Jak řešit soustavy rovnic substituční metodou. Řešení soustav rovnic substituční metodou

Řešení soustav rovnic substituční metodou

Připomeňme si, co je to soustava rovnic.

Systém dvou rovnic se dvěma proměnnými jsou dvě rovnice napsané pod sebou, spojené složenou závorkou. Řešení soustavy znamená najít dvojici čísel, která vyřeší první i druhou rovnici současně.

V této lekci se seznámíme s takovou metodou řešení soustav, jako je substituční metoda.

Podívejme se na soustavu rovnic:

Tento systém můžete vyřešit graficky. K tomu budeme muset sestrojit grafy každé z rovnic v jednom souřadnicovém systému a převést je do tvaru:

Poté najděte souřadnice průsečíku grafů, které budou řešením systému. Ale grafická metoda není vždy vhodná, protože se liší nízkou přesností, nebo dokonce nepřístupností. Zkusme se na náš systém podívat blíže. Nyní to vypadá takto:

Můžete si všimnout, že levé strany rovnic jsou stejné, což znamená, že pravé strany musí být také stejné. Pak dostaneme rovnici:

Toto je známá rovnice s jednou proměnnou, kterou můžeme vyřešit. Přesuňme neznámé pojmy na levou stranu a známé na pravou, přičemž při přenosu nezapomeneme změnit znaménka + a -. Dostaneme:

Nyní dosadíme nalezenou hodnotu x do libovolné rovnice systému a najdeme hodnotu y. V našem systému je výhodnější použít druhou rovnici y = 3 - x, po dosazení dostaneme y = 2. Nyní analyzujme vykonanou práci. Nejprve jsme v první rovnici vyjádřili proměnnou y pomocí proměnné x. Výsledný výraz - 2x + 4 byl poté dosazen do druhé rovnice místo proměnné y. Poté jsme vyřešili výslednou rovnici s jednou proměnnou x a zjistili její hodnotu. A nakonec jsme nalezenou hodnotu x použili k nalezení další proměnné y. Zde se nabízí otázka: bylo nutné vyjádřit proměnnou y z obou rovnic najednou? Samozřejmě že ne. Mohli bychom vyjádřit jednu proměnnou pomocí jiné pouze v jedné rovnici systému a použít ji místo odpovídající proměnné ve druhé. Navíc můžete vyjádřit jakoukoli proměnnou z libovolné rovnice. Zde výběr závisí pouze na pohodlí účtu. Matematici tento postup nazvali algoritmem pro řešení soustav dvou rovnic se dvěma proměnnými pomocí substituční metody.Takto vypadá.

1. Vyjádřete jednu z proměnných pomocí jiné v jedné z rovnic soustavy.

2.Dosaďte výsledný výraz místo odpovídající proměnné do jiné rovnice soustavy.

3.Výslednou rovnici řešte s jednou proměnnou.

4.Nalezenou hodnotu proměnné dosaďte do výrazu získaného v prvním kroku a najděte hodnotu jiné proměnné.

5.Napište odpověď ve formě dvojice čísel, která byla nalezena ve třetím a čtvrtém kroku.

Podívejme se na další příklad. Řešte soustavu rovnic:

Zde je výhodnější vyjádřit proměnnou y z první rovnice. Dostaneme y = 8 - 2x. Výsledný výraz musí být nahrazen za y ve druhé rovnici. Dostaneme:

Napišme tuto rovnici samostatně a vyřešme ji. Nejprve otevřeme závorky. Dostaneme rovnici 3x - 16 + 4x = 5. Seberme neznámé členy na levé straně rovnice a známé na pravé straně a uveďme podobné členy. Dostaneme rovnici 7x = 21, tedy x = 3.

Nyní pomocí nalezené hodnoty x můžete najít:

Odpověď: dvojice čísel (3; 2).

V této lekci jsme se tedy naučili řešit soustavy rovnic se dvěma neznámými analytickým a přesným způsobem, aniž bychom se uchylovali k pochybným grafickým metodám.

Seznam použité literatury:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. ročník ve 2 dílech, 1. díl, Učebnice pro všeobecně vzdělávací instituce / A.G. Mordkovič. – 10. vydání, revidováno – Moskva, „Mnemosyne“, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. ročník ve 2 dílech, 2. díl, Problémová kniha pro vzdělávací instituce / [A.G. Mordkovich a další]; upravil A.G. Mordkovich - 10. vydání, revidované - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
3. JEJÍ. Tulchinskaya, Algebra 7. třída. Bleskový průzkum: příručka pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí, 4. vydání, revidovaná a rozšířená, Moskva, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. třída. Tematické testové práce v nové podobě pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí v úpravě A.G. Mordkovich, Moskva, „Mnemosyne“, 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. třída. Samostatné práce pro studenty všeobecně vzdělávacích institucí, editoval A.G. Mordkovich - 6. vydání, stereotypní, Moskva, „Mnemosyne“, 2010.

1 . CELÉ JMÉNO. učitelé: ____Tkachuk Natalya Petrovna _______________________________________________________________________________________________

2. Třída: _8 Termín: .11.03________Předmět_-matematika, hodina č. 71 dle rozvrhu:

3. Téma lekce Řešení systémů substitucí 4 . Místo a role lekce v probíraném tématu :. Lekce k upevnění znalostí. Účel lekce :

Vzdělávací: rozvíjet znalosti řešení soustav rovnic substituční metodou. Vědět/rozumět: pokud grafy mají společné body, pak systém má řešení; pokud grafy nemají společné body, pak systém nemá řešení; algoritmus pro řešení soustav rovnic.Být schopný řešit systémy substitucí Podporovat rozvoj dovedností aplikovat nabyté znalosti v nestandardních (standardních) podmínkáchVývojový: Podporovat rozvoj dovedností studentů zobecňovat nabyté znalosti, provádět analýzy, syntézu, srovnávání a vyvozovat potřebné závěry. Podporovat rozvoj dovedností aplikovat nabyté znalosti v nestandardních a standardních podmínkách.Vzdělávací: Podporovat rozvoj kreativního přístupu k učebním činnostem

Charakteristika fází lekce

studentů

Sebeurčení.

Aktivujte kognitivní činnost

Vyřešte systém

slovní

Čelní

Zdravím studenty. provádění. Vytvoření situace připravenosti na lekci, úspěch v nadcházející lekci.

Zkontrolujte připravenost na lekci.

2. Aktualizace znalostí.

Identifikovat kvalitu a úroveň zvládnutí znalostí a dovedností získaných v předchozích lekcích na dané téma

Zjistěte, zda je dvojice čísel řešením systému. x=5 y=9

Jaké operace lze provádět s rovnicemi?

(vynásobte obě strany rovnice stejným číslem, vydělte číslem, které se nerovná nule....)

Skupinová práce

Čelní. Guppovaya - analýza algoritmů pro řešení problémů;

V případě potřeby klade hlavní otázky.

Odpovídají na položené otázky.

3. Stanovení výchovně vzdělávacího úkolu, cíle vyučovací hodiny.

Formace

a rozvoj dovedností

definovat a formulovat

problém, cíl a téma

studovat linie

Jak řešit soustavu rovnic sčítáním, substitucí.

Jakou metodu je vhodné při řešení použít. tento systém?

Skupinová práce.

Individuální.

Čelní.

Jaké kroky jsme podnikli, abychom zjistili kupní cenu?

Jaké téma budeme studovat?

Mluví nahlas.

4. Etapa aktualizace znalostí k tématu

Podporovat rozvoj dovedností rozlišovat a porovnávat linie. Poskytněte podmínky pro rozvoj dovedností vyjadřovat své myšlenky kompetentně, jasně a přesně.

№ 621

Zjistěte vzájemné polohy čar

2x+0,5y= 1,2 a x-4y=0

Je možné pomocí jejich koeficientů určit, zda se čáry protínají nebo ne?

2. vytvořte rovnice přímek, které jsou navzájem rovnoběžné.

Práce se studentem

Pracujte ve dvojicích s autotestem

Čelní, individuální. workshop řešení problémů

V případě potřeby klade hlavní otázky. Kreslí paralely s dříve studovaným materiálem.

Poskytuje motivaci k dokončení navržených úkolů.

Vede žáky k závěru o existenci vzorců.

Řešte problémy, v případě potřeby odpovězte na otázky učitele Cvičení proveďte do sešitu.

Střídavě komentujte, analyzujte, identifikujte důvody a řešení.

5. Pracovat samostatně

aplikace nabytých znalostí. Aktualizace znalostí a dovedností při řešení problémů.

Utváření a rozvoj dovedností čtení čísel Plánování vašich činností k řešení zadaného úkolu, sledování dosaženého výsledku, oprava získaného výsledku, seberegulace

1 var –

2 var

Samostatná práce. Kontrola souseda.

"brainstorm",

Sleduje provádění práce.

Poskytuje: individuální ovládání; selektivní kontrola.

Povzbuzuje vás, abyste vyjádřili svůj názor.

Řešit problémy. Proveďte: sebehodnocení, vzájemné ověření; poskytnout předběžné posouzení.

6. Hodnocení lekce, sebehodnocení.

Formování a rozvoj schopnosti analyzovat a chápat své úspěchy.

Schopnost určit úroveň zvládnutí vzdělávacího materiálu.

Hodnocení průběžných výsledků a seberegulace pro zvýšení motivace ke vzdělávací činnosti

Hodnocení v každé fázi

1. Umíte sestavit graf lineárních rovnic?

2. Dokážete určit, zda se protínají nebo ne?

3. Znáte algoritmus pro řešení soustav rovnic?

4. jaké znáte metody řešení soustav rovnic?

Skupinová práce.

Skupinové i individuální...

Povzbuzuje vás, abyste vyjádřili svůj názor.

Proveďte: sebehodnocení a posouzení přítele.

7. Shrnutí lekce. Domácí práce.

Schopnost korelovat cíle a výsledky vlastních aktivit. Udržování zdravého soutěžního ducha pro udržení motivace pro vzdělávací aktivity; účast na kolektivní diskusi o problémech.

str. 4.4 č. 623

Skupinová práce.

Frontální - Identifikace a formulace kognitivního cíle, reflexe metod a podmínek jednání

Analýza a syntéza objektů

Povzbuzuje vás, abyste vyjádřili svůj názor.

Dává komentáře k domácím úkolům; úkol vyhledat rysy v textu...

Děti se zapojují do diskuse, analyzují, mluví. Přemýšlejte a zaznamenávejte jejich úspěchy.

Dnes jsem se ve třídě naučil...

Dnes jsem se ve třídě naučil...

Zpět dopředu

Pozornost! Náhledy snímků mají pouze informativní charakter a nemusí představovat všechny funkce prezentace. Pokud vás tato práce zaujala, stáhněte si prosím plnou verzi.

Místo lekce v systému lekcí: třetí lekce na téma „Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma proměnnými“

Typ lekce: učení se novým poznatkům

Vzdělávací technologie: rozvíjet kritické myšlení prostřednictvím čtení a psaní

Metoda výuky: studie

Cíle lekce: zvládnout další způsob řešení soustav lineárních rovnic se dvěma proměnnými - metodu sčítání

úkoly:

• předmět: formování praktických dovedností při řešení soustav lineárních rovnic metodou substituce;
• meta-subjekt: rozvíjet myšlení, vědomé vnímání vzdělávacího materiálu;
• osobní: podpora kognitivní aktivity, kultury komunikace a podněcování zájmu o předmět.

V důsledku toho student:

• Zná definici soustavy lineárních rovnic se dvěma proměnnými;
• Ví, co to znamená řešit soustavu lineárních rovnic ve dvou proměnných;
• Schopnost napsat soustavu lineárních rovnic se dvěma proměnnými;
• Rozumí tomu, kolik řešení může mít systém lineárních rovnic se dvěma proměnnými;
• Dokáže určit, zda má systém řešení, a pokud ano, kolik;
• Zná algoritmus pro řešení soustav lineárních rovnic pomocí substituce, algebraického sčítání a grafických metod.

Problematická otázka:"Jak vyřešit systém lineárních rovnic ve dvou proměnných?"

Klíčové otázky: Jak a proč v životě používáme rovnice?

Zařízení: prezentace; multimediální projektor; obrazovka; počítač, sešit z algebry: 7. ročník: k učebnici A.G. Mordkovich a kol. „Algebra – 7“ 2012

Zdroje (odkud pocházejí informace o tématu: knihy, učebnice, internet atd.): učebnice „Algebra – 7“ 2012, A.G. Mordkovič

Formy organizace vzdělávacích aktivit žáků (skupinové, párové-skupinové, frontální atd.): samostatná, zčásti čelní, zčásti parní

Kritéria hodnocení:

• A – znalosti a porozumění +
• B – aplikace a odůvodnění
• C – zpráva +
• D – reflexe a hodnocení

Oblasti interakce:

• ATL - Umět efektivně využívat čas, plánovat své aktivity v souladu se svými cíli a záměry a určit nejracionálnější sled činností. Schopnost odpovídat na otázky, uvádět důvody, argumentovat. Umět analyzovat a hodnotit vlastní vzdělávací a kognitivní aktivity, hledat cesty k řešení problémů.
• HI studenti zkoumají důsledky lidských činností

Během vyučování

I. Organizace lekce

II. Kontrola vlastní přípravy

a) č. 12.2(b, c).

Odpověď: (5; 3). Odpověď: (2; 3).

Odpověď: (4;2)

Vyjádřete jednu proměnnou pomocí druhé:

• p = p /(g * h) – hustota kapaliny
• p = g * p * h - tlak kapaliny na dně nádoby
• h = p /(g * p) – výška
• p = m/V - hustota
• m = V*p-hmotnost
• p = m / V – hustota

Algoritmus pro řešení soustavy dvou rovnic se dvěma proměnnými pomocí substituční metody:

1. Vyjádřete y pomocí x z první (nebo druhé) rovnice soustavy.
2. Do druhé (první) rovnice soustavy dosaďte místo y výraz získaný v prvním kroku.
3. Vyřešte rovnici získanou ve druhém kroku pro x.
4. Dosaďte hodnotu x zjištěnou ve třetím kroku do výrazu y ve smyslu x získaného v prvním kroku.
5. Odpověď napište jako dvojici hodnot (x; y), které byly nalezeny ve třetím a čtvrtém kroku.

Samostatná práce:

V sešitě str. 46 – 47.

• do „3“ č. 6(a);
• do „4“ č. 6(b);
• do „5“ č. 7.

III. Aktualizace referenčních znalostí

Co je to soustava lineárních rovnic ve dvou proměnných?

Soustava rovnic jsou dvě nebo více rovnic, pro které je nutné najít všechna jejich společná řešení.

Jaké je řešení soustavy rovnic ve dvou proměnných?

Řešením soustavy dvou rovnic o dvou neznámých je dvojice čísel (x,y) taková, že pokud tato čísla dosadíme do rovnic soustavy, pak se každá z rovnic soustavy změní ve skutečnou rovnost.

Kolik řešení může mít soustava lineárních rovnic ve dvou proměnných?

Pokud jsou sklony stejné, pak jsou čáry rovnoběžné a nejsou zde žádné kořeny.

Pokud se úhlové koeficienty nerovnají, pak se přímky protínají, jeden kořen (souřadnice průsečíku).

Pokud jsou sklony stejné, pak se čáry shodují a kořen je nekonečně velký.

IV. Učení nového materiálu

Vyplňte prázdná místa: Příloha 1 (následuje autotest na snímcích)

V. Práce na tématu lekce

Ve třídě: Č. 13,2 (a, d), 13,3 (a, d).

VI. Domácí práce

Odstavec 13 - učebnice; slovník; Č. 13,2 (b, c), 13,3 (b, c).

VII. Shrnutí lekce

• Hurá!!! Rozumím všemu!
• Jsou věci, na kterých musím zapracovat!
• Byly neúspěchy, ale všechno překonám!

VIII. Řešení problémů s vojenskou složkou

Hlavní bitevní tank T-80.

Přijato do provozu v roce 1976. První sériová nádrž na světě s hlavní elektrárnou na bázi motoru s plynovou turbínou.

Základní taktická a technická data (TTD):

Hmotnost, t – 46

Rychlost, km/h – 70

Dojezd, km – 335-370

Výzbroj: 125 mm kanón s hladkým vývrtem (40 kusů střeliva);

12,7 mm kulomet (300 kusů munice);

7,62 mm kulomet PKT (náboj 2000 ks)

Jak dlouho může tank T-80 zůstat v pohybu bez doplnění paliva?

Používání rovnic je v našich životech velmi rozšířené. Používají se v mnoha výpočtech, stavbě konstrukcí a dokonce i ve sportu. Člověk používal rovnice ve starověku a od té doby se jejich používání jen zvyšuje. Substituční metoda umožňuje jednoduše řešit soustavy lineárních rovnic libovolné složitosti. Podstatou metody je, že pomocí prvního výrazu soustavy vyjádříme „y“ a výsledný výraz pak dosadíme do druhé rovnice soustavy místo „y“. Vzhledem k tomu, že rovnice již neobsahuje dvě neznámé, ale pouze jednu, snadno zjistíme hodnotu této proměnné a pomocí ní pak určíme hodnotu druhé.

Předpokládejme, že máme systém lineárních rovnic následujícího tvaru:

\[\left\(\začátek(matice) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \konec(matice)\vpravo.\]

Pojďme vyjádřit \

\[\left\(\začátek(matice) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \konec(matice)\vpravo.\]

Dosadíme výsledný výraz do rovnice 2:

\[\left\(\začátek(matice) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \konec(matice)\vpravo.\]

Pojďme najít hodnotu \

Pojďme si rovnici zjednodušit a vyřešit otevřením závorek a zohledněním pravidel pro přenos pojmů:

Nyní známe hodnotu \ Použijme to k nalezení hodnoty \

Odpověď: \[(4;2).\]

Kde mohu vyřešit systém rovnic online pomocí substituční metody?

Soustavu rovnic můžete řešit na našem webu. Bezplatný online řešitel vám umožní řešit online rovnice jakékoli složitosti během několika sekund. Vše, co musíte udělat, je jednoduše zadat svá data do řešitele. Na našem webu se také dozvíte, jak rovnici vyřešit. A pokud máte další otázky, můžete se jich zeptat v naší skupině VKontakte.