Moderní problémy vědy a vzdělávání. Podélné kmitání homogenní tyče Příklady řešení úloh

Tyč je těleso, jehož jeden rozměr, nazývaný podélný, výrazně přesahuje jeho rozměry v rovině kolmé k podélnému směru, tzn. příčné rozměry. Hlavní vlastností tyče je odolnost vůči podélnému stlačení (tahu) a ohybu. Tato vlastnost zásadně odlišuje prut od provázku, který se nenatahuje a nebrání ohybu. Pokud je hustota materiálu tyče ve všech jejích bodech stejná, pak se tyč nazývá homogenní.

Za tyče jsou obvykle považována prodloužená tělesa ohraničená uzavřeným válcovým povrchem. V tomto případě zůstává plocha průřezu konstantní. Budeme studovat chování právě takové uniformní tyče délky l, za předpokladu, že podléhá pouze stlačení nebo tahu, v souladu s Hookovým zákonem. Při studiu malých podélných deformací tyče, tzv hypotéza rovinných řezů. Spočívá ve skutečnosti, že průřezy, pohybující se pod tlakem nebo tahem podél tyče, zůstávají ploché a vzájemně rovnoběžné.

Nasměrujme osu X podél podélné osy tyče (obr. 19) a budeme předpokládat, že v počátečním okamžiku jsou konce tyče v bodech x=0 A x=l. Vezměme libovolnou část tyče se souřadnicí X. Označme podle u(X,t) posunutí tohoto úseku v okamžiku času t, pak posunutí úseku se souřadnicí ve stejný okamžik se bude rovnat

Potom relativní prodloužení tyče v řezu X budou rovné

Odporová síla vůči tomuto prodloužení podle Hookova zákona bude rovna

Kde E– modul pružnosti materiálu tyče (Youngův modul) a S – průřezová plocha. Na hranicích úseku tyče s délkou dx působí na něj síly T x A T x + dx, směřující podél osy X. Výslednice těchto sil se bude rovnat

,

a zrychlení uvažované části tyče se rovná , pak bude mít pohybová rovnice této části tyče tvar:

, (67)

Kde ρ – hustota materiálu tyče. Pokud jsou tato hustota a Youngův modul konstantní, pak můžeme zadat množství skrz a vydělením obou stran rovnice Sdx, konečně dostat rovnice podélných kmitů tyče v nepřítomnosti vnějších sil

(68)

Tato rovnice má stejný tvar jako rovnice pro příčné vibrace struny a metody jeho řešení jsou stejné, avšak koeficient A Tyto rovnice představují různé veličiny. V řetězcové rovnici množství a 2 představuje zlomek, jehož čitatelem je konstantní napínací síla struny - T a ve jmenovateli lineární hustotu ρ a v řetězcové rovnici čitatelé obsahují Youngův modul a jmenovatel – objemový hustota materiálu tyče ρ . Odtud fyzikální význam veličiny A v těchto rovnicích je jiný. Jestliže pro strunu je tento koeficient rychlostí šíření malého příčného posuvu, pak pro tyč je to rychlost šíření malého podélného natažení nebo stlačení a nazývá se rychlost zvuku, protože právě touto rychlostí se budou podél tyče šířit malé podélné vibrace představující zvuk.

Pro rovnici (68) jsou nastaveny počáteční podmínky, které určují posuv a rychlost posuvu libovolné části tyče v počátečním čase:

Pro omezenou tyč jsou podmínky pro upevnění nebo působení síly na jejích koncích specifikovány formou okrajových podmínek 1., 2. a 3. druhu.

Okrajové podmínky prvního druhu specifikují podélné posunutí na koncích tyče:

Pokud jsou konce tyče upevněny nehybně, pak za podmínek (6) . V tomto případě, stejně jako v problému kmitání upnuté struny, použijeme metodu separace proměnných.

V okrajových podmínkách druhého druhu jsou na koncích tyče specifikovány elastické síly, vyplývající z deformace podle Hookova zákona v závislosti na čase. Podle vzorce (66) jsou tyto síly až do konstantního faktoru rovny derivaci u x, proto jsou na koncích tyto derivace specifikovány jako funkce času:

Pokud je jeden konec tyče volný, pak na tomto konci u x = 0.

Okrajové podmínky třetího druhu lze znázornit jako podmínky, za kterých je ke každému konci tyče připevněna pružina, jejíž druhý konec se pohybuje podél osy podle daného časového zákona. θ (t), jak je znázorněno na Obr. 20. Tyto podmínky lze napsat následovně

, (72)

Kde k 1 a k 2 – tuhost pružiny.

Působí-li na tyč podél osy i vnější síla p(X,t), počítáno na jednotku objemu, pak místo rovnice (50) je třeba napsat rovnici nehomogenní

,

Který po dělení získá podobu

, (73)

Kde . Rovnice (73) je rovnice vynucených podélných vibrací tyče, která je řešena analogicky s rovnicí vynucených vibrací struny.

Komentář. Nutno podotknout, že jak tětiva, tak prut jsou modely skutečných těles, která ve skutečnosti mohou vykazovat jak vlastnosti tětivy, tak i prutu v závislosti na podmínkách, ve kterých se nacházejí. Výsledné rovnice navíc neberou v úvahu odporové síly prostředí a síly vnitřního tření, v důsledku čehož tyto rovnice popisují netlumené kmitání. Pro zohlednění tlumícího účinku se v nejjednodušším případě použije disipativní síla, úměrná rychlosti a směřující ve směru opačném k pohybu, tzn. Rychlost. V důsledku toho má rovnice (73) tvar

(74)

1

Pro řešení problému podélných kmitů tyčí se stupňovitě proměnným průřezem je navržena frekvenční metoda s nebo bez zohlednění ztráty energie při nárazu na tuhou překážku. Rovnice podélných kmitů tyče je transformována podle Laplacea za přítomnosti nenulových počátečních podmínek. Je vyřešen okrajový problém, který spočívá v nalezení Laplace-transformovaných okrajových podélných sil jako funkcí okrajových posunů. Poté je sestavena soustava rovnovážných rovnic pro uzly, jejichž řešením jsou sestrojeny amplitudově-fázově-frekvenční charakteristiky (APFC) pro úseky zájmové tyče. Provedením inverzní Laplaceovy transformace je zkonstruován přechodový proces. Jako zkušební příklad je uvažována tyč konstantního průřezu konečné délky. Je uvedeno srovnání se známým vlnovým řešením. Navržená metoda dynamického výpočtu tyče při kolizi s tuhou překážkou umožňuje zobecnění na libovolný tyčový systém za přítomnosti neomezeného počtu pružně připojených hmot, s libovolnou silou působící na koncích a po délce tyče. tyč.

Frekvenční metoda

podélné vibrace tyče

1. Biderman, V.L. Aplikovaná teorie mechanických vibrací / V.L. Biderman. – M.: Vyšší škola, 1972. – 416 s.

2. Lavrentiev, M.A. Metody teorie funkcí komplexní proměnné / M.A. Lavrentiev, B.V. Šabat. – M.: Nauka, 1973. – 736 s.

3. Sankin, Yu.N. Dynamické charakteristiky viskoelastických systémů s distribuovanými parametry / Yu.N. Sankin. – Saratov: Nakladatelství Sarat. Univerzita, 1977. – 312 s.

4. Sankin, Yu.N. Nestacionární vibrace tyčových systémů při srážce s překážkou / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; pod obecným vyd. Yu.N. Sankina. – Uljanovsk: Uljanovská státní technická univerzita, 2010. – 174 s.

5. Sankin, Y.N. Podélné kmity pružných tyčí stupňovitě proměnlivého průřezu narážející na tuhou překážku \ Yu. N. Sankin a N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, sv. 65, č. 3, str. 427-433, 2001.

Uvažujme frekvenční metodu řešení problému podélných kmitů tyčí stupňovitě proměnlivého průřezu s nebo bez zohlednění disipace energie při dopadu na tuhou překážku, kterou porovnáme se známým vlnovým řešením a řešením v ve formě řady vibračních režimů (14).

Diferenciální rovnice pro podélné vibrace tyče, s přihlédnutím k silám vnitřního odporu, má tvar:

Stanovme si následující hraniční a počáteční podmínky:

. (2)

Transformujme rovnici (1) a okrajové podmínky (2) podle Laplacea pro dané počáteční podmínky (2). Potom rovnici (2) a okrajové podmínky (2) zapíšeme takto:

; (3)

,

kde jsou Laplaceově transformované posuny hrotů tyče; p je parametr Laplaceovy transformace.

Rovnice (3) bez zohlednění disipace energie (při = 0) bude mít tvar:

. (4)

Pro výslednou nehomogenní diferenciální rovnici je řešen okrajový problém, který spočívá v nalezení Laplaceově transformovaných okrajových podélných sil jako funkcí okrajových posunů.

K tomu je třeba vzít v úvahu homogenní rovnici podélných vibrací tyče s přihlédnutím ke ztrátě energie

(5)

Určení

a předáním nové proměnné dostaneme místo (5)

(6)

Pokud, kde je parametr frekvence, pak

.

Řešení homogenní rovnice (6) má tvar:

Najdeme integrační konstanty c1 a c2 z počátečních podmínek:

u = u0; N = N0,

Tito. ;

Toto řešení odpovídá následující přenosové matici:

. (7)

Dosazením výsledných výrazů pro prvky přenosové matice do vzorců posuvné metody získáme:

; (8)

;

Indexy n a k označují počátek a konec úseku tyče. A geometrické a fyzikální konstanty s indexy nk a kn se vztahují k určitému úseku tyče.

Rozdělením tyče na prvky pomocí vzorců (8) sestavíme rovnice pro dynamickou rovnováhu uzlů. Tyto rovnice představují soustavu rovnic pro neznámé uzlové posunutí. Protože se odpovídající koeficienty získávají přesnou integrací, není délka úseků tyče omezena.

Řešením výsledné soustavy rovnic pro sestrojíme amplitudově-fázově-frekvenční charakteristiky pro úseky tyče, které nás zajímají. Tyto AFC lze považovat za grafický obraz jednosměrné Fourierovy transformace, která se při pulzních vlivech shoduje s Laplaceovou transformací. Protože všechny singulární body odpovídajících výrazů leží nalevo od imaginární osy, lze inverzní transformaci provést za předpokladu , tzn. pomocí zkonstruovaných AFC. Pomocný je úkol konstrukce AFC, kde se pole počátečních rychlostí násobené hustotou tyče jeví jako silové působení. Typicky jsou AFC konstruovány vlivem rušivých sil, poté je inverzní Laplaceova transformace provedena numerickou integrací nebo nějakou jinou metodou.

Jako jednoduchý příklad uvažujme přímou tyč délky l, která podélně naráží na tuhou překážku rychlostí V0 (obr. 1).

Určíme posunutí hrotů tyče po dopadu. Budeme předpokládat, že po dopadu zůstane kontakt mezi překážkou a tyčí, tzn. nedochází k odskoku tyče. Pokud je spojení neobsahující, pak lze problém považovat za po částech lineární. Kritériem pro přechod na jinou variantu řešení je změna znaménka rychlosti v místě dotyku.

V monografii Lavrentyeva M.A., Shabat B.V. vlnové řešení rovnice (4) je dáno:

a našel se jeho originál

, (9)

kde je funkce jednotkového kroku.

Jiný přístup k řešení tohoto problému lze provést frekvenční metodou popsanou v. V souvislosti s tímto problémem budeme mít:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Pojďme najít originál (11)

Vyřešme stejný problém pomocí frekvenční metody. Z rovnice rovnováhy 1. uzlu:

(12)

získáme vzorec pro pohyb konce tyče.

Nyní, pokud je zkušební tyč konstantního průřezu rozdělena na dva libovolné úseky délky l1 a l2 (viz obr. 1), pak podmínky rovnováhy pro uzly budou následující:

(13)

Výsledkem řešení systému (13) jsou grafy fázově-frekvenční odezvy pro posuny v 1. a 2. sekci (U1 a U2). Obraz pro posunutí hrany v uzavřeném tvaru, s přihlédnutím k disipaci energie, se tedy v případě (12) a (13) shoduje a má tvar:

. (14)

Zkontrolujeme shodu výsledků na konci prutu. Na Obr. Obrázek 2 ukazuje grafy řešení (10) při x = 10,1 a jako výsledek řešení systému (13). Jsou úplně stejné.

Diskrétní Fourierova transformace může být použita k získání přechodného procesu. Výsledek lze získat provedením numerické integrace při t=0... pomocí vzorce

. (15)

V AFC (viz obr. 2) se výrazně projevuje pouze jeden viditelný obrat. Proto je třeba vzít jeden termín série (15). Grafy na obrázku 3 ukazují, jak přesně se řešení (9) a řešení pro vibrační režimy (11) shodují s navrhovaným frekvenčním řešením. Chyba nepřesahuje 18 %. Výsledný nesoulad se vysvětluje skutečností, že řešení (9) a (11) neberou v úvahu ztrátu energie v materiálu tyče.

Rýže. 3. Přechodný proces na konci tyče; 1, 2, 3 - grafy sestrojené podle vzorců (9), (11), (15).

Jako složitější příklad uvažujme problém podélných kmitů stupňovité tyče (obr. 4) s břemenem na konci, narážejícího na tuhou překážku rychlostí V0, a ​​nechť hmotnost břemene je rovna hmotnosti sousední části tyče:.

Rýže. 4. Výpočtový diagram podélných kmitů stupňovité tyče se zátěží na konci

Uveďme charakteristické úseky 1,2,3 tyče, ve kterých budeme počítat posuvy. Vytvořme systém řešení rovnic:

(16)

Výsledkem řešení systému (16) jsou grafy fázově-frekvenční odezvy (obr. 5) pro posuny ve druhém a třetím úseku (U2() a U3(). Výpočty byly provedeny s následujícími konstantními hodnotami: l = 2 m; E = 2,1 x 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. V získaných AFC se výrazně projevují pouze dva viditelné obraty. Proto při konstrukci přechodového procesu ve vybraných úsecích bereme dva členy řady (16). Chcete-li to provést, musíte nejprve určit

Rýže. 5. AFC posuvů ve druhé a třetí sekci stupňovité tyče (viz obr. 4)

Proces přechodu je konstruován podobně pomocí vzorce (15).

Závěr: byla vyvinuta metoda pro výpočet podélných vibrací tyčí při nárazu na překážku.

Recenzenti:

Lebedev A.M., doktor technických věd, docent, profesor Uljanovské vyšší letecké školy (Institutu), Uljanovsk.

Antonets IV., doktor technických věd, profesor Uljanovské státní technické univerzity, Uljanovsk.

Bibliografický odkaz

Yuganova N.A. PODÉLNÉ VIBRACE TYČÍ PŘI NÁRAZU S TVRDOU PŘEKÁŽKOU // Moderní problémy vědy a vzdělávání. – 2014. – č. 2.;
URL: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (datum přístupu: 01/15/2020). Dáváme do pozornosti časopisy vydávané nakladatelstvím "Akademie přírodních věd"

Volné kmity soustav s distribuovanými parametry

Hlavní rys procesu volného kmitání soustav s nekonečným počtem stupňů volnosti je vyjádřen v nekonečnu počtu vlastních frekvencí a tvarů vidů. S tím jsou spojeny i matematické rysy: místo obyčejných diferenciálních rovnic, které popisují kmitání soustav s konečným počtem stupňů volnosti, se zde musíme zabývat parciálními diferenciálními rovnicemi. Kromě výchozích podmínek, které určují počáteční posuvy a rychlosti, je nutné vzít v úvahu také okrajové podmínky, které charakterizují fixaci systému.

6.1. Podélné kmitání tyčí

Při analýze podélných vibrací přímé tyče (obr. 67, a) budeme předpokládat, že průřezy zůstávají ploché a že částice tyče nevykonávají příčné pohyby, ale pohybují se pouze v podélném směru.

Nechat u - podélný pohyb proudového úseku tyče při vibracích; tento pohyb závisí na umístění řezu (souřadnice x) a na čase t. Existuje tedy funkce dvou proměnných; jeho definice představuje hlavní úkol. Posun nekonečně těsného řezu je roven , proto je absolutní prodloužení nekonečně malého prvku rovno (obr. 67, b) a jeho relativní prodloužení je .

Podle toho i podélná síla v řezu se souřadnicí X lze napsat jako

,(173)

kde je tuhost tyče v tahu (kompresi). Síla N je také funkcí dvou argumentů - souřadnic X a čas t.

Uvažujme tyčový prvek umístěný mezi dvěma nekonečně blízkými sekcemi (obr. 67, c). Síla N působí na levou stranu prvku a síla působí na pravou stranu. Označíme-li hustotu materiálu tyče, pak hmotnost příslušného prvku je . Proto pohybová rovnice v průmětu na osu X

,

Zvažovat(173)a přijímat A= konst, dostaneme

Podle Fourierovy metody hledáme konkrétní řešení diferenciální rovnice (175) ve tvaru

,(177)

těch. předpokládejme, že pohyb u může být reprezentován jako součin dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na argumentu X, a druhý pouze z argumentu t. Pak je nutné místo definování funkce dvou proměnných u (x, t) definovat dvě funkce X(x) a T(t), z nichž každá závisí pouze na jedné proměnné.

Dosazením (177) do (174) dostaneme

kde prvočísla označují operaci diferenciace s ohledem na X a po tečkách t. Přepišme tuto rovnici takto:

Zde levá strana závisí pouze na x a pravá strana pouze na t. Aby tato rovnost platila identicky (pro všechny X a t) je nutné, aby každá jeho část byla rovna konstantě, kterou značíme:

; .(178)

To vede ke dvěma rovnicím:

;.(179)

První rovnice má řešení:

,(180)

označující oscilační charakter a z (180) je zřejmé, že neznámá veličina má význam frekvence volných kmitů.

Druhá z rovnic (179) má řešení:

,(181)

určení tvaru vibrací.

Frekvenční rovnice, která určuje hodnotu, je sestavena pomocí okrajových podmínek. Tato rovnice je vždy transcendentální a má nekonečný počet kořenů. Počet vlastních frekvencí je tedy nekonečný a každé hodnotě frekvence odpovídá vlastní funkce T n (t), určená závislostí (180), a vlastní funkce Xn (x), určená závislostí (181). Řešení (177) je pouze částečné a neposkytuje úplný popis pohybu. Kompletní řešení se získá překrytím všech dílčích řešení:

.

Volají se funkce X n (x). vlastní funkce problémy a popsat své vlastní způsoby vibrace. Nejsou závislé na počátečních podmínkách a splňují podmínku ortogonality, která má pro A = const tvar

, Pokud .

Zvažme některé možnosti okrajových podmínek.

Pevný konec tyče(obr. 68, a). V koncové části musí být posunutí u nulové; z toho vyplývá, že v této části

X=0(182)

Volný konec tyče(obr. 68, b). Na koncovém úseku podélná síla

(183)

musí být shodně roven nule, což je možné, pokud je na koncovém úseku X"=0.

Pružný konec tyče(obr. 68, c).

Při pohybu u koncová tyč, dojde k elastické podpůrné reakci , kde C o je tuhost podpory. Vezmeme-li v úvahu (183) pro podélnou sílu, získáme okrajovou podmínku

pokud je podpěra umístěna na levém konci tyče (obr. 68, c), a

pokud je podpěra umístěna na pravém konci tyče (obr. 68, d).

Koncentrovaná hmota na konci tyče.

Setrvačná síla vyvinutá hmotou:

.

Protože podle první z rovnic (179) lze setrvační sílu zapsat ve tvaru . Dostaneme okrajovou podmínku

,

je-li hmota na levém konci (obr. 68, d), a

, (184)

pokud je hmota připojena k pravému konci (obr. 68, e).

Určíme vlastní frekvence konzolové tyče (obr. 68,a“).

Podle (182) a (183) okrajové podmínky

X=0 at x=0;

X" = 0 at x= .

Dosazením těchto podmínek jednu po druhé do řešení (181) získáme

Podmínka C0 vede k frekvenční rovnici:

Kořeny této rovnice

(n=1,2,…)

určit vlastní frekvence:

(n=1,2,…).(185)

První (nejnižší) frekvence při n=1:

.

Druhá frekvence (při n=2):

Určíme vlastní frekvence tyče s hmotou na konci (obr. 68, f).

Podle (182) a (184) máme

X=0 při x=0;

v x= .

Dosazením těchto podmínek do řešení (181) získáme:

D = 0; .

V důsledku toho má frekvenční rovnice při zohlednění (176) tvar

.

Zde pravá strana představuje poměr hmotnosti tyče k hmotnosti koncového zatížení.

K řešení výsledné transcendentální rovnice je nutné použít nějakou přibližnou metodu.

At a hodnoty nejdůležitějšího nejnižšího kořene budou 0,32 a 0,65.

Při malém poměru má rozhodující vliv zatížení a přibližné řešení dává dobré výsledky

.

Pro tyče proměnlivého průřezu, tzn. pro Аconst se z (173) a (174) dostane pohybová rovnice ve tvaru

.

Tuto diferenciální rovnici nelze řešit v uzavřené formě. Proto je v takových případech nutné sáhnout po přibližných metodách určování vlastních frekvencí.

6.2. Torzní kmity hřídelů

Torzní kmity hřídelů se spojitě rozloženou hmotou (obr. 69, a) jsou popsány rovnicemi, které se strukturou zcela shodují s výše uvedenými rovnicemi pro podélné kmitání tyčí.

Točivý moment M v řezu s úsečkou X souvisí s úhlem natočení diferenciální závislostí podobnou (173):

Kde Jp-polární moment setrvačnosti průřezu.

V části umístěné na dálku dx, točivý moment je roven (obr. 69, b):

Označující skrz (kde je hustota materiálu hřídele) intenzitu momentu setrvačnosti hmoty hřídele vzhledem k její ose (tj. moment setrvačnosti na jednotku délky), pohybovou rovnici elementárního řezu hřídele lze napsat následovně:

,

nebo podobné (174):

.

Nahrazení výrazu (186) zde, s Jp=const dostaneme, podobně jako (175):

, (187)

Obecné řešení rovnice (187), stejně jako rovnice (175), má tvar

,

(188)

Vlastní frekvence a vlastní funkce jsou určeny specifickými okrajovými podmínkami.

V hlavních případech upevnění konců, podobně jako v případě podélných vibrací, získáme

a) pevný konec (=0): X=0;

b) volný konec (M=0): X"=0;

PROTI) pružný levý konec: CoХ=GJpX "(Koeficient tuhosti);

G) pružný pravý konec: -CoX=GJpX ";

e) disk na levém konci: (Jo je moment setrvačnosti disku vzhledem k ose tyče);

e) disk na pravém konci: .

Pokud je hřídel upevněna na levém konci (x=0) a pravý konec (x=) je volný, pak X=0 v x=0 a X"=0 v x=; vlastní frekvence jsou určeny podobně jako ( 185):

(n=1,2,…).

Pokud je levý konec pevný a na pravém je disk, dostaneme transcendentální rovnici:

.

Pokud jsou oba konce hřídele pevné, pak budou okrajové podmínky X=0 pro x=0 a x=. V tomto případě z (188) získáme

těch.

(n=1,2,…),

odtud najdeme vlastní frekvence:

Pokud je levý konec hřídele volný a na pravém konci je disk, pak X"=0 pro x=0;Jo X=GJpX"pro x=.

Pomocí (188) najdeme

C=0; ,

nebo transcendentální frekvenční rovnice:

.

6.3. Ohybové kmitání nosníků

6.3.1 Základní rovnice

Z kurzu o pevnosti materiálů jsou známy diferenciální závislosti pro ohybové nosníky:

kde EJ je tuhost v ohybu; y=y (x, t) - průhyb; M=M(x, t) - ohybový moment; q je intenzita rozložené zátěže.

Spojením (189) a (190) dostaneme

.(191)

V problému volných vibrací jsou zatížením pro elastickou kostru rozložené setrvačné síly:

kde m je intenzita hmotnosti paprsku (hmotnost na jednotku délky) a rovnice (191) má tvar

.

Ve speciálním případě konstantního průřezu, kdy EJ = const, m = const, máme:

.(192)

K vyřešení rovnice (192) předpokládáme, jak je uvedeno výše,

y= X ( X)× T ( t).(193)

Dosazením (193) do (192) dojdeme k rovnici:

.

Aby byla tato rovnost splněna shodně, je nutné, aby každá z částí rovnosti byla konstantní. Označením této konstanty dostaneme dvě rovnice:

.(195)

První rovnice ukazuje, že pohyb je oscilační s frekvencí.

Druhá rovnice určuje tvar vibrací. Řešení rovnice (195) obsahuje čtyři konstanty a má tvar

Je vhodné použít variantu psaní obecného řešení navrženého A.N. Krylovem:

(198)

zastupují funkce A.N. Krylova.

Věnujme pozornost tomu, že S=1, T=U=V=0 v x=0. Funkce S,T,U,V jsou vzájemně propojeny následovně:

Proto se derivační výrazy (197) zapisují ve tvaru

(200)

V problémech uvažované třídy je počet vlastních frekvencí nekonečně velký; každý z nich má svou vlastní časovou funkci T n a svou vlastní základní funkci X n . Obecné řešení získáme uložením dílčích řešení tvaru (193)

.(201)

Pro určení vlastních frekvencí a vzorců je nutné uvažovat okrajové podmínky.

6.3.2. Hraniční podmínky

Pro každý konec pruhu můžete zadat dvě okrajové podmínky .

Volný konec tyče(obr. 70, a). Příčná síla Q=EJX""T a ohybový moment M=EJX""T se rovnají nule. Proto mají okrajové podmínky tvar

X""=0; X"""=0.(202)

Sklopný podepřený konec tyče(obr. 70, b). Průhyb y=XT a ohybový moment M=EJX""T se rovnají nule. Proto jsou okrajové podmínky:

X = 0; X""=0.(203)

Skřípnutý konec(obr. 70, c). Výchylka y=XT a úhel natočení se rovnají nule. Hraniční podmínky:

X = 0; X"=0. (204)

Na konci tyče je bodová hmota(Obr. 70, d). Jeho setrvačná síla lze zapsat pomocí rovnice (194) takto: ; musí se rovnat smykové síleQ=EJX"""T, takže okrajové podmínky mají tvar

; X""=0.(205)

V první podmínce se bere znaménko plus, když je bodové zatížení připojeno k levému konci tyče, a znaménko mínus, když je připojeno k pravému konci tyče. Druhá podmínka vyplývá z absence ohybového momentu.

Elasticky podepřený konec tyče(Obr. 70, d). Zde je ohybový moment nulový a příčná síla Q=EJX"""T se rovná reakci podpory (C o - koeficient tuhosti podpory).

Hraniční podmínky:

X""=0; (206)

(znaménko mínus se bere, když je elastická podpora vlevo, a znaménko plus, když je vpravo).

6.3.3. Frekvenční rovnice a vlastní tvary

Rozšířený záznam okrajových podmínek vede k homogenním rovnicím s ohledem na konstanty C 1, C 2, C 3, C 4.

Aby se tyto konstanty nerovnaly nule, musí být determinant tvořený koeficienty soustavy roven nule; to vede k frekvenční rovnici. Při těchto operacích se vyjasňují vztahy mezi C 1, C 2, C 3, C 4, tzn. jsou určeny přirozené režimy vibrací (až do konstantního faktoru).

Sledujme složení frekvenčních rovnic na příkladech.

Pro nosník s kloubovými konci podle (203) máme následující okrajové podmínky: X=0; X""=0 pro x=0 a x= . Pomocí (197)-(200) získáme z prvních dvou podmínek: C 1 =C 3 =0. Dvě zbývající podmínky lze zapsat jako

Aby se C 2 a C 4 nerovnaly nule, musí být determinant roven nule:

.

Frekvenční rovnice má tedy tvar

.

Dosazením výrazů T a U dostaneme

Protože je výsledná frekvenční rovnice zapsána takto:

. (207)

Kořeny této rovnice jsou:

,(n = 1,2,3,...).

Vezmeme-li v úvahu (196), získáme

.(208)

Přejděme k definování vlastních forem. Z výše napsaných homogenních rovnic vyplývá následující vztah mezi konstantami C 2 a C 4:

.

V důsledku toho má(197) formu

Podle (207) máme

,(209)

kde je nová konstanta, jejíž hodnota zůstává nejistá, dokud nejsou uvedeny počáteční podmínky.

6.3.4. Určení pohybu na základě počátečních podmínek

Pokud je nutné určit pohyb po počátečním narušení, je nutné uvést počáteční posuny i počáteční rychlosti pro všechny body paprsku:

(210)

a použít vlastnost ortogonality vlastních tvarů:

.

Obecné řešení (201) zapíšeme takto:

.(211)

Rychlost je dána

.(212)

Dosazením počátečních posuvů a rychlostí, o kterých se předpokládá, že jsou známé, do pravé strany rovnic (211) a (212) a do levé strany dostaneme

.

Vynásobením těchto výrazů a integrováním po celé délce máme

(213)

Nekonečné součty na pravé straně zmizely kvůli vlastnosti ortogonality. Od (213) postupujte podle vzorců pro konstanty a

(214)

Nyní je třeba tyto výsledky dosadit do řešení (211).

Znovu zdůrazněme, že volba měřítka vlastních tvarů není důležitá. Pokud například ve vyjádření vlastního tvaru (209) vezmeme místo toho hodnotu, která je krát větší, pak (214) dá výsledky, které jsou krát menší; po substituci do roztoku (211) se tyto rozdíly vzájemně kompenzují. Přesto často používají normalizované vlastní funkce, přičemž měřítko volí takové, že jmenovatelé výrazů (214) jsou rovni jedné, což zjednodušuje výrazy a .

6.3.5. Účinek konstantní podélné síly

Uvažujme případ, kdy na kmitající paprsek působí podélná síla N, jejíž velikost se během kmitání nemění. V tomto případě se rovnice statického ohybu zkomplikuje a nabude tvaru (za předpokladu, že tlaková síla je považována za kladnou)

.

Za předpokladu a uvažování konstanty tuhosti získáme rovnici volných vibrací

.(215)

Nadále přijímáme konkrétní řešení ve formuláři.

Potom se rovnice (215) rozdělí na dvě rovnice:

První rovnice vyjadřuje oscilační charakter řešení, druhá určuje tvar kmitů a také umožňuje najít frekvence. Přepišme to takto:

(216)

Kde K je určen vzorcem (196), a

Řešení rovnice (216) má tvar

Uvažujme případ, kdy oba konce tyče mají sklopné podpěry. Podmínky na levém konci dát . Splněním stejných podmínek na pravém konci dostáváme

Vynulováním determinantu složeného z koeficientů pro veličiny a dospějeme k rovnici

Kořeny této frekvenční rovnice jsou:

Proto se vlastní frekvence určí z rovnice

.

Odtud, s přihlédnutím k (217), nalézáme

.(219)

Při natažení se frekvence zvyšuje, při stlačení klesá. Když se tlaková síla N blíží kritické hodnotě, má kořen sklon k nule.

6.3.6. Účinek řetězových sil

Dříve byla podélná síla považována za danou a nezávislou na posuvech systému. V některých praktických problémech vzniká podélná síla doprovázející proces příčných vibrací v důsledku ohybu nosníku a má povahu podpěrné reakce. Uvažujme například nosník na dvou sklopných a pevných podpěrách. Když se ohýbá, dochází k horizontálním reakcím podpor, což způsobuje natažení nosníku; odpovídající horizontální síla se obvykle nazývá řetězová síla. Pokud paprsek kmitá příčně, síla řetězu se bude časem měnit.

Pokud v okamžiku t jsou průhyby nosníku určeny funkcí, pak lze prodloužení osy zjistit pomocí vzorce

.

Odpovídající řetězovou sílu najdeme pomocí Hookova zákona

.

Tento výsledek dosadíme do (215) místo podélné síly N (s přihlédnutím ke znaménku)

.(220)

Výsledný nelineární integrodiferenciální rovnice je zjednodušena pomocí substituce

,(221)

kde je bezrozměrná funkce času, jejíž maximální hodnotu lze nastavit rovnou libovolnému číslu, například jednotce; amplituda kmitů.

Dosazením (221) do (220) získáme obyčejnou diferenciální rovnici

,(222)

jehož koeficienty mají následující hodnoty:

;.

Diferenciální rovnice (222) je nelineární, proto frekvence volných kmitů závisí na jejich amplitudě.

Přesné řešení frekvence příčných vibrací má tvar

kde je frekvence příčných vibrací vypočtená bez zohlednění sil řetězu; korekční faktor v závislosti na poměru amplitudy kmitání k poloměru otáčení průřezu; hodnota je uvedena v referenční literatuře.

Když jsou amplituda a poloměr otáčení průřezu úměrné, korekce frekvence se stává významnou. Pokud je například amplituda vibrací kruhové tyče rovna jejímu průměru, pak , a frekvence je téměř dvakrát větší než v případě volného posunutí podpěr.

Pouzdro odpovídá nulové hodnotě poloměru setrvačnosti, kdy je ohybová tuhost nosníku mizivě malá - struna. Zároveň vzorec pro dává nejistotu. Odhalením této nejistoty získáme vzorec pro frekvenci vibrací struny

.

Tento vzorec platí pro případ, kdy je napětí v rovnovážné poloze nulové. Problém oscilací strun je často kladen za jiných předpokladů: má se za to, že posuny jsou malé a tažná síla je dána a zůstává během procesu oscilace nezměněna.

V tomto případě má vzorec pro frekvenci tvar

kde N je konstantní tahová síla.

6.4. Vliv viskózního tření

Dříve se předpokládalo, že materiál tyčí je dokonale elastický a nedochází k žádnému tření. Uvažujme vliv vnitřního tření za předpokladu, že je viskózní; pak vztah mezi napětím a deformací je popsán vztahy

;.(223)

Nechte tyč s rozloženými parametry vykonávat volné podélné vibrace. V tomto případě se do formuláře zapíše podélná síla

Z pohybové rovnice tyčového prvku byl získán vztah (174).

Dosazením (224) se dostaneme k hlavní diferenciální rovnici

,(225)

který se od (175) liší druhým členem, který vyjadřuje vliv viskózních třecích sil.

Podle Fourierovy metody hledáme řešení rovnice (225) ve tvaru

,(226)

kde funkce jsou pouze souřadnice x a funkce je pouze čas t.

V tomto případě musí každý člen řady splňovat okrajové podmínky úlohy a celý součet musí také splňovat počáteční podmínky. Dosazení (226) do (225) a požadavek, aby byla splněna rovnost pro libovolné číslo r, dostaneme

,(227)

kde prvočísla označují diferenciaci vzhledem k souřadnici X a body jsou diferenciace s ohledem na čas t.

Dělení (227) součinem , dostáváme se k rovnosti

,(228)

levá strana, která může záviset pouze na souřadnici X, a ten pravý - teprve od doby t. Aby byla rovnost (228) splněna shodně, je nutné, aby se obě části rovnaly téže konstantě, kterou označíme .

Z toho plynou rovnice

(229)

.(230)

Rovnice (229) nezávisí na viskozitním koeficientu K a zejména zůstává stejná v případě dokonale elastického systému, kdy . Proto se čísla zcela shodují s těmi, která byla dříve nalezena; jak však bude ukázáno níže, tato hodnota udává pouze přibližnou hodnotu vlastní frekvence. Všimněte si, že vlastní tvary jsou zcela nezávislé na viskózních vlastnostech tyče, tzn. formy volných tlumených kmitů se shodují s formami volných netlumených kmitů.

Nyní přejdeme k rovnici (230), která popisuje proces tlumených oscilací; jeho řešení má tvar

.(233)

Výraz (232) určuje rychlost poklesu a (233) určuje frekvenci oscilací.

Tedy úplné řešení rovnice problému

.(234)

Konstantní a lze je vždy nalézt na základě daných počátečních podmínek. Nechť jsou počáteční posuny a počáteční rychlosti všech částí tyče specifikovány takto:

;,(235)

kde a jsou známé funkce.

Pak pro , podle (211) a (212), máme

vynásobením obou stran těchto rovností a integrováním po celé délce tyče získáme

(236)

Podle podmínky ortogonality vlastních tvarů se všechny ostatní členy zahrnuté na pravé straně těchto rovností stávají nulou. Nyní z rovnosti (236) lze snadno najít libovolné číslo r.

Vzhledem k (232) a (234) poznamenáváme, že čím vyšší je číslo vibračního režimu, tím rychlejší je jeho tlumení. Kromě toho termíny obsažené v (234) popisují tlumené oscilace, pokud existuje reálné číslo. Z (233) je zřejmé, že k tomu dochází pouze pro několik počátečních hodnot r, pokud je splněna nerovnost

Pro dostatečně velké hodnoty r nerovnost (237) je porušena a kvantita se stává imaginární. V tomto případě odpovídající členy obecného řešení (234) již nebudou popisovat tlumené oscilace, ale budou představovat aperiodický tlumený pohyb. Jinými slovy, vibrace v obvyklém slova smyslu jsou vyjádřeny pouze určitou konečnou částí součtu (234).

Všechny tyto kvalitativní závěry platí nejen pro případ podélných vibrací, ale i pro případy torzních a ohybových vibrací.

6.5. Vibrace tyčí s proměnným průřezem

V případech, kdy je rozložená hmota a průřez tyče po její délce proměnlivé, místo podélné vibrační rovnice (175) by se mělo vycházet z rovnice

.(238)

Rovnice torzních vibrací (187) musí být nahrazena rovnicí

,(239)

a rovnice příčných vibrací (192) je rovnicí

.(240)

Rovnice (238)-(240) pomocí podobných substitucí ;;můžeme redukovat na obyčejné diferenciální rovnice pro funkci

MECHANIKA

MDT 531.01/534.112

PODÉLNÉ VIBRACE BALÍKU TYČÍ

DOPOLEDNE. Pavlov, A.N. Temnov

MSTU im. N.E. Bauman, Moskva, Ruská federace e-mail: [e-mail chráněný]; [e-mail chráněný]

V otázkách dynamiky raket na kapalná paliva hraje důležitou roli problém stability pohybu raket při podélných pružných kmitech. Objevení se takových oscilací může vést k ustavení vlastních oscilací, které, pokud je raketa nestabilní v podélném směru, může vést k její rychlé destrukci. Je formulován problém podélných kmitů obalové rakety, jako výpočtový model je použit balíček tyčí. Je akceptováno, že kapalina v raketových nádržích je „zmrzlá“, tzn. vlastní pohyby tekutiny se neberou v úvahu. Je formulován zákon celkové energetické bilance pro uvažovaný problém a je uvedena jeho operátorská formulace. Je uveden numerický příklad, pro který jsou určeny frekvence a tvary vlastních kmitů jsou konstruovány a analyzovány.

Klíčová slova: podélné vibrace, frekvence a tvar vibrací, svazek tyčí, zákon celkové energetické bilance, self-adjoint operátor, spektrum vibrací, POGO.

SYSTÉM TYČÍ PODÉLNÉ VIBRACE A.M. Pavlov, AL. Temnov

Bauman Moskevská státní technická univerzita, Moskva, Ruská federace e-mail: [e-mail chráněný]; [e-mail chráněný]

V otázkách dynamiky raket na kapalná paliva hraje u této rakety důležitou roli problém stability pohybu se vznikem podélných elastických vibrací. Výskyt vibrací tohoto druhu může vyvolat vlastní vibrace, které mohou způsobit rychlou destrukci rakety v případě nestability rakety v podélném směru. Problém podélných vibrací rakety na kapalné palivo na základě paketového schématu byl formulován s použitím obalových tyčí jako výpočtového modelu. Předpokládá se, že kapalina v nádržích raket je "zmrzlá", tzn. nejsou zahrnuty správné pohyby kapaliny. Pro tento problém byl formulován princip úspory energie a je uvedeno jeho operátorské nastavení. Existuje numerický příklad, pro který byly určeny frekvence, byly sestrojeny a analyzovány formy vlastních vibrací.

Klíčová slova: podélné vibrace, vlastní vidy a frekvence, tyčový model, princip zachování energie, samokloubový operátor, spektrum vibrací, POGO.

Úvod. V současné době se v Rusku a v zahraničí často používají nosné rakety s uspořádáním balíků s identickými bočními bloky rovnoměrně rozmístěnými kolem centrálního bloku k vynesení užitečného nákladu na požadovanou oběžnou dráhu.

Studium vibrací obalových struktur naráží na určité obtíže spojené s dynamickým působením bočních a středových bloků. V případě symetrie uspořádání nosné rakety lze složitou prostorovou interakci bloků konstrukce obalu rozdělit na konečný počet typů vibrací, z nichž jedním jsou podélné vibrace centrálního a bočního bloku. V práci je podrobně rozebrán matematický model podélných kmitů takové konstrukce ve formě svazku tenkostěnných tyčí. Rýže. 1. Schéma středo- Tento článek představuje teoretickou tyč a výpočtové výsledky podélníku

vibrace balíku tyčí, doplňující studii provedenou A.A. Škoda.

Formulace problému. Uvažujme další podélné vibrace balíku tyčí sestávajícího z centrální tyče délky l0 a N bočních tyčí stejné délky j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, upevněných v bodě A (xA = l) (obr. 1) s centrálními pružinovými prvky s tuhostí k.

Zaveďme pevnou vztažnou soustavu OX a předpokládejme, že tuhost tyčí EFj (x), rozložená hmotnost mj (x) a porucha q (x,t) jsou ohraničené funkce souřadnice x:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

Nechť při podélném kmitání vznikají v úsecích tyčí se souřadnicí x posuvy Uj (x, t) určené rovnicemi

mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2)

okrajové podmínky pro absenci normálových sil na koncích tyčí

3 = 0, x = 0, ^ = 1, 2,

0, x = 0, x = 10;

podmínky rovnosti normálových sil vznikajících v tyčích,

EF-3 = F x = l

elastické síly pružinových prvků

FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) =, x = xa;

podmínka rovnosti posuvů v bodě xa středové tyče

Shch (ha-o) = Shch (xa+o) a počáteční podmínky

Shch y (x, 0) - Shch (x); , _

u(x, 0) = u(x),

kde u(x, 0) = "d^1(x, 0).

Zákon celkové energetické bilance. Vynásobme rovnici (2) u(x,ξ), integrujme přes délku každé tyče a sečteme výsledky pomocí okrajových podmínek (3) a srovnávací podmínky (4). V důsledku toho dostáváme

(( 1 ^ [ (diL 2

TZ (x) "BT" (x+

dt | 2 ^ J 3 w V dt

N x „ h 2 .. N „ i.

1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj

1 N /* i dpl 2 1 N fl j

EF3 dx +2^Уо И (x - -) (ne - Uj)2 dx

= / ^ (x, £) jim y (x, £) (x, (6)

kde 8 (x - ¡y) je Diracova delta funkce. V rovnici (6) první člen ve složených závorkách představuje kinetickou energii T (¿) systému, druhý je potenciální energie Pr (£), způsobená deformací tyčí, a třetí je potenciální energie. Pk (£) pružinových prvků, které za přítomnosti pružných deformací tyče mohou být zapsány ve tvaru

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu.

Rovnice (6) ukazuje, že změna celkové energie za jednotku času uvažovaného mechanického systému se rovná výkonu

vnější vliv. Při absenci vnější poruchy q (x,t) získáme zákon zachování celkové energie:

T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0).

Kinematografie. Zákon energetické bilance ukazuje, že pro jakýkoli čas t lze funkce Uj (x, t) považovat za prvky Hilbertova prostoru L2j(; m3 (x)), definovaného na délce ¡i skalárním součinem.

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

a odpovídající normu.

Zaveďme Hilbertův prostor H rovný ortogonálnímu součtu L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, vektorovou funkci U = (uo, Ui,..., uN)т a operátor A působící v prostor H podle vztahu

AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun).

mj(x)dx\jdx"

operátory definované na

nastavte B (A33) С Н funkcí splňujících podmínky (3) a (4).

Do formuláře se zapíše původní úloha (1)-(5) spolu s počátečními podmínkami

Au = f (*), u (0) = u0, 17(0) = u1, (7)

kde f (*) = (k (*), 51 (*),..., Yam (¿))t.

Lemma. 1. Jsou-li splněny první dvě podmínky (1), pak operátor A v evoluční úloze (7) je neomezený, samoadjungovaný, pozitivně definitní operátor v prostoru H

(Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i.

2. Operátor A generuje energetický prostor NA s normou rovnou dvojnásobku potenciální energie kmitů svazku tyčí.

3\^I h)2 = 2П > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa)) v-(x) dx=... =

EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x)

J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x)

+ ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x)

J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0

EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) +

J EF- (x) u- (x) v- (x) dx = J EFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o

O(xa)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx +

S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H

Z výše uvedených výsledků vyplývá, že energetická norma operátoru A je vyjádřena vzorcem (8).

Řešitelnost evolučního problému. Formulujme následující větu.

Věta 1. Nechť jsou splněny podmínky

U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H),

pak úloha (7) má jedinečné slabé řešení U (t) na intervalu definovaném vzorcem

U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 v nepřítomnosti vnější poruchy f (£), zákon zachování energie je splněn

1 II A 1/2UИ2 = 1

1 II A1/2U 0|H.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

Přirozené vibrace balíku tyčí. Předpokládejme, že na tyčovou soustavu nemá pole vnějších sil vliv: f (t) = 0. V tomto případě budeme pohyby tyčí nazývat volné. Volné pohyby tyčí v závislosti na čase t podle zákona exp (iwt) budeme nazývat přirozené vibrace. Vezmeme-li U (x, t) = U (x) eiWÍ v rovnici (7), získáme spektrální úlohu pro operátor A:

AU - AEU = 0, L = w2. (9)

Vlastnosti operátoru A nám umožňují formulovat větu o spektru a vlastnostech vlastních funkcí.

Věta 2. Spektrální problém (9) o přirozených vibracích balíku tyčí má diskrétní kladné spektrum

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

a systém vlastních funkcí (Uk (x))^=0, úplných a ortogonálních v prostorech H a HA, a jsou splněny následující vzorce ortogonality:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(Uk= £/T^) d*+

K („feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i

Studium spektrálního problému v případě homogenního svazku tyčinek. Prezentujeme-li funkci posunutí m- (x, £) ve tvaru m- (x, £) = m- (x), po oddělení proměnných získáme spektrální úlohy pro každou tyč:

^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

které zapisujeme v maticovém tvaru

4 £ + Li = 0,

A = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t «

u = (u0, u1, u2,..., u«)t.

Řešení a analýza získaných výsledků. Označme funkce posunutí pro centrální tyč v řezu jako u01 a v řezu jako u02 (g). V tomto případě pro funkci u02 posuneme počátek souřadnic do bodu se souřadnicí /. Pro každou tyč uvádíme řešení rovnice (10) ve tvaru

K nalezení neznámých konstant v (11) použijeme okrajové podmínky formulované výše. Z homogenních okrajových podmínek je možné určit některé konstanty, a to:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN2 = 0.

Ve výsledku zbývá najít N + 3 konstanty: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. K tomu řešíme N + 3 rovnic pro N + 3 neznámých.

Výslednou soustavu zapišme v maticovém tvaru: (A) (C) = (0) . Zde (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t je vektor neznámých; (A) - charakteristická matice,

cos (A1) EF0 A sin (A1) +

L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000 y

a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2 ^;

7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0.

Abychom našli netriviální řešení, vezmeme jako proměnnou konstantu C01 € M. Máme dvě možnosti: C01 = 0; C01 = 0.

Nechť C01 = 0, pak C03 = C04 = 0. V tomto případě lze získat netriviální řešení, pokud 7 = 0 z (12), když je splněna dodatečná podmínka

£ s-1 = 0, (13)

kterou lze získat ze třetí rovnice soustavy (12). Výsledkem je jednoduchá frekvenční rovnice

EP (A"1 L) 1/2 W ((A"1^1/2 P +

zz \V zz

K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G ,

shoduje se s frekvenční rovnicí pro tyč pružně upevněnou na jednom konci, kterou lze považovat za první dílčí systém.

V tomto případě lze všechny možné kombinace pohybů bočních tyčí, které splňují podmínku (13), podmíněně rozdělit do skupin odpovídajících různým kombinacím fází (v posuzovaném případě je fáze určena znakem C.d). Pokud předpokládáme, že boční tyče jsou identické, pak máme dvě možnosti:

1) Сд = 0, pak počet takových kombinací n pro různé N lze vypočítat pomocí vzorce n = N 2, kde je dělicí funkce beze zbytku;

2) kterákoli (nebo jakákoli) z konstant C- je rovna 0, pak se počet možných kombinací zvyšuje a lze je určit podle vzorce

£ [(N - m) div 2].

Nechť Coi = 0, pak Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), kde in a y jsou komplexy zahrnuté v (12). Ze systému (12) také máme: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), tzn. všechny konstanty jsou vyjádřeny pomocí C01. Frekvenční rovnice má tvar

EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) -

K2 cos | í a!-,1 L

Jako příklad uvažujme systém se čtyřmi bočními lištami. Kromě výše popsané metody můžete v tomto příkladu zapsat frekvenční rovnici pro celý systém tak, že spočítáte determinant matice A a přirovnáte jej k nule. Podívejme se na to

Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+

L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) -

4av3L cos (L(/0 - /)) = 0.

Grafy transcendentálních frekvenčních rovnic pro výše uvažované případy jsou uvedeny na Obr. 2. Následující údaje byly brány jako výchozí údaje: EF = 2 109 N; EF0 = 2,2109 N; k = 7107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /о = 33 m. Níže jsou uvedeny hodnoty prvních tří frekvencí kmitání uvažovaného obvodu:

n.................................................

a rád/a ................................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

Rýže. 2. Grafy transcendentálních frekvenčních rovnic pro Coi = 0 (i) a Coi = 0 (2)

Uveďme vibrační režimy odpovídající získaným řešením (obecně nejsou vibrační režimy normalizovány). Formy vibrací odpovídající první, druhé, třetí, čtvrté, 13 a 14 frekvenci jsou znázorněny na Obr. 3. Při první vibrační frekvenci vibrují boční tyče stejného tvaru, ale v párech v protifázi

Obr.3. Formy kmitání bočních (1) a středových (2) tyčí, odpovídající první V = 3,20 Hz (a), druhé V = 5,02 Hz (b), třetí V = 10,11 Hz (c), čtvrté V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) a 14. V = 50,88 Hz (f) frekvence

(obr. 3, a), s druhou, centrální tyč kmitá a boční kmitá ve fázi ve stejném tvaru (obr. 3, b). Je třeba poznamenat, že první a druhá vibrační frekvence uvažovaného tyčového systému odpovídají vibracím systému sestávajícího z pevných těles.

Když systém kmitá s třetí vlastní frekvencí, poprvé se objeví uzly (obr. 3c). Třetí a následující frekvence (obr. 3d) odpovídají elastickým vibracím systému. Se zvýšením frekvence vibrací, spojeném s poklesem vlivu pružných prvků, bývají frekvence a tvary vibrací částečné (obr. 3, e, f).

Křivky funkcí, jejichž průsečíky s osou x jsou řešením transcendentálních rovnic, jsou uvedeny na Obr. 4. Podle obrázku se vlastní frekvence kmitů soustavy nacházejí v blízkosti dílčích frekvencí. Jak bylo uvedeno výše, s rostoucí frekvencí se zvyšuje konvergence vlastních frekvencí s dílčími. V důsledku toho jsou frekvence, na kterých celý systém kmitá, konvenčně rozděleny do dvou skupin: frekvence blízké dílčím frekvencím boční tyče a frekvence blízké dílčím frekvencím centrální tyče.

Závěry. Je zvažován problém podélných vibrací balíku tyčí. Jsou popsány vlastnosti kladeného okrajového problému a spektrum jeho vlastních čísel. Je navrženo řešení spektrálního problému pro libovolný počet homogenních bočních tyčí. Pro numerický příklad jsou nalezeny hodnoty prvních oscilačních frekvencí a jsou sestrojeny odpovídající tvary. Byly také odhaleny některé charakteristické vlastnosti konstruovaných vibračních režimů.

Rýže. 4. Křivky funkcí, jejichž průsečíky s osou úsečky jsou řešením transcendentálních rovnic, pro CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) se shodují s prvním dílčím systémem (boční tyč upevněná k pružné prvek v bodě x = I) a druhý dílčí systém (5) (středová tyč upevněná ke čtyřem pružným prvkům v bodě A)

LITERATURA

1. Kolesnikov K.S. Dynamika raket. M.: Strojírenství, 2003. 520 s.

2. Balistické rakety a nosné rakety / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin a kol., M.: Drop, 2004. 511 s.

3. Rabinovič B.I. Úvod do dynamiky nosných raket kosmických lodí. M.: Strojírenství, 1974. 396 s.

4. Parametrická studie o stabilitě raket na kapalinu POGO / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Sv. 48.Je. 3. str. 537-541.

5. Balakirev Yu.G. Metody analýzy podélných vibrací nosných raket na kapalný pohon // Kosmonautika a raketová věda. 1995. č. 5. S. 50-58.

6. Balakirev Yu.G. Vlastnosti matematického modelu kapalné rakety dávkového uspořádání jako řídicího objektu // Vybrané problémy pevnosti moderního strojírenství. 2008. s. 43-55.

7. Dokučajev L.V. Zlepšení metod pro studium dynamiky nosné rakety s přihlédnutím k jejich symetrii // Kosmonautika a raketová věda. 2005. č. 2. S. 112-121.

8. Pozhalostin A.A. Vývoj přibližných analytických metod pro výpočet vlastních a vynucených kmitů pružných skořepin s kapalinou: dis. ... Dr. Tech. Sci. M., 2005. 220 s.

9. Jeřáb S.G. Lineární diferenciální rovnice v Banachových prostorech. M.: Nauka, 1967. 464 s.

10. Kopachevsky I.D. Operátorové metody matematické fyziky. Simferopol: LLC "Forma", 2008. 140 s.

Kolesnikov K.S. Dinamika raketa. Moskva, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 s.

Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., ed. Ballisticheskie rakety a rakety-nositeli. Moskva, Drofa Publ., 2003. 511 s.

Rabinovič B.I. Vvedenie v dynamice raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Moskva, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 s.

Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Parametrická studie o stabilitě POGO rakety na kapalné palivo. J. Spacecraft and Rockets, 2011, roč. 48, iss. 3, str. 537-541.

Balakirev Yu.G. Metody analýzy podélných vibrací nosných raket s motorem na kapalnou pohonnou hmotu. Kosm. i raketostr. , 1995, no. 5, str. 50-58 (v Rusku).

Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki jak ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moskva, Fizmatlit Publ., 2008. 204 s. (citováno s. 4355).

Dokučajev L.V. Zlepšení metod pro studium dynamiky seskupených nosných raket s ohledem na jejich symetrii. Kosm. i raketostr. , 2005, no. 2, str. 112-121 (v Rusku).

Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. techhn. nauk .

Kreyn S.G. Lineynye Differentsial"nye uravneniya v Banachovykh prostranstvakh. Moskva, Nauka Publ., 1967. 464 s. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 s.

Článek obdržela redakce 28. dubna 2014

Pavlov Arsenij Michajlovič - student katedry kosmických lodí a nosných raket na MSTU. N.E. Bauman. Specializuje se na oblast raketové a kosmické techniky.

MSTU im. N.E. Baumash, Ruská federace, 105005, Moskva, 2. ulice Baumanskaja, 5.

Pavlov A.M. - student katedry "Spacecrafts and Launch Vehicles" Baumanovy moskevské státní technické univerzity. Specialista v oblasti raketové a kosmické techniky. Bauman Moskevská státní technická univerzita, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskva, 105005 Ruská federace.

Temnov Alexander Nikolajevič - Ph.D. fyzika a matematika věd, docent katedry kosmických lodí a nosných raket Moskevské státní technické univerzity. N.E. Bauman. Autor více než 20 vědeckých prací v oblasti mechaniky tekutin a plynů a raketové a kosmické techniky. MSTU im. N.E. Baumash, Ruská federace, 105005, Moskva, 2. ulice Baumanskaja, 5.

Temnov A.N. - Cand. Sci. (fyz.-matematika), doc. profesor katedry "Spacecrafts and Launch Vehicles" Baumanovy moskevské státní technické univerzity. Autor více než 20 publikací v oboru mechaniky tekutin a plynů a raketové a kosmické techniky.

Bauman Moskevská státní technická univerzita, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskva, 105005 Ruská federace.

> Podélné vlny

Naučte se šíření, směr a rychlost podélná vlna: co jsou to podélné vlny, jak se šíří, příklady a kmitání, jak vznikají, graf.

Někdy se podélné vlny nazývají kompresní vlny. Kolísají ve směru šíření.

Cíl učení

• Identifikujte vlastnosti a příklady typu podélných vln.

Hlavní body

• Kmity podélných vln se vyskytují ve směru šíření, ale jsou příliš malé a mají rovnovážné polohy, takže nevytlačují hmotu.
• Tento typ lze považovat za impulsy, které přenášejí energii podél osy šíření.
• Mohou být také vnímány jako tlakové vlny s charakteristickou kompresí a řídnutím.

Podmínky

• Vzácnost je snížení hustoty materiálu (především kapaliny).
• Podélné - ve směru délky osy.
• Komprese – zvýšení hustoty.

Příklad

Jaké vlny jsou podélné? Nejlepším příkladem je zvuková vlna. Obsahuje impulsy vyplývající ze stlačování vzduchu.

Podélné vlny

Ve směru vibrací se podélné vlny shodují se směrem pohybu. To znamená, že pohyb média je umístěn ve stejném směru jako pohyb vln. Některé podélné vlny se také nazývají kompresní vlny. Pokud chcete experimentovat, stačí si koupit hračku Slinky (pružinu) a držet ji na obou koncích. V okamžiku stlačení a oslabení se impuls posune ke konci.

Stlačený Slinky je příkladem podélné vlny. Šíří se stejným směrem jako vibrace

Podélné (stejně jako příčné) nevytlačují hmotu. Rozdíl je v tom, že každá částice v médiu, kterým se šíří podélná vlna, bude kmitat podél osy šíření. Pokud si myslíte o Slinky, cívky oscilují v bodech, ale nebudou se pohybovat po délce pružiny. Nezapomeňte, že se sem nedopravuje hmota, ale energie ve formě hybnosti.

V některých případech takové vlny působí jako tlakové vlny. Pozoruhodným příkladem je zvuk. Vznikají stlačením média (nejčastěji vzduchu). Podélné zvukové vlny jsou střídavé tlakové odchylky od vyváženého tlaku, což vede k místním oblastem komprese a zředění.

Hmota v médiu je periodicky vytlačována zvukovou vlnou a osciluje. Chcete-li vytvořit zvuk, musíte stlačit částice vzduchu na určité množství. Tak vznikají příčné vlny. Uši citlivě reagují na různé tlaky a převádějí vlny do tónů.