श्रृंखला का योग

वेबसाइटआपको खोजने की अनुमति देता है ऑनलाइन श्रृंखला योगसंख्या क्रम. ऑनलाइन नंबर अनुक्रम की एक श्रृंखला का योग खोजने के अलावा, सर्वर में है ऑनलाइनपता कर लेंगे श्रृंखला का आंशिक योग. यह विश्लेषणात्मक गणनाओं के लिए उपयोगी है ऑनलाइन श्रृंखला योगअनुक्रम की सीमा के समाधान के रूप में प्रस्तुत और पाया जाना चाहिए श्रृंखला का आंशिक योग. अन्य साइटों की तुलना में, वेबसाइटइसका एक निर्विवाद लाभ है, क्योंकि यह आपको खोजने की अनुमति देता है ऑनलाइन श्रृंखला योगन केवल संख्यात्मक, बल्कि यह भी कार्यात्मक सीमा, जो हमें मूल के अभिसरण के क्षेत्र को निर्धारित करने की अनुमति देगा पंक्तिसबसे प्रसिद्ध तरीकों का उपयोग करना। सिद्धांत के अनुसार पंक्तियों, संख्यात्मक अनुक्रम के अभिसरण के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि सामान्य पद की सीमा शून्य के बराबर है संख्या श्रृंखलाचूँकि चर अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है। हालाँकि, यह स्थिति किसी संख्या श्रृंखला के अभिसरण को ऑनलाइन निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है.. निर्धारित करने के लिए श्रृंखला अभिसरण ऑनलाइनअभिसरण या विचलन के विभिन्न पर्याप्त संकेत पाए गए हैं पंक्ति. उनमें से सबसे प्रसिद्ध और अक्सर उपयोग किए जाने वाले डी'अलेम्बर्ट, कॉची, राबे, तुलना के संकेत हैं संख्या श्रृंखला, साथ ही अभिसरण का अभिन्न संकेत संख्या श्रृंखला. के बीच एक विशेष स्थान संख्या श्रृंखलाउन पर कब्जा करें जिनमें शब्दों के संकेत सख्ती से वैकल्पिक होते हैं, और निरपेक्ष मान संख्या श्रृंखलानीरस रूप से कम करें। यह ऐसे के लिए पता चला है संख्या श्रृंखलाऑनलाइन श्रृंखला के अभिसरण का आवश्यक संकेत एक ही समय में पर्याप्त है, अर्थात, सामान्य पद की सीमा की शून्य तक समानता संख्या श्रृंखलाचूँकि चर अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है। ऐसी कई अलग-अलग साइटें हैं जो प्रदान करती हैं सर्वरकी गणना करना ऑनलाइन श्रृंखला रकम, साथ ही कार्यों का विस्तार भी पंक्तिइस फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से किसी बिंदु पर ऑनलाइन। यदि हम फ़ंक्शन का विस्तार करते हैं श्रृंखला ऑनलाइनइन सर्वरों पर गणना करना विशेष रूप से कठिन नहीं है कार्यात्मक श्रृंखला का योग ऑनलाइन, जिसका प्रत्येक सदस्य, संख्यात्मक के विपरीत पंक्ति, एक संख्या नहीं है, बल्कि एक फ़ंक्शन है, जो आवश्यक तकनीकी संसाधनों की कमी के कारण लगभग असंभव लगता है। के लिए www.साइटऐसी कोई समस्या नहीं है.

उत्तर: श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण संख्या 3

श्रृंखला $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ का योग ज्ञात कीजिए।

चूँकि योग की निचली सीमा 1 है, श्रृंखला का सामान्य पद योग चिह्न के नीचे लिखा जाता है: $u_n=\frac(2)((2n+1)(2n+3))$. आइए श्रृंखला का nवाँ आंशिक योग बनाएँ, अर्थात्। आइए किसी दी गई संख्या श्रृंखला के पहले $n$ पदों का योग करें:

$$ S_n=u_1+u_2+u_3+u_4+\ldots+u_n=\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\frac(2)(7\cdot 9 )+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3)). $$

मैं बिल्कुल $\frac(2)(3\cdot 5)$ क्यों लिखता हूं, न कि $\frac(2)(15)$, यह आगे के कथन से स्पष्ट हो जाएगा। हालाँकि, आंशिक राशि लिखने से हम अपने लक्ष्य के रत्ती भर भी करीब नहीं आ सके। हमें $\lim_(n\to\infty)S_n$ खोजने की जरूरत है, लेकिन अगर हम बस लिखते हैं:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(2)(3\cdot 5)+\frac(2)(5\cdot 7)+\ frac(2)(7\cdot 9)+\frac(2)(9\cdot 11)+\ldots+\frac(2)((2n+1)(2n+3))\right), $$

तब यह अभिलेख, स्वरूप में पूर्णतया सही, हमें सारतः कुछ नहीं देगा। सीमा ज्ञात करने के लिए, पहले आंशिक योग के लिए अभिव्यक्ति को सरल बनाना होगा।

इसके लिए एक मानक परिवर्तन है, जिसमें भिन्न $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ को विघटित करना शामिल है, जो श्रृंखला के सामान्य पद को प्राथमिक भिन्नों में दर्शाता है। एक अलग विषय तर्कसंगत भिन्नों को प्राथमिक अंशों में विघटित करने के मुद्दे के लिए समर्पित है (उदाहरण के लिए, इस पृष्ठ पर उदाहरण संख्या 3 देखें)। भिन्न $\frac(2)((2n+1)(2n+3))$ को प्रारंभिक भिन्नों में विस्तारित करने पर, हमें प्राप्त होगा:

$$ \frac(2)((2n+1)(2n+3))=\frac(A)(2n+1)+\frac(B)(2n+3)=\frac(A\cdot(2n) +3)+B\cdot(2n+1))((2n+1)(2n+3)). $$

हम परिणामी समानता के बाएँ और दाएँ पक्षों पर भिन्नों के अंशों को बराबर करते हैं:

$$ 2=A\cdot(2n+3)+B\cdot(2n+1). $$

$A$ और $B$ का मान ज्ञात करने के दो तरीके हैं। आप कोष्ठक खोल सकते हैं और शब्दों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं, या आप बस $n$ के स्थान पर कुछ उपयुक्त मान प्रतिस्थापित कर सकते हैं। केवल विविधता के लिए, इस उदाहरण में हम पहले रास्ते पर जाएंगे, और अगले में हम निजी मूल्यों $n$ को प्रतिस्थापित करेंगे। कोष्ठक खोलने और पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है:

$$ 2=2An+3A+2Bn+B;\\ 2=(2A+2B)n+3A+B. $$

समानता के बाईं ओर, $n$ के पहले एक शून्य है। यदि आप चाहें, तो स्पष्टता के लिए, समानता के बाईं ओर को $0\cdot n+ 2$ के रूप में दर्शाया जा सकता है। चूँकि समानता के बाईं ओर $n$ के पहले शून्य है, और समानता के दाईं ओर $n$ के पहले $2A+2B$ है, हमारे पास पहला समीकरण है: $2A+2B=0$। आइए तुरंत इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें, जिसके बाद हमें $A+B=0$ मिलता है।

चूँकि समानता के बाईं ओर मुक्त पद 2 के बराबर है, और समानता के दाईं ओर मुक्त पद $3A+B$ के बराबर है, तो $3A+B=2$। तो, हमारे पास एक प्रणाली है:

$$ \बाएं\(\शुरू(संरेखित) और A+B=0;\\ और 3A+B=2. \end(संरेखित)\दाएं। $$

हम गणितीय प्रेरण की विधि का उपयोग करके प्रमाण प्रस्तुत करेंगे। पहले चरण में, आपको यह जांचना होगा कि साबित की जा रही समानता सत्य है या नहीं $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=1$ के लिए। हम जानते हैं कि $S_1=u_1=\frac(2)(15)$, लेकिन क्या अभिव्यक्ति $\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ मूल्य $\frac( देगा) 2 )(15)$, यदि हम इसमें $n=1$ प्रतिस्थापित करें? की जाँच करें:

$$ \frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2\cdot 1+3)=\frac(1) (3)-\frac(1)(5)=\frac(5-3)(15)=\frac(2)(15). $$

तो, $n=1$ के लिए समानता $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ संतुष्ट है। यह गणितीय प्रेरण की विधि का पहला चरण पूरा करता है।

आइए मान लें कि $n=k$ के लिए समानता संतुष्ट है, यानी। $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$. आइए हम सिद्ध करें कि $n=k+1$ के लिए समान समानता संतुष्ट होगी। ऐसा करने के लिए, $S_(k+1)$ पर विचार करें:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1). $$

चूँकि $u_n=\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)$, तो $u_(k+1)=\frac(1)(2(k+1)+ 1 )-\frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(2k+3)-\frac(1)(2(k+1)+3)$. ऊपर दी गई धारणा के अनुसार $S_k=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)$, इसलिए सूत्र $S_(k+1)=S_k+u_(k+1)$ रूप लेगा:

$$ S_(k+1)=S_k+u_(k+1)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2k+3)-\ frac(1)(2(k+1)+3)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2(k+1)+3). $$

निष्कर्ष: सूत्र $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ $n=k+1$ के लिए सही है। इसलिए, गणितीय प्रेरण की विधि के अनुसार, सूत्र $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$ किसी भी $n\in N$ के लिए सत्य है। समानता सिद्ध हो चुकी है.

उच्च गणित के एक मानक पाठ्यक्रम में, वे आम तौर पर किसी भी प्रमाण की आवश्यकता के बिना, रद्द करने वाले शब्दों को "क्रॉस आउट" करने से संतुष्ट होते हैं। तो, हमें nवें आंशिक योग के लिए अभिव्यक्ति मिली: $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. आइए $\lim_(n\to\infty)S_n$ का मान ज्ञात करें:

निष्कर्ष: दी गई श्रृंखला अभिसरण करती है और इसका योग $S=\frac(1)(3)$ है।

आंशिक योग के सूत्र को सरल बनाने का दूसरा तरीका।

ईमानदारी से कहूं तो, मैं स्वयं इस पद्धति को पसंद करता हूं :) आइए आंशिक राशि को संक्षिप्त रूप में लिखें:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)). $$

हमने पहले प्राप्त किया था कि $u_k=\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)$, इसलिए:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3))=\sum\limits_(k=1)^(n)\left (\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right). $$

योग $S_n$ में शब्दों की एक सीमित संख्या होती है, इसलिए हम उन्हें अपनी इच्छानुसार पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। मैं पहले फॉर्म $\frac(1)(2k+1)$ के सभी शब्दों को जोड़ना चाहता हूं, और उसके बाद ही फॉर्म $\frac(1)(2k+3)$ के शब्दों पर आगे बढ़ना चाहता हूं। इसका मतलब है कि हम आंशिक राशि इस प्रकार प्रस्तुत करेंगे:

$$ S_n =\frac(1)(3)-\frac(1)(5)+\frac(1)(5)-\frac(1)(7)+\frac(1)(7)-\ frac(1)(9)+\frac(1)(9)-\frac(1)(11)+\ldots+\frac(1)(2n+1)-\frac(1)(2n+3)= \\ =\frac(1)(3)+\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+1 )-\left(\frac(1)(5)+\frac(1)(7)+\frac(1)(9)+\ldots+\frac(1)(2n+3)\right). $$

बेशक, विस्तारित नोटेशन बेहद असुविधाजनक है, इसलिए उपरोक्त समानता को अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\sum\limits_( k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3). $$

अब अभिव्यक्ति $\frac(1)(2k+1)$ और $\frac(1)(2k+3)$ को एक रूप में परिवर्तित करते हैं। मुझे लगता है कि इसे बड़े अंश के रूप में कम करना सुविधाजनक है (हालांकि छोटे अंश का उपयोग करना संभव है, यह स्वाद का मामला है)। चूँकि $\frac(1)(2k+1)>\frac(1)(2k+3)$ (जितना बड़ा हर, उतना छोटा अंश), हम भिन्न देंगे $\frac(1)(2k+ 3) $ को $\frac(1)(2k+1)$ के रूप में।

मैं भिन्न $\frac(1)(2k+3)$ के हर में व्यंजक को इस प्रकार प्रस्तुत करूंगा:

$$ \frac(1)(2k+3)=\frac(1)(2k+2+1)=\frac(1)(2(k+1)+1). $$

और योग $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)$ को अब इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1) ) )+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1). $$

यदि समानता $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+ 1)$ कोई सवाल नहीं उठाता तो चलिए आगे बढ़ते हैं। यदि आपके कोई प्रश्न हैं, तो कृपया नोट का विस्तार करें।

हमें परिवर्तित राशि कैसे प्राप्त हुई? छिपा हुया दिखाओ

हमारे पास एक श्रृंखला थी $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3)=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2( क+1)+1)$. आइए $k+1$ के बजाय एक नया वेरिएबल पेश करें - उदाहरण के लिए, $t$। तो $t=k+1$.

पुराना वेरिएबल $k$ कैसे बदल गया? और यह 1 से $n$ में बदल गया। आइए जानें कि नया वेरिएबल $t$ कैसे बदलेगा। यदि $k=1$, तो $t=1+1=2$. यदि $k=n$, तो $t=n+1$। तो, व्यंजक $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)$ अब बन जाता है: $\sum\limits_(t=2)^(n +1)\frac(1)(2t+1)$.

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1) )(2t+1). $$

हमारे पास $\sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)$ का योग है। प्रश्न: क्या इससे कोई फर्क पड़ता है कि इस राशि में किस अक्षर का प्रयोग किया गया है? :) केवल $t$ के बजाय $k$ अक्षर लिखने पर, हमें निम्नलिखित मिलता है:

$$ \sum\limits_(t=2)^(n+1)\frac(1)(2t+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1). $$

इस प्रकार हमें समानता मिलती है $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2(k+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n+ 1) \frac(1)(2k+1)$.

इस प्रकार, आंशिक योग को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 )=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1) ). $$

ध्यान दें कि योग $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ और $\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1) )(2k+1)$ केवल योग सीमा में भिन्न है। आइए इन सीमाओं को समान बनाएं। $\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)$ के योग से पहला तत्व "हटाने" पर हमारे पास होगा:

$$ \sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(2\cdot 1+1)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1). $$

$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)$ के योग से अंतिम तत्व को "हटाने" पर, हमें मिलता है:

$$\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2(n+1)+1)=\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+ 3 ).$$

तब आंशिक योग के लिए अभिव्यक्ति इस प्रकार होगी:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n+1)\frac(1)(2k +1)=\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)+\frac(1)(2n+3)\right)=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=2)^ (n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2n+3)=\ frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

यदि आप सभी स्पष्टीकरणों को छोड़ देते हैं, तो nवें आंशिक योग के लिए संक्षिप्त सूत्र खोजने की प्रक्रिया निम्नलिखित रूप लेगी:

$$ S_n=\sum\limits_(k=1)^(n)u_k =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(2)((2k+1)(2k+3)) = \sum\limits_(k=1)^(n)\left(\frac(1)(2k+1)-\frac(1)(2k+3)\right)=\\ =\sum\limits_(k =1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) =\frac(1)(3) +\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1)-\left(\sum\limits_(k=2)^(n)\frac(1)(2k+1 )+\frac(1)(2n+3)\right)=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3). $$

मैं आपको याद दिला दूं कि हमने अंश $\frac(1)(2k+3)$ को घटाकर $\frac(1)(2k+1)$ कर दिया है। निःसंदेह, आप इसके विपरीत भी कर सकते हैं, अर्थात्। अंश $\frac(1)(2k+1)$ को $\frac(1)(2k+3)$ के रूप में निरूपित करें। आंशिक योग के लिए अंतिम अभिव्यक्ति नहीं बदलेगी. इस मामले में, मैं आंशिक राशि खोजने की प्रक्रिया को एक नोट के नीचे छिपा दूंगा।

यदि $S_n$ को किसी अन्य भिन्न में परिवर्तित किया जाए तो उसे कैसे खोजें? छिपा हुया दिखाओ

$$ S_n =\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+1)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3 ) =\sum\limits_(k=0)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\sum\limits_(k=1)^(n)\frac(1)(2k+3) )=\\ =\frac(1)(3)+\sum\limits_(k=1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)-\left(\sum\limits_(k=) 1)^(n-1)\frac(1)(2k+3)+\frac(1)(2n+3)\right) =\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+ 3 ). $$

तो, $S_n=\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)$. सीमा ज्ञात करें $\lim_(n\to\infty)S_n$:

$$ \lim_(n\to\infty)S_n=\lim_(n\to\infty)\left(\frac(1)(3)-\frac(1)(2n+3)\right)=\frac (1)(3)-0=\frac(1)(3). $$

दी गई श्रृंखला अभिसरण करती है और इसका योग $S=\frac(1)(3)$ है।

उत्तर: $S=\frac(1)(3)$.

किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करने के विषय की निरंतरता पर दूसरे और तीसरे भाग में चर्चा की जाएगी।

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी

राज्य शिक्षण संस्थान

उच्च व्यावसायिक शिक्षा

"माटी" - रूसी राज्य प्रौद्योगिकी विश्वविद्यालय का नाम रखा गया के.ई. TSIOLKOVSKY

"सिस्टम मॉडलिंग और सूचना प्रौद्योगिकी" विभाग

संख्या शृंखला

व्यावहारिक अभ्यास के लिए दिशानिर्देश

अनुशासन "उच्च गणित" में

द्वारा संकलित: एगोरोवा यू.बी.

मामोनोव आई.एम.

कोर्निएन्को एल.आई.

मॉस्को 2005 परिचय

दिशानिर्देश संकाय संख्या 14, विशेषता 071000, 130200, 220200 के पूर्णकालिक और शाम के छात्रों के लिए हैं।

1. बुनियादी अवधारणाएँ

होने देना यू 1 , यू 2 , यू 3 , …, यू एन, ... एक अनंत संख्या अनुक्रम है। अभिव्यक्ति
बुलाया अनंत संख्या श्रृंखला, संख्याएँ यू 1 , यू 2 , यू 3 , …, यू एन- श्रृंखला के सदस्य;
श्रृंखला का सामान्य पद कहलाता है। श्रृंखला अक्सर संक्षिप्त (संक्षिप्त) रूप में लिखी जाती है:

प्रथम का योग एनकिसी संख्या श्रृंखला के सदस्यों को किसके द्वारा निरूपित किया जाता है? और कॉल करें एन श्रृंखला का वां आंशिक योग:

शृंखला कहलाती है संमिलितअगर यह एन-मैं आंशिक राशि असीमित वृद्धि के साथ एनअंतिम सीमा तक जाता है, अर्थात अगर
संख्या बुलाया श्रृंखला का योग.

अगर एनश्रृंखला का -वाँ आंशिक योग
एक सीमित सीमा की ओर प्रवृत्त नहीं होता है, तो श्रृंखला कहलाती है विभिन्न.

उदाहरण 1।श्रृंखला का योग ज्ञात कीजिये
.

समाधान।हमारे पास है
. क्योंकि:

,

इस तरह,

क्योंकि
, तो श्रृंखला अभिसरण होती है और इसका योग बराबर होता है
.

2. संख्या श्रृंखला के बारे में बुनियादी प्रमेय

प्रमेय 1.यदि श्रृंखला अभिसरित होती है
फिर शृंखला एकत्रित हो जाती है किसी दी गई श्रृंखला से पहली को हटाकर प्राप्त किया जाता है
सदस्य (इस अंतिम पंक्ति को कहा जाता है
-मूल श्रृंखला का शेष भाग)। और इसके विपरीत, अभिसरण से
श्रृंखला का वां शेष भाग इस श्रृंखला के अभिसरण को दर्शाता है।

प्रमेय 2.यदि श्रृंखला अभिसरित होती है
और इसका योग संख्या है , फिर श्रृंखला अभिसरित होती है
और अंतिम पंक्ति का योग बराबर है
.

प्रमेय 3.यदि श्रृंखला अभिसरित होती है

क्रमशः S और Q का योग होने पर, श्रृंखला अभिसरित हो जाती है और अंतिम श्रृंखला का योग बराबर हो जाता है
.

प्रमेय 4 (श्रृंखला अभिसरण का एक आवश्यक संकेत). यदि पंक्ति
फिर एकत्रित हो जाता है
, अर्थात। पर
अभिसारी श्रेणी के उभयनिष्ठ पद की सीमा शून्य होती है।

परिणाम 1.अगर
, फिर श्रृंखला अलग हो जाती है।

परिणाम 2.अगर
, तो आवश्यक अभिसरण मानदंड का उपयोग करके किसी श्रृंखला के अभिसरण या विचलन को निर्धारित करना असंभव है। एक श्रृंखला या तो अभिसारी या अपसारी हो सकती है।

उदाहरण 2.श्रृंखला के अभिसरण की जाँच करें:

समाधान।श्रृंखला का सामान्य पद ज्ञात करना
. क्योंकि:

वे।
, तो श्रृंखला अलग हो जाती है (अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त पूरी नहीं होती है)।

3. सकारात्मक पदों के साथ श्रृंखला के अभिसरण के संकेत

3.1. तुलना के लक्षण

तुलना मानदंड किसी दी गई श्रृंखला के अभिसरण की तुलना उस श्रृंखला से करने पर आधारित होते हैं जिसका अभिसरण या विचलन ज्ञात होता है। नीचे सूचीबद्ध श्रृंखला का उपयोग तुलना के लिए किया जाता है।

पंक्ति
किसी भी घटती हुई ज्यामितीय प्रगति के पदों से बना, अभिसारी है और इसका योग है

पंक्ति
बढ़ती हुई ज्यामितीय प्रगति के पदों से बना, अपसारी है।

पंक्ति
भिन्न है.

पंक्ति
डिरिचलेट श्रृंखला कहा जाता है। >1 के लिए डिरिचलेट श्रृंखला अभिसरण करती है,  के लिए<1- расходится.

जब =1 पंक्ति
हार्मोनिक कहा जाता है. हार्मोनिक श्रृंखला अलग हो जाती है।

प्रमेय. तुलना का पहला संकेत.मान लीजिए कि सकारात्मक पदों वाली दो श्रृंखलाएँ दी गई हैं:

(2)

इसके अलावा, श्रृंखला (1) का प्रत्येक सदस्य श्रृंखला (2) के संबंधित सदस्य से अधिक नहीं है, अर्थात।
(एन= 1, 2, 3,…). फिर यदि श्रृंखला (2) अभिसरण करती है, तो श्रृंखला (1) भी अभिसरण करती है; यदि श्रृंखला (1) विचलन करती है, तो श्रृंखला (2) भी विचलन करती है।

टिप्पणी।असमानता होने पर यह मानदंड मान्य रहता है
हर किसी के लिए काम नहीं करता , लेकिन केवल एक निश्चित संख्या से प्रारंभ करना एन= एन, अर्थात। सभी के लिए एन एन.

उदाहरण 3.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान।किसी दी गई श्रृंखला के सदस्य संबंधित श्रृंखला के सदस्यों से कम हैं
अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति के पदों से बना है। चूँकि यह श्रृंखला अभिसरण करती है, दी गई श्रृंखला भी अभिसरण करती है।

प्रमेय. तुलना का दूसरा चिह्न (तुलना के चिह्न का सीमित रूप)।यदि कोई परिमित और गैर-शून्य सीमा है
, फिर दोनों पंक्तियाँ और एक ही समय में अभिसरण या विचलन।

उदाहरण 4.श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान।आइए श्रृंखला की तुलना हार्मोनिक श्रृंखला से करें
आइए हम श्रृंखला के सामान्य पदों के अनुपात की सीमा ज्ञात करें:

चूँकि हार्मोनिक श्रृंखला अपसारित होती है, दी गई श्रृंखला भी अपसारित होती है।

वगैरह। - के बारे में सबसे न्यूनतम ज्ञान संख्या श्रृंखला. यह समझना आवश्यक है कि एक श्रृंखला क्या है, इसका विस्तार से वर्णन करने में सक्षम हो और "श्रृंखला अभिसरण", "श्रृंखला विचलन", "श्रृंखला का योग" वाक्यांशों के बाद अपनी आँखें चौड़ी न करें। इसलिए, यदि आपका मूड पूरी तरह से शून्य है, तो कृपया इस लेख पर 5-10 मिनट खर्च करें नौसिखियों के लिए पंक्तियाँ(वस्तुतः पहले 2-3 पृष्ठ), और फिर यहां वापस आएं और बेझिझक उदाहरण हल करना शुरू करें!

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अधिकांश मामलों में किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करना आसान नहीं है, और यह समस्या आमतौर पर इसके माध्यम से हल हो जाती है कार्यात्मक श्रृंखला (हम जियेंगे, हम जियेंगे :)). तो, उदाहरण के लिए, एक लोकप्रिय कलाकार की राशि के माध्यम से आउटपुट फोरियर श्रेणी. इस संबंध में, व्यवहार में इसे स्थापित करना लगभग हमेशा आवश्यक होता है अभिसरण का वास्तविक तथ्य, लेकिन एक विशिष्ट संख्या खोजने के लिए नहीं (मुझे लगता है कि कई लोगों ने पहले ही इस पर ध्यान दिया है)। हालाँकि, संख्या श्रृंखला की विशाल विविधता के बीच, कुछ प्रतिनिधि ऐसे भी हैं जो एक पूर्ण चायदानी को भी बिना किसी समस्या के पवित्र स्थान को छूने की अनुमति देते हैं। और परिचयात्मक पाठ में मैंने अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का एक उदाहरण दिया , जिसकी राशि की गणना प्रसिद्ध स्कूल फॉर्मूले का उपयोग करके आसानी से की जाती है।

इस लेख में हम इसी तरह के उदाहरणों पर विचार करना जारी रखेंगे, इसके अलावा, हम योग की सख्त परिभाषा सीखेंगे और साथ ही श्रृंखला के कुछ गुणों से परिचित होंगे। आइए वार्म अप करें... और आइए सीधे प्रगति पर वार्म अप करें:

उदाहरण 1

श्रृंखला का योग ज्ञात कीजिये

समाधान: आइए हमारी श्रृंखला को दो श्रृंखलाओं के योग के रूप में कल्पना करें:

क्यों इस मेंक्या इसे करना संभव है? की गई कार्रवाइयाँ दो सरल कथनों पर आधारित हैं:

1) यदि श्रृंखला अभिसरित हो , तो संबंधित पदों के योग या अंतर से बनी श्रृंखला भी अभिसरित होगी: . ऐसे में अहम तथ्य ये है कि हम बात कर रहे हैं अभिसारीपंक्तियाँ हमारे उदाहरण में हम हम पहले से जानते हैं, कि दोनों ज्यामितीय प्रगतियां अभिसरित होंगी, जिसका अर्थ है, बिना किसी संदेह के, हम मूल श्रृंखला को दो पंक्तियों में विघटित करते हैं।

2) दूसरा गुण और भी अधिक स्पष्ट है। स्थिरांक को श्रृंखला से बाहर ले जाया जा सकता है: , और यह इसके अभिसरण या विचलन और अंतिम योग को प्रभावित नहीं करेगा। स्थिरांक को बाहर क्यों लाएं? हाँ, बस इतना कि वह "रास्ते में न आये।" लेकिन कभी-कभी ऐसा न करना ही फायदेमंद होता है

साफ़ उदाहरण कुछ इस तरह दिखता है:

हम अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए दो बार सूत्र का उपयोग करते हैं: प्रगति का पहला पद कहां है, और प्रगति का आधार है।

उत्तर: श्रृंखला का योग

समाधान की शुरुआत को थोड़ी अलग शैली में डिज़ाइन किया जा सकता है - श्रृंखला को सीधे लिखें और उसके सदस्यों को पुनर्व्यवस्थित करें:

आगे पीटा ट्रैक के साथ।

उदाहरण 2

श्रृंखला का योग ज्ञात कीजिये

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर।

यहां कोई विशेष आनंद नहीं है, लेकिन एक दिन मुझे एक असामान्य श्रृंखला मिली जो एक अनुभवहीन व्यक्ति को आश्चर्यचकित कर सकती है। यह... भी एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है! वास्तव में, और राशि की गणना कुछ ही क्षणों में की जाती है: .

और अब गणितीय विश्लेषण की एक जीवनदायी सांस, जो आगे की समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है:

एक श्रृंखला का योग कितना है?

सिद्धांत में अभिसरण/विचलन और एक श्रृंखला के योग की एक सख्त परिभाषा तथाकथित के माध्यम से दी गई है आंशिक मात्रापंक्ति। आंशिक का अर्थ है अधूरा। आइए किसी संख्या श्रृंखला का आंशिक योग लिखें :

और श्रृंखला के "एन" सदस्यों का आंशिक योग एक विशेष भूमिका निभाता है:

यदि किसी संख्या श्रृंखला के आंशिक योग की सीमा बराबर है अंतिमसंख्या: , तो ऐसी श्रृंखला कहलाती है संमिलित, और संख्या ही है श्रृंखला का योग. यदि सीमा अनंत है या अस्तित्व में नहीं है, तो श्रृंखला कहलाती है विभिन्न.

आइए डेमो पंक्ति पर वापस जाएं और इसका आंशिक योग लिखिए:

आंशिक योगों की सीमा वास्तव में एक अनंत रूप से घटती हुई ज्यामितीय प्रगति है, जिसका योग बराबर है:। हमने पाठ में इसी तरह की सीमा को देखा संख्या क्रम के बारे में. दरअसल, सूत्र स्वयं उपरोक्त सैद्धांतिक गणनाओं का प्रत्यक्ष परिणाम है (मटन का दूसरा खंड देखें)।

इस प्रकार, यह खींचा गया है हमारी समस्या को हल करने के लिए सामान्य एल्गोरिदम: श्रृंखला का nवाँ आंशिक योग बनाना और सीमा ज्ञात करना आवश्यक है। आइए देखें कि व्यवहार में यह कैसे किया जाता है:

उदाहरण 3

किसी श्रृंखला के योग की गणना करें

समाधान: पहले चरण में आपको विघटित करने की आवश्यकता है श्रृंखला का सामान्य पदभिन्नों के योग तक. हम उपयोग करते हैं अनिश्चित गुणांक की विधि:

नतीजतन:

तुरंतइसके विपरीत करना उपयोगी है, जिससे जाँच हो सके:

श्रृंखला का सामान्य पद अपने मूल रूप में प्राप्त किया गया था, इसलिए, भिन्नों के योग में अपघटन सफलतापूर्वक किया गया था।

आइए अब श्रृंखला का आंशिक योग बनाएं। सामान्य तौर पर, यह मौखिक रूप से किया जाता है, लेकिन एक बार मैं यथासंभव विस्तार से वर्णन करूंगा कि क्या हुआ:

इसे कैसे लिखें यह पूरी तरह से स्पष्ट है, लेकिन पिछला पद किसके बराबर है? श्रृंखला के सामान्य पद में के बजायहम "एन" प्रतिस्थापित करते हैं:

आंशिक योग की लगभग सभी शर्तें एक-दूसरे को सफलतापूर्वक रद्द कर देती हैं:


हम नोटबुक में पेंसिल से ऐसे ही नोट बनाते हैं। बहुत सुविधाजनक.

यह प्रारंभिक सीमा की गणना करने और श्रृंखला का योग ज्ञात करने के लिए बनी हुई है:

उत्तर:

स्वतंत्र समाधान के लिए एक समान श्रृंखला:

उदाहरण 4

किसी श्रृंखला के योग की गणना करें

पाठ के अंत में अंतिम समाधान का एक अनुमानित उदाहरण।

जाहिर है, किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करना अपने आप में इसके अभिसरण का प्रमाण है (इसके अतिरिक्त)। तुलना चिह्न, डी'एलेम्बर्ट, कॉचीआदि), जो, विशेष रूप से, निम्नलिखित कार्य के शब्दों से संकेत मिलता है:

उदाहरण 5

किसी श्रृंखला का योग ज्ञात करें या उसका विचलन स्थापित करें

एक आम सदस्य की शक्ल से आप तुरंत बता सकते हैं कि यह कॉमरेड कैसा व्यवहार करता है। कोई कॉम्प्लेक्स नहीं. का उपयोग करके तुलना के लिए सीमित मानदंडयह पता लगाना आसान है (यहाँ तक कि मौखिक रूप से भी) कि यह शृंखला, शृंखला के साथ जुड़ जाएगी। लेकिन हमारे पास एक दुर्लभ मामला है जब राशि की गणना भी बिना किसी परेशानी के की जाती है।

समाधान: आइए भिन्न के हर को एक गुणनफल में विस्तारित करें। ऐसा करने के लिए आपको निर्णय लेने की आवश्यकता है द्विघात समीकरण:

इस प्रकार:

कारकों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करना बेहतर है: .

आइए एक मध्यवर्ती जाँच करें:

ठीक है

इस प्रकार, श्रृंखला का सामान्य पद है:

इस प्रकार:

आइए आलसी न बनें:

जिसे जांचने की जरूरत है.

आइए श्रृंखला के सदस्यों का आंशिक योग "एन" लिखें, जबकि इस तथ्य पर ध्यान दें कि श्रृंखला का "काउंटर" संख्या से "काम करना शुरू करता है"। पिछले उदाहरणों की तरह, कोबरा को उचित लंबाई तक खींचना अधिक सुरक्षित है:

हालाँकि, यदि हम इसे एक या दो पंक्तियों में लिखते हैं, तब भी शब्दों को नेविगेट करना काफी कठिन होगा (प्रत्येक पद में उनमें से 3 हैं)। और यहाँ...ज्यामिति हमारी सहायता के लिए आएगी। आइए सांप को अपनी धुन पर नचाएं:

हाँ, ठीक ऐसे ही हम नोटबुक में एक शब्द के नीचे दूसरे शब्द को लिखते हैं और उन्हें ऐसे ही काट देते हैं। वैसे, मेरा अपना आविष्कार। जैसा कि आप समझते हैं, इस जीवन में यह सबसे आसान काम नहीं है =)

स्ट्रिपिंग के परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

और अंत में, श्रृंखला का योग:

उत्तर:

उदाहरण 8

किसी श्रृंखला के योग की गणना करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

विचाराधीन समस्या, निश्चित रूप से, हमें इसकी विविधता से प्रसन्न नहीं करती है - व्यवहार में हम या तो एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का सामना करते हैं या एक भिन्नात्मक तर्कसंगत सामान्य पद और हर में एक विघटित बहुपद के साथ एक श्रृंखला का सामना करते हैं (वैसे, ऐसा हर नहीं) बहुपद श्रृंखला का योग ज्ञात करना संभव बनाता है)। लेकिन, फिर भी, कभी-कभी असामान्य नमूने सामने आते हैं, और स्थापित अच्छी परंपरा के अनुसार, मैं कुछ दिलचस्प समस्या के साथ पाठ समाप्त करता हूं।

संख्या श्रृंखला एक अनुक्रम है जिसे किसी अन्य अनुक्रम के साथ मिलकर माना जाता है (इसे आंशिक योगों का अनुक्रम भी कहा जाता है)। गणितीय और जटिल विश्लेषण में समान अवधारणाओं का उपयोग किया जाता है।

एक्सेल में SERIES.SUM फ़ंक्शन का उपयोग करके किसी संख्या श्रृंखला के योग की गणना आसानी से की जा सकती है। आइए एक उदाहरण देखें कि यह फ़ंक्शन कैसे काम करता है, और फिर फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। आइए जानें कि पूंजी वृद्धि की गणना करते समय व्यवहार में संख्या श्रृंखला का उपयोग कैसे करें। लेकिन पहले, थोड़ा सिद्धांत.

संख्या श्रृंखला योग

संख्या श्रृंखला को संख्याओं के सन्निकटन की एक प्रणाली के रूप में माना जा सकता है। इसे नामित करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

यहां श्रृंखला में संख्याओं का प्रारंभिक क्रम और योग नियम दिया गया है:

• ∑ - योग का गणितीय चिह्न;
• ए मैं - सामान्य तर्क;
• i एक चर है, प्रत्येक आगामी तर्क को बदलने का एक नियम;
• ∞ अनंत चिह्न है, वह "सीमा" है जहां तक ​​योग किया जाता है।

अंकन का अर्थ है: 1 से "प्लस इनफिनिटी" तक की प्राकृतिक संख्याओं का योग किया जाता है। चूँकि i = 1, योग की गणना एक से शुरू होती है। यदि यहां कोई अन्य संख्या होती (उदाहरण के लिए, 2, 3), तो हम उससे (2, 3 से) योग करना शुरू करेंगे।

चर i के अनुसार, श्रृंखला को विस्तारित करके लिखा जा सकता है:

ए 1 + ए 2 + ए 3 + ए 4 + ए 5 + ... ("प्लस इनफिनिटी" तक)।

किसी संख्या श्रृंखला के योग की परिभाषा "आंशिक योग" के माध्यम से दी जाती है। गणित में इन्हें Sn से दर्शाया जाता है। आइए अपनी संख्या श्रृंखला को आंशिक योग के रूप में लिखें:

एस 2 = ए 1 + ए 2

एस 3 = ए 1 + ए 2 + ए 3

एस 4 = ए 1 + ए 2 + ए 3 + ए 4

किसी संख्या श्रृंखला का योग आंशिक योग S n की सीमा है। यदि सीमा परिमित है, तो हम "अभिसारी" श्रृंखला की बात करते हैं। अनंत - "भिन्न" के बारे में।

सबसे पहले, आइए संख्या श्रृंखला का योग ज्ञात करें:

आइए अब एक्सेल में श्रृंखला के सदस्यों के मूल्यों की एक तालिका बनाएं:

हम सामान्य पहला तर्क सूत्र से लेते हैं: i=3.

हम सूत्र का उपयोग करके i के निम्नलिखित सभी मान पाते हैं: =B4+$B$1। कर्सर को सेल B5 के निचले दाएं कोने में रखें और सूत्र को गुणा करें।

आइए मूल्यों का पता लगाएं। सेल C4 को सक्रिय बनाएं और सूत्र दर्ज करें: =SUM(2*B4+1)। सेल C4 को निर्दिष्ट सीमा पर कॉपी करें।

तर्कों के योग का मान फ़ंक्शन का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: =SUM(C4:C11)। हॉटकी संयोजन ALT+"+" (कीबोर्ड पर प्लस)।

एक्सेल में ROW.SUM फ़ंक्शन

Excel में किसी संख्या श्रृंखला का योग ज्ञात करने के लिए, गणितीय फ़ंक्शन SERIES.SUM का उपयोग करें। प्रोग्राम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करता है:

फ़ंक्शन तर्क:

• एक्स - परिवर्तनीय मूल्य;
• n - पहले तर्क के लिए डिग्री;
• एम वह चरण है जिसके द्वारा प्रत्येक आगामी पद के लिए डिग्री बढ़ाई जाती है;
• a, x की संगत शक्तियों के लिए गुणांक हैं।

फ़ंक्शन के कार्य करने के लिए महत्वपूर्ण शर्तें:

• सभी तर्क आवश्यक हैं (अर्थात्, सभी भरे जाने चाहिए);
• सभी तर्क संख्यात्मक मान हैं;
• गुणांकों के वेक्टर की एक निश्चित लंबाई होती है ("अनंत" की सीमा काम नहीं करेगी);
• "गुणांक" की संख्या = तर्कों की संख्या।

Excel में किसी श्रृंखला के योग की गणना करना

वही SERIES.SUM फ़ंक्शन पावर सीरीज़ (कार्यात्मक श्रृंखला के वेरिएंट में से एक) के साथ काम करता है। संख्यात्मक तर्कों के विपरीत, उनके तर्क कार्य हैं।

कार्यात्मक श्रृंखला का उपयोग अक्सर वित्तीय और आर्थिक क्षेत्र में किया जाता है। आप कह सकते हैं कि यह उनका अनुप्रयोग क्षेत्र है।

उदाहरण के लिए, उन्होंने एक निश्चित अवधि (एन) के लिए बैंक में एक निश्चित राशि (ए) जमा की। हमारा वार्षिक भुगतान x प्रतिशत है। पहली अवधि के अंत में अर्जित राशि की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

एस 1 = ए (1 + एक्स)।

दूसरे और बाद के कालखंडों के अंत में भावों का रूप इस प्रकार है:

एस 2 = ए (1 + एक्स) 2 ; एस 3 = ए (1 + एक्स) 2, आदि।

कुल ज्ञात करने के लिए:

एस एन = ए (1 + एक्स) + ए (1 + एक्स) 2 + ए (1 + एक्स) 3 + … + ए (1 + एक्स) एन

Excel में आंशिक योग BS() फ़ंक्शन का उपयोग करके पाया जा सकता है।

प्रशिक्षण कार्य के लिए प्रारंभिक पैरामीटर:

एक मानक गणितीय फ़ंक्शन का उपयोग करके, हम पद के अंत में संचित राशि का पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, सेल D2 में हम सूत्र का उपयोग करते हैं: =B2*DEGREE(1+B3;4)

अब सेल D3 में हम अंतर्निहित Excel फ़ंक्शन का उपयोग करके उसी समस्या का समाधान करेंगे: =BS(B3;B1;;-B2)

नतीजे वैसे ही हैं, जैसे होने चाहिए.

बीएस() फ़ंक्शन के तर्क कैसे भरें:

1. "दर" वह ब्याज दर है जिस पर जमा किया जाता है। चूंकि प्रतिशत प्रारूप सेल बी3 में सेट है, इसलिए हमने तर्क क्षेत्र में इस सेल के लिए एक लिंक निर्दिष्ट किया है। यदि कोई संख्या निर्दिष्ट की जाती, तो उसे उसके सौवें भाग (20/100) के रूप में लिखा जाता।
2. "एनपीईआर" ब्याज भुगतान की अवधि की संख्या है। हमारे उदाहरण में - 4 वर्ष।
3. "पीएलटी" - आवधिक भुगतान। हमारे मामले में कोई नहीं है. इसलिए, हम तर्क फ़ील्ड नहीं भरते हैं.
4. "पीएस" - "वर्तमान मूल्य", जमा राशि। चूँकि हम कुछ समय के लिए इस पैसे से अलग हो रहे हैं, हम पैरामीटर को "-" चिह्न के साथ इंगित करते हैं।

इस प्रकार, बीएस फ़ंक्शन ने हमें कार्यात्मक श्रृंखला का योग खोजने में मदद की।

एक्सेल में विभिन्न मापदंडों को खोजने के लिए अन्य अंतर्निहित फ़ंक्शन हैं। आमतौर पर ये निवेश परियोजनाओं, प्रतिभूतियों और मूल्यह्रास भुगतान के साथ काम करने के कार्य हैं।

किसी संख्या श्रृंखला के योग का आलेखन कार्य

आइए पूंजी वृद्धि को दर्शाने वाला एक फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाएं। ऐसा करने के लिए, हमें एक फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाने की आवश्यकता है जो निर्मित श्रृंखला का योग है। उदाहरण के तौर पर, आइए जमा पर वही डेटा लें:

पहली पंक्ति एक वर्ष के बाद संचित राशि को दर्शाती है। दूसरे में - दो में. और इसी तरह।

आइए एक और कॉलम बनाएं जिसमें हम लाभ दर्शाएंगे:

जैसा कि हमने सोचा - फॉर्मूला बार में।

प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएंगे।

आइए 2 श्रेणियाँ चुनें: A5:A9 और C5:C9। "सम्मिलित करें" टैब पर जाएं - "आरेख" उपकरण। पहला चार्ट चुनें:

आइए समस्या को और भी अधिक "लागू" करें। उदाहरण में हमने चक्रवृद्धि ब्याज का उपयोग किया। वे पिछली अवधि में अर्जित राशि पर अर्जित होते हैं।

आइए तुलना के लिए साधारण ब्याज लें। एक्सेल में साधारण ब्याज फॉर्मूला: =$B$2*(1+A6*B6)

आइए प्राप्त मूल्यों को "पूंजी वृद्धि" चार्ट में जोड़ें।

यह स्पष्ट है कि निवेशक क्या निष्कर्ष निकालेगा।

कार्यात्मक श्रृंखला के आंशिक योग के लिए गणितीय सूत्र (साधारण ब्याज के साथ): S n = a (1 + x*n), जहां a प्रारंभिक जमा राशि है, x ब्याज है, n अवधि है।