विज्ञान एवं शिक्षा की आधुनिक समस्याएँ। एक सजातीय छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन समस्या समाधान के उदाहरण

एक छड़ एक पिंड है, जिसका एक आयाम, जिसे अनुदैर्ध्य कहा जाता है, अनुदैर्ध्य दिशा के लंबवत विमान में इसके आयामों से काफी अधिक है, अर्थात। अनुप्रस्थ आयाम. छड़ की मुख्य संपत्ति अनुदैर्ध्य संपीड़न (तनाव) और झुकने के लिए प्रदान किया गया प्रतिरोध है। यह गुण मूल रूप से एक छड़ को एक डोरी से अलग करता है, जो खिंचती नहीं है और झुकने का प्रतिरोध नहीं करती है। यदि छड़ के पदार्थ का घनत्व उसके सभी बिंदुओं पर समान हो तो छड़ सजातीय कहलाती है।

आमतौर पर, एक बंद बेलनाकार सतह से घिरे विस्तारित पिंडों को छड़ माना जाता है। इस मामले में, क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र स्थिर रहता है। हम लंबाई की ऐसी ही एकसमान छड़ के व्यवहार का अध्ययन करेंगे एल, यह मानते हुए कि यह हुक के नियम का पालन करते हुए केवल संपीड़न या तनाव के अधीन है। किसी छड़ की छोटी अनुदैर्ध्य विकृतियों का अध्ययन करते समय, तथाकथित समतल खंडों की परिकल्पना.यह इस तथ्य में निहित है कि क्रॉस सेक्शन, रॉड के साथ संपीड़न या तनाव के तहत चलते हुए, सपाट और एक दूसरे के समानांतर रहते हैं।

चलो धुरी को निर्देशित करें एक्सछड़ के अनुदैर्ध्य अक्ष के अनुदिश (चित्र 19) और हम मान लेंगे कि समय के प्रारंभिक क्षण में छड़ के सिरे बिंदुओं पर हैं एक्स=0और एक्स=एल. आइए हम समन्वय के साथ छड़ का एक मनमाना खंड लें एक्स. आइए हम इसे निरूपित करें यू(एक्स,टी) समय के क्षण में इस खंड का विस्थापन टी, फिर समन्वय के साथ अनुभाग का विस्थापन समय के उसी क्षण में यह बराबर होगा

फिर अनुभाग में छड़ का सापेक्ष बढ़ाव एक्सबराबर होगा

हुक के नियम के अनुसार इस बढ़ाव का प्रतिरोध बल बराबर होगा

कहाँ इ- रॉड सामग्री का लोचदार मापांक (यंग का मापांक), और एस -संकर अनुभागीय क्षेत्र। लंबाई वाली छड़ के एक खंड की सीमाओं पर डीएक्ससेनाएं उस पर कार्रवाई करती हैं टेक्सासऔर टी एक्स + डीएक्स, अक्ष के अनुदिश निर्देशित एक्स. इन बलों का परिणाम बराबर होगा

,

और विचाराधीन छड़ के खंड का त्वरण बराबर है, तो छड़ के इस खंड की गति के समीकरण का रूप होगा:

, (67)

कहाँ ρ – रॉड सामग्री का घनत्व। यदि यह घनत्व और यंग का मापांक स्थिर है, तो हम समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करके मात्रा दर्ज कर सकते हैं एसडीएक्स, अंततः प्राप्त करें छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन का समीकरणबाहरी ताकतों की अनुपस्थिति में

(68)

इस समीकरण का रूप भी वैसा ही है अनुप्रस्थ स्ट्रिंग कंपन के लिए समीकरणऔर इसके लिए समाधान विधियाँ समान हैं, हालाँकि, गुणांक एये समीकरण विभिन्न मात्राओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। स्ट्रिंग समीकरण में, मात्रा एक 2एक अंश का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका अंश स्ट्रिंग का निरंतर तनाव बल है - टी, और हर में रैखिक घनत्व ρ , और स्ट्रिंग समीकरण में अंशों में यंग का मापांक और हर शामिल होता है – वॉल्यूमेट्रिकरॉड सामग्री घनत्व ρ . इसलिए मात्रा का भौतिक अर्थ एइन समीकरणों में अंतर है. यदि एक स्ट्रिंग के लिए यह गुणांक एक छोटे अनुप्रस्थ विस्थापन के प्रसार की गति है, तो एक छड़ के लिए यह एक छोटे अनुदैर्ध्य खिंचाव या संपीड़न के प्रसार की गति है और इसे कहा जाता है ध्वनि की गति, क्योंकि यह इस गति पर है कि ध्वनि का प्रतिनिधित्व करने वाले छोटे अनुदैर्ध्य कंपन, छड़ी के साथ फैलेंगे।

समीकरण (68) के लिए, प्रारंभिक स्थितियाँ निर्धारित की जाती हैं जो प्रारंभिक समय में रॉड के किसी भी खंड के विस्थापन और विस्थापन की गति निर्धारित करती हैं:

एक सीमित छड़ के लिए, उसके सिरों पर बन्धन या बल लगाने की शर्तें पहली, दूसरी और तीसरी प्रकार की सीमा शर्तों के रूप में निर्दिष्ट की जाती हैं।

पहली तरह की सीमा स्थितियाँ छड़ के सिरों पर अनुदैर्ध्य विस्थापन निर्दिष्ट करती हैं:

यदि छड़ के सिरे गतिहीन हैं, तो शर्तों के तहत (6) . इस मामले में, क्लैंप्ड स्ट्रिंग के दोलन की समस्या की तरह, हम चरों को अलग करने की विधि लागू करते हैं।

दूसरे प्रकार की सीमा स्थितियों में, समय के आधार पर हुक के नियम के अनुसार विरूपण के परिणामस्वरूप लोचदार बल रॉड के सिरों पर निर्दिष्ट होते हैं। सूत्र (66) के अनुसार, ये बल, एक स्थिर कारक तक, व्युत्पन्न के बराबर होते हैं यू एक्सइसलिए, अंत में इन व्युत्पन्नों को समय के कार्यों के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है:

यदि छड़ का एक सिरा स्वतंत्र है, तो इस सिरे पर यू एक्स = 0.

तीसरे प्रकार की सीमा स्थितियों को उन स्थितियों के रूप में दर्शाया जा सकता है जिनके तहत छड़ के प्रत्येक छोर पर एक स्प्रिंग जुड़ा होता है, जिसका दूसरा छोर एक निश्चित समय कानून के अनुसार अक्ष के साथ चलता है θ (टी), जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 20. इन शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है

, (72)

कहाँ क 1 और क 2 - स्प्रिंग कठोरता.

यदि छड़ पर अक्ष के अनुदिश कोई बाह्य बल भी कार्य करता है पी(एक्स,टी), प्रति इकाई आयतन की गणना करें, तो समीकरण (50) के स्थान पर अमानवीय समीकरण लिखना चाहिए

,

जो विभाजित करने पर रूप धारण कर लेता है

, (73)

कहाँ . समीकरण (73) छड़ के मजबूर अनुदैर्ध्य कंपन का समीकरण है, जिसे स्ट्रिंग के मजबूर कंपन के समीकरण के अनुरूप हल किया जाता है।

टिप्पणी।यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि स्ट्रिंग और रॉड दोनों वास्तविक निकायों के मॉडल हैं, जो वास्तव में स्ट्रिंग और रॉड दोनों के गुणों को प्रदर्शित कर सकते हैं, यह उन स्थितियों पर निर्भर करता है जिनमें वे स्थित हैं। इसके अलावा, परिणामी समीकरण पर्यावरणीय प्रतिरोध बलों और आंतरिक घर्षण बलों को ध्यान में नहीं रखते हैं, जिसके परिणामस्वरूप ये समीकरण अविभाजित दोलनों का वर्णन करते हैं। भिगोना प्रभाव को ध्यान में रखने के लिए, सबसे सरल मामले में, एक विघटनकारी बल का उपयोग किया जाता है, जो गति के समानुपाती होता है और गति के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है, अर्थात। रफ़्तार। परिणामस्वरूप, समीकरण (73) का रूप ले लेता है

(74)

1

एक कठोर बाधा के प्रभाव पर ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखते हुए या उसके बिना चरण-परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन की छड़ों के अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या को हल करने के लिए एक आवृत्ति विधि प्रस्तावित है। गैर-शून्य प्रारंभिक स्थितियों की उपस्थिति में छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन का समीकरण लाप्लास के अनुसार बदल जाता है। एक सीमा मूल्य समस्या हल हो गई है, जिसमें किनारे के विस्थापन के कार्यों के रूप में लाप्लास-रूपांतरित किनारे अनुदैर्ध्य बलों को ढूंढना शामिल है। फिर नोड्स के संतुलन के लिए समीकरणों की एक प्रणाली संकलित की जाती है, जिसे हल करके ब्याज की छड़ के वर्गों के लिए आयाम-चरण-आवृत्ति विशेषताओं (एपीएफसी) का निर्माण किया जाता है। व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन निष्पादित करके, एक संक्रमण प्रक्रिया का निर्माण किया जाता है। एक परीक्षण उदाहरण के रूप में, परिमित लंबाई के निरंतर क्रॉस-सेक्शन की एक छड़ पर विचार किया जाता है। ज्ञात तरंग समाधान के साथ तुलना दी गई है। किसी कठोर बाधा से टकराने पर रॉड की गतिशील गणना के लिए प्रस्तावित विधि असीमित संख्या में लोचदार रूप से जुड़े द्रव्यमान की उपस्थिति में एक मनमानी रॉड प्रणाली को सामान्यीकरण की अनुमति देती है, जिसमें सिरों पर और रॉड की लंबाई के साथ एक मनमाना बल लगाया जाता है। .

आवृत्ति विधि

छड़ का अनुदैर्ध्य कंपन

1. बिडरमैन, वी.एल. यांत्रिक कंपन का अनुप्रयुक्त सिद्धांत / वी.एल. बिडरमैन. - एम.: हायर स्कूल, 1972. - 416 पी.

2. लावेरेंटिएव, एम.ए. एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के तरीके / एम.ए. लावेरेंटिएव, बी.वी. शबात। - एम.: नौका, 1973. - 736 पी.

3. संकिन, यू.एन. वितरित मापदंडों के साथ विस्कोइलास्टिक सिस्टम की गतिशील विशेषताएं / यू.एन. संकिन. - सेराटोव: पब्लिशिंग हाउस सेराट। विश्वविद्यालय, 1977. - 312 पी।

4. संकिन, यू.एन. किसी बाधा से टकराने पर रॉड सिस्टम का अस्थिर कंपन / यू.एन. संकिन, एन.ए. युगानोवा; सामान्य के अंतर्गत ईडी। यू.एन. संकीना. - उल्यानोवस्क: उल्यानोवस्क राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय, 2010. - 174 पी।

5. संकिन, वाई.एन. कठोर बाधा से टकराने वाले चरण-परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन की लोचदार छड़ों के अनुदैर्ध्य कंपन \ यू। एन. संकिन और एन.ए. युगानोवा, जे. एपल. मैथ्स मेक्स, वॉल्यूम। 65, क्रमांक 3, पृ. 427-433, 2001।

आइए एक कठोर बाधा के प्रभाव पर ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखते हुए या उसके बिना चरण-परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन की छड़ों के अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या को हल करने के लिए आवृत्ति विधि पर विचार करें, जिसकी तुलना हम ज्ञात तरंग समाधान और समाधान से करेंगे। कंपन मोड की एक श्रृंखला का रूप (14)।

आंतरिक प्रतिरोध की ताकतों को ध्यान में रखते हुए, रॉड के अनुदैर्ध्य कंपन के लिए अंतर समीकरण का रूप है:

आइए निम्नलिखित सीमा और प्रारंभिक शर्तें निर्धारित करें:

. (2)

आइए दी गई प्रारंभिक स्थितियों (2) के लिए लाप्लास के अनुसार समीकरण (1) और सीमा शर्तों (2) को रूपांतरित करें। फिर समीकरण (2) और सीमा शर्तें (2) इस प्रकार लिखी जाएंगी:

; (3)

,

छड़ के बिंदुओं के लाप्लास-परिवर्तित विस्थापन कहाँ हैं; पी लाप्लास ट्रांसफॉर्म पैरामीटर है।

ऊर्जा अपव्यय (पर = 0) को ध्यान में रखे बिना समीकरण (3) रूप लेगा:

. (4)

परिणामी अमानवीय अंतर समीकरण के लिए, एक सीमा मूल्य समस्या हल की जाती है, जिसमें किनारे के विस्थापन के कार्यों के रूप में लाप्लास-रूपांतरित किनारे अनुदैर्ध्य बलों को ढूंढना शामिल है।

ऐसा करने के लिए, ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखते हुए रॉड के अनुदैर्ध्य कंपन के सजातीय समीकरण पर विचार करें

(5)

तय किया

और एक नए वेरिएबल पर जाने पर, हमें (5) के बजाय मिलता है

(6)

यदि, आवृत्ति पैरामीटर कहां है, तो

.

सजातीय समीकरण (6) का हल इस प्रकार है:

हम प्रारंभिक स्थितियों से एकीकरण स्थिरांक c1 और c2 पाते हैं:

उ = उ0 ; एन = एन0,

वे। ;

यह समाधान निम्नलिखित स्थानांतरण मैट्रिक्स से मेल खाता है:

. (7)

स्थानांतरण मैट्रिक्स के तत्वों के लिए परिणामी अभिव्यक्तियों को विस्थापन विधि के सूत्रों में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

; (8)

;

सूचकांक n और k क्रमशः रॉड सेक्शन की शुरुआत और अंत को दर्शाते हैं। और सूचकांक एनके और केएन के साथ ज्यामितीय और भौतिक स्थिरांक रॉड के एक विशिष्ट खंड को संदर्भित करते हैं।

रॉड को तत्वों में विभाजित करते हुए, सूत्र (8) का उपयोग करके, हम नोड्स के गतिशील संतुलन के लिए समीकरण बनाएंगे। ये समीकरण अज्ञात नोडल विस्थापनों के लिए समीकरणों की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं। चूंकि संबंधित गुणांक सटीक एकीकरण द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, इसलिए रॉड अनुभागों की लंबाई सीमित नहीं है।

समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करके, हम रॉड के उन वर्गों के लिए आयाम-चरण-आवृत्ति विशेषताओं का निर्माण करते हैं जिनमें हमारी रुचि है। इन एएफसी को एक तरफा फूरियर ट्रांसफॉर्म की ग्राफिकल छवि के रूप में माना जा सकता है, जो स्पंदित प्रभावों के तहत लाप्लास ट्रांसफॉर्म के साथ मेल खाता है। चूँकि संगत भावों के सभी एकवचन बिंदु काल्पनिक अक्ष के बाईं ओर स्थित हैं, इसलिए उलटा परिवर्तन मानकर किया जा सकता है, अर्थात। निर्मित एएफसी का उपयोग करना। एएफसी के निर्माण का कार्य, जहां प्रारंभिक वेग का क्षेत्र रॉड के घनत्व से गुणा होकर एक बल क्रिया के रूप में प्रकट होता है, सहायक है। आमतौर पर, एएफसी का निर्माण अशांतकारी ताकतों के प्रभाव से किया जाता है, फिर व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन संख्यात्मक एकीकरण या किसी अन्य विधि द्वारा किया जाता है।

एक सरल उदाहरण के रूप में, लंबाई l की एक सीधी छड़ पर विचार करें, जो V0 गति से एक कठोर बाधा से अनुदैर्ध्य रूप से टकराती है (चित्र 1)।

आइए प्रभाव के बाद छड़ के बिंदुओं के विस्थापन का निर्धारण करें। हम मान लेंगे कि प्रभाव के बाद बाधा और छड़ के बीच संपर्क बना रहता है, यानी। छड़ी का कोई पलटाव नहीं है. यदि कनेक्शन गैर-युक्त है, तो समस्या को टुकड़े-टुकड़े रैखिक माना जा सकता है। किसी अन्य समाधान विकल्प पर जाने का मानदंड संपर्क के बिंदु पर गति के संकेत में बदलाव है।

लावेरेंटयेव एम.ए., शबात बी.वी. द्वारा मोनोग्राफ में। समीकरण (4) का तरंग समाधान दिया गया है:

और उसका मूल मिल गया

, (9)

यूनिट स्टेप फ़ंक्शन कहां है.

इस समस्या को हल करने का एक अन्य तरीका वर्णित आवृत्ति विधि द्वारा किया जा सकता है। इस समस्या के संबंध में हमारे पास होगा:

; ;

; ;

; ;

. (10)

आइए मूल खोजें (11)

आइए आवृत्ति विधि का उपयोग करके उसी समस्या को हल करें। पहले नोड के संतुलन समीकरण से:

(12)

हमें छड़ के सिरे को हिलाने का सूत्र प्राप्त होता है।

अब, यदि स्थिर क्रॉस-सेक्शन की एक परीक्षण छड़ को लंबाई l1 और l2 के दो मनमाने खंडों में विभाजित किया जाता है (चित्र 1 देखें), तो नोड्स के लिए संतुलन की स्थिति इस प्रकार होगी:

(13)

सिस्टम (13) को हल करने के परिणामस्वरूप, हम पहले और दूसरे खंड (क्रमशः यू1 और यू2) में विस्थापन के लिए चरण-आवृत्ति प्रतिक्रिया के ग्राफ प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, (12) और (13) के मामले में, ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में रखते हुए, बंद रूप में किनारे के विस्थापन की छवि मेल खाती है और इसका रूप है:

. (14)

आइए रॉड के अंत में परिणामों के संयोग की जाँच करें। चित्र में. चित्र 2 x = l0.1 पर समाधान (10) के ग्राफ़ और समाधान प्रणाली (13) के परिणामस्वरूप दिखाता है। वे पूरी तरह से एक जैसे हैं.

क्षणिक प्रक्रिया प्राप्त करने के लिए असतत फूरियर रूपांतरण का उपयोग किया जा सकता है। परिणाम सूत्र का उपयोग करके t=0... पर संख्यात्मक एकीकरण करके प्राप्त किया जा सकता है

. (15)

एएफसी में (चित्र 2 देखें), केवल एक दृश्य मोड़ ही महत्वपूर्ण रूप से प्रकट होता है। अतः श्रृंखला का एक पद (15) लेना चाहिए। चित्र 3 में ग्राफ़ दिखाते हैं कि समाधान (9) और कंपन मोड (11) का समाधान प्रस्तावित आवृत्ति समाधान के साथ कितना सटीक मेल खाता है। त्रुटि 18% से अधिक नहीं है. परिणामी विसंगति को इस तथ्य से समझाया गया है कि समाधान (9) और (11) रॉड सामग्री में ऊर्जा अपव्यय को ध्यान में नहीं रखते हैं।

चावल। 3. छड़ के अंत के लिए क्षणिक प्रक्रिया; 1, 2, 3 - सूत्र (9), (11), (15) के अनुसार निर्मित ग्राफ़।

एक अधिक जटिल उदाहरण के रूप में, अंत में भार के साथ एक चरणबद्ध छड़ (चित्र 4) के अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या पर विचार करें, जो गति V0 के साथ एक कठोर बाधा से टकराती है, और भार के द्रव्यमान को द्रव्यमान के बराबर होने दें छड़ के निकटवर्ती भाग का:.

चावल। 4. अंत में भार के साथ एक चरणबद्ध छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन की गणना आरेख

आइए हम छड़ के विशिष्ट खंड 1,2,3 का परिचय दें जिसमें हम विस्थापन की गणना करेंगे। आइए समीकरणों को हल करने की एक प्रणाली बनाएं:

(16)

सिस्टम (16) को हल करने के परिणामस्वरूप, हम दूसरे और तीसरे खंड (क्रमशः यू2() और यू3()) में विस्थापन के लिए चरण-आवृत्ति प्रतिक्रिया (छवि 5) के ग्राफ प्राप्त करते हैं। गणना निम्नलिखित स्थिर मानों के साथ की गई: एल = 2 मीटर; ई = 2.1×1011 पा; एफ = 0.06 एम2; = 7850 किग्रा/एम3; वी = 10 मी/से. प्राप्त एएफसी में, केवल दो दृश्य मोड़ ही महत्वपूर्ण रूप से प्रकट होते हैं। इसलिए, चयनित अनुभागों में संक्रमण प्रक्रिया का निर्माण करते समय, हम श्रृंखला के दो पद (16) लेते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको पहले यह निर्धारित करना होगा

चावल। 5. चरणबद्ध छड़ के दूसरे और तीसरे खंड में विस्थापन का एएफसी (चित्र 4 देखें)

संक्रमण प्रक्रिया का निर्माण सूत्र (15) का उपयोग करके इसी तरह किया जाता है।

निष्कर्ष: किसी बाधा से टकराने पर छड़ों के अनुदैर्ध्य कंपन की गणना के लिए एक विधि विकसित की गई है।

समीक्षक:

लेबेदेव ए.एम., तकनीकी विज्ञान के डॉक्टर, एसोसिएट प्रोफेसर, उल्यानोवस्क हायर एविएशन स्कूल (संस्थान), उल्यानोवस्क के प्रोफेसर।

एंटोनेट्स आई.वी., तकनीकी विज्ञान के डॉक्टर, उल्यानोवस्क राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय, उल्यानोवस्क के प्रोफेसर।

ग्रंथ सूची लिंक

युगानोवा एन.ए. किसी कठोर बाधा से टकराव में छड़ों का अनुदैर्ध्य कंपन // विज्ञान और शिक्षा की आधुनिक समस्याएं। – 2014. – नंबर 2.;
यूआरएल: http://science-education.ru/ru/article/view?id=12054 (पहुँच तिथि: 01/15/2020)। हम आपके ध्यान में प्रकाशन गृह "अकादमी ऑफ नेचुरल साइंसेज" द्वारा प्रकाशित पत्रिकाएँ लाते हैं।

वितरित मापदंडों के साथ सिस्टम का मुक्त दोलन

स्वतंत्रता की अनंत डिग्री वाले सिस्टम के मुक्त दोलनों की प्रक्रिया की मुख्य विशेषता प्राकृतिक आवृत्तियों और मोड आकृतियों की संख्या की अनंतता में व्यक्त की जाती है। यह गणितीय विशेषताओं से भी जुड़ा है: सामान्य अंतर समीकरणों के बजाय जो स्वतंत्रता की सीमित संख्या वाली प्रणालियों के दोलनों का वर्णन करते हैं, यहां हमें आंशिक अंतर समीकरणों से निपटना होगा। प्रारंभिक विस्थापन और वेग निर्धारित करने वाली प्रारंभिक स्थितियों के अलावा, सिस्टम के निर्धारण की विशेषता वाली सीमा स्थितियों को भी ध्यान में रखना आवश्यक है।

6.1. छड़ों का अनुदैर्ध्य कंपन

एक सीधी छड़ (चित्र 67, ए) के अनुदैर्ध्य कंपन का विश्लेषण करते समय, हम मान लेंगे कि क्रॉस सेक्शन सपाट रहते हैं और छड़ के कण अनुप्रस्थ गति नहीं करते हैं, बल्कि केवल अनुदैर्ध्य दिशा में चलते हैं।

होने देना यू - कंपन के दौरान रॉड के वर्तमान खंड की अनुदैर्ध्य गति; यह गति अनुभाग के स्थान (निर्देशांक x) और समय t पर निर्भर करती है। तो दो चर का एक कार्य है; इसकी परिभाषा मुख्य कार्य का प्रतिनिधित्व करती है। एक असीम रूप से करीबी खंड का विस्थापन बराबर है, इसलिए, एक असीम रूप से छोटे तत्व का पूर्ण बढ़ाव बराबर है (छवि 67, बी), और इसका सापेक्ष बढ़ाव है।

तदनुसार, निर्देशांक के साथ अनुभाग में अनुदैर्ध्य बल एक्सके रूप में लिखा जा सकता है

,(173)

तनाव (संपीड़न) में छड़ की कठोरता कहाँ है। बल N भी दो तर्कों का एक फलन है - निर्देशांक एक्सऔर समय टी.

आइए हम दो असीम रूप से करीबी खंडों के बीच स्थित एक रॉड तत्व पर विचार करें (चित्र 67, सी)। तत्व के बाईं ओर एक बल N लगाया जाता है, और दाईं ओर एक बल लगाया जाता है। यदि हम छड़ की सामग्री के घनत्व को दर्शाते हैं, तो प्रश्न में तत्व का द्रव्यमान है। इसलिए, अक्ष पर प्रक्षेपण में गति का समीकरण एक्स

,

विचार करना(173)और स्वीकार करना ए= स्थिरांक, हमें मिलता है

फूरियर विधि का अनुसरण करते हुए, हम फॉर्म में अंतर समीकरण (175) के लिए एक विशेष समाधान की तलाश करते हैं

,(177)

वे। मान लीजिए कि आंदोलन यूइसे दो कार्यों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से एक केवल तर्क पर निर्भर करता है एक्स, और दूसरा केवल तर्क t से। फिर, दो चर u (x, t) के एक फ़ंक्शन को परिभाषित करने के बजाय, दो फ़ंक्शन X (x) और T (t) को परिभाषित करना आवश्यक है, जिनमें से प्रत्येक केवल एक चर पर निर्भर करता है।

(177) को (174) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

जहाँ अभाज्य संख्याएँ संबंध में विभेदन की क्रिया को दर्शाती हैं एक्स, और बिंदुओं द्वारा टी. आइए इस समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

यहां बायां पक्ष केवल x पर और दायां पक्ष केवल t पर निर्भर करता है। इस समानता को समान रूप से धारण करने के लिए (किसी के लिए भी)। एक्सऔर टी) यह आवश्यक है कि इसका प्रत्येक भाग एक स्थिरांक के बराबर हो, जिसे हम इस प्रकार दर्शाते हैं:

; .(178)

इससे दो समीकरण बनते हैं:

;.(179)

पहले समीकरण का एक हल है:

,(180)

एक दोलनशील प्रकृति का संकेत देता है, और (180) से यह स्पष्ट है कि अज्ञात मात्रा में मुक्त दोलनों की आवृत्ति का अर्थ है।

समीकरणों के दूसरे (179) का एक हल है:

,(181)

कंपन के आकार का निर्धारण.

मान निर्धारित करने वाला आवृत्ति समीकरण सीमा शर्तों का उपयोग करके संकलित किया जाता है। यह समीकरण सदैव पारलौकिक होता है और इसके मूलों की संख्या अनंत होती है। इस प्रकार, प्राकृतिक आवृत्तियों की संख्या अनंत है, और प्रत्येक आवृत्ति मान निर्भरता (180) द्वारा निर्धारित अपने स्वयं के फ़ंक्शन टी एन (टी) से मेल खाता है, और निर्भरता (181) द्वारा निर्धारित अपने स्वयं के फ़ंक्शन एक्सएन (एक्स) से मेल खाता है। समाधान (177) केवल आंशिक है और गति का पूर्ण विवरण प्रदान नहीं करता है। सभी आंशिक समाधानों को सुपरइम्पोज़ करके पूर्ण समाधान प्राप्त किया जाता है:

.

फलन X n (x) कहलाते हैं स्वयं के कार्यसमस्याएं और कंपन के अपने तरीकों का वर्णन करें। वे प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं होते हैं और ऑर्थोगोनैलिटी स्थिति को संतुष्ट करते हैं, जिसके लिए A=const का रूप होता है

, अगर ।

आइए सीमा शर्तों के लिए कुछ विकल्पों पर विचार करें।

छड़ का निश्चित सिरा(चित्र 68, ए)। अंतिम खंड पर, विस्थापन यू शून्य होना चाहिए; यह इस खंड में इसका अनुसरण करता है

एक्स=0(182)

छड़ी का मुक्त सिरा(चित्र 68, बी)। अंत खंड पर, अनुदैर्ध्य बल

(183)

बिल्कुल शून्य के बराबर होना चाहिए, जो संभव है यदि अंत में खंड X"=0 हो।

लचीला छड़ी का अंत(चित्र 68, सी)।

चलते समय यूअंत छड़, एक लोचदार समर्थन प्रतिक्रिया होती है , जहां C o समर्थन की कठोरता है। अनुदैर्ध्य बल के लिए (183) को ध्यान में रखते हुए, हम सीमा स्थिति प्राप्त करते हैं

यदि समर्थन रॉड के बाएं छोर पर स्थित है (चित्र 68, सी), और

यदि समर्थन रॉड के दाहिने छोर पर स्थित है (चित्र 68, डी)।

छड़ के अंत में संकेंद्रित द्रव्यमान।

द्रव्यमान द्वारा विकसित जड़त्व बल:

.

चूँकि, समीकरणों में से पहले (179) के अनुसार, जड़त्व बल को रूप में लिखा जा सकता है। हमें सीमा की स्थिति प्राप्त होती है

,

यदि द्रव्यमान बाएं छोर पर है (चित्र 68, डी), और

, (184)

यदि द्रव्यमान दाहिने सिरे से जुड़ा है (चित्र 68, ई)।

आइए हम कैंटिलीवर रॉड की प्राकृतिक आवृत्तियों का निर्धारण करें (चित्र 68,ए")।

(182) और (183) के अनुसार, सीमा शर्तें

X=0पर x=0;

X"=0 पर एक्स= .

इन शर्तों को एक-एक करके समाधान (181) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

स्थिति C0 आवृत्ति समीकरण की ओर ले जाती है:

इस समीकरण की जड़ें

(एन=1,2,…)

प्राकृतिक आवृत्तियों का निर्धारण करें:

(n=1,2,…).(185)

n=1 पर पहली (न्यूनतम) आवृत्ति:

.

दूसरी आवृत्ति (n=2 पर):

आइए हम अंत में द्रव्यमान वाली एक छड़ की प्राकृतिक आवृत्तियों का निर्धारण करें (चित्र 68, एफ)।

(182) और (184) के अनुसार, हमारे पास है

X=0 पर x=0;

x= पर.

इन शर्तों को समाधान (181) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

डी=0; .

नतीजतन, (176) को ध्यान में रखते समय आवृत्ति समीकरण का रूप होता है

.

यहां दाहिना भाग छड़ के द्रव्यमान और अंतिम भार के द्रव्यमान के अनुपात को दर्शाता है।

परिणामी पारलौकिक समीकरण को हल करने के लिए, कुछ अनुमानित विधि का उपयोग करना आवश्यक है।

पर और सबसे महत्वपूर्ण निम्नतम मूल का मान क्रमशः 0.32 और 0.65 होगा।

छोटे अनुपात में, भार का निर्णायक प्रभाव होता है और अनुमानित समाधान अच्छे परिणाम देता है

.

परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन की सलाखों के लिए, यानी। Аconst के लिए, (173) और (174) से गति का समीकरण इस रूप में प्राप्त होता है

.

इस अवकल समीकरण को बंद रूप में हल नहीं किया जा सकता। इसलिए, ऐसे मामलों में प्राकृतिक आवृत्तियों को निर्धारित करने के लिए अनुमानित तरीकों का सहारा लेना आवश्यक है।

6.2. शाफ्टों का मरोड़ वाला कंपन

लगातार वितरित द्रव्यमान (चित्र 69, ए) के साथ शाफ्ट के मरोड़ वाले कंपन को समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है, जो संरचना में, छड़ के अनुदैर्ध्य कंपन के लिए उपरोक्त समीकरणों से पूरी तरह मेल खाते हैं।

एब्सिस्सा के साथ अनुभाग में टॉर्क एम एक्स(173) के समान अंतर निर्भरता द्वारा घूर्णन के कोण से संबंधित है:

कहाँ जेपी- क्रॉस सेक्शन की जड़ता का ध्रुवीय क्षण।

की दूरी पर स्थित एक खंड में डीएक्स, टोक़ बराबर है (चित्र 69, बी):

अपनी धुरी के सापेक्ष शाफ्ट द्रव्यमान की जड़ता के क्षण की तीव्रता (यानी, प्रति इकाई लंबाई की जड़ता का क्षण) के माध्यम से निरूपित करना (शाफ्ट सामग्री का घनत्व कहां है), शाफ्ट के एक प्राथमिक खंड की गति का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है:

,

या समान (174):

.

यहां अभिव्यक्ति (186) को प्रतिस्थापित करते हुए, के साथ जेपी= स्थिरांक हमें मिलता है, इसी तरह (175):

, (187)

समीकरण (187) का सामान्य समाधान, समीकरण (175) की तरह, इस प्रकार है

,

(188)

प्राकृतिक आवृत्तियाँ और स्वदेशी कार्य विशिष्ट सीमा स्थितियों द्वारा निर्धारित होते हैं।

सिरों को ठीक करने के मुख्य मामलों में, अनुदैर्ध्य कंपन के मामले के समान, हम प्राप्त करते हैं

ए) निश्चित अंत (=0): एक्स=0;

बी) मुक्त अंत (एम=0): एक्स"=0;

वी) लचीलाबायां छोर: CoХ=GJpX "(सह-कठोरता गुणांक);

जी) लचीलादायां छोर: -CoX=GJpX ";

घ) बाएं छोर पर डिस्क: (जो रॉड की धुरी के सापेक्ष डिस्क की जड़ता का क्षण है);

ई) दाहिने छोर पर डिस्क: .

यदि शाफ्ट बाएं छोर (x=0) पर स्थिर है, और दायां सिरा (x=) मुक्त है, तो x=0 पर x=0 और x=0 पर X"=0; प्राकृतिक आवृत्तियों को इसी तरह निर्धारित किया जाता है ( 185):

(एन=1,2,…).

यदि बायां सिरा स्थिर है और दाहिने सिरे पर एक डिस्क है, तो हमें पारलौकिक समीकरण मिलता है:

.

यदि शाफ्ट के दोनों सिरे स्थिर हैं, तो x=0 और x= के लिए सीमा शर्तें X=0 होंगी। इस मामले में, (188) से हम प्राप्त करते हैं

वे।

(एन=1,2,…),

यहाँ से हमें प्राकृतिक आवृत्तियाँ मिलती हैं:

यदि शाफ्ट का बायाँ सिरा मुफ़्त है, और दाएँ सिरे पर एक डिस्क है, तो x=0 के लिए X"=0; जो X= के लिए X=GJpX "है।

(188) का उपयोग करके हम पाते हैं

सी=0; ,

या पारलौकिक आवृत्ति समीकरण:

.

6.3.बीमों का झुकने वाला कंपन

6.3.1. मूल समीकरण

सामग्री की ताकत के पाठ्यक्रम से, झुकने वाले बीम के लिए अंतर निर्भरताएँ ज्ञात होती हैं:

जहां ईजे झुकने वाली कठोरता है; y=y (x, t) - विक्षेपण; एम=एम(एक्स, टी) - झुकने का क्षण; q वितरित भार की तीव्रता है।

(189) और (190) को मिलाने पर हमें प्राप्त होता है

.(191)

मुक्त कंपन की समस्या में, लोचदार कंकाल के लिए भार वितरित जड़त्वीय बल है:

जहां m किरण के द्रव्यमान की तीव्रता (द्रव्यमान प्रति इकाई लंबाई) है, और समीकरण (191) रूप लेता है

.

स्थिर क्रॉस सेक्शन के विशेष मामले में, जब ईजे = स्थिरांक, एम = स्थिरांक, हमारे पास है:

.(192)

समीकरण (192) को हल करने के लिए, हम ऊपर बताए अनुसार मान लेते हैं,

य= एक्स ( एक्स)× टी ( टी ).(193)

(193) को (192) में प्रतिस्थापित करने पर, हम समीकरण पर पहुंचते हैं:

.

इस समानता को समान रूप से पूरा करने के लिए यह आवश्यक है कि समानता के प्रत्येक भाग स्थिर रहें। इस स्थिरांक को से निरूपित करने पर, हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं:

.(195)

पहला समीकरण इंगित करता है कि गति आवृत्ति के साथ दोलनशील है।

दूसरा समीकरण कंपन के आकार को निर्धारित करता है। समीकरण (195) के समाधान में चार स्थिरांक हैं और इसका रूप है

ए.एन. क्रायलोव द्वारा प्रस्तावित सामान्य समाधान लिखने के संस्करण का उपयोग करना सुविधाजनक है:

(198)

ए.एन. क्रायलोव के कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

आइए इस तथ्य पर ध्यान दें कि S=1, T=U=V=0 x=0 पर। फलन S,T,U,V इस प्रकार आपस में जुड़े हुए हैं:

इसलिए, व्युत्पन्न अभिव्यक्तियाँ (197) रूप में लिखी जाती हैं

(200)

विचाराधीन वर्ग की समस्याओं में, प्राकृतिक आवृत्तियों की संख्या असीम रूप से बड़ी है; उनमें से प्रत्येक का अपना समय फलन T n और अपना मौलिक फलन X n है। सामान्य समाधान प्रपत्र के आंशिक समाधान लगाकर प्राप्त किया जाता है (193)

.(201)

प्राकृतिक आवृत्तियों और सूत्रों को निर्धारित करने के लिए सीमा स्थितियों पर विचार करना आवश्यक है।

6.3.2. सीमा की स्थितियाँ

बार के प्रत्येक छोर के लिए, आप दो सीमा शर्तें निर्दिष्ट कर सकते हैं .

छड़ी का मुक्त सिरा(चित्र 70, ए)। अनुप्रस्थ बल Q=EJX""T और झुकने का क्षण M=EJX""T शून्य के बराबर है, इसलिए सीमा की स्थिति का रूप है

एक्स""=0; एक्स"""=0 .(202)

छड़ का टिका-समर्थित सिरा(चित्र 70, बी)। विक्षेपण y=XT और बंकन क्षण M=EJX""T शून्य के बराबर हैं। इसलिए, सीमा शर्तें हैं:

एक्स=0 ; एक्स""=0 .(203)

पिंच किया हुआ अंत(चित्र 70, सी)। विक्षेपण y=XT और घूर्णन कोण शून्य के बराबर हैं। सीमा की स्थितियाँ:

एक्स=0; एक्स"=0। (204)

छड़ के अंत में एक बिंदु द्रव्यमान होता है(चित्र 70, डी)। उसकी जड़ता बल समीकरण (194) का उपयोग करके निम्नानुसार लिखा जा सकता है: ; यह अपरूपण बलQ=EJX"""T के बराबर होना चाहिए, इसलिए सीमा स्थितियाँ रूप लेती हैं

; एक्स""=0 .(205)

पहली स्थिति में, जब बिंदु भार रॉड के बाएं छोर से जुड़ा होता है तो एक प्लस चिह्न लिया जाता है, और जब यह रॉड के दाएं छोर से जुड़ा होता है तो एक ऋण चिह्न लिया जाता है। दूसरी स्थिति झुकने वाले क्षण की अनुपस्थिति से उत्पन्न होती है।

छड़ का लोचदार रूप से समर्थित सिरा(चित्र 70, डी)। यहां झुकने का क्षण शून्य है, और अनुप्रस्थ बल Q=EJX"""T समर्थन प्रतिक्रिया के बराबर है (सी ओ - समर्थन कठोरता गुणांक)।

सीमा की स्थितियाँ:

एक्स""=0 ; (206)

(इलास्टिक समर्थन बाईं ओर होने पर ऋण चिह्न लिया जाता है, और दाईं ओर होने पर धन चिह्न लिया जाता है)।

6.3.3. आवृत्ति समीकरण और eigenforms

सीमा स्थितियों की एक विस्तारित रिकॉर्डिंग स्थिरांक सी 1, सी 2, सी 3, सी 4 के संबंध में सजातीय समीकरणों की ओर ले जाती है।

इन स्थिरांकों के शून्य के बराबर न होने के लिए, सिस्टम के गुणांकों से बना निर्धारक शून्य के बराबर होना चाहिए; इससे एक आवृत्ति समीकरण बनता है। इन ऑपरेशनों के दौरान, C 1, C 2, C 3, C 4 के बीच संबंधों को स्पष्ट किया जाता है, अर्थात। प्राकृतिक कंपन मोड निर्धारित किए जाते हैं (एक स्थिर कारक तक)।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके आवृत्ति समीकरणों की संरचना का पता लगाएं।

(203) के अनुसार, टिका हुआ सिरों वाले बीम के लिए, हमारे पास निम्नलिखित सीमा स्थितियाँ हैं: X=0; x=0 और x= के लिए X""=0। (197)-(200) का उपयोग करके हम पहली दो स्थितियों से प्राप्त करते हैं: सी 1 =सी 3 =0। शेष दो शर्तों को इस प्रकार लिखा जा सकता है

C 2 और C 4 के शून्य के बराबर न होने के लिए, सारणिक को शून्य के बराबर होना चाहिए:

.

इस प्रकार, आवृत्ति समीकरण का रूप होता है

.

व्यंजकों T और U को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

चूँकि, अंतिम आवृत्ति समीकरण इस प्रकार लिखा गया है:

. (207)

इस समीकरण की जड़ें हैं:

,(एन =1,2,3,...).

(196) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं

.(208)

आइए अपने स्वयं के रूपों को परिभाषित करने की ओर आगे बढ़ें। ऊपर लिखे सजातीय समीकरणों से, स्थिरांक C 2 और C 4 के बीच निम्नलिखित संबंध इस प्रकार है:

.

फलस्वरूप, (197) रूप लेता है

(207) के अनुसार, हमारे पास है

,(209)

एक नया स्थिरांक कहां है, जिसका मूल्य प्रारंभिक स्थितियों पर विचार करने तक अनिश्चित रहता है।

6.3.4. प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर गति का निर्धारण

यदि प्रारंभिक गड़बड़ी के बाद आंदोलन को निर्धारित करना आवश्यक है, तो बीम के सभी बिंदुओं के लिए प्रारंभिक विस्थापन और प्रारंभिक वेग दोनों को इंगित करना आवश्यक है:

(210)

और eigenforms की ऑर्थोगोनैलिटी की संपत्ति का उपयोग करें:

.

हम सामान्य समाधान (201) इस प्रकार लिखते हैं:

.(211)

गति द्वारा दी गई है

.(212)

समीकरणों (211) और (212) के दाएँ पक्ष और बाएँ पक्ष में ज्ञात प्रारंभिक विस्थापन और वेग को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

.

इन भावों को गुणा करके और पूरी लंबाई में एकीकृत करके, हमारे पास है

(213)

दाहिनी ओर की अनंत राशियाँ रूढ़िवादिता संपत्ति के कारण गायब हो गई हैं। (213) से स्थिरांक के सूत्रों का पालन करें

(214)

अब इन परिणामों को समाधान (211) में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है।

आइए हम फिर से इस बात पर जोर दें कि आइजेनफॉर्म के पैमाने का चुनाव महत्वहीन है। यदि, उदाहरण के लिए, आइजनफॉर्म (209) की अभिव्यक्ति में हम इसके बजाय कई गुना बड़ा मान लेते हैं, तो (214) कई गुना छोटे परिणाम देगा; समाधान (211) में प्रतिस्थापन के बाद, ये अंतर एक दूसरे की क्षतिपूर्ति करते हैं। फिर भी, वे अक्सर सामान्यीकृत आइजनफंक्शन का उपयोग करते हैं, अपने पैमाने को इस तरह चुनते हैं कि अभिव्यक्तियों के हर (214) एक के बराबर हों, जो अभिव्यक्तियों को सरल बनाता है और।

6.3.5. निरंतर अनुदैर्ध्य बल का प्रभाव

आइए उस मामले पर विचार करें जब एक दोलन किरण एक अनुदैर्ध्य बल एन का अनुभव करती है, जिसका परिमाण दोलन प्रक्रिया के दौरान नहीं बदलता है। इस मामले में, स्थैतिक झुकने का समीकरण अधिक जटिल हो जाता है और रूप ले लेता है (बशर्ते कि संपीड़न बल को सकारात्मक माना जाए)

.

कठोरता को स्थिर मानने और विचार करने पर, हमें मुक्त कंपन का समीकरण प्राप्त होता है

.(215)

हम किसी विशेष समाधान को रूप में स्वीकार करना जारी रखते हैं।

फिर समीकरण (215) दो समीकरणों में विभाजित हो जाता है:

पहला समीकरण समाधान की दोलन प्रकृति को व्यक्त करता है, दूसरा दोलनों के आकार को निर्धारित करता है, और आपको आवृत्तियों को खोजने की भी अनुमति देता है। आइए इसे इस प्रकार फिर से लिखें:

(216)

कहाँ कसूत्र (196), और द्वारा निर्धारित किया जाता है

समीकरण (216) का हल इस प्रकार है

आइए उस स्थिति पर विचार करें जब छड़ के दोनों सिरों पर टिका हुआ समर्थन हो। बाएँ छोर पर स्थितियाँ देना । दाएँ छोर पर समान शर्तों को पूरा करने पर, हमें मिलता है

मात्राओं के लिए गुणांकों से बने निर्धारक को शून्य के बराबर करने पर, हम समीकरण पर पहुंचते हैं

इस आवृत्ति समीकरण की जड़ें हैं:

इसलिए, प्राकृतिक आवृत्ति समीकरण से निर्धारित होती है

.

यहां से, (217) को ध्यान में रखते हुए, हम पाते हैं

.(219)

खींचने पर आवृत्ति बढ़ जाती है, दबाने पर घट जाती है। जब संपीड़न बल N एक महत्वपूर्ण मान तक पहुंचता है, तो जड़ शून्य हो जाती है।

6.3.6. श्रृंखला बलों का प्रभाव

पहले, अनुदैर्ध्य बल को सिस्टम के विस्थापन से दिया गया और स्वतंत्र माना जाता था। कुछ व्यावहारिक समस्याओं में, अनुप्रस्थ कंपन की प्रक्रिया के साथ आने वाला अनुदैर्ध्य बल बीम के झुकने के कारण उत्पन्न होता है और इसमें एक समर्थन प्रतिक्रिया का चरित्र होता है। उदाहरण के लिए, दो टिका हुआ और स्थिर समर्थनों पर एक बीम पर विचार करें। जब यह झुकता है, तो समर्थन की क्षैतिज प्रतिक्रियाएँ होती हैं, जिससे बीम खिंच जाती है; संबंधित क्षैतिज बल को आमतौर पर कहा जाता है श्रृंखला बल. यदि किरण अनुप्रस्थ रूप से दोलन करती है, तो समय के साथ श्रृंखला बल बदल जाएगा।

यदि तत्काल टी पर बीम के विक्षेपण को फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किया जाता है, तो अक्ष का बढ़ाव सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

.

हम हुक के नियम का उपयोग करके संबंधित श्रृंखला बल पाते हैं

.

आइए इस परिणाम को अनुदैर्ध्य बल N के स्थान पर (215) में बदलें (चिह्न को ध्यान में रखते हुए)

.(220)

परिणामी अरेखीय इंटीग्रोडिफ़रेंशियलप्रतिस्थापन का उपयोग करके समीकरण को सरल बनाया गया है

,(221)

समय का एक आयामहीन फलन कहां है, जिसका अधिकतम मान किसी भी संख्या के बराबर निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एकता; दोलनों का आयाम.

(221) को (220) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें साधारण अवकल समीकरण प्राप्त होता है

,(222)

जिनके गुणांकों में निम्नलिखित मान हैं:

;.

अवकल समीकरण (222) अरैखिक है, इसलिए मुक्त दोलनों की आवृत्ति उनके आयाम पर निर्भर करती है।

अनुप्रस्थ कंपन की आवृत्ति का सटीक समाधान इस प्रकार है

श्रृंखला बलों को ध्यान में रखे बिना गणना की गई अनुप्रस्थ कंपन की आवृत्ति कहां है; क्रॉस सेक्शन के घुमाव की त्रिज्या के दोलन आयाम के अनुपात के आधार पर सुधार कारक; मूल्य संदर्भ साहित्य में दिया गया है।

जब क्रॉस सेक्शन के घुमाव का आयाम और त्रिज्या अनुरूप होते हैं, तो आवृत्ति में सुधार महत्वपूर्ण हो जाता है। यदि, उदाहरण के लिए, एक गोल छड़ के कंपन का आयाम उसके व्यास के बराबर है, तो, और आवृत्ति समर्थन के मुक्त विस्थापन के मामले में लगभग दोगुनी है।

मामला जड़ता की त्रिज्या के शून्य मान से मेल खाता है, जब बीम की झुकने वाली कठोरता गायब हो जाती है - एक स्ट्रिंग। वहीं, का सूत्र अनिश्चितता देता है। इस अनिश्चितता को प्रकट करते हुए, हमें स्ट्रिंग के कंपन की आवृत्ति के लिए एक सूत्र प्राप्त होता है

.

यह सूत्र उस स्थिति पर लागू होता है जब संतुलन स्थिति पर तनाव शून्य होता है। अक्सर स्ट्रिंग दोलन की समस्या को अन्य धारणाओं के तहत प्रस्तुत किया जाता है: ऐसा माना जाता है कि विस्थापन छोटे होते हैं, और तन्य बल दिया जाता है और दोलन प्रक्रिया के दौरान अपरिवर्तित रहता है।

इस मामले में, आवृत्ति के सूत्र का रूप होता है

जहाँ N एक स्थिर तन्य बल है।

6.4. श्यान घर्षण का प्रभाव

पहले यह माना जाता था कि छड़ों की सामग्री पूरी तरह से लोचदार है और कोई घर्षण नहीं है। आइए हम आंतरिक घर्षण के प्रभाव पर विचार करें, यह मानते हुए कि यह चिपचिपा है; फिर तनाव और विकृति के बीच संबंध का वर्णन संबंधों द्वारा किया जाता है

;.(223)

वितरित मापदंडों वाली एक छड़ को मुक्त अनुदैर्ध्य कंपन करने दें। इस स्थिति में, अनुदैर्ध्य बल को प्रपत्र में लिखा जाएगा

छड़ तत्व की गति के समीकरण से संबंध (174) प्राप्त हुआ

यहां (224) को प्रतिस्थापित करने पर, हम मुख्य अंतर समीकरण पर पहुंचते हैं

,(225)

जो (175) से दूसरे पद से भिन्न है, जो चिपचिपे घर्षण बलों के प्रभाव को व्यक्त करता है।

फूरियर विधि का अनुसरण करते हुए, हम फॉर्म में समीकरण (225) का समाधान ढूंढते हैं

,(226)

जहां फ़ंक्शन केवल निर्देशांक x है, और फ़ंक्शन केवल समय t है।

इस मामले में, श्रृंखला के प्रत्येक सदस्य को समस्या की सीमा शर्तों को पूरा करना होगा, और संपूर्ण योग को प्रारंभिक शर्तों को भी पूरा करना होगा। (226) को (225) में प्रतिस्थापित करना और यह आवश्यक करना कि किसी भी संख्या के लिए समानता संतुष्ट हो आर, हम पाते हैं

,(227)

जहां अभाज्य संख्याएँ निर्देशांक के संबंध में विभेदन दर्शाती हैं एक्स, और बिंदु समय t के संबंध में विभेदन हैं।

(227) को गुणनफल से विभाजित करना , हम समानता पर पहुँचते हैं

,(228)

बाईं ओर, जो केवल समन्वय पर निर्भर हो सकता है एक्स, और सही वाला - केवल समय टी से। समानता (228) को समान रूप से पूरा करने के लिए, यह आवश्यक है कि दोनों भाग एक ही स्थिरांक के बराबर हों, जिसे हम द्वारा निरूपित किया जाता है।

इससे समीकरणों का पालन करें

(229)

.(230)

समीकरण (229) चिपचिपाहट गुणांक K पर निर्भर नहीं करता है और, विशेष रूप से, एक पूर्ण लोचदार प्रणाली के मामले में समान रहता है, जब। इसलिए, संख्याएँ पूरी तरह से पहले पाई गई संख्याओं से मेल खाती हैं; हालाँकि, जैसा कि नीचे दिखाया जाएगा, मान केवल प्राकृतिक आवृत्ति का अनुमानित मान देता है। ध्यान दें कि ईजेनशेप्स रॉड के चिपचिपे गुणों से पूरी तरह से स्वतंत्र हैं, यानी। मुक्त अवमंदित दोलनों के रूप मुक्त अविमंदित दोलनों के रूपों से मेल खाते हैं।

अब आइए समीकरण (230) पर चलते हैं, जो नम दोलनों की प्रक्रिया का वर्णन करता है; इसका समाधान रूप है

.(233)

अभिव्यक्ति (232) क्षय दर निर्धारित करती है, और (233) दोलन आवृत्ति निर्धारित करती है।

इस प्रकार, समस्या समीकरण का पूर्ण समाधान

.(234)

स्थिर और हमेशा दी गई प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर पाया जा सकता है। मान लीजिए कि छड़ के सभी खंडों के प्रारंभिक विस्थापन और प्रारंभिक वेग निम्नानुसार निर्दिष्ट किए गए हैं:

;,(235)

कहाँ और ज्ञात कार्य हैं।

फिर, (211) और (212) के अनुसार, हमारे पास है

इन समानताओं के दोनों पक्षों को छड़ की पूरी लंबाई से गुणा करने और एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं

(236)

ईजिनफ़ॉर्म की ऑर्थोगोनैलिटी की स्थिति के अनुसार, इन समानताओं के दाएँ हाथ में शामिल अन्य सभी पद शून्य हो जाते हैं। अब समानता (236) से किसी भी संख्या r को खोजना आसान है।

(232) और (234) पर विचार करते हुए, हम ध्यान देते हैं कि कंपन मोड की संख्या जितनी अधिक होगी, इसकी भिगोना उतनी ही तेज़ होगी। इसके अलावा, (234) में शामिल शब्द वास्तविक संख्या होने पर नम दोलनों का वर्णन करते हैं। (233) से यह स्पष्ट है कि यह केवल r के कुछ प्रारंभिक मूल्यों के लिए होता है जब तक कि असमानता संतुष्ट होती है

पर्याप्त रूप से बड़े मूल्यों के लिए आरअसमानता (237) का उल्लंघन होता है और मात्रा काल्पनिक हो जाती है। इस मामले में, सामान्य समाधान (234) के संबंधित शब्द अब नम दोलनों का वर्णन नहीं करेंगे, बल्कि एपेरियोडिक नम गति का प्रतिनिधित्व करेंगे। दूसरे शब्दों में, कंपन, शब्द के सामान्य अर्थ में, योग के एक निश्चित सीमित भाग (234) द्वारा ही व्यक्त किए जाते हैं।

ये सभी गुणात्मक निष्कर्ष न केवल अनुदैर्ध्य कंपन के मामले में लागू होते हैं, बल्कि मरोड़ और झुकने वाले कंपन के मामले में भी लागू होते हैं।

6.5. परिवर्तनीय क्रॉस-सेक्शन सलाखों का कंपन

ऐसे मामलों में जहां छड़ का वितरित द्रव्यमान और क्रॉस-सेक्शन इसकी लंबाई के साथ परिवर्तनशील है, अनुदैर्ध्य कंपन समीकरण (175) के बजाय, समीकरण से आगे बढ़ना चाहिए

.(238)

मरोड़ कंपन समीकरण (187) को समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए

,(239)

और अनुप्रस्थ कंपन का समीकरण (192) है

.(240)

समान प्रतिस्थापनों की सहायता से समीकरण (238)-(240) को फ़ंक्शन के लिए सामान्य अंतर समीकरणों में घटाया जा सकता है

यांत्रिकी

यूडीसी 531.01/534.112

छड़ों के एक पैकेट का अनुदैर्ध्य कंपन

पूर्वाह्न। पावलोव, ए.एन. टेम्नोव

एमएसटीयू इम. एन.ई. बॉमन, मॉस्को, रूसी संघ ई-मेल: [ईमेल सुरक्षित]; [ईमेल सुरक्षित]

तरल-प्रणोदक रॉकेटों की गतिशीलता के मामलों में, अनुदैर्ध्य लोचदार दोलन होने पर रॉकेट गति की स्थिरता की समस्या एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। ऐसे दोलनों की उपस्थिति से आत्म-दोलन की स्थापना हो सकती है, जो, यदि रॉकेट अनुदैर्ध्य दिशा में अस्थिर है, तो इसके तेजी से विनाश का कारण बन सकता है। एक पैकेज रॉकेट के अनुदैर्ध्य दोलनों की समस्या तैयार की जाती है; छड़ों के एक पैकेज का उपयोग गणना मॉडल के रूप में किया जाता है। यह स्वीकार किया जाता है कि रॉकेट टैंक में तरल पदार्थ "जमा हुआ" है, अर्थात। द्रव की अपनी गतियों पर ध्यान नहीं दिया जाता है। विचाराधीन समस्या के लिए कुल ऊर्जा संतुलन का नियम तैयार किया गया है और इसका संचालक सूत्रीकरण दिया गया है। एक संख्यात्मक उदाहरण दिया गया है, जिसके लिए आवृत्तियाँ निर्धारित की जाती हैं, और प्राकृतिक दोलनों के आकार का निर्माण और विश्लेषण किया जाता है।

मुख्य शब्द: अनुदैर्ध्य कंपन, कंपन की आवृत्ति और आकार, छड़ों का पैकेज, कुल ऊर्जा संतुलन कानून, स्व-सहायक ऑपरेटर, कंपन स्पेक्ट्रम, POGO।

छड़ों की प्रणाली अनुदैर्ध्य कंपन ए.एम. पावलोव, ए.एल. टेम्नोव

बॉमन मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी, मॉस्को, रूसी संघ ई-मेल: [ईमेल सुरक्षित]; [ईमेल सुरक्षित]

तरल ईंधन रॉकेट की गतिशीलता के प्रश्नों में अनुदैर्ध्य लोचदार कंपन की उपस्थिति के साथ इस रॉकेट की गति स्थिरता की समस्या की महत्वपूर्ण भूमिका है। इस प्रकार के कंपन की घटना स्व-कंपन उत्पन्न कर सकती है जो अनुदैर्ध्य दिशा के भीतर रॉकेट अस्थिरता के मामले में रॉकेट के तेजी से विनाश का कारण बन सकती है। पैकेट योजना के आधार पर तरल ईंधन रॉकेट के अनुदैर्ध्य कंपन पर समस्या को कम्प्यूटेशनल मॉडल के रूप में पैकेज रॉड का उपयोग करके तैयार किया गया है। यह माना जाता है कि रॉकेट टैंक में तरल "जमा हुआ" है, अर्थात। द्रव की उचित गतियाँ शामिल नहीं हैं। इस समस्या के लिए ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत तैयार किया गया और इसकी ऑपरेटर स्टेजिंग दी गई है। एक संख्यात्मक उदाहरण है, जिसके लिए आवृत्तियों को निर्धारित किया गया है, ईजेन कंपन के रूपों का निर्माण और विश्लेषण किया गया है।

कीवर्ड: अनुदैर्ध्य कंपन, ईजेन मोड और आवृत्तियाँ, छड़ मॉडल, ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत, सेल्फएडजॉइंट ऑपरेटर, कंपन स्पेक्ट्रम, POGO।

परिचय। वर्तमान में, रूस और विदेशों में, केंद्रीय ब्लॉक के चारों ओर समान रूप से वितरित समान साइड ब्लॉक वाले पैकेज लेआउट के लॉन्च वाहनों का उपयोग अक्सर पेलोड को आवश्यक कक्षा में लॉन्च करने के लिए किया जाता है।

पैकेज संरचनाओं के कंपन के अध्ययन में पार्श्व और केंद्रीय ब्लॉकों के गतिशील प्रभाव से जुड़ी कुछ कठिनाइयों का सामना करना पड़ता है। लॉन्च वाहन लेआउट की समरूपता के मामले में, पैकेज डिज़ाइन के ब्लॉकों की जटिल, स्थानिक बातचीत को सीमित प्रकार के कंपन में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से एक केंद्रीय और साइड ब्लॉक के अनुदैर्ध्य कंपन है। पतली दीवार वाली छड़ों के पैकेज के रूप में ऐसी संरचना के अनुदैर्ध्य कंपन के गणितीय मॉडल पर काम में विस्तार से चर्चा की गई है। चावल। 1. केंद्रीय की योजना- यह लेख अनुदैर्ध्य की सैद्धांतिक छड़ी और कम्प्यूटेशनल परिणाम प्रस्तुत करता है

छड़ों के एक पैकेज का कंपन, ए.ए. द्वारा किए गए अध्ययन का पूरक है। दया।

समस्या का निरूपण. आइए हम छड़ों के एक पैकेज के अन्य अनुदैर्ध्य कंपनों पर विचार करें जिसमें लंबाई l0 की केंद्रीय छड़ और समान लंबाई j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, बंधी हुई N पार्श्व छड़ें शामिल हैं। बिंदु A (xA = l) पर (चित्र 1) कठोरता k के साथ केंद्रीय स्प्रिंग तत्वों के साथ।

आइए हम एक निश्चित संदर्भ फ्रेम OX का परिचय दें और मान लें कि छड़ों की कठोरता EFj (x), वितरित द्रव्यमान mj (x) और विक्षोभ q (x,t) निर्देशांक x के बंधे हुए कार्य हैं:

0

0 < mj < mj (x) < Mj; (1)

0

मान लीजिए, अनुदैर्ध्य कंपन के दौरान, समन्वय x के साथ छड़ों के वर्गों में विस्थापन Uj (x, t) उत्पन्न होता है, जो समीकरणों द्वारा निर्धारित होता है

एमजे (एक्स) ^ - ¿(ईएफजे (एक्स) ^ = क्यूजे (एक्स,टी), जे = 0,1, 2,..., एन, (2)

छड़ों के सिरों पर सामान्य बलों की अनुपस्थिति के लिए सीमा स्थितियाँ

3 =0, x = 0, ^ = 1, 2,

0, x = 0, x = l0;

छड़ों में उत्पन्न होने वाले सामान्य बलों की समानता की स्थितियाँ,

ईएफ-3 = एफ एक्स = एल

वसंत तत्वों की लोचदार ताकतें

FпPJ = к (ш (ха) - y (¡,)); (4)

EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa;

केंद्रीय छड़ के बिंदु xa पर विस्थापन की समानता की स्थिति

शच (ह-ओ) = शच (एक्सए+ओ) और प्रारंभिक शर्तें

शच य (एक्स, 0) - शच (एक्स); , _

यू (एक्स, 0) = यू (एक्स),

जहां u(x, 0) = "d^1(x, 0).

कुल ऊर्जा संतुलन का नियम. आइए समीकरण (2) को u(x,ξ) से गुणा करें, प्रत्येक छड़ की लंबाई पर एकीकृत करें और सीमा शर्तों (3) और मिलान स्थिति (4) का उपयोग करके परिणामों को जोड़ें। परिणाम हमें मिलता है

(( 1 ^ [ (डीआईएल 2

टीजेड (एक्स) "बीटी" (एक्स+

डीटी | 2 ^ जे 3 डब्ल्यू वी डीटी

एन एक्स „ एच 2 .. एन „ आई।

1 ^ Г „„ , एफ डीп3\ , 1 ^ Гj

1 एन /* आई डीपीएल 2 1 एन फ्लो जे

EF3 dx +2^Уо И (x - -)(नहीं - Uj)2 dx

= / ^ (x, £) उन्हें y (x, £) (x, (6)

जहां 8 (x - ¡y) डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है। समीकरण (6) में, घुंघराले कोष्ठक में पहला पद प्रणाली की गतिज ऊर्जा टी (¿) को दर्शाता है, दूसरा संभावित ऊर्जा पीआर (£) है, जो छड़ के विरूपण के कारण होता है, और तीसरा संभावित ऊर्जा है वसंत तत्वों के पीके (£), जो लोचदार विकृतियों की उपस्थिति में छड़ के रूप में लिखा जा सकता है

Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu.

समीकरण (6) से पता चलता है कि विचाराधीन यांत्रिक प्रणाली की प्रति इकाई समय में कुल ऊर्जा में परिवर्तन शक्ति के बराबर है

बाहरी प्रभाव. बाह्य विक्षोभ q (x,t) की अनुपस्थिति में, हमें कुल ऊर्जा के संरक्षण का नियम प्राप्त होता है:

टी (टी) + पीआर (टी) + पीके (टी) = टी (0) + पीआर (0) + पीके (0)।

छायांकन. ऊर्जा संतुलन कानून से पता चलता है कि किसी भी समय टी कार्यों के लिए यूजे (एक्स, टी) को हिल्बर्ट स्पेस एल 2 जे (; एम 3 (एक्स)) के तत्वों के रूप में माना जा सकता है, जो स्केलर उत्पाद द्वारा लंबाई ¡i पर परिभाषित किया गया है।

(us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0

और संबंधित मानदंड।

आइए हम ऑर्थोगोनल योग L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, वेक्टर फ़ंक्शन U = (uo, Ui,..., uN)т और ऑपरेटर A के बराबर हिल्बर्ट स्पेस H का परिचय दें संबंध के अनुसार स्थान H

AU = डायग (A00U0, A11U1,..., Annun)।

एमजे(x)dx\jdx"

ऑपरेटरों को परिभाषित किया गया

शर्तों (3) और (4) को संतुष्ट करने वाले कार्यों का सेट बी (ए33) सी।

मूल समस्या (1)-(5) प्रारंभिक शर्तों सहित प्रपत्र में लिखी जायेगी

एयू = एफ (*), यू (0) = यू0, 17(0) = यू1, (7)

जहाँ f (*) = (से (*),51 (*),..., यम (¿))t।

लेम्मा. 1. यदि पहली दो स्थितियाँ (1) संतुष्ट हैं, तो विकास समस्या (7) में ऑपरेटर ए, अंतरिक्ष एच में एक असीमित, स्व-संयुक्त, सकारात्मक निश्चित ऑपरेटर है

(Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i.

2. ऑपरेटर ए छड़ों के एक पैकेज के दोलनों की संभावित ऊर्जा के दोगुने के बराबर मानक के साथ एक ऊर्जा स्थान NA उत्पन्न करता है

3\^I h)2 = 2P > 0. (8)

IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2P > 0.

< Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно:

(AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+

+£ जेएम(एक्स) (- जेएक्स) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... =

ईएफओ (एक्स) यूओ (एक्स) वीओ (एक्स) डीएक्स - ईएफओ (एक्स) यू) (एक्स) वीओ (एक्स)

जे ईएफओ (एक्स) यूओ (एक्स) वीओ (एक्स) डीएक्स - ईएफओ (एक्स) यूओ (एक्स) ?ओ (एक्स)

+ ^^ / ईएफ- (एक्स) यू- (एक्स) वीओ (एक्स) डीएक्स - ^^ ईएफ- (एक्स) यू- (एक्स) वी- (एक्स)

जे ईएफओ (एक्स) यूओ (एक्स) वी" (एक्स) डीएक्स - ईएफओ (एक्सए - 0) यूओ (एक्सए - 0) वीओ (एक्सए) + 0

ईएफओ (एक्सए + 0) यूओ (एक्सए + 0) वीओ (एक्सए) - £ ईएफ- (/-) यू- (/-) वी- (/-) +

जे ईएफ- (एक्स) यू- (एक्स) वी- (एक्स) डीएक्स = जे ईएफओ (एक्स) यूओ (एक्स) वीओ (एक्स) डीएक्स+ -=100

+ £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o

ओ(एक्सए)-

£ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?"o (x) dx+ -=10

+ £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 -

+ £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H

(एयू, यू)एच = ... = आई ईएफ0 (एक्स) यू"2 (एक्स) डीएक्स - ईएफ0 (एक्स) यू0 (एक्स) यू0 (एक्स)

जे EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x)

+ ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x)

"J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx

У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) =

EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx +

एस / ईएफजे (एक्स) यू"2 (एक्स) डीएक्स + के ^ (यू0 (एल) - यूजे (एल))2 > सी2 (यू, यू)एच

उपरोक्त परिणामों से यह निष्कर्ष निकलता है कि ऑपरेटर ए का ऊर्जा मानदंड सूत्र (8) द्वारा व्यक्त किया गया है।

विकासवादी समस्या का समाधान। आइए हम निम्नलिखित प्रमेय तैयार करें।

प्रमेय 1. शर्तों को संतुष्ट होने दें

U0 £ D (A1/2), U0 £ H, f (t) £ C (; H),

तब समस्या (7) में सूत्र द्वारा परिभाषित अंतराल पर एक अद्वितीय कमजोर समाधान यू (टी) होता है

U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 syn (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds.

5 बाह्य विक्षोभ f (£) की अनुपस्थिति में, ऊर्जा संरक्षण का नियम संतुष्ट होता है

1 II ए 1/2यूИ2 = 1

1 II ए1/2यू 0|एच.

< Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости .

छड़ों के पैकेज का प्राकृतिक कंपन। आइए मान लें कि छड़ प्रणाली बाहरी बलों के क्षेत्र से प्रभावित नहीं होती है: f (t) = 0. इस मामले में, छड़ों की गति को मुक्त कहा जाएगा। कानून exp (iwt) के अनुसार समय t के आधार पर छड़ों की मुक्त गति को प्राकृतिक कंपन कहा जाएगा। समीकरण (7) में U (x, t) = U (x) eiWÍ लेते हुए, हम ऑपरेटर A के लिए वर्णक्रमीय समस्या प्राप्त करते हैं:

एयू - एईयू = 0, एल = डब्ल्यू2। (9)

ऑपरेटर A के गुण हमें eigenfunctions के स्पेक्ट्रम और गुणों के बारे में एक प्रमेय तैयार करने की अनुमति देते हैं।

प्रमेय 2. छड़ों के एक पैकेज के प्राकृतिक कंपन के बारे में वर्णक्रमीय समस्या (9) में एक असतत सकारात्मक स्पेक्ट्रम होता है

0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то

और eigenfunctions की एक प्रणाली (Uk (x))^=0, रिक्त स्थान H और HA में पूर्ण और ऑर्थोगोनल, और निम्नलिखित ऑर्थोगोनैलिटी सूत्र संतुष्ट हैं:

(Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0

(यूके= £/टी^) डी*+

K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. जे=आई

छड़ों के सजातीय पैकेज के मामले में वर्णक्रमीय समस्या का अध्ययन। विस्थापन फ़ंक्शन m- (x, £) को m- (x, £) = m- (x) के रूप में प्रस्तुत करते हुए, चर को अलग करने के बाद हम प्रत्येक छड़ के लिए वर्णक्रमीय समस्याएं प्राप्त करते हैं:

^Ou + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10)

जिसे हम मैट्रिक्स रूप में लिखते हैं

4 £ + ली = 0,

ए = -,-,-,...,-

\ t0 t1 t2 t «

यू = (यू0, यू1, यू2,..., यू")टी।

प्राप्त परिणामों का समाधान एवं विश्लेषण। आइए हम अनुभाग में केंद्रीय छड़ के विस्थापन कार्यों को u01 के रूप में और अनुभाग में u02 (g) के रूप में निरूपित करें। इस मामले में, फ़ंक्शन u02 के लिए हम निर्देशांक की उत्पत्ति को निर्देशांक / वाले बिंदु पर ले जाते हैं। प्रत्येक छड़ के लिए हम समीकरण (10) का समाधान प्रपत्र में प्रस्तुत करते हैं

(11) में अज्ञात स्थिरांक खोजने के लिए, हम ऊपर तैयार की गई सीमा शर्तों का उपयोग करते हैं। सजातीय सीमा स्थितियों से कुछ स्थिरांक निर्धारित करना संभव है, अर्थात्:

C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0.

परिणामस्वरूप, N + 3 स्थिरांक ज्ञात करना बाकी है: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1। ऐसा करने के लिए, हम N + 3 अज्ञात के लिए N + 3 समीकरण हल करते हैं।

आइए परिणामी सिस्टम को मैट्रिक्स रूप में लिखें: (ए) (सी) = (0)। यहाँ (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t अज्ञात का सदिश है; (ए) - विशेषता मैट्रिक्स,

क्योंकि (ए1) ईएफ0 ए पाप (ए1) +

L पाप (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000

0 y 00 00 0 000Y

a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2 ^ ;

7 = (ए4"-1 एल) 1/2 एपी ((ए"1एल) 1/2 + के सोव ((ए"1एल) 1/2;

(~ \ 1/2 ~ ए= ^एल] ; ए--: 3 = 0.

एक गैर-तुच्छ समाधान खोजने के लिए, हम स्थिरांक C01 € M को एक चर के रूप में लेते हैं: हमारे पास दो विकल्प हैं: C01 = 0; C01 = 0.

मान लीजिए C01 = 0, तो C03 = C04 = 0. इस मामले में, अतिरिक्त शर्त पूरी होने पर (12) से 7 = 0 होने पर एक गैर-तुच्छ समाधान प्राप्त किया जा सकता है

£ एस-1 = 0, (13)

जिसे सिस्टम के तीसरे समीकरण (12) से प्राप्त किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमें एक सरल आवृत्ति समीकरण प्राप्त होता है

ईपी (ए"1 एल)1/2 डब्ल्यू ((ए"1^1/2 पी +

zz \V zz

के कॉस ^ (ए-/ए) 1/2 ^ = 0, जे जी,

एक सिरे पर प्रत्यास्थ रूप से स्थिर छड़ के लिए आवृत्ति समीकरण से मेल खाता है, जिसे पहली आंशिक प्रणाली माना जा सकता है।

इस मामले में, स्थिति (13) को संतुष्ट करने वाले साइड रॉड्स के आंदोलनों के सभी संभावित संयोजनों को सशर्त रूप से चरणों के विभिन्न संयोजनों के अनुरूप समूहों में विभाजित किया जा सकता है (विचाराधीन मामले में, चरण संकेत सी.डी. द्वारा निर्धारित किया जाता है)। यदि हम मान लें कि साइड की छड़ें समान हैं, तो हमारे पास दो विकल्प हैं:

1) Сд = 0, तो अलग-अलग एन के लिए ऐसे संयोजनों की संख्या की गणना सूत्र एन = एन 2 का उपयोग करके की जा सकती है, जहां शेषफल के बिना विभाजन फ़ंक्शन है;

2) स्थिरांक C- में से कोई भी (या कोई भी) 0 के बराबर है, तो संभावित संयोजनों की संख्या बढ़ जाती है और सूत्र द्वारा निर्धारित की जा सकती है

£ [(एन - एम) डिव 2]।

मान लीजिए Coi = 0, तो Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), जहां in और y (12) में शामिल संकुल हैं। सिस्टम (12) से हमारे पास यह भी है: C03 = C01 cos (А/); C04=C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), यानी। सभी स्थिरांक C01 के माध्यम से व्यक्त किये जाते हैं। आवृत्ति समीकरण का रूप लेता है

ईएफओ यू-ओ1 एल टीजी ए-1 एल) " (लो - एल)) -

K2 क्योंकि | मैं एक!-,1 एल

उदाहरण के तौर पर, चार साइड बार वाले सिस्टम पर विचार करें। ऊपर वर्णित विधि के अलावा, इस उदाहरण के लिए, आप मैट्रिक्स ए के निर्धारक की गणना करके और इसे शून्य के बराबर करके पूरे सिस्टम के लिए एक आवृत्ति समीकरण लिख सकते हैं। चलिए इसका स्वरूप बताते हैं

Y4 (L पाप (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+

एल कॉस (एल (/ओ - /)) (ईएफओएल पाप (एल/) + 4वी)) -

4av3L cos (L(/0 - /)) = 0.

ऊपर विचार किए गए मामलों के लिए पारलौकिक आवृत्ति समीकरणों के ग्राफ़ चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 2. निम्नलिखित को प्रारंभिक डेटा के रूप में लिया गया: EF = 2,109 N; ईएफ0 = 2.2 109 एन; के = 7 107 एन/एम; मी = 5900 किग्रा/मीटर; मो = 6000 किग्रा/मीटर; / = 23; /ओ = 33 मीटर। विचारित सर्किट की पहली तीन दोलन आवृत्तियों के मान नीचे दिए गए हैं:

एन......................................

और, ख़ुशी है...................................

1 2 3 20,08 31,53 63,50

चावल। 2. Coi = 0 (i) और Coi = 0 (2) के लिए पारलौकिक आवृत्ति समीकरणों के ग्राफ़

आइए हम प्राप्त समाधानों के अनुरूप कंपन मोड प्रस्तुत करें (सामान्य स्थिति में, कंपन मोड सामान्यीकृत नहीं होते हैं)। पहली, दूसरी, तीसरी, चौथी, 13 और 14 आवृत्तियों के अनुरूप कंपन रूपों को चित्र में दिखाया गया है। 3. पहली कंपन आवृत्ति पर, साइड की छड़ें एक ही आकार में कंपन करती हैं, लेकिन एंटीफ़ेज़ में जोड़े में

चित्र 3. पक्ष (1) और केंद्रीय (2) छड़ों के कंपन के रूप, पहले वी = 3.20 हर्ट्ज (ए), दूसरे वी = 5.02 हर्ट्ज (बी), तीसरे वी = 10.11 हर्ट्ज (सी), चौथे के अनुरूप वी = 13.60 हर्ट्ज (डी), 13वां वी = 45.90 हर्ट्ज (डी) और 14वां वी = 50.88 हर्ट्ज (एफ) आवृत्तियाँ

(चित्र 3, ए), दूसरे के साथ, केंद्रीय छड़ दोलन करती है, और पार्श्व वाले चरण में समान आकार में दोलन करते हैं (चित्र 3, बी)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विचाराधीन रॉड प्रणाली की पहली और दूसरी कंपन आवृत्तियाँ ठोस निकायों से युक्त प्रणाली के कंपन के अनुरूप हैं।

जब सिस्टम तीसरी प्राकृतिक आवृत्ति के साथ दोलन करता है, तो नोड्स पहली बार दिखाई देते हैं (चित्र 3सी)। तीसरी और बाद की आवृत्तियाँ (चित्र 3डी) सिस्टम के लोचदार कंपन के अनुरूप हैं। कंपन की आवृत्ति में वृद्धि के साथ, लोचदार तत्वों के प्रभाव में कमी के साथ, कंपन की आवृत्ति और आकार आंशिक हो जाते हैं (चित्र 3, ई, एफ)।

कार्यों के वक्र, भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पारलौकिक समीकरणों के समाधान हैं, चित्र में प्रस्तुत किए गए हैं। 4. चित्र के अनुसार, सिस्टम के दोलनों की प्राकृतिक आवृत्तियाँ आंशिक आवृत्तियों के पास स्थित होती हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, बढ़ती आवृत्ति के साथ, आंशिक आवृत्तियों के साथ प्राकृतिक आवृत्तियों का अभिसरण बढ़ता है। परिणामस्वरूप, वे आवृत्तियाँ जिन पर पूरा सिस्टम दोलन करता है, उन्हें पारंपरिक रूप से दो समूहों में विभाजित किया जाता है: वे जो साइड रॉड की आंशिक आवृत्तियों के करीब होती हैं और वे आवृत्तियाँ जो केंद्रीय रॉड की आंशिक आवृत्तियों के करीब होती हैं।

निष्कर्ष. छड़ों के पैकेज के अनुदैर्ध्य कंपन की समस्या पर विचार किया जाता है। प्रस्तुत सीमा मूल्य समस्या के गुणों और इसके eigenvalues ​​​​के स्पेक्ट्रम का वर्णन किया गया है। सजातीय पार्श्व छड़ों की मनमानी संख्या के लिए वर्णक्रमीय समस्या का समाधान प्रस्तावित है। संख्यात्मक उदाहरण के लिए, पहले दोलन आवृत्तियों के मान पाए जाते हैं और संबंधित आकृतियों का निर्माण किया जाता है। निर्मित कंपन मोड के कुछ विशिष्ट गुण भी सामने आए।

चावल। 4. कार्यों के वक्र, भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु पारलौकिक समीकरणों के समाधान हैं, CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) के लिए पहले आंशिक प्रणाली (लोचदार के लिए तय की गई साइड रॉड) के साथ मेल खाते हैं बिंदु x = I पर तत्व) और दूसरा आंशिक सिस्टम (5) (बिंदु A पर चार लोचदार तत्वों के लिए तय की गई केंद्रीय छड़)

साहित्य

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यह लेख संपादक को 28 अप्रैल 2014 को प्राप्त हुआ

पावलोव आर्सेनी मिखाइलोविच - मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी में अंतरिक्ष यान और लॉन्च वाहन विभाग के छात्र। एन.ई. बौमन. रॉकेट और अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में विशेषज्ञता।

एमएसटीयू इम. एन.ई. बौमाश, रूसी संघ, 105005, मॉस्को, 2रा बौमांस्काया स्ट्रीट, 5।

पावलोव ए.एम. - बॉमन मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी के "अंतरिक्ष यान और प्रक्षेपण यान" विभाग के छात्र। रॉकेट एवं अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में विशेषज्ञ। बाउमन मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी, 2-या बाउमांस्काया सेंट। 5, मॉस्को, 105005 रूसी संघ।

टेम्नोव अलेक्जेंडर निकोलाइविच - पीएच.डी. भौतिकी और गणित विज्ञान, अंतरिक्ष यान और प्रक्षेपण यान विभाग, मॉस्को राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय के एसोसिएट प्रोफेसर। एन.ई. बौमन. द्रव और गैस यांत्रिकी और रॉकेट और अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में 20 से अधिक वैज्ञानिक पत्रों के लेखक। एमएसटीयू इम. एन.ई. बौमाश, रूसी संघ, 105005, मॉस्को, 2रा बौमांस्काया स्ट्रीट, 5।

टेम्नोव ए.एन. - कैंड. विज्ञान. (भौतिकी-गणित), एसोसिएट। बॉमन मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी के "अंतरिक्ष यान और प्रक्षेपण यान" विभाग के प्रोफेसर। द्रव और गैस यांत्रिकी और रॉकेट-और-अंतरिक्ष प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में 20 से अधिक प्रकाशनों के लेखक।

बाउमन मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी, 2-या बाउमांस्काया सेंट। 5, मॉस्को, 105005 रूसी संघ।

> अनुदैर्ध्य तरंगें

प्रसार, दिशा और गति सीखें लोंगिट्युडिनल वेव: अनुदैर्ध्य तरंगें क्या हैं, वे कैसे फैलती हैं, उदाहरण और दोलन, वे कैसे उत्पन्न होती हैं, ग्राफ़।

कभी-कभी अनुदैर्ध्य तरंगों को संपीड़न तरंगें कहा जाता है। वे प्रसार की दिशा में उतार-चढ़ाव करते हैं।

सीखने का उद्देश्य

• अनुदैर्ध्य तरंग प्रकार के गुणों और उदाहरणों को पहचानें।

मुख्य केन्द्र

• अनुदैर्ध्य तरंगों के दोलन प्रसार की दिशा में होते हैं, लेकिन वे बहुत छोटे होते हैं और संतुलन की स्थिति रखते हैं, इसलिए वे द्रव्यमान को विस्थापित नहीं करते हैं।
• इस प्रकार को दालों के रूप में माना जा सकता है जो प्रसार अक्ष के साथ ऊर्जा का परिवहन करते हैं।
• इन्हें विशिष्ट संपीड़न और विरलन वाली दबाव तरंगों के रूप में भी देखा जा सकता है।

शर्तें

• विरलन किसी पदार्थ के घनत्व (मुख्य रूप से तरल के लिए) में कमी है।
• अनुदैर्ध्य - अक्ष की लंबाई की दिशा में.
• संपीड़न - घनत्व बढ़ाना।

उदाहरण

कौन सी तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं? सबसे अच्छा उदाहरण ध्वनि तरंग है। इसमें वायु संपीड़न से उत्पन्न आवेग शामिल हैं।

अनुदैर्ध्य तरंगें

कंपन की दिशा में, अनुदैर्ध्य तरंगें गति की दिशा से मेल खाती हैं। अर्थात् माध्यम की गति तरंग गति की ही दिशा में स्थित होती है। कुछ अनुदैर्ध्य तरंगों को संपीड़न तरंगें भी कहा जाता है। यदि आप प्रयोग करना चाहते हैं, तो बस एक स्लिंकी खिलौना (स्प्रिंग) खरीदें और इसे दोनों सिरों पर पकड़ें। संपीड़न और कमजोर होने के क्षण में, आवेग अंत की ओर बढ़ेगा।

संपीड़ित स्लिंकी अनुदैर्ध्य तरंग का एक उदाहरण है। यह कंपन की ही दिशा में फैलता है

अनुदैर्ध्य (साथ ही अनुप्रस्थ) द्रव्यमान को विस्थापित नहीं करते हैं। अंतर यह है कि माध्यम में प्रत्येक कण जिसके माध्यम से एक अनुदैर्ध्य तरंग फैलती है, प्रसार अक्ष के साथ दोलन करेगा। यदि आप स्लिंकी के बारे में सोचते हैं, तो कुंडलियाँ बिंदुओं पर दोलन करती हैं, लेकिन स्प्रिंग की लंबाई के साथ नहीं चलेंगी। यह मत भूलिए कि यहां द्रव्यमान का परिवहन नहीं होता, बल्कि संवेग के रूप में ऊर्जा का परिवहन होता है।

कुछ मामलों में, ऐसी तरंगें दबाव तरंगों के रूप में कार्य करती हैं। इसका ज्वलंत उदाहरण ध्वनि है। वे एक माध्यम (अक्सर वायु) के संपीड़न से बनते हैं। अनुदैर्ध्य ध्वनि तरंगें संतुलित दबाव से वैकल्पिक दबाव विचलन हैं, जो संपीड़न और दुर्लभकरण के स्थानीय क्षेत्रों की ओर ले जाती हैं।

माध्यम में पदार्थ समय-समय पर ध्वनि तरंग द्वारा विस्थापित होता है और दोलन करता है। ध्वनि उत्पन्न करने के लिए, आपको वायु कणों को एक निश्चित मात्रा में संपीड़ित करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार अनुप्रस्थ तरंगें बनती हैं। कान विभिन्न दबावों के प्रति संवेदनशील रूप से प्रतिक्रिया करते हैं और तरंगों को स्वर में परिवर्तित करते हैं।