेस्टनिक सैमजीयू। एस्टेस्टवेनो-नौचनाया सेर., 2014, संख्या. 3(114), पृ. 919 (रूसी में)।

10. कोरपुसोव एम. ओ. रज्रुशेनी वी नेक्लासिचेस्किख वोल्नोविख उरावनेनियाख। मॉस्को, यूआरएसएस, 2010, 237 पीपी। (रूसी में)

प्राप्त 10/II/2016;

संशोधित प्रपत्र 18/वी/2016 में प्राप्त;

1

एक कठोर बाधा के प्रभाव पर ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखते हुए या उसके बिना चरण-परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन की सलाखों के अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या को हल करने के लिए एक आवृत्ति विधि प्रस्तावित है। गैर-शून्य प्रारंभिक स्थितियों की उपस्थिति में छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन का समीकरण लाप्लास के अनुसार बदल जाता है। एक सीमा मूल्य समस्या हल हो गई है, जिसमें किनारे के विस्थापन के कार्यों के रूप में लाप्लास-रूपांतरित किनारे अनुदैर्ध्य बलों को ढूंढना शामिल है। फिर नोड्स के लिए संतुलन समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है, जिसे हल करते हुए, रुचि की छड़ के वर्गों के लिए आयाम-चरण-आवृत्ति विशेषताओं (एपीएफसी) का निर्माण किया जाता है। व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन निष्पादित करके, एक संक्रमण प्रक्रिया का निर्माण किया जाता है। एक परीक्षण उदाहरण के रूप में, परिमित लंबाई के निरंतर क्रॉस-सेक्शन की एक छड़ पर विचार किया जाता है। ज्ञात तरंग समाधान के साथ तुलना दी गई है। एक कठोर बाधा के साथ टकराव में रॉड की गतिशील गणना के लिए प्रस्तावित विधि असीमित संख्या में लोचदार रूप से जुड़े द्रव्यमान की उपस्थिति में एक मनमानी रॉड प्रणाली को सामान्यीकरण की अनुमति देती है, जिसमें सिरों पर और लंबाई के साथ एक मनमाना बल लगाया जाता है। छड़।

आवृत्ति विधि

छड़ का अनुदैर्ध्य कंपन

1. बिडरमैन, वी.एल. यांत्रिक कंपन का अनुप्रयुक्त सिद्धांत / वी.एल. बिडरमैन. - एम.: हायर स्कूल, 1972. - 416 पी.

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5. संकिन, वाई.एन. कठोर बाधा से टकराने वाले चरण-परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन की लोचदार छड़ों के अनुदैर्ध्य कंपन \ यू। एन. संकिन और एन.ए. युगानोवा, जे. एपल. मैथ्स मेक्स, वॉल्यूम। 65, क्रमांक 3, पृ. 427-433, 2001।

आइए एक कठोर बाधा के प्रभाव पर ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखते हुए या उसके बिना चरण-परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन की छड़ों के अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या को हल करने के लिए आवृत्ति विधि पर विचार करें, जिसकी तुलना हम ज्ञात तरंग समाधान और समाधान से करेंगे। कंपन मोड की एक श्रृंखला का रूप (14)।

आंतरिक प्रतिरोध की ताकतों को ध्यान में रखते हुए, रॉड के अनुदैर्ध्य कंपन के लिए अंतर समीकरण का रूप है:

आइए निम्नलिखित सीमा और प्रारंभिक शर्तें निर्धारित करें:

. (2)

आइए दी गई प्रारंभिक स्थितियों (2) के लिए लाप्लास के अनुसार समीकरण (1) और सीमा शर्तों (2) को रूपांतरित करें। फिर समीकरण (2) और सीमा शर्तें (2) इस प्रकार लिखी जाएंगी:

; (3)

,

छड़ के बिंदुओं के लाप्लास-परिवर्तित विस्थापन कहां हैं; पी लाप्लास ट्रांसफॉर्म पैरामीटर है।

ऊर्जा अपव्यय (पर = 0) को ध्यान में रखे बिना समीकरण (3) रूप लेगा:

. (4)

परिणामी अमानवीय अंतर समीकरण के लिए, एक सीमा मूल्य समस्या हल की जाती है, जिसमें किनारे के विस्थापन के कार्यों के रूप में लाप्लास-रूपांतरित किनारे अनुदैर्ध्य बलों को ढूंढना शामिल है।

ऐसा करने के लिए, ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखते हुए रॉड के अनुदैर्ध्य कंपन के सजातीय समीकरण पर विचार करें

(5)

तय किया

और एक नए वेरिएबल पर जाने पर, हमें (5) के बजाय मिलता है

(6)

यदि, आवृत्ति पैरामीटर कहां है, तो

.

सजातीय समीकरण (6) का हल इस प्रकार है:

हम प्रारंभिक स्थितियों से एकीकरण स्थिरांक c1 और c2 पाते हैं:

उ = उ0 ; एन = एन0,

वे। ;

यह समाधान निम्नलिखित स्थानांतरण मैट्रिक्स से मेल खाता है:

. (7)

स्थानांतरण मैट्रिक्स के तत्वों के लिए परिणामी अभिव्यक्तियों को विस्थापन विधि के सूत्रों में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

; (8)

;

सूचकांक n और k क्रमशः रॉड सेक्शन की शुरुआत और अंत को दर्शाते हैं। और सूचकांक एनके और केएन के साथ ज्यामितीय और भौतिक स्थिरांक रॉड के एक विशिष्ट खंड को संदर्भित करते हैं।

रॉड को तत्वों में विभाजित करते हुए, सूत्र (8) का उपयोग करके, हम नोड्स के गतिशील संतुलन के लिए समीकरण बनाएंगे। ये समीकरण अज्ञात नोडल विस्थापनों के लिए समीकरणों की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं। चूंकि संबंधित गुणांक सटीक एकीकरण द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, इसलिए रॉड अनुभागों की लंबाई सीमित नहीं है।

समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करके, हम रॉड के उन वर्गों के लिए आयाम-चरण-आवृत्ति विशेषताओं का निर्माण करते हैं जिनमें हमारी रुचि है। इन एएफसी को एक तरफा फूरियर ट्रांसफॉर्म की ग्राफिकल छवि के रूप में माना जा सकता है, जो स्पंदित प्रभावों के तहत लाप्लास ट्रांसफॉर्म के साथ मेल खाता है। चूँकि संबंधित अभिव्यक्तियों के सभी एकवचन बिंदु काल्पनिक अक्ष के बाईं ओर स्थित हैं, इसलिए उलटा परिवर्तन मानकर किया जा सकता है, अर्थात। निर्मित एएफसी का उपयोग करना। एएफसी के निर्माण का कार्य, जहां प्रारंभिक वेग का क्षेत्र रॉड के घनत्व से गुणा होकर एक बल क्रिया के रूप में प्रकट होता है, सहायक है। आमतौर पर, एएफसी का निर्माण अशांतकारी ताकतों के प्रभाव से किया जाता है, फिर व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन संख्यात्मक एकीकरण या किसी अन्य विधि द्वारा किया जाता है।

एक सरल उदाहरण के रूप में, लंबाई l की एक सीधी छड़ पर विचार करें, जो V0 गति से एक कठोर बाधा से अनुदैर्ध्य रूप से टकराती है (चित्र 1)।

आइए हम प्रभाव के बाद छड़ के बिंदुओं के विस्थापन का निर्धारण करें। हम मान लेंगे कि प्रभाव के बाद बाधा और छड़ के बीच संपर्क बना रहता है, यानी। छड़ी का कोई पलटाव नहीं है. यदि कनेक्शन गैर-युक्त है, तो समस्या को टुकड़े-टुकड़े रैखिक माना जा सकता है। किसी अन्य समाधान विकल्प पर जाने का मानदंड संपर्क के बिंदु पर गति के संकेत में बदलाव है।

लावेरेंटयेव एम.ए., शबात बी.वी. द्वारा मोनोग्राफ में। समीकरण (4) का तरंग समाधान दिया गया है:

और उसका मूल मिल गया

, (9)

यूनिट स्टेप फ़ंक्शन कहां है.

इस समस्या को हल करने का एक अन्य तरीका वर्णित आवृत्ति विधि द्वारा किया जा सकता है। इस समस्या के संबंध में हमारे पास होगा:

; ;

; ;

; ;

. (10)

आइए मूल खोजें (11)

आइए आवृत्ति विधि का उपयोग करके उसी समस्या को हल करें। पहले नोड के संतुलन समीकरण से:

(12)

हमें छड़ के सिरे को हिलाने का सूत्र प्राप्त होता है।

अब, यदि स्थिर क्रॉस-सेक्शन की एक परीक्षण छड़ को लंबाई l1 और l2 के दो मनमाने खंडों में विभाजित किया जाता है (चित्र 1 देखें), तो नोड्स के लिए संतुलन की स्थिति इस प्रकार होगी:

(13)

सिस्टम (13) को हल करने के परिणामस्वरूप, हम पहले और दूसरे खंड (क्रमशः यू1 और यू2) में विस्थापन के लिए चरण-आवृत्ति प्रतिक्रिया के ग्राफ प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, (12) और (13) के मामले में, ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखते हुए, बंद रूप में किनारे के विस्थापन की छवि मेल खाती है और इसका रूप है:

. (14)

आइए रॉड के अंत में परिणामों के संयोग की जाँच करें। चित्र में. चित्र 2 x = l0.1 पर समाधान (10) के ग्राफ़ और समाधान प्रणाली (13) के परिणामस्वरूप दिखाता है। वे पूरी तरह से एक जैसे हैं.

क्षणिक प्रक्रिया प्राप्त करने के लिए असतत फूरियर रूपांतरण का उपयोग किया जा सकता है। परिणाम सूत्र का उपयोग करके t=0... पर संख्यात्मक एकीकरण करके प्राप्त किया जा सकता है

. (15)

एएफसी में (चित्र 2 देखें), केवल एक दृश्यमान मोड़ ही महत्वपूर्ण रूप से प्रकट होता है। अतः श्रृंखला का एक पद (15) लेना चाहिए। चित्र 3 में ग्राफ़ दिखाते हैं कि समाधान (9) और कंपन मोड (11) का समाधान प्रस्तावित आवृत्ति समाधान के साथ कितना सटीक मेल खाता है। त्रुटि 18% से अधिक नहीं है. परिणामी विसंगति को इस तथ्य से समझाया गया है कि समाधान (9) और (11) रॉड सामग्री में ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में नहीं रखते हैं।

चावल। 3. छड़ के अंत के लिए क्षणिक प्रक्रिया; 1, 2, 3 - सूत्र (9), (11), (15) के अनुसार निर्मित ग्राफ़।

एक अधिक जटिल उदाहरण के रूप में, अंत में भार के साथ एक चरणबद्ध छड़ (चित्र 4) के अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या पर विचार करें, जो गति V0 के साथ एक कठोर बाधा से टकराती है, और भार के द्रव्यमान को द्रव्यमान के बराबर होने दें छड़ के निकटवर्ती भाग का:.

चावल। 4. अंत में भार के साथ एक चरणबद्ध छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन की गणना आरेख

आइए हम छड़ के विशिष्ट खंड 1,2,3 का परिचय दें जिसमें हम विस्थापन की गणना करेंगे। आइए समीकरणों को हल करने की एक प्रणाली बनाएं:

(16)

सिस्टम (16) को हल करने के परिणामस्वरूप, हम दूसरे और तीसरे खंड (क्रमशः यू2() और यू3()) में विस्थापन के लिए चरण-आवृत्ति प्रतिक्रिया (छवि 5) के ग्राफ प्राप्त करते हैं। गणना निम्नलिखित स्थिर मानों के साथ की गई: एल = 2 मीटर; ई = 2.1×1011 पा; एफ = 0.06 एम2; = 7850 किग्रा/एम3; वी = 10 मी/से. प्राप्त एएफसी में, केवल दो दृश्य मोड़ ही महत्वपूर्ण रूप से प्रकट होते हैं। इसलिए, चयनित अनुभागों में संक्रमण प्रक्रिया का निर्माण करते समय, हम श्रृंखला के दो पद (16) लेते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको पहले यह निर्धारित करना होगा

चावल। 5. चरणबद्ध छड़ के दूसरे और तीसरे खंड में विस्थापन का एएफसी (चित्र 4 देखें)

संक्रमण प्रक्रिया का निर्माण सूत्र (15) का उपयोग करके इसी तरह किया जाता है।

निष्कर्ष: किसी बाधा से टकराने पर छड़ों के अनुदैर्ध्य कंपन की गणना के लिए एक विधि विकसित की गई है।

समीक्षक:

लेबेदेव ए.एम., तकनीकी विज्ञान के डॉक्टर, एसोसिएट प्रोफेसर, उल्यानोवस्क हायर एविएशन स्कूल (संस्थान), उल्यानोवस्क के प्रोफेसर।

एंटोनेट्स आई.वी., तकनीकी विज्ञान के डॉक्टर, उल्यानोवस्क राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय, उल्यानोवस्क के प्रोफेसर।

ग्रंथ सूची लिंक

युगानोवा एन.ए. किसी कठोर बाधा से टकराव में छड़ों का अनुदैर्ध्य कंपन // विज्ञान और शिक्षा की आधुनिक समस्याएं। – 2014. – नंबर 2.;
यूआरएल: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (पहुंच तिथि: 01/15/2020)। हम आपके ध्यान में प्रकाशन गृह "प्राकृतिक विज्ञान अकादमी" द्वारा प्रकाशित पत्रिकाएँ लाते हैं।

एक छड़ एक पिंड है, जिसका एक आयाम, जिसे अनुदैर्ध्य कहा जाता है, अनुदैर्ध्य दिशा के लंबवत विमान में इसके आयामों से काफी अधिक है, अर्थात। अनुप्रस्थ आयाम. छड़ की मुख्य संपत्ति अनुदैर्ध्य संपीड़न (तनाव) और झुकने के लिए प्रदान किया गया प्रतिरोध है। यह गुण मूल रूप से एक छड़ को एक डोरी से अलग करता है, जो खिंचती नहीं है और झुकने का प्रतिरोध नहीं करती है। यदि छड़ के पदार्थ का घनत्व उसके सभी बिंदुओं पर समान हो तो छड़ सजातीय कहलाती है।

आमतौर पर, एक बंद बेलनाकार सतह से घिरे विस्तारित पिंडों को छड़ माना जाता है। इस मामले में, क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र स्थिर रहता है। हम लंबाई की ऐसी ही एकसमान छड़ के व्यवहार का अध्ययन करेंगे एल, यह मानते हुए कि यह हुक के नियम का पालन करते हुए केवल संपीड़न या तनाव के अधीन है। किसी छड़ की छोटी अनुदैर्ध्य विकृतियों का अध्ययन करते समय, तथाकथित समतल खंडों की परिकल्पना.यह इस तथ्य में निहित है कि क्रॉस सेक्शन, रॉड के साथ संपीड़न या तनाव के तहत चलते हुए, सपाट और एक दूसरे के समानांतर रहते हैं।

चलो धुरी को निर्देशित करें एक्सछड़ के अनुदैर्ध्य अक्ष के अनुदिश (चित्र 19) और हम मान लेंगे कि समय के प्रारंभिक क्षण में छड़ के सिरे बिंदुओं पर हैं एक्स=0और एक्स=एल. आइए हम समन्वय के साथ छड़ का एक मनमाना खंड लें एक्स. आइए हम इसे निरूपित करें यू(एक्स,टी) समय के क्षण में इस खंड का विस्थापन टी, फिर समन्वय के साथ अनुभाग का विस्थापन समय के एक ही क्षण में यह बराबर होगा

फिर अनुभाग में छड़ का सापेक्ष बढ़ाव एक्सबराबर होगा

हुक के नियम के अनुसार इस बढ़ाव का प्रतिरोध बल बराबर होगा

कहाँ इ- रॉड सामग्री का लोचदार मापांक (यंग का मापांक), और एस -संकर अनुभागीय क्षेत्र। लंबाई वाली छड़ के एक खंड की सीमाओं पर डीएक्ससेनाएं उस पर कार्रवाई करती हैं टेक्सासऔर टी एक्स + डीएक्स, अक्ष के अनुदिश निर्देशित एक्स. इन बलों का परिणाम बराबर होगा

,

और विचाराधीन छड़ के खंड का त्वरण बराबर है, तो छड़ के इस खंड की गति के समीकरण का रूप होगा:

, (67)

कहाँ ρ – रॉड सामग्री का घनत्व। यदि यह घनत्व और यंग का मापांक स्थिर है, तो हम समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करके मात्रा दर्ज कर सकते हैं एसडीएक्स, अंततः प्राप्त करें छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन का समीकरणबाहरी ताकतों की अनुपस्थिति में

(68)

इस समीकरण का रूप भी वैसा ही है अनुप्रस्थ स्ट्रिंग कंपन के लिए समीकरणऔर इसके लिए समाधान विधियाँ समान हैं, हालाँकि, गुणांक एये समीकरण विभिन्न मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। स्ट्रिंग समीकरण में, मात्रा एक 2एक अंश का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका अंश स्ट्रिंग का निरंतर तनाव बल है - टी, और हर में रैखिक घनत्व ρ , और स्ट्रिंग समीकरण में अंशों में यंग का मापांक और हर शामिल होता है – वॉल्यूमेट्रिकरॉड सामग्री घनत्व ρ . इसलिए मात्रा का भौतिक अर्थ एइन समीकरणों में अंतर है. यदि एक स्ट्रिंग के लिए यह गुणांक एक छोटे अनुप्रस्थ विस्थापन के प्रसार की गति है, तो एक छड़ के लिए यह एक छोटे अनुदैर्ध्य खिंचाव या संपीड़न के प्रसार की गति है और इसे कहा जाता है ध्वनि की गति, क्योंकि यह इस गति पर है कि ध्वनि का प्रतिनिधित्व करने वाले छोटे अनुदैर्ध्य कंपन, छड़ी के साथ फैलेंगे।

समीकरण (68) के लिए, प्रारंभिक स्थितियाँ निर्धारित की जाती हैं जो प्रारंभिक समय में रॉड के किसी भी खंड के विस्थापन और विस्थापन की गति निर्धारित करती हैं:

एक सीमित छड़ के लिए, उसके सिरों पर बन्धन या बल लगाने की शर्तें पहली, दूसरी और तीसरी प्रकार की सीमा स्थितियों के रूप में निर्दिष्ट की जाती हैं।

पहली तरह की सीमा स्थितियाँ छड़ के सिरों पर अनुदैर्ध्य विस्थापन निर्दिष्ट करती हैं:

यदि छड़ के सिरे गतिहीन हैं, तो शर्तों के तहत (6) . इस मामले में, क्लैंप्ड स्ट्रिंग के दोलन की समस्या की तरह, हम चरों को अलग करने की विधि लागू करते हैं।

दूसरे प्रकार की सीमा स्थितियों में, समय के आधार पर हुक के नियम के अनुसार विरूपण के परिणामस्वरूप लोचदार बल रॉड के सिरों पर निर्दिष्ट होते हैं। सूत्र (66) के अनुसार, ये बल, एक स्थिर कारक तक, व्युत्पन्न के बराबर होते हैं यू एक्स, इसलिए, अंत में इन व्युत्पन्नों को समय के कार्यों के रूप में निर्दिष्ट किया गया है:

यदि छड़ का एक सिरा स्वतंत्र है, तो इस सिरे पर यू एक्स = 0.

तीसरी प्रकार की सीमा स्थितियों को उन स्थितियों के रूप में दर्शाया जा सकता है जिनके तहत छड़ के प्रत्येक छोर पर एक स्प्रिंग जुड़ा होता है, जिसका दूसरा छोर एक निश्चित समय कानून के अनुसार अक्ष के साथ चलता है θ (टी), जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 20. इन शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है

, (72)

कहाँ क 1 और क 2 - स्प्रिंग कठोरता.

यदि छड़ पर अक्ष के अनुदिश कोई बाह्य बल भी कार्य करता है पी(एक्स,टी), प्रति इकाई आयतन की गणना करें, तो समीकरण (50) के स्थान पर अमानवीय समीकरण लिखना चाहिए

,

जो विभाजित करने पर रूप धारण कर लेता है

, (73)

कहाँ . समीकरण (73) छड़ के मजबूर अनुदैर्ध्य कंपन का समीकरण है, जिसे स्ट्रिंग के मजबूर कंपन के समीकरण के अनुरूप हल किया जाता है।

टिप्पणी।यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि स्ट्रिंग और रॉड दोनों वास्तविक निकायों के मॉडल हैं, जो वास्तव में स्ट्रिंग और रॉड दोनों के गुणों को प्रदर्शित कर सकते हैं, यह उन स्थितियों पर निर्भर करता है जिनमें वे स्थित हैं। इसके अलावा, परिणामी समीकरण पर्यावरणीय प्रतिरोध बलों और आंतरिक घर्षण बलों को ध्यान में नहीं रखते हैं, जिसके परिणामस्वरूप ये समीकरण अविभाजित दोलनों का वर्णन करते हैं। भिगोना प्रभाव को ध्यान में रखने के लिए, सबसे सरल मामले में, एक विघटनकारी बल का उपयोग किया जाता है, जो गति के समानुपाती होता है और गति के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है, अर्थात। रफ़्तार। परिणामस्वरूप, समीकरण (73) का रूप ले लेता है

(74)

आइए हम लंबाई की एक समान छड़ पर विचार करें, यानी, बेलनाकार या किसी अन्य आकार का एक पिंड, जिसे खींचने या मोड़ने के लिए एक निश्चित बल लगाना होगा। बाद की परिस्थिति सबसे पतली छड़ को भी एक डोरी से अलग करती है, जो, जैसा कि हम जानते हैं, स्वतंत्र रूप से झुकती है।

इस अध्याय में, हम छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन के अध्ययन के लिए विशेषताओं की विधि लागू करेंगे, और हम खुद को केवल ऐसे कंपन का अध्ययन करने तक सीमित रखेंगे जिसमें क्रॉस सेक्शन, रॉड की धुरी के साथ चलते हुए, सपाट और समानांतर रहते हैं एक दूसरे को (चित्र 6)। ऐसी धारणा उचित है यदि छड़ के अनुप्रस्थ आयाम उसकी लंबाई की तुलना में छोटे हों।

यदि छड़ को अनुदैर्ध्य अक्ष के अनुदिश थोड़ा सा खींचा या दबाया जाए और फिर उसी स्थिति में छोड़ दिया जाए तो उसमें अनुदैर्ध्य कंपन उत्पन्न होगा। आइए हम अक्ष को छड़ की धुरी के अनुदिश निर्देशित करें और मान लें कि आराम की स्थिति में छड़ के सिरे बिंदुओं पर होते हैं, जब छड़ आराम की स्थिति में होती है तो छड़ के एक निश्चित खंड का भुज होता है। आइए हम समय के क्षण में इस खंड के विस्थापन से निरूपित करें, तो भुज के साथ खंड का विस्थापन बराबर होगा

यहाँ से यह स्पष्ट है कि भुज x वाले अनुभाग में छड़ का सापेक्ष बढ़ाव व्युत्पन्न द्वारा व्यक्त किया जाता है

अब यह मानते हुए कि छड़ छोटे-छोटे दोलनों से गुजरती है, हम इस खंड में तनाव की गणना कर सकते हैं। वास्तव में, हुक के नियम को लागू करने पर, हम पाते हैं कि

रॉड सामग्री का लोचदार मापांक, इसका क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र कहां है। आइए हम एक संलग्न छड़ तत्व लें

दो खंडों के बीच, जिनके भुज आराम पर हैं, क्रमशः बराबर हैं। इस तत्व पर इन खंडों में लागू तनाव बलों द्वारा कार्य किया जाता है और अक्ष के साथ निर्देशित किया जाता है। इन बलों के परिणाम का परिमाण होता है

और साथ में निर्देशित भी है। दूसरी ओर, तत्व का त्वरण बराबर होता है, जिसके परिणामस्वरूप हम समानता लिख ​​सकते हैं

छड़ का आयतन घनत्व कहाँ है? लाना

और घटाने से हमें एक सजातीय छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन का अंतर समीकरण प्राप्त होता है

इस समीकरण के रूप से पता चलता है कि छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन तरंग प्रकृति के होते हैं, और अनुदैर्ध्य तरंगों के प्रसार की गति सूत्र (4) द्वारा निर्धारित की जाती है।

यदि छड़ पर उसके आयतन की प्रति इकाई गणना की गई बाहरी शक्ति द्वारा भी कार्य किया जाता है, तो (3) के बजाय हमें प्राप्त होता है

यह छड़ के मजबूर अनुदैर्ध्य कंपन का समीकरण है। जैसा कि सामान्य तौर पर गतिशीलता में होता है, गति का समीकरण (6) अकेले छड़ी की गति को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। प्रारंभिक स्थितियाँ निर्धारित करना आवश्यक है, अर्थात समय के प्रारंभिक क्षण में छड़ के वर्गों के विस्थापन और उनके वेग को निर्धारित करना

अंतराल में कार्य कहां और दिए गए हैं (

इसके अलावा, रॉड के सिरों पर सीमा की स्थिति निर्दिष्ट की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए।