Vzdálenost od bodu k bodu: vzorce, příklady, řešení. Vzdálenost mezi dvěma body v rovině

Vzdálenost mezi dvěma body v rovině.
Souřadnicové systémy

Každý bod A roviny je charakterizován svými souřadnicemi (x, y). Shodují se se souřadnicemi vektoru 0A vycházejícího z bodu 0 - počátku souřadnic.

Nechť A a B jsou libovolné body roviny se souřadnicemi (x 1 y 1) a (x 2, y 2).

Pak má vektor AB zjevně souřadnice (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Je známo, že druhá mocnina délky vektoru se rovná součtu čtverců jeho souřadnic. Z podmínky se tedy určí vzdálenost d mezi body A a B, nebo, co je shodné, délka vektoru AB

d2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Výsledný vzorec umožňuje najít vzdálenost mezi libovolnými dvěma body v rovině, pokud jsou známy pouze souřadnice těchto bodů

Pokaždé, když mluvíme o souřadnicích určitého bodu v rovině, máme na mysli dobře definovaný souřadnicový systém x0y. Obecně lze souřadný systém v rovině zvolit různými způsoby. Takže místo souřadnicového systému x0y můžete uvažovat souřadnicový systém x"0y", který se získá otočením starých souřadnicových os kolem počátečního bodu 0 proti směru hodinových ručičekšipky na rohu α .

Pokud měl určitý bod roviny v souřadnicovém systému x0y souřadnice (x, y), pak v novém souřadném systému x"0y" bude mít jiné souřadnice (x, y").

Jako příklad uvažujme bod M, který se nachází na ose 0x a je oddělený od bodu 0 ve vzdálenosti 1.

Je zřejmé, že v souřadnicovém systému x0y má tento bod souřadnice (cos α ,hřích α ), a v souřadnicovém systému x"0y" jsou souřadnice (1,0).

Souřadnice libovolných dvou bodů v rovině A a B závisí na tom, jak je v této rovině zadán souřadnicový systém. Ale vzdálenost mezi těmito body nezávisí na způsobu určení souřadnicového systému. Této důležité okolnosti významně využijeme v dalším odstavci.

Cvičení

I. Najděte vzdálenosti mezi body roviny se souřadnicemi:

1) (3,5) a (3,4); 3) (0,5) a (5, 0); 5) (-3,4) a (9, -17);

2) (2, 1) a (-5, 1); 4) (0, 7) a (3, 3); 6) (8, 21) a (1, -3).

II. Najděte obvod trojúhelníku, jehož strany jsou dány rovnicemi:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 a y = 1.

III. V souřadnicovém systému x0y mají body M a N souřadnice (1, 0) a (0,1). Najděte souřadnice těchto bodů v novém souřadnicovém systému, který se získá otočením starých os kolem počátečního bodu o úhel 30° proti směru hodinových ručiček.

IV. V souřadnicovém systému x0y mají body M a N souřadnice (2, 0) a (\ / 3/2, - 1/2). Najděte souřadnice těchto bodů v novém souřadnicovém systému, který se získá otočením starých os kolem počátečního bodu o úhel 30° ve směru hodinových ručiček.

Vzdálenost od bodu k bodu je délka úsečky spojující tyto body na daném měřítku. Pokud tedy jde o měření vzdálenosti, musíte znát měřítko (jednotku délky), ve které budou měření prováděna. Proto je problém nalezení vzdálenosti od bodu k bodu obvykle uvažován buď na souřadnicové čáře, nebo v pravoúhlý kartézský souřadnicový systém v rovině nebo v trojrozměrném prostoru. Jinými slovy, nejčastěji musíte vypočítat vzdálenost mezi body pomocí jejich souřadnic.

V tomto článku si nejprve připomeneme, jak se určuje vzdálenost od bodu k bodu na souřadnicové čáře. Dále získáme vzorce pro výpočet vzdálenosti mezi dvěma body roviny nebo prostoru podle zadaných souřadnic. Na závěr podrobně zvážíme řešení typických příkladů a problémů.

Navigace na stránce.

Vzdálenost mezi dvěma body na souřadnicové čáře.

Nejprve si definujme notaci. Vzdálenost z bodu A do bodu B budeme označovat jako .

Z toho můžeme usoudit, že vzdálenost od bodu A se souřadnicí k bodu B se souřadnicí je rovna modulu rozdílu souřadnic, to znamená, pro libovolné umístění bodů na souřadnicové čáře.

Vzdálenost od bodu k bodu na rovině, vzorec.

Získáme vzorec pro výpočet vzdálenosti mezi body a daný v pravoúhlém kartézském souřadnicovém systému v rovině.

V závislosti na umístění bodů A a B jsou možné následující možnosti.

Pokud se body A a B shodují, je vzdálenost mezi nimi nulová.

Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose úsečky, pak se body shodují a vzdálenost je rovna vzdálenosti . V předchozím odstavci jsme zjistili, že vzdálenost mezi dvěma body na souřadnicové čáře je rovna modulu rozdílu jejich souřadnic, proto, . Proto, .

Podobně, pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose pořadnice, pak vzdálenost z bodu A do bodu B se zjistí jako .

V tomto případě má trojúhelník ABC obdélníkovou konstrukci a A . Podle Pythagorova věta můžeme zapsat rovnost, odkud .

Shrňme všechny získané výsledky: vzdálenost od bodu k bodu v rovině se zjistí pomocí souřadnic bodů pomocí vzorce .

Výsledný vzorec pro zjištění vzdálenosti mezi body lze použít, když se body A a B shodují nebo leží na přímce kolmé k jedné ze souřadnicových os. Pokud se A a B shodují, pak . Pokud body A a B leží na přímce kolmé k ose Ox, pak. Pokud A a B leží na přímce kolmé k ose Oy, pak .

Vzdálenost mezi body v prostoru, vzorec.

Představme si pravoúhlý souřadnicový systém Oxyz v prostoru. Pojďme získat vzorec pro zjištění vzdálenosti od bodu do té míry .

Obecně platí, že body A a B neleží v rovině rovnoběžné s jednou ze souřadnicových rovin. Narýsujme body A a B roviny kolmé k souřadnicovým osám Ox, Oy a Oz. Průsečíky těchto rovin se souřadnicovými osami nám poskytnou průměty bodů A a B na tyto osy. Označujeme projekce .

Požadovaná vzdálenost mezi body A a B je úhlopříčka pravoúhlého rovnoběžnostěnu znázorněného na obrázku. Podle konstrukce jsou rozměry tohoto rovnoběžnostěnu stejné A . V kurzu geometrie na střední škole bylo prokázáno, že druhá mocnina úhlopříčky kvádru je rovna součtu druhých mocnin jeho tří rozměrů, tedy . Na základě informací v první části tohoto článku můžeme napsat následující rovnosti, proto,

odkud to máme vzorec pro zjištění vzdálenosti mezi body v prostoru .

Tento vzorec platí i pro body A a B

• sladit se;
• patřit k jedné ze souřadnicových os nebo přímce rovnoběžné s jednou ze souřadnicových os;
• patří do jedné ze souřadnicových rovin nebo roviny rovnoběžné s jednou ze souřadnicových rovin.

Hledání vzdálenosti od bodu k bodu, příklady a řešení.

Získali jsme tedy vzorce pro zjištění vzdálenosti mezi dvěma body na souřadnicové čáře, rovině a trojrozměrném prostoru. Je čas podívat se na řešení typických příkladů.

Množství problémů, ve kterých je posledním krokem nalezení vzdálenosti mezi dvěma body podle jejich souřadnic, je skutečně obrovské. Úplný přehled takových příkladů přesahuje rámec tohoto článku. Zde se omezíme na příklady, ve kterých jsou známy souřadnice dvou bodů a je nutné vypočítat vzdálenost mezi nimi.

TEORETICKÉ OTÁZKY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVNĚ

1. Souřadnicová metoda: číselná řada, souřadnice na přímce; pravoúhlý (kartézský) souřadnicový systém v rovině; polární souřadnice.

Uvažujme o nějaké přímce. Zvolme na něm směr (pak se stane osou) a nějaký bod 0 (počátek souřadnic). Zavolá se přímka se zvoleným směrem a počátkem souřadnicová čára(předpokládáme, že je zvolena jednotka měřítka).

Nechat M– libovolný bod na souřadnicové čáře. Uveďme to v souladu s pointou M reálné číslo X, rovnající se hodnotě OM segment: x=OM.Číslo X nazývá se souřadnice bodu M.

Každý bod na souřadnicové čáře tedy odpovídá určitému reálnému číslu – jeho souřadnici. Platí to i obráceně: každému reálnému číslu x odpovídá určitý bod na souřadnicové čáře, totiž takový bod M, jehož souřadnice je x. Tato korespondence se nazývá jedna ku jedné.

Reálná čísla lze tedy reprezentovat body souřadnicové čáry, tzn. Souřadnicová čára slouží jako obraz množiny všech reálných čísel. Proto se volá množina všech reálných čísel číselná řada a libovolné číslo je bodem na této přímce. V blízkosti bodu na číselné ose je často uvedeno číslo - jeho souřadnice.

Pravoúhlý (nebo kartézský) souřadnicový systém v rovině.

Dvě na sebe kolmé osy Asi x A O r mající společný původ O a stejnou jednotku měřítka, formu pravoúhlý (nebo kartézský) souřadnicový systém v rovině.

Osa ACH nazývaná osa abscisa, osa OY– pořadová osa. Tečka O průsečík os se nazývá počátek. Rovina, ve které jsou umístěny osy ACH A OY, se nazývá souřadnicová rovina a označuje se Asi xy.

Takže pravoúhlý souřadnicový systém v rovině zakládá korespondenci jedna ku jedné mezi množinou všech bodů v rovině a množinou dvojic čísel, což umožňuje aplikovat algebraické metody při řešení geometrických problémů. Souřadnicové osy rozdělují rovinu na 4 části, nazývají se ve čtvrtích, náměstí nebo souřadnicové úhly.

Polární souřadnice.

Polární souřadnicový systém se skládá z určitého bodu O, volal pól a paprsek z něj vycházející OE, volal polární osa. Navíc je nastavena jednotka měřítka pro měření délek segmentů. Nechť je dán polární souřadnicový systém a nechť M– libovolný bod roviny. Označme podle R– bodová vzdálenost M z bodu O a prostřednictvím φ – úhel, o který se paprsek otočí proti směru hodinových ručiček, aby se vyrovnala polární osa s paprskem OM.

Polární souřadnice body M telefonní čísla R A φ . Číslo R se považuje za první souřadnici a nazývá se polární poloměr, číslo φ – nazývá se druhá souřadnice polární úhel.

Tečka M s polárními souřadnicemi R A φ jsou označeny takto: M(;φ). Vytvořme spojení mezi polárními souřadnicemi bodu a jeho pravoúhlými souřadnicemi.
V tomto případě budeme předpokládat, že počátek pravoúhlého souřadnicového systému je na pólu a kladná osa semi-abcisa se shoduje s polární osou.

Nechť bod M má pravoúhlé souřadnice X A Y a polární souřadnice R A φ .

Důkaz.

Spadnout z teček M 1 A M 2 kolmice M 1 V A M 1 A,. protože (x 2; y 2). Podle věty, pokud M 1 (x 1) A M 2 (x 2) jsou libovolné dva body a α je vzdálenost mezi nimi α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 – x 1 | .

Řešení úloh v matematice je pro žáky často provázeno mnoha obtížemi. Hlavním účelem našich stránek je pomoci studentovi tyto obtíže zvládnout a naučit jej aplikovat dosavadní teoretické znalosti při řešení konkrétních problémů ve všech částech kurzu předmětu „Matematika“.

Při zahájení řešení úloh na dané téma by studenti měli být schopni sestrojit bod na rovině pomocí jeho souřadnic a také najít souřadnice daného bodu.

Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body A(x A; y A) a B(x B; y B) v rovině se provede pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), kde d je délka segmentu, který spojuje tyto body v rovině.

Pokud se jeden z konců segmentu shoduje s počátkem souřadnic a druhý má souřadnice M(x M; y M), pak vzorec pro výpočet d bude mít tvar OM = √(x M 2 + y M 2 ).

1. Výpočet vzdálenosti mezi dvěma body na základě zadaných souřadnic těchto bodů

Příklad 1.

Najděte délku úsečky, která spojuje body A(2; -5) a B(-4; 3) v souřadnicové rovině (obr. 1).

Řešení.

Příkaz problému uvádí: x A = 2; x B = -4; y A = -5 a y B = 3. Najděte d.

Použitím vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) dostaneme:

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. Výpočet souřadnic bodu, který je stejně vzdálený od tří daných bodů

Příklad 2

Najděte souřadnice bodu O 1, který je stejně vzdálený od tří bodů A(7; -1) a B(-2; 2) a C(-1; -5).

Řešení.

Z formulace problémových podmínek vyplývá, že O 1 A = O 1 B = O 1 C. Nechť požadovaný bod O 1 má souřadnice (a; b). Pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zjistíme:

O 1 A = √ ((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

OiB = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O1C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Vytvořme soustavu dvou rovnic:

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po umocnění levé a pravé strany rovnic zapíšeme:

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Zjednodušení, pišme

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

Po vyřešení soustavy dostaneme: a = 2; b = -1.

Bod O 1 (2; -1) je stejně vzdálený od tří bodů uvedených v podmínce, které neleží na stejné přímce. Tento bod je středem kružnice procházející třemi danými body (obr. 2).

3. Výpočet úsečky (ordináty) bodu, který leží na ose úsečky (ordináta) a je v dané vzdálenosti od daného bodu

Příklad 3

Vzdálenost od bodu B(-5; 6) k bodu A ležícímu na ose Ox je 10. Najděte bod A.

Řešení.

Z formulace problémových podmínek vyplývá, že pořadnice bodu A je rovna nule a AB = 10.

Úsečku bodu A označíme a, zapíšeme A(a; 0).

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

Dostaneme rovnici √((a + 5) 2 + 36) = 10. Když to zjednodušíme, máme

a 2 + 10a – 39 = 0.

Kořeny této rovnice jsou a 1 = -13; a 2 = 3.

Získáme dva body A 1 (-13; 0) a A 2 (3; 0).

Zkouška:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

Oba získané body jsou vhodné podle podmínek problému (obr. 3).

4. Výpočet úsečky bodu, který leží na ose úsečky a je ve stejné vzdálenosti od dvou daných bodů

Příklad 4.

Najděte bod na ose Oy, který je ve stejné vzdálenosti od bodů A (6, 12) a B (-8, 10).

Řešení.

Nechť souřadnice bodu požadované podmínkami úlohy, ležícího na ose Oy, jsou O 1 (0; b) (v bodě ležícím na ose Oy je úsečka nulová). Z podmínky vyplývá, že O 1 A = O 1 B.

Pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zjistíme:

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

Máme rovnici √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) nebo 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2.

Po zjednodušení dostaneme: b – 4 = 0, b = 4.

Bod O 1 (0; 4) vyžadovaný podmínkami problému (obr. 4).

5. Výpočet souřadnic bodu, který se nachází ve stejné vzdálenosti od souřadnicových os a nějakého daného bodu

Příklad 5.

Najděte bod M umístěný na souřadnicové rovině ve stejné vzdálenosti od souřadnicových os a od bodu A(-2; 1).

Řešení.

Požadovaný bod M se stejně jako bod A(-2; 1) nachází ve druhém souřadnicovém úhlu, protože je stejně vzdálený od bodů A, P 1 a P 2 (obr. 5). Vzdálenosti bodu M od souřadnicových os jsou stejné, proto jeho souřadnice budou (-a; a), kde a > 0.

Z podmínek úlohy vyplývá, že MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

těch. |-a| = a.

Pomocí vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) zjistíme:

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

Udělejme rovnici:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

Po umocnění a zjednodušení máme: a 2 – 6a + 5 = 0. Řešte rovnici, najděte a 1 = 1; a 2 = 5.

Získáme dva body M 1 (-1; 1) a M 2 (-5; 5), které splňují podmínky úlohy.

6. Výpočet souřadnic bodu, který se nachází ve stejné zadané vzdálenosti od osy úsečky (ordináta) a od daného bodu

Příklad 6.

Najděte bod M takový, aby jeho vzdálenost od souřadnicové osy a od bodu A(8; 6) byla rovna 5.

Řešení.

Z podmínek úlohy vyplývá, že MA = 5 a úsečka bodu M je rovna 5. Nechť je pořadnice bodu M rovna b, pak M(5; b) (obr. 6).

Podle vzorce d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) máme:

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

Udělejme rovnici:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Když to zjednodušíme, dostaneme: b 2 – 12b + 20 = 0. Kořeny této rovnice jsou b 1 = 2; b 2 = 10. V důsledku toho existují dva body, které splňují podmínky úlohy: M 1 (5; 2) a M 2 (5; 10).

Je známo, že mnoho studentů při samostatném řešení problémů potřebuje neustálé konzultace o technikách a metodách jejich řešení. Žák často nemůže najít způsob, jak vyřešit problém bez pomoci učitele. Potřebné rady k řešení problémů může student získat na našich webových stránkách.

Máte ještě otázky? Nevíte, jak zjistit vzdálenost mezi dvěma body v rovině?
Chcete-li získat pomoc od lektora, zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!

webové stránky, při kopírování celého materiálu nebo jeho části je vyžadován odkaz na zdroj.