Sčítání zlomků s neznámými jmenovateli. Odečtení správného zlomku od celého čísla

Přineslo vaše dítě ze školy domácí úkol a vy si nevíte rady s jeho řešením? Pak je tato mini lekce právě pro vás!

Jak přidat desetinná místa

Je vhodnější přidat desetinné zlomky do sloupce. Chcete-li přidat desetinná místa, musíte dodržovat jedno jednoduché pravidlo:

• Místo musí být pod místem, čárka pod čárkou.

Jak vidíte na příkladu, celé jednotky jsou umístěny pod sebou, desetinné a setinové číslice jsou umístěny pod sebou. Nyní sečteme čísla, čárku ignorujeme. Co dělat s čárkou? Čárka se přesune na místo, kde stála v celočíselné kategorii.

Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli

Chcete-li provést sčítání se společným jmenovatelem, musíte ponechat jmenovatele nezměněný, najít součet čitatelů a získat zlomek, který bude celkovým součtem.

Sčítání zlomků s různými jmenovateli pomocí metody společného násobku

První věc, kterou musíte věnovat pozornost, jsou jmenovatelé. Jmenovatelé jsou různí, ať už je jeden dělitelný druhým, nebo jde o prvočísla. Nejprve to musíme přivést k jednomu společnému jmenovateli; existuje několik způsobů, jak to udělat:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, k vyřešení tohoto příkladu potřebujeme najít nejmenší společný násobek (LCM), který bude dělitelný 2 jmenovateli. K označení nejmenšího násobku aab – LCM (a;b). V tomto příkladu LCM (3;4) = 12. Kontrolujeme: 12:3=4; 12:4=3.
• Faktory vynásobíme a výsledná čísla sečteme, dostaneme 13/12 - nevlastní zlomek.

• Abychom převedli nevlastní zlomek na vlastní, vydělme čitatele jmenovatelem, dostaneme celé číslo 1, zbytek 1 je čitatel a 12 je jmenovatel.

Sčítání zlomků metodou křížového násobení

Chcete-li sečíst zlomky s různými jmenovateli, existuje další metoda využívající vzorec „cross to cross“. Jde o zaručený způsob, jak vyrovnat jmenovatele, k tomu je potřeba vynásobit čitatele jmenovatelem jednoho zlomku a naopak. Pokud jste teprve v počáteční fázi učení zlomků, pak je tato metoda nejjednodušší a nejpřesnější způsob, jak získat správný výsledek při sčítání zlomků s různými jmenovateli.

Tato lekce se bude zabývat sčítáním a odčítáním algebraických zlomků s různými jmenovateli. Už víme, jak sčítat a odčítat běžné zlomky s různými jmenovateli. K tomu je třeba zlomky zredukovat na společného jmenovatele. Ukazuje se, že algebraické zlomky se řídí stejnými pravidly. Přitom už víme, jak redukovat algebraické zlomky na společného jmenovatele. Sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli je jedním z nejdůležitějších a nejobtížnějších témat kurzu pro 8. ročník. Navíc se toto téma objeví v mnoha tématech v kurzu algebry, který budete v budoucnu studovat. V rámci lekce si prostudujeme pravidla pro sčítání a odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli a také rozebereme řadu typických příkladů.

Podívejme se na nejjednodušší příklad pro obyčejné zlomky.

Příklad 1. Přidejte zlomky: .

Řešení:

Připomeňme si pravidlo pro sčítání zlomků. Pro začátek je třeba zlomky zredukovat na společného jmenovatele. Společným jmenovatelem obyčejných zlomků je nejmenší společný násobek(LCM) původních jmenovatelů.

Definice

Nejmenší přirozené číslo, které je dělitelné jak čísly, tak .

Chcete-li najít LCM, musíte rozdělit jmenovatele na prvočinitele a poté vybrat všechny prvočísla, které jsou zahrnuty v rozšíření obou jmenovatelů.

; . Potom LCM čísel musí obsahovat dvě dvojky a dvě trojky: .

Po nalezení společného jmenovatele musíte pro každý zlomek najít další faktor (ve skutečnosti vydělte společného jmenovatele jmenovatelem odpovídajícího zlomku).

Každý zlomek se pak vynásobí výsledným dodatečným faktorem. Dostáváme zlomky se stejnými jmenovateli, které jsme se naučili sčítat a odčítat v předchozích lekcích.

Dostaneme: .

Odpovědět:.

Podívejme se nyní na sčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli. Nejprve se podívejme na zlomky, jejichž jmenovateli jsou čísla.

Příklad 2 Přidejte zlomky: .

Řešení:

Algoritmus řešení je naprosto podobný předchozímu příkladu. Je snadné najít společného jmenovatele těchto zlomků: a další faktory pro každý z nich.

.

Odpovědět:.

Pojďme tedy formulovat algoritmus pro sčítání a odčítání algebraických zlomků s různými jmenovateli:

1. Najděte nejnižšího společného jmenovatele zlomků.

2. Najděte další faktory pro každý ze zlomků (vydělením společného jmenovatele jmenovatelem daného zlomku).

3. Vynásobte čitatele odpovídajícími dalšími faktory.

4. Sečtěte nebo odečtěte zlomky pomocí pravidel pro sčítání a odčítání zlomků s podobnými jmenovateli.

Uvažujme nyní příklad se zlomky, jejichž jmenovatel obsahuje písmenné výrazy.

Příklad 3 Přidejte zlomky: .

Řešení:

Vzhledem k tomu, že výrazy písmen v obou jmenovatelích jsou stejné, měli byste pro čísla najít společného jmenovatele. Konečný společný jmenovatel bude vypadat takto: . Řešení tohoto příkladu tedy vypadá takto:.

Odpovědět:.

Příklad 4. Odečtěte zlomky: .

Řešení:

Pokud nemůžete při volbě společného jmenovatele „ošelit“ (nemůžete jej faktorizovat ani použít zkrácené vzorce pro násobení), musíte jako společný jmenovatel vzít součin jmenovatelů obou zlomků.

Odpovědět:.

Obecně platí, že při řešení takových příkladů je nejtěžší úkol najít společného jmenovatele.

Podívejme se na složitější příklad.

Příklad 5. Zjednodušte: .

Řešení:

Při hledání společného jmenovatele se musíte nejprve pokusit rozdělit jmenovatele původních zlomků (pro zjednodušení společného jmenovatele).

V tomto konkrétním případě:

Pak je snadné určit společného jmenovatele: .

Zjistíme další faktory a vyřešíme tento příklad:

Odpovědět:.

Nyní stanovíme pravidla pro sčítání a odčítání zlomků s různými jmenovateli.

Příklad 6. Zjednodušte: .

Řešení:

Odpovědět:.

Příklad 7. Zjednodušte: .

Řešení:

.

Odpovědět:.

Uvažujme nyní příklad, ve kterém se nesčítají dva, ale tři zlomky (ostatně pravidla sčítání a odčítání pro větší počet zlomků zůstávají stejná).

Příklad 8. Zjednodušte: .

Akce se zlomky.

Pozornost!
Existují další
materiály ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou velmi "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc…“)

Takže, co jsou zlomky, typy zlomků, transformace - pamatovali jsme si. Pojďme k hlavnímu problému.

Co můžete dělat se zlomky? Ano, vše je stejné jako u běžných čísel. Sčítat, odečítat, násobit, dělit.

Všechny tyto akce s desetinný práce se zlomky se neliší od práce s celými čísly. Vlastně to je to, co je na nich dobré, desetinné. Jediná věc je, že musíte správně zadat čárku.

Smíšená čísla, jak jsem již řekl, jsou pro většinu akcí málo použitelné. Je třeba je ještě převést na obyčejné zlomky.

Ale akce s obyčejné zlomky budou mazanější. A mnohem důležitější! Dovolte mi připomenout: všechny akce se zlomkovými výrazy s písmeny, siny, neznámými atd. a tak dále se neliší od akcí s běžnými zlomky! Operace s obyčejnými zlomky jsou základem pro celou algebru. Z tohoto důvodu zde budeme celou tuto aritmetiku velmi podrobně analyzovat.

Sčítání a odčítání zlomků.

Každý může sčítat (odečítat) zlomky se stejnými jmenovateli (opravdu doufám!). No a těm úplně zapomnětlivým připomenu: při sčítání (odčítání) se jmenovatel nemění. Čitatele se sečtou (odečtou) a získá se čitatel výsledku. Typ:

Stručně řečeno, obecně:

Co když se jmenovatelé liší? Potom pomocí základní vlastnosti zlomku (tady se to opět hodí!) uděláme jmenovatele stejné! Například:

Zde jsme museli udělat zlomek 4/10 ze zlomku 2/5. Pouze za účelem, aby byly jmenovatele stejné. Dovolím si pro jistotu poznamenat, že 2/5 a 4/10 jsou stejný zlomek! Pouze 2/5 jsou pro nás nepříjemné a 4/10 jsou opravdu v pořádku.

Mimochodem, to je podstata řešení jakýchkoli matematických úloh. Když jsme od nepříjemný děláme výrazy totéž, ale pohodlnější pro řešení.

Další příklad:

Situace je podobná. Zde uděláme 48 z 16. Prostým vynásobením 3. To je vše jasné. Ale narazili jsme na něco takového:

Jak být?! Ze sedmičky je těžké udělat devítku! Ale my jsme chytří, známe pravidla! Pojďme se transformovat každý zlomek tak, aby jmenovatelé byli stejní. Tomu se říká „redukovat na společného jmenovatele“:

Páni! Jak jsem věděl o 63? Velmi jednoduché! 63 je číslo, které je zároveň dělitelné 7 a 9. Takové číslo lze vždy získat vynásobením jmenovatelů. Vynásobíme-li číslo např. 7, pak bude výsledek jistě dělitelný 7!

Pokud potřebujete sečíst (odečíst) několik zlomků, není třeba to dělat ve dvojicích, krok za krokem. Stačí najít jmenovatele společného pro všechny zlomky a zredukovat každý zlomek na stejného jmenovatele. Například:

A co bude společným jmenovatelem? Můžete samozřejmě vynásobit 2, 4, 8 a 16. Dostaneme 1024. Noční můra. Je snazší odhadnout, že číslo 16 je dokonale dělitelné 2, 4 a 8. Z těchto čísel tedy snadno dostanete 16. Toto číslo bude společným jmenovatelem. Proměňme 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 a tak dále.

Mimochodem, vezmete-li za společného jmenovatele 1024, vše vyjde, nakonec se vše sníží. Ale ne každý se k tomu dostane, kvůli výpočtům...

Doplňte příklad sami. Ne nějaký logaritmus... Mělo by to být 29/16.

Takže sčítání (odčítání) zlomků je doufám jasné? Samozřejmě je jednodušší pracovat ve zkrácené verzi, s dalšími násobiči. Ale toto potěšení mají ti, kteří poctivě pracovali v nižších ročnících... A na nic nezapomněli.

A teď uděláme stejné akce, ale ne se zlomky, ale s zlomkové výrazy. Tady bude odhalen nový hrábě, ano...

Musíme tedy přidat dva zlomkové výrazy:

Musíme udělat stejné jmenovatele. A jen s pomocí násobení! To je to, co určuje hlavní vlastnost zlomku. Nemohu tedy přidat jedničku k X v prvním zlomku ve jmenovateli. (to by bylo hezké!). Ale když vynásobíte jmenovatele, vidíte, všechno roste dohromady! Zapíšeme si tedy řádek zlomku, nahoře necháme prázdné místo, pak jej sečteme a zapíšeme součin jmenovatelů níže, abychom nezapomněli:

A samozřejmě nic nenásobíme na pravé straně, neotvíráme závorky! A nyní, když se podíváme na společného jmenovatele na pravé straně, uvědomíme si: abyste získali jmenovatele x(x+1) v prvním zlomku, musíte vynásobit čitatele a jmenovatele tohoto zlomku (x+1) . A ve druhém zlomku - na x. Získáte toto:

Poznámka! Tady jsou závorky! To jsou hrábě, na které šlape mnoho lidí. Ne závorky, samozřejmě, ale jejich absence. Závorky se objevují, protože násobíme Všechnočitatel a Všechno jmenovatel! A ne jejich jednotlivé kusy...

V čitateli pravé strany zapíšeme součet čitatelů, vše je jako v číselných zlomcích, poté otevřeme závorky v čitateli pravé strany, tzn. Vše množíme a dáváme podobné. Není potřeba otevírat závorky ve jmenovatelích ani nic násobit! Obecně platí, že ve jmenovatelích (jakýchkoli) je produkt vždy příjemnější! Dostaneme:

Tak jsme dostali odpověď. Proces se zdá dlouhý a obtížný, ale záleží na praxi. Jakmile vyřešíte příklady, zvyknete si na to, vše se zjednoduší. Ti, kteří zvládli zlomky včas, dělají všechny tyto operace jednou levou rukou, automaticky!

A ještě jedna poznámka. Mnozí chytře zacházejí se zlomky, ale zaseknou se u příkladů Celýčísla. Jako: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kam upevnit dvojdíl? Nemusíte to nikam připevňovat, musíte udělat zlomek ze dvou. Není to snadné, ale velmi jednoduché! 2=2/1. Takhle. Jakékoli celé číslo lze zapsat jako zlomek. Čitatel je samotné číslo, jmenovatel je jedna. 7 je 7/1, 3 je 3/1 a tak dále. Stejné je to s písmeny. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 atd. A pak s těmito zlomky pracujeme podle všech pravidel.

No osvěžila se znalost sčítání a odčítání zlomků. Převádění zlomků z jednoho typu na druhý byl opakován. Můžete se také nechat zkontrolovat. Urovnáme to trochu?)

Vypočítat:

Odpovědi (v nepořádku):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Násobení/dělení zlomků - v další lekci. Nechybí ani úlohy pro všechny operace se zlomky.

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Pojďme se učit - se zájmem!)

Můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Obsah lekce

Sčítání zlomků s podobnými jmenovateli

Existují dva typy přidávání zlomků:

1. Sčítání zlomků s podobnými jmenovateli
2. Sčítání zlomků s různými jmenovateli

Nejprve se naučme sčítání zlomků s podobnými jmenovateli. Všechno je zde jednoduché. Chcete-li přidat zlomky se stejnými jmenovateli, musíte přidat jejich čitatele a ponechat jmenovatele beze změny. Sečteme například zlomky a . Přidejte čitatele a ponechte jmenovatele beze změny:

Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na čtyři části. Pokud k pizze přidáte pizzu, získáte pizzu:

Příklad 2 Přidejte zlomky a .

Odpověď se ukázala jako nesprávný zlomek. Když přijde konec úkolu, je zvykem zbavit se nesprávných zlomků. Abyste se zbavili nevhodného zlomku, musíte vybrat jeho celou část. V našem případě je celá část snadno izolovaná - dvě dělené dvěma se rovnají jedné:

Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na dvě části. Pokud k pizze přidáte více pizzy, získáte jednu celou pizzu:

Příklad 3. Přidejte zlomky a .

Opět sečteme čitatele a jmenovatele necháme beze změny:

Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na tři části. Pokud k pizze přidáte více pizzy, získáte pizzu:

Příklad 4. Najděte hodnotu výrazu

Tento příklad je řešen úplně stejně jako předchozí. Je třeba sečíst čitatele a jmenovatele ponechat beze změny:

Pokusme se znázornit naše řešení pomocí výkresu. Pokud k pizze přidáte pizzy a přidáte další pizzy, získáte 1 celou pizzu a více pizz.

Jak vidíte, na sčítání zlomků se stejnými jmenovateli není nic složitého. Stačí pochopit následující pravidla:

1. Chcete-li přidat zlomky se stejným jmenovatelem, musíte přidat jejich čitatele a ponechat jmenovatele beze změny;

Sčítání zlomků s různými jmenovateli

Nyní se naučíme, jak sčítat zlomky s různými jmenovateli. Při sčítání zlomků musí být jmenovatelé zlomků shodní. Ale nejsou vždy stejné.

Zlomky lze například sčítat, protože mají stejné jmenovatele.

Zlomky však nelze sčítat hned, protože tyto zlomky mají různé jmenovatele. V takových případech musí být zlomky zredukovány na stejného (společného) jmenovatele.

Existuje několik způsobů, jak snížit zlomky na stejného jmenovatele. Dnes se podíváme pouze na jednu z nich, protože ostatní metody se mohou zdát začátečníkovi složité.

Podstatou této metody je, že se nejprve hledá LCM jmenovatelů obou zlomků. LCM se pak vydělí jmenovatelem prvního zlomku, aby se získal první dodatečný faktor. Totéž udělají s druhým zlomkem - LCM se vydělí jmenovatelem druhého zlomku a získá se druhý dodatečný faktor.

Čitatele a jmenovatele zlomků pak vynásobíme jejich dalšími faktory. V důsledku těchto akcí se zlomky, které měly různé jmenovatele, změní na zlomky, které mají stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky sčítat.

Příklad 1. Sečteme zlomky a

Nejprve najdeme nejmenší společný násobek jmenovatelů obou zlomků. Jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 2. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 6

LCM (2 a 3) = 6

Nyní se vraťme ke zlomkům a . Nejprve vydělte LCM jmenovatelem prvního zlomku a získáte první dodatečný faktor. LCM je číslo 6 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3. Vydělte 6 3, dostaneme 2.

Výsledné číslo 2 je prvním dodatečným násobitelem. Zapíšeme to na první zlomek. Chcete-li to provést, udělejte přes zlomek malou šikmou čáru a zapište další faktor, který najdete nad ním:

Totéž uděláme s druhým zlomkem. LCM vydělíme jmenovatelem druhého zlomku a dostaneme druhý dodatečný faktor. LCM je číslo 6 a jmenovatel druhého zlomku je číslo 2. Vydělte 6 dvěma, dostaneme 3.

Výsledné číslo 3 je druhým dodatečným násobitelem. Zapíšeme to na druhý zlomek. Opět uděláme malou šikmou čáru přes druhý zlomek a zapíšeme další faktor nalezený nad ním:

Nyní máme vše připraveno k přidání. Zbývá vynásobit čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory:

Podívejte se pozorně, k čemu jsme dospěli. Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky sčítat. Vezměme tento příklad do konce:

Tím je příklad dokončen. Ukazuje se přidat .

Pokusme se znázornit naše řešení pomocí výkresu. Pokud k pizze přidáte pizzu, získáte jednu celou pizzu a další šestinu pizzy:

Snížení zlomků na stejný (společný) jmenovatel lze také znázornit pomocí obrázku. Zmenšením zlomků a na společného jmenovatele jsme dostali zlomky a . Tyto dva zlomky budou zastoupeny stejnými kousky pizzy. Jediný rozdíl bude v tom, že tentokrát budou rozděleny na stejné podíly (redukované na stejného jmenovatele).

První kresba představuje zlomek (čtyři kusy ze šesti) a druhá kresba představuje zlomek (tři kusy ze šesti). Přidáním těchto kusů dostaneme (sedm kusů ze šesti). Tento zlomek je nesprávný, proto jsme zvýraznili jeho celou část. Ve výsledku jsme dostali (jedna celá pizza a další šestá pizza).

Upozorňujeme, že jsme tento příklad popsali příliš podrobně. Ve vzdělávacích institucích není zvykem psát tak podrobně. Musíte být schopni rychle najít LCM obou jmenovatelů a dalších faktorů k nim a také rychle vynásobit nalezené dodatečné faktory vašimi čitateli a jmenovateli. Kdybychom byli ve škole, museli bychom tento příklad napsat takto:

Ale je tu i druhá strana mince. Pokud si v prvních fázích studia matematiky neděláte podrobné poznámky, začnou se objevovat otázky tohoto druhu. "Odkud to číslo pochází?", "Proč se zlomky najednou změní na úplně jiné zlomky? «.

Pro snazší sčítání zlomků s různými jmenovateli můžete použít následující podrobné pokyny:

1. Najděte LCM jmenovatelů zlomků;
2. Vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku a získejte další faktor pro každý zlomek;
3. Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory;
4. Sečtěte zlomky, které mají stejné jmenovatele;
5. Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, vyberte celou jeho část;

Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu .

Použijme pokyny uvedené výše.

Krok 1. Najděte LCM jmenovatelů zlomků

Najděte LCM jmenovatelů obou zlomků. Jmenovateli zlomků jsou čísla 2, 3 a 4

Krok 2. Vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku a získejte další faktor pro každý zlomek

Vydělte LCM jmenovatelem prvního zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 2. Vydělte 12 2, dostaneme 6. Dostali jsme první dodatečný faktor 6. Zapíšeme ho nad první zlomek:

Nyní vydělíme LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 3. Vydělte 12 3, dostaneme 4. Dostaneme druhý dodatečný faktor 4. Zapíšeme ho nad druhý zlomek:

Nyní vydělíme LCM jmenovatelem třetího zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem třetího zlomku je číslo 4. Vydělte 12 4, dostaneme 3. Získáme třetí dodatečný faktor 3. Zapíšeme ho nad třetí zlomek:

Krok 3. Vynásobte čitatele a jmenovatele zlomků jejich dalšími faktory

Čitatele a jmenovatele vynásobíme jejich dalšími faktory:

Krok 4. Sečtěte zlomky se stejnými jmenovateli

Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné (společné) jmenovatele. Zbývá pouze tyto zlomky sečíst. Sečtěte to:

Sčítání se nevešlo na jeden řádek, takže jsme zbývající výraz přesunuli na další řádek. To je v matematice povoleno. Když se výraz nevejde na jeden řádek, přesune se na další řádek a je nutné umístit rovnítko (=) na konec prvního řádku a na začátek nového řádku. Rovnítko na druhém řádku označuje, že se jedná o pokračování výrazu, který byl na prvním řádku.

Krok 5. Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, vyberte celou jeho část

Naše odpověď se ukázala jako nesprávný zlomek. Musíme vyzdvihnout celou jeho část. Zvýrazňujeme:

Dostali jsme odpověď

Odečítání zlomků s podobnými jmenovateli

Existují dva typy odčítání zlomků:

1. Odečítání zlomků s podobnými jmenovateli
2. Odečítání zlomků s různými jmenovateli

Nejprve se naučíme, jak odčítat zlomky s podobnými jmenovateli. Všechno je zde jednoduché. Chcete-li od jednoho zlomku odečíst další, musíte odečíst čitatele druhého zlomku od čitatele prvního zlomku, ale jmenovatele ponechat stejný.

Najdeme například hodnotu výrazu . Chcete-li vyřešit tento příklad, musíte odečíst čitatel druhého zlomku od čitatele prvního zlomku a ponechat jmenovatele beze změny. Pojďme to udělat:

Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na čtyři části. Pokud nakrájíte pizzu z pizzy, získáte pizzu:

Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu.

Opět od čitatele prvního zlomku odečtěte čitatele druhého zlomku a jmenovatele ponechte beze změny:

Tento příklad lze snadno pochopit, pokud si vzpomeneme na pizzu, která je rozdělena na tři části. Pokud nakrájíte pizzu z pizzy, získáte pizzu:

Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu

Tento příklad je řešen úplně stejně jako předchozí. Od čitatele prvního zlomku musíte odečíst čitatele zbývajících zlomků:

Jak vidíte, na odečítání zlomků se stejnými jmenovateli není nic složitého. Stačí pochopit následující pravidla:

1. Chcete-li od jednoho zlomku odečíst další, musíte odečíst čitatele druhého zlomku od čitatele prvního zlomku a ponechat jmenovatele beze změny;
2. Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, musíte zvýraznit celou jeho část.

Odečítání zlomků s různými jmenovateli

Můžete například odečíst zlomek od zlomku, protože zlomky mají stejné jmenovatele. Ale nemůžete odečíst zlomek od zlomku, protože tyto zlomky mají různé jmenovatele. V takových případech musí být zlomky zredukovány na stejného (společného) jmenovatele.

Společný jmenovatel se najde pomocí stejného principu, který jsme použili při sčítání zlomků s různými jmenovateli. Nejprve najděte LCM jmenovatelů obou zlomků. Poté se LCM vydělí jmenovatelem prvního zlomku a získá se první doplňkový faktor, který je zapsán nad prvním zlomkem. Podobně se LCM vydělí jmenovatelem druhého zlomku a získá se druhý dodatečný faktor, který je zapsán nad druhým zlomkem.

Zlomky se pak vynásobí jejich dalšími faktory. V důsledku těchto operací se zlomky, které měly různé jmenovatele, převedou na zlomky, které mají stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat.

Příklad 1. Najděte význam výrazu:

Tyto zlomky mají různé jmenovatele, takže je musíte zredukovat na stejného (společného) jmenovatele.

Nejprve najdeme LCM jmenovatelů obou zlomků. Jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 4. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 12

LCM (3 a 4) = 12

Nyní se vraťme ke zlomkům a

Pojďme najít další faktor pro první zlomek. Chcete-li to provést, vydělte LCM jmenovatelem prvního zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 3. Vydělte 12 3, dostaneme 4. Nad první zlomek napište čtyřku:

Totéž uděláme s druhým zlomkem. Vydělte LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 12 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 4. Vydělte 12 4, dostaneme 3. Napište trojku přes druhý zlomek:

Nyní jsme připraveni na odečítání. Zbývá vynásobit zlomky jejich dalšími faktory:

Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat. Vezměme tento příklad do konce:

Dostali jsme odpověď

Pokusme se znázornit naše řešení pomocí výkresu. Když odříznete pizzu z pizzy, dostanete pizzu

Toto je podrobná verze řešení. Kdybychom byli ve škole, museli bychom tento příklad řešit kratší dobu. Takové řešení by vypadalo takto:

Snížení zlomků na společného jmenovatele lze také znázornit pomocí obrázku. Redukcí těchto zlomků na společného jmenovatele jsme dostali zlomky a . Tyto zlomky budou představovány stejnými plátky pizzy, ale tentokrát budou rozděleny na stejné díly (redukované na stejného jmenovatele):

První obrázek ukazuje zlomek (osm dílků z dvanácti) a druhý obrázek zlomek (tři dílky z dvanácti). Vyříznutím tří kusů z osmi kusů získáme pět kusů z dvanácti. Zlomek popisuje těchto pět kusů.

Příklad 2 Najděte hodnotu výrazu

Tyto zlomky mají různé jmenovatele, takže je nejprve musíte zredukovat na stejného (společného) jmenovatele.

Pojďme najít LCM jmenovatelů těchto zlomků.

Jmenovateli zlomků jsou čísla 10, 3 a 5. Nejmenší společný násobek těchto čísel je 30

LCM(10,3,5) = 30

Nyní najdeme další faktory pro každý zlomek. Chcete-li to provést, vydělte LCM jmenovatelem každého zlomku.

Pojďme najít další faktor pro první zlomek. LCM je číslo 30 a jmenovatelem prvního zlomku je číslo 10. Vydělte 30 10, dostaneme první dodatečný faktor 3. Zapíšeme ho nad první zlomek:

Nyní najdeme další faktor pro druhý zlomek. Vydělte LCM jmenovatelem druhého zlomku. LCM je číslo 30 a jmenovatelem druhého zlomku je číslo 3. Vydělte 30 3, dostaneme druhý dodatečný faktor 10. Zapíšeme ho nad druhý zlomek:

Nyní najdeme další faktor pro třetí zlomek. Vydělte LCM jmenovatelem třetího zlomku. LCM je číslo 30 a jmenovatelem třetího zlomku je číslo 5. Vydělte 30 5, dostaneme třetí dodatečný faktor 6. Zapíšeme ho nad třetí zlomek:

Nyní je vše připraveno k odečítání. Zbývá vynásobit zlomky jejich dalšími faktory:

Došli jsme k závěru, že zlomky, které měly různé jmenovatele, se změnily na zlomky, které měly stejné (společné) jmenovatele. A už víme, jak takové zlomky odečítat. Dokončíme tento příklad.

Pokračování příkladu se nevejde na jeden řádek, proto přesuneme pokračování na další řádek. Nezapomeňte na rovnítko (=) na novém řádku:

Odpověď se ukázala jako pravidelný zlomek a zdá se, že nám vše vyhovuje, ale je příliš těžkopádná a nevzhledná. Měli bychom to zjednodušit. co se dá dělat? Tento zlomek můžete zkrátit.

Chcete-li zlomek zmenšit, musíte vydělit jeho čitatel a jmenovatel (GCD) čísel 20 a 30.

Najdeme tedy gcd čísel 20 a 30:

Nyní se vrátíme k našemu příkladu a vydělíme čitatel a jmenovatel zlomku nalezeným gcd, tedy 10

Dostali jsme odpověď

Násobení zlomku číslem

Chcete-li zlomek vynásobit číslem, musíte vynásobit čitatel daného zlomku tímto číslem a jmenovatele ponechat stejný.

Příklad 1. Vynásobte zlomek číslem 1.

Vynásobte čitatele zlomku číslem 1

Záznam lze chápat jako poloviční 1 čas. Například, když si dáte pizzu jednou, dostanete pizzu

Ze zákonů násobení víme, že pokud dojde k záměně multiplikandu a faktoru, součin se nezmění. Pokud je výraz zapsán jako , pak se součin bude stále rovnat . Opět platí pravidlo pro násobení celého čísla a zlomku:

Tento zápis lze chápat tak, že vezme polovinu jedničky. Pokud je například 1 celá pizza a vezmeme si polovinu, budeme mít pizzu:

Příklad 2. Najděte hodnotu výrazu

Vynásobte čitatele zlomku 4

Odpověď byl nesprávný zlomek. Pojďme zvýraznit celou jeho část:

Výraz lze chápat tak, že vezmeme dvě čtvrtiny 4krát. Například, když si vezmete 4 pizzy, dostanete dvě celé pizzy

A pokud prohodíme násobitel a násobitel, dostaneme výraz . Bude se také rovnat 2. Tento výraz lze chápat jako odebrání dvou pizz ze čtyř celých pizz:

Násobení zlomků

Chcete-li násobit zlomky, musíte vynásobit jejich čitatele a jmenovatele. Pokud se ukáže, že odpověď je nesprávný zlomek, musíte zvýraznit celou jeho část.

Příklad 1. Najděte hodnotu výrazu.

Dostali jsme odpověď. Je vhodné tento zlomek snížit. Zlomek lze zmenšit o 2. Potom bude mít konečné řešení následující podobu:

Výraz lze chápat jako odebrání pizzy z půlky pizzy. Řekněme, že máme půlku pizzy:

Jak z této poloviny ubrat dvě třetiny? Nejprve musíte tuto polovinu rozdělit na tři stejné části:

A vezměte dva z těchto tří kusů:

Uděláme pizzu. Pamatujte si, jak pizza vypadá, když je rozdělena na tři části:

Jeden kus této pizzy a dva kusy, které jsme vzali, budou mít stejné rozměry:

Jinými slovy, mluvíme o stejně velké pizze. Hodnota výrazu je tedy

Příklad 2. Najděte hodnotu výrazu

Vynásobte čitatele prvního zlomku čitatelem druhého zlomku a jmenovatele prvního zlomku jmenovatelem druhého zlomku:

Odpověď byl nesprávný zlomek. Pojďme zvýraznit celou jeho část:

Příklad 3 Najděte hodnotu výrazu

Vynásobte čitatele prvního zlomku čitatelem druhého zlomku a jmenovatele prvního zlomku jmenovatelem druhého zlomku:

Odpověď se ukázala jako pravidelný zlomek, ale bylo by dobré, kdyby byl zkrácen. Chcete-li tento zlomek zmenšit, musíte vydělit čitatel a jmenovatel tohoto zlomku největším společným dělitelem (GCD) čísel 105 a 450.

Pojďme tedy najít gcd čísel 105 a 450:

Nyní vydělíme čitatele a jmenovatele naší odpovědi gcd, které jsme nyní našli, tedy 15

Reprezentující celé číslo jako zlomek

Jakékoli celé číslo může být reprezentováno jako zlomek. Například číslo 5 může být reprezentováno jako . To nezmění význam pěti, protože výraz znamená „číslo pět děleno jednou“, a to, jak víme, se rovná pěti:

Reciproční čísla

Nyní se seznámíme s velmi zajímavým tématem v matematice. Říká se tomu „obrácená čísla“.

Definice. Zpět k čísluA je číslo, které po vynásobeníA dává jeden.

Dosadíme v této definici místo proměnné Ačíslo 5 a zkuste si přečíst definici:

Zpět k číslu 5 je číslo, které po vynásobení 5 dává jeden.

Je možné najít číslo, které po vynásobení 5 dává jedničku? Ukazuje se, že je to možné. Představme si pětku jako zlomek:

Pak tento zlomek vynásobte sám, stačí prohodit čitatel a jmenovatel. Jinými slovy, vynásobme zlomek sám o sobě, pouze obráceně:

Co se v důsledku toho stane? Pokud budeme pokračovat v řešení tohoto příkladu, dostaneme jeden:

To znamená, že inverzní k číslu 5 je číslo , protože když vynásobíte 5, dostanete jedničku.

Převrácenou hodnotu čísla lze také nalézt pro jakékoli jiné celé číslo.

Můžete také najít převrácenou hodnotu jakéhokoli jiného zlomku. Chcete-li to provést, stačí jej obrátit.

Dělení zlomku číslem

Řekněme, že máme půlku pizzy:

Rozdělme to rovným dílem mezi dva. Kolik pizzy každý dostane?

Je vidět, že po rozdělení poloviny pizzy byly získány dva stejné kusy, z nichž každý tvoří pizzu. Takže každý dostane pizzu.

Dělení zlomků se provádí pomocí reciprokých. Reciproká čísla umožňují nahradit dělení násobením.

Chcete-li zlomek vydělit číslem, musíte zlomek vynásobit inverzní hodnotou dělitele.

Pomocí tohoto pravidla si zapíšeme rozdělení naší poloviny pizzy na dvě části.

Musíte tedy zlomek vydělit číslem 2. Zde je dělenec zlomkem a dělitelem je číslo 2.

Chcete-li vydělit zlomek číslem 2, musíte tento zlomek vynásobit převrácenou hodnotou dělitele 2. Převrácená hodnota dělitele 2 je zlomek. Musíte tedy násobit

V pátém století před naším letopočtem formuloval starověký řecký filozof Zenón z Elea své slavné aporie, z nichž nejznámější je aporie „Achilles a želva“. Zní to takto:

Řekněme, že Achilles běží desetkrát rychleji než želva a je tisíc kroků za ní. Během doby, kterou Achilles uběhne tuto vzdálenost, ujde želva sto kroků stejným směrem. Když Achilles uběhne sto kroků, želva se plazí dalších deset kroků a tak dále. Proces bude pokračovat do nekonečna, Achilles želvu nikdy nedohoní.

Tato úvaha se stala logickým šokem pro všechny následující generace. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Všichni tak či onak považovali Zenónovu aporii. Šok byl tak silný, že " ... diskuse pokračují dodnes, vědecká komunita dosud nedokázala dospět ke společnému názoru na podstatu paradoxů ... do studia problematiky byla zapojena matematická analýza, teorie množin, nové fyzikální a filozofické přístupy ; žádný z nich se nestal obecně přijímaným řešením problému..."[Wikipedie, "Zeno's Aporia". Každý chápe, že je klamán, ale nikdo nechápe, v čem spočívá ten podvod.

Z matematického hlediska Zeno ve svých aporiích jasně demonstroval přechod od kvantity k . Tento přechod znamená aplikaci namísto trvalých. Pokud jsem pochopil, matematický aparát pro použití proměnných jednotek měření buď ještě nebyl vyvinut, nebo nebyl aplikován na Zenónovu aporii. Použití naší obvyklé logiky nás vede do pasti. My, díky setrvačnosti myšlení, aplikujeme na převrácenou hodnotu konstantní jednotky času. Z fyzikálního hlediska to vypadá jako zpomalení času, až se úplně zastaví v okamžiku, kdy Achilles želvu dožene. Pokud se čas zastaví, Achilles už nemůže předběhnout želvu.

Pokud obrátíme naši obvyklou logiku, vše zapadne na své místo. Achilles běží konstantní rychlostí. Každý následující úsek jeho cesty je desetkrát kratší než ten předchozí. Čas strávený na jeho překonání je tedy desetkrát kratší než ten předchozí. Pokud v této situaci použijeme koncept „nekonečna“, pak by bylo správné říci „Achilles želvu dožene nekonečně rychle“.

Jak se této logické pasti vyhnout? Zůstaňte v konstantních jednotkách času a nepřecházejte na reciproční jednotky. V Zenoově jazyce to vypadá takto:

Za dobu, kterou Achilles uběhne tisíc kroků, ujde želva sto kroků stejným směrem. Během dalšího časového intervalu rovného prvnímu uběhne Achilles dalších tisíc kroků a želva proplazí sto kroků. Nyní je Achilles osm set kroků před želvou.

Tento přístup adekvátně popisuje realitu bez jakýchkoli logických paradoxů. Ale to není úplné řešení problému. Einsteinův výrok o neodolatelnosti rychlosti světla je velmi podobný Zenónově aporii „Achilles a želva“. Tento problém musíme stále studovat, přehodnocovat a řešit. A řešení je třeba hledat ne v nekonečně velkém počtu, ale v měrných jednotkách.

Další zajímavá aporie Zeno vypráví o létajícím šípu:

Letící šíp je nehybný, protože je v každém okamžiku v klidu, a protože je v každém okamžiku v klidu, je vždy v klidu.

V této aporii je logický paradox překonán velmi jednoduše - stačí si ujasnit, že v každém okamžiku je letící šíp v klidu v různých bodech prostoru, což je ve skutečnosti pohyb. Zde je třeba poznamenat další bod. Z jedné fotografie auta na silnici není možné určit ani skutečnost jeho pohybu, ani vzdálenost k němu. Chcete-li zjistit, zda se auto pohybuje, potřebujete dvě fotografie pořízené ze stejného bodu v různých okamžicích, ale nemůžete určit vzdálenost od nich. K určení vzdálenosti k autu potřebujete dvě fotografie pořízené z různých bodů ve vesmíru v jednom časovém okamžiku, ale z nich nemůžete určit skutečnost pohybu (samozřejmě stále potřebujete další data pro výpočty, pomůže vám trigonometrie ). Na co chci zvláště upozornit je, že dva body v čase a dva body v prostoru jsou různé věci, které by se neměly zaměňovat, protože poskytují různé příležitosti pro výzkum.

Středa 4. července 2018

Rozdíly mezi množinou a multimnožinou jsou velmi dobře popsány na Wikipedii. Uvidíme.

Jak vidíte, „v sadě nemohou být dva stejné prvky“, ale pokud jsou v sadě shodné prvky, nazývá se taková sada „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopí takovou absurdní logiku. To je úroveň mluvících papoušků a cvičených opic, kteří nemají žádnou inteligenci ze slova „naprosto“. Matematici fungují jako obyčejní školitelé, kteří nám kážou své absurdní myšlenky.

Kdysi byli inženýři, kteří most stavěli, ve člunu pod mostem při testování mostu. Pokud se most zřítil, průměrný inženýr zemřel pod troskami svého výtvoru. Pokud most vydržel zatížení, talentovaný inženýr postavil další mosty.

Bez ohledu na to, jak se matematici schovávají za frázi „pozor, jsem v domě“, nebo spíše „matematika studuje abstraktní pojmy“, existuje jedna pupeční šňůra, která je nerozlučně spojuje s realitou. Tato pupeční šňůra jsou peníze. Aplikujme matematickou teorii množin na samotné matematiky.

Učili jsme se výborně matematiku a teď sedíme u pokladny a rozdáváme platy. Matematik si k nám tedy přijde pro své peníze. Odpočítáme mu celou částku a rozložíme ji na náš stůl na různé hromádky, do kterých vložíme bankovky stejné nominální hodnoty. Potom z každé hromádky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický soubor platu“. Vysvětleme matematikovi, že zbývající účty dostane, až když prokáže, že množina bez stejných prvků se nerovná množině se stejnými prvky. Tady začíná zábava.

Za prvé bude fungovat logika poslanců: "To se dá použít na ostatní, ale ne na mě!" Pak nás začnou ujišťovat, že bankovky stejné nominální hodnoty mají různá čísla bankovek, což znamená, že je nelze považovat za stejné prvky. Dobře, počítáme platy v mincích – na mincích nejsou žádná čísla. Matematik zde začne horečně vzpomínat na fyziku: různé mince mají různé množství nečistot, krystalová struktura a uspořádání atomů je u každé mince jedinečné...

A teď mám tu nejzajímavější otázku: kde je hranice, za kterou se prvky multimnožiny mění v prvky množiny a naopak? Taková linie neexistuje – o všem rozhodují šamani, věda zde ani zdaleka nelhala.

Podívej se sem. Vybíráme fotbalové stadiony se stejnou plochou hřiště. Plochy polí jsou stejné – což znamená, že máme multiset. Ale když se podíváme na jména těchto stejných stadionů, dostaneme jich mnoho, protože jména jsou různá. Jak vidíte, stejná množina prvků je množina i multimnožina. Což je správně? A tady matematik-šaman-sharpista vytahuje z rukávu trumfové eso a začíná nám vyprávět buď o setu, nebo o multisetu. V každém případě nás přesvědčí, že má pravdu.

Abychom pochopili, jak moderní šamani operují s teorií množin a spojují ji s realitou, stačí odpovědět na jednu otázku: jak se liší prvky jedné množiny od prvků jiné množiny? Ukážu vám to bez jakéhokoli „nemyslitelného jako jeden celek“ nebo „nemyslitelného jako jeden celek“.

Neděle 18. března 2018

Součet číslic čísla je tanec šamanů s tamburínou, který nemá s matematikou nic společného. Ano, v hodinách matematiky nás učí najít součet číslic čísla a použít ho, ale proto jsou šamani, aby naučili své potomky jejich dovednostem a moudrosti, jinak šamani prostě vymřou.

Potřebujete důkaz? Otevřete Wikipedii a zkuste najít stránku „Součet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematice neexistuje vzorec, který by se dal použít k nalezení součtu číslic libovolného čísla. Čísla jsou přece grafické symboly, kterými čísla píšeme, a v jazyce matematiky zní úkol takto: „Najděte součet grafických symbolů představujících libovolné číslo.“ Matematici tento problém vyřešit nedokážou, ale šamani to snadno dokážou.

Pojďme zjistit, co a jak děláme, abychom našli součet číslic daného čísla. Mějme tedy číslo 12345. Co je třeba udělat, abychom našli součet číslic tohoto čísla? Zvažme všechny kroky v pořadí.

1. Zapište si číslo na kus papíru. Co jsme udělali? Číslo jsme převedli na grafický číselný symbol. Toto není matematická operace.

2. Jeden výsledný obrázek rozřežeme na několik obrázků obsahujících jednotlivá čísla. Vyříznutí obrázku není matematická operace.

3. Převeďte jednotlivé grafické symboly na čísla. Toto není matematická operace.

4. Sečtěte výsledná čísla. Teď je to matematika.

Součet číslic čísla 12345 je 15. Jedná se o „kurzy stříhání a šití“ vyučované šamany, které používají matematici. Ale to není vše.

Z matematického hlediska je jedno, v jaké číselné soustavě číslo zapíšeme. Takže v různých číselných soustavách se bude součet číslic stejného čísla lišit. V matematice se číselná soustava označuje jako dolní index napravo od čísla. S velkým číslem 12345 si nechci klamat hlavu, uvažujme číslo 26 z článku o. Zapišme toto číslo v dvojkové, osmičkové, desítkové a šestnáctkové číselné soustavě. Nebudeme se na každý krok dívat pod mikroskopem, to už jsme udělali. Podívejme se na výsledek.

Jak vidíte, v různých číselných soustavách je součet číslic stejného čísla různý. Tento výsledek nemá nic společného s matematikou. Je to stejné, jako kdybyste určili plochu obdélníku v metrech a centimetrech, dostali byste úplně jiné výsledky.

Nula vypadá stejně ve všech číselných soustavách a nemá žádný součet číslic. To je další argument ve prospěch skutečnosti, že. Otázka pro matematiky: jak se v matematice označuje něco, co není číslo? Co, pro matematiky neexistuje nic kromě čísel? U šamanů to mohu dovolit, ale u vědců ne. Realita není jen o číslech.

Získaný výsledek by měl být považován za důkaz, že číselné soustavy jsou jednotkami měření čísel. Nemůžeme přece porovnávat čísla s různými měrnými jednotkami. Pokud stejné akce s různými jednotkami měření stejné veličiny vedou po jejich srovnání k různým výsledkům, pak to nemá nic společného s matematikou.

Co je skutečná matematika? To je, když výsledek matematické operace nezávisí na velikosti čísla, použité měrné jednotce a na tom, kdo tuto akci provede.

Podepsat na dveře Otevře dveře a říká:

Ach! Není to dámská toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratoř pro studium indefilní svatosti duší během jejich vzestupu do nebe! Halo nahoře a šipka nahoru. Jaký jiný záchod?

Žena... Svatozář nahoře a šipka dolů jsou mužské.

Pokud se vám takové umělecké dílo mihne před očima několikrát denně,

Pak není divu, že najednou ve svém autě najdete podivnou ikonu:

Osobně se snažím u kakajícího člověka (jeden obrázek) vidět mínus čtyři stupně (složení více obrázků: znaménko mínus, čtyřka, označení stupňů). A nemyslím si, že tato dívka je blázen, který nezná fyziku. Má prostě silný stereotyp vnímání grafických obrázků. A matematici nás to neustále učí. Zde je příklad.

1A není „minus čtyři stupně“ nebo „jedno a“. Toto je „pooping man“ nebo číslo „šestadvacet“ v hexadecimálním zápisu. Lidé, kteří neustále pracují v této číselné soustavě, automaticky vnímají číslo a písmeno jako jeden grafický symbol.