Номинальная процентная ставка. Номинальная ставка процента Как рассчитывается номинальная процентная ставка

Сложные проценты могут начисляться несколько раз в году

(например, по месяцам, по кварталам, по полугодиям). Для рассмотрения этого случая введем понятие номинальной ставки.

Номинальная ставка - это годовая ставка, проценты по которой начисляются m раз в году (m > 1). Обозначим ее через j . Следовательно, за один период проценты начисляются по ставке j / m.

Пример. Если по номинальной ставке j = 20 % происходит начисление 4 раза в год, то ставка за один период (квартал) будет равна

20 % : 4 = 5%.

Формулу (8) теперь можно представить следующим образом:

S = P (1 + j / m) N , (10)

где N - общее количество периодов начисления, N= m×t, t - количество лет. С ростом частоты m начислений в году коэффициент наращения и, следовательно, абсолютный годовой доход растут.

Эффективная процентная ставка

Для сравнения реального относительного дохода за год при начислении процентов один и m раз, введем понятие эффективной ставки процентов.

Эффективная годовая ставка процентов i эф - это ставка, измеряющая реальный относительный доход, который получают в целом за год от начисления процентов, т. е. i эф - это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m - разовое начисление процентов по ставке за период i = j/ m .

Эффективная ставка находится из условия равенства двух соответствующих коэффициентов наращения за один год:

1 + i эф = (1 + j / m) m .

Отсюда следует, что

i эф = (1 + j / m) m - 1(11)

Пример. Определите эффективную ставку сложных процентов с тем, чтобы получить такую же наращенную сумму, как и при использовании номинальной ставки j =18 %, при ежеквартальном начислении процентов (m =4).

Решение. Из формулы (11) получаем:

i эф = (1 + 0,18 / 4) 4 - 1 = 0, 1925 (или 19, 25 %).

Пример . Найдите эффективную ставку, если номинальная ставка равна 25 % при ежемесячном начислении процентов.

Решение. i эф = (1 + 0,25 / 12) 12 - 1 = 0,2807 или 28,07 %.

Для сторон в сделке безразлично, применить ставку 25 % (при помесячном начислении) или годовую ставку 28,07 %.

Пример. Найдите номинальную процентную ставку, проценты по которой начисляются по полугодиям, эквивалентную номинальной ставке 24% с ежемесячным начислением процентов.

Решение . Пусть j 2 - процентная ставка, соответствующая начислению по полугодиям, j 12 - по месяцам.

Из равенства коэффициентов наращения получаем:

(1 + j 2 / 2) 2 = (1 + j 12 / 12) 12 ,

1 + j 2 / 2 = (1 + j 12 / 12) 6 Þ j 2 = 2[(1 + j 2 / 12) 6 - 1] =

2 [(1 + 0,24/12) 6 - 1 ] = 0,25 или j 2 = 25 %.

Непрерывное начисление процентов

Сумма, наращенная за t лет по формуле (10) при постоянной процентной ставке j m с увеличением числа m увеличивается, но при неограниченном возрастании m сумма S = S m стремится к конечному пределу.

Действительно

Этот факт дает основание применять непрерывное начисление процентов по годовой ставке d. При этом наращенная сумма за время t определяется формулой

S = Pe d t . (12)

Процентная ставка d называется силой роста .

Пример. Банк начисляет проценты по непрерывной ставке d=8 % на сумму 20 тыс. руб. в течение 5 лет. Найти наращенную сумму.

Решение. Из формулы (12) следует, что наращенная сумма

S = 20 000 e 0,08 × 5 = 20 000 × e 0,4 = 20 000 × 1,49182 = 29 836,49 руб.

Задачи

3.1. Сумма 400 тыс. руб. инвестируется на 2 года под 30 % годовых. Найдите наращенную сумму и сложные проценты за этот срок.

3.2. Кредит размером 500 тыс. руб. выдан под сложные проценты на 1 год по ставке 10 % в месяц. Вычислите полную сумму долга к концу срока.

3.3. Определите сложные проценты за полтора года, начисленные на 70 тыс. руб. по ставке 5 % за квартал.

3.4. На срочный вклад в банке зачислено $200 по ставке 6 % годовых. Найдите накопленные на счете суммы через 2, 3, 4 и 5 лет при условии начисления: а) простых процентов; б) сложных процентов; в) непрерывных процентов.

3.5. Рассчитайте эффективную процентную ставку, эквивалентную номинальной ставке 36 %, при ежемесячном начислении процентов. Ответ: 42,6 %.

3.6. Для номинальной ставки 12 % с начислением процентов два раза в год вычислите эквивалентную ставку, проценты по которой начисляются ежемесячно.

УЧЕТ ИНФЛЯЦИИ

В современных условиях инфляция часто играет решающую роль, и без ее учета конечные результаты представляют собой весьма условную величину. В реальной жизни инфляция проявляется в падении покупательной способности денег и общим уровнем повышения цен. Следовательно, ее необходимо учитывать при проведении финансовых операций. Рассмотрим способы ее учета.

Темпы инфляции измеряются с помощью системы индексов инфляции , которые характеризуют среднее изменение уровня цен для некоторого фиксированного набора (корзины) товаров и услуг за определенный период времени. Пусть стоимость корзины в момент времени t равна S(t) .

Индексом цен или индексом инфляции J P за время от t 1 до t 2 называется безразмерная величина

J P = S(t 1 ) / S(t 2 ),

атемпом инфляции за этот период называется относительный прирост цен:

h = = J P - 1.

Отсюда индекс цен

J P = 1 + h.

Если срок рассмотрения инфляции включает в себя n периодов, в каждом из которых средний темп инфляции равен h , то

J P = (1 + h) n .

В случае, когда темп инфляции в i - ом периоде равен h i , индекс инфляции за n периодов вычисляется по формуле

J P = (1 + h 1 ) (1 + h 2 )…(1 + h n).

Индекс инфляции J P показывает во сколько раз, а темп инфляции h - на сколько процентов выросли цены за рассматриваемый период.

Индекс покупательной способности денег J D равен обратной величине индекса цен:

J D = 1 / J P = 1/ (1 + h).

Пример. Вы имеете сумму в 140 тыс. руб. Известно, что за два предшествующих года цены выросли в два раза, т.е. индекс цен J P = 2. В этом случае индекс покупательной способности денег равен J D = 1/2. Значит, реальная покупательная способность 140 тыс. руб. составит в момент получения всего 140 × 1/2 = 70 тыс. руб. в деньгах двухлетней давности.

Если h - годовой темп инфляции, то годовой индекс цен равен 1 + h , поэтому наращенная сумма с учетом инфляции

S и = P (1 + i) n = P (13)

Очевидно, что если среднегодовой темп инфляции h равен ставке процентов i , то S и = P , т.е. роста реальной суммы не произойдет: наращение будет поглощаться инфляцией. Если h > i , то реальная сумма меньше первоначальной. Только в ситуации h < i происходит реальный рост.

Пример. Постоянный темп инфляции на уровне 10% в месяц за год приводит к росту цен в размере J P = 1,1 12 = 3,14. Таким образом, годовой темп инфляции h = J P - 1 = 2,14 или 214%.

В целях уменьшения воздействия инфляции и компенсации потерь от снижения покупательной способности денег используется индексация процентной ставки. При этом ставка корректируется в соответствии с темпом инфляции.

Скорректированная ставка называется брутто-ставкой. Вычислим эту ставку, обозначив ее через r .

Если компенсируется инфляция в размере брутто-ставки при наличии простых процентов, то величину r находим из равенства множителей наращения:

1 + n× r = (1 + n × i) J P = (1 + n × i)(1 + h) n ,

(14)

Величину брутто-ставки для наращения по сложной процентной ставке находим из равенства (n = 1):

1 + r = (1 + i)(1 + h),

r = i + h + h×i (15)

Формулы (14), (15) означают следующее: чтобы обеспечить реальную доходность в i %, при темпе инфляции h нужно назначить ставку в размере r %.

Пример. Банк выдал на 6 месяцев кредит - 5 млн руб. Ожидаемый месячный уровень инфляции – 2 %, требуемая реальная доходность операции равна 10 % годовых. Определите ставку процентов по кредиту с учетом инфляции, размер наращенной суммы и величину процентного платежа.

Решение. Индекс инфляции J P = (1 + 0,02) 6 = 1,1262. Из (14) получим величину брутто-ставки:

r = =0,365 (или 36,5 %).

Размер наращенной суммы

S= P(1 + n r) = 5 (1 + 0,5×0,365) = 5,9126 млн. руб.

Величина процентного платежа (плата за кредит)

I = 5,9126 - 5,0 = 0,9126 млн. руб.

Пример. Кредит в 1 млн. руб. выдан на два года. Реальная доходность должна составлять 11% годовых (сложные проценты). Расчетный уровень инфляции 16% в год. Определите ставку процента при выдаче кредита, а также наращенную сумму.

Решение. Из формулы (15) имеем:

r = 0,11+0,16+ 0,11× 0,16 = 0,2876;

S = 1,0 (1 + 0,2876) 2 = 1,658 млн. руб.

Задачи

4.1. Кредит 500 тыс. руб. выдается с 20.06.98г. по 15.09.98г. При выдаче кредита считается, что индекс цен к моменту его погашения составит 1,3. Определите брутто-ставку и погашаемую сумму.

Ответ: R = 134% ; S R = 658 194 руб.

4.2. Кредит в размере 5 млн руб. выдается на 3 года. Реальная доходность операции должна составлять 3 % годовых по сложной ставке. Расчетный уровень инфляции составляет 10% в год. Вычислите брутто-ставку и погашаемую сумму. Ответ: R = 13,3 % ; S к R = 7 272 098 руб.

4.3. В банк помещен вклад в сумме 100 тыс. руб. под 100 % годовых сроком на 5 лет. Ожидаемый в течение этого периода темп инфляции h = =50 % в год. Определите реальную сумму, которую будет иметь клиент по истечении пяти лет: а) с учетом инфляции; б) без учета инфляции.

4.4. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 11% реальная доходность оказалась 6 %.

ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

Обычная годовая рента

Финансовые операции часто предполагают не разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени. Примером могут служить погашение займа, арендная плата и т.д. Такие последовательности платежей называютпотоком платежей .

Пусть финансовая операция по договору начинается в момент t 0, а заканчивается в момент t n . Выплаты R k (k = 1,2,..,n ) происходят в моменты t k . Обычно полагают t 0 = 0 (рис. 1).

Финансовой рентой называется последовательность периодических выплат R k , R k > 0 , осуществляемых через равные промежутки времени.

Выплаты R k называют членами ренты. Если все выплаты одинаковы, т.е. R k = R , то рента называется постоянной.

Пусть d - период ренты, а n - число выплат, тогда произведение периода на число выплат nd представляет собой календарный срок ренты . Если выплата производится в конце каждого периода (рис. 1), то рента называется обычной , а если в начале периода, то приведенной (рис. 2).

Выбирая базовуюединицу времени, зададим процентную ставку ренты (сложную). Найдем наращенную сумму S обычной годовой ренты, состоящей из n выплат, т.е. сумму всех членов потока платежей с начисленными на них процентами к концу срока. Для этого рассмотрим конкретную задачу. Пусть в течение n лет в банк в конце каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке i% годовых (рис. 3).

Наращенная сумма S состоит из n слагаемых. Именно

S = R + R(1 + i) + R(1 + i) 2 + ...+ R( 1 + i) n- 1

Справа стоит сумма n членов геометрической прогрессии с первым членом R и знаменателем 1 + i . По формуле суммы геометрической прогрессии получим

(16)

s(n;i) и называется коэффициентом наращения обычной ренты. Формулу (16) можно переписать в виде

S = R  s(n; i)

Современной стоимостью ренты A называется сумма всех членов ренты, дисконтированных на начало срока ренты. Из условия эквивалентности для текущего и наращенного значения обычной ренты находим современное значение ренты А :

S = A(1 + i) n или A = S(1 + i) -n .

Таким образом,

. (17)

Выражение обозначается символом a(n;i) и называется дисконтирующим множителем обычной ренты или коэффициентом приведения ренты. Таким образом, современное значение ренты

A = R × a(n; i) .

Пример. Найдите текущее и наращенное значение ренты с выплатами по 320 тыс. руб. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 24 % годовых.

Решение. Эффективная ставка за месяц равна 24 %: 12 = 2 % Текущее значение вычисляется по формуле (17):

A = 320 = 6052, 4619 тыс. руб.

Наращенное значение вычисляется по формуле (14):

S = = 9734,9952 тыс. руб.

Пример. Фирма приняла решение о создании инвестиционного фонда. С этой целью в течение 5 лет в конце каждого года в банк вносится 100 тыс. руб. под 20 % годовых с последующей их капитализацией, т.е. прибавлением к уже накопленной сумме. Найдите сумму инвестиционного фонда.

Решение. Здесь рассматривается обычная годовая рента с ежегодными платежами R = 100 тыс. руб. в течение n = 5 лет. Процентная ставка i = 20%. Из формулы (16) находим:

S = 100 = 744,160 тыс. руб.

Приведенная рента

Различие между обычной рентой и приведенной заключается в том, что все выплаты R у приведенной ренты смещены влево на один период относительно выплат обычной ренты (сравним рис. 4а и 4б).

Легко понять, что на каждый член приведенной ренты начисляется процентов на один период больше, чем в обычной ренте.

Отсюда наращенная сумма приведенной ренты S P больше в (1 + i ) раз наращенной суммы обычной ренты:

S P = S (1 + i ) и s P (n ; i ) = s (n ; i ) (1 + i ).

Точно такой же зависимостью связаны современные стоимости обычной ренты А и приведенной ренты А P :

А P =А (1 + i ), а P (n ; i ) = a(n ; i ) (1 + i ) . (18)

Пример. Кредит в сумме 5 млн руб. погашается 12 равными ежемесячными выплатами. Процентная ставка по кредиту установлена в размере i =3 % в месяц. Найдите сумму ежемесячного взноса R при платеже:

а) постнумерандо (обычная рента),

б) пренумерандо (приведенная рента).

Решение . а) R × a(12;0,03) = 5 млн руб.

Коэффициент приведения a(12; 0,03) = = 9,95400 .

Отсюда R = 5млн руб./ 9,95400 = 502311 руб.

б) Аналогично предыдущему: R × a(12;0,03) = 5 млн руб. Из формулы (18):

а P (12;0,03) = a(12;0,03) × (1+ i ) = 9,954 × 1,03 = 10,25262 ;

R = 5 млн руб./10,25262 = 487680 руб.

Отложенная рента

Если срок ренты начинается в некоторый момент в будущем, то такая рента называется отложенной или отсроченной . Отложенную ренту будем считать обычной. Длина временного интервала от настоящего момента до начала ренты называется периодомотсрочки . Так период отсрочки ренты с выплатами по полугодиям и первой выплатой через два года равен 1,5 годам (рис. 5).

На рис. 5 цифра 3 (1,5 года) означает начало ренты. Начало выплат у отложенной ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. Ясно, что сдвиг по времени никак не отражается на величине наращенной суммы. Иное дело - современная стоимость ренты А .

Пусть рента выплачивается спустя k лет (или периодов) после начального периода времени. На рис.5 начальный период обозначен цифрой 0, а современная стоимость обычной ренты - А . Тогда современная величина отложенной на k лет ренты А k равна дисконтированной величине А , то есть

А k = А(1+ i)-k= R·а (n;i) (1+ i)-k . (19)

Пример. Найдите текущее значение отложенной ренты с выплатами по 100 тыс. руб. в конце каждого полугодия, если первая выплата произойдет через два года, а последняя - через пять лет. Проценты начисляются по ставке 20 % за полгода.

Решение. Начало ренты через три полугодия. Первая выплата производится в конце четвертого полугодия, а последняя - в конце. Всего 7 выплат. Из формулы (18) при k = 3; n = 7; i = 0,2 , получим:

А 3 = 100· = 208599 руб.

Пример. Найдите величину ежегодных выплат отложенной на два года ренты сроком 5 лет, современное значение которой 430 тыс. руб. Проценты начисляются по ставке 21 % годовых.

Решение. Из формулы (19) находим:

R = А k (1+ i )k /а(n ;i ) .

При k = 2; n = 5; i = 0,21 , получим:

R = 430 ·1,21 2 = 215163 руб.

Нами был рассмотрен метод расчета наращенной суммы и современной величины, когда выплаты по ренте производятся один раз в году и начисление процентов происходит также один раз в году. Однако в реальных ситуациях (в контрактах) могут предусматриваться и другие условия поступления рентных платежей, а также порядок начисления на них процентов.

5.4. Годовая рента при начисление процентов m раз в году

В этом случае рентные платежи вносятся 1раз в году. Начисление процентов будет производиться по ставке j /m , где j - номинальная (годовая) ставка сложных процентов. Величина наращенной суммы получится из формулы (16) , если в ней положить

i = (1+ j /m ) m - 1 (см. (11)).

В результате получим:

(20)

Пример. Страховая компания, заключившая договор с фирмой на 3 года, ежегодные страховые взносы в размере 500 тыс. руб. помещает в банк под 15% годовых с начислением процентов по полугодиям. Определите сумму, полученную страховой компанией по этому контракту.

Решение . Полагая в формуле (20) m = 2; n = 3; R = 500; j = 0,15 , получим:

S = 500 = 1 746 500 руб.

5.5. P - срочная рента

Рентные платежи вносятся P раз в году равными суммами, а начисление процентов производится один раз в конце года (m = 1). В этом случае член ренты будет равен R /P , а формула для наращенной суммы получается из формулы (16), в которой ставка за период i P находится из условия финансовой эквивалентности (всего периодов P ·n ):

(1 + i ) = (1 + i P ) P , i P = (1+ i ) 1/P – 1.

Подставляя полученную ставку за период i P в (16), имеем:

(21)

Пример. Страховая компания принимает установленный годовой страховой взнос 500 тыс. руб. дважды в год в течение 3 лет. Банк, обслуживающий страховую компанию, начисляет ей сложные проценты из расчета 15 % годовых один раз в году. Определите сумму, полученную компанией по истечении срока договора.

Решение. Здесь R = 500; n = 3; P = 2; m = 1. По формуле (21) находим:

S = · = 1779 тыс. руб.

Вечная рента

Под вечной рентой понимается рента с бесконечным числом платежей. Очевидно, что наращенная сумма такой ренты бесконечна, но современная величина такой ренты равна A = R /i . Для доказательства этого факта используем формулу (17) для конечной ренты:

A = R /i .

Переходя в этой формуле к пределу при n ® ¥, получим, что A = R /i .

Пример: Фирма арендует здание за $5 000 в год. Какова выкупная цена здания при годовой ставке процента 10 %?

Решение. Выкупная цена здания есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна A = R /i = 50 000 дол.

Объединение и замена рент

Общее правило объединения рент: находятся современные величины рент (слагаемых) и складываются, а затем подбирается рента - сумма с такой современной величиной и нужными остальными параметрами.

Пример. Найдите объединение двух рент: первая длительностью 5 лет с годовым платежом 1000, вторая - 8 и 800. Годовая ставка процента

Решение. Современные величины рент равны:

A 1 = R 1 × a (5;0,08)= 1000 × 3,993 = 3993; A 2 = R × a (8;0,08) = =800×5,747=4598.

А = А 1 + А 2 = 3993 + 4598 = 8591.

Следовательно, у объединенной ренты современная величина А = 8591. Далее можно задать либо длительность объединенной ренты, либо годовой платеж, затем второй из этих параметров определим из формул для рент.

Задачи

5.1. На депозитный счет с начислением сложных процентов по ставке 80 % годовых будут ежегодно в течение 5 лет вноситься суммы по 500 тыс. руб. в начале каждого года. Определите накопленную сумму.

5.2. На депозитный счет в конце каждого квартала будут вноситься суммы по 12,5 тыс. руб., на которые также ежеквартально будут начисляться сложные проценты по номинальной годовой ставке 10 % годовых. Определите накопленную за 20 лет сумму. Ответ: 3 104 783 руб.

5.3. Вычислите сумму, которую необходимо положить на счет частного пенсионного фонда, чтобы он смог выплачивать своим участникам ежемесячно 10 млн. руб. Фонд может инвестировать свои средства по постоянной ставке 5 % в месяц.

(Указание: использовать модель вечной ренты).

5.4. Бизнесмен арендовал коттедж за $10 000 в год. Какова выкупная цена коттеджа при годовой ставке 5 %. Ответ: $200 000.

5.5. В ходе судебного заседания выяснилось, что г-н А недоплачивал налогов 100 руб. ежемесячно. Налоговая инспекция хочет взыскать недоплаченные за последние два года налоги вместе с процентами (3 % ежемесячно). Какую сумму должен заплатить г-н А.

5.6. Для мелиоративных работ государство перечисляет фермеру $1000 в год. Деньги поступают на специальный счет и на них начисляют каждые полгода 5 % по схеме сложных процентов. Сколько накопится на счете через 5 лет.

5.7. Замените годовую пятилетнюю ренту с годовым платежом $1000 на ренту с полугодовым платежом по $600. Годовая ставка 5 %.

5.8. Замените годовую десятилетнюю ренту с годовым платежом $700 шестилетней годовой рентой. Годовая ставка 8 %.

5.9. Какую сумму необходимо положить в банк родителям студента, обучающегося в платном институте, чтобы раз в полгода в течение 4 лет банк перечислял в институт $420. Банковская ставка 8 % в год.

ПОГАШЕНИЕ ДОЛГА (КРЕДИТА)

В этом параграфе дается применение теории рент к планированию погашения займа (долга).

Разработка плана погашения займа заключается в составлении графика периодических платежей должника. Расходы должника называются расходами по обслуживанию долга или амортизацией займа . Эти расходы включают как текущие процентные платежи , так и средства, предназначенные для погашения основного долга .Существуют различные способы погашения долга. Участники кредитной сделки оговаривают их при заключении контракта. В соответствии с условиями контракта составляется план погашения задолженности. Важнейшим элементом плана является определение числа выплат в течение года, т.е. определение числа срочных уплат

Г) ставка, уменьшающаяся с уменьшением объекта налогообложения

Ставка процента - один из важнейших макроэкономических показателей. На финансовом рынке существует множество различных процентных ставок. Прежде всего, различаются процентные ставки по вкладам и кредитам. Например, в конце июня 2012 г. ставки по рублевым вкладам физических лиц в Сбербанке России находились в диапазоне 0,01-8,75% годовых, а ставки по кредитам на приобретение недвижимости в этом же банке - в диапазоне 11 - 16,5% годовых. Процентные ставки Сбербанка отличаются от ставок в других коммерческих банках и ставок на рынке межбанковского кредитования. Проценты в банковской системе в целом могут отличаться от процентов (или подобных им величин, например годовых доходностей акций) в других сегментах финансового рынка, например на рынках частных или государственных ценных бумаг. Дополнительно на размеры ставок могут влиять различные степени риска вложений в разных сегментах финансового рынка (большему риску соответствует больший процент). Тем не менее изменение процентных ставок в различных сегментах финансового рынка объясняется схожими механизмами, и в большинстве случаев весь широкий спектр процентных ставок в стране движется в одном направлении (если не принимать в расчет краткосрочные колебания). Поэтому в дальнейшем под процентной ставкой будем понимать некую единую, абстрактную, "среднестатистическую" процентную ставку.

Важность ставки процента заключается прежде всего в том, что она характеризует стоимость пользования заемными средствами на финансовом рынке. Рост процентных ставок означает, что займы на финансовом рынке станут более дорогими и менее доступными для потенциальных заемщиков - например фирм, желающих расширить свой бизнес и обновить используемое оборудование, или покупателей квартир, желающих получить ипотечный кредит. Если рост процентных ставок вынудит их отказаться от инвестиций, это может иметь далеко идущие нежелательные последствия для всей экономической системы страны. Что же может заставить процентные ставки вырасти? Одной из причин является усиление инфляции (особенно в современной России). Чтобы описать связь процентной ставки с инфляцией, необходимо ввести понятия реальной и номинальной процентной ставки.

Обычная процентная ставка, которую можно увидеть, приходя в банк или иное финансовое учреждение, называется номинальной (г). Номинальными являются ставки по вкладам и кредитам в Сбербанке в июне 2012 г., приведенные выше. Интересно, что в 1992 г. в этом же банке процентная ставка но вкладу (в рублях) могла достигать 190% годовых. Таким образом, каждый рубль, помещенный на этот вклад в начале 1992 г., превращался за год в 2 руб. 90 коп (1 руб. исходного вклада плюс 190%). Но становился ли в результате богаче владелец вклада? Предположим, в начале 1992 г. за 1 руб. можно было купить одну булку хлеба. Согласно официальным статистическим данным, за 1992 г. темп инфляции в России составил приблизительно 2540%. Если хлеб дорожал такими темпами, то его цена за год выросла в 26,4 раза (см. математический комментарий "Темпы роста и прироста") и к концу года составила 26 руб. 40 коп. Таким образом, в начале года на 1 руб., помещенный на вклад, можно было купить одну булку хлеба. В конце же года на полученные в банке 2 руб. 90 коп. можно было купить только приблизительно одну десятую этой булки (если точно, 2 руб. 90 кон. : 26 руб. 40 кои "0,11 булки хлеба). За счет того, что рост размера вклада в банке отставал от роста цен, вкладчик потерял девять десятых булки хлеба, или, другими словами, девять десятых покупательной способности своих денег (если точно, он потерял 89% их покупательной способности, т.е. от одной целой булки в начале года осталось только 0,11 булки в конце года и ). Величина -89%, при расчете которой номинальная процентная ставка была скорректирована на темп инфляции, называется реальной процентной ставкой. Обозначается она обычно маленькой буквой r. Располагая данными о номинальной ставке процента i и темпе инфляции π, реальную процентную ставку всегда можно рассчитать по формуле Фишера:

(здесь все три величины выражены в процентах). Пример использования формулы Фишера для наших данных 1992 г.:

В случае если темп инфляции в стране незначителен,

может использоваться более простая, приближенная формула, связывающая номинальную, реальную процентные ставки и темп инфляции:. Например, если годовой темп инфляции π составил 1%, а номинальная ставка i была равна 3%, то реальная процентная ставка равнялась примерно

Вернемся к ранее заданному вопросу, немного видоизменив его. Почему изменяются номинальные ставки процента? Из формулынайдем номинальную ставку: . Получим эффект, который называют эффектом Фишера. В соответствии с этим эффектом выделяются две основные составляющие номинальной ставки процента - реальный процент и темп инфляции и, соответственно, две причины ее изменения. Обычно финансовое учреждение (скажем, банк), при определении номинальной процентной ставки на следующий год исходит из некоторого целевого значения реальной ставки и своих ожиданий относительно будущего темпа инфляции. Если целевое значение реальной ставки +2% годовых и эксперты банка ожидают прирост цен за следующий год на 1,5%, то будет установлена номинальная ставка в 3,5% годовых. Обратите внимание, что в этом примере на формирование размера номинальной процентной ставки оказал влияние не фактический, а ожидаемый теми инфляции, что можно формализовать как , где - ожидаемый темп инфляции (е - от английского expected, ожидаемый).

Таким образом, номинальная ставка определяется двумя составляющими - реальной ставкой и ожидаемым темпом инфляции. Отметим, что колебания реальной процентной ставки обычно менее значительны, чем колебания ожидаемого темпа инфляции. В таком случае согласно эффекту Фишера динамика номинальной ставки процента в большой степени определяется динамикой ожидаемого темпа инфляции (в качестве иллюстрации предлагается рис. 2.13).

В свою очередь, ожидаемая инфляция во многом определяется прошлой историей этого экономического показателя: если в прошлом инфляция была незначительной, ожидают, что она будет незначительной и в будущем. Если же страна ранее переживала сильную инфляцию, то это порождает пессимистические ожидания и на будущее. Если в России до последнего времени темп инфляции, как правило, был двузначной величиной, это оказывало влияние и на средний размер процентных ставок в нашей стране, причем усиление инфляции приводило к повышению поминальных процентных ставок, а ослабление инфляции их несколько уменьшало.

Рис. 2.13.

Процентная ставка указана для 3-месячных казначейских векселей (Treasury bills), инфляция рассчитана как темп прироста ИПЦ для городских потребителей (CPI for All Urban Consumers) в данном месяце по отношению к аналогичному месяцу прошлого года. Источники: по данным ФРС США (federalreserve.gov) и Бюро статистики труда США (bls.gov).

Инфляционные процессы обесценивают инвестиции, поэтому решения на рынке ссудного капитала принимаются с учетом не только номинальной, но и реальной ставки процента. Номинальная ставка процента - это текущая рыночная ставка, не учитывающая уровень инфляции. Реальная ставка процента - это номинальная ставка за вычетом ожидаемых (предполагаемых) темпов инфляции. Различие между номинальной и реальной процентной ставкой приобретает смысл только в условиях инфляции (повышения общего уровня цен) или дефляции (снижения общего уровня цен).

Американский экономист Ирвинг Фишер выдвинул гипотезу относительно связи между номинальной и реальной ставкой. Она получила название эффект Фишера , который означает следующее: номинальная ставка процента изменяется так, чтобы реальная ставка оставалась неизменной: i = r + π e ,

где i – номинальная ставка процента, r - реальная ставка процента, π е – ожидаемый темп инфляции в процентах.

Различие между номинальной и реальной ставкой процента важно для понимания того, как заключаются контракты в экономике с нестабильным общим уровнем цен. Таким образом, понять процесс принятия инвестиционных решений невозможно, игнорируя различие между номинальной и реальной ставкой процента.

6. Дисконтирование и принятие инвестиционных решений

Основной капитал является производственным фактором длительного пользования, в связи с этим особую важность в функционировании рынка основного капитала приобретает фактор времени. С экономической точки зрения одинаковые суммы, имеющие разную временную локализацию, отличаются по размерам.

Что означает получить 100 долл. через 1 год? Это (при рыночной ставке, например, 10%) равнозначно тому, как если бы сегодня положить 91 долл. в банк на срочный депозит. За год на эту сумму «набежали» бы проценты и тогда через год можно было бы получить 100 долл. Иными словами, сегодняшняя стоимость будущих (полученных через 1 год) 100 долларов равна 91 доллару. При тех же условиях 100 долл., полученные через 2 года, сегодня стоят 83 долл.

Сопоставлять денежные суммы, получаемые в разное время, позволяет разработанный экономистами метод дисконтирования. Дисконтирование - это специальный прием для соизмерения текущей (сегодняшней) и будущей ценности денежных сумм.

Будущая ценность сегодняшней суммы денег рассчитывается по формуле:

где t - количество лет, r - ставка процента.

Сегодняшняя ценность будущей суммы денег (текущая дисконтированная стоимость )рассчитывается по формуле:

Пример.

Допустим, если вложить сегодня 5 млн. долл. в основной капитал, то можно построить завод по производству хозяйственной посуды, и в течение будущих 5 лет получать ежегодно 1200 тыс. долл. Выгодный ли это инвестиционный проект? (за 5 лет будет ли получено 6 млн. долл., будет ли прибыль равна 1 млн. долл.?)

Просчитаем два варианта. Ставка процента по безрисковым активам, допустим, в первом случае составляет 2%. Используем ее в качестве ставки дисконтирования, или нормы дисконта. Во втором варианте ставка дисконтирования с учетом рисков составляет 4%.

При ставке дисконтирования 2%текущая дисконтированная стоимость составит 5,434 млн. долл.:

при ставке дисконтирования 4% она равна 4,932 млн. долл.

Далее необходимо сравнить две величины: величину инвестиций (С) и сумму текущей дисконтированной стоимости (PV ), т.е. определить чистую дисконтированную стоимость (NPV ). Она представляет собой разницу между дисконтированной суммой ожидаемых доходов и издержками на инвестиции: NPV = PV - С.

Инвестирование имеет смысл только когда, когда NPV > 0. В нашем примере чистая дисконтированная ценность при ставке 2% составит: 5,434 млн. - 5 млн. = 0,434 млн. долл., а при ставке 4% - отрицательную величину: 4,932 - 5 = -0,068 млн. долл. При таких условиях критерий чистой дисконтированной ценности показывает нецелесообразность осуществления проекта.

Таким образом, процедура дисконтирования помогает хозяйствующим субъектам осуществить рациональный экономический выбор.

Довольно часто можно увидеть, на первый взгляд, выгодные предложения, которые сулят обеспечение финансовой независимости. Это могут быть и банковские депозиты, и возможности для инвестиционных портфелей. Но все ли так выгодно, как говорит реклама? Об этом мы и поговорим в рамках статьи, выяснив, что такое номинальная ставка и реальная ставка.

Процентная ставка

Но для начала поговорим про основу основ в этом деле - процентную ставку. Она отображает номинально выгоду, которую может получить определенное лицо при вложении средств во что-то. Следует отметить, что существует довольно много возможностей потерять свои сбережения или процентную ставку, которую должен получить человек:

Поэтому необходимо очень детально изучать, во что вы собираетесь инвестировать. Следует помнить, что процентная ставка часто является отображением рискованности изучаемого проекта. Так, самыми безопасными считаются те, что предлагают уровень доходности до 20%. В группу повышенного риска входят активы, которые обещают до 70% годовых. И все, что больше этих показателей - это зона опасности, в которую без наличия опыта соваться не следует. Теперь, когда есть теоретическое основание, можно поговорить и о том, что такое номинальная ставка и реальная ставка.

Понятие номинальной ставки

Определить номинальную очень просто - под ней понимают значение, которое даётся рыночным активам и оценивает их без учета инфляции. В качестве примера можно привести вас, читатель, и банк, который предлагает депозит под 20% годовых. Например, вы имеете 100 тысяч рублей и хотите их приумножить. Поэтому положили в банк на один год. И по истечению срока забрали 120 тысяч рублей. Ваша чистая прибыль составляет целых 20 000.

Но так ли все в действительности? Ведь за это время могли значительным образом подорожать продукты питания, одежда, проезд - и, скажем, не на 20, а на 30 или 50 процентов. Что делать в таком случае, чтобы получить реальную картину дел? Чему всё же нужно отдавать предпочтение при возможности выбора? Что должно быть избрано как ориентир для себя: номинальная ставка и реальная ставка или что-то одно из них?

Реальная ставка

Вот на подобные случаи и существует такой показатель, как реальная ставка доходности. Примечательно, что ее довольно легко можно посчитать. Для этого следует от номинальной ставки отнять показатель ожидаемой инфляции. Продолжая приведенный ранее пример, можно сказать так: вы положили в банк 100 тысяч рублей под 20% годовых. Инфляция составила всего 10%. В результате чистая номинальная прибыль будет 10 тысяч рублей. А если скорректировать их стоимость, то 9 000 по покупной возможности прошлого года.

Такой вариант позволяет получать хоть и незначительную, но прибыль. Теперь можно рассмотреть другую ситуацию, в которой инфляция составила уже 50 процентов. Не нужно быть гением математики, чтобы понять, что положение дел вынуждает искать какой-то другой способ для сбережения и преумножения своих средств. Но это все пока было в стиле простого описания. В экономике для расчета всего этого используется так называемое уравнение Фишера. Давайте поговорим о нем.

Уравнение Фишера и его толкование

Говорить об отличии, что имеют номинальная ставка и реальная ставка, можно только в случаях инфляции или дефляции. Давайте рассмотрим почему. Впервые мысль о взаимосвязи номинальной и реальной ставок с инфляцией выдвинул экономист Ирвинг Фишер. В виде формулы все выглядит так:

НС=РС+ОТИ

НС - это номинальная ставка процента доходности;

ОТИ - ожидаемый темп инфляции;

РС - реальная ставка.

Уравнение используется для математической описи эффекта Фишера. Он звучит так: номинальная ставка процента всегда изменяется на величину, при которой реальная остаётся неизменной.

Может показаться сложно, но сейчас разберемся подробнее. Дело в том, что когда ожидаемый составляет 1%, то номинал вырастает тоже на 1%. Поэтому создать качественный процесс принятия инвестиционных решений без принятия во внимание различия между ставками невозможно. Ранее вы только прочитали о тезисе, а сейчас имеете математические доказательства, что всё, рассказанное выше, это не простая выдумка, а, увы, печальная действительность.

Заключение

А что можно сказать в заключение? Всегда при наличии выбора необходимо качественно подходить к избиранию инвестиционного проекта для себя. Не важно, что он собой представляет: банковский депозит, участие в паевом инвестиционном фонде или что-то другое. И для просчета будущих доходов или возможных потерь всегда пользуйтесь экономическим инструментарием. Так, номинальная ставка процента может вам сулить довольно неплохой барыш сейчас, но при оценке всех параметров будет получаться, что не всё так радужно. И экономический инструментарий поможет высчитать, принятие какого решения будет самым выгодным.

Процентная ставка - это относительная величина процентных платежей на ссудный капитал за определенный период времени (обычно за год). Рассчитывается как отношение абсолютной суммы процентных платежей за год к величине ссудного капитала.

Различают номинальную и реальную ставки процента. Когда говорят о процентных ставках, то имеют ввиду реальные процентные ставки. Однако реальные ставки не могут быть непосредственно наблюдаемы. Заключая кредитный договор, мы получаем информацию о номинальных процентных ставках.

Номинальная процентная ставка - это процент в денежном выражении. Реальная процентная ставка - это увеличение реального богатства, выраженное в приросте покупательной способности инвестора или кредитора, или обменный курс, по которому сегодняшние товары и услуги, реальные блага, обмениваются на будущие товары и услуги.

Взаимосвязь между ставками может быть представлена следующим выражением:

где i - номинальная, или рыночная, ставка процента;

r - реальная ставка процента;

р - темп инфляции.

Только в особых случаях, когда на денежном рынке нет повышения цен (р=0), реальная и номинальная процентные ставки совпадают. Уравнение (2) показывает, что номинальная процентная ставка может изменяться вследствие изменений реальной процентной ставки процента или вследствие изменения инфляции. Так как заемщик и кредитор не знают, какие темпы примет инфляция, то они исходят из ожидаемых темпов инфляции. Уравнение обретает вид:

где р е - ожидаемый темп инфляции.

Уравнение (3) известно, как эффект Фишера. Его суть в том, что номинальная процентная ставка определяется не фактическим темпом инфляции, так как он не известен, а ожидаемым темпом инфляции. Динамика же номинальной процентной ставки повторяет движение ожидаемого темпа инфляции. Необходимо подчеркнуть, что при формировании рыночной ставки процента имеет значение именно ожидаемый темп инфляции в будущем с учетом срока погашения долгового обязательства, а не фактическая ставка инфляции в прошлом .

Если непредвиденная инфляция имеет место, то заемщики выигрывают за счет кредиторов, так как возвращают кредит обесценившимися деньгами. В случае дефляции кредитор выиграет за счет заемщика. Если сопоставить фактический индекс инфляции с динамикой средней ставки по краткосрочным кредитам, то можно подтвердить наличие взаимосвязи между номинальной процентной ставкой и уровнем инфляционного обесценения денег. Иногда может сложиться ситуация, когда реальные процентные ставки по кредитам имеют отрицательное значение. Это может произойти в случае превышения темпов инфляции темпов роста номинальной ставки. Отрицательные процентные ставки могут установиться в период галопирующей инфляции или при гиперинфляции, а также в период экономического спада, когда спрос на кредиты падает и номинальные процентные ставки понижаются. Положительные реальные процентные ставки означают рост доходов кредиторов. Это происходит, если инфляция снижает реальную стоимость займа (полученного кредита).

Процентные ставки могут быть фиксированными и плавающими. Фиксированная процентная ставка устанавливается на весь период пользования заемными средствами без одностороннего права ее пересмотра. Плавающая процентная ставка - это ставка по средне- и долгосрочным кредитам, которая складывается из двух частей: подвижной основы, которая меняется в соответствии с рыночной конъюнктурой и фиксированной величины, обычной неизменной в течение всего периода кредитования или обращения долговых ценных бумаг. Система процентных ставок включает ставки денежно-кредитного и фондового рынков: ставки по банковским кредитам и депозитам, казначейским, банковским и корпоративным облигациям, процентные ставки межбанковского рынка и многие другие. Их классификация определяется рядом признаком, в том числе: формами кредита, видами кредитных учреждений, видами инвестиций с привлечением кредита, сроками кредитования, видами операций кредитного учреждения . ссудный банковский процентный ставка

К основным видам процентных ставок, на которые ориентируются и кредиторы и заемщики, относятся: базовая банковская ставка, процентная ставка денежного рынка, процентная ставка по межбанковским кредитам; процентная ставка по казначейским векселям.

Рассмотрим некоторые виды номинальных процентных ставок.

Базовая банковская ставка - это минимальная ставка, устанавливаемая каждым банком по предоставляемым кредитам. Банки, предоставляют ссуды, прибавляя некоторую маржу, т.е. надбавку к базовой ставке по большой части розничных кредитов. Базовая ставка включает операционные и административные расходы банка и прибыль. Ставка устанавливается самостоятельно каждым банком. Повышение или понижение ставки у одного из банков вызовет аналогичные изменения у других банков.

Процентные ставки по коммерческим, потребительским и ипотечным кредитам. Этот вид ставок хорошо известен как предпринимателям, которые берут в банках кредиты для развития бизнеса, так и физическим лицам. Фактическая ставка по кредиту будет определяться как сумма базовой ставки и надбавки. Надбавка представляет собой премию за риск неисполнения обязательств заемщиком, а также премию за риск, связанный со срочностью кредитования. Однако если при коммерческом кредитовании значение процентной ставки известно заемщику заранее, то в потребительских кредитах реальная эффективная ставка завуалирована различными маркетинговыми ходами и обременена дополнительными вычетами: так, при объявленной ставке в 20% годовых реальная плата оказывается намного выше, достигая порой 80-100% годовых.

Ставки по срочным вкладам (депозитам) населения и компаний в коммерческих банках. Подавляющая часть предприятий, а также все большее количество физических лиц имеют счета в коммерческих банках, размещают рублевые средства в срочные вклады (т.е. депозиты), получая за это процент, выраженный при заключении депозитного договора в виде процентной ставки. Депозитные ставки по пассивным операциям банков подвержены влиянию тех же рыночных процессов, что и ставки по активным операциям. Депозитные ставки тесно связаны с прочими ставками денежно-кредитного и фондового рынков. Юридическое лицо, желающее разместить во вклад определенную сумму денежных средств, может купить на организованном рынке облигации или на неорганизованном - векселя. Депозит в банке удобнее в части оформления, но при этом наличие альтернативных возможностей размещения средств означает, что банки не могут слишком занижать процентные ставки по депозитам .

Ставки по долговым ценным бумагам (облигациям, депозитным сертификатам, векселям, коммерческим бумагам, нотам и т. д.) относятся к процентным ставкам рынка капиталов. В долговых ценных бумагах присутствует процентная ставка, под которую заемщик - эмитент ценной бумаги берет деньги в долг. Эти ставки также весьма разнообразны: купон по многолетним облигациям, ставка процента по векселям и депозитным сертификатам, доходность к погашению. Купонные ставки показывают процентный доход к номинальной стоимости облигаций. Доходность к погашению показывает процентный доход с учетом рыночной стоимости облигаций и реинвестирования получаемого купонного дохода.

Процентная ставка по казначейским векселям - ставка, по которой центральные банки западных стран продают казначейские векселя на открытом рынке. Казначейские векселя представляют собой дисконтированные ценные бумаги, т.е. они продаются ниже номинала, поэтому ставка рассматривается как дисконтная доходность.

Процентная ставка по межбанковским кредитам относится к процентным ставкам денежного рынка. Многие СМИ публикуют ставки кредитования на межбанковском рынке, когда один коммерческий банк кредитует другой на определенный срок в виде сделок. Эти ставки межбанковских кредитов (МБК) менее известны широкой публике в отличие от банковских ставок по частным вкладам. Такие ставки наиболее подвижны и в большей степени ориентированы на рыночную конъюнктуру.

Справочная ставка - необходимый инфраструктурный элемент любого ссудного рынка операций с процентными инструментами. При принятии решения о выдаче или получении кредита, об инвестировании или сбережении средств любому экономическому индивидууму (как банкам, так и предприятиям и частным лицам) необходим базовый показатель общепризнанный индикатор процентной ставки, который служил бы ориентиром общего уровня процентной ставки в данной валюте, с которым можно было бы сравнивать всевозможные ставки по различным финансовым инструментам и депозитно-кредитным продуктам на денежном рынке. В международной практике роль всеобщего маяка-ориентира среди многочисленных ставок играют индексы процентных ставок, называемые также справочными ставками. Для более длительных периодов предоставления денег в долг (а это уже рынок капиталов) роль всеобщего ориентира выполняет ставка доходности по государственным долгосрочным облигациям.